Resistores e CA

Quando aplicamos uma voltagem CA

em um resistor, como mostrado na figura, uma corrente irá fluir através do resistor. Certo, mas quanta corrente irá atravessar o resistor. Pode a Lei de Ohm ser aplicada a circuitos alimentados por fontes CA? Vamos então aplicar a Lei das Malhas ao circuito acima. Como

somamos as quedas de potencial se ddp varia constantemente? Para a corrente indicada no circuito as polaridades da fonte e do resistor são as indicadas na figura. Temos então:

���� = �� ��sen� �� = �. �

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� = ���� = ����� = ��� sen� �� = ��sen� ��

�� = �. �� Vemos então que fluirá pelo

circuito uma corrente alternada (linha azul na figura) em fase com a tensão aplicada (linha

vermelha), com uma amplitude proporcional à amplitude da tensão existente sobre o resistor. Como no circuito CC, a constante de proporcionalidade entre a amplitude da tensão e a amplitude da corrente é a resistência R, assim como entre a tensão e corrente instantâneas. Isto é sempre verdadeiro para qualquer resistência em um circuito CA.

Em muitos casos faz mais sentido descrever voltagem alternada em termos de um “equivalente CC”, ou seja, a voltagem CC que deveria ser fornecida ao circuito para gerar a mesma quantidade de trabalho ou potência que a presente voltagem CA. Para isto, precisamos de alguma maneira calcular um tipo de “potência média” fornecida ao circuito durante um ciclo completo. Infelizmente a voltagem media fornecida em um ciclo é zero pois

��é��� = ������ ���é��� = �� = 0 assim como a corrente media que circula pelo circuito em um ciclo. Isso acontece porque as funções senoidais possuem em seu ciclo

meio ciclo com valores positivos e meio ciclo com os mesmos valores negativos. Entretanto sabemos que alguma potência é fornecida ao circuito CA pois as lâmpadas acendem, motores giram, etc, independente da direção da corrente. Como calcular isto?

Os valores RMS

A chave é identificar a potência dissipada pelo resistor, em termos da voltagem CA sobre ele e a corrente CA que o atravessa. Como

� = �� = ��� = ���

Quando elevamos ao quadrado um número sempre obtemos um resultado positivo (ou zero) e portanto é sempre possível obter um valor médio de um valor quadrado. A seguir, podemos calcular a raiz quadrada deste valor e obter o valor médio efetivo da corrente ou

voltagem.

Se graficarmos uma função seno unitária e o seu quadrado obtemos o figura acima onde a

função seno (linha vermelha) varia num intervalo de ±1, enquanto que o quadrado (azul) varia de 0 a 1. Matematicamente temos:

������� = 12 −

cos�2��2

Uma vez que o valor médio de qualquer função seno ( ou cosseno) é sempre zero, o valor médio da expressão acima é simplesmente 1/2. Este é o valor médio de qualquer função senoidal quadrática. Se tomarmos agora o valor da raiz quadrada teremos o valor efetivo, que é 1/ = 0.707. Este fator nos dá a raiz do valor médio do quadrado de uma função senoidal. Por essa razão o valor efetivo de uma forma de onda é conhecido como rms ( root-mean-square).

O valor de pico ou amplitude de uma função seno pode ser qualquer valor; é um valor positivo constante que é elevado ao quadrado e dele depois é obtido a raiz quadrada dando como resultado o valor inicial. Como uma constante, pode ser colocada em evidência no processo de cálculo da media e usado no final do cálculo. Então temos:

�%�& = ��√2 = ��. 0,707

�%�& = ��√2 = ��. 0,707

Estas expressões podem ser usadas especificamente para as funções senoidais. Outras formas de onda podem ter diferentes relações entre amplitudes e valores rms e, portanto, devem ser analisadas separadamente.

Novamente, a Lei de Ohm pode ser aplicada também para os valores rms pois

�%�& = �%�&. �

e usando os valores rms temos

���� = �%�&. �%�& = �. �%�&� = �%�&��

Capacitores e CA

Quando aplicamos uma tensão CA em um capacitor, como mostrado na figura, sabemos que o capacitor irá drenar corrente no sentido de se opor à mudança na tensão sobre ele. Isto não nos diz quanta oposição o capacitor irá oferecer ou quanta corrente ele irá drenar. Quanta corrente irá então fluirá sobre C?

Novamente vamos aplicar a Lei das Malhas no circuito acima para responder esta resposta. As polaridades mostradas na figura são aquelas correspondentes à corrente indicada:

���� = �* +�sen� �� = ,/.

//� [+�sen� ��] =

//� [,/.]

+� //� [sen� ��] =

1./,/�

+� . cos� ��] = 1. �

� = ���� = �� .. cos� ��

�� = 1 . ��

Do resultado obtido podemos extrair importantes características do circuito. A primeira é que quando a tensão aplicada é uma função

seno (linha vermelha), a corrente é uma função cosseno (linha azul) e, portanto defasada de 90o em relação à tensão. A corrente está então adiantada de ¼ de ciclo em relação à tensão. Isto concorda com o que dissemos anteriormente que o capacitor drenar corrente para se opor à mudança de tensão sobre o capacitor.

O fator 1/ωC é a constante de proporcionalidade entre a amplitude da tensão sobre o capacitor e a amplitude da corrente que o atravessa e é chamado de reatância capacitiva, representada por XC.

2* = 1 . = 1

234.

XC também é a constante de proporcionalidade entre os valores

rms da tensão e da corrente.

�%�& = 2* . �%�&

A reatância capacitiva é medida em ohms, como a resistência, e funciona como uma resistência em muitas maneiras. Entretanto, seu valor é dependente da freqüência, assim como da capacitância. Se graficarmos os valores XC versus ωC usando escala logarítmica, teremos o gráfico abaixo. O gráfico pode se estender indefinidamente em ambas as direções para cobrir quaisquer valores de C e ω.

Não é possível obter valores nulos de XC com freqüências finitas, exceto para C = 0.

Em um circuito puramente capacitivo podemos calcular o valor de XC equivalente das associações exatamente como calculamos associações de resistores. A Lei de Ohm continua a ser aplicada nestes circuitos. Entretanto, como veremos adiante, não podemos adicionar valores de XC e R. O deslocamento da fase provocada pelo

capacitor impede que possamos trabalhar assim. Mais adiante vermos como resolver este problema.

A Potência em circuitos capacitivos

Podemos calcular a potência dissipada pelo capacitor da mesma maneira que fizemos anteriormente

� = �. �

���� = ��. �����

���� = [������ ��. �� .56�� ��]���

���� = [��� .[���� ��56�� ��]���

���� = [��� .[12 ����2 ��]���

���� = 0 Vemos que diferentemente do circuito resistivo, nenhuma energia

é dissipada pelo capacitor e, portanto os valores rms de corrente e voltagem não podem ser utilizados para calcular o seu valor médio.

Indutores e CA

Como podemos esperar, o comportamento de um indutor quando uma voltagem CA é aplicada sobre ele é oposto ao comportamento do capacitor. O circuito ao lado não parece muito diferente, tendo sido simplesmente substituído um símbolo por outro. Podemos sem sombra de dúvida dizer

que alguma corrente irá atravessar o indutor.

Como a tensão da fonte está constantemente mudando, devemos esperar que o indutor estivesse constantemente reagindo a esta mudança, mas não sabemos exatamente como e quanto. Vamos então calcular a expressão apropriada que descreva o

comportamento do circuito. Começamos da mesma maneira com anteriormente pela Lei das Malhas para o circuito.

���� = �7

��sen� �� = 8 /�/�

9+�sen� ��]/� = 98/�

−+� [cos� ��] = 8� + .

� = ���� = − �� 8 . cos� ��

���� = �� 8 sen� � +

32�

�� = 8�� �%�& = 8�%�&

A expressão final lembra em muito a Lei de Ohm E/R = I. Se definirmos uma reatância indutiva

27 = 8 = 2348

temos nossa contraparte indutiva da expressão capacitiva que definimos anteriormente. Novamente, a reatância indutiva não é realmente uma resistência, mas o resultado da reação do indutor à voltagem CA aplicada e a mudança na corrente e por isso chamada de reatância.

A equação para a corrente I0 obtida anteriormente mostra que a corrente, como um cosseno negativo, está

atrasado em relação à voltagem aplicada de 90°, ou ¼ de ciclo, como mostrado no gráfico. Intuitivamente isto parece razoável, uma vez que o indutor reage em oposição à passagem da corrente sobre ele.

Se graficarmos a indutância indutiva XL versus L usando escala logarítmicas como fizemos com a reatância capacitiva, temos um gráfico bastante similar, mas com a inclinação oposta. XL é diretamente proporcional tanto à freqüência quanto à L, enquanto que XC é inversamente proporcional, tanto à freqüência quanto à C.

O efeito de uma indutância é, em muitas maneiras, exatamente oposto ao efeito de uma capacitância. Este é um efeito

importante quando estes componentes são usados juntos em um circuito. Iremos ver adiante como e porque quando explorarmos este tipo de circuito mais detalhadamente.

A Potência em circuitos indutivos

A diferença de fase entre a corrente e a tensão no capacitor resulta, assim como no capacitor, que a potência dissipada no indutor é nula.

���� = 0