resolução do exame de matemática aplicada às ciências...

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1. 1.1. No método de Hondt divide-se o número de votos de cada lista por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, etc: Organizando os quocientes por ordem decrescente resulta a seguinte distribuição dos 10 man- datos: Partido A – 5 mandatos; Partido B – 3 mandatos; Partido C – 2 mandatos; Partido D – 0 man- datos; Partido E – 0 mandatos; Partido F – 0 mandatos. No método de Saint-Laguë, consideram-se os divisores ímpares: Organizando por ordem decrescente os quocientes resulta a seguinte distribuição de mandatos: Partido A – 4 mandatos; Partido B – 3 mandatos; Partido C – 2 mandatos; Partido D – 1 man- dato; Partido E – 0 mandatos; Partido F – 0 mandatos. Conclui-se que a Maria tem razão pois, aplicando o método de Saint-Laguë, o partido C, um dos partidos menos votados, consegue um mandato. O partido A, o mais votado, perde um mandato, comparativamente à distribuição pelo método de Hondt. 1.2. • Distribuição de 10 mandatos Divisor padrão na distribuição dos 10 mandatos: = = 5618,3 23 023 + 13 245 + 12 345 + 2564 + 2543 + 2463 10 56 183 10 1 Resolução do Exame de Matemática Aplicada às Ciências Sociais – 10. o /11. o Ano – 2012 (2. a Fase) Divisores A B C D E F 1 23 023 13 245 12 345 2564 2543 2463 2 11 511,5 6622,5 6172,5 1282 1271,5 1231,5 3 7674,33 4415 4115 854,67 847,67 821 4 5755,75 3311,25 3086,25 641 635,75 615,75 5 4604,6 2649 2469 512,8 508,6 492,6 6 3837,17 2207,5 2057,5 427,33 423,83 410,5 7 3289 1892,14 1763,57 366,29 363,29 351,86 8 2877,88 1655,63 1543,13 320,5 317,88 307,88 9 2558,11 1471,67 1371,67 284,89 282,56 273,67 Divisores A B C D E F 1 23 023 13 245 12 345 2564 2543 2463 3 5 7674,3 4415 4115 854,67 847,67 821 7 9 4604,6 2649 2469 512,8 508,6 492,6 3289 1892,1 1763,57 366,29 363,29 351,86 2558,1 1471,67 1371,67 284,89 282,56 273,67

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1.

1.1. No método de Hondt divide-se o número de votos de cada lista por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, etc:

Organizando os quocientes por ordem decrescente resulta a seguinte distribuição dos 10 man-datos:

Partido A – 5 mandatos; Partido B – 3 mandatos; Partido C – 2 mandatos; Partido D – 0 man-datos; Partido E – 0 mandatos; Partido F – 0 mandatos.

No método de Saint-Laguë, consideram-se os divisores ímpares:

Organizando por ordem decrescente os quocientes resulta a seguinte distribuição de mandatos:

Partido A – 4 mandatos; Partido B – 3 mandatos; Partido C – 2 mandatos; Partido D – 1 man-dato; Partido E – 0 mandatos; Partido F – 0 mandatos.

Conclui-se que a Maria tem razão pois, aplicando o método de Saint-Laguë, o partido C, umdos partidos menos votados, consegue um mandato. O partido A, o mais votado, perde ummandato, comparativamente à distribuição pelo método de Hondt.

1.2.

• Distribuição de 10 mandatos

Divisor padrão na distribuição dos 10 mandatos:

= = 5618,323 023 + 13 245 + 12 345 + 2564 + 2543 + 246310

56 18310

1

Resolução do Exame de Matemática Aplicada às Ciências Sociais – 10.o/11.o Ano – 2012 (2.a Fase)

Divisores A B C D E F

1 23 023 13 245 12 345 2564 2543 2463

2 11 511,5 6622,5 6172,5 1282 1271,5 1231,5

3 7674,33 4415 4115 854,67 847,67 821

4 5755,75 3311,25 3086,25 641 635,75 615,75

5 4604,6 2649 2469 512,8 508,6 492,6

6 3837,17 2207,5 2057,5 427,33 423,83 410,5

7 3289 1892,14 1763,57 366,29 363,29 351,86

8 2877,88 1655,63 1543,13 320,5 317,88 307,88

9 2558,11 1471,67 1371,67 284,89 282,56 273,67

Divisores A B C D E F

1 23 023 13 245 12 345 2564 2543 2463

3

5

7674,3 4415 4115 854,67 847,67 821

7

9

4604,6 2649 2469 512,8 508,6 492,6

3289 1892,1 1763,57 366,29 363,29 351,86

2558,1 1471,67 1371,67 284,89 282,56 273,67

2

O quadro seguinte resume a aplicação do método de Hamilton na distribuição dos 10 man-datos:

A B C D E F

Quotapadrão

Parte inteira da

quotapadrão

Parte decimal

da quotapadrão

Atribuiçãode

mandatos

≈ 4,0979

23 0235618,3

≈ 2,3575

13 2455618,3

≈ 2,1973

12 3455618,3

≈ 0,4526

25645618,3

≈ 0,4526

25435618,3

≈ 0,4384

24635618,3

4 2 2 0 0 0

0,0979 0,3575 0,1973 0,4564 0,4526 0,4384

4 2 2 1 1 0

A B C D E F

Quotapadrão

Parte inteira da

quotapadrão

Parte decimal

da quotapadrão

Atribuiçãode

mandatos

≈ 4,9174

23 0234681,9167

≈ 2,8290

13 2454681,9167

≈ 2,6367

12 3454681,9167

≈ 0,5476

25644681,9167

≈ 0,5432

25434681,9167

≈ 0,5261

24634681,9167

4 2 2 0 0 0

0,9174 0,8290 0,6367 0,5476 0,5432 0,5261

4 2 2 1 1 0

Após considerar a parte inteira da quota padrão, estão atribuídos 4 mandatos ao partido A, 2mandatos ao partido B e 2 mandatos ao partido C. Restam atribuir mais dois mandatos queserão distribuídos comparando as partes decimais das respetivas quotas padrão.

Os partidos com as partes decimais maiores são D e E. Logo, é-lhes atribuído um mandato acada um.

• Distribuição de 12 mandatos

Divisor padrão na distribuição dos 12 mandatos:

= = 4681,9167

O quadro seguinte resume a aplicação do método de Hamilton na distribuição dos 12 mandatos:

23 023 + 13 245 + 12 345 + 2564 + 2543 + 246312

56 18312

Após considerar a parte inteira da quota padrão, estão atribuídos 4 mandatos ao partido A, 2mandatos ao partido B e 2 mandatos ao partido C. Restam atribuir mais quatro mandatos queserão distribuídos comparando as partes decimais das respetivas quotas padrão.

Organizando as partes decimais por ordem decrescente conclui-se que o 9.º mandato é atri-buído a A, o 10.º mandato é atribuído a B, o 11.º mandato é atribuído a C e o 12.º mandato éatribuído a D.

Conclui-se, a partir da comparação dos dois resultados, que o candidato que fez a afirmaçãopertence ao partido E.

2. Para um nível de confiança de 95%, z = 1,960. Sabe-se também que n = 40 e σ = 29.

Da afirmação do enunciado, resulta que:

]160, 178[ = ]–x – 1,96 ¥ ; –x + 1,96 ¥ [ onde –x é o valor da média amostral.

–x é também o valor médio deste intervalo. Logo, –x = =169.

Para um nível de confiança de 99%, z = 2,576. O intervalo de confiança pedido é:

]169 – 2,576 ¥ ; 169 + 2,576 ¥ [ = ]157,188; 180,811[

Para um nível de confiança de 99%, o intervalo pedido, arredondado às unidades, é ]157, 181[.

3.

3.1. Este item pode ser resolvido, pelo menos, por três processos distintos:

• 1.º processo:

Substituir t por 12 na expressão da função A:

A(12) = 100 ln (4 + 0,49 ¥ 12) ≈ 100 ¥ 2,291 ≈ 229

Em 2018 serão recolhidas, aproximadamente, 229 milhares de unidades de sangue.

• 2.º processo (recorrendo à calculadora gráfica):

Inserir a função A(t) no editor de funções:

e observar o respetivo valor na tabela de valores:

2940

2940

160 + 1782

29

√∫4∫029

√∫4∫0

3

4

• 3.º processo (recorrendo à calculadora gráfica):

Inserir no editor de funções Y1: 100 ln (4 + 0,49t) e obter o respetivo gráfico.

Encontrar o valor de y para x = 12:

Conclui-se que, em 2018 serão recolhidas, aproximadamente, 229 milhares de unidades desangue.

3.2. Para que as necessidades do país sejam asseguradas é necessário recolher 250 mil unidadesde sangue por ano.

• 1.º processo (recorrendo à calculadora gráfica):

Recorrendo à calculadora gráfica, coloca-se a função dada no editor de funções e observa-sea respetiva tabela:

Por observação da tabela, conclui-se que tal acontece 17 anos após o final de 2006, ou seja,no ano 2006 + 17 = 2023.

• 2.º processo (recorrendo à calculadora gráfica):

Considerar Y1: 100 ln (4 + 0,49t) e Y2: 250 no editor de funções e proceder à respetiva repre-sentação gráfica:

Para resolver este item é necessário encontrar o ponto de interseção dos dois gráficos.

Com um arredondamento às unidades, o ponto de interseção é (17, 250), ou seja t = 17.

Conclui-se que o primeiro ano em que as necessidades do país são asseguradas é 2006 + 17 = 2023.

5

• 3.º processo:

Resolver analiticamente a equação 100 ln (4 + 0,49t) = 250:

100 ln (4 + 0,49t) = 250 ⇔ ln(4 + 0,49t) =

⇔ ln (4 + 0,49t) = 2,5

⇔ 4 + 0,49t = e2,5

⇔ 0,49 t = e2,5 – 4

⇔ 0,49t = 12,182 – 4

⇔ t =

⇔ t ≈16,698

Logo, t ≈17, arredondado às unidades. Conclui-se que o primeiro ano em que as necessidadesdo país são asseguradas é 2006 + 17 = 2023.

3.3.

250100

250100

A diferença entre os preços de venda é 26 303,85 – 25 797,68 = 506,17.

Em 2010 Em 2011

Preço base do veículo (1)(em euros)

18 014,40 18 014,40

Imposto sobre acilindrada do

veículo (2) (em euros)

1598 cc

Imposto sobreemissões CO2Combustível:Gasóleo (3)(em euros)

119 g/km

Total ISV : (4) = (2) + (3)

Soma (1) + (4)

Taxa de IVA a aplicar sobre asoma

Total de IVA (5)

Preço de venda ao público(1) + (4) + (5)

(em euros)

19341598 ¥ 4,34 – 4964,37 =

= 1970,95

1372119 ¥ 49,16 – 4450,15 =

= 1399,89

3306 3370,84

21 320,40 21 385,24

21% 23%

21 320,4 ¥ 0,21 = 4477,28 21 385,24 ¥ 0,23 = 4918,61

25 797,68 26 303,85

6

4.

4.1. Para calcular a média recorre-se à calculadora gráfica, considerando uma lista L1 com as clas-sificações internas dos alunos:

ou apresenta-se o cálculo:

–x = = ≈12,4

Que resulta da organização das classificações internas numa tabela de frequências:

8 + 9 ¥ 3 + 10 ¥ 2 + 11 ¥ 3 + 13 + 14 ¥ 4 + 16 ¥ 3 + 1918

22418

Cl

8

Número de alunos

1

9 3

10 2

11 3

12 0

13 1

14 4

15 0

16 3

17 0

18 0

19

Total

1

18

A representação dos dados num diagrama de barras é:

onde também se assinala a localização aproximada da média.

Núm

ero

de a

luno

s

8

5CLASSIFICAÇÕES NO FINAL DO 3.º PERÍODO

4

3

2

1

09 10 12 13 14 15 16 17 18 1911

x ≈ 12,4

7

Pela observação do diagrama, conclui-se que as classificações internas se dispersam bastanterelativamente à média, havendo uma maior concentração no intervalo de classificações de 8a 11 valores, onde se situa precisamente metade da distribuição (9 alunos). Conclui-se assimque a média não é a medida adequada para representar esta distribuição.

4.2. Recorrendo à calculadora gráfica consideram-se duas listas:

L1: “classificação dos alunos da escola do Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciên-cias Sociais no final do 3.º período de 2010 (CI)”

L2: “classificação dos alunos da escola do Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciên-cias Sociais no exame nacional de 2010 (CE)”

O valor do coeficiente de correlação é r ≈ 0,439.Excluindo as classificações do aluno 14 e repetindo o procedimento na calculadora, o valordo coeficiente de correlação passa a ser r ≈ 0,913.

Conclui-se que, ao excluir as classificações deste aluno, se verifica um aumento significativona associação linear positiva destas duas variáveis, passando de uma associação linear positivafraca para uma associação linear positiva forte, uma vez que o valor de r está muito próximode 1.

4.3. Na equação da reta de regressão, substituindo o valor de t por 12, obtém-se :

y = 1,0927 ¥ 12 – 1,8476 ≈ 11,3

Logo, o valor estimado da classificação do exame de um aluno com classificação interna iguala 12 é igual a 11,3 valores.

4.4. Do enunciado sabe-se que as classificações dos alunos na disciplina de matemática aplicadaàs ciências sociais segue uma distribuição normal com μ = 10 e σ = 4,1.

Observe-se que:

14,1 = μ + σ = 10 + 4,1

18,2 = μ + 2σ = 10 + 8,2

Logo:

P(μ – σ < X < μ + σ) = P(5,9 < X < 14,1) ≈ 68,27%

P(μ – 2σ < X < μ + 2σ) = P(1,8 < X < 18,2) ≈ 95,45%

Assim:

P(14,1 < X <18,2) = = = 13,59%P(1,8 < X < 18,2) – P(5,9 < X < 14,1)2

95,45 – 68,272

8

Assim, com as duplicações indicadas, seria possível afirmar a passagem dos participantes portodos os trajetos diretos.

5.2. Considerando os acontecimentos:

A: “O atleta beber água no posto A”

D: “O atleta beber água no posto D”

e de acordo com os dados do enunciado, sabemos que P(D|A) = e P(D ∩ A) = .

Pretende-se calcular P(A).

Como P(D|A) = ⇔ P(A) = vem que P(A) = =

Assim, a probabilidade de o atleta ter bebido água no posto A é de .23

P(D ∩ A)P(A)

P(D ∩ A)P(D | A)

910

35

23

359

10

5. 5.1. O Carlos tem razão, pois, apesar de o grafo ser conexo, tem quatro vértices (A, B, C e D) de grau

ímpar, não respeitando, por isso, a condição necessária e suficiente para que um grafo conexoadmita circuitos de Euler. Assim, é necessário admitir duplicações de trajetos diretos, ou seja,proceder a uma eulerização do grafo, duplicando, por exemplo, as arestas AB e CD, como oque se apresenta no grafo seguinte.