resolução de rede malhada - complexa

RBRH - Revista Brasileira de Recursos Hdricos Volume 6 n.4 Out/Dez 2001, 91-108

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PNL2000 Mtodo Prtico de Dimensionamento Econmico de Redes Malhadas de Abastecimento de gua

Heber Pimentel Gomes Universidade Federal da Paraba - Departamentos de Tecnologia da Construo Civil Campus I Joo Pessoa

Av. Oceano Atlntico, 198 - CEP 58310-000 Cabedelo, PB - [email protected]

Klebber Teodomiro M. Formiga ATECEL/UFPB - Caixa Postal 505

58100-970 Campina Grande, PB - [email protected]

Recebido: 05/11/00 - reviso: 10/05/01 - aceito: 05/08/01

RESUMO Este trabalho apresenta um mtodo de dimensionamento econmico de redes malhadas de abastecimento de

gua, a partir de tcnicas de otimizao econmica. O mtodo denominado aqui de PNL2000, tem como objetivo en-contrar os dimetros das tubulaes dos trechos da rede e a cota piezomtrica de bombeamento, de modo que a soma dos custos de investimento e de operao do sistema de abastecimento de gua seja a menor possvel. A metodologia empregada est baseada no modelo matemtico da programao no linear.

A formulao do mtodo PNL2000 e a obteno dos resultados do dimensionamento, se processam com a utili-zao da ferramenta Solver da planilha Excel da Microsoft. A aplicao do mtodo foi comprovada mediante o dimensio-namento de uma rede malhada de um setor de um sistema urbano de abastecimento de gua. Os resultados do dimensionamento timo, demonstraram que todas as restries hidrulicas do sistema de abastecimento foram atendidas.

Palavras-chave: PNL2000; redes malhadas.

INTRODUO

Os sistemas de abastecimento de gua compreendem o conjunto de obras e equipamentos destinados a suprir as necessidades de consumos domstico, pblico e industrial de uma comunida-de. Esses sistemas devem fornecer gua, em quali-dade e quantidade, indistintamente s populaes com o menor dispndio possvel.

Os sistemas de abastecimento de gua po-dem ser divididos em cinco partes distintas: capta-o, aduo, tratamento, reservatrio de distribui- o e rede de distribuio. As redes de distribuio so os componentes responsveis por levar a gua ao usurio final nos sistemas de abastecimento de gua, de comunidades urbanas e rurais. Quanto disposio dos tubos, essas redes podem ser classi-ficadas em ramificadas, malhadas ou mistas.

As redes ramificadas se caracterizam por apresentarem um nico sentido para o escoamento e suas tubulaes so distribudas em forma de ramos. A principal vantagem desse tipo de rede que o seu custo de implantao menor do que o

de uma rede malhada de mesmo porte (Gouter et al., 1986). No entanto, as redes ramificadas apresen-tam inconvenientes na manuteno, visto que para se fazer um reparo em um determinado trecho, todo o ramal a jusante ficar sem gua. Dessa for-ma, o emprego das redes ramificadas tem sido des-cartado em locais onde o abastecimento de gua imprescindvel, como nos centros urbanos de m-dio e grande porte.

As redes malhadas apresentam os seus tre-chos interligados em forma de anis, ou malhas, de forma que os fluxos tm sentidos e valores vari-veis, fazendo com que o dimensionamento das tubulaes se torne mais complexo, em comparao aos efetuados para redes ramificadas.

Atualmente, as tcnicas mais utilizadas no dimensionamento da grande maioria das redes im- plantadas no Brasil so baseadas em mtodos de tentativa e erro. Esses mtodos fazem to somente o balanceamento hidrulico do sistema, ficando a parte relativa aos custos de implantao a critrio da experincia do projetista. Todavia, nos ltimos anos, o crescente avano da informtica tornou


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possvel o emprego de tcnicas, desenvolvidas nas dcadas de 60 e 70, que exigiam grande quantidade de clculos, e que eram impossveis de serem exe-cutados sem o auxlio de computadores avanados. Com o avano da microinformtica, em termos de hardware e de software, tem sido possvel o emprego de tcnicas de pesquisa operacional na resoluo de problemas de dimensionamento de redes, baseados em critrios de otimizao econmica.

As tcnicas de otimizao econmica come-aram a ser aplicadas, para o clculo de redes, no final dos anos 60. Karmeli et al. (1968) utilizaram a programao linear para encontrar o menor custo de redes ramificadas. Alperovitz e Shamir (1977) pro-puseram a utilizao dessa tcnica na minimizao dos custos em redes malhadas. Gessler e Walsky (1985) desenvolveram o mtodo WADISO, baseado na enumerao exaustiva das possveis solues. A metodologia GRANADOS, baseada em princpios de programao dinmica (Granados, 1986), foi apli-cada por Leal e Gomes (1997) na otimizao das redes malhadas. Alm dessas tcnicas, outra que tem tido destaque o Algoritmo Gentico, aplicado na resoluo de diversos problemas relacionados otimizao dos custos de implantao e tambm de operao em redes malhadas (Savic e Walters, 1997).

A metodologia utilizada no presente traba-lho foi desenvolvida por Formiga (1999), sob a ori-entao do primeiro autor deste trabalho e apresentada a seguir.

METODOLOGIA

A metodologia do PNL2000, que utiliza o modelo matemtico da programao no linear, para o dimensionamento econmico de redes ma-lhadas, se divide em duas etapas. Na primeira eta-pa, faz-se um pr-dimensionamento do sistema, no qual os dimetros e as vazes dos trechos, e a cota piezomtrica de cabeceira, so variveis a serem determinadas no processo de otimizao. Em se-guida, com os resultados obtidos no pr-dimensionamento, executa-se uma segunda etapa, na qual se realiza o ajuste da soluo inicialmente obtida. Nesta segunda etapa, o dimetro contnuo calculado inicialmente para um determinado tre-cho, desdobrado em dois dimetros comerciais, um imediatamente superior e outro imediatamente inferior, considerando como incgnitas (variveis de deciso) os comprimentos de seus sub-trechos, pertencentes ao trecho considerado. Alm dos di-metros e dos comprimentos dos tubos, as vazes

nos trechos tambm so consideradas como vari-veis a serem otimizadas, tanto na primeira como na segunda etapa do mtodo.

Para realizar a otimizao, o PNL2000 utili-za o mtodo do Gradiente Reduzido Generalizado (GRG2), que um algoritmo de programao no linear, desenvolvido por Lasdon et al. (1984). O modelo da programao no linear, a partir do GRG2, pode ser formulado e processado atravs da ferramenta Solver da planilha eletrnica Excel da Microsoft.

O dimensionamento das tubulaes de re-des malhadas pode ser efetuado considerando duas situaes. Na primeira, a cota de cabeceira tida como conhecida, sendo portanto uma constante do problema. No segundo caso, a cota piezomtrica de cabeceira que a soma da cota do terreno com a altura manomtrica - considerada como varivel a ser otimizada pelo dimensionamento. Assim, pro-cura-se minimizar a soma dos custos de instalao - tubos, peas, etc. - e de operao que represen-tado pelo custo da energia de bombeamento. A relao antagnica desses dois custos mostrada na Figura 1 (Gomes, 1999).

Os gastos com a implantao da rede, re-presentados neste caso pelas tubulaes e instala-o, so denominados gastos fixos, ou de investimento, enquanto que os gastos com a opera-o (gastos energticos) so variveis e incidem ao longo da vida til do sistema. Como esses gastos incidem em tempos diferentes, faz-se necessrio converter, financeiramente, os gastos fixos em vari-veis ou os gastos variveis em fixos. Essa ltima alternativa foi a forma adotada no presente traba-lho. Para tanto, faz-se necessrio atualizar o custo de operao (energtico), mediante a introduo na funo objetivo, de um coeficiente que transfor- me os custos anuais em custos atualizados (Go- mes, 1999).

SOLUO INICIAL (PRIMEIRA ETAPA)

Funo objetivo

A equao que representa o custo total do sistema de abastecimento, que compreende o custo de implantao da rede mais o custo de operao da estao de bombeamento, pode ser expressa por:

C (Di,Qi,H) = )D(PLm

1iii

=+ Ch H Fa (1)


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onde C (Di,Qi,H) o custo do sistema de abasteci-mento, em funo dos dimetros dos trechos Di, das vazes requeridas nos ns da rede Qi e da altu-ra de bombeamento H; Li o comprimento do tre-cho i; P (Di) a funo que relaciona o preo unitrio do tubo do trecho i com o dimetro Di; m o nmero de trechos da rede; Fa o fator, ou coefi-ciente, de atualizao do custo de operao; Ch o custo de operao da estao de bombeamento, por unidade de altura manomtrica e H a altura ma-nomtrica de bombeamento.

De acordo com conceitos bsicos de mate-mtica financeira, o coeficiente de atualizao Fa dado por:

( )

( ) ( )nnn

a i11

)i1(e1)i1(e1

F+

+-++-+

= (2)

onde i a taxa de juros anuais; e a taxa de aumen-to anual da energia; n o nmero de anos da vida til da instalao.

Em funo da equao bsica de potncia de conjuntos elevatrios, o custo energtico da es-tao de bombeamento, por altura de impulso (Ch), pode ser expresso por:

p n

Q 81,9C bh h= (3)

onde Q a vazo em m3/s; h o rendimento espera-do do conjunto motor-bomba; nb o nmero de ho-ras anuais de utilizao da estao de bombeamento; p o preo do kwh.

Existem diversos trabalhos que procuram relacionar o custo da tubulao com o seu dime-tro, atravs de uma equao ou frmula fixa. No entanto, a melhor maneira de estabelecer essa rela-o de custo atravs de programas computacio-nais de ajustes de curvas, que permitem, facilmen- te, testar vrios tipos de funes.

A Equao (1), com o critrio de custo m-nimo, representa a funo objetivo do mtodo pro-posto, cujas variveis de deciso so os dimetros contnuos Di, a altura manomtrica de bombeamen-to H, e as vazes nos trechos Qi.

Restries

A soluo tima (de custo mnimo) a ser obtida, que fornece os dimetros de todos os tre-chos da rede e a altura manomtrica da estao de

Custo

Cota de alimentao (Z)Ztimo

Ctimo

Custo Total

Custo de Energia

Custo da Rede

Figura 1. Representao da variao do custo do sistema de abastecimento com a cota de alimentao (Gomes, 1999).

bombeamento, deve satisfazer um conjunto de res-tries hidrulicas, que so inerentes ao problema fsico de redes malhadas de abastecimento:

a. Presses mnimas nos ns: As presses nos ns da rede no devem ser

inferiores s requeridas (Zk), de modo a garantir o abastecimento aos pontos de consumo:

kk

1cc ZJZ -

= (4)

onde Z a cota de alimentao na rede, que igual altura manomtrica de bombeamento H mais a cota do terreno na estao de bombeamento; Zk a cota piezomtrica requerida no n k; SJc a soma das perdas de carga nos trechos pertencentes ao percurso (artria) compreendido entre a alimenta-o e o n k.

b. Dimetros mnimos e mximos: Os dimetros Di devem ser maiores que um

dimetro mnimo (Dmin) adotado e menores que um dimetro mximo estimado (Dmax).

Dmin Di Dmax (5)

c. Conservao de energia no anel: Essa restrio deve garantir que a soma al-

gbrica das perdas de carga dos trechos de um anel seja nula.

= =

=-k kz

1i

p

1jji 0 EpJ (6)


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onde Ji a perda de carga no trecho i; zk o nmero de trechos no anel k em questo; Epj a energia de impulso aplicada na malha ou anel. Na falta de uma fonte externa dessa energia no interior do anel, o valor de SEp ser nulo; pk o nmero de fontes de energia de impulso dentro do anel k.

d. Continuidade nos ns: A soma algbrica das vazes nos ns deve

ser igual a zero, ou seja, as vazes que entram de-vem ser iguais s que saem:

nq

1jsai

k

1ientra d QQ

n

j

n

i=-

== (7)

onde Qentra (i) so as vazes dos trechos i que che-gam ao n n; Qsai (j) so as vazes dos trechos j que deixam o n n; dn a demanda concentrada nesse n; kn o nmero de trechos com vazes chegando ao n n; qn o nmero de trechos com vazes sain-do do n n.

e. Velocidades mnima e mxima admissveis: A rede deve funcionar com velocidades de

gua limitadas, de forma a se evitar a ocorrncia de golpes de arete, vibraes, como tambm o desgas-te prematuro do sistema. Algumas normas tcnicas recomendam tambm que as velocidades da gua nos trechos devem ser superiores a um mnimo adotado.

Vmn Vi Vmax (8)

onde Vi a velocidade mdia no trecho i; Vmax a velocidade mxima admissvel; Vmn a velocidade mnima recomendada.

DIMENSIONAMENTO DEFINITIVO (SEGUNDA ETAPA)

Funo objetivo

A partir dos resultados obtidos no pr-dimensionamento, executa-se a segunda etapa do PNL2000. Assim, para cada trecho, o dimetro ti-mo contnuo, obtido na primeira etapa, desdo-brado em dois dimetros comerciais, sendo um o imediatamente superior, e o outro o imediatamente inferior quele encontrado. Dessa forma, a funo objetivo a ser minimizada ser:

Fa HC)D(Pl)H,Q,l(C hm

1i

2

1jijijiij +=

= = (9)

onde lij o comprimento ocupado pelo dimetro Dj no trecho i considerado; P (Dj)i o preo unitrio do tubo de dimetro Dj no trecho i; m o nmero de trechos da rede.

A funo objetivo (9) tem como variveis de deciso os comprimentos dos sub-trechos lij e a altura de bombeamento H, sendo que as vazes nos trechos continuam sendo variveis do processo de otimizao.

Nessa etapa, as vazes poderiam ser man-tidas fixas (com os valores obtidos na primeira eta-pa), e as variveis do modelo seriam os comprimentos dos sub-trechos e a altura manomtrica de bombeamento. No entanto, a soluo assim obtida (atravs do processo de otimizao) seria uma solu-o factvel, mas seu valor superior ao timo, quando se considera as vazes como variveis de deci-so do modelo. Isso acontece devido a uma peculia-ridade do modelo matemtico da programao no linear, que permite um maior nmero de possveis solues quanto maior for o nmero de variveis de deciso.

Restries

As restries a, b, c d e e da eta-pa inicial tambm devem ser satisfeitas nesta fase. Alm dessas, a soluo encontrada deve satisfazer a mais dois grupos de restries, que so:

f. Comprimento dos sub-trechos:

=

=2

1jiij Ll (10)

g. No negatividade dos comprimentos dos sub-trechos:

lij 0 (11)

Na resposta definitiva do dimensionamen-to timo dever haver algum ou alguns trechos com tubulaes de dois dimetros comerciais dis-tintos, sendo que o de dimetro maior ocupar o sub-trecho de montante (considerando o sentido do fluxo de gua estabelecido pela vazo) e o menor o sub-trecho de jusante.


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EXEMPLO DE APLICAO DO MTODO

Enunciado do problema

O exemplo escolhido corresponde ao do sistema de abastecimento de gua de um grande setor de um bairro da cidade de Joo Pessoa, proje-tado pela Companhia de abastecimento dgua da Paraba - CAGEPA, em 1982 (CAGEPA, 1982). A rede de abastecimento do Grande Setor composto por dois anis, alimentados por um reservatrio elevado, conforme mostra o esquema apresentado na Figura 2. Pretende-se dimensionar neste exem-plo, com o menor custo possvel, todos os trechos da rede e a altura do reservatrio elevado, levando-se em considerao os preos de implantao das tubulaes e o custo de operao (energtico) do conjunto motor-bomba, que impulsionar a gua para o reservatrio. O nvel da gua de captao (poo de suco) est na cota 30 (em metros), que coincide com a cota altimtrica do terreno.

A Tabela 1 apresenta as demandas e as co-tas altimtricas do terreno nos ns dos anis em questo, enquanto que a Tabela 2 fornece os dados referentes aos comprimentos dos trechos dos anis.

A presso mnima imposta aos ns do Grande Setor de 25 mca, e as velocidades mxi-mas e mnimas admitidas nos trechos da rede so de 3,0 m/s e 0,2 m/s, respectivamente.

Na Figura 2 se encontram tambm os sen-tidos de escoamento admitidos para as vazes e a numerao dos ns e dos trechos da rede.

O material da tubulao usada no sistema de ferro dctil para tubos de dimetros superiores a 300 mm e de PVC para dimetros situados entre 100 e 300 mm. Os tubos de PVC rgido, so do tipo DEFoFo (dimetros externos idnticos aos de ferro fundido), fabricados de acordo com a norma NBR 7665 da ABNT, dimensionados para trabalhar com gua a 20oC e presses de servio mximas de 1 MPa (100 mca), incluindo as variaes dinmicas. Os tubos de ferro dctil so da Classe K-7, cujas presses mximas de servio so de 1,9 MPa para o dimetro de 350 mm e de 1,8 MPa para os dime-tros entre 400 e 600 mm. Os coeficientes de rugosi-dade C, da frmula de Hazen-Williams, que sero utilizados nos clculos das perdas de carga, so de 145, para os tubos de PVC, e de 130 para os de ferro dctil. A Tabela 3 fornece os preos unit-rios de implantao dos tubos (em Reais por metro) e os dimetros internos, em funo dos seus dime-tros nominais.

Tabela 1. Vazes demandadas e cotas dos ns.

N Vazo (l/s) Cota (m)

1 0,00 6,0 2 47,78 5,5 3 80,32 5,5 4 208,60 6,0 5 43,44 4,5 6 40,29 4,0

Tabela 2. Comprimentos dos trechos.

Trecho Comprimento (m)

1 2.540 2 1.230 3 1.430 4 1.300 5 1.490 6 1.210 7 1.460 8 1.190

Tabela 3. Preo de implantao dos tubos (em Reais por metro).

Dimetro nominal

(mm)

Material do tubo

Dimetro interno (mm)

Custo de implantao

(R$/m)

100 PVC 108,4 32,80 150 156,4 43,41 200 204,2 59,24 250 252,0 78,52 300 299,8 103,12 350 FoFo 381,0 225,82 400 432,0 267,66 450 483,0 302,63 500 535,0 349,29 600 638,0 433,37

1

ntrechosentido de fluxo

+

+

Anel 1

Anel 25

11

6 8

7

5

2

3

4

6

4

32

R

Figura 2. Esquema do Grande Setor.


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O dimensionamento ser efetuado conside-rando as condies de contorno bem estabelecidas, com relao ao fornecimento da gua no reservat-rio de alimentao. A altura manomtrica, ou altura do reservatrio elevado, ser considerada varivel de deciso, com o propsito de se otimizar tambm a altura do reservatrio em relao ao nvel do ter-reno.

No caso do dimensionamento econmico com o nvel de gua do reservatrio a ser determi-nado, faz-se necessrio conhecer os dados sobre o bombeamento do sistema. Os custos e regime do bombeamento utilizados foram:

nmero de horas de bombeamento dirio = 20;

rendimento esperado do conjunto motor-bomba = 75%;

tempo de vida til do projeto = 20 anos; taxa de juro anual = 12%; taxa de aumento anual da energia = 6%; e custo do kwh (incluindo a tarifa de deman-

da) = R$ 0,071.

Resoluo do exemplo

Para as formulaes das funes objetivo faz-se necessrio determinar inicialmente:

a equao que relaciona a variao do preo da tubulao com o dimetro;

o custo unitrio de operao da estao e-levatria;

o fator de atualizao Fa.

A equao que relaciona o custo de implan-tao da tubulao P (D), com o seu dimetro D, pode ser obtida atravs de um ajuste de curva (ver Figura 3) executado pela ferramenta linha de ten-dncia da planilha Excel. A equao obtida, a partir dos dados da Tabela 3 (coluna 6 versus coluna 3), foi:

( ) 6165,1D0129,0DP = (12)

O custo unitrio de operao da estao e-levatria pode ser determinado atravs da Equa-o (3), ou seja:

0,75

071,0365204204,081,9Ch =

=

2.850,04 R$/m/ano

Custo x Dimetroy = 0,0129x1,6165

R2 = 0,9678

0,0

100,0

200,0

300,0

400,0

500,0

0,0 100,0 200,0 300,0 400,0 500,0 600,0 700,0

Dimetro D (mm)

Cus

to P

(R$/

m)

Figura 3. Curva de ajuste do custo de implantao das tubulaes versus dimetro do tubo.

Para uma taxa de juros anuais de 12%, taxa de aumento da energia de 6%, e vida til das insta-laes de 20 anos, o coeficiente de atualizao ser (ver Equao 2):

( )( ) ( )

13,1112,01

1)12,01(06,01)12,01(06,01F 20

2020

a =+

+-++-+

=

ETAPA 1

Funo objetivo da etapa 1

A funo objetivo correspondente ao custo total atualizado do sistema de abastecimento, ser:

C (Di,Qi,H) = [2.540 P (D1) + 1.230 P (D2) + 1.430 P (D3) + 1.300 P (D4) + 1.490 P (D5) + 1.210 P (D6) +1.460 P (D7) + 1.190 P (D8)] + (2.850,04 11,13 H) (13)

Substituindo P (Di) pela Expresso (12) tem-se:

C (Di,Qi,H) = [2.540 0,0129 (D1)1,6165 + 1.230 0,0129 (D2)1,6165 + 1.430 0,0129 (D3)1,6165 + 1.300 0,0129 (D4)1,6165 + 1.490 0,0129 (D5)1,6165 + 1.210 0,0129 (D6)1,6165 + 1.460 0,0129 (D7)1,6165 + 1.190 0,0129 (D8)1,6165] + (2.850,04 11,13 H) (13a)

Restries da etapa 1

a. Presso mnima: A restrio de presso mnima impe que

em todos os ns da rede a presso disponvel seja maior ou igual a 25 mca. Ou seja, para um determi-nado n da rede, a cota piezomtrica no reservat-


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rio (em metros), menos as perdas de carga dos tre-chos situados em srie, num percurso entre a ori-gem e o n considerado (em metros), deve ser maior ou igual a 25 mca, mais a cota topogrfica do n (em metros).

A cota piezomtrica do reservatrio Z do Grande Setor igual a altura manomtrica H a ser determinada, mais a cota do terreno na origem, que de 30 metros, ou seja:

Z = H + K (14)

Z = H + 30 (14a)

A equao de perda de carga total (J), ao longo do conduto, a ser utilizada neste exemplo, ser a de Hazen-Williams:

87,4852,1

DL

CQ 66,10J

= (15)

A forma mais precisa para o clculo das perdas de carga contnuas nas tubulaes com o emprego da frmula Universal. No entanto, optou-se pela utilizao da equao de Hazen-Williams pelos motivos apresentados a seguir. Em primeiro lugar, os resultados obtidos neste trabalho, atravs do dimensionamento otimizado, sero comparados com os resultados obtidos no dimensionamento original do Grande Anel (CAGEPA, 1982), cujos clculos das perdas de carga contnuas foram exe-cutados com o uso da frmula de Hazen-Williams, com os valores do coeficiente de rugosidade C iguais a 130 e 145, para tubos de ferro fundido e PVC, respectivamente. Em segundo lugar, o mto-do de otimizao apresentado requer a realizao, de forma iterativa, de centenas de clculos da perda de carga contnua, em funo das variveis de deci-so do modelo (vazo e dimetro). Nesse caso, a ferramenta Solver do Excel no seria operativa para a obteno da soluo tima, com o emprego da frmula Universal, mesmo para redes de pequeno porte. Pode-se acrescentar tambm que em projetos de redes de abastecimento pressurizadas, a preci-so que se pode ganhar com o emprego da frmula Universal ser diluda com a impreciso na obten-o da rugosidade dos tubos, j que no se pode garantir uma adequada uniformidade e preciso de fabricao das paredes internas dos diferentes tu-bos disponveis no mercado. Acrescenta-se tambm que no clculo das perdas totais nas redes de abas-tecimento de gua, existem ainda as imprecises na determinao das perdas de carga localizadas das

peas especiais, como tambm as imprecises nas perdas de energia devido s diferenas de cotas altimtricas, quando do assentamento das tubula-es enterradas.

Ao todo, sero seis equaes de restrio de presso, sendo uma para cada n. Para qualquer n da rede, a queda de presso entre o reservatrio de alimentao e o n considerado ser a mesma, in-dependente do percurso escolhido entre a alimen-tao e o n. No caso do n 4, por exemplo, pode-se escolher qualquer caminho entre o reservatrio elevado e o n (trechos 1, 2, 3 e 4; 1, 6, 7 e 8 ou 1 e 5). conveniente escolher o caminho mais curto a fim de diminuir o tamanho da equao de restrio. No caso do n 4, adotou-se o caminho atravs dos trechos 1 e 5. Assim, a restrio de presso mnima no n 4 ser:

Z - (J1 + J5) (25 + 6,0) (16)

Introduzindo as expresses de perda de carga tem-se:

(H+30) - 87,41

852,1

1

1

D540.2

CQ

66,10

-

87,45

852,1

5

5

D490.1

CQ

66,10

(25+6) (16a)

As outras equaes de restrio de presso mnima sero:

N 1: Z - (J1) (25 + 6,0) (17)

N 2: Z - (J1 + J2) (25 + 5,5) (18)

N 3: Z - (J1 + J2 + J3) (25 + 5,5) (19)

N 5: Z - (J1 + J6) (25 + 4,5) (20)

N 6: Z - (J1 + J6 + J7) (25 + 4,0) (21)

b. Restrio de dimetros: Todos os dimetros devem ser maiores do

que 108,4 mm e menores que 638,0 mm, que a faixa de dimetros disponvel para o projeto. Como so 8 trechos e cada trecho possui duas restries, tem-se 16 restries de dimetros:

D1 108,4; ... D8 108,4 (22)

D1 638,0; ... D8 638,0 (23)


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c. Conservao de energia nos anis: A rede composta por dois anis, havendo

portanto duas equaes de restrio de conservao de energia. Sero consideradas como positivas as perdas em que o sentido da vazo o mesmo que o arbitrado para o anel (no caso contrrio as perdas sero negativas). Dessa forma tem-se:

Anel 1: (J5 - J2 - J3 - J4) = 0 (24)

Anel 2: (J6+ J7 + J8 - J5) = 0 (25)

d. Continuidade nos ns: Ao todo so 6 ns, havendo portanto 6 e-

quaes de restrio desse tipo. Tomando-se as vazes em l/s, as equaes de restrio sero:

Para o n 1, que no possui demanda:

(Q1 - Q2 Q5 Q6) = 0 (26)

Para o n 2, que possui uma demanda de 47,78 l/s:

(Q2 - Q3) = 47,78 (27)

Para o n 3:

(Q3 - Q4) = 80,32 (28)

Para o n 4:

(Q4 + Q5 + Q8) = 208,6 (29)

Para o n 5:

(Q6 - Q7) = 43,44 (30)

Para o n 6:

(Q7 - Q8) = 40,29 (31)

e. Velocidades mximas e mnimas adotadas:

V1 0,2 m/s; ... V8 0,2 m/s (32)

V1 3,0 m/s; ... V8 3,0 m/s (33)

Resoluo do modelo atravs da ferramenta Solver da planilha Excel

A obteno do dimensionamento timo de redes de abastecimento, atravs do modelo da pro-

gramao no linear apresentado, pode ser resolvi-do com o emprego de aplicativos informticos de computao numrica, tais como o MATLAB, GAMES, MINUS, etc. No entanto, optou-se neste trabalho pela utilizao da ferramenta Solver, do aplicativo Excel da Microsoft, pelas facilidades de edio das inmeras equaes requeridas pelo mo-delo. A versatilidade que a planilha Excel possui de editar operaes e formulaes matemticas, proporciona ao usurio rapidez e facilidade na edio de problemas numricos. Existe ainda a vantagem do projetista poder visualizar, em uma planilha, a simulao do comportamento hidrulico de uma rede pressurizada de abastecimento, sub-metida a diferentes condies de projeto ou de operao.

Edio da planilha da etapa 1

Montadas as equaes que envolvem o problema, pode-se edit-las na planilha eletrnica do Excel, a fim de se obter o dimensionamento otimizado da rede. Na planilha mostrada na Figu-ra 4 esto preenchidos todos os dados necessrios ao processo de otimizao da primeira etapa do dimensionamento do Grande Setor. Como pode ser observado, para melhor visualizao dos resulta-dos, essa planilha est dividida em trs partes: Pla-nilha da funo objetivo, onde se localizam os dados sobre os trechos da rede, as equaes referentes s perdas de carga, custo dos tubos, etc.; Planilha das equaes de restrio, onde se localizam as clulas que contm os resultados derivados das equaes de restrio e Planilha dos custos conjuntos, onde so determinados os custos da energia capitalizada, e o custo total do sistema de abastecimento, a ser mi-nimizado.

O significado das colunas da planilha (Fi-gura 4) so:

Coluna B: Nmero do trecho (dados inseri-dos).

Coluna C: Vazo no trecho. Dados inicial-mente atribudos e que so variveis a serem ajus-tadas hidraulicamente no processo de otimizao. O conjunto de dados de vazo deve ser atribudo em funo das demandas dos ns da rede, garan-tindo-se que a vazo no trecho de origem deve ser igual soma de todas as demandas da rede.

Para se atribuir uma soluo inicial de va-zes nos trechos da rede, pode-se aplicar a seguinte regra: Parte-se de um n extremo (por exemplo o


99

A B C D E F G H I J

Trecho Vazo Dimetro Coef. Comp. Perdas Custo unit. Custo total Vel.(l/s) (mm) (m) (mca) (R$/m) (R$) (m/s)

5 1 420,43 731,8 130 2.540 3,03 550,7 1.398.767,3 1,006 2 188,10 489,5 130 1.230 2,34 287,5 353.582,8 1,007 3 140,32 422,8 130 1.430 3,23 226,8 324.382,0 1,008 4 60,00 276,5 145 1.300 3,94 114,2 148.403,9 1,009 5 85,00 329,1 130 1.490 4,51 151,3 225.398,2 1,00

10 6 147,33 433,2 130 1.210 2,66 236,0 285.507,8 1,0011 7 103,89 363,8 130 1.460 3,93 177,9 259.752,6 1,0012 8 63,60 284,0 145 1.190 3,52 119,2 141.854,4 1,0013 24,0 Custo da rede (R$) 3.137.649,014 Piez de orig.(mca) 54,01516 Restries17 N Alt. Piez. Demanda Cota P. Disp. Eq. Eq. cons. 18 (m) (l/s) (m) (mca) Cont. de energia19 1 50,97 0,00 6,0 44,97 0,00 -5,00 Anel120 2 48,63 47,78 5,5 43,13 0,00 5,60 Anel221 3 45,40 80,32 5,5 39,90 0,0022 4 46,46 208,60 6,0 40,46 0,0023 5 48,32 43,44 4,5 43,82 0,0024 6 44,39 40,29 4,0 40,39 0,002526 Custos de Elevao e Distribuio27 Cota do N de Custo do Rendim. Potncia C. anual Coef. Custo ener. Custo total28 terreno horas kwh do requerida da energia de atual. atualizado do sistema 29 (m) (R$) bombea. (kw) (R$) "Fa" (R$) (R$)30 30,0 7300 0,071 75% 131,98 68.405,95 11,13 761.358,25 3.899.007,29

Figura 4. Dimensionamento do Grande Setor primeira etapa soluo inicial.

n 4) e, respeitando-se o princpio de conservao de massa nos ns e os sentidos das vazes inicial-mente arbitrados, vai-se somando, de jusante para montante, as demandas dos ns da rede com as vazes dos trechos de jusante, at ser alcanada a descarga do trecho de origem. A vazo do trecho de origem ser, obviamente, a descarga total de-mandada pela rede.

Coluna D: Dimetro a ser utilizado no tre-cho (varivel de deciso a ser otimizada). Inicial-mente esses dados devem ser atribudos para fazerem parte, juntamente com as vazes, da solu-o inicial do problema. Uma forma de se atribuir valores iniciais para os dimetros pode ser median-te a admisso, por exemplo, de uma velocidade mdia de escoamento de 1 m/s. Dessa forma os valores dos dimetros iniciais sero determinados

atravs da equao da continuidade, e dos valores das vazes iniciais j definidos.

Na clula $D$13 se encontra a altura ma-nomtrica de bombeamento a ser otimizada, cujo valor adotado para essa varivel, na soluo inicial, foi de 24 metros de coluna de gua.

Na clula $D$14 tem-se a cota piezomtrica da alimentao da rede: = 30+D13

Coluna E: Coeficiente de Hazen-Williams. Para dimetros menores do que 300 mm (tubo de PVC), o coeficiente adotado foi de 145, e para iguais ou maiores do que 300 mm (tubo de ferro dctil), o coeficiente foi de 130. Esses dados so inseridos na planilha atravs do condicionante SE. A clula E5 ser: = SE (D5 < = 300;145;130). As clulas E6, E7,..., E12 so preenchidas automaticamente, atravs da frmula j definida para a clula E5.


100

Coluna F: Comprimentos dos trechos (valo-res atribudos segundo os dados do projeto ver Tabela 2);

Coluna G: Perda de carga no trecho. Se a vazo for negativa, o sentido arbitrado inicialmente para essa varivel ser o contrrio e a perda no trecho ser computada com o sinal negativo. Para que a perda possa ser calculada com o valor nega-tivo da vazo, na equao da perda deve aparecer o sinal negativo antes do valor de Q, para que seja evitada uma indeterminao matemtica (valor negativo elevado a uma potncia). A clula G5 ser: = SE (C5 > = 0;10,66*F5* ((C5/1000)/E5) ^1,852/ ((D5/1000)^4,87);-10,66*F5* ((-C5/1000)/E5 )^1,852 /((D5/1000)^4,87)).

Coluna H: Custo unitrio, obtido a partir da equao que relaciona preo do tubo com o di-metro (Equao 12). A clula H5 se-r: = 0,0129* (D5^1,6165).

Coluna I: Custo total do trecho, que igual ao custo unitrio do tubo do dimetro utilizado, vezes o comprimento do trecho. A clula I5 se-r: = H5*F5.

Na clula $I$13 se encontra o custo total da rede, que igual ao somatrio das clulas $I$5:$I$12.

Coluna J: Velocidade - igual velocidade mdia na seo do tubo em um determinado tre-cho. A clula J5 ser:

= (4/3,14)* (C5/1000)/((D5/1000)^2)

Na parte da planilha referente s restries (ainda na Figura 4) os significados das colunas so:

Coluna B: Nmero do n (valores atribu-dos de projeto).

Coluna C: Cota piezomtrica disponvel no n, obtida a partir das equaes de restrio do tipo 1.

A clula C19 ser: = D14-G5; A clula C20: = C19-G6; A clula C21: = C20-G7; A clula C22: = C19-G9; A clula C23: = C19-G10; A clula C24: = C23-G11. Coluna D: Demanda no n (valores atribu-

dos ver Tabela 1). Coluna E: Cota altimtrica do n (valores

atribudos ver Tabela 1). Coluna F: Presso disponvel no n, que

igual altura piezomtrica menos a cota do terreno. A clula F19 ser: = C19-E19.

Coluna G: Equao da continuidade, obtida a partir das equaes de restrio do tipo d (E-quaes 26, ...,31).

A clula G19 ser: = C5-C6-C9-C10; G20 ser: = C6-C7-D20; G21 ser: = C7-C8-D21; G22 ser: = C8+C12+C9-D22; G23 ser: = C10-C11-D23; G24 ser: = C11-C12-D24. Coluna H: Conservao de energia (equa-

o de restrio do tipo c Equaes 24 e 25). A clula H19 ser: = G9-G6-G7-G8. A clula H20 ser: = G10+G11+G12-G9. Na parte da planilha referente aos custos

(ainda na Figura 4) os significados das colunas so: Coluna B: Cota do terreno da cabeceira da

rede (valor atribudo de projeto). Coluna C: Nmero anual de horas de bom-

beamento (valor atribudo de projeto). Coluna D: Custo do kwh (valor atribudo

de projeto). Coluna E: Rendimento do conjunto motor-

bomba (valor atribudo de projeto). Coluna F: Potncia do conjunto motor-

bomba: = (9,81*D13*(C5/1000))/E30. Coluna G: Custo anual com energi-

a: = F30*D30*C30. Coluna H: Coeficiente de atualizao da

energia (valor calculado atravs da Equao 2). Coluna I: Custo atualizado da energi-

a: = H30*G30. Coluna J: Custo total. Essa clula a que se-

r minimizada no processo de otimizao, atravs da ferramenta Solver da planilha Excel: = I30+I13.

Processo de otimizao e resultados da etapa 1

Depois de construda a planilha, inicia-se o processo de otimizao da rede, atravs da ferra-menta Solver do Excel. Primeiramente deve-se efe-tuar o preenchimento dos parmetros, necessrios para a otimizao, informando ao programa a clula em que se encontra a funo objetivo (nesse caso a clula $J$30), as variveis de deciso (clulas $C$5:$D$13) e as restries ao problema.

As restries a serem inseridas na planilha so:

$D$5:$D$12 < = 638 $D$5:$D$12 > = 108,4


101

Figura 5. Entrada de parmetros da ferramenta Solver do Excel da primeira etapa do dimensionamento do Grande Setor.

$F$19:$F$24 > = 25 $G$19:$G$24 = 0 $H$19:$H$20 = 0 $J$5:$J$12 > = 0,2 $J$5:$J$12 < = 3,0

Como o problema se constitui em minimizar o custo total do sistema de abastecimento, a clula de destino dever ser igual a Min no quadro de par-metros do Solver. Os parmetros do Solver j preen-chidos podem ser visualizados atravs da Figura 5.

O problema do dimensionamento timo resolvido aps pressionando-se resolver no qua-dro de parmetros da ferramenta Solver.

A fim de assegurar que a soluo encontra-da a tima, recomendvel repetir o processo de otimizao mais de uma vez (com valores iniciais distintos das variveis de deciso), at se chegar concluso que o resultado a soluo tima procu-rada. O resultado, obtido aps as iteraes pertinen-tes, pode ser visto na planilha mostrada na Figura 6, onde o custo mnimo atualizado do sistema (rede mais energia de bombeamento) de R$ 2.694.039,72.

Nas clulas D5:D12, da planilha (Figura 6), esto os dimetros timos encontrados na primeira etapa do processo de otimizao. Na clula D13 est a altura manomtrica de bombeamento tima, cujo valor encontrado foi de 21,7 metros. Os valores timos das demais variveis de deciso (vazo e dimetro) encontram-se nas colunas C e D da plani-lha (Figura 6).

ETAPA 2

De posse dos resultados dos dimetros, va-zes e altura manomtrica obtidos na etapa 1 do dimensionamento, realiza-se novo processo de otimizao, considerando como variveis a vazo, dois comprimentos para cada trecho e a altura de bombeamento. Para cada trecho sero adotados dois dimetros comerciais, um imediatamente su-perior e outro imediatamente inferior ao obtido na primeira etapa. Antes de estabelecer a funo objetivo, preciso definir os dimetros comercial-mente disponveis para a soluo do problema (ver Tabela 4).

Funo objetivo da etapa 2

O custo total do sistema de abastecimento (rede mais energia de bombeamento), que a fun-o objetivo a ser minimizada, ser, conforme as definies apresentadas pela Equao (9):

C (lij,Qi,H) = [(l1,535 x P (535) + l1,638 x P (638)) + (l2,299 x P (299,8) + l2,381 x P (381)) + (l3,299 x P (299,8) + l3,381 x P (381)) + (l4,108 x P (108,4) + l4,156 x P (156,4)) + (l5,381 x P (381) + l5,432 x P (432)) + (l6,299 x P (299,8) + l6,381 x P (381)) + (l7,204 x P (204,2) + l7,252 x P (252)+ (l8,108 x P (108,4) + l8,156 x P (156,4))] + (2.850,04 x 11,13 H) (34)


102

A B C D E F G H I JTrecho Vazo Dimetro Coef. Comp. Perdas Custo unit. Custo total Vel.

(l/s) (mm) (m) (mca) (R$/m) (R$) (m/s)5 1 420,43 574,0 130 2.540 9,88 371,8 944.414,7 1,636 2 129,94 359,9 130 1.230 5,28 174,8 215.048,1 1,287 3 82,16 315,7 130 1.430 4,97 141,5 202.280,4 1,058 4 1,84 108,4 145 1.300 0,60 25,1 32.670,7 0,209 5 204,91 384,0 130 1.490 10,85 194,1 289.241,4 1,7710 6 85,57 301,9 130 1.210 5,64 131,6 159.252,3 1,2011 7 42,13 239,0 145 1.460 4,67 90,2 131.735,4 0,9412 8 1,84 108,4 145 1.190 0,55 25,1 29.906,2 0,2013 21,7 Custo da rede (R$) 2.004.549,214 Piez de orig.(mca) 51,71516 Restries17 N Alt. Piez. Demanda Cota P. Disp. Eq. Eq. cons. 18 (m) (l/s) (m) (mca) Cont. de energia19 1 41,85 0,00 6,0 35,85 0,00 0,00 Anel120 2 36,57 47,78 5,5 31,07 0,00 0,00 Anel221 3 31,60 80,32 5,5 26,10 0,0022 4 31,00 208,60 6,0 25,00 0,0023 5 36,21 43,44 4,5 31,71 0,0024 6 31,55 40,29 4,0 27,55 0,002526 Custo conjunto do Grande Anel27 Cota do N de Custo do Rendim Potncia C. anual Coef. Custo ener. Custo total28 terreno horas kwh do requerida da energia de atual. atualizado do sistema 29 (m) (R$) bombea. (kw) (R$) "Fa" (R$) (R$)30 30,0 7300 0,071 75% 119,52 61.948,83 11,13 689.490,49 2.694.039,72

Figura 6. Dimensionamento do Grande Setor primeira etapa soluo otimizada.

Introduzindo os valores dos preos dos tu-bos (Tabela 3) tem-se:

C (lij,Qi,H) = [(349,29 x l1,535 + 433,37 x l1,638) + (103,12 x l2,299 + 225,82 x l2,381) + (103,12 x l3,299 + 225,82 x l3,381) + (32,80 x l4,108 + 43,41 x l4,156) + (225,82 x l5,381 + 267,66 x l5,432) + (103,12 x l6,299 + 225,82 x l6,381) + (59,24 x l7,204 + 78,52 x l7,252) + (32,80 x l8,108 + 43,41 x l8,156)] + (2.850,04 11,13 H) (35)

Restries da etapa 2

a. Presso mnima nos ns; Assim como executado na etapa 1, a cota

piezomtrica disponvel em cada n da rede ser

igual cota piezomtrica de origem, menos as per-das de carga de um percurso da alimentao ao n considerado.

As equaes de restrio sero:

N 1: Z - (J1,535 + J1,638) (25 + 6,0) (36)

N 2: Z - (J1,535 + J1,638 + J2,299 + J2,381) (25 + 5,5) (37)

N 3: Z - (J1,535 + J1,638 + J2,299 + J2,381 + J3,299 + J3,381) (25 + 5,5) (38)

N 4: Z - (J1,535+J1,638 + J5,381+J5,432) (25 + 6,0) (39)

N 5: Z - (J1,535 + J1,638 + J6,299 + J6,381) (25 + 4,5) (40)


103

N 6: Z - (J1,535+ J1,638 + J6,299 + J6,381 + J7,204 + J7,252) (25 + 4,0) (41)

b. Conservao de energia (Equaes 24 e 25); c. Continuidade nos ns (Equaes 26 a 31); d. Comprimentos dos trechos:

A soma dos comprimentos dos sub-trechos de um trecho deve ser igual ao comprimento do trecho considerado. Sendo o nmero de trechos igual a 8, devem ser consideradas oito equaes de restrio:

Trecho 1: l1,535 + l1,638 = 2.540 (42)

Trecho 2: l2,299 + l2,381 = 1.230 (43)

Trecho 3: l3,299 + l3,381 = 1.430 (44)

Trecho 4: l4,108 + l4,156 = 1.300 (45)

Trecho 5: l5,381 + l5,432 = 1.490 (46)

Trecho 6: l6,299 + l6,381 = 1.210 (47)

Trecho 7: l7,204 + l7,252 = 1.460 (48)

Trecho 8: l8,108 + l8,156 = 1.190 (49)

e. No negatividade dos comprimentos: Todos os comprimentos devem ser maiores

ou iguais a zero. Ao todo so 16 sub-trechos, impli-cando assim em 16 equaes de no negatividade para o problema.

l1,535 0; l1,638 0; ...; l8,156 0 (50)

f. Velocidade mximas e mnimas:

V1,1 0,2 m/s; V1,2 0,2 m/s; . V8,2 0,2 m/s (51)

V1,1 3,0 m/s; V1,2 3,0 m/s; . V8,2 3,0 m/s (52)

Edio da planilha da etapa 2

Terminada a elaborao das equaes que envolvem o problema, deve-se construir a planilha para proceder otimizao definitiva do Grande Setor.

A planilha vista na Figura 7 apresenta o clculo hidrulico, as restries e os custos do sis-tema de abastecimento (rede mais energia) do Grande Setor, correspondente soluo inicial da etapa 2 do processo de otimizao.

Tabela 4. Dimetros comerciais a serem utilizados na segunda etapa do dimensionamento.

Trecho Dimetro encontrado (mm)

Dimetros comerciais internos (mm)

1 574,0 535,0 e 638,0 2 359,9 299,8 e 381,0 3 315,7 299,8 e 381,0 4 108,4 108,4 e 156,4 5 384,0 381,0 e 432,0 6 301,9 299,8 e 381,0 7 239,0 204,2 e 252,0 8 108,4 108,4 e 156,4

Os significados das colunas da planilha (Fi-gura 7), na parte referente ao clculo hidrulico, so:

Coluna B: Nmero do trecho (valores atri-budos de acordo com o projeto).

Coluna C: Vazo no trecho. Valores obtidos na primeira etapa do processo de otimizao (vari-vel a ser ainda otimizada). As clulas $C$5:$C$6 so idnticas clula $F$21, que corresponde vazo do trecho 1, obtida na soluo otimizada da planilha vista na Figura 6, as clulas $C$7:$C$8 so idnticas clula $F$22, que corresponde vazo do trecho 2 obtida na soluo otimizada da planilha mostrada na Figura 6, e assim sucessivamente.

Coluna D: Dimetros a serem utilizados nos trechos (valores extrados da Tabela 4).

Coluna E: Custo de implantao do tubo, por unidade de comprimento (valores extrados da Tabela 3).

Coluna F: Comprimentos dos trechos (vari-vel de deciso). Valores inicialmente atribudos, obedecendo s equaes de restrio (42), ...., (49). Nas clulas $F$21:$F$28 esto os valores das vazes obtidas na soluo otimizada da etapa 1 (ver Figu-ra 6). Na clula $F$29 se encontra o valor da altura manomtrica do bombeamento obtida na soluo otimizada da etapa 1 (ver Figura 6), que tambm ser varivel de deciso na segunda etapa do PNL2000. A utilizao das clulas, com os valores das vazes idnticos aos valores da coluna C, faz parte de um artifcio, com o intuito de facilitar a obteno dos clculos otimizados, atravs da fer-ramenta Solver. Assim, todas as variveis de deci-so vo estar agrupadas em uma nica coluna, facilitando a obteno dos clculos otimizados a-travs da ferramenta Solver.

Coluna G: Coeficiente de Hazen-Williams (valores atribudos em funo dos dimetros da coluna D).


104

C lc u lo H id r u licoA B C D E F G H I J K

T rec h o V a z o D i m . P re o C o m p . C o ef. P e rd a s P e rd a s n o P re o to ta l V e lo c . ( l/s ) (m m ) (R $ /m ) (m ) (m ca ) trech o (m c a ) (R $ ) (m /s )

5 1 4 2 0 ,4 3 5 3 5 ,0 3 4 9 ,2 9 1 5 4 0 1 3 0 8 ,4 4 1 0 ,7 6 5 3 7 .9 0 6 ,6 1 ,8 76 4 2 0 ,4 3 6 3 8 ,0 4 3 3 ,3 7 1 0 0 0 1 3 0 2 ,3 2 4 3 3 .3 7 0 ,0 1 ,3 17 2 1 2 9 ,9 4 2 9 9 ,8 1 0 3 ,1 2 2 3 0 1 4 5 1 ,9 6 5 ,2 2 2 3 .7 1 7 ,6 1 ,8 48 1 2 9 ,9 4 3 8 1 ,0 2 2 5 ,8 2 1 0 0 0 1 3 0 3 ,2 5 2 2 5 .8 2 0 ,0 1 ,1 49 3 8 2 ,1 6 2 9 9 ,8 1 0 3 ,1 2 1 0 0 0 1 4 5 3 ,6 5 4 ,2 5 1 0 3 .1 2 0 ,0 1 ,1 6

1 0 8 2 ,1 6 3 8 1 ,0 2 2 5 ,8 2 4 3 0 1 3 0 0 ,6 0 9 7 .1 0 2 ,6 0 ,7 21 1 4 1 ,8 4 1 0 8 ,4 3 2 ,8 0 1 3 0 0 1 4 5 0 ,6 0 0 ,6 0 4 2 .6 4 0 ,0 0 ,2 01 2 1 ,8 4 1 5 6 ,4 4 3 ,4 1 0 1 4 5 0 ,0 0 0 ,0 1 ,0 01 3 5 2 0 4 ,9 1 3 8 1 ,0 2 2 5 ,8 2 1 4 0 0 1 3 0 1 0 ,5 9 1 0 ,9 6 3 1 6 .1 4 8 ,0 1 ,8 01 4 2 0 4 ,9 1 4 3 2 ,0 2 6 7 ,6 6 9 0 1 3 0 0 ,3 7 2 4 .0 8 9 ,4 1 ,4 01 5 6 8 5 ,5 7 2 9 9 ,8 1 0 3 ,1 2 1 0 0 0 1 4 5 3 ,9 4 4 ,2 5 1 0 3 .1 2 0 ,0 1 ,2 11 6 8 5 ,5 7 3 8 1 ,0 2 2 5 ,8 2 2 1 0 1 3 0 0 ,3 2 4 7 .4 2 2 ,2 0 ,7 51 7 7 4 2 ,1 3 2 0 4 ,2 5 9 ,2 4 7 0 0 1 4 5 4 ,8 2 6 ,7 0 4 1 .4 6 8 ,0 1 ,2 91 8 4 2 ,1 3 2 5 2 ,0 7 8 ,5 2 7 6 0 1 4 5 1 ,8 8 5 9 .6 7 5 ,2 0 ,8 41 9 8 1 ,8 4 1 0 8 ,4 3 2 ,8 0 1 1 9 0 1 4 5 0 ,5 5 0 ,5 5 3 9 .0 3 2 ,0 0 ,2 02 0 1 ,8 4 1 5 6 ,4 4 3 ,4 1 0 1 4 5 0 ,0 0 0 ,0 1 ,0 02 1 4 2 0 ,4 3 C u s to to ta l d a red e (R $ ) 2 .0 9 4 .6 3 1 ,62 2 1 2 9 ,9 42 3 8 2 ,1 6 L i1 + L i2 (m ) L i (m ) H - I (m )2 4 1 ,8 4 1 2 5 4 0 2 .5 4 0 02 5 2 0 4 ,9 1 2 1 2 3 0 1 .2 3 0 02 6 8 5 ,5 7 3 1 4 3 0 1 .4 3 0 02 7 4 2 ,1 3 4 1 3 0 0 1 .3 0 0 02 8 1 ,8 4 5 1 4 9 0 1 .4 9 0 02 9 A ltu ra m a n o m . d e a l im en ta o (m ) 2 1 ,7 6 1 2 1 0 1 .2 1 0 03 0 7 1 4 6 0 1 .4 6 0 03 1 R es tr i es 8 1 1 9 0 1 .1 9 0 03 2 P iez. d e a l im en ta o (m ) 5 1 ,73 3 N A lt. P iez . D em a n d a C o ta P . d isp . E q . d a E q . d a 3 4 (m ca ) ( l/s ) (m ) (m ca ) co n t in u id . en erg ia3 5 1 4 0 ,9 7 0 ,0 0 6 ,0 3 4 ,9 7 0 ,0 0 0 ,8 9 A n e l 13 6 2 3 5 ,7 5 4 7 ,7 8 5 ,5 3 0 ,2 5 0 ,0 0 0 ,5 4 A n e l 23 7 3 3 1 ,5 0 8 0 ,3 2 5 ,5 2 6 ,0 0 0 ,0 03 8 4 3 0 ,9 1 2 0 8 ,6 0 6 ,0 2 4 ,9 1 0 ,0 03 9 5 3 0 ,0 2 4 3 ,4 4 4 ,5 2 5 ,5 2 0 ,0 04 0 6 2 5 ,7 6 4 0 ,2 9 4 ,0 2 1 ,7 6 0 ,0 04 14 2 C u s to d e E leva o e D is tr ib u i o4 3 C o ef ic . d e a tu a liza o 1 1 ,1 34 4 C o ta d o N d e C u s to d o R en d . P o t n c ia C . a n u a l C .a tu a l. C u s to to ta l4 5 ter ren o h o ra s kw h d o req u er id a d a en e rg ia d a en e rg ia d o s is tem a 4 6 (m ) (R $ ) b o m b . (kw ) (R $ ) (R $ ) (R $ )4 7 3 0 7 3 0 0 0 ,0 7 1 7 5 % 1 1 9 ,5 2 6 1 .9 4 8 ,8 3 6 8 9 .4 9 0 ,4 9 2 .7 8 4 .1 2 2 ,0 9

Figura 7. Dimensionamento do Grande Setor segunda etapa soluo inicial.

Coluna H: Perda de carga no trecho. A c-lula H5 ser:

= SE (C5 > = 0;10,66* ((C5/1000)/G5)^1,852*F5/((D5/1000)^4,87);-10,66* ((-C5/1000)/G5)^1,852*F5/((D5/1000)^4,87)).

Coluna I: Soma das perdas de carga provo-cadas por cada segmento de trecho.

Para a clula I5 ser: = H5+H6. Coluna J: Custo total do trecho, que igual

ao custo unitrio do tubo utilizado vezes o com-primento do trecho. A clula J5 ser: = E5*F5.

Coluna K: Velocidade do trecho. A clula K5 ser:

= SE (F5 > 0;1,273* (C5/1000)/(D5/1000)^2;1).

Na parte da planilha referente s restries foi acrescentado um bloco com trs colunas (colu-nas H, I e J) para explicitarem a restrio de com-primento dos sub-trechos (Equaes 42, 43, ..., 49). O significado do bloco de restries das colunas H, I e J :

Coluna H: Comprimentos totais dos tre-chos.


105

C lc u lo H id r u l ic o

B C D E F G H I J KT re c h o V a z o D i m . P re o C o m p . C o e f . P e rd a s P e rd a s n o P re o to ta l V e lo c .

( l /s ) (m m ) (R $ /m ) (m ) (m c a ) t re c h o (m c a ) (R $ ) (m /s )1 4 2 0 ,4 3 5 3 5 ,0 3 4 9 ,2 9 0 1 3 0 0 ,0 0 5 ,9 0 0 ,0 1 ,0 0

4 2 0 ,4 3 6 3 8 ,0 4 3 3 ,3 7 2 5 4 0 1 3 0 5 ,9 0 1 .1 0 0 .7 5 9 ,8 1 ,3 12 1 2 9 ,9 5 2 9 9 ,8 1 0 3 ,1 2 2 7 3 1 4 5 2 ,3 3 5 ,4 5 2 8 .1 8 3 ,9 1 ,8 4

1 2 9 ,9 5 3 8 1 ,0 2 2 5 ,8 2 9 5 7 1 3 0 3 ,1 1 2 1 6 .0 3 9 ,4 1 ,1 43 8 2 ,1 7 2 9 9 ,8 1 0 3 ,1 2 1 4 3 0 1 4 5 5 ,2 2 5 ,2 2 1 4 7 .4 6 1 ,6 1 ,1 6

8 2 ,1 7 3 8 1 ,0 2 2 5 ,8 2 0 1 3 0 0 ,0 0 0 ,0 1 ,0 04 1 ,8 5 1 0 8 ,4 3 2 ,8 0 1 3 0 0 1 4 5 0 ,6 0 0 ,6 0 4 2 .6 4 0 ,0 0 ,2 0

1 ,8 5 1 5 6 ,4 4 3 ,4 1 0 1 4 5 0 ,0 0 0 ,0 1 ,0 05 2 0 4 ,9 1 3 8 1 ,0 2 2 5 ,8 2 1 4 9 0 1 3 0 1 1 ,2 7 1 1 ,2 7 3 3 6 .4 7 1 ,8 1 ,8 0

2 0 4 ,9 1 4 3 2 ,0 2 6 7 ,6 6 0 1 3 0 0 ,0 0 0 ,0 1 ,0 06 8 5 ,5 8 2 9 9 ,8 1 0 3 ,1 2 1 2 1 0 1 4 5 4 ,7 7 4 ,7 7 1 2 4 .7 7 5 ,2 1 ,2 1

8 5 ,5 8 3 8 1 ,0 2 2 5 ,8 2 0 1 3 0 0 ,0 0 0 ,0 1 ,0 07 4 2 ,1 4 2 0 4 ,2 5 9 ,2 4 5 3 2 1 4 5 3 ,6 6 5 ,9 5 3 1 .5 0 7 ,5 1 ,2 9

4 2 ,1 4 2 5 2 ,0 7 8 ,5 2 9 2 8 1 4 5 2 ,2 9 7 2 .8 7 7 ,4 0 ,8 48 1 ,8 5 1 0 8 ,4 3 2 ,8 0 1 1 9 0 1 4 5 0 ,5 5 0 ,5 5 3 9 .0 3 2 ,0 0 ,2 0

1 ,8 5 1 5 6 ,4 4 3 ,4 1 0 1 4 5 0 ,0 0 0 ,0 1 ,0 04 2 0 ,4 3 C u s to to ta l d a re d e (R $ ) 2 .1 3 9 .7 4 8 ,61 2 9 ,9 5

8 2 ,1 7 L i1 + L i2 (m ) L i (m ) H - I (m )1 ,8 5 2 5 4 0 2 .5 4 0 0

2 0 4 ,9 1 1 2 3 0 1 .2 3 0 08 5 ,5 8 1 4 3 0 1 .4 3 0 04 2 ,1 4 1 3 0 0 1 .3 0 0 0

1 ,8 5 1 4 9 0 1 .4 9 0 0A ltu ra m a n . d e c a b e c e ira (m ) 2 0 ,9 1 2 1 0 1 .2 1 0 0

1 4 6 0 1 .4 6 0 0R e s tr i e s 1 1 9 0 1 .1 9 0 0

P ie z o m t. d e c a b e c e ira (m ) 5 0 ,9N A lt. P ie z . D e m a n d a C o ta P . d is p . E q . d a E q . d a

(m c a ) ( l /s ) (m ) (m c a ) c o n t in u id . e n e rg ia1 4 5 ,0 3 0 ,0 0 6 ,0 3 9 ,0 3 0 ,0 0 0 ,0 0 A n e l 12 3 9 ,5 9 4 7 ,7 8 5 ,5 3 4 ,0 9 0 ,0 0 0 ,0 0 A n e l 23 3 4 ,3 6 8 0 ,3 2 5 ,5 2 8 ,8 6 0 ,0 04 3 3 ,7 7 2 0 8 ,6 0 6 ,0 2 7 ,7 7 0 ,0 05 3 3 ,7 7 4 3 ,4 4 4 ,5 2 9 ,2 7 0 ,0 06 2 9 ,0 0 4 0 ,2 9 4 ,0 2 5 ,0 0 0 ,0 0

C u s to d e E le v a o e D is t r ib u i o C o e f ic ie n te d e a tu a l iza o 1 1 ,1 3C o ta d o N d e C u s to d o R e n d . P o t n c ia C . a n u a l C .a tu a l. C u s to to ta lte r re n o h o ra s k w h d o re q u e r id a d a e n e rg ia d a e n e rg ia d o s is te m a

(m ) (R $ ) b o m b . (k w ) (R $ ) (R $ ) (R $ )3 0 7 3 0 0 0 ,0 7 1 7 5 % 1 1 5 ,1 5 5 9 .6 8 0 ,2 0 6 6 4 .2 4 0 ,6 5 2 .8 0 3 .9 8 9 ,2 4

Figura 8. Dimensionamento do Grande Setor segunda etapa soluo definitiva.

A clula H24 ser: = F5+F6. A clula H25 ser: = F7+F8. H31 ser: = F19+F20.

Coluna I ($I$24:$I$31): Valores numricos dos comprimentos totais dos trechos (valores atri-budos).

Coluna J: Diferenas dos valores das colu-nas H e I. A clula J24 ser: = H24 - I24.

Os clculos das partes inferiores da plani-lha correspondentes s restries e aos custos so iguais aos apresentados na etapa 1.

Processo de otimizao e resultados da etapa 2

Terminada a elaborao das planilhas, de-ve-se preencher os parmetros de entrada da fer-ramenta Solver do Excel, de maneira semelhante edio dos dados da parte 1, e efetuar o processo de otimizao, acionando-se resolver, conforme mostrado na Figura 9.

A planilha da Figura 8 apresenta o resulta-do definitivo do dimensionamento da rede do Grande Setor, com o sistema de impulso, realizado


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Figura 9. Parmetros de entrada da ferramenta Solver do Excel para a etapa 2 do dimensionamento do Grande Setor.

pelo PNL2000 (modelo da programao no linear, com a ferramenta Solver). Nela observa-se que o custo mnimo do sistema do Grande Setor (rede mais a energia capitalizada) foi de R$ 2.803.989,24, dos quais R$ 2.139.748,60 correspondem ao custo de implantao da rede, e R$ 664.240,65 correspon-dem ao custo energtico atualizado. A altura tima do bombeamento obtida foi de 20,9 metros, que a dimenso mais adequada, em termos econmicos, para a altura do reservatrio elevado do sistema. Nas colunas D e F aparecem, respectivamente, os dimetros timos e os seus comprimentos corres-pondentes.

A Tabela 5 apresenta os dimetros timos obtidos para o Grande Setor (nominais e internos), para a altura manomtrica tima no sistema de pressurizao de 20,9 metros, assim como os com-primentos dos trechos, as vazes e as velocidades mdias de circulao da gua. Observa-se que o trecho 2 passou a ser composto com tubulaes de dois dimetros distintos consecutivos. O sub-trecho com o dimetro nominal de 350 mm ter um com-primento de 957 metros, com origem no n 1, en-quanto que o sub-trecho, a ser ocupado pelo dimetro nominal de 300 mm, possuir um com-primento de 273 metros, e ter sua extremidade de jusante conectada ao n 2. Observa-se tambm, que o trecho 7 passou a ser igualmente composto com tubulaes de dois dimetros, sendo 928 m a serem ocupados pelo dimetro nominal de 250 mm e 532 metros a serem ocupados pelo dimetro nominal de 200 mm.

Na planilha vista na Figura 8 esto presen-tes, ainda, os demais dados referentes ao estado da rede do Grande Setor, para a condio de que a altura manomtrica de origem seja igual a 20,9 me-tros. Pode-se observar, nas clulas F35:F40, os valo-res das presses disponveis nos ns da rede. Os valores dessas presses so todos maiores ou iguais a 25 mca, como no poderia deixar de ser, j que foi imposta ao modelo a condio de que todas as presses nos ns teriam que ser maiores ou iguais a 25 mca.

Comparao com o dimensionamento efetuado pela CAGEPA

A rede, com o depsito elevado de alimen-tao, apresentada na Figura 2, foi projetada pela Companhia de gua e Esgoto do Estado da Paraba (CAGEPA), no ano de 1982. Nesse projeto foram utilizados tubos de PVC (dimetros nominais entre 100 e 300 mm) e de ferro dctil (dimetros compre-endidos entre 350 e 600 mm). Os clculos das per-das de carga contnuas foram realizados mediante o emprego da frmula de Hazen-Williams, com os coeficientes de rugosidade iguais a 130, para tubos de ferro, e de 145 para tubos de PVC. Para o clculo do sistema formado pela rede, mais o reservatrio, foi utilizado o mtodo clssico de Hardy Cross, cujos resultados definitivos do dimensionamento so apresentados na Tabela 6. A altura estabelecida do reservatrio elevado foi de 24 metros.


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Tabela 5. Dimetros timos do Grande Setor e comprimento dos trechos para a altura manomtrica na cabeceira de 18,9 metros.

Trecho Dimetro interno (mm) Dimetro nominal (mm) Comp. (m) Q (l/s) V (m/s)

1 638,0 600 2.540 420,43 1,31 2 381,0

299,8 350 300

957 273

129,95 1,14 1,84

3 299,8 300 1.430 82,17 1,16 4 108,4 100 1.300 1,85 0,20 5 381,0 350 1.490 204,91 1,80 6 299,8 300 1.210 85,58 1,21 7 252,0

204,2 250 200

928 532

42,14 0,84 1,29

8 108,4 100 1.190 1,85 0,20 Com base nos dimetros de cada trecho

(Tabela 6), nos comprimentos dos trechos da rede (Tabela 2), nos custos de implantao das tubula-es (Tabela 3), e nos dados referentes ao custo da energia e regime de bombeamento, estabelecidos no enunciado do exemplo deste trabalho, os custos totais de investimento da rede e da energia capita-lizadas do bombeamento so iguais, respectiva-mente, a R$ 2.743.397,10 e R$ 761.358,25. O custo total do projeto da CAGEPA (rede mais energia capitalizada) de R$ 3.504.755,35, que 25% maior do que o custo total do projeto otimizado calculado mediante a metodologia aqui apresentada.

As presses disponveis nos ns da rede dimensionada pela CAGEPA so maiores do que as presses disponveis do projeto otimizado. Esse aspecto no compromete o dimensionamento da rede efetuado com o critrio de minimizao dos custos, j que para essa metodologia foram garanti-das as restries de presses mnimas em todos os ns da rede (25 mca).

A diferena entre os custos da rede, obtida atravs da comparao entre o dimensionamento otimizado e no otimizado (Hardy Cross ou Sec-cionamento fictcio), ser sempre indefinida. Isso se deve a que o clculo de redes malhadas atravs dos mtodos convencionais um problema hidraulica-mente indeterminado, no existindo assim uma soluo nica que possa ser comparada com a solu-o otimizada de custo mnimo.

CONCLUSES

O modelo PNL2000 proposto mostrou-se eficaz para o dimensionamento otimizado de redes malhadas de distribuio de gua. Essa eficcia se

Tabela 6. Vazes e dimetros nominais da rede dimensionada pela CAGEPA (CAGEPA, 1982).

Trecho Vazo (l/s) Dimetro nominal (mm)

1 420,43 600 2 170,99 450 3 123,21 350 4 42,89 250 5 111,81 300 6 137,63 400 7 94,19 350 8 53,90 250

deve utilizao de tcnica de programao no linear para o dimensionamento de redes malhadas, que um problema fsico regido por equaes que so, na sua grande maioria, no lineares. Alm disso, ao se incluir as vazes como variveis de deciso, procurou-se unir, em um mesmo processo, o balanceamento das vazes nas redes (atravs das equaes de restrio de conservao de massa nos ns e de conservao de energia nos anis) e a mi-nimizao dos custos (que feita atravs de modifi-caes dos dimetros das tubulaes e da altura manomtrica na origem).

O dimensionamento econmico de redes malhadas atravs da programao no linear apre-senta como vantagens o fato de poder ser imple-mentado atravs de pacotes computacionais de otimizao, onde se incluem as planilhas eletrni-cas, que so uma das principais ferramentas da informtica utilizadas pelos projetistas; a facilidade que h na sua utilizao e compreenso, bem como a possibilidade de modificaes na estrutura da funo objetivo ou na incluso de novas restries,


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o que d ao PNL2000 maior flexibilidade em se ajustar s vrias situaes de projeto.

A planilha Excel, atravs da opo Solver, mostrou ser uma ferramenta potentssima para a aplicao do modelo PNL2000. Atravs dela o pro-jetista economiza, de forma significativa, o trabalho de edio das inmeras equaes do modelo, devi-do capacidade que a planilha possui de editar, de forma automtica, conjuntos de equaes, a partir de combinaes de clulas.

A aplicao do PNL2000, atravs da ferra-menta Solver do Excel, permite ao projetista visua-lizar, em uma nica planilha, todo o clculo hidrulico e econmico de dimensionamento de uma rede malhada, juntamente com o seu sistema de impulso (seja atravs de bombeamento ou de reservatrio elevado). O PNL2000 permite ao proje-tista, tambm, efetuar simulaes com respeito a dimetros de trechos, cotas piezomtricas nos ns da rede, incluindo a origem do sistema, demandas de vazes nos ns, etc., e verificar a repercusso hidrulica e econmica de qualquer modificao que possa ocorrer no sistema como um todo.

A ferramenta Solver, no padro que apre-sentado na planilha Excel da Microsoft, est limita-da a problemas com um nmero mximo de, aproximadamente, 200 restries, o que a torna invivel para o dimensionamento de redes malha-das de mdio a grande porte. No entanto, um au-mento da capacidade do programa (up grade) da ferramenta Solver, que resolve problemas de gran-de porte, pode ser adquirido da Microsoft.

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PNL2000 A Practical Method for Optimal Economic Design of Looped Networks for Water Distribution Systems

ABSTRACT

This work presents a practical method for the optimal economic design of looped water distribution systems. The method, here named PNL2000, is to deter-mine the diameter of pipes and pumping piezometric levels, minimizing the total costs (investments and op-eration) of the water distribution system. The method is based on a non-linear programming technique, imple-mented with the Solver tool of the Microsoft Excel soft-ware. The applicability of the method was demonstrated in the design of a looped network within an urban water distribution system. The results showed that all the hy-draulic constraints of the system were satisfied while minimizing the cost.

Keywords: PNL2000; looped networks.

resolução de rede malhada - complexa

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