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RESISTNCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Dr. Daniel Caetano
2012 - 2
CARREGAMENTO AXIAL PARTE I
Objetivos
Conhecer o princpio de Saint-Venant
Conhecer o princpio da superposio
Calcular deformaes em elementos submetidos a esforo normal
Calcular reaes em problemas estaticamente indeterminados simples
Material de Estudo
Material Acesso ao Material
Notas de Aula -
Apresentao http://www.caetano.eng.br/ (Aula 3)
Material Didtico -
Resistncia dos Materiais (Hibbeler)
Biblioteca Virtual, pginas 85 a 106.
http://www.caetano.eng.br/
RELEMBRANDO:
FORMA X DEFORMAO
Caractersticas das Figuras Planas
Permetro, rea...
Momento Esttico clculo do centride
Momento de Inrcia resiste variao
Mas o que tem a ver isso com resistncia?
Mdulo de Rigidez...
Tem a ver com o Mdulo de Elasticidade
= =
O PRINCPIO DE SAINT-VENANT
Princpio de Saint-Venant
Distoro na deformao: prxima carga
Distoro prxima carga
Distoro prxima ao apoio (reao!)
Princpio de Saint-Venant
Distoro na deformao: prxima carga
Distoro prxima carga
Distoro prxima ao apoio (reao!)
Longe das cargas e apoio... Permanecem paralelas
Princpio de Saint-Venant
Com o distanciamento da carga...
A tenso se uniformiza...
a-a
b-b
c-c
=
Princpio de Saint-Venant Uniformizao independe da distribuio da carga!
Depende da resultante!
c-c
=
c-c
=
Princpio de Saint-Venant
Quo longe da aplicao deve estar a medida?
DEFORMAO ELSTICA DE CORPO EM CARGA AXIAL
Deformao por Carga Axial Consideremos a viga genrica sob carga axial
Carga varia ao longo de x P(x)
rea varia ao longo de x A(x)
Considerar tenso uniforme (Saint-Venant)
Deformao por Carga Axial Consideremos a viga genrica sob carga axial
Vamos calcular a deformao no elemento dx
Clculo da Deformao
=()
()
=
= ()
()= E
=()
()
Deformao por Carga Axial
Clculo da Deformao
=()
()
= ()
()
0
Deformao por Carga Axial
Deform. em Viga de Seo/Carga Constante
= ()
()
0
=
0
=
Deformao por Carga Axial
Barras compostas de vrias sees constantes
=
Deformao por Carga Axial
P
Conveno de Sinais
Traes Alongamentos +
Compresses Contraes -
Deformao por Carga Axial
7kN 4kN 8kN
Deformao por Carga Axial
7kN 4kN 8kN
A reao de apoio ...
= 0
+ 8 + 4 7 = 0
R = 5kN
R
x
Deformao por Carga Axial
7kN 4kN 8kN
O alongamento ...
=
=1 11 1
+2 22 2
+3 33 3
5kN
x 1 2 3
Deformao por Carga Axial
7kN 4kN 8kN
=1 11 1
+2 22 2
+3 33 3
P1 = +5kN
P2 = -3kN
P3 = -7kN
5kN
x 1 2 3
5kN 1
5kN
3kN 2
3kN
7kN 3
7kN
Exemplo Def. por Carga Axial
Tubo de alumnio (E = 70GPa) AB (A = 400mm2).
Barra de ao (E = 200GPa) BC ( = 10mm).
Tenso de 80kN em C
Faz C deslocar de quanto com relao a A?
Eal=70GPa, Eao=200GPa
Aal=400mm2, ao=10mm
Encurtamento AB
Move B para direita (considerando A fixo)
Alongamento de BC
Move C para direita (considerando B fixo)
Exemplo Def. por Carga Axial
80kN 80kN B A
80kN B
80kN C
Eal=70GPa, Eao=200GPa
Aal=400mm2, ao=10mm
Encurtamento AB
=
=80103 0,4
70109 0,0004=80103 4101
70109 4104
= 0,001143
Exemplo Def. por Carga Axial
80kN 80kN B A
Eal=70GPa, Eao=200GPa
Aal=400mm2, ao=10mm
Alongamento BC
=
=80103 0,6
200109 0,005=80103 6101
200109 5103
= 0,003056
Exemplo Def. por Carga Axial
80kN B
80kN C
Eal=70GPa, Eao=200GPa
Aal=400mm2, ao=10mm
Logo...
= +
= 0,001143 + 0,003056
= 0,00420
Exemplo Def. por Carga Axial
Exemplo Def. por Carga Axial Peso especfico:
Md. Elasticidade: E
Qual a disteno por peso prprio?
= ()
()
0
r(y) = ?
y
r(y)
Exemplo Def. por Carga Axial Peso especfico:
Md. Elasticidade: E
Qual a disteno por peso prprio?
()
=0
() =0
y
r(y)
Exemplo Def. por Carga Axial
Fpeso = W(y) = P(y) = V
=
3 2
Mas...
=0
Logo...
=3 0
2
3 2
Exemplo Def. por Carga Axial
Alm disso...
() = ()2
Mas...
=0
Logo...
= 0
2 2
2
Exemplo Def. por Carga Axial
Juntando...
=3 0
2
3 2
= 0
2 2
2
= ()
()
0
= 3 0
2
3 2 2
02 2
0
Exemplo Def. por Carga Axial Juntando...
= 3 0
2
3 2 2
02 2
0
=
3
0
=
3
0
= 2
6
SUPERPOSIO DE EFEITOS
Superposio de Efeitos Princpio da Superposio de Efeitos
Subdividir o carregamento em componentes
Calcular os efeitos em separado
Somar os resultados
Carga relacionada linearmente com ou
Ex.: = P/A ou = PL/EA
Carga no deve provocar grande mudana na geometria do elemento
Superposio de Efeitos
Superposio de Efeitos
Superposio de Efeitos Neste curso...
Pouca deformao
Cargas proporcionais a ou
A menos que especificado diferentemente!
Em geral, valer a superposio!
ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS SOB
CARGA AXIAL
Elem. Estaticamente Indeterminados
Considere a viga abaixo
Reaes RA e RB ... ?
= 0
+ = 0 RA + RB = P
P
A B C
L
LAC LCB
RA RB
x
Elem. Estaticamente Indeterminados
Considere a viga abaixo
Reaes RA e RB ... ?
= 0
+ = 0 RA + RB = P
P
A B C
L
LAC LCB
RA RB
x
Viga Estaticamente Indeterminada
Elem. Estaticamente Indeterminados
Considere a viga abaixo
Podemos enxergar essa viga de outro modo...
P
A B C
L
LAC LCB
RA RB
RA
A C
RA LAC
RB
B C
LCB RB
RA + RB = P
C,A = C,B
Elem. Estaticamente Indeterminados
Calculemos...
, =
=
= ,
=
RA
A C
RA LAC
RB
B C
LCB RB
RA + RB = P
C,A = C,B
Elem. Estaticamente Indeterminados
Calculemos...
, =
=
= ,
=
RA
A C
RA LAC
RB
B C
LCB RB
RA + RB = P
C,A = C,B Condio de
Equilbrio
Condio de Compatibilidade
Elem. Estaticamente Indeterminados
Exemplo
Reaes RA e RB ... ?
= 0
+ = 0 RA + RB = P
C,A = C,B + 0,001
= 5mm E = 200GPa
Elem. Estaticamente Indeterminados
Exemplo
C,A = C,B + 0,001
=
+ 0,001
= 0,001
=0,001 +
= 5mm E = 200GPa
Elem. Estaticamente Indeterminados
Exemplo
C,A = C,B + 0,001
=0,001 +
=0,001 + ( )
=0,001 200 109 (2,5 103)2+(20 103 ) 0,8
0,4
= 5mm E = 200GPa
Elem. Estaticamente Indeterminados
Exemplo
=0,001 200 109 6,25 106 + (20 103 ) 0,8
0,4
=3927 + (20000 ) 0,8
0,4
= 9817,5 + 40000 2
3 = 49817,5
= 16605,8 16,6
Elem. Estaticamente Indeterminados
Exemplo = 16605,8 16,6
=
= 20 16,6
= 3,4
EXERCCIO
Calcule:
O deslocamento em C
As reaes de apoio
A = 0,5m B = 1m
EA = EB = 50GPa
Exerccio (Em Dupla)
300kN
A
B
2m
1m
C
PARA TREINAR
Para Treinar em Casa
Ao A-36: E = 200GPa
Concreto de Alta Resistncia: E = 35GPa
Hibbeler (Bib. Virtual), Pg. 91 a 106
Mnimos: Exerccios 4.1, 4.5, 4.10, 4.29
Exerccios 4.31, 4.33
Extras: Exerccios 4.2 a 4.4, 4.6, 4.7, 4.21, 4.30
Exerccios: 4.34, 4.36, 4.37
CONCLUSES
Resumo Existe relao entre carga e deslocamento
Influenciam Rigidez (E)
rea (A)
Comprimento (L)
Podemos decompor problemas (superposio)
Estaticamente Indeterminados? Compatibilidade de deslocamentos
Exercitar Exerccios Hibbeler
Prxima Aula
nicas carg