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  • Resistncia dos Materiais

    Eng. Mecnica, ProduoUNIME 2016.1

    Prof. CoreyLauro de Freitas, Maro, 2016.

  • 3 Toro

    Prof. Corey

  • Contedo

    Introduo

    Cargas de Toro em Eixos Circulares

    Torque Puro Devido a Tenses Internas

    Componentes de Cisalhamento Axial

    Deformaes em uma Barra de Seo CircularDeformaes de Cisalhamento

    Tenses no Regime Elstico

    Tenses Normais

    Tipos de Falha por Toro

    Problema Resolvido 3.1

    ngulo de Toro no Regime Elstico

    Eixos Estaticamente Indeterminados

    Problema Resolvido 3.4

    Projetos de Eixos de Transmisso

    Concentrao de Tenses

    Deformaes Plsticas

    Materiais Elastoplsticos

    Tenses Residuais

    Exemplos 3.08, 3.09

    Toro de Elementos no Circulares

    Eixos Vazados de Paredes Finas

    Exemplo 3.10

    Prof. Corey

  • Introduo

    Tenses e deformaes de eixos circulares submetidos a pares de toro ou torques

    Gerador cria um torque T igual e oposto

    Eixo transmite o torque para o gerador

    Turbina exerce torque T no eixo

    Prof. Corey

  • Discusso Preliminar das Tenses em uma Barra de Seo Circular.

    T= dF= ( dA )

    Foras de cisalhamento elementares so equivalentes a um torque interno, igual e oposta ao torque aplicado,

    Embora o momento das foras de cislhamento seja conhecido, a distribuio das tenses na seo tranversal no .

    Ao contrrio da tenso normal devido carga axial, a distribuio das tenses de cisalhamento devido a cargas de toro no pode ser considerada uniforme.

    Distribuio de tenses de cisalhamento estaticamente indeterminada por isso deve-se considerar as deformaes do eixo.

    Prof. Corey

  • Componentes de Cisalhamento Axial

    Torque aplicado ao eixo produz tenses de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo.

    Condies de equilbrio requer a existncia de tenses iguais no faces formadas pelos dois planos que contm o eixo da barra.

    As tiras adjacentes deslizam uma em relao outra, quando torques iguais e opostas so aplicadas nas extremidades da barra.

    A existncia de componentes de cisalhamento axial demonstrada, considerando um eixo formado por tiras separadas e fixadas por meio de pinos.

    Prof. Corey

  • A partir da observao, o ngulo de toro da barra proporcional ao torque aplicado e ao comprimento da barra.

    TL

    Deformaes em uma Barra de Seo Circular

    Quando uma barra circular submetida toro, toda seo transversal plana permanece plana e indeformada.

    Sees transversais circulares cheias ou vazadas permanecem plana e sem distores, porque um eixo circular axissimtrico.

    Sees transversais no circulares (no axissimtricas) so distorcidas quando submetidas toro.

    Prof. Corey

  • Deformaes de Cisalhamento

    Considerar a seo interna da barra. Como a barra submetida a um carregamento torcional, o elemento do cilindro interior se deforma em um losango.

    A deformao de cisalhamento proporcional a distncia do eixo da barra

    max=cL e =

    c max

    L= ou = L

    Segue-se que

    Uma vez que as extremidades do elemento permanecem planas, a deformao de cisalhamento igual ao ngulo de toro.

    Prof. Corey

  • Tenses no Regime Elstico

    T= dA= maxc

    2 dA=maxc

    J

    Lembre-se que a soma dos momentos das foras elementares internas igual ao torque no eixo da seo,

    max=TcJ e =

    TJ

    Os resultados so conhecidos como as frmulas de toro no regime elstico,

    Multiplicando a equao anterior pelo mdulo de elasticidade,

    G= c G max

    = c max

    Da Lei de Hooke, =G , assim

    Tenso de cisalhamento varia linearmente com a distncia radial do eixo da barra.

    J= 12c4

    J= 12 (c24c14 )Prof. Corey

  • Tenses Normais

    Note-se que todas as tenses para os elementos a e c tm a mesma magnitude.

    O elemento c submetido a uma tenso de trao em duas de suas faces e tenso de compresso nas outras duas.

    Elementos com faces paralelas e perpendiculares ao eixo da barra so submetidos a tenses de cisalhamento apenas. Tenses normais, tenses de cisalhamento ou uma combinao de ambas podem ser encontradas para outras orientaes do elemento.

    F=2 ( max A0) cos 45= max A0 2

    45o

    =FA

    =max A0 2A0 2

    = max

    Considere um elemento a 45o com o eixo da barra,

    O elemento a est em cisalhamento puro.

    Prof. Corey

  • Tipos de Falhas por Toro Materiais dcteis geralmente falham

    em cisalhamento. Materiais frgeis falham mais em trao do que em cisalhamento.

    Quando submetido toro, um corpo de prova feito de material dctil rompe-se ao longo de um plano perpendicular ao seu eixo longitudinal.

    Quando submetido toro, um material frgil tende a se romper ao longo de planos perpendiculares direo em que a tenso de trao mxima, ou seja, ao longo de superfcies em 45 com o eixo longitudinal do corpo de prova.

    Prof. Corey

  • Eixo BC vazado, com dimetros internos e externos de 90 mm e 120 mm, respectivamente. Os eixos AB e CD so slidos e tem dimetro d. Para o carrega-mento mostrado, determine (a) As tenses de cisalhamento mxima e mnima no eixo BC, (b) o dimetro d necessrio para os eixos AB e CD, se a tenso de cisalhamento admissvel nesses eixos for de 65 Mpa.

    Problema Resolvido 3.1

    SOLUO:

    Cortar a seo atravs dos eixos AB e BC, realizar anlises de equilbrio esttico para encontrar os torques.

    Dada a tenso de cisalhamento admissvel e os torques aplicados, inverter a frmula de toro elstica para encontrar o dimetro necessrio.

    Aplicar as frmulas de toro elstica para encontrar as tenses mnimas e mximas no eixo BC.

    Prof. Corey

  • Problema Resolvido 3.1SOLUO: Cortar a seo atravs dos eixos AB e BC, realizar anlises de

    equilbrio esttico para encontrar os torques.

    M x=0=(6 kNm )T ABT AB=6 kNm=TCD

    M x=0=(6 kNm )+ (14 kNm )T BCT BC=20 kNm

    Prof. Corey

  • Problema Resolvido 3.1 Aplicar as frmulas de

    toro elstica para encon-trar as tenses mnimas e mximas no eixo BC.

    J=2 (c24c1

    4 )=2 [ (0 . 060 )4(0 .045 )4 ]

    13 .92106m4

    max=2=T BC c2J

    =(20 kNm ) (0 .060 m )13. 92106m4

    86 . 2 MPa min max

    =c1c2

    min86 . 2 MPa

    =45 mm60 mm

    min=64 . 7 MPa

    max=86 . 2 MPa min=64 .7 MPa

    Dada a tenso de cisalhamento admissvel e os torques aplicados, inverter a frmula de toro elstica para encontrar o dimetro necessrio.

    max=TcJ =

    Tc2 c

    4 65 MPa=6 kNm2 c

    3

    c=38 .9103md=2c=77 . 8 mm

    Prof. Corey

  • ngulo de Toro no Regime Elstico Lembre-se que o ngulo de toro e a deformao

    de cisalhamento mxima esto relacionados,max=

    cL

    No regime elstico, a tenso de cisalhamento e a deformao de cisalhamento esto relacionados pela Lei de Hooke,

    max=maxG

    = TcJG

    Igualando as expresses para a tenso de cisalhamento e resolvendo para o ngulo de toro=TLJG

    Se o eixo consistir em vrias partes com diferentes sees transversais e diferentes materiais ao longo do seu comprimento, o ngulo de toro encontrado com a soma dos ngulos de toro de cada componente.=

    i

    T i LiJ iGi

    Prof. Corey

  • Dadas as dimenses do eixo e o torque aplicado, encontrar as reaes aplicadas no eixo devido aos apoios A e B.

    Eixos Estaticamente Indeterminados

    A partir de uma anlise de corpo livre do eixo,

    que no suficiente para encontrar os torques desconhecidos. O problema estaticamente indeterminado.

    T A+T B=120 N.m

    T A+L1 J2L2 J1

    T A= 120 N .m

    Substitua na equao de equilbrio original,

    =1+2=T A L1J 1G

    T B L2J 2G

    =0 T B=L1J 2L2J 1

    T A

    Divida o eixo em dois componentes que devem ter deformaes compatveis.

    Prof. Corey

  • Problema Resolvido 3.4

    Dois eixos cheios de ao esto ligados por engrenagens. Sabendo que para cada eixo G = 77,2 Gpa, e que a tenso de cisalhamento admissvel de 55 MPa, determine (a) o maior torque T0 que pode ser aplicado extremidade A do eixo AB e (b) o ngulo correspondente pelo qual a extremidade A do eixo AB gira.

    SOLUO:

    Aplicar uma anlise de equilbrio esttico sobre os dois eixos para encontrar uma relao entre TCD e T0 .

    Encontrar o ngulo de toro correspondente para cada eixo e da rotao angular da extremidade final A.

    Encontre o torque mximo permitido em cada eixo, escolha o menor.

    Aplicar uma anlise cinemtica que relacione as rotaes angulares das engrenagens.

    Prof. Corey

  • Problema resolvido 3.4

    Aplicar uma anlise cinemtica que relacione as rotaes angulares das engrenagens.

    rBB=rC C

    B=rCrB

    C=62 mm22 mm

    C

    B=2,82 C

    M B=0=F (22 mm )T0MC=0=F (62 mm )T CDTCD=2,8 T 0

    SOLUO:

    Aplicar uma anlise de equilbrio esttico sobre os dois eixos para encontrar uma relao entre TCD e T0 .

    Prof. Corey

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