resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2

Download Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2

Post on 17-Jan-2017

2.599 views

Category:

Engineering

18 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistncia dos Materiais 2

    1

    RESISTNCIA DOS MATERIAIS 2 As anotaes, fotos, grficos e tabelas contidas neste texto, foram retiradas dos seguintes livros:

    - RESISTNCIA DOS MATERIAIS - Ferdinand P. Beer - E. Russel Johnston Jr. Ed. PEARSON - 3 edio 1995 - RESISTNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler Ed. PEARSON - 5 edio 2004

    Parte 01: Propriedades geomtricas de superfcies planas; - Centride de uma rea; - Momento de inrcia;

  • Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistncia dos Materiais 2

    2

    y

    x

    CG

    A

    y

    x

    A1

    y1

    x1

    A2

    A3 y2

    y3

    x2

    x3

    1- Centride ou centro de gravidade de uma superfcie plana A localizao do centride de uma superfcie plana qualquer de rea A ilustrada na figura 1 definida por meio das coordenadas .

    Figura 1: centride ou centro de gravidade de uma superfcie plana qualquer

    As coordenadas do centride de uma superfcie plana qualquer so determinadas pelas seguintes equaes:

    X = Ai. xii Aii (1)

    Y = Ai. yii Aii (2) Para aplicar as equaes (1) e (2) necessrio dividir a superfcie plana qualquer em n superfcies planas de geometria simples (retngulos, quadradas, tringulos, crculos, etc), cujas coordenadas do centride so conhecidas, conforme ilustra a figura 2. A tabela 1 ilustrada a seguir apresenta as coordenadas x e y do centride de algumas superfcies planas de geometria simples.

    X = A1. + A2. + A3. A1 + A2 + A3

    Y = A1. + A2. + A3. A1 + A2 + A3

    Figura 2: Diviso em superfcie de geometria simples

  • Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistncia dos Materiais 2

    3

    Tabela 1: Coordenadas x e y do centride ou centro de gravidade de algumas

    superfcies planas de geomtricas simples;

    Superfcie Plana

    x

    y

    rea

    Retngulo e

    Quadrado

    x = 2

    y = 2

    = .

    Tringulo retngulo

    x = 3

    y = 3

    = . 2

    Crculo

    x = 0

    y = 0

    = .

    Semicrculo

    x = 0

    y = 43

    = . 2

    1/4 crculo

    x = 43

    y = 43

    = . 4

    Losango

    x = 0

    y = 0

    =

    x

    y

    CG

    a a

    x

    y

    CG

    r

    x

    y

    r CG

    x

    y

    CG

    r

    x

    y

    CG

    b

    h

    x

    y

    CG

    b

    h

  • Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistncia dos Materiais 2

    4

    y

    x

    y

    x

    A3

    A2

    A4

    y

    x

    A1

    A2 A1

    y

    x

    y

    x

    A3

    A1

    A2

    A4

    y

    x

    A1

    A2

    OBS1: Caso a superfcie plana apresente rea vazada ou chanfro: - Para simplificar a anlise recomenda-se considerar a superfcie plana cheia (completa) e descontar a contribuio da rea vazada ou chanfro, conforme apresentado nos casos 1 e 2 ilustrados a seguir nas figuras 3 e 4.

    Caso1:

    Mais trabalhoso Mais prtico

    X = A1. + A2. + A3. + A4. A1 + A2 + A3 + A4 ; X

    = A1. A2. A1 A2 ;

    Y = A1. + A2. + A3. + A4. A1 + A2 + A3 + A4 ; Y

    = A1. A2. A1 A2 ;

    Figura 3: Superfcie plana com rea vazada (furo);

    Caso2:

    Mais trabalhoso Mais prtico

    X = A1. + A2. + A3. + A4. A1 + A2 + A3 + A4 ; X

    = A1. A2. A1 A2 ;

    Y = A1. + A2. + A3. + A4. A1 + A2 + A3 + A4 ; Y

    = A1. A2. A1 A2 ;

    Figura 4: Superfcie plana com rea chanfro (recorte);

  • Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistncia dos Materiais 2

    5

    y

    x

    20 cm

    35 cm

    24 cm

    y

    x

    20 cm

    15 cm

    24 cm 10 cm

    12 cm 8,0 cm

    5,0 cm

    A1

    A2

    y

    Exemplo 1: Determinar as coordenadas do centride da superfcie plana ilustrada a seguir; Resoluo: Dividir a superfcie plana em superfcies de geometria simples de centride conhecido; A1 = 24 . 20 = 480 cm

    2 A2 = 24 . 15/2 = 180 cm

    2 x1 = 10 cm x2 = 20 + 5,0 = 25,0 cm y1 = 12 cm y2 = 8,0 cm

    X = . + . + != "480 . 10$ + "180 . 25,0$480 + 180 = 14,09 ()

    Y = . + . + !

    = "480 . 12$ + "180 . 8,0$480 + 180 = 10,91 ()

    Tabela 1 x y rea

    x = 2

    y = 2

    = .

    x = 3

    y = 3

    = . 2

    x CG

    b

    h

    x

    y

    CG

    b

    h

  • Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistncia dos Materiais 2

    6

    y

    x

    60 cm

    30 cm r = 15 cm

    y

    x

    60 cm

    30 cm 30 cm

    15 cm

    r = 15 cm

    6,37 cm

    A1 A2

    r = 15 cm

    *+,- = ., ,/ 01

    Exemplo 2: Determinar as coordenadas do centride da superfcie plana ilustrada a seguir; Resoluo: Dividir a superfcie plana em superfcies de geometria simples de centride conhecido; A1 = 60 . 30 = 1800 cm

    2

    A2 = . 152/2 = 353,4cm

    2

    x1 = 30 cm x2 = 60 6,37 = 53,63 cm y1 = 15 cm y2 = 15 cm

    X = . . != "1800 . 30$ "353,4 . 53,63$1800 353,4 = 24,23 ()

    Y = . . != "1800 . 15$ "353,4 . 15$1800 353,4 = 15 ()

    Tabela 1 x y rea

    x = 2

    y = 2

    = .

    x = 0

    y = 43

    = .

    2

    x

    y

    r CG

    x

    y

    CG

    b

    h

  • Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistncia dos Materiais 2

    7

    y

    x

    50 cm

    25 cm

    r = 12,5 cm

    r = 6,25 cm

    y

    x 25 cm

    25 cm 12,5 cm

    A1

    A2 r 1 = 12,5 cm

    12,5 cm

    25 cm

    8,33 cm

    r2 = 6,25 cm

    5,31cm

    A3

    A4

    8,33 cm

    2,65 cm

    *+3,- = 4, ,3 01

    *+5,- = 5, .4 01

    Exemplo 3: Determinar as coordenadas do centride da superfcie plana ilustrada a seguir; Resoluo: Dividir a superfcie plana em superfcies de geometria simples de centride conhecido; A1 = . 12,5

    2/2 = 245,4 cm

    2 A2 = 25 . 25 = 625 cm

    2

    A3 = 25 . 25 /2 = 312,5 cm2

    A4 = . 6,252/2 = 61,4 cm

    2

    x1 = 12,5 cm x2 = 12,5 cm x3 = 25 + 8,33 = 33,33 cm x4 = 25 cm y1 = 25 + 5,31 = 30,31 y2 = 12,5 cm y3 = 8,33 cm y4 = 2,65 cm

    X = . + . + . . + + !

    X = "245,4 . 12,5$ + "625 . 12,5$ + "312,5 . 33,33$ "61,4 . 25$245,4 + 625 + 312,5 61,4 = 17,62 ()

    Y = . + . + . . + + !

    Y = "245,4 . 30,31$ + "625 . 12,5$ + "312,5 . 8,33$ "61,4 . 2,65$245,4 + 625 + 312,5 61,4 = 15,77 ()

    Tabela 1 x y rea

    x = 2

    y = 2

    = .

    x = 3

    y = 3

    = . 2

    x = 0

    y = 43

    = .

    2

    x

    y

    r CG

    x

    y

    CG

    b

    h

    x

    y

    CG

    b

    h

  • Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistncia dos Materiais 2

    8

    2 - Momento de Inrcia de uma superfcie plana O momento de inrcia uma caracterstica geomtrica importantssima no dimensionamento dos elementos de construo (vigas, colunas, etc), pois fornece atravs de valores numricos,