Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 342 CAPTULO 7 7.6 - EXERCCIOS pg. 241 -244 1. Calcular( ) ,Rf xy dx dy}}, onde: a)( ) . 1 0 ; 3 1 : ; , s s s s = y x retngulo o R e x y x fxy ( ) ( ) 2 1 3 113 1 3313110103110 = == = =}}} }e e e exxedx eexyedy e xdx dy e xxx xyxy b)( ) , ; : 0 3; 0 1.xyf xy y e R o retngulo x y = s s s s ( )13 1 3 1 13 3 300 0 0 001 1 1 4131 1 .3 3 3 33xy yxyyy e dx dy dy e dy e ee y e| |= = = = = |\ .} } } } c)( ) .20 ; 2 0 : ; cos ,ts s s s = y x retngulo o R xy x y x f ( )( )t tttttttttt41 120 cos 22cos22cos222coscos2020202 /02020= =|.|

\| === =}}} }xdx x senxsen xy sen dy xy xdx dy xy x d)( ) . 2 1 ; 3 2 : ; ln , s s s s = y x retngulo R x y y x f Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 343 ( )( )( ) ( ) ( )( )2 31 233222211lnln1ln1ln ln lnln 3 ln 3 3 2 ln 2 2 3 ln 3 2 ln 2 1ln24 13 ln 3 2 ln 2 1 3 ln 3 2 ln 2 13 ln 3 2 ln 2 12 2 233 ln 3 2 ln 2 1 .2y x dx dyx dxu x du dxxdv dx v dx x cx dx x x x dx x x xxx dxx x xyy dy= == = = += = = = + = | | = = = |\ .= } }}}} }}} e)( ) . 2 1 ; 2 1 : ;1, s s s s+= y x quadrado o Ry xy x f( )2 21 12211211ln 2 ln 1lnln 2 ln 1dx dyx ydxy yx yx yy y dy+= = + ++++ +} }}} Resolvendo as integrais temos: ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ). 2 ln 2 2 ln221 2 ln22 ln 212 ln 2 ln212 ln2 lny y y ydyyy ydyyyy ydyyy y y dy yc y dy v dy dvdyydu y udy y+ + + =||.|

\|+ + =+ + =+ + = ++ = = =+= + =+}}} }}} Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 344 Assim,( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )221122112121ln 2 4 ln 4 3 ln 3 1ln 2 2 ln 2ln 1 ln 1 3 ln 3 2 ln 2 1ln 14 ln 4 3 ln 3 1 3 ln 3 2 ln 2 1 4 ln 4 6 ln 3 2 ln 24 ln 4 3 ln 3 2 ln 2 4 ln 4 6 ln 3 2 ln 2 10ln 2 6ln3.y dyy y y yy dy y y yydxx ydy+ = = + + ++ = + + = += + + = ++ + = + = }}}} 2. Esboar a regio de integrao e calcular as integrais iteradas seguintes: a)( ) dx dy y xxx} }+1024 2Temos que: s ss s1 02xx y x Veja grfico a seguir. -1 1 2-2-112xy ( ) ( ) ( )222 2 2 2 21120022 4 2 2 2 4 2 6 8 .2 42388 .833xxxxyx y dy x x x x x x x xxyxx dx| |+ = = + = + =|+ |\ .= =}} Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 345 b) ( ) dy dx x xyyy} }+202 Temos que: s ss s 2 0 yy x y Veja grfico a seguir. -2 -1 1 2-112xy ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2202 21202 22 20 0yyyyyx xxy x dx y y y yydy| |+ = = + =|+ |\ .=}} c) } }exdx dy x11ln Temos que: s ss se xy x11 ln Veja grfico a seguir. Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 346 -1 1 2 3 4-2-112xy ( )( )dx x x xx x x x xxydy xexx}} = = =11ln1lnlnln ln 1 Resolvendo a integral temos: cxxxdxxx xx dx x xcxdx x v dx x dvdxxdu x udx x x+ = =+ = = == =} }}}2 21ln212 2ln ln21lnln2 2 2 22 Portanto. ( ).4341

43412 2 412141ln2 2241ln2222ln222 222 211 = + = + =+ = }eee ee ee ex xx xdx x x xee d) } }e xydx dye e1ln01 Temos: s ss se xx y1ln 0 Veja grfico a seguir. Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 347 -1 1 2 3 4-2-112xy Invertendo os limites de integrao temos: } }}} }= = =+ + = + ===1010101011111ydy dye ee ee ee ee eee eee edxe edy dxe eyyeeyyyyyyeeyeeyy yy e) } }t0 0x sendx dy yTemos que: s ss st xx sen y00 Veja grfico a seguir. /2 -2-1123xy Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 348 ( )t t t ttt410 0 cos 02121cos212121cos21212121220 02200=|.|

\| + + =+ == =}}sen senx x x sendx x senx senydy yx senx sen f) } }10102ydy dx xTemos que: s s s s1 01 02yy x Veja grfico a seguir. 11xy ( )22112 2001120021 1 112 2 2231 1 1 1 11 1.2 2 2 6 32 2 3yyxx dx y yyy dyy= = = | || | = = =| | | \ .\ .}} g) } }114122xxdx dy xTemos que: s s s s 1 14 12 2xx y x Veja grfico a seguir. Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 349 -2 -1 1 2-1123xy ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )2222442 211113 2 3 22 2114 13 2 3 22 24 11 1 1 11 14 1 3 0 3 0 03 3 3 32 3 2 2 3 2xxxxx dy x x xxyx xx x x dx= = | | | | = = + + = + | |\ .}} h) } }1022xxdx dy xyTemos que: s ss s1 02xx y x Veja grfico a seguir. 1 2-112xy Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 350 ( )( )224 2 5112 50022223 61 1 2 1 13 6 6 63 6xxxxyxy dy x x x x xxx xx x dx= = = | | = = = =| |\ .}} i) } }21 0lnxdx dy x yTemos que: s ss s2 10xx y Veja grfico a seguir. 1 2-112xy 2002 212ln lnln22ln2xxxyy x dy xxxx dx= =}}

Vamos resolver a integral ( )3 3 32 322 2111 1 1ln ln ln3 3 3 3 31 1 1 1 1 4 71 1 13 3ln 8 ln 2 8 ln 2 .ln2 2 3 9 2 9 3 182 3 9x x xx xdx x dx x x cxxxdxx x x= = +| | | |= = = ||\ . \ .} }} Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 351 j) } }+10 0ydy dx y xTemos que: s ss s1 00yy x Veja grfico a seguir. 11xy Resolvendo a integral vem: ( )( )( )( ) ( ). 1 2 215452522322 52 52 52 52 3232232322322 32 3102 3102 3 2 3 2 32 3 2 300102 1}|.|

\|} } =|.|

\| = = =+= + = +y ydy y yy yy xdx y x dx y xyy k) } }10103sec dx dy xTemos que: s ss s1 01 0xy Veja grfico a seguir. Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 352 11xy ( )( )113 3003113003sec secsec1 1 1 1sec sec sec sec ln sec2 2 2 21 1 11 1sec sec1 1 ln sec1 1 ln sec 0sec ln sec2 2 22 21 1sec1 1 ln sec1 12 2x dy xx yx dx xtg x x dx xtg x x tg x cx dx tg tgxtg x x tg xtg tg= == + = + + += = + + = + += + +}} }} l) } }+1011| | dy dx y xTemos que: s ss s 1 01 1yx Veja grfico a seguir. -1 11xy Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 241 244. 353 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 0 1 10 1 0 1 0 0 01 1 0 1 10 1 0 0 00 11 1 10 0 01022, 0, 02 2 22 2 22yyyyyyx y x yx yx y x yx y dx dy x y dx dy x y dx dy x y dx dyx y dx dy x y dx dy x y dx dyx x xdy dy dyy x y x y xyy + + > + = +