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Resistência II

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  • UNIVERSIDADE DE UBERABA

    Resistncia dos materiais, volume 2

    Larissa Soriani Zanini Ribeiro Soares Silva

    Nbia dos Santos Saad Ferreira

    William Bossas Paulino

    Uberaba - MG 2011

  • 2011 by Universidade de Uberaba Todos os direitos de publicao e reproduo, em parte ou no todo, reservados para a

    Universidade de Uberaba.

    Reitor: Marcelo Palmrio

    Pr-Reitora de Ensino Superior:

    Inara Barbosa Pena Elias

    Pr-Reitor de Logstica para Educao a Distncia: Fernando Csar Marra e Silva

    Assessoria Tcnica:

    Ymiracy N. Sousa Polak

    Produo de Material Didtico: Comisso Central de Produo

    Subcomisso de Produo

    Editorao: Superviso de Editorao

    Equipe de Diagramao e Arte

    Capa: Toninho Cartoon

    Edio:

    Universidade de Uberaba Av. Nen Sabino, 1801 Bairro Universitrio

  • Sobre os autores

    Larissa Soriani Zanini Ribeiro Soares

    Graduada em Engenharia Civil pela Universidade de Uberaba. Professora das disciplinas de

    Fsica e Matemtica no Ensino Mdio pela rede Estadual de Ensino.

    Nbia dos Santos Saad Ferreira

    Graduada em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Uberlndia FECIV/UFU, em

    1996; Mestra em Engenharia de Estruturas, pela Universidade de So Paulo EESC/USP,

    em 1998; Doutoranda em Engenharia de Estruturas FEMEC/UFU; Professora do Curso de

    Graduao em Engenharia Civil UNIUBE/Uberlndia.

    William Bossas Paulino

    Engenheiro de Produo pela Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP, com experincia

    em controle de processo. Atualmente mestrando da Universidade Estadual Paulista

    UNESP em Engenharia de Produo Linha de pesquisa em Mtodos Quantitativos.

    Docente do curso de Engenharia de Produo EAD UNIUBE Uberaba.

  • Sumrio

    Apresentao.....................................................................................................................................05 Captulo 1 Deformao de vigas.....................................................................................................06

    Captulo 2 Toro............................................................................................................................54

    Captulo 3 Flambagem de colunas..................................................................................................76

    Captulo 4 Crculo de Mohr............................................................................................................104

  • 5

    Apresentao Caro(a) aluno(a) Voc est recebendo o livro Resistncia dos Materiais II que foi elaborado continuar os estudos iniciados no livro Resistncia dos Materiais I. Para tanto, ele composto por quatro captulos, sendo assim distribudos:

    No primeiro captulo, intitulado Deformao de vigas voc aprender a calcular as deformaes que ocorrem em seo transversal de uma viga reta prismtica e isosttica, em funo das aes atuantes e das condies de contorno (tipos de apoios da viga). Ver como se determina a equao da curva de deflexo (ou linha elstica) do eixo de uma viga, em funo dos tipos de carregamento e de apoio desse elemento estrutural e, tambm, os clculos de deslocamentos (flechas, deflexes) e os giros (inclinaes, declividades) de sees transversais de uma viga, atravs da equao da linha elstica obtida.

    No segundo captulo, intitulado Toro voc aprender a utilizar os conceitos da

    Resistncia dos materiais para a soluo de problemas, a determinar as tenses e

    deformaes produzidas em peas de seo transversal circular e em barras de

    seo transversal prismtica, assim como, analisar os eixo de rotao e calcular a

    potncia transmitida pelos eixos (projeto de eixos de transmisso ou eixos motrizes).

    No terceiro captulo, intitulado Flambagem de colunas voc ser levado a compreender a importncia de se determinar as condies para que as colunas, em um carregamento axial, no entrem em colapso e ocasionem falhas.

    No ltimo captulo, intitulado Crculo de Mohr voc aprender as transformaes de componentes de tenso que se encontram associados a um sistema de coordenadas com orientaes diferentes. Em seguida, ver como calcular a tenso normal mxima e de cisalhamento mxima em ponto qualquer e determinar a orientao dos elementos sobre os quais atuam estas tenses.

    Os contedos abordados, neste livro, so fundamentais para sua atuao profissional. Assim, recomendamos que estude com afinco e determinao.

    Bons estudos!

  • 6

    1

    Deformao de vigas

    Nbia dos Santos Saad Ferreira Larissa Soriani Z.R. Soares Silva

    Introduo

    Este captulo de estudos conduzir voc ao conhecimento e clculo das deformaes

    (deslocamentos e giros) que ocorrem em qualquer seo transversal de uma viga reta

    prismtica e isosttica, em funo das aes atuantes e das condies de contorno (tipos de

    apoios da viga).

    Voc sabia que, normalmente, uma viga se deforma ao ser carregada? Na maioria das

    situaes estruturais, isso imperceptvel, pois so pequenas as deformaes. Imagine-se

    sobre uma tbua que esteja apoiada nas extremidades, em dois tijolos, por exemplo. fcil

    perceber que este elemento estrutural, ao receber a carga do seu peso, se desloca

    verticalmente para baixo e tambm apresenta movimento de giro! Fazer o mesmo com uma

    rgua presa em uma das extremidades por seus dedos e livre na outra, recebendo uma

    ao na extremidade livre, tambm te permite visualizar tais deformaes.

    Objetivos

    Ao final dos seus estudos, voc estar apto (a) a:

    determinar a equao da curva de deflexo (ou linha elstica) do eixo de uma viga, em funo dos tipos de carregamento e de apoio desse elemento estrutural;

    calcular os deslocamentos (flechas, deflexes) e os giros (inclinaes, declividades) de sees transversais de uma viga, atravs da equao da linha elstica obtida.

    Esquema

    1. Consideraes Iniciais 2. Linha Elstica

    2.1. Definies 2.2. Relao entre Momento Fletor e Curvatura 2.3. Equao da Linha Elstica

    3. Exemplos Resolvidos 4. Atividades

  • 7

    1. Consideraes iniciais

    de fundamental importncia, para o engenheiro calculista, o conhecimento dos valores

    mximos de deslocamentos e inclinaes que ocorrem em uma viga.

    No projeto estrutural, consideram-se os limites mximos para as deformaes prescritos nos

    textos normativos, em funo do material estrutural que se esteja utilizando (concreto

    armado, ao, madeira e outros) e das condies de contorno de tais elementos. Ou seja, as

    normas apresentam valores para as deformaes que no podem ser ultrapassados. Por

    isso, a importncia de se quantificar flechas e giros.

    Neste captulo de estudos, a equao da linha elstica e os valores de deformaes de uma

    viga so obtidos atravs de procedimentos analticos que incluem mtodos de integrao

    direta.

    2. Linha elstica

    1.1 Definies

    Denomina-se linha elstica (ou curva de deflexo) o diagrama que representa os

    deslocamentos do eixo longitudinal de uma viga. Esse eixo passa pelo centride (centro de

    gravidade C.G., j conhecido por voc) de cada rea das infinitas sees transversais que

    constituem a viga.

    Em outras palavras, a linha elstica tambm pode ser definida como a configurao

    deformada do eixo de uma viga fletida, ou seja, que possui um carregamento perpendicular

    ao seu eixo, gerando momento fletor em cada seo da mesma.

    Para a construo da configurao deformada de uma viga, necessrio o conhecimento

    de como os deslocamentos e as inclinaes so restritos em funo dos vnculos de apoio

    da mesma. Os apoios fixos ou mveis de uma viga impedem deslocamentos e permitem o

    giro, e os engastes impedem deslocamentos e giros.

    Veja, na Figura 1, as representaes esquemticas destes vnculos para extremos de vigas

    ou para posies intermedirias em seus comprimentos. Nestes desenhos, as vigas so

    representadas por seus eixos.

    (a) apoio mvel (b) apoio fixo (c) engaste

    Figura 1 Visualizao dos tipos de apoios freqentes em vigas.

    A figura 2 mostra dois exemplos tpicos de linhas elsticas para vigas solicitadas por uma

    fora concentrada P.

  • 8

    (a) viga apoiada-engastada (b) viga bi-apoiada com balano

    Figura 2 Visualizao da linha elstica em duas situaes comuns de vigas.

    Se a linha elstica de uma viga for de difcil estabelecimento, sugere-se a construo prvia

    do diagrama de momentos fletores, para se ter idia dos trechos onde ocorrem as

    concavidades para cima e para baixo.

    1.2 Relao entre momento fletor e curvatura

    Voc aprendeu, quando do estudo de flexo, que uma viga prismtica submetida flexo

    pura se deforma, assumindo a configurao geomtrica de um arco; e que, estando no

    regime elstico (segue Lei de Hooke, com tenses diretamente proporcionais s

    deformaes), a curvatura da linha neutra pode ser expressa pela Eq.1, na qual:

    (Eq.1)

    = raio de curvatura (l-se: r) do arco correspondente a um ponto do eixo da viga, sendo o

    seu inverso 1

    denominado curvatura;

    M = momento fletor interno atuante na viga, no ponto onde determinado;

    E = mdulo de elasticidade do material de que constituda a viga;

    I = momento de inrcia da rea da seo transversal da viga, calculado em relao linha neutra.

    EI

    M1

    P P

  • 9

    Perceba que a curvatura ser uma funo do momento fletor, obtido para cada seo

    transversal da viga, em funo de sua posio neste elemento estrutural.

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