resistência dos materias - cap 1 - notas de aula

Universidade estadual de Santa Cruz

RESISTNCIADOS MATERIAIS

Prof. Dr. Ricardo de Carvalho Alvim

Itabuna, 2007

Universidade Estadual de Santa Cruz DCET Departamento de Cincias Exatas e Tecnolgicas Notas de aula - Disciplina: CET 583 - Resistncia dos Materiais Prof. Dr. Ricardo de Carvalho Alvim

SUMRIO1 2 3 4 5 66.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Introduo O projeto das estruturas Tipos de estruturas Modelos de clculo Agentes externos Equilbrio de um corpoForas Reaes de vnculo Equaes de equilbrio Conceito de momento Classificao das estruturas quanto s condies de vinculo Aplicaes

3 3 4 4 5 55 6 6 7 8 8

77.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

TensesInterao entre as partes Esforos internos Diagrama de corpo livre Interao entre as partculas conceito de tenso Tenso Normal Mdia em uma Barra com Carga Axial Tenso de Cisalhamento Mdia Equilbrio

99 9 10 10 11 15 16

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Captulo 1 TENSES

1. IntroduoA Resistncia dos Materiais um ramo da mecnica que estuda as relaes entre cargas externas aplicadas a um corpo deformvel e a intensidade das foras internas que atuam dentro do corpo. Na Resistncia dos Materiais utilizam-se os conceitos da Esttica para determinar as foras que atuam tanto sobre como no interior das estruturas. A dimenso dos elementos, sua deflexo e estabilidade dependem do tipo de material de que so feitos. Frmulas e procedimentos de projeto, definidos em normas, baseiam-se em fundamento da RM.

2. O projeto das estruturasO projeto estrutural pode ser definido como uma cincia que combina a experincia e tcnica com a intuio. O engenheiro deve imaginar a estrutura em funcionamento e abstrair seus principais mecanismos e comportamentos. Para isso, devem ser considerados princpios da esttica e dinmica das estruturas, alm da resistncia dos materiais. De forma a produzir uma estrutura que sirva a seus propsitos do modo mais econmico possvel. Etapas do projeto: 1. Concepo Escolha da finalidade, arranjo, materiais 2. Anlise estrutural Escolha do modelo e mtodo de clculo (2D ou 3D). Determinao dos esforos solicitantes Verificao da segurana Definio das dimenses 3. Detalhamento Elaborao dos desenhos em planta com vistas (em planta, cortes, elevaes, etc) e visualizao dos sistemas principais, como funcionam, etapas construtivas, etc 4. Construo ou montagem Execuo da Obra 5. Operao e manuteno Importante para garantia da vida til da estruturaObservaes: As maiores tragdias de engenharia aconteceram por falhas de concepo e detalhamento P.B.Fusco As estruturas no so eternas, vida til de 50 anos

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3. Tipos de estruturasAs estruturas so compostas de uma ou mais peas ligadas entre si e ao meio externo (condies de contorno) formando sistemas equilibrados e estveis. Na figura 3.1, encontramse alguns dos principais tipos.

(a) Prtico articulado

(b) Trelias (c) Prtico

(d) Pontes

(f) Tensoestruturas

(e) Arcos

Figura 3.1 Tipos de estruturas

4. Modelos de clculoO estudo das estruturas materiais representadas por modelos simplificados de clculo feito pela anlise dos mais diferentes sistemas e arranjos empregados na engenharia em geral. Nesta anlise, so determinados os esforos e deformaes a que as estruturas ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos.

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Real Figura 4.1

Modelo

5. Agentes externosOs agentes externos so a representao da ao do ambiente externo nas estruturas. Esta ao pode representar as foras da natureza ou os carregamentos decorrentes das condies de operao da estrutura, figura 5.1.P p v +C -C

a

Figura 5.1 Agentes externos

Desse modo, podem ser considerados agentes externos: a) b) c) d) cargas mveis e estticas depositadas na estrutura; variaes trmicas; ao do vento; movimentos de apoio (recalque).

6. Equilbrio de um corpo6.1 Foras (Esttica) - Podem ser de 2 tipos: foras de superfcie e foras de corpo, figura 6.1. As foras de superfcie so aplicadas por contato. Podem ser concentradas ou distribudas. J nas foras de corpo, no h contato. A fora aplicada no CG (centro de gravidade).

-5-


Fora concentrada

Fora de superfcie

s C P Carga p(s) distribuda linear

G P

Figura 6.1 Tipos de foras

6.2

Reaes de vnculo Foras de superfcie que se desenvolvem nos apoios ou pontos de contato entre corpos.

(a) Mvel

(b) Pino ou fixo

(c) Engaste

(d) Tirante

T

M

RHRV RV

RH RV

Figura 6.2 Apoios mais comuns

6.3

Equaes de equilbrio

O equilbrio de uma estrutura condio obrigatria para seu funcionamento. A estrutura estar em equilbrio se a soma das componentes de todas as foras que atuarem sobre ele for igual a zero (para evitar que o corpo sofra translao) e a soma dos momentos em relao a qualquer ponto for igual a zero (para evitar rotao deste corpo). Na figura 6.3, pode ser visto uma representao de um corpo em equilbrio.

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F1M CG

F2 yR

0 F3

x

e

Figura 6.3 Representao de corpo em equilbrio no plano

As condies de equilbrio no plano podem ser especificadas pelas trs equaes a seguir:

Fx = 0 Fy = 0 Mo = 0

(1)

Em alguns casos as foras esto inclinadas em relao ao plano fundamental de referncia e torna-se necessrio conhecer as componentes em x e y, figura 6.4.Componentes das foras

yFy F

Fx = F . cosFy = F . sen

0 Fx

= arctgx

Fy Fx

Teorema de Pitgoras

F = Fx 2 + Fy 2Figura 6.4 Decomposio de foras

6.4

Conceito de momento

Define-se Momento como a tendncia de uma fora F fazer girar um corpo rgido em torno de um eixo fixo. O Momento depende do mdulo de F e da distncia de F em ao eixo fixo. Considere-se uma fora F que atua em um corpo rgido fixo no ponto 0, como indicado na figura 6.5.Figura 6.5 Momento

Define-se o momento escalar do vetor F em relao a 0, como sendo(2)

onde: M0= momento escalar do vetor F em relao ao ponto 0

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0 = plo ou centro de momento d= distncia ortogonal entre a linha de ao da fora F e o ponto onde se deseja calcular o momento, tambm chamada de brao de alavanca. O momento M0 sempre perpendicular ao plano que contm o ponto 0. O sentido de M0 definido pelo sentido de rotao imposto pelo vetor F. 6.5 Classificao das estruturas quanto s condies de vinculo

Hiperestticas N R > N EQ

Isostticas N R = N EQ

Hipostticas N R < N EQ

Figura 6.6 Classificao condies de vinculo

6.6A)

AplicaesLigaes B) Estaiamentos C) Reboques D) Iamentos

Figura 6.7 Algumas aplicaes prticas

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7. Tenses7.1 Interao entre as partes

Caso analisado o efeito de uma parte da estrutura sobre a outra ao nvel das resultantes das foras, ento, neste caso, definem-se os esforos como solicitantes, figura 7.1(a).

(a) Corpo secionado

(b) Diagrama de corpo-livre Figura 7.1 Mtodos das sees

No caso de um corpo sujeito a esforos externos ativos ou reativos, estando o slido em equilbrio, ao secionar-se esse slido, as partes tambm devem estar em equilbrio, surgindo esforos internos, figura 10.1(b). A determinao dos esforos internos resultantes representa uma das aplicaes mais importantes da esttica na anlise dos problemas de Resistncia dos Materiais. Utiliza-se o Mtodo das Sees para determinar a fora resultante e o momento atuante no interior do corpo, necessrios para manter o corpo unido quando submetidos a cargas. 7.2 Esforos internos

Os esforos que surgem na parte cortada do elemento podem ser de 3 tipos: Fora normal (trao ou compresso) Fora cortante Momento

Figura 7.2 Esforos internos

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O momento pode provocar flexo e toro, caso esteja na direo axial ou tangencial seo transversal, respectivamente. Tambm a fora cortante pode ter componente axial e tangencial, figura 7.3.

Figura 7.3 Cargas resultantes

7.3

Diagrama de corpo livre

Diagrama que mostra a especificao completa de todas as foras conhecidas e desconhecidas que atuam sobre um corpo. A correta representao do diagrama de corpo livre permite aplicar com sucesso as equaes de equilbrio da esttica.

7.4

Interao entre as partculas conceito de tenso

Caso esteja-se interessado nas aes entre partculas (efeito pontual), ento, o problema se desenvolve no nvel das tenses. Assim, considere-se um ponto e uma pequena regio A, figura 7.4, onde se encontra aplicada uma fora resultante F, pode-se identificar dois tipos de tenso. - a intensidade da fora por unidade de rea que Tenso Normal , figura 7.4(a). atua no sentido perpendicular a(3)

Tenso de Cisalhamento , figura 7.4(a). de rea que atua tangente a

a intensidade da fora por unidade

(4) (5)

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(a) Corpo secionado

(b) Tenses normais e cisalhantes

Figura 7.4 Representao de tenses num corpo

O ndice z em z indica a direo de atuao da tenso normal. Os ndices de zx, z indica direo de atuao da tenso normal e x indica direo das tenses de cisalhamento. Caso o corpo seja secionado conforme as figuras 7.4(b) pode-se ento cortar um elemento cbico do volume do material, figuras 7.5, o qual representa o estado de tenso que atua no ponto escolhido do corpo.

Figura 7.5 Estado geral de tenso

7.5

Tenso Normal Mdia em uma Barra com Carga Axial

Elementos submetidos a cargas axiais so comuns em estruturas formadas pela juno de barras. Como em trelias, pendurais, etc.

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Se todas as sees forem iguais, a barra dita prismtica.

Figura 7.6 Representao de barra secionada

Hipteses: a) b) c) d) a seo transversal permanece plana; a barra permanece reta; deformao uniforme a carga aplicada no centride; o material homogneo e isotrpico.

Figura 7.7 Barra tracionada

Distribuio mdia de tenses. Considere-se uma barra submetida a deformao uniforme constante, figura 7.8, onde a deformao resultante de uma tenso normal constante.

Cada segmento E o somatrio de

da seo carrega uma fora deve ser igual a P.

.

A carga interna P deve passar pelo centride da seo.Figura 7.8 Barra tracionada

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Figura 7.9 Elementos submetidos a esforos

Exemplo 1) A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 12 mm. Determinar a tenso normal mdia mxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado.

A tenso normal mdia ser:

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Ateno: 1 Pa uma unidade muito pequena, em trabalhos de engenharia usa-se os prefixos como kilo K (103 ), mega M (106) ou giga G (109) que representam valores de tenso maiores e mais realistas.

Exemplo 2) Uma luminria de 80 kg suportada por duas hastes AB e BC como representada na figura abaixo. Determinar a tenso normal mdia em cada haste.

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Exemplo 3) Determinar x de modo que o esforo de compresso mdio em C seja igual ao de trao no tirante AB.

7.6

Tenso de Cisalhamento Mdia

Considere-se um elemento sujeito a uma fora de corte, grande o suficiente para causar deformao e falha na barra ao longo dos planos AB e CD como mostrado na figura 7.10(a).

(a) Barra apoiada em apoios rgidos

(b) Tenso de cisalhamento no segmento

Figura 7.10 Elementos submetidos a esforos

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Deve ser aplicada uma fora

, figura 7.10(b), em cada seo para manter o segmento em

equilbrio. A tenso de cisalhamento mdia atua no plano da rea secionada e dada por:(6)

Casos de cisalhamento simples ou direto, figura 7.11, ocorrem principalmente em ligaes com pinos, solda, parafusos, etc. Nesses casos, as peas resistentes esto submetidas apenas a uma fora de cisalhamento simples V=F. Como no exemplo abaixo, o parafuso apresenta apenas uma seo de corte.

Figura 7.11 Elementos submetidos a esforos de cisalhamento simples

Nos casos de cisalhamento duplos ou direto, figura 7.12, ocorrem duas sees de corte e V=F/2.

Figura 7.12 Elementos submetidos a esforos de cisalhamento duplo

7.7

Equilbrio

Considere-se um elemento infinitesimal retirado da seo cisalhada.

Figura 7.13 Elemento infinitesimal removido de um ponto localizado numa superfcie de uma rea secionada sobre a qual atue tenso de cisalhamento

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Se considerarmos a fora de equilbrio na direo de y, ento:

De maneira similar, a fora de equilbrio na direo de z produz

.

Exemplo 4) A escora de madeira suportada por uma haste de ao de 10mm de dimetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga vertical de 5kN, calcule a tenso de cisalhamento mdia da haste na parede e ao longo das duas reas sombreadas da escora, uma das quais est identificada como abcd.

Na haste:

Na escora:

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Exemplo 5) Determinar a tenso de compresso mdia ao longo das reas de contato e tambm a tenso de cisalhamento mdia ao longo do plano definido por EDB.

Tenses de compresso

Tenso de cisalhamento

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Exerccios PropostosQuesto 1) A viga AC mostrada na figura 1 est submetida as foras de 50 kN decorrentes da grelha do piso. O tirante de ao AB tem dimetro igual a 20 mm. Os apoios B e C so fixados por um pino com dimetro igual a 12 mm. Determinar a fora axial no tirante e a reao de apoio em C.

A 20 mm 4m 50 kN 50 kN 50 kN 50 kN

d = 12 mm C B d = 12 mm 1,5 m 2m 2mFigura 1 Questo 2) Considere o tirante AB da figura 1, com seo transversal circular e dimetro igual a 20 mm. Determine a tenso solicitante no tirante em funo da fora aplicada pelo piso. Em seguida, verifique a segurana do tirante, sabendo que a tenso admissvel do ao da ordem de 50 MPa. Verifique a segurana das ligaes B e C. Considere que a tenso admissvel ao cisalhamento do material dos pinos de 40 MPa. Neste caso, o dimetro adotado suficiente? Justifique sua resposta. Questo 3) Calcule as tenses nas barras da estrutura de madeira da figura 2 com base nos esforos solicitantes indicados. O apoio feito por pinos metlicos de 10 mm de dimetro corte duplo. Verifique a segurana estrutural das barras e das ligaes para uma tenso de ruptura igual a 300 MPa para o ao e 60 MPa para a madeira. Considere um coeficiente de segurana igual a 5 para a madeira e 1,5 para o ao trao e 2 para o cisalhamento. Carregamento atuante no piso G =0,5 kN/m : peso prprio Q = 2 kN/m : sobrecarga acidental V1 =2 kN/m : vento

2m

1,5 m

p1 2m 2 3 100 mm 100 mm

4100 mm 2m (a) arranjo Figura 2 0,5 m (b) Detalhe da ligao 25 mm

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Universidade Estadual de Santa Cruz DCET Departamento de Cincias Exatas e Tecnolgicas Notas de aula - Disciplina: CET 583 - Resistncia dos Materiais Prof. Dr. Ricardo de Carvalho Alvim Questo 4) A ligao 2 da estrutura da figura 2 composta por pregos com 7,2 mm de dimetro e tenso de ruptura de 400 MPa. Use um coeficiente de segurana igual a 2 e verifique se a quantidade de pregos suficiente para atender ao carregamento de projeto.Questo 5) A estrutura de cobertura da figura 3 est submetida a um carregamento de projeto conforme indicado. Determine os esforos solicitantes nas barras e, em seguida, as tenses solicitantes. Considere as sees transversais indicadas.

2 kN

75

75 75 150 mm

31,1 m 2 kN 2 kN

21m

4 4

1 6 7

5

1,4 m

0,6 m

2m

2m 150 mm

Seo das barras 1-5, 2-6 e 3-6 75

(a) arranjo da cobertura Figura 3

(b) Detalhe da ligao

Questo 6) Considere o apoio 1 da estrutura de cobertura da figura 3. Trata-se de um entalhe em madeira conforme o esquema da figura 4. Determine as tenses nas faces comprimidas e a tenso de cisalhamento atuante no plano BD. Em seguida verifique a segurana da ligao. Considere a resistncia da madeira compresso igual a 60 MPa e ao cisalhamento igual a 12% desse valor.

A 4 cm 11 cm D B C

10 cm

18 cm Figura 4

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