resistência dos materiais - prof. pdf fileresistência dos materiais (hibbeler)...

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  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS II

    Prof. Dr. Daniel Caetano

    2012 - 2

    CARREGAMENTO AXIAL PARTE I

  • Objetivos

    Conhecer o princpio de Saint-Venant

    Conhecer o princpio da superposio

    Calcular deformaes em elementos submetidos a esforo normal

    Calcular reaes em problemas estaticamente indeterminados simples

  • Material de Estudo

    Material Acesso ao Material

    Notas de Aula -

    Apresentao http://www.caetano.eng.br/ (Aula 3)

    Material Didtico -

    Resistncia dos Materiais (Hibbeler)

    Biblioteca Virtual, pginas 85 a 106.

    http://www.caetano.eng.br/

  • RELEMBRANDO:

    FORMA X DEFORMAO

  • Caractersticas das Figuras Planas

    Permetro, rea...

    Momento Esttico clculo do centride

    Momento de Inrcia resiste variao

    Mas o que tem a ver isso com resistncia?

    Mdulo de Rigidez...

    Tem a ver com o Mdulo de Elasticidade

    = =

  • O PRINCPIO DE SAINT-VENANT

  • Princpio de Saint-Venant

    Distoro na deformao: prxima carga

    Distoro prxima carga

    Distoro prxima ao apoio (reao!)

  • Princpio de Saint-Venant

    Distoro na deformao: prxima carga

    Distoro prxima carga

    Distoro prxima ao apoio (reao!)

    Longe das cargas e apoio... Permanecem paralelas

  • Princpio de Saint-Venant

    Com o distanciamento da carga...

    A tenso se uniformiza...

    a-a

    b-b

    c-c

    =

  • Princpio de Saint-Venant Uniformizao independe da distribuio da carga!

    Depende da resultante!

    c-c

    =

    c-c

    =

  • Princpio de Saint-Venant

    Quo longe da aplicao deve estar a medida?

  • DEFORMAO ELSTICA DE CORPO EM CARGA AXIAL

  • Deformao por Carga Axial Consideremos a viga genrica sob carga axial

    Carga varia ao longo de x P(x)

    rea varia ao longo de x A(x)

    Considerar tenso uniforme (Saint-Venant)

  • Deformao por Carga Axial Consideremos a viga genrica sob carga axial

    Vamos calcular a deformao no elemento dx

  • Clculo da Deformao

    =()

    ()

    =

    = ()

    ()= E

    =()

    ()

    Deformao por Carga Axial

  • Clculo da Deformao

    =()

    ()

    = ()

    ()

    0

    Deformao por Carga Axial

  • Deform. em Viga de Seo/Carga Constante

    = ()

    ()

    0

    =

    0

    =

    Deformao por Carga Axial

  • Barras compostas de vrias sees constantes

    =

    Deformao por Carga Axial

    P

  • Conveno de Sinais

    Traes Alongamentos +

    Compresses Contraes -

    Deformao por Carga Axial

    7kN 4kN 8kN

  • Deformao por Carga Axial

    7kN 4kN 8kN

    A reao de apoio ...

    = 0

    + 8 + 4 7 = 0

    R = 5kN

    R

    x

  • Deformao por Carga Axial

    7kN 4kN 8kN

    O alongamento ...

    =

    =1 11 1

    +2 22 2

    +3 33 3

    5kN

    x 1 2 3

  • Deformao por Carga Axial

    7kN 4kN 8kN

    =1 11 1

    +2 22 2

    +3 33 3

    P1 = +5kN

    P2 = -3kN

    P3 = -7kN

    5kN

    x 1 2 3

    5kN 1

    5kN

    3kN 2

    3kN

    7kN 3

    7kN

  • Exemplo Def. por Carga Axial

    Tubo de alumnio (E = 70GPa) AB (A = 400mm2).

    Barra de ao (E = 200GPa) BC ( = 10mm).

    Tenso de 80kN em C

    Faz C deslocar de quanto com relao a A?

  • Eal=70GPa, Eao=200GPa

    Aal=400mm2, ao=10mm

    Encurtamento AB

    Move B para direita (considerando A fixo)

    Alongamento de BC

    Move C para direita (considerando B fixo)

    Exemplo Def. por Carga Axial

    80kN 80kN B A

    80kN B

    80kN C

  • Eal=70GPa, Eao=200GPa

    Aal=400mm2, ao=10mm

    Encurtamento AB

    =

    =80103 0,4

    70109 0,0004=80103 4101

    70109 4104

    = 0,001143

    Exemplo Def. por Carga Axial

    80kN 80kN B A

  • Eal=70GPa, Eao=200GPa

    Aal=400mm2, ao=10mm

    Alongamento BC

    =

    =80103 0,6

    200109 0,005=80103 6101

    200109 5103

    = 0,003056

    Exemplo Def. por Carga Axial

    80kN B

    80kN C

  • Eal=70GPa, Eao=200GPa

    Aal=400mm2, ao=10mm

    Logo...

    = +

    = 0,001143 + 0,003056

    = 0,00420

    Exemplo Def. por Carga Axial

  • Exemplo Def. por Carga Axial Peso especfico:

    Md. Elasticidade: E

    Qual a disteno por peso prprio?

    = ()

    ()

    0

    r(y) = ?

    y

    r(y)

  • Exemplo Def. por Carga Axial Peso especfico:

    Md. Elasticidade: E

    Qual a disteno por peso prprio?

    ()

    =0

    () =0

    y

    r(y)

  • Exemplo Def. por Carga Axial

    Fpeso = W(y) = P(y) = V

    =

    3 2

    Mas...

    =0

    Logo...

    =3 0

    2

    3 2

  • Exemplo Def. por Carga Axial

    Alm disso...

    () = ()2

    Mas...

    =0

    Logo...

    = 0

    2 2

    2

  • Exemplo Def. por Carga Axial

    Juntando...

    =3 0

    2

    3 2

    = 0

    2 2

    2

    = ()

    ()

    0

    = 3 0

    2

    3 2 2

    02 2

    0

  • Exemplo Def. por Carga Axial Juntando...

    = 3 0

    2

    3 2 2

    02 2

    0

    =

    3

    0

    =

    3

    0

    = 2

    6

  • SUPERPOSIO DE EFEITOS

  • Superposio de Efeitos Princpio da Superposio de Efeitos

    Subdividir o carregamento em componentes

    Calcular os efeitos em separado

    Somar os resultados

    Carga relacionada linearmente com ou

    Ex.: = P/A ou = PL/EA

    Carga no deve provocar grande mudana na geometria do elemento

  • Superposio de Efeitos

  • Superposio de Efeitos

  • Superposio de Efeitos Neste curso...

    Pouca deformao

    Cargas proporcionais a ou

    A menos que especificado diferentemente!

    Em geral, valer a superposio!

  • ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS SOB

    CARGA AXIAL

  • Elem. Estaticamente Indeterminados

    Considere a viga abaixo

    Reaes RA e RB ... ?

    = 0

    + = 0 RA + RB = P

    P

    A B C

    L

    LAC LCB

    RA RB

    x

  • Elem. Estaticamente Indeterminados

    Considere a viga abaixo

    Reaes RA e RB ... ?

    = 0

    + = 0 RA + RB = P

    P

    A B C

    L

    LAC LCB

    RA RB

    x

    Viga Estaticamente Indeterminada

  • Elem. Estaticamente Indeterminados

    Considere a viga abaixo

    Podemos enxergar essa viga de outro modo...

    P

    A B C

    L

    LAC LCB

    RA RB

    RA

    A C

    RA LAC

    RB

    B C

    LCB RB

    RA + RB = P

    C,A = C,B

  • Elem. Estaticamente Indeterminados

    Calculemos...

    , =

    =

    = ,

    =

    RA

    A C

    RA LAC

    RB

    B C

    LCB RB

    RA + RB = P

    C,A = C,B

  • Elem. Estaticamente Indeterminados

    Calculemos...

    , =

    =

    = ,

    =

    RA

    A C

    RA LAC

    RB

    B C

    LCB RB

    RA + RB = P

    C,A = C,B Condio de

    Equilbrio

    Condio de Compatibilidade

  • Elem. Estaticamente Indeterminados

    Exemplo

    Reaes RA e RB ... ?

    = 0

    + = 0 RA + RB = P

    C,A = C,B + 0,001

    = 5mm E = 200GPa

  • Elem. Estaticamente Indeterminados

    Exemplo

    C,A = C,B + 0,001

    =

    + 0,001

    = 0,001

    =0,001 +

    = 5mm E = 200GPa

  • Elem. Estaticamente Indeterminados

    Exemplo

    C,A = C,B + 0,001

    =0,001 +

    =0,001 + ( )

    =0,001 200 109 (2,5 103)2+(20 103 ) 0,8

    0,4

    = 5mm E = 200GPa

  • Elem. Estaticamente Indeterminados

    Exemplo

    =0,001 200 109 6,25 106 + (20 103 ) 0,8

    0,4

    =3927 + (20000 ) 0,8

    0,4

    = 9817,5 + 40000 2

    3 = 49817,5

    = 16605,8 16,6

  • Elem. Estaticamente Indeterminados

    Exemplo = 16605,8 16,6

    =

    = 20 16,6

    = 3,4

  • EXERCCIO

  • Calcule:

    O deslocamento em C

    As reaes de apoio

    A = 0,5m B = 1m

    EA = EB = 50GPa

    Exerccio (Em Dupla)

    300kN

    A

    B

    2m

    1m

    C

  • PARA TREINAR

  • Para Treinar em Casa

    Ao A-36: E = 200GPa

    Concreto de Alta Resistncia: E = 35GPa

    Hibbeler (Bib. Virtual), Pg. 91 a 106

    Mnimos: Exerccios 4.1, 4.5, 4.10, 4.29

    Exerccios 4.31, 4.33

    Extras: Exerccios 4.2 a 4.4, 4.6, 4.7, 4.21, 4.30

    Exerccios: 4.34, 4.36, 4.37

  • CONCLUSES

  • Resumo Existe relao entre carga e deslocamento

    Influenciam Rigidez (E)

    rea (A)

    Comprimento (L)

    Podemos decompor problemas (superposio)

    Estaticamente Indeterminados? Compatibilidade de deslocamentos

    Exercitar Exerccios Hibbeler

  • Prxima Aula

    nicas carg