resolução de questões estatística esaf

RREESSOOLLUUOO DDEE QQUUEESSTTEESS

EESSAAFF

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Prof. Weber Campos [email protected]

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Estatstica Inferencial www.olaamigos.com.br

Prof. Weber Campos 2

NDICE DA APOSTILA

Probabilidade

Variveis Aleatrias

Distribuies de Probabilidades

Funo Distribuio de Probabilidade

Valor Esperado de uma Varivel Aleatria

Varincia de uma Varivel Aleatria

Distribuies Especiais de Probabilidade

Distribuies Discretas

Distribuio Uniforme Discreta

Distribuio de Bernoulli

Distribuio Binomial

Distribuio Hipergeomtrica

Distribuio de Poisson

Distribuies Contnuas

Distribuio Uniforme Contnua

Distribuio Normal

Amostragem

Intervalo de Confiana

Intervalo de Confiana para a Mdia

Intervalo de Confiana para a Proporo

Determinao do tamanho da amostra

Correlao

Regresso Linear

Testes de Hipteses

Passo a passo do teste de Hiptese para a Mdia

Passo a passo do teste de Hiptese para a Proporo

Tipos de erros em um teste de hipteses

EXERCCIOS

Probabilidade

Distribuio Binomial

Distribuio Hipergeomtrica

Distribuio de Poisson

Distribuio Normal

Valor Esperado de uma varivel aleatria

Correlao

Regresso Linear

Intervalo de Confiana para a Mdia

Intervalo de Confiana para a Proporo

Determinao do tamanho da amostra

Testes de Hipteses para mdias e propores



PROBABILIDADE

1. CONCEITOS INICIAIS Ocorre que a Teoria da Probabilidade faz uso de uma nomenclatura prpria, de modo que h trs conceitos fundamentais que temos que passar imediatamente a conhecer: Experimento Aleatrio, Espao Amostral e Evento. # Experimento Aleatrio: o experimento que mesmo repetido diversas vezes sob as mesmas condies, podem apresentar resultados diferentes. Exemplos de experimento aleatrio: lanar um dado e observar o resultado; lanar duas moedas e observar o nmero de caras obtidas; selecionar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar seu naipe. # Espao Amostral: nada mais, seno o conjunto dos resultados possveis de um Experimento Aleatrio. Designaremos o Espao Amostral por S. Consideremos os exemplos abaixo, e determinemos os respectivos espaos amostrais:

a) lanar um dado, e observar a face de cima. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) lanar duas moedas e observar as faces de cima.

S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa) }

c) lanar duas moedas e observar o nmero de caras. S = {0, 1, 2}

d) Verificar, uma a uma, o nmero de peas defeituosas em um lote de 15 peas.

S = {0, 1, 2, 3,..., 14, 15} O terceiro conceito essencial ao estudo da Probabilidade o conceito de Evento. # EVENTO: um evento ser um subconjunto do Espao Amostral. Designaremos um evento por uma letra maiscula. Diremos que ocorreu um evento A, quando o resultado do Experimento Aleatrio for pertencente ao subconjunto A. Entendamos melhor por meio do exemplo abaixo: Experimento Aleatrio: lanar um dado e observar a face para cima. Espao Amostral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 Evento A: obter um resultado par no lanamento do dado. A = { 2, 4, 6 } n(A)=3 Evento B: obter um mltiplo de 2 no lanamento do dado. B = { 2, 4, 6 } n(B)=3 Evento C: obter um resultado maior ou igual a 7 no lanamento do dado. C = { } (ou seja: vazio!) n(C)=0 Quando isso acontecer, estaremos diante de um evento impossvel! Evento D: obter um resultado menor do que 7 no lanamento do dado. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (igual ao espao amostral) n(D)=6 Quando isso acontecer, estaremos diante de um evento certo!



2. FRMULA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE Frmula da Probabilidade: a probabilidade de ocorrncia de um evento X, dado determinado experimento aleatrio, e considerando que cada elemento do espao amostral deste experimento tem a mesma probabilidade, ser calculada por:

Prob(X) = n(X) = nmero de resultados favorveis ao evento X n(S) nmero de resultados possveis

Onde: n(S) o nmero de elementos do espao amostral do experimento; e

n(X) o nmero de elementos do evento X.

Como dissemos, a frmula acima aplicvel quando os elementos do espao amostral tiverem a mesma probabilidade. Por exemplo, num lanamento de uma moeda honesta (no viciada), com faces cara e coroa, essas duas faces tm a mesma chance de serem sorteadas, da tero a mesma probabilidade. No entanto, se tivermos uma moeda viciada, a chance de sorteio de uma das faces maior que a da outra, da as probabilidades das faces sero diferentes.

Portanto, podemos usar a frmula da probabilidade supracitada para o primeiro caso (o da moeda honesta), mas, para o segundo caso (o da moeda viciada), no possvel.

3. TEOREMAS DA PROBABILIDADE

Destacamos os seguintes teoremas:

1. O menor valor que a probabilidade de um evento pode ter 0 (indicando que o evento impossvel) e o maior valor 1 (indicando que o evento certamente ir ocorrer). Ento, em geral:

0 P(X) 1 2. A soma das probabilidades de cada elemento do espao amostral igual a 1. No caso do lanamento de um dado, teremos, ento, que:

P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 1

3. A probabilidade de ocorrncia de um evento X somada com a probabilidade de no ocorrncia desse

mesmo evento igual a 1. Prob(X ocorrer) + Prob(X no ocorrer) = 1

Dizemos que os eventos X ocorrer e X no ocorrer so eventos complementares. Portanto, a soma das probabilidades de eventos complementares igual a 1.

Em termos de conjunto, dois eventos complementares A e B podem ser representados como:

So tambm exemplos de eventos complementares:

P(ganhar o jogo) + P(no ganhar o jogo) = 1

P(ru inocente) + P(ru culpado) = 1

P(cara) + P(coroa) = 1

P(par no dado) + P(mpar no dado) = 1

P(a nota no mnimo 2) + P(a nota menor do que 2) = 1

P(a nota no mximo 9) + P(nota igual a 10) = 1

P(nascer pelo menos 1 menina) + P(nascer nenhuma menina) = 1

A B



Esta relao ser utilizada muitas vezes nas solues de questes de probabilidade. Atravs dela, podemos calcular a probabilidade de um evento ocorrer a partir da probabilidade do evento complementar. Por exemplo, se uma questo pede a probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara no lanamento de trs moedas viciadas. mais fcil calcular a probabilidade do evento complementar, ou seja, calcular P(nenhuma cara), pois s temos uma situao favorvel, a qual : (coroa, coroa, coroa). Achada esta probabilidade, s lanar na nossa relao para encontrar a probabilidade da ocorrncia do evento desejado na questo. Resolveremos exemplos deste tipo mais adiante.

4. PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES Dois eventos, A e B, so independentes quando a ocorrncia, ou no-ocorrncia, de um deles no afeta a probabilidade de ocorrncia do outro.

Por exemplo, ao efetuarmos dois lanamentos sucessivos de uma moeda, os eventos cara no primeiro lanamento e coroa no segundo lanamento so eventos independentes, uma vez que o resultado do primeiro lanamento da moeda no afeta a probabilidade de ocorrncia do resultado coroa no segundo lanamento.

Porm, ao retirarmos duas cartas sem reposio de um baralho, os eventos s na primeira retirada e valete na segunda retirada so eventos dependentes, porque ao retirarmos a primeira carta, dada a ocorrncia, ou no, do s, o total de cartas do baralho sofrer uma reduo, alterando desta forma a probabilidade da segunda carta.

E se retirarmos duas cartas com reposio, esses eventos sero independentes? Quando repomos a carta retirada, o nmero de cartas de cada tipo (s, valete, dama,...) no se altera e nem, claro, o total de cartas. Desta forma, a probabilidade da segunda carta retirada no depender da primeira carta, por conseguinte, os eventos so independentes!

Quando dois eventos, A e B, so independentes a probabilidade do evento B ocorrer dado que A ocorreu, simbolizada por P(B|A), ser sempre igual a P(B), porque, por definio, no existe relao entre a ocorrncia de tais eventos. Logo, temos a igualdade:

Prob(B|A) = Prob(B)

Naturalmente, tambm teremos:

Prob(A|B) = Prob(A)

5. PROBABILIDADE DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Dois eventos, A e B, so mutuamente exclusivos se eles no podem ocorrer simultaneamente. Quer dizer que se um evento ocorreu, o outro certamente no ocorreu.

Por exemplo, em apenas dois lanamentos de uma moeda, os resultados possveis so:

S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa) }

Os eventos ocorrer duas caras e ocorrer duas coroas so mutuamente exclusivos, pois eles no podem ocorrer simultaneamente. Se um deles ocorre, o outro no ocorre. Mas os eventos ocorrer exatamente 1 cara e ocorrer exatamente 1 coroa no so mutuamente exclusivos, pois se o resultado do primeiro lanamento for cara e o resultado do segundo lanamento for coroa, j teremos uma situao em que os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo.

Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, ou seja, se eles no podem ocorrer

simultaneamente (ou em termos de conjunto: A B = ), ento teremos:

P(A|B) = 0;

P(B|A) = 0;

Prob(A e B) = 0.

Dois eventos mutuamente exclusivos so representados graficamente por dois crculos sem interseo.

Exemplo: Considere o experimento aleatrio do lanamento de um dado, e os seguintes eventos:

Evento A: resultado no dado menor do que 3

Evento B: resultado no dado maior do que 4



Evento C: resultado no dado maior do que 1 e menor do que 6

Os eventos A e B so mutuamente exclusivos? E A e C? E B e C?

Soluo:

O conjunto dos resultados do evento A : {1, 2}.

O conjunto dos resultados do evento B : {5, 6}.

O conjunto dos resultados do evento C : {2, 3, 4, 5}.

Observe que A e B no tm elementos em comum (A B = ). Logo os eventos A e B so mutuamente exclusivos.

No entanto, temos elementos em comum entre A e C, e entre B e C. Logo A e C e B e C no so mutuamente exclusivos.

A representao por diagramas de conjuntos para esses trs eventos :

Vejamos mais alguns exemplos de eventos mutuamente exclusivos:

1) Evento A: Em uma retirada, resultar um s

Evento B: Em uma retirada, resultar um valete

2) Evento A: No nascimento de 2 crianas, nascer 2 meninas

Evento B: No nascimento de 2 crianas, nascer 2 meninos

3) Evento A: time do Inter ganhar

Evento B: time do Inter perder

4) Evento A: Em dois lanamentos, obter duas caras

Evento B: Em dois lanamentos, obter duas coroas

5) Evento A: o atleta brasileiro ganhar medalha de ouro

Evento B: o atleta brasileiro no ganhar medalha de ouro

6) Evento A: o nmero sorteado mpar

Evento B: o nmero sorteado par

7) Evento A: No nascimento de 2 crianas, nascer pelo menos 1 menina

Evento B: No nascimento de 2 crianas, nascer nenhuma menina

Existe, frequentemente, alguma confuso com respeito distino entre eventos mutuamente exclusivos, eventos independentes e eventos complementares.

Se dois eventos so complementares, ento certamente eles so mutuamente exclusivos; mas a recproca nem sempre verdadeira. (Para dois eventos serem complementares, um evento deve ser a negao do outro!) Na lista acima de eventos mutuamente exclusivos, apenas os trs ltimos (5, 6 e 7) so eventos complementares.

Por que os eventos do terceiro exemplo da lista acima no so complementares? Para serem complementares, a negao do evento A deveria ser o evento B; mas no , pois a negao do Inter ganhar o Inter perder ou empatar.

B A

C



E os eventos do segundo exemplo, por que no so complementares? A negao de nascer 2 meninas no nascer dois meninos, e sim nascer no mximo 1 menina que inclui os resultados: (menina, menino); (menino, menina); (menino, menino).

Dois eventos complementares ou dois eventos mutuamente exclusivos apresentam a mesma caracterstica de que no ocorrem simultaneamente, ou seja, a ocorrncia de um evento implica na no-ocorrncia do outro; enquanto eventos independentes so aqueles em que a probabilidade de ocorrncia de um, no afetada pela ocorrncia do outro. Portanto, os eventos complementares e os eventos mutuamente exclusivos so altamente dependentes!

6. PROBABILIDADE DA INTERSECO DE EVENTOS (Regra do e)

Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de ocorrncia simultnea dos eventos A e B igual a:

Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B|A)

Onde Prob(B|A) significa a probabilidade de ocorrer B sabendo que A j tenha ocorrido.

Se A e B forem eventos independentes (a ocorrncia de um deles no afeta a probabilidade de ocorrncia do outro), ento a probabilidade de ocorrncia de A e B, ao mesmo tempo, ser encontrada pelo produto das probabilidades individuais! Assim, a regra do e fica simplificada para:

Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B)

E ainda, caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos (eventos que no podem ocorrer

simultaneamente, ou em termos de conjunto: AB=). Assim, no nascimento de uma criana, o evento nascer menina e o evento nascer menino so mutuamente exclusivos, uma vez que ao se realizar um deles, o outro no se realiza. Desta forma, a probabilidade de ocorrncia de A e B, ao mesmo tempo, ser igual a zero. Na notao simblica, teremos:

Prob(A e B) = 0.

7. PROBABILIDADE DA UNIO DE EVENTOS (Regra do ou) Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) Prob(A e B)

Reparemos bem na terceira parcela da frmula acima: Prob(A e B). Esta parcela trata acerca da probabilidade de ocorrncia simultnea dos eventos A e B.

Aprendemos que, caso os eventos A e B sejam eventos independentes, ento a probabilidade de ocorrncia de A e B, ao mesmo tempo, ser encontrada pelo produto das probabilidades individuais! Certo? Desta forma, para os eventos independentes, a regra do ou fica simplificada para:

Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) Prob(A)xProb(B)

E tambm sabemos que se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrncia desses dois eventos, ao mesmo tempo, ser igual a zero. Assim, para eventos mutuamente exclusivos, a regra do ou fica simplificada para:

Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B)

8. PROBABILIDADE CONDICIONAL

Probabilidade condicional ser a probabilidade de ocorrncia de um evento A, dado que sabemos que ocorreu um outro evento B.

Frmula de Probabilidade condicional:

)(

)()()(

YP

YeXPYXPYdadoXP



VARIVEIS ALEATRIAS

1. VARIVEIS ALEATRIAS

Sejam E um experimento e S o espao amostral associado ao experimento. Uma funo X, que

associe a cada elemento sS um nmero real X(s) denominada Varivel Aleatria.

Exemplo: O experimento consiste no lanamento de duas moedas:

X: n de caras obtidas nas duas moedas.

S: {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}

Da, a varivel X define uma varivel aleatria discreta, que pode assumir os valores 0, 1 e 2.

Exemplo: O um experimento consiste em verificar as alturas de 30 universitrios, a funo:

X = "Altura de um universitrio"

S: [130cm, 220cm}

Da, a varivel X define uma varivel aleatria contnua, que pode assumir quaisquer valores entre 130 cm e 220 cm.

Podemos, ento, conceituar:

Varivel aleatria discreta: assume um nmero finito de valores.

Varivel aleatria contnua: assume qualquer valor dentro de um certo intervalo (quantidade no-enumervel de valores).

2. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE

Se uma varivel aleatria X pode assumir os valores x1, x2, ... ,xn com probabilidades

respectivamente iguais a P(x1), P(x2), ... , P(xn) , tais que 1)(1

n

i ixP , tem-se definida uma

distribuio de probabilidade.

Se a varivel X em questo for discreta, sua distribuio caracterizada por uma funo de probabilidade P(X=x) ou, simplesmente, P(x), tambm chamada de funo massa de probabilidade, que associa probabilidades no nulas aos possveis valores da varivel aleatria.

P(x) pode ser expressa por uma tabela, grfico ou frmula.

Exemplo: Consideremos a v.a. X = "nmero de caras em duas jogadas de uma moeda". Da, teremos a seguinte distribuio de probabilidades:

xi P(xi)

0 P(0) = 1/4 = 0,25

1 P(1) = 2/4 = 0,50

2 P(2) = 1/4 = 0,25

soma=1

X(s) s

X

S R



Da, podemos afirmar que:

- A funo massa de probabilidade de X no ponto x=0 : 0,25.



Representao Grfica:

P(x)

Ao contrrio de uma varivel aleatria discreta, uma varivel aleatria contnua pode assumir qualquer valor fracionrio dentro de um intervalo definido de valores. Desta maneira, para distribuies de probabilidade, no se consegue enumerar todos os possveis valores de uma varivel aleatria contnua com os valores de probabilidade correspondentes. Em lugar disso, a abordagem mais conveniente construir uma FUNO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE, ou curva de probabilidade.

A funo densidade probabilidade (f.d.p.) - f(x) - dever possuir as seguintes propriedades:

I. f(x) 0, para todo x .

II. A rea sob f(x) igual a 1.

A distribuio de probabilidade de uma varivel contnua mais conhecida a Distribuio Normal cuja expresso e grfico da funo densidade de probabilidade so mostrados a seguir:

2

2

.2

2.

..2

1)(

x

exf

f(x)

x

3. FUNO DE DISTRIBUIO ACUMULADA DE PROBABILIDADE OU FUNO DE DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE

Definimos esta funo como sendo a probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual a x, isto :

F(x) = )( xXP

Para uma varivel aleatria discreta, teremos:

0,50

0,25



F(x) = )( xXP = xx

i

i

xP )(

Exemplo:

xi P(xi) xi F(xi)

0 0,25 0 F(0) = P(0) = 0,25

1 0,50 1 F(1) = P(0)+P(1) = 0,25+0,50 = 0,75

2 0,25 2 F(2) = P(0)+P(1)+P(2) = 0,25+0,50+0,25 = 1

Representao Grfica:

F(x)

Para uma varivel aleatria contnua, teremos:

F(x) = )( xXP = igual rea sob f(x) delimitada a direita pelo valor x em questo.

O clculo da probabilidade por meio da funo distribuio:

P(a



4.1. Propriedades do Valor Esperado Considerando as variveis aleatrias X e Y, e a constante k, temos as seguintes propriedades para

o Valor Esperado (Mdia): I. O Valor Esperado de uma constante:

E(k) = k

II. O Valor Esperado do produto de uma constante por uma varivel:

E(k.X) = k.E(X)

III. O Valor Esperado da soma (ou subtrao) de uma varivel por uma constante:

E(X k) = E(X) k

IV. O Valor Esperado da soma (ou subtrao) de duas variveis:

E(X Y) = E(X) E(Y)

V. O Valor Esperado do produto de duas variveis independentes:

E(X.Y) = E(X).E(Y), se X e Y forem independentes.

5. VARINCIA DE UMA VARIVEL ALEATRIA

A Varincia uma medida de disperso que indica o quo prximos ou quo afastados esto os elementos, em relao a um determinado referencial - a mdia aritmtica dos elementos.

A frmula da Varincia, numa populao, dada por:

n

XXV

i

2)( (1) ou

n

XX

nV

i

i

2

21 (2)

Sabendo que a mdia dada por n

XX

i , podemos tambm expressar a frmula da varincia

em funo de X :

2

2

Xn

XV

i

(3)

A equao acima tem o mesmo significado que:

Varincia = mdia(X2) (mdia(X))

2

Usando o smbolo E(x) para a mdia, teremos:

Varincia = E(X2) - [E(X)]

2

Esta ltima expresso pode ser aplicada tanto para varivel discreta como para varivel contnua.

5.1. Propriedades da Varincia:

I. A varincia de uma constante k:

V(k) = 0

II. A varincia do produto de uma constante por uma varivel:

V(k.X) = k2.V(X)

III. A varincia da soma (ou subtrao) de uma varivel por uma constante:

V(X k) = V(X)

IV. A varincia da soma (ou subtrao) de duas variveis independentes:

V(X Y) = V(X) + V(Y)



DISTRIBUIES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE

1. DISTRIBUIES DISCRETAS

1.1 DISTRIBUIO UNIFORME DISCRETA Enquadram-se aqui as distribuies em que os possveis valores da varivel aleatria tenham todos a mesma probabilidades de ocorrncia. Logo, se existem n valores possveis, cada um ter probabilidade igual a 1/n. Ex.: Seja um lanamento de um dado e a varivel aleatria X = valor da face superior do dado, tem-se que:

xi pi 1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

soma=1

O grfico da funo massa de probabilidade para o caso do dado mostrado abaixo. A mdia de uma varivel aleatria discreta uniforme a prpria mdia aritmtica dos valores extremos. EXEMPLO: Joga-se um dado uma nica vez. Qual o valor esperado do nmero obtido? E sua varincia? varivel aleatria X = valor da face superior do dado A v.a. X assume: {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Cada resultado tem a mesma probabilidade 1/6. Ento, E(X) = 1.(1/6) + 2.(1/6) + 3.(1/6) + 4.(1/6) + 5.(1/6) + 6.(1/6) = 21/6 = 3,5 ou mais fcil: E(X) = (1 + 6)/2 = 3,5 E(X

2) = 1

2.(1/6) + 2

2.(1/6) + 3

2.(1/6) + 4

2.(1/6) + 5

2.(1/6) + 6

2.(1/6) = 91/6

Var(X) = E(X

2) [E(X)]

2 = 91/6 (21/6)

2 = 2,92

1.2 DISTRIBUIO DE BERNOULLI A distribuio de Bernoulli se caracteriza pela existncia de apenas dois eventos, mutuamente exclusivos, que denominaremos de sucesso e fracasso, num experimento que realizado uma nica vez. Se a probabilidade de sucesso p, a probabilidade de fracasso , evidentemente, 1-p. uma distribuio deste tipo o lanamento de uma moeda uma nica vez. Se apostarmos na cara, sendo esta, ento, a probabilidade de sucesso p = 1/2. e a probabilidade de fracasso (coroa) 1-p = 1- 1/2 = 1/2. Da mesma forma se, num lanamento de um dado, apostamos num nmero, digamos, o 3, este ser o sucesso, sendo qualquer um dos outros cinco nmeros o fracasso. Nesse caso, a probabilidade de sucesso p = 1/6, e a probabilidade de fracasso 1-p = 1 - 1/6 = 5/6.

Outros exemplos de v.a. de Bernoulli: - O sexo do primeiro filho de um casal ser masculino ou feminino. - Uma pea produzida por uma fbrica ser perfeita ou defeituosa.

1 2 3 4 5 6 x

P(x)

1/6



Associando-se uma varivel aleatria X aos possveis resultados do experimento, de forma que: X = 1, se o resultado for sucesso e X = 0, se o resultado for fracasso. Ento, a varivel aleatria X tem distribuio de Bernoulli, com p sendo a probabilidade de ocorrer sucesso e (1-p) a probabilidade de ocorrer fracasso. P(X=x) = (1-p) para x = 0 p para x = 1 O grfico da funo massa de probabilidade para uma situao genrica mostrado abaixo. A mdia e a varincia de uma varivel aleatria de Bernoulli so dadas por:

E(X) = p e Var(X) = p(1-p) EXEMPLO: No caso do dado, em que se aposta em um nico nmero, atribuindo o valor 1 para o sucesso e 0 para o fracasso, determine a mdia e a varincia do resultado aps um jogada. E(X) = 1 . 1/6 + 0 . 5/6 = 1/6 ou E(X) = p = 1/6 Var(X) = p(1-p) = 1/6(1 1/6) = 5/36

1.3 DISTRIBUIO BINOMIAL

Em uma questo de distribuio binomial normalmente no vem explcito no enunciado que se trata de tal distribuio, ento temos que saber reconhecer uma distribuio binomial, e faremos isso verificando as seguintes caractersticas:

1) Ela tratar de um experimento que se repetir n vezes, sempre mantidas as mesmas condies originais.

2) Cada tentativa independente da outra.

3) Este experimento s admite dois resultados: sucesso e fracasso.

4) Tais resultados (sucesso e fracasso) so mutuamente excludentes, ou seja, ocorrendo um, o outro est automaticamente descartado.

5) A cada repetio do experimento, as probabilidades de sucesso p e de fracasso q se mantm constantes.

Se todas as caractersticas acima forem satisfeitas, ento estaremos diante de uma questo de distribuio binomial.

Se uma varivel tem distribuio binomial, diremos que:

X B(n,p)

Essa simbologia significa que os parmetros n e p definem uma distribuio binomial.

Probabilidade Binomial:

A questo de distribuio binomial far a seguinte pergunta:

Qual a probabilidade de se obter exatamente S sucessos, em n tentativas?

A resposta ser encontrada a partir da seguinte frmula:

0 1 x

P(x)

1-p

p



Prob(S sucessos)=Cn,S.(p)S.(q)

F

Onde:

Cn,s= )!(!

!

sns

n

n o nmero de repeties do experimento; p a probabilidade de ocorrncia de sucesso; q a probabilidade de ocorrncia de fracasso; S o nmero de sucessos desejados; F o nmero de fracassos.

A mdia e a varincia de uma varivel aleatria Binomial so dadas por:

E(X) = np e Var(X) = np(1-p) EXEMPLO: Num determinado processo de fabricao, 10% das peas produzidas so consideradas defeituosas. As peas so acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. a) Qual a probabilidade de haverem quatro ou mais peas defeituosas em uma caixa? Sol.:

P(X4) = P(X=4) + P(X=5) = 14

4,5 )1,01(1,0 C + 05

5,5 )1,01(1,0 C

P(X4) = 0,00045 + 0,00001 = 0,00046 b) Qual o valor esperado do nmero de peas defeituosas em uma caixa que contm 5 unidades? Sol.: E(X) = np = 5 . Prob(pea defeituosa) = 5 . 0,1 = 0,5 pea

1.4 DISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA

Quando a retirada de itens feita sem reposio, a probabilidade de sucesso modificada medida que os itens so retirados, desta forma no podemos aplicar a probabilidade Binomial. A distribuio hipergeomtrica a distribuio discreta de probabilidade apropriada quando existir retiradas sem reposio.

Frmula para determinar a probabilidade hipergeomtrica:

P(elemento tal ocorra k vezes em n sorteios) = Cm,k.CN-m,n-k / CN,n

Onde: N = quantidade total de elementos do grupo

n = quantidade de elementos a serem sorteados (retirados aleatoriamente)

k = quantidade desejada de repetio do elemento especificado nos n sorteios

m = nmero de ocorrncias do elemento especificado no grupo

1.5 DISTRIBUIO DE POISSON

A distribuio de Poisson empregada em experimentos nos quais no se est interessado no nmero de sucessos obtidos em n tentativas, como ocorre no caso da distribuio binomial, mas sim no nmero de sucessos ocorridos durante um intervalo contnuo, que pode ser um intervalo de tempo, espao, etc. Como por exemplo:

- O nmero de vezes que o telefone toca em um dia. - O nmero de acidentes automobilsticos ocorridos numa rodovia em um ms. - O nmero de defeitos encontrados em um rolo de arame de 500m. Note que nos exemplos acima, no h interesse em se determinar a probabilidade do telefone tocar, ou do acidente ocorrer, ou do defeito existir,... mas sim a freqncia de sua ocorrncia, como, por exemplo, o telefone tocar 10 vezes por dia. Probabilidade de Poisson:



Uma questo de probabilidade com a distribuio de Poisson far a seguinte pergunta:

Qual a probabilidade de se obter S ocorrncias, neste determinado intervalo (de tempo, de espao etc)?

E essa probabilidade obtida a partir da frmula:

Prob(S ocorrncias) = !S

eS

Onde: Prob(S) a probabilidade de S ocorrncias no intervalo;

o valor esperado ou nmero mdio de ocorrncias no intervalo;

e = 2,71828...

2. DISTRIBUIES CONTNUAS

2.1 DISTRIBUIO UNIFORME CONTNUA A funo densidade probabilidade da distribuio uniforme contnua dada por: Parmetros caractersticos:

E(X) = 2

ba e Var(X) =

12

)( 2ab

2.2 DISTRIBUIO NORMAL

Se uma varivel tem distribuio normal, diremos que:

X N(,2)

A Curva Normal simtrica em relao mdia (ela divide a distribuio ao meio)! Assim, as trs medidas de posio: mdia, mediana e moda possuem o mesmo valor.

Porcentagens especiais sob a curva normal

Freqncia

-3 -2 -1 +1 +2 +3 Varivel X

68,3%

95,5%

99,7%

a b x

f(x)

1/(b-a)



A Curva Normal Padronizada apresenta: =0 e 2=1.

A varivel normal padronizada ser chamada de Z: Z N(0,1)

z=-3 z=-2 z=-1 0 z=1 z=2 z=3 Varivel Z

Qualquer distribuio normal particular (X) pode ser transformada na varivel normal padronizada (Z), da seguinte forma:

)(

XZ

Fazendo essa transformao, encontraremos na tabela a rea sob a curva normal padronizada, e que corresponder probabilidade que estamos procurando!

68,3%

95,5%

99,7%



CORRELAO

Coeficiente de Correlao Linear (r):

O valor de r varia de -1 a +1.

1) Correlao Perfeita Positiva (r=+1) 2) Correlao positiva (0



REGRESSO LINEAR

Equao de uma reta

A equao de uma reta tem a seguinte cara: y = a + bx.

Esta reta sempre corta o eixo vertical no ponto (x=0, y=a) e o eixo horizontal no ponto (x=b

a , y=0).

O valor constante a da expresso (a+bx) chamado coeficiente linear ou intercepto-y (porque a reta intercepta o eixo Oy em y=a).

O coeficiente b da expresso (a+bx) chamado coeficiente angular e est associado ao grau de inclinao da reta em relao ao eixo horizontal Ox. Quanto maior o mdulo (valor absoluto) de b, maior ser a inclinao da reta, tendendo a vertical; e quando b se aproxima de zero a reta diminui a inclinao, tendendo a horizontal.

Atravs do sinal de b, podemos saber se a reta crescente, decrescente ou constante.

Se b>0 a reta ser crescente.

Se b



Relao entre o Coeficiente de Correlao (r) e o Coeficiente Angular da Regresso Linear (b):

X

Y

S

Srb

Onde: b = coeficiente angular da reta de regresso r = coeficiente de correlao linear simples SX = desvio padro dos dados da varivel x (j foi vista a frmula do desvio padro) SY = desvio padro dos dados da varivel y (j foi vista a frmula do desvio padro)

Temos outras duas relaes entre b e r que nos podem ser teis:

n

XX

n

YY

rb

i

i

i

i

2

2

2

2

22

ou

2

2

22

XX

YYrb

i

i

Nas duas expresses acima aparece o termo 2r . Como bem sabemos, esse o quadrado do

coeficiente de correlao linear (tambm chamado de coeficiente de correlao de Pearson). Mas existe um

nome especial para 2r que : Coeficiente de Determinao (ou Explicao).



AMOSTRAGEM

A inferncia estatstica envolve a formulao de certos julgamentos sobre um todo aps examinar apenas uma parte ou amostra dele. E em nosso dia-a-dia, muitas vezes ns usamos uma amostra para julgar um todo, mas nem percebemos que fazemos isso. Quando queremos verificar se certo alimento saboroso, comemos apenas um pequeno pedao; a cozinheira prova a sopa para verificar se precisa de um pouco mais de sal; quando passamos os olhos sobre um novo livro ou uma revista para ver se vamos comprar; quando assistimos um programa de TV por uns poucos segundos ou minutos para decidir se mudamos ou no um canal,...

A amostragem estatstica semelhante a cada um dos exemplos acima, embora seus mtodos sejam mais formais.

Mas, para as inferncias serem corretas, necessrio garantir que a amostra seja representativa da populao, isto , a amostra deve possuir as mesmas caractersticas bsicas da populao, no que diz respeito ao fenmeno que desejamos pesquisar. E para tanto, ela deve ser retirada segundo determinadas tcnicas de amostragem.

# Tcnicas (ou processos) de Amostragem

Ao coletarmos uma amostra podemos faz-la com reposio ou sem reposio, caso a amostragem seja realizada com reposio, um mesmo indivduo tem chance de pertencer mais de uma vez a amostra, o que no acontece, no caso da amostragem ser sem reposio. Independentemente da maneira como a amostra coletada (com ou sem reposio) o importante que os indivduos que comporo a amostra devero ser selecionados atravs de uma tcnica de amostragem adequada.

Para a escolha do processo de amostragem, o pesquisador deve levar em conta o tipo de pesquisa, a acessibilidade aos elementos da populao, a disponibilidade ou no de ter os elementos da populao, a representatividade desejada ou necessria, a oportunidade apresentada pela ocorrncia de fatos ou eventos, a disponibilidade de tempo, recursos financeiros e humanos etc.

As tcnicas de amostragem so divididas em dois grupos: Amostragem Probabilstica e Amostragem No-Probabilstica.

Amostragem Probabilstica (ou Aleatria ou Casual): aquela em que cada elemento da populao tem uma chance conhecida e diferente de zero de ser selecionado para compor a amostra. Em outras palavras: todas as fases necessrias para a escolha dos elementos que constituiro a amostra so baseadas em sorteios.

As amostragens probabilsticas geram amostras probabilsticas (com distribuio normal, ou binomial, ...).

Dentre as amostragens probabilsticas se destacam:

- Amostragem Aleatria Simples

- Amostragem Sistemtica

- Amostragem Estratificada

- Amostragem por Conglomerado

Amostragem No-Probabilstica (ou No-Aleatria ou No-Casual): aquela em que a seleo dos elementos da populao para compor a amostra depende ao menos em parte do julgamento do pesquisador ou do entrevistador no campo. Dentre estas se destacam:

- Amostragem por Convenincia

- Amostragem por julgamento

- Amostragem por quotas

# Detalhamento da Principais Tcnicas de Amostragem Probabilstica

o Amostragem Aleatria Simples

Este tipo de amostragem equivalente a um sorteio lotrico.



Na prtica, a amostragem aleatria simples pode ser realizada enumerando-se todos os indivduos da populao (por exemplo, de 1 a n) e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatrio qualquer, uma quantidade (digamos k) de nmeros dessa seqncia, os quais correspondero aos elementos pertencentes amostra.

Exemplo: Deseja-se pesquisar a estatura dos 80 alunos que estudam em uma escola, para isso resolveu-se retirar uma amostra de 10% do total de alunos. Usando a amostragem aleatria simples, mostre como pode ser feita a seleo da amostra.

Sol.:

A populao formada pelos 80 alunos da escola. E a amostra ser formada pelos alunos sorteados. Sendo o tamanho da amostra de 10% do total de 80 alunos, ou seja, 8 alunos.

1 passo: Numeramos os alunos de 01 a 80. Podemos elaborar uma lista com o nmero ao lado do nome do aluno.

2 passo: Escrevemos os nmeros de 01 a 80 em pedaos iguais de um mesmo papel, colocando-os dentro de uma caixa. Agitamos a caixa para misturar bem os pedaos de papel.

3 passo: Retiramos, um a um, oito nmeros que formaro a amostra.

Pronto! Medindo as alturas dos alunos correspondentes aos nmeros sorteados, obteremos uma amostra das estaturas dos noventa alunos.

Para evitar o trabalho de escrever os nmeros em pedaos de papel, sobretudo se a populao muito grande, foi elaborada uma tabela Tabela de Nmeros Aleatrios construda de modo que os dez algarismos (0 a 9) so distribudos ao acaso nas linhas e colunas. Ento, para compor uma amostra de 8 nmeros, s preciso selecionar 8 nmeros que estejam dispostos em uma coluna ou linha ou diagonal da tabela. Esse grupo de 8 nmeros selecionados equivale ao sorteio dos 8 papeizinhos.

No vou expor a tabela de nmeros aleatrios, porque ela no vir na prova. A minha inteno somente dar conhecimento da existncia dessa tabela.

o Amostragem Sistemtica

Quando os elementos da populao j se acham ordenados, no h necessidade de construir um sistema de referncia. So exemplos: os pronturios mdicos de um hospital, as casas de uma rua, uma linha de produo etc. Nestes casos, a seleo dos elementos que constituiro a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. A esse tipo de amostragem denominamos Sistemtica.

Ela uma simplificao do processo anterior. Neste caso, apenas o primeiro elemento da amostra ser sorteado, e os demais sero retirados em uma progresso aritmtica, com razo k, em que:

n

Nk ,

Onde: N = tamanho da populao e n = tamanho da amostra at se completar o tamanho da amostra desejado.

Exemplo:

Suponhamos uma rua contendo 600 prdios, dos quais desejamos obter uma amostra formada de 50 prdios. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 600/50=12, escolhemos por sorteio um nmero de 1 a 12 (inclusive), o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 12 em 12. Assim, se o nmero sorteado fosse o nmero 10, tomaramos, pelo lado direito da rua, o 10 prdio, o 22, o 34, o 46 etc., e ao terminar o lado direito voltamos ao incio da rua, pelo lado esquerdo, para continuar a contagem, a fim de completar a amostra dos 50 prdios.

o Amostragem Estratificada

Muitas vezes a populao se divide em subpopulaes estratos. Exemplos: Numa escola podemos separar os alunos em dois estratos: meninos e meninas; numa pesquisa podemos separar as pessoas por faixas (estratos) de idade; ou separar as pessoas de acordo com a formao escolar: nvel



secundrio, nvel mdio e nvel superior; para as propriedades rurais criar estratos de acordo com o tamanho: 0|--10, 10|--20, 20|--30 hectares.

Como provvel que a varivel em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento heterogneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogneo, convm que o sorteio da amostra leve em considerao tais estratos.

exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem estratificada.

Quanto forma de retirar os elementos dos estratos para compor a amostra, classificada em:

Uniforme

Quando retirado o mesmo nmero de elementos em cada estrato, independentemente do tamanho do estrato.

Proporcional

Quando o nmero de elementos retirado em cada estrato proporcional ao tamanho do estrato.

Para exemplificar os dois tipos de amostragem estratificada descritos, consideremos o seguinte exemplo.

Exemplo: Supondo, no exemplo feito na amostragem aleatria simples, que, dos 80 alunos da escola, 50 so meninas e 30 so meninos, vamos realizar uma amostragem estratificada uniforme e proporcional para um tamanho de amostra de 10%.

Temos dois estratos na populao considerada: meninos e meninas.

Por primeiro, analisaremos a amostragem estratificada uniforme.

Neste tipo, o nmero de meninos e de meninas que vo compor a amostra deve ser igual. Como a amostra de 8 alunos (10% de 80), ento vamos selecionar (de forma aleatria) 4 meninos e 4 meninas. S isso!

E, agora, a amostragem estratificada proporcional.

A determinao do tamanho de cada estrato mostrada na tabela abaixo.

Sexo Populao porcentagem da amostra (10%)

tamanho da amostra

menina 50 10% de 50 5

menino 30 10% de 30 3

Total 80 10% de 80 8

Ficou definido na tabela que a amostra de 8 alunos ser formada por 5 meninas e 3 meninos. E o processo de seleo dessas crianas deve ser feito de maneira aleatria, por exemplo, atravs da amostragem aleatria simples.

o Amostragem por Conglomerados

A amostragem por Conglomerado pressupe a disposio dos itens de uma populao em subgrupos (conglomerados) representativos da populao global. Idealmente, cada conglomerado pode ser encarado como uma minipopulao. Em geral, os conglomerados so grupos de itens que se acham em estreito contato fsico, como casas, quarteires, bairros, municpios etc.

A amostragem por conglomerados tem duas vantagens muito distintas sobre a amostragem aleatria simples. Uma que se os itens da populao se acham muito dispersos, uma amostragem aleatria simples pode acarretar uma considervel despesa, viagens, estadias etc., para ser bem extrada, ao passo que os itens de cada conglomerado esto prximos uns dos outros. Suponhamos, por exemplo, que a populao de interesse consistisse dos proprietrios de automveis do estado de Minas Gerais. Sem dvida uma amostragem aleatria simples incluiria proprietrios em localidades demasiadamente afastadas no estado, o que dificultaria a coordenao e a padronizao na coleta dos dados. Por outro lado, os conglomerados de municpios ou cidades conteriam proprietrios de carros em reas concentradas, reduzindo o custo e facilitando a coordenao. Aps selecionar aleatoriamente os conglomerados em todo o estado de Minas Gerais, dentro de cada conglomerado, a amostragem poderia ser aleatria simples,



estratificada, novamente por conglomerados (por exemplo, bairros de uma cidade), ou ainda ser feito um censo para o caso do conglomerado selecionado no possua muitos indivduos.

Uma segunda vantagem da amostragem por conglomerado que no necessrio uma listagem dos itens da populao. Basta uma lista dos conglomerados. Assim, no possvel obter uma listagem de todos os proprietrios de imveis do Brasil, mas pode-se obter uma lista de estados, ou municpios, ou cidades. Ou ento os conglomerados podem ser quarteires. Embora no possamos obter uma listagem das casas de uma cidade, os quarteires podem, em geral, ser identificados, fazendo-se a seleo por meio de mapas. Ento os quarteires escolhidos podem ser visitados, identificando-se as casa que comporo a amostra.

# Detalhamento das Principais Tcnicas de Amostragem No-Probabilsticas

o Amostragem por Convenincia

A amostragem por convenincia adequada e freqentemente utilizada para gerao de idias em pesquisas exploratrias, principalmente.

A amostra por convenincia empregada quando se deseja obter informaes de maneira rpida e barata. Uma vez que esse procedimento consiste em simplesmente contatar unidades convenientes da amostragem, possvel recrutar respondentes tais como estudantes em sala de aula, mulheres no shopping, alguns amigos e vizinhos, entre outros. Os autores comentam que este mtodo tambm pode ser empregado em pr-testes de questionrios.

Alguns exemplos de pesquisa com amostras por convenincia:

Solicitar as pessoas que voluntariamente testem um produto e que em seguida respondam a uma entrevista.

Parar pessoas no supermercado e colher suas opinies.

Colocar linhas de telefone adaptadas para que durante um programa de televiso os telespectadores possam dar suas opinies.

o Amostragem por julgamento

O pesquisador escolhe deliberadamente certos elementos da populao para formar a amostra, baseado num pr-julgamento.

Exemplo: Pesquisa de mercado para lanar uma nova marca de leite longa vida tipo A. O pesquisador selecionar indivduos com poder aquisitivo mdio/alto, que so os principais consumidores deste produto (publico alvo), embora toda a populao independentemente do poder aquisitivo possa ser consumidora deste produto.

o Amostragem por quotas

tambm baseada em um julgamento e no em um processo aleatrio. freqentemente usada em pesquisas de opinio e pesquisa de mercado. Neste mtodo deve-se conhecer as caractersticas da populao de antemo e, ento, usar uma amostra semelhante populao em termos de composio.

O objetivo obter-se uma amostra que seja representativa da populao. A forma da populao deve ser conhecida, pelo menos aproximadamente, proporo que aparece uma certa quantidade, por exemplo, as propores de pessoas de diferentes idades, sexo e grupos tnicos. A amostragem por quotas busca repetir esses percentuais na amostra. A amostragem por quotas pode ser comparada a uma amostragem estratificada. A populao estratificada por variveis importantes, tais como idade, sexo e localidade e a quota necessria obtida de cada estrato. Mas a diferena importante que a amostragem por quotas no selecionada por qualquer base aleatria.



EXERCCIOS RESOLVIDOS

01. Para cada uma das seguintes situaes diga qual o tipo de amostragem foi utilizada.

a) Para compor a amostra foram sorteados aleatoriamente 10% de homens e 10% de mulheres de uma cidade. Tipo de Amostragem:_Estratificada Proporcional______

b) Numa escola precisa-se dividir 20 pessoas em dois grupos. Para o primeiro grupo ele seleciona

aleatoriamente 10 pessoas, e considera os 10 restantes para o segundo grupo. Tipo de Amostragem: Aleatria Simples

c) Uma lista numerada contm 200 nomes, numerados consecutivamente a partir do nmero 1.

Iniciando pelo 10 nome, uma amostra foi composta considerando sorteados os nomes referentes aos nmeros 20, 30, 40, 50 e assim sucessivamente at que fossem escolhidos 10 nomes. Tipo de amostragem: Amostragem Sistemtica_

02. Complete:

a) Na amostragem aleatria simples_ cada elemento da populao tem a mesma chance de ser includo na amostra.

b) Na amostragem _sistemtica_a seleo dos itens da populao que faro parte da amostra so escolhidos seguindo uma seqncia fixa, isto , so escolhidos os itens r, r+k, r+2k, r+3k, e assim por diante.

c) A amostragem estratificada_pressupe a diviso da populao em subgrupos de itens similares, procedendo-se ento a amostragem em cada subgrupo.

d) A amostragem por Conglomerados_pressupe a disposio dos itens de uma populao em subgrupos heterogneos representativos da populao global, procedendo-se a amostragem dos subgrupos.

03. (ESAF/AFPS/2002/Administrao Tributria Previdnciria) Assinale a opo correta em

referncia ao significado do termo amostragem aleatria simples. a) Refere-se a um mtodo de classificao da populao. b) Refere-se representatividade da amostra. c) um mtodo de escolha de amostras. d) Refere-se a amostras sistemticas de populaes infinitas. e) Refere-se amostragem por quotas. Sol.: A amostragem aleatria simples um tcnica de amostragem que usada na escolha dos elementos da populao que constituiro a amostra.

Resposta: Alternativa C!

04. (AFCE-TCDF-2002/CESPE) Julgue os itens seguintes.

1. Quando aplicada em uma populao de pessoas formada pelo mesmo nmero de homens e de mulheres, uma amostra aleatria simples tambm apresenta o mesmo nmero de homens e de mulheres.

No necessariamente! Item errado!

05. (FTE-Alagoas-2002/CESPE) Julgue os seguintes itens.

1. Quando a escolha dos elementos que faro parte de uma amostra realizada usando-se um mecanismo probabilstico, diz-se que se trata de amostra por quotas.

A amostragem por Quotas uma tcnica de amostragem NO-PROBABILISTICA. Item errado!



INTERVALO DE CONFIANA

1. INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA

O processo de construo do intervalo de confiana para a mdia de uma populao depende se o

desvio padro da populao () conhecido ou deve ser estimado com base nos valores amostrais (desvio

padro amostral S ), e tambm se o tamanho da amostra grande (n30).

Mostramos abaixo o intervalo de confiana de acordo com o tamanho da amostra e do conhecimento do desvio padro da populao:

n

zX

. : para amostra grande (n30) ou com conhecido.

n

tX

. : para amostra pequena (n



2. INTERVALO DE CONFIANA PARA A PROPORO

A estimativa de propores populacionais muito semelhante de mdias populacionais, com uma simplificao: a distribuio t de Student no usada, e assim evita-se completamente o problema t versus z.

Frmula do Intervalo de Confiana

A proporo amostral (p) utilizada como estimativa pontual da verdadeira proporo. Por exemplo, se estamos interessados em saber a proporo (ou porcentagem) de peas defeituosas num grande lote, e selecionando uma amostra de 40 peas, encontramos 5 peas defeituosas, ento a proporo p da amostra 5/40 ou 12,5%.

A estimativa intervalar (intervalo de confiana) da proporo populacional simtrica em relao proporo amostral (p), tal como ocorre com o intervalo para a mdia populacional em relao mdia

amostral ( X ). E a sua frmula a seguinte:

n

ppzp

)1(.

3. DETERMINAO DO TAMANHO DA AMOSTRA

O tamanho de uma amostra pode ser calculada com base na margem de erro (E) do intervalo de confiana!

Vimos que a margem de erro o valor que somado e subtrado a estimativa pontual para formar os limites do intervalo de confiana. Assim:

Para a Mdia: o intervalo de confiana : n

zX

. , ento: E=n

z

.

Para a proporo: o intervalo de confiana : n

ppzp

)1(.

, ento: E=

n

ppz

)1(.

Nesta ltima, se o valor da proporo p no puder ser obtido a partir dos dados do enunciado da

questo, ento consideraremos p igual a 1/2 ou 0,5. (Entre os valores possveis para p, o valor 1/2 o pior

caso, no sentindo de a margem de erro ser mxima).

Para encontrarmos o tamanho da amostra, devemos isolar o valor de n na frmula da margem de erro.



TESTES DE HIPTESES

# PASSO A PASSO DO TESTE DE HIPTESE PARA MDIA

1 Passo) Verificar se o Teste bilateral ou unilateral ( direita ou esquerda).

Conforme o sinal de H1, teremos a definio do teste a ser realizado:

- H1 com sinal de , o teste deve ser bilateral;

- H1 com sinal de , o teste deve ser unilateral direito.

2 Passo) Definir, conforme os dados da questo, se ser utilizada a Curva Normal (Z) ou a Curva de Student (t).

Lembraremos que a Curva de Student (t) s ser usada em um nico caso: se (desvio padro populacional) for desconhecido e, ao mesmo tempo, n



5 Passo) Calcular, usando a frmula adequada situao, o z calculado ou o t calculado.

Para tanto, haver duas possibilidades:

1) Se desvio padro populacional conhecido ou n30:

n

Xzcalc

2) Se desvio padro populacional desconhecido e n



Com a Curva Z (Normal Padronizada):

Teste Bilateral Teste Unilateral Direito Teste Unilateral Esquerdo

-ztab ztab ztab -ztab

4 Passo) Descobrir, usando a tabela da Curva Normal, o z tabelado.

Lembrando que para achar o z tabelado usaremos apenas o nvel de significncia que ser fornecido pela questo.

Com este passo, definimos no desenho do teste quais so as reas de aceitao e de rejeio de Ho. Nos desenhos que vemos acima, no terceiro passo, as reas de rejeio de Ho, tambm chamadas de regies crticas, esto sempre marcadas com tracinhos horizontais.

5 Passo) Calcular o z calculado.

Haver apenas uma possibilidade:

n

PP

Ppzcalc

)1(

Onde:

p a proporo amostral;

P a proporo presumida para a populao (e que est sendo testada na hiptese H0);

n o nmero de elementos da amostra.

No assunto de intervalo de confiana da Proporo, usvamos, dentro da raiz do denominador da frmula acima, a proporo amostral p (pzinho). Mas fazamos isso porque no conhecamos a proporo

da populao, alis, estvamos atrs dela. Aqui como temos a proporo presumida para a populao P(pzo), ento usaremos esta.

6 Passo) Localizar no desenho do teste onde est o z calculado, se na rea de aceitao ou na rea de rejeio de Ho, para, finalmente, decidir.

O critrio de deciso ser sempre o mesmo:

Se o z calculado estiver:

na rea de aceitao de Ho, diremos que Ho ser aceita;

na rea de rejeio de Ho, diremos que Ho ser rejeitada.

/2 /2



# TIPOS DE ERROS EM UM TESTE DE HIPTESES

Erro do Tipo I: ocorre quando rejeitamos a hiptese nula quando ela verdadeira.

Erro do Tipo II: ocorre quando aceitamos a hiptese nula quando ela falsa.

A probabilidade de cometer o erro do tipo I a prpria significncia do teste, portanto, ela definida a priori.

Prob(erro do tipo I) = = significncia do teste

Chamamos a probabilidade de cometer o erro do tipo II de . Ou seja:

Prob(erro do tipo II) =

Em um teste de hipteses, espera-se, naturalmente, que a hiptese nula seja aceita quando verdadeira e rejeitada quando falsa. Logo, h quatro resultados possveis num teste, conforme mostrado na tabela abaixo.

Se H0 Verdadeira Se H0 Falsa

Aceitamos H0 Deciso correta! Erro Tipo II

Rejeitamos H0 Erro Tipo I Deciso correta!



EXERCCIOS

PROBABILIDADE 01. (ATRFB 2009 ESAF) Trs amigas participam de um campeonato de arco e flecha. Em cada tiro,

a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo menos dois dos trs tiros acertarem o alvo?

a) 90/100 b) 50/100 c) 71/100 d) 71/90 e) 60/90 02. (ATRFB 2009 ESAF) Para acessar a sua conta nos caixas eletrnicos de determinado banco, um

correntista deve utilizar sua senha constituda por trs letras, no necessariamente distintas, em determinada sequncia, sendo que as letras usadas so as letras do alfabeto, com exceo do W, totalizando 25 letras. Essas 25 letras so ento distribudas aleatoriamente, trs vezes, na tela do terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contm a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais prximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequncia trs das cinco teclas disposio e acertar ao acaso as teclas da senha?

a) 0,001. b) 0,0001. c) 0,000125. d) 0,005. e) 0,008. 03. (Auditor Fiscal de Natal 2008 ESAF) Uma urna contm: 1 bola amarela; 4 bolas azuis; 10 bolas

brancas; 15 bolas vermelhas; e 20 bolas pretas. Dado que na primeira extrao foi retirada uma bola vermelha, a probabilidade de na segunda tentativa retirar uma bola vermelha, novamente, :

a) maior que retirar uma bola branca ou azul. b) maior que retirar uma bola preta. c) menor que retirar uma bola branca. d) menor que retirar uma bola azul. e) menor que retirar uma bola amarela ou branca ou azul. 04. (AFC/STN 2008 ESAF) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moas de cabelos

loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moas de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moas de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moas para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moa selecionada possui olhos castanhos. Com essa informao, Marco conclui que a probabilidade de a moa possuir cabelos loiros ou ruivos igual a: a) 0 c) 19/50 e) 19/31 b) 10/19 d) 10/50



05. (AFC-CGU 2008 ESAF) Uma populao de indivduos constituda 80% por um tipo gentico A

e 20% por uma variao gentica B. A probabilidade de um indivduo do tipo A ter determinada doena de 5%, enquanto a probabilidade de um indivduo com a variao B ter a doena de 40%. Dado que um indivduo tem a doena, qual a probabilidade de ele ser da variao gentica B?

a) 1/3. d) 0,6. b) 0,4. e) 2/3. c) 0,5. 06. (Gestor Fazendrio MG 2005 ESAF) Em uma caixa h oito bolas brancas e duas azuis.

Retirasse, ao acaso, uma bola da caixa. Aps, sem haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, tambm ao acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola azul. Dado que essa segunda bola azul, a probabilidade de que a primeira bola extrada seja tambm azul : a) 1/3 d) 2/10 b) 2/9 e) 3/10 c) 1/9

07. (Analista de Planejamento e Oramento APO 2010 ESAF) Um viajante, a caminho de

determinada cidade, deparou-se com uma bifurcao onde esto trs meninos e no sabe que caminho tomar. Admita que estes trs meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos trs meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele tambm responder que o caminho da direita?

a) 1. b) 2/3. c) 1/2. d) 1/3. e) 1/4. DISTRIBUIO BINOMIAL 08. (Processo Seletivo vrios ministrios 2008 ESAF) Carla, Cssio e Ceclia foram colegas em um

curso de especializao em Bioestatstica. Durante o curso, Cssio e Ceclia casaram. Curiosos, os trs colegas vericaram, atravs de clculos estatsticos, que a probabilidade de Cssio e Ceclia terem um lho do sexo masculino de olhos verdes igual a 1/10. Aps muitos anos sem ter notcias de Cssio e Ceclia, Ana soube que eles tiveram cinco lhos. Com saudades, Carla resolveu visit-los. Durante a viagem de ida, Carla fez alguns clculos e concluiu que a probabilidade de Cssio e Ceclia terem dois meninos de olhos verdes igual a:

a) 0,0135 c) 0,0225 e) 0,02 b) 0,0729 d) 0,2



09. (AFRFB 2009 ESAF) Em um experimento binomial com trs provas, a probabilidade de ocorrerem dois sucessos doze vezes a probabilidade de ocorrerem trs sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso so, em percentuais, respectivamente, iguais a:

a) 20 % e 80 % b) 80 % e 20 % c) 60 % e 40 % d) 30 % e 70 % e) 25 % e 75 % 10. (Auditor Fiscal de Natal 2008 ESAF) Numa distribuio Binomial, temos que: I. A E[x] = n.p.q, ou seja, o produto dos parmetros n nmero de elementos da avaliao, p

probabilidade de ocorrncia do evento e q probabilidade contrria (q = 1 - p). II. O desvio-padro dado pela raiz quadrada do produto entre os parmetros n e p. III. A varincia dada pelo somatrio dos quadrados dos valores (Xi) menos o quadrado da mdia. Apontando os trs itens acima como V Verdadeiro e F Falso, a opo correta : a) F, V, F b) V, V, F c) F, F, F d) V, F, F e) V, V, V 11. (Auditor Fiscal de Natal 2008 ESAF) Apontando por V Verdadeiro e F Falso, indique a opo

correta para as seguintes sentenas: I. Uma v. a. varivel aleatria que pode assumir somente dois valores, diz-se possuir distribuio

de Bernoulli e sua integral, no intervalo [a; b], possui distribuio Binomial. II. Uma v. a. com distribuio de Bernoulli, se acumulados os resultados sem reposio, geram

uma distribuio hipergeomtrica e se for com reposio geram uma distribuio Binomial. Assinale o respectivo conjunto: a) F, V b) V, F c) F, F d) V, V e) pode ser V, F DISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA 12. (AFT 2010 ESAF) Em uma amostra aleatria simples de 100 pessoas de uma populao, 15 das

40 mulheres da amostra so fumantes e 15 dos 60 homens da amostra tambm so fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas da amostra, sem reposio, a probabilidade de exatamente quatro delas serem homens fumantes dada por:

a) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,15, n=5 e k=4.

b) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=15 e k=4. c) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=60 e k=4. d) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=15, m=5 e k=4. e) Cn.k p

k (1-p)n-k, sendo p=0,25, n=5 e k=4.



DISTRIBUIO DE POISSON 13. (AFRFB 2009 ESAF) O nmero de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma

distribuio de Poisson, com mdia de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no mximo trs petroleiros em dois dias igual a:

a)

d)

b)

e)

c)

DISTRIBUIO NORMAL

14. (Auditor Fiscal de Natal 2008 ESAF) Se x uma v. a. varivel aleatria com funo densidade

de probabilidade f(x), caracterizada pelo modelo normal, podemos armar que: a) o desvio-padro igual a 1 (um). b) a mdia tem valor 0 (zero). c) a funo de distribuio acumulada f(x) igual a 1, para todos os valores acima de b. d) os parmetros mdia, moda e mediana so iguais. e) a varincia tem o valor do quadrado da mdia. 15. (SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Seja Z uma varivel aleatria Normal Padro. Dados os valores de

z e de P(Z < z) a seguir, obtenha o valor mais prximo de P(-2,58 < Z < 1,96). z 1,96 2,17 2,33 2,41 2,58 P( Z < z ) 0,975 0,985 0,99 0,992 0,995

a) 0,99 b) 0,97 c) 0,98 d) 0,985 e) 0,95 16. (ESAF/Analista (Planej. e Execuo Financeira) - CVM - 2000) Uma pessoa est indecisa se

compra uma casa agora ou se espera para comprar daqui a um ano. A pessoa acredita que o aumento do preo da casa em um ano tenha distribuio normal com mdia de 8% e desvio-padro de 10%. Se o preo aumentar mais de 25% a pessoa no ter dinheiro para adquirir o imvel. Por outro lado, se o preo da casa cair, a pessoa sair lucrando. Assinale a opo que d as probabilidades de ocorrncia de cada um desses eventos, respectivamente. Nos clculos use a tabela dos valores das probabilidades P(Z > z) para a distribuio normal padro dada a seguir.

z P(Z>z) z P(Z>z)

0,5 0,309 1,5 0,067

0,6 0,274 1,6 0,055

0,7 0,242 1,7 0,045

0,8 0,212 1,8 0,036

0,9 0,184 1,9 0,029



a) 4,5% e 10,4% c) 4,5% e 24,2% e) 4,5% e 21,2% b) 6,7% e 24,2% d) 2,9% e 18,4% 17. (AFRE-MG 2005 ESAF) As vendas em um ms de determinado produto, de custo unitrio, em

reais, tem distribuio aproximadamente normal com mdia de R$ 500,00 e desvio padro de R$ 50,00. Se a empresa decide fabricar, em dado ms, 600 unidades do produto, assinale a opo que d a probabilidade de que a demanda no seja atendida. (Em sua resposta faa uso da tabela da funo de distribuio (x) da normal padro dada abaixo).

x (x)

1,85 0,968

1,96 0,975

2,00 0,977

2,12 0,983

a) 5,0% d) 2,5% b) 3,1% e) 4,0% c) 2,3% VALOR ESPERADO E VARINCIA DE UMA VARIVEL ALEATRIA 18. (MPOG/ENAP 2006 ESAF) Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lanamento

dessas duas moedas resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o valor esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando-se como ganhos negativos os valores que ela paga Suzana) igual a

a) 1,5. c) 0,75. e) 2,5. b) -0,75. d) -1,5.

19. (AFRFB 2009 ESAF) A funo densidade de probabilidade de uma varivel aleatria contnua x

dada por:

Para esta funo, a mdia de x, tambm denominada expectncia de x e denotada por E(x) igual a:

a)

d)

b)

e)

c)



CORRELAO 20. (Tcnico Receita Federal 2006 ESAF) O coeficiente de correlao entre duas variveis Y e X

igual a +0,8. Considere, agora, a varivel Z definida como: Z = 0,2 - 0,5X. O coeficiente de correlao entre as variveis Z e X, e o coeficiente de correlao entre as variveis Z e Y sero iguais, respectivamente, a: a) -1,0 e -0,8 c) -0,5 e -0,8 e) -0,2 e -0,4 b) +1,0 e +0,8 d) -0,5 e +0,8

21. (Tcnico Receita Federal 2006 ESAF) Para 5 pares de observaes das variveis X e Y, obteve-se

os seguintes resultados:

X = Y = 15 ; X2 = Y2 = 55 ; XY = 39 Sabendo-se que esses 5 pares de observaes constituem a totalidade da distribuio conjunta populacional dessas duas variveis, o valor do coeficiente de correlao entre X e Y igual a: a) +1,000 b) +0,709 c) +0,390 d) -0,975 e) -0,600 REGRESSO LINEAR

22. (AFRFB 2009 ESAF) Na anlise de regresso linear simples, as estimativas e dos parmetros e da reta de regresso podem ser obtidas pelo mtodo de Mnimos Quadrados. Nesse caso, os valores dessas estimativas so obtidos atravs de uma amostra de n pares de valores

Xi Yi com (i =1, 2, ....,n), obtendo-se: i = + Xi , onde i a estimativa de Yi = + Xi . Para cada par de valores Xi Yi com (i =1, 2, ...,n) pode-se estabelecer o desvio ou resduo aqui

denotado por ei entre a reta de regresso Yi e sua estimativa i . Sabe-se que o Mtodo de Mnimos Quadrados consiste em adotar como estimativas dos parmetros e os valores que minimizam a soma dos quadrados dos desvios ei. Desse modo, o Mtodo de Mnimos Quadrados consiste em minimizar a expresso dada por:



23. (Fiscal de Rendas ISS/RJ 2010 ESAF) A partir de uma amostra aleatria simples formada por 22 observaes das variveis X e Y calculou-se

Obtenha a reta de regresso linear de Y em X.

a) = 13 + 0,65 Xi b) = 13 + 1,3 Xi c) = 20 + 0,65 Xi d) = 20 + 2 Xi e) = -13 + 1,3 Xi 24. (Fiscal de Rendas ISS/RJ 2010 ESAF) Com os dados da questo anterior, calcule o valor mais

prximo do coeficiente de determinao R2 da regresso linear de X em Y. a) 0,65 b) 0,81 c) 0,85 d) 0,91 e) 0,88 INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA E A PROPORO 25. (ESAF/IBGE 1999) Uma amostra aleatria de tamanho 400 de uma distribuio normal foi

observada, verificando-se uma mdia amostral igual a 20,3 com um desvio padro igual a 2,0. Um intervalo de confiana com 95% de nvel de confiana para a mdia populacional ser dado pr a) (16,734; 23,866) b) (18,736; 21,864) c) (19,078; 21,522) d) (20,104; 20,496) e) (19,749; 20,851)

26. (SERPRO 2001 ESAF) Uma empresa grande de processamento de dados leva a efeito uma

pesquisa de opinio sobre o nvel de satisfao de seus empregados com os respectivos empregos. Neste contexto 100 empregados, de uma populao infinita, sob objetivos prticos, so selecionados ao acaso e questionados. Destes, 50 mostraram-se satisfeitos ou muito satisfeitos com seus empregos. Assinale a opo que caracteriza o intervalo com coeficiente de confiana de 95%, simtrico, para a proporo populacional desconhecida de empregados satisfeitos ou muito satisfeitos com seu emprego. (Use em seus clculos o Teorema Central do Limite e a tabela da distribuio normal padro dada abaixo, aproximando o valor encontrado na tabela para o inteiro imediatamente superior).



A tabela abaixo d os valores de P{0



31. (AFC-CGU 2008 ESAF) Um fabricante divulga que a caracterstica principal de seu produto tem uma mdia de 1000 unidades. Um pesquisador, duvidando desta armao, encontrou uma caracterstica mdia de 935 e desvio-padro amostral de 130 examinando uma amostra aleatria simples de tamanho 9 destes produtos. Calcule o valor mais prximo da estatstica t para testar a hiptese nula de que a mdia da caracterstica principal do produto 1000, admitindo que a caracterstica tem uma distribuio normal.

a) -1,5. c) -1,89. e) -2,115. b) -1,78. d) -1,96. 32. (AFRE-MG 2005 ESAF) Um fabricante afirma que pelo menos 95% dos equipamentos que

fornece indstria encontram-se dentro de suas especificaes. Uma amostra de 200 itens escolhidos ao acaso revelou 10 itens fora de especificao. Assinale a opo que corresponde ao valor probabilstico (p-valor) do teste de H0:0,95 contra H1:



GABARITO

01 D

02 E

03 E

04 B

05 E

06 C

07 D

08 B

09 A

10 C

11 A

12 A

13 E

14 D

15 B

16 E

17 C

18 D

19 E

20 A

21 E

22 Anulada

23 E

24 C

25 D

26 A

27 D

28 D

29 C

30 A

31 A

32 A

33 E

34 A

resolução de questões estatística esaf

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