resolução do cap.10 do moyses

8/20/2019 Resolução Do Cap.10 Do Moyses

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Curso de

Física Básica H. Moyses Nussenzveig

Resolução doVolume II

Capítulo 10A Segunda Lei da

Termodinâmica


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Grupo Física-Nussenzveig Capítulo -10

http://www.estudefisica.com.br 1

1 – Demonstre que duas adiabáticas nunca podem se cortar. Sugestão: Supondo que isto fosse possível, complete um ciclo com uma isoterma e mostre que a 2ª lei da termodinâmica seria violadase um tal ciclo existisse. (Resolução)

2 – Uma usina termoelétrica moderna opera com vapor de água superaquecido, a temperaturas da

ordem de 500°C, e é resfriada com água de rio, tipicamente a 20°C. Devido a inúmeros tipos de perdas, a eficiência máxima que se consegue atingir na prática é da ordem de 40%. Que fração daeficiência máxima idealmente possível para esses valores isto representa? (Resolução)

3 – Chama-se coeficiente de desempenho K de um refrigerador a razão Q2/W, onde Q2 é aquantidade de calor removida da fonte fria (congelador) e W o trabalho fornecido pelo compressor,

por ciclo de refrigeração.a) Para um refrigerador de Carnot ideal, exprima K em função das temperaturas T1 e T2 das

fontes quente e fria, respectivamente.b) Exprima K em função da eficiência da máquina de Carnot obtida operando o refrigerador

em sentido inverso.

c) Um dado refrigerador doméstico tem coeficiente de desempenho 40% do ideal; o motordo compressor tem 220 W de potência e o congelador é mantido a –13°C. Para uma temperaturaambiente de 27°C, qual é a quantidade de calor removida do congelador, em 15 min defuncionamento do motor? Que quantidade de gelo ela permitiria formar, partido de água a umatemperatura próxima de 0°C? O calor latente de fusão do gelo é 80 cal/g. (Resolução)

4 – Um mol de um gás ideal diatômico (γ = 7/5) descreve ociclo ABCDA (fig.), onde P é medido em bar e V em l.

a) Calcule a temperatura nos vértices.b) Calcule a eficiência de um motor térmico operando

segundo esse ciclo.c) Compare o resultado (b) com a eficiência máxima

ideal associada às temperaturas extremas do ciclo.(Resolução)

5 – Um gás ideal com γ = 5/3 sofre uma expansão isotérmica em que seu volume aumenta de 50%,seguida de uma contração isobárica até o volume inicial e de aquecimento, a volume constante, atéa temperatura inicial.

a) Calcule o rendimento deste ciclo.

b) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre as mesmastemperaturas extremas. (Resolução)

6 – Um gás ideal de coeficiente adiabático γ é submetido aociclo ABCA da fig., onde AB é um segmento de reta.

a) Calcule o rendimento.b) Mostre que ele é menor do que o rendimento de

um ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturasextremas. (Resolução)


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7 – Numa máquina térmica, o agente é um gás ideal de coeficienteadiabático γ, que executa o ciclo da fig., onde BC é uma adiabáticae CA uma isoterma.

a) Calcule o rendimento em função de r e γ.b) Exprima o resultado em função da razão ρ = T1/T2 entre

as temperaturas extremas.c) Para γ = 1,4 e r = 2, qual a razão entre o rendimento

obtido e o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre T1 eT2? (Resolução)

8 – A fig., onde AB e CD são adiabáticas, representa o ciclo deOtto, esquematização idealizada do que ocorre num motor agasolina de 4 tempos: AB representa a compressão rápida(adiabática) da mistura de ar com vapor de gasolina, de um volumeinicial V0 para V0/r (r = taxa de compressão); BC representa oaquecimento a volume constante devido à ignição; CD é a expansãoadiabática dos gases aquecidos, movendo o pistão; DA simboliza aqueda de pressão associada à exaustão dos gases da combustão. Amistura é tratada como um gás ideal de coeficiente adiabático γ.

a) Mostre que o rendimento do ciclo é dado por1

BC

AD

r

11

TT

TT1

−γ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−−

−=η

b) Calcule η para γ = 1,4 e r = 10 (compressão máxima permissível para evitar pré-ignição).(Resolução)

9 – O ciclo Diesel, representado na fig., onde AB e CD sãoadiabáticas, esquematiza o que ocorre num motor Diesel de 4tempos. A diferença em relação ao ciclo de Otto (Problema 8) é quea taxa r c = V0/V1 de compressão adiabática é maior, aquecendomais o ar e permitindo que ele inflame o combustível injetado semnecessidade de uma centelha de ignição: isto ocorre a pressãoconstante, durante o trecho BC; a taxa de expansão adiabáticaassociada a CD é r e = V0/V2.

a) Mostre que o rendimento do ciclo Diesel é dado por

( ) ( )cece

BC

AD

r 1r 1

r

1

r

1

.1

1TT

TT11

−⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

γ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

γ−=η

γγ

b) Calcule η para r c = 15, r e = 5, γ = 1,4.c) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot entre as mesmas

temperaturas extremas. (Resolução)

10 – O ciclo de Joule, representado na fig., onde AB e CD são adiabáticas, é uma idealização doque ocorre numa turbina a gás: BC e DA representam, respectivamente, aquecimento e resfriamentoa pressão constante; r = PB/PA é a taxa de compressão.

a) Mostre que o rendimento do ciclo de Joule é dado por

γ−γ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=η

1

r

11

b) Calcule o rendimento para r = 10. (Resolução)


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11 – O ciclo da fig. é formado por isotermas de temperaturasT1 (BC), T3 (DE) e T2 (FA), e pelas adiabáticas AB, CD e EF.As taxas de expansão isotérmica VC/VB e VE/VD, são ambasiguais a r. Calcule o rendimento do ciclo e mostre que é

menor do que o rendimento de um ciclo de Carnot entre asmesmas temperaturas extremas. (Resolução)

12 – A partir dos dados fornecidos no Problema 2 do Cap. 8, calcule a entropia molar s do NaCl a baixas temperaturas, T


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a) Calcule a temperatura final do sistema. Tome 80 cal/g para o calor latente de fusão dogelo.

b) Calcule a variação de entropia do sistema. (Resolução)

17 – Um litro de água, inicialmente a 100°C, é totalmente vaporizado:

a) Em contato com um reservatório térmico a 100°C.b) Em contato com um reservatório térmico a 200°C.O calor latente de vaporização da água é de 539,6 cal/g. Calcule a variação total de entropia douniverso devida exclusivamente ao processo de vaporização, nos casos (a) e (b), e relacione osresultados com a reversibilidade ou não do processo. (Resolução)

18 – Um cilindro contendo 1 kg de He a 150 atm, em equilíbrio térmico com o ambiente a 17°C,tem um pequeno vazamento através do qual o gás escapa para a atmosfera, até que o tanque seesvazia por completo do hélio. Qual é a variação de entropia do gás hélio? Que quantidade detrabalho é desperdiçada por esse processo? (Resolução)

19 – Uma chaleira contém 1 l de água em ebulição. Despeja-se toda a água numa piscina, que está àtemperatura ambiente de 20 °C.

a) De quanto variou a entropia da água da chaleira?b) De quanto variou a entropia do universo? (Resolução)

20 – Chama-se energia livre (de Helmholtz) de um sistema a função de estado F = U – TS, onde U éa energia interna e S a entropia do sistema. Esta função desempenha um papel importante nastransformações isotérmicas, tais como as que se produzem à temperatura ambiente. Mostre que,numa transformação isotérmica:

a) Se a transformação é reversível, o trabalho W realizado pelo sistema é igual aodecréscimo de F.

b) No caso irreversível, W é menor que este decréscimo, de modo que o decréscimo de F dáa energia máxima disponível para realizar trabalho.

c) Mostre que, numa expansão livre, o decréscimo de F dá o trabalho desperdiçado.(Resolução)

Resolução

R-2)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=°=

=°=

=η

K 293C20T

K 773C500T

40,0

2

1

R

22 TQ11 TQ =

1

2

1

2I T

T1QQ1 −=−=η ⇒ ηI = 0,62


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62,0

40,0

I

R =ηη

⇒ ηR = 0,644.ηI

R-3)

a)2Q

K W = W = Q1 - Q2, onde Q1 é a quantidade de calor absorvida (que entra) pela fonte quente.

Como 1 1

2 2

Q T

Q T =

12 1

2

T Q Q

T = (*)

Substituindo (*) na expressão de K:( )

( )1 2 12

1 1 2 1

Q T T QK

W Q Q T T = =

− −

2

1 2

T K

T T =

− com T1 > T2

b) Lembrando que 2 1

1 2

11

1

T T

T T η

η = − ⇒ =

−

1 2 1

2 2

1 11 1

1 1

T T T

K T T

1 1 η

η η

− −= = − = − =

− −+

1K

η

η

−=

c)260

6 5300 260

f

I

q f

T K ,

T T = = =

− −

Portanto:K p = 0,4(6,5) = 2,6

2 f QQ

K W W

= = onde W = P.Δt = 220(15 x 60) = 1,98 x 105 J

Q2 = K.W = 2,6(1,98 x 105) ⇒ Q2 = 5,1 x 10

5 J

Q2 =m.L ⇒ m.g = (5,1 x 105)/(80 x 4,186) ⇒ m = 1,5 kg

R-8)a)

10

B1

0A r

V.TV.T

−γ−γ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ = ⇒ 1BA r 1.TT−γ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = (I)1

DD

10

C V.Tr

V.T −γ

−γ

=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⇒ 1CD r 1.TT−γ

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ = (II)Substituindo TA e TD abaixo:


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QDA = ΔUDA = n.CV.(TA - TD) ⇒ ( )CB1

VDA TT.r

1.C.nQ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =−γ

(III)

Como QDA é o calor que sai do sistema:QDA = - QDA , logo:

( BC1

VDA TT.r 1.C.nQ −⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ =

−γ

) (IV)

QBC = ΔUBC = n.CV.(TC - TB) (V)

O rendimento é dado por:

BC

DA

q

f

q

ciclo

Q

Q1

Q

Q1

Q

W−=−==η

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )BCVBCVBCBC

1

VADVDATT.C.n

TT.r

1.C.n1TT.C.n TT.C.n1QQ1 −

−−=−−−=−−=η

−γ

1r

11

−γ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=η

b) ⇒ 10r

4,1

⎭⎬⎫

=

=γ60,0

10

11

14,1

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=η−

Outro modo de resolver:

BC

W Q

η =

Caminho W ΔQ ΔUAB WAB 0 ΔUAB = - WABBC 0 QBC ΔUBC = QBC = nCV(TC - TB)CD WCD 0 ΔUCD = - WCD DA 0 QDA ΔUDA = QDA = nCV(TA - TD)

ABCDA WAB + WCD QBC + QDA 0 = - WAB - WCD + QBC + QDA

WT = QBC + QDA ( )( )

1 1 V A D BC DAT DA

BC fornecido BC BC V C B

nC T T Q QW QW

Q Q Q Q nC T T η

−+= = = = + = +

−

1 1 A D D

C B C B

T T T T

T T T T η

− −= + ≅ −

− − A

R-14)

01 0 15

15

f Tf

( )

f i gelo( ) gelo( ) gelo gelo

( )i Ti

T d ' Q dT S S S S S m.g.c m.g.c .ln

T T

°° − °

− °

⎛ ⎞Δ = − = − = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ T


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20

f

gelo F

f i agua gelo

( )i

m .Ld ' Q QS S S S S

T T T °Δ = − = − = = =∫

100

3 100 00

f Tf

( )

f i agua( ) agua( ) gelo agua gelo agua

( )i Ti

T d ' Q dT

S S S S S m .c m .c .lnT T

°

° °°

⎛ ⎞

Δ = − = − = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ T

4100

f

gelo V

f i vapor agua

( )i

m .Ld ' Q QS S S S S

T T T °Δ = − = − = = =∫

Variação de entropia do sistema:ΔS = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 +ΔS4 ΔS = 2076 cak/k = 8680 J/k

R-16) V0 = 2 l ⇒ ma = 2000 gTa = 30°C = 303 Kca = 1 cal/g°Cmg = 500 gTg = 0°C = 273 k

a)QF + Qa + Qg = 0mg.LF + ma.ca (T - Ta) + mg.ca (T - Tg) = 0T = 8°C

b)

ΔS = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3

cal/K 52,146T

L.m

T

Q

T

dQS Fg

f F

1 ==Δ

==Δ ∫ggi g

cal/K 76,150

T

dT.c.m

T

dQS

T

aa

f A

2 ===Δ ∫∫Ti a

cal/K 44,14T

dT

.c.mT

Q'd

S

T

Tag

f

i

g

3 ===Δ ∫∫ g

a

ΔS = 10,2 cal/K17) V = 1 litro ⇒ m = 1000 ga) Variação de entropia: UNIVERSO = RESERVATÓRIO + ÁGUA

u r S S S Δ = −

10001446 26

373

V V a

a

m.L .LS ,

T

Δ = = =

1446 26V r r

m.LS ,

T Δ = − = −


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Logo:ΔSu = 0 ⇒ reversível.

b)373

V a

m.LS Δ = −

473V

r

m.LS Δ = −

ΔSu = 307,26 cal/k ⇒ ΔSu > 0 ⇒ irreversível.

R-18) Dados: m = 1 kg de He; P = 150 atm; T = 17°C = 290 K; MHe = 4 g/mol.a)Volume ocupado pelo gás a 1 atm:

PV = nRT ⇒ 1.Vf = 250 . 0,082 . 290 ⇒ Vf = 5945 l Dentro do cilindro:

PV = nRT ⇒ 150 . V = 250 . 0,082 . 290 ⇒ Vi = 39,63 l Escolhe-se um caminho onde o processo seja reversível para calcular ΔS; aproveita-se do fato de Tser constante, logo:

ΔU = 0 ⇒ Q = W

f f f Vf Vf

f

f i

ii i i Vi Vi

V d ' Q d 'W P.dV n.R.T dV S S S dV n.R n.R.ln

T T T V .T V V

⎛ ⎞Δ = − = = = = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ΔS = 1,04 . 104 J/K

b) W Desperdiçado: o trabalho que deixou de ser realizado.Expansão livre: ΔU = 0; ΔQ = 0; ΔW = 0

W = ΔS.T = (1,04 . 10 4).290 ⇒ W = 3,02 . 106 J

R-19) T1 = 100°C = 373K; T2 = 20°C = 298K

a)

2

1 2

1 11

T

chal

T

d ' Q T dT S m.c. m.c.l

T T

⎛ ⎞Δ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ n T ΔSchal = - 241,4 cal/K

b) 1

2 293 pisc. reserv.

d ' Q QS S

T

−Δ = Δ = = 1∫ = 273,0 cal/KΔS = ΔSchal + ΔSreserv = 31,9 cal/K


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