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RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2012 DA UNICAMP-FASE 1.
POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
QUESTÃO 1 Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35 ºC
em 1995 para 13,8 ºC em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear observada entre
1995 e 2010, a temperatura média em 2012 deverá ser de
a) 13,83ºC. b) 13,86ºC. c) 13,92ºC. d) 13,89ºC.
RESOLUÇÃO:
Seja C(t) = at + 13,35 a função que representa
a temperatura média anual do planeta, onde t é
ordem do ano a partir de 1995 (ano 0).
Sendo C(15) = 13,8°C, então:
15a + 13,35 = 13,80 ⇒ 15a = 0,45 ⇒a =0,03
⇒ C(t) = 0,03t + 13,35 ⇒ a temperatura média
em 2012 será: C(17) =0.03×17 + 13,35 =
13,86
RESPOSTA: Alternativa b.
QUESTÃO 2 Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem
descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que
alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas
uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse
caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a
a) 360. b) 344. c) 324. d) 368.
RESOLUÇÃO:
2
O número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a:
2(SABCD + SEFGH + SIJLM) = 2(18×3 + 3×6 + 18×6) = 2(54 + 18 +108) = 360
RESPOSTA: Alternativa a. QUESTÃO 3 O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última
reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a
organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar
essa comissão?
a) 6720. b) 100800. c) 806400. d) 1120.
RESOLUÇÃO: Para se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças com os 6 alunos e 8 alunas
componentes do grêmio estudantil existem 11205620123
678
123
456CC 8,56,3 =×=
××
×××
××
××=×
maneiras diferentes.
RESPOSTA: Alternativa d.
QUESTÃO 4 A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é
a) 21/4. b) 23/4. c) 25/4. d) 27/4.
RESOLUÇÃO:
3
A tangente do ângulo α é igual a =1
22.
Como AB ⊥ OC , o coeficiente angular
da reta AB é igual a 2
1− e sua equação
reduzida tem a forma
*Rb com b,x2
1y +∈+−= . Como o ponto
C(1, 2) pertence a AB :
( ) .2
50,B e 5,0A
2
5x
2
1 y
2
5 b 2b 1 4 b
2
12
==⇒+−=⇒=⇒+−=⇒+−=
Logo a área do triângulo OAB é 4
255
2
5
2
1S =××= .
RESPOSTA: Alternativa c. QUESTÃO 5 Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma
trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua
posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura
máxima por ela alcançada esteve entre
a) 4,1 e 4,4 m.
b) 3,8 e 4,1 m.
c) 3,2 e 3,5 m.
d) 3,5 e 3,8 m.
RESOLUÇÃO:
Considerando como origem do plano
cartesiano o ponto de onde o jogador
chutou a bola tem-se a parábola ao lado,
cuja equação é da forma y = ax(x – 40) e
que passa no ponto (30, 3).
Logo, 900a – 1200a = 3 ⇒ 300a = −3 ⇒ a = 100
1− ⇒ y = x
100
40x
100
1 2+− .
4
O eixo de simetria da parábola descrita pela a reta x = 20, e para esse valor de x, y
assume o valor máximo: y = ⇒=+− 4100
008
100
400A altura máxima atingida pela bola foi
de 4m.
RESPOSTA: Alternativa b.
TEXTO PARA AS QUESTÕES 6 E 7
Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madeira.
As figuras abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os detalhes das
ligações entre as ripas, nos quais os parafusos são representados por círculos brancos.
Note que cada ripa está presa à cerca por dois parafusos em cada extremidade.
QUESTÃO 6 Para construir uma cerca com 300 m de comprimento, são necessários
a) 1201,5 m de ripas.
b) 1425,0 m de ripas.
c) 2403,0 m de ripas.
d) 712,5 m de ripas.
RESOLUÇÃO:
O desenho abaixo representa a contagem do total de ripas horizontais (representadas em
preto), obliquas (representadas em azul marinho) e verticais (representadas em azul).
Examinando o desenho vê-se que são 2n ripas horizontais, n ripas obliquas e n + 1
verticais.
A cerca é formada de n retângulos de comprimento 2m cada um, então em uma cerca de
300m de comprimento, o total de retângulos é encontrado pela resolução da equação:
2n = 300 ⇒ n = 150.
Tem-se então 2 × 150 = 300 ripas horizontais, 150 obliquas e 151 verticais.
O comprimento de cada ripa horizontal é 2m, o de
cada vertical é 1,5m e o de cada obliqua é:
2,5m6,252,254x ==+=
Pelos dados da questão, as 601 ripas medem: 1201,5m5,11515,21502300 =×+×+×
RESPOSTA: Alternativa a.
5
QUESTÃO 7
Os parafusos usados na cerca são vendidos em caixas com 60 unidades. O número
mínimo de caixas necessárias para construir uma cerca com 100 m de comprimento é
a) 13. b) 12. c) 15. d) 14.
RESOLUÇÃO:
A figura ao lado representa uma parte da
cerca, Analisando-a conclui-se que a cada
ripa (horizontal, obliqua ou vertical)
correspondem 4 parafusos, 2 por
extremidade.
Como 100m de cerca é constituída de 50 retângulos, ter-se-á 100 ripas verticais, 50
ripas obliquas e 51 verticais, num total de 201 ripas. Para montar a cerca serão
necessários 4 × 201 = 804 parafusos.
Como os parafusos são vendidos em caixa de 60 unidades, e 804 = 13 × 60 + 24 será
necessário comprar 14 caixas desses parafusos.
RESPOSTA: Alternativa d. QUESTÃO 8 As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de cada
passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso de peso. Quando dois
passageiros compartilham a bagagem, seus limites são considerados em conjunto.
Em um determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava sozinho
transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. O
valor que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal.
Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que viajava
sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro pode transportar sem pagar
qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear:
a)
=−
=+
=+
0y3,5x
60zy
602zx
b)
=−
=+
=+
0y3,5x
60z2y
60zx
c)
=+
=+
=+
0y3,5x
60zy
602zx
d)
=+
=+
=+
0y3,5x
60z2y
60zx
RESOLUÇÃO: Considerando que por 1 quilo excedente paga-se um valor t
Peso livre de taxa Peso excedente Valor pago por quilos
excedentes
Casal 2z x = 60 – 2z t(60 – 2z) = tx
Senhor z y = 60 – z t(60 – z) = ty
Dos dados da questão:
=−
=+
=+
⇒
=
=+
=+
⇒
×=
−=
−=
03,5xy
60zy
602zx
3,5xy
60zy
602zx
tx3,5ty
z60y
2z60x
RESPOSTA: Alternativa a.
6
QUESTÃO 9 Um vulcão que entrou em erupção gerou uma nuvem de cinzas que atingiu rapidamente
a cidade de Rio Grande, a 40 km de distância. Os voos com destino a cidades situadas
em uma região circular com centro no vulcão e com raio 25% maior que a distância
entre o vulcão e Rio
Grande foram cancelados. Nesse caso, a área da região que deixou de receber voos é
a) maior que 10000 km².
b) menor que 8000 km².
c) maior que 8000 km² e menor que 9000 km².
d) maior que 9000 km² e menor que 10000 km².
RESOLUÇÃO:
Como a região circular com centro no vulcão tem
raio igual a 1,25×40km = 50km, a sua área é de
aproximadamente; S = 502 ×3,14 = 7850km
2.
RESPOSTA: Alternativa b.
QUESTÃO 10 Para construir uma curva “floco de neve”, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em
três partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60º, e
acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que
aparece tracejado na Figura 2.
Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada segmento da linha
poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e 4.
Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual
a
a)
.3!!4
!6cm. b)
.3!!4
!5cm. c)
5
3
4
cm. d)
6
3
4
cm.
7
RESOLUÇÃO:
Considerando o comprimento do segmento inicial igual a 1cm, o comprimento da linha
poligonal da figura 2 será cm3
41cm
3
14 =
×× ; o da figura 3 será cm
9
16cm
3
4
3
14 =
×× ;
o da figura 4 será cm27
64cm
9
16
3
14 =
×× ........
Os comprimentos formarão então a progressão geométrica: 5
613
4
243
1024a e
3
4r 1,a com,,....
243
1024,
81
256,
27
64,
9
16,
3
4,1
====
.
RESPOSTA: Alternativa c.