resolução numérica de sistemas lineares parte ialirio/files/cn2012.1/selparte01.pdf · material...

Prof. Alirio Santos de Sá

[email protected]

Material adaptada dos slides da disciplina de Cálculo numérico dos professores Bruno Queiroz, José Queiroz e Marcelo Barros (UFCG).

Disponível em: http://www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/

Resolução Numérica de Sistemas Lineares – Parte I

Cálculo Numérico

mailto:[email protected]

http://www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/











2

Sistemas Lineares

Forma Geral

onde:

aij coeficientes

xi incógnitas

bi termos independentes

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

3

Exemplo 01

2, 4, -5, 4, 1, -5, 2, 4 e 5 coeficientes

x1, x2 e x3 incógnitas

5, 2 e -1 termos independentes

Sistemas Lineares

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

4

Sistemas Lineares

Forma Matricial

na qual:

4

Ax = b

nn3n2n1n

n22221

n112

aaaa

aaa

aaa

A

11

n

2

1

b

bb

b

n

2

1

x

xx

x

5

Sistemas Lineares

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

5

Exemplo 02

Forma Geral

Forma Matricial

125

xxx.

542514542

3

2

1

6

Sistemas Lineares

Sistemas de considerados:

Possível Possui 1 ou mais soluções

Determinado Solução única [det(A)≠0]

Exemplo 03

8xx

4xx

21

21

7

Sistemas Lineares

Caso trivial (Sistemas Homogêneos)

Possível Possui 1 ou mais soluções

Homogêneo Vetor b=0 (x=0 sempre

existe solução)

Exemplo 04

0x3x2

0xx

21

21

8

Sistemas Lineares

nn3n2n1n

333231

2221

11

aaaa

0aaa00aa000a

A

Sistemas Triangulares (Casos especiais):

Possibilidade de resolução de forma Direta

Triangular Inferior

9

Sistemas Lineares

nn

n333

n22322

n1131211

a000

aa00aaa0aaaa

A

Sistemas Triangulares (Casos especiais):

Possibilidade de resolução de forma Retroativa

Triangular Superior

10

Solução Retroativa

Exemplo 05:

Dado o sistema:

Primeiro passo para sua resolução:

2x2

3x5x41x2xx

10xx5x4x3

4

43

432

4321

12

2x4

11


Exemplo 05:

Segundo passo:

Terceiro passo:

2x

315x4

3x5x4

3

3

43

1x

1122x

1x2xx

2

2

432

12


Exemplo 05:

Último passo:

Como seriam os algoritmos em pseudocódigo?

Vamos fazer para a triangular inferior!!

1x

10125)1(4x3

10xx5x4x3

1

1

4321

Algoritmo Triangular Inferior

Procedimento resolverTriangInferior(A: matriz [1..n, 1..n] de real; b: vetor [1 .. n] de real)

Declare

x: vetor [1..n] de real;

i,j: inteiro;

Início

Para i = 1 até n faça

x[i] = b[i] / A[i, i];

Para j = 1 até i-1 faça

x[i] = x[i] - (A[i, j] * x[j]) / A [i, i];

Fim Para

Fim Para

Retorne x;

Fim Procedimento

13

Algoritmo Triangular Superior

Procedimento resolverTriangSuperior(A: matriz [1..n, 1..n] de real; b: vetor [1 .. n] de real)

Declare

x: vetor [1..n] de real;

i, j: inteiro;

Início

Para i = n até 1 faça (passo -1)

x[i] = b[i] / A [i, i];

Para j = i+1 até n faça

x[i] = x[i] - (A[i, j] * x[j]) / A [i,i];

Fim Para

Fim Para

Retorne x;

Fim Procedimento

14

15

Métodos Numéricos

Diretos

Solução pode ser encontrada a partir de um número finito de passos

Método de Gauss

Método da Eliminação de Jordan

Fatoração LU

16

Métodos Numéricos

Iterativos

Solução a partir de uma seqüência de aproximações para o valor do vetor solução x , até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão pré-estabelecida

Método de Jacobi

Método de Gauss – Seidel

MÉTODOS DIRETOS

1. Método de Gauss

2. Método de Gauss com pivoteamento parcial

3. Método de Jordan

4. Fatoração LU

17

18

Método de Gauss

Propósito

Transformação do sistema linear a ser resolvido em um sistema linear triangular;

Resolução do sistema linear triangular de forma retroativa.

19

Método de Gauss

Transformação do Sistema Linear

Troca da ordem das linhas;

Multiplicação de uma das equações por um número real não nulo;

Substituição de uma das equações por uma combinação linear dela mesma com outra equação.

20

Método de Gauss

Passos do Método de Gauss

Construção da matriz aumentada Ab

20

nnn3n2n1n

2n22221

1n11211

baaaa

baaabaaa

Ab

21

Método de Gauss


Passo 1:

Eliminar os coeficientes de x1 presentes nas linhas 2,3,...,n - sendo a21 = a31, = ... = an1 = 0 - sendo a11 chamado de pivô da coluna

Substituir a linha 2, L2, pela combinação linear

11

21211212

a

am:qualna,LmL

22

Método de Gauss

11

313113133

a

am:qualna,LmLL


Substituir a linha 3, L3, pela combinação linear:

23

Método de Gauss


Continuar a substituição até a linha n;

Caso algum elemento app=0, achar outra linha k onde akp≠ 0 e trocar tais linhas. Caso a linha k não exista, o sistema linear não possui solução.

24

Método de Gauss


Eliminar os coeficientes de x2 nas linhas 3, 4, ..., n (fazer a32=a42=...=an2 = 0);

Eliminar os coeficientes de x3 nas linhas 4, 5, ..., n (fazer a43=a53=...=an3 = 0) e assim sucessivamente.

25

Método de Gauss

Exemplo 06:

Resolver o sistema:

Matriz aumentada Ab

1xx3x2

3x3x4x4

5xx3x2

321

321

321

1132

33445132

Ab

26

Método de Gauss

Exemplo 06:

Faz-se:

Assim:

2a

am,LmLL

11

212112122

7120L

513223344L

2

2

27

Método de Gauss

Exemplo 06:

Faz-se:

Assim:

1a

am,LmLL

11

312313133

6260L

513211132L

3

3

28

Método de Gauss

Exemplo 06:

Obtém-se a matriz:

626071205132

Ab

29

Método de Gauss

Exemplo 06:

Substituindo a linha 3 por:

Têm-se:

3a

am,LmLL

22

323213233

15500L

712036260L

3

3

30

Método de Gauss

Exemplo 06:

A matriz [Ab] fica assim com os seguintes valores:

155007120

5132Ab

31

Método de Gauss

Exemplo 06:

Usa-se a solução retroativa:

1x22x5362x

5xx32x

2x732x7x2x

3x155x

111

321

2232

33

32

Método de Gauss

Exemplo 07:

Resolver o sistema.

Representando o sistema pela matriz aumentada:

9,8x8,7x7,5x7,2

7,11x5,4x3,2x2,4

10x3,3x4,5x5,1

321

321

321

9,88,77,57,27,115,43,22,4

103,34,55,1]AB[

33

Método de Gauss

Exemplo 07:

Escolhendo a primeira linha como pivô, obtém-se:

9,11,864,020 L

103,35,41,5(2,7/1,5)

8,97,85,72,7LmLL

16,34,7412,820 L

103,35,41,5(4,2/1,5)

11,74,52,34,2LmLL

3

13133

2

12122

34

Método de Gauss

Exemplo 07:

Representando o sistema pela matriz aumentada:

9,11,864,020

16,34,7412,820

103,35,41,5

[AB]

35

Exemplo 07:

Escolhendo agora a segunda linha como pivô, têm-se:

Método de Gauss

3,98883,346300L

16,34,7412,82012,824,02/

9,11,864,020L

LmLL

3

3

13233

36

Exemplo 07:

Obtêm-se a seguinte matriz ampliada:

Método de Gauss

3,98883,346300

16,34,7412,820

103,35,41,5

[AB]

37

Método de Gauss

Exemplo 07:

O que termina com a triangulação:

3,9888x3,3463x0x0

16,3x4,74x12,82x0

10x3,3x5,41,5x

321

321

321

38

Método de Gauss

Exemplo 07:

Com solução:

Como seria o algoritmo para o método de Gauss em pseudocódigo?

x3 = -3,9888/3,3463=-1,1918

x2 =[ -16,3 - (-4,74)(-1,1920)]/(-12,82) = 1,7121

x1 = [10 - 5,4(1,7122) - 3,3(-1,1920)]/1,5 = 3,1251

Procedimento Gauss(A: matriz [1..n,1..n] de real; b: vetor [1 .. n] de real)

Declare

x : vetor [1 .. n] de real,

m : real;

Início

Para k = 1 até n - 1 faça

Para i = k+1 até n faça

m = A[i, k]/A[k, k];

A[i, k] = 0;

Para j = k + 1 até n faça

A[i, j] = A[i, j] - m * A[k, j];

Fim Para

b[i] = b[i] - m * b[k];

Fim Para

Fim Para

x = resolverTriangSuperior(A, b);

Retorne x;

Fim;

Fim Procedimento 39

40

Método do Pivoteamento Parcial

Semelhante ao método de Gauss;

Minimiza a amplificação de erros de arredondamento durante as eliminações;

Consiste em escolher o elemento de maior módulo em cada coluna para ser o pivô.

41


Exemplo 08:

Resolver o sistema com precisão de 4 casas decimais

9,8x8,7x7,5x7,2

7,11x5,4x3,2x2,4

10x3,3x4,5x5,1

321

321

321

42


Exemplo 08:

Matriz aumentada original deve ser ajustada:

9,88,77,57,27,115,43,22,4

103,34,55,1

9,88,77,57,2103,34,55,17,115,43,22,4

43


Exemplo 08:

Sistema inalterado, elemento pivô 4,2.

Encontrar as novas linhas:

]1,37864,90714,22140[L

]11,74,52,34,2[(2,7/4,2)

]8,97,85,72,7[LmLL

]5,82141,69294,57860[L

]11,74,52,34,2[1,5/4,2)

]103,35,41,5[LmLL

3

13133

2

12122

(

44


Exemplo 08:

A matriz ampliada fica da forma:

Como o elemento já é o pivô da 2ª

coluna, tem-se:

1,37864,90714,22140

5,82141,69294,57860

11,74,52,34,2

]3,98863,346300[L

]5,82141,69294,57860[5786)(4,2214/4,

]1,37864,90714,22140[LmLL

3

23233

4,5786

45


Exemplo 08:

A matriz ampliada fica na forma:

3,9886-3,346300

5,82141,69294,57860

11,74,52,34,2

46


Exemplo 08:

A solução do sistema triangular que resultou dessas operações é:

x3 = -3,9886/3,3463 = -1,1919

x2 = [5,8214-1,6929(-1,1919)]/(4,5786) = 1,7121

x1 = [11,7- 2,3(1,7121)- 4,5(-1,1919)]/4,2 = 3,1252

47


Exemplo 07: Exemplo 08 (com pivoteamento):

x3 = -1,1918 x3 = -1,1919

x2 = 1,7121 x2 = 1,7121

x1 = 3,1252 x1 = 3,1251

Solução encontrada com Software (Matlab):

x1 = -1,19198135198135

x2 = 1,71216783216783

x3 = 3,12522144522145

Como seria o algoritmo para o método de Gauss em pseudocódigo?

Procedimento GaussPivoParcial(A: matriz [1..n,1..n] de real; b: vetor [1 .. n] de real)

Declare x : vetor [1 .. n] de real; m : real; k, i, j: inteiro;

Início

Para k = 1 até n -1 faça

j = k;

Para i = k + 1 até n faça

Se abs(A[j, k]) < abs(A[i, k]) então j = i; Fim Se

Fim Para

Se j <> k então Troca(A, j, k); Fim Se

Para i = k+1 até n faça

m = A[i, k]/A[k, k];

A[i, k] = 0;

Para j = k + 1 até n faça

A[i, j] = A[j, j] - m * A[k, j];

Fim Para

b[i] = b[i] - m * b[k];

Fim Para

Fim Para

x = resolverTriangSuperior(A, b);

Retorne x;

Fim;

Fim Procedimento 48

49

Método de Jordan

Consiste em efetuar operações sobre as equações do sistema, com a finalidade de obter um sistema diagonal equivalente;

Um sistema diagonal é aquele em que os elementos aij da matriz coeficiente [A] são iguais a zero, para i≠j,

i, j = 1,2,...,n.

50

Método de Jordan

Sistema diagonal equivalente:

nn

33

22

11

a000

0a0000a0000a

]A[

51

Método de Jordan

Exemplo 09:

A partir do sistema:

Com matriz aumentada:

4x2x3x2

2x3x2x5

1xx5x

321

321

321

4232

1151

2325

4232

2325

1151

Ab

52

Método de Jordan

Exemplo 09:


Substituindo a linha 3 por :

0,21/5

a

a

m0,60,44,60L

,2325(1/5)1151LmLL

11

21

212

12122

,

0,42/5

a

a

m3,20,82,20L

2325(2/5)4232LmLL

11

31

313

13133

,

53

Método de Jordan

Exemplo 09:

A matriz ampliada resulta em:


3,20,82,20

0,60,44,60

2325

Ab

8, 0,472,2/4,6

a

a

m2,9130,60900L

0,60,44,60(2,2/4,6)3,20,82,20LmLL

22

32

323

23233

54

Método de Jordan

Exemplo 09:

A matriz ampliada resulta em:

Substituindo a linha 2 por

913,2609,0006,04,06,401325

Ab

1,31304,60L

2,9130,60900)(0,4/0,609

0,60,44,60LmLL

2

32322

55

Método de Jordan

Exemplo 09:

Matriz ampliada resulta em:

Substituindo a linha 1 por

913,2609,000313,106,401325

Ab

2/4,6

a

a

m,1,571305L

,1,31304,60(2/4,6)1325L

22

12

121

1

56

Método de Jordan

Exemplo 09:


A matriz ampliada fica da seguinte forma:

3/0,609

a

a

m12,779005L

2,9130,60900(3/0.609)

1,571305L

33

13

131

1

2,9130.60900

1,31304,60

12,779005

Ab

57

Método de Jordan

Exemplo 09:

E as soluções são:

x1 =-2,556 , x2= -0,285, x3=4,783

58

Decomposição em LU

O objetivo é fatorar a matriz dos coeficientes A em um produto de duas matrizes L e U.

Seja:

nn

n333

n22322

n1131211

3n2n1n

3231

21

u000

uu00uuu0uuuu

1lll001ll001l0001

LU

59


E a matriz coeficiente A:

Tem-se, então:

nn3n2n1n

n22221

n11211

aaaa

aaaaaa

A

nn

n333

n22322

n1131211

3n2n1n

3231

21

nn3n2n1n

n22221

n11211

u000

uu00uuu0uuuu

1lll001ll001l0001

]LU[

aaaa

aaaaaa

A

60


Para se obter os elementos da matriz L e da matriz U, deve-se calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L como segue.

61


1ª linha de U: Faze-se o produto da 1ª linha de L por todas as colunas de U e a iguala com todos os elementos da 1ª linha de A, assim:

.n,...,2,1j,au

,auau1

,auau1

,auau1

j1j1

n1n1n1n1

12121212

11111111

62


1ª coluna de L: Faz-se o produto de todas as linhas de L, (da 2ª a até a nª), pela 1ª coluna de U e a iguala com os elementos da 1ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtendo ,

.n,...,2,1l,u

al

,u

alaul

,u

alaul

,u

alaul

11

1l1l

11

1l1l1l111l

11

3131311131

11

2121211121

63


2ª linha de U: Faz-se o produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U, (da 2ª até a nª), e igualando com os elementos da 2ª linha de A, (da diagonal principal em diante), obtêm-se ,

.n,...,3j,ulau

,ulauauul

,ulauauul

,ulauauul

j121j2j2

n121n2n2n2n2n121

1321232323231321

1221222222221221

64


2ª coluna de L: Faz-se o produto de todas as linhas de L (da 3ª até a nª) pela 2ª coluna de U e a iguala com os elementos da 2ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtendo ,

.n,...,3l,u

ulal

,u

ulalaulul

,u

ulalaulul

,u

ulalaulul

22

121l2l2l

22

121l2l2l2l222l121l

22

124142424222421241

22

123132323222321231

65


Temos a seguinte fórmula geral:

.jl,u/)ula(l

,jl,ulau

jjkjlkljlj

1l

1k

kjlkljlj

66


Resumo de Passos:

Seja um sistema Ax = b de ordem n, onde A satisfaz as condições da fatoração LU.

Então, o sistema Ax = b pode ser escrito como:

LUx = b

67


Resumo dos Passos:

Fazendo Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b.

Resolvendo o sistema triangular inferior Ly = b, obtém-se o vetor y.

68


Resumo dos Passos:

Substituição do valor de y no sistema Ux = y Obtenção de um sistema triangular superior cuja solução é o vetor x procurado;

Aplicação da fatoração LU na resolução de sistemas lineares Necessidade de solução de dois sistemas triangulares

69

Erros - Avaliação de Erros

No sistema Ax = b , no qual:

o erro da solução é x – x’ .

n

2

1

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

b

bb

b

x

xx

x

aaa

aaaaaa

]A[

70

Procedimento de Determinação do Erro

Determinar:

Ax’ = b’

Erros - Avaliação de Erros

71

Erros – Resíduo

Procedimento de Determinação do Erro

Fazer:

Resíduo = b – b’

Resíduo = b – b’ = Ax - Ax’ = A(x – x’) = Aerro

72

Erros – Resíduo

Verifica-se que:

O resíduo não é o erro, apenas uma estimativa do mesmo;

Quanto menor for o resíduo, menor será o erro.

73

Exemplo 10:

Refinar a solução do sistema:

Cuja solução encontrada através pelo método de Gauss, utilizando a solução retroativa é:

1,1918]´- 1,7121 [3,1252x(0)

Erros – Resíduo

9,8x8,7x7,5x7,2

7,11x5,4x3,2x2,4

10x3,3x4,5x5,1

321

321

321

74

Exemplo 10:

O resíduo calculado é:

Vê-se pelo resíduo que a precisão

alcançada não foi satisfatória.

O vetor x(0) é chamado de vetor solução.

0.0010

0.0006

0.0002

Axbr(0)(0)

Erros – Resíduo

75

Exemplo 10:

Com o intuito de melhorar a solução, considera-se um novo vetor x(1) chamado de vetor solução melhorado.

Erros – Resíduo

76

Exemplo 10:

De forma que : x(1) = x(0) + δ(0), onde δ(0) é o vetor de correção. Assim:

)0()0(

)0()0(

)0()0(

)0()0(

)1(

rA

AxbA

bAAx

b)x(A

bAx

Erros – Resíduo

77

Exemplo 10:

Calcular o vetor de correção:

0,0010

0,0006

0,0002

δ

δ

δ

3

2

1

.9,88,77,57,27,115,43,22,4

103,34,55,1

Erros – Resíduo

78

Exemplo 10:

A solução é:

0,0002

0,0001

0,0000

(0)

δ

Erros – Resíduo

79

Exemplo 10:

Desta forma, a solução melhorada será:

1920,17122,11252,3

δxx )0()0()1(

Erros – Resíduo

80

Exemplo 10:

Cujo novo resíduo é:

0,0000

0,0000

0,0000

Axbr(1)(1)

Erros – Resíduo

81

Exemplo 10:

Em exemplos onde o resíduo ainda não seja satisfeito pode-se utilizar o mesmo procedimento:

x(2)=x(1)+δ(1)

Assim, o vetor correção δ(1), será calculado por A δ(1) =r(1).

Erros – Resíduo

82

Exemplo 10:

Acha-se assim, sempre uma solução melhorada e com resíduo tendendo a zero.

Erros – Resíduo

83

Sistemas Lineares - Bibliografia

Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais.

MAKRON Books, 1996, 2ª ed.

Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Fundamentos e Aplicações. Departamento de Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.

Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Numéricos. DI/UFPR, 2006.

Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de Erros, Notas de aula, SE/ DM/ IST [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso 07 de Junho de 2007].

resolução numérica de sistemas lineares parte ialirio/files/cn2012.1/selparte01.pdf · material...

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