RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE MATEMÁTICA - 1ª série do EM – 3º BIM

01. RESOLUÇÃO :

a) f(6) = 3 . 6 – 20 = 18 – 20 = – 2 f(6) = – 2

b) f(–1) = (–1) 2

– 2 . (– 1) = 1 + 2 = 3 f(–1) = 3

c) f(10) = – 10 2

+ 4 . 10 – 2 = – 100 + 40 – 2 = – 62 f(10) = – 62

d) f(9) = – 9 2

+ 4 . 9 – 2 = – 81 + 36 – 2 = – 47 f(9) = – 47

e) f(5) = 3 . 5 – 20 = 15 – 20 = – 5 f(5) = – 5

f) f(0) = (0)2

– 2 . 0 = 0 – 0 = 0 f(0) = 0

g) f(12) = – (12)2

+ 4 . 12 – 2 = – 144 + 48 – 2 = – 98 f(12) = – 98

02. RESOLUÇÃO: Temos, no exercício, uma função definida por 4 sentenças. A 2ª e a 4ª sentenças são funções constantes, no formato T(x) = b, sendo que b não é 50 em nenhum dos dois casos. Quanto à

1ª sentença, não é possível chegar ao valor 50 substituindo em T(x) = 20 x – 40 nenhum valor de x entre 0 e 2. Já com a 3ª sentença, podemos encontrar o valor desejado.

T(x) = 10 x – 100 10 x – 100 = 5010 x = 50 + 100 10 x = 150x = 150 10

x = 15 minutos. 03. RESOLUÇÃO: Para que o forno atinja 48º C, é necessário um tempo de: 7 5 t + 20 = 48

7 5 t = 48 – 20

7 5 t = 28 t =

5 7 . 28 =

5 . 28 7 . 1 = 20 minutos

Para chegar a 200º C, são necessários:

2 125

. t2

– 16 5

. t + 320 = 200 2

125 . t

2

– 16 5

. t + 320 – 200 = 0

2

125 . t

2

– 16 5

. t + 120 = 0

=

t² 200t + 7500 = 0

=40 000 – 4 1 7500 = 40 000 – 30 000 = 10 000

t =

t

1 = 150 minutos e t

2 = 50 minutos (valor inferior a 100 min.)

O tempo de permanência dessa peça no forno é dado pela diferença entre os tempos

para atingir 48C e 200C, logo: t = 150 – 20 = 130 minutos.

04. RESOLUÇÃO:

a) V(m) =

v(m) =

b) V(150) = 120 + (150 – 100) 0,3 = 120 + 50 0,3 = 120 + 15 = R$ 135,00 05. RESOLUÇÃO:

a) Se x = 8 m2

y = 32 reais

Se x = 12 m2

y = 32 + 2 5 y = 42 reais

Se x = 20 m2

y = 32 + 10 5 y = 82 reais

b) y =

y =

06. RESOLUÇÃO: a) f(x) = |2 x – 1|

Raiz: 2x – 1 = 0 2x = 1 x = 1 2

Escolhendo um valor menor do que x = 1 2

: se x = 0 f(0) = |2 0 – 1| = |0 – 1| = |– 1|= 1

Escolhendo um valor maior do que x = 1 2 : se x = 1 f(1) = |2 1 – 1|= |2 – 1| = |1|= 1

b) f(x) = |x – 1| + 2

Raiz: x – 1 = 0 x = 1, se x = 1 f(1) = |1 – 1| + 2 = 2

Escolhendo um valor menor do que x = 1: se x = 0 f(0) = |0 – 1|+ 2 = |– 1|+ 2 = 1 + 2 = 3

Escolhendo um valor maior do que x = 1: se x = 2 f(2) = |2 – 1| + 2 = |1| + 2 = 1 + 2 = 3

c) f(x) = |x2

– 16|

Raízes: x2

– 16 = 0 x2

= 16 x = 4

Escolhendo um valor menor do que x = – 4: se x = – 5 f(–5) = |(–5)2

– 16| = |25 – 16| = 9

Escolhendo um valor entre – 4 e 4: se x = 0 f(0) = |02

– 16| = |– 16| = 16

Escolhendo um valor maior do que x = 4: se x = 5 f(5) = |52

– 16| = |25 – 16| = 9

d) f(x) = |x2

– 3x + 2|

Raízes: x2

– 3x + 2 = 0 = (–3)2

– 4 1 2 = 1

= 1

x = – ( – 3 ) 1

2 . 1 = 3 1

2 x1 = 1 e x

2 = 2

Escolhendo um valor menor do que x = 1: se x = 0 f(0) = |02

– 3 0 + 2|= |2| = 2

Escolhendo um valor entre 1 e 2: se x = 1 2 f(

1 2 ) = |(

1 2 )

2

– 3 1 2 + 2 | = |

1 4 –

3 2 + 2 | =

| 1 – 6 + 8

4 | f( 1 2 ) =

3 4

Escolhendo um valor maior do que x = 2: se x = 3 f(3) = |32

– 3 3 + 2 | = |2| = 2

07. RESOLUÇÃO:

a) |x2

– 5x + 5 |= 1 x2

– 5x + 5 = 1 ou x 2

– 5 x + 5 = – 1

x 2

– 5x + 5 = 1 x 2

– 5x + 5 – 1 = 0 x 2

– 5x + 4 = 0

= (–5)2

– 4 . 1 . 4 = 25 – 16 = 9

x = – ( – 5 ) 3

2 . 1 = 5 3

2 x 1 = 1 e x

2 = 4

x 2

– 5x + 5 = – 1 x 2

– 5x + 5 + 1 = 0 x 2

– 5x + 6 = 0

= (–5)2

– 4 . 1 . 6 = 25 – 24 = 1

x = – ( – 5 ) 1

2 . 1 = 5 1

2 x 1 = 2 e x

2 = 3

S = { 1, 2, 3, 4 }

b) |x2

– x – 2 |= 2x + 2 x 2

– x – 2 = 2x + 2 ou x 2

– x – 2 = – 2x – 2

x 2

– x – 2 = 2x + 2 x 2

– x – 2 – 2x – 2 = 0 x 2

– 3x – 4 = 0

= (–3)2

– 4 . 1 . (–4) = 9 + 16 = 25

x = – ( – 3 ) 5

2 . 1 =

3 5 2

x 1 = – 1 e x

2 = 4

x 2

– x – 2 = – 2x – 2 x 2

– x – 2 + 2x + 2 = 0 x 2

+ x = 0

x . (x + 1) = 0 x 1 = 0 e x

2 = – 1

O segundo membro da equação modular é 2 x + 2, que é resultado de um módulo. Ele não pode, portanto, ser negativo. Precisamos então verificar se os resultados encontrados para x, não fazem com que 2 x + 2 fique negativo.

Se x = – 1 2 . ( – 1 ) + 2 = – 2 + 2 = 0 ok

Se x = 4 2 . 4 + 2 = 8 + 2 = 10 ok

Se x = 0 2 . 0 + 2 = 0 + 2 = 2 ok S = { – 1, 0, 4 }

c) || x – 2 | – 7 | = 6

Chamemos de y o módulo de x – 2 .

| y – 7 |= 6 y – 7 = 6 ou y – 7 = – 6

y – 7 = 6 y = 6 + 7 = 13

y – 7 = – 6 y = – 6 + 7 y = 1

Se y for 13, teremos para x que: | x – 2 | = 13

Então: x – 2 = 13 ou x – 2 = – 13

x – 2 = 13 x = 13 + 2 x = 15

x – 2 = – 13 x = – 13 + 2 x = – 11

Se y for 1, teremos para x que: | x – 2 | = 1

Então: x – 2 = 1 ou x – 2 = – 1

x – 2 = 1 x = 1 + 2 x = 3

x – 2 = – 1 x = – 1 + 2 x = 1

S = { 1, 3, 15, – 11 }

d) |2x – 3 | = | x + 5 |

Neste caso, só temos duas possibilidades: 2x – 3 = x + 5 ou 2x – 3 = – x – 5

2x – 3 = x + 5 2x – x = 5 + 3 x = 8

2x – 3 = – x – 5 2x + x = – 5 + 3 3x = – 2 x = – 2 3

S = { 8, – 2 3 }

08. RESOLUÇÃO:

L(x) = 13000 500 |x – 31| = 13000 |x – 31| = 13000

500 |x – 31| = 26

x – 31 = 26 ou x – 31 = – 26

x – 31 = 26 x = 26 + 31 = 57 ( impossível )

x – 31 = – 26 x = – 26 + 31 x = 5

09. RESOLUÇÃO:

f(x) = 5750 |x – 200| 50 = 5750 |x – 200| = 5750

50 |x – 200| = 115

x – 200 = 115 ou x – 200 = – 115

x – 200 = 115 x = 115 + 200 = 315 (315o dia do ano)

x – 200 = – 115 x = – 115 + 200 = 85 (85o dia do ano)

Novembro e Março

10. RESOLUÇÃO:

Raiz: 8 – 2x = 0 –2x = –8 x = – 8 – 2 = 4

Escolhendo um valor menor do que x = 4: se x = 3 f(3) = |8 – 2 3 | = | 8 – 6 | = | 2 | = 2

Escolhendo um valor maior do que x = 4: se x = 5 f(5) = |8 – 2 5 | = | 8 – 10 | = | – 2 | = 2

11. RESOLUÇÃO:

a) |x – 3| < 7 – 7 < x – 3 < 7 x – 3 > – 7 e x – 3 < 7

x – 3 > – 7 x > – 7 + 3 x > – 4

x – 3 < 7 x < 7 + 3 x < 10

S = { x IR | – 4 < x < 10 }

b) |x – 1| ≥ 5 x – 1 ≤ – 5 e x – 1 ≥ 5

x – 1 ≤ – 5 x ≤ – 5 + 1 x ≤ – 4

x – 1 ≥ 5 x ≥ 5 + 1 x ≥ 6

S = { x IR | x ≤ – 4 ou x ≥ 6 }

12. RESOLUÇÃO:

|r – 0,5| ≤ 0,01 – 0,01 ≤ r – 0,5 ≤ 0,01

r – 0,5 ≥ – 0,01 r ≥ – 0,01 + 0,5 r ≥ 0,49

A menor medida possível é 0,49 cm 2

13. Obs: Existe um erro na equação da lista, o correto é |t – 12| 2.

RESOLUÇÃO:

a)|9 – 12| = |– 3| = 3 ( não é solução )

| 12 – 12 | = |0|= 0 ( possível )

| 14 – 12 | = |2|= 2 ( possível )

Portanto, t = 12 e t = 14

b) –2 ≤ t – 12 ≤2

t – 12 ≥ – 2 t ≥ – 2 + 12 t ≥ 10 horas

t – 12 ≤ 2 t ≤ 2 + 12 t ≤ 14 horas

A resolução da inequação modular indicou que: 10 ≤ t ≤ 14

14. RESOLUÇÃO:

a) f(x) =

b) D(f) = IR e Im(f) = { y IR | y = – 2 ou 0 < y ≤ 4 }

c) f é uma função definida por 3 sentenças.

f(x) = 3 2

somente se 0 < x ≤ 2. Portanto: 2 x = 3 2

x = 3

2 . 2 x =

3 4

15. RESOLUÇÃO:

21

2 =

+

21 2 =

13

4 =

+

13 4 =

870 : 360 quociente = 2 e resto = 150 o

34

9 =

+

34 9 =

= 320 o

– 37

6 =

–

37 6 =

= 330

1140 : 360 quociente = 3 e resto = 60 o

– 120 o 360 – 120 = 240 o

16. RESOLUÇÃO:

a) sen (–225o) = sen (360 – 225) = sen 135 o = sen 45 o = sen (–225 o) =

2 2

b) cos 25

6 = cos

25 . 180 6

= cos 750 o = cos 30 o = cos 25

6 =

3 2

c) sen 750 o = sen 30o = sen 750 o = 1 2

d) cos (– 15

4 ) = cos(–

15 . 180 4

) = cos(– 675o) = cos 45o = cos ( – 15

4 ) =

2 2

f) sen ( 13

2 ) = sen ( 12

2 + 2 ) = sen (6 +

2 ) = sen (

2 ) = sen (

13 2 ) = 1

obs. : 6 = 3 Voltas completas

g) cos 11 = cos (10 + ) = cos 180 o = cos 11 = – 1

obs. : 10 = 5 voltas completas

17. RESOLUÇÃO:

y =

=

=

1 2 +

2 2

2 . ( –

2 2 ) +

1 2

=

= 1 +

2

2 . 2

– 2

2 + 1

= 1 +

2

1 – 2

2

( 1 + 2

2 )

( 1 + 2

2 )

= 1 + 2

2 +

2 + 4

1 – 8

y = – 5 + 3

2

7

18. RESOLUÇÃO:

=

+

= 2 +

{x | x =

+ 2k, k }

23

4 =

16 4

+ 7 4

= 4 + 7 4

{x | x = 7 4

+ 2k, k }

– 25

6 = –

24 6

– 6

= – 4 – 6

{x | x = – 6

+ 2k, k }

19. RESOLUÇÃO:

a) f(x) = 2sen x

x sen x y = 2 sen x

0 0 0

2

1 2

0 0

3 2

– 1 – 2

2 0 0

D(f) = IR Im(f) = [–2, 2] período: 2

b) f(x) = –1 + sen (2x)

x 2 x sen 2 x y = – 1 + sen ( 2 x )

0 0 0 – 1

4

2

1 0

2

0 – 1

3 4

3 2

– 1 – 2

2 0 – 1

D(f) = IR Im(f) = [–2, 0] período :

c) f(x) = cos ( x 2 )

x x 2 cos

x 2

0 0 1

2

0

2 – 1

3 3 2

0

4 2 1

D(f) = IR Im(f) = [–1, 1] período: 4

d) f(x) = cos 2x

x 2 x cos

x 2

0 0 1

4

2

0

2

– 1

3 4

3 2

0

2 1

D(f) = IR Im(f) = [–1, 1] período:

e) f(x) = 3 sen (2x) + 2

x 2 x sen 2 x y = 3 sen ( 2 x ) + 2

0 0 0 2

4

2

1 5

2

0 2

3 4

3 2

– 1 – 1

2 0 2

D(f) = IR Im(f) = [–1, 5] período:

f) f(x) = 2 cos ( x 2

) – 1

x x 2

cos x 2

y = 2 cos ( x 2

) – 1

0 0 1 1

2

0 – 1

2 – 1 – 3

3 3 2

0 – 1

4 2 1 1

D(f) = IR Im(f) = [–3, 1] período: 4

20. RESOLUÇÃO:

p = 2

| c | p = 2

| 2 | p =

a + b = 0 + 3 = 3 e a – b = 0 – 3 = 3 Im = [3, 3] 21. RESOLUÇÃO:

O período, de acordo com o gráfico, é 4. Então: p = 2

| b | = 4 b = 1 2

O gráfico apresenta uma imagem [–3, 3], portanto

.

Resolvendo o sistema temos: 2a = 6 a = 3

a – b = 3 – 1 2 =

6 – 1 2 a – b =

5 2

22. RESOLUÇÃO:

Pelo gráfico:

f(0) = 5 a + b cos 0 = 5 a + b = 5

f() = 1 a + b cos = 1 a – b = 1

Resolvendo o sistema, pela soma das equações, temos: 2a = 6 a = 3 b = 2.

Portanto: a b = 6

23. RESOLUÇÃO:

H(0) = 11,5 + 10 sen [

12 . (0 – 26)] = 11,5 + 10 sen [–

26 12

]

= 11,5 + 10 sen [– 24 12

– 2 12

] = 11,5 + 10 sen [– 2 12

] = 11,5 + 10 sen [ – 6

] =

= 11,5 + 10 . ( – 1 2

) = 11,5 – 5 = 6,5 m

24. RESOLUÇÃO:

N(1) = 180 – 54 cos [ 6

( 1 – 1 ) ] = 180 – 54 cos [ 0 ] = 180 – 54 = 126 pessoas

N(3) = 180 – 54 cos [ 6

( 3 – 1 ) ] = 180 – 54 cos [ 3

] = 180 – 54 . ( 1 2

) = 153 pessoas

N(5) = 180 – 54 cos [ 6 ( 5 – 1 ) ] = 180 – 54 cos [

2 3 ] = 180 – 54 . ( –

1 2 ) = 207 pessoas

N(7) = 180 – 54 cos [ 6

( 7 – 1 ) ] = 180 – 54 cos [ ] = 180 + 54 = 234 pessoas

126 + 153 + 207 + 234 = 720 pessoas

25. RESOLUÇÃO:

a) P(6) = 40 – 20 cos ( 12 . 6 –

4 ) = 40 – 20 cos (

2 –

4 )

P(6) = 40 – 20 cos ( 4 ) = 40 – 20 .

2 2 = 40 – 10

2

P(15) = 40 – 20 cos (

12 . 15 – 4 ) = 40 – 20 cos (

5 4 –

4 )

P(15) = 40 – 20 cos ( ) = 40 – 20 . ( – 1 ) = 40 + 20 = 60

Consome mais energia às 15:00 horas

b) P(12) = 40 – 20 cos ( 12

. 12 – 4

) = 40 – 20 cos ( – 4

)

P(12) = 40 – 20 cos ( 3 4

) = 40 – 20 . ( –

2 2

) = 40 + 10

2

Um valor aproximado seria: P(12) = 40 + 10 1,4 = 40 + 14 P ( 12 ) 54 MW

26. RESOLUÇÃO:

Entre e 3 2 , a função seno varia entre 0 e – 1 (decrescendo).

1 sen 0 1 2 m – 1

3 0 3 2m – 1 0 2 2m 1 1 m 1 2

Portanto: S = { m | –1 m 1 2 }

27. RESOLUÇÃO:

p = 2

| /6 | = 12 p = 12 h

O valor máximo do cosseno é 1. Portanto: Máximo = 24 + 3 1 = 24 + 3 = 27 o C