resistencia dos materiais i - apostila - parte 2

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  • Apostila de Resistncia dos Materiais I Parte 2 Prof Eliane Alves Pereira Turma: Engenharia Civil

    Equilbrio de uma Partcula

    Condio de Equilbrio do Ponto Material

    Um ponto material encontra-se em equilbrio esttico desde que esteja em repouso ou ento possua velocidade constante. Para que essa condio ocorra, a soma de todas as foras que atuam sobre o ponto material deve ser nula, portanto:

    0 Diagrama de Corpo Livre

    O diagrama de corpo livre representa um esboo do ponto material que mostra todas as foras que atuam sobre ele.

    Exemplo de Diagrama de Corpo Livre (DCL)

    Molas

    Quando se utilizar uma mola elstica, o comprimento da mola variar em proporo direta com a fora que atua sobre ela. A equao da fora atuante na mola apresentada a seguir.

    F = k s k = Constante elstica da mola. s = Deformao da mola.

    Cabos e Polias

    Cabos suportam apenas uma fora de trao que atuam na direo do mesmo.

    Equaes de Equilbrio

    Se um ponto material estiver submetido a um sistema de vria foras coplanares e colineares, cada fora poder ser decomposta em componentes x e y e para a condio de equilbrio necessrio que as seguintes condies sejam atendidas.

    0 0

  • Exemplo:

    1) Determine a tenso nos cabos AB e AD para o equilbrio do motor de 250kg mostrado na figura.

    Soluo:

    a) DCL

    b) Peso do motor:

    250 9,8 2.452

    c) Equaes de equilbrio:

    0 cos 30 ! 0 (I) 0 sin 30 0 (II)

    Resolvendo a equao II:

    sin 30 2.452 0 2.452sin 30 4.904

    Substituindo em I:

    4.904 cos30 ! 0 ! 4.904 cos30 ! 4.247

    2) Determine o comprimento da corda AC da figura, de modo que a luminria de 8kg seja suspensa na posio mostrada. O comprimento no deformado da mola lAB = 0,4m e a mola tem rigidez kAB =300N/m.

    Soluo:

    a) DCL

    b) Peso da luminria:

    8 9,8 78,5

    c) Equaes de equilbrio:

    0 % %& cos 30 0 (I) 0 %& sin 30 0 (II)

    Resolvendo a equao II:

    %& sin 30 78,5 0 %& 78,5sin 30 157

    Substituindo em I:

    % 157 cos30 0 % 157 cos 30 % 136

    d) Comprimento dos Cabos: Alongamento da mola (F = k s):

    % % % 136 300 %

    % 136300 % 0,453

    Comprimento deformado da mola:

    )% )% + % )% 0,4 + 0,453 )% 0,853

    Comprimento do cabo AC:

    2 )%& cos 30 + )% 2 )%& cos 30 + 0,853

    )%& 2 0,853cos 30 )%& 1,32

  • Sistema de Foras Tridimensionais

    No caso de um sistema de foras tridimensionais, podemos decompor as foras em suas respectivas componentes i, j, k, de modo que , +- +./ 0. Para satisfazer a condio de equilbrio necessrio que:

    0 0 0 . 0 Portanto a soluo obtida por um sistema de trs equaes e trs incgnitas.

    Exemplo:

    1) Determine a intensidade e os ngulos diretores da fora F necessrios para o equilbrio do ponto O.

    Soluo:

    a) Determinao das foras:

    0 , + - + ./

    12 (40041)

    1 ( 80061)

    17 7 8619 b) Vetor unitrio e vetor posio

    8619 :19:9

    :19 ( 2;1 341+ 661)

    :9 c) Condio de equilbrio:

    0 12 + 1 + 17 + 1 0

    40041 80061 200;1 30041+ 60061 + ;1+ 41+ .61 0

    d) Sistemas de equaes:

    0 200 + 200 0 400 300 + 100 . 0 800 + 600 + . . 200

    e) Vetor fora F

    =200;1 10041+ 20061>

    f) Mdulo de F

  • 861? 200300 ;1 100300 41 +

    200300

    B cosC2 D200300E B 48,2

    F cosC2 D 100300 E F 109

    G cosC2 D200300E G 48,2

    2) A caixa de 100kg mostrada na figura suportada por trs cordas, uma delas acoplada na mola mostrada. Determine a fora nas cordas AC e AD e a deformao da mola.

    a) Determinao das foras:

    1 (;1) 1& =& cos120 ;1 + & cos 135 41+ & cos60 61>

    1& = 0,5 &;1 0,707 &41+ 0,5 &61>

    61 = 98161>

    1! ! 861%! b) Vetor unitrio e vetor posio

    861%! :1%!:%!

    :1%! ( 1;1+ 241+ 261)

    :%! c) Condio de equilbrio:

    0 1 + 1& + 1! + 61 0

    ;1 0,5 &;1 0,707 &41 + 0,5 &61 0,333 !;1 + 0,667 !41 + 0,667 !61 98161 0

    d) Sistemas de equaes:

    0 0,5 & 0,333 ! 0 (I) 0 0,707 & + 0,667 ! 0 (II) . 0 0,5 & + 0,667 ! 981 0 (III) Soluo das equaes:

    De (II):

    0,707 & + 0,667 ! 0

    ! 0,707 &0,667 ! 1,059 & (IV)

    Substituindo (IV) em (III):

    0,5 & + (0,667 (0,667 &)) 981 0 0,5 & + 0,706 & 981 0 1,207 & 981 0

    & 9811,207 & 813

  • Em (IV):

    ! 1,059 & ! 1,059 813 ! 862 Em (I):

    0,5 & 0,333 ! 0 0,5 813 0,333 862 0

    406,5 + 287,04 693,7

    e) Deformao da mola (F = k s): 693,7 1500

    693,71500 0,462

    Lista de Exerccios

    1) Responda as questes de equilbrio em duas e trs dimenses:

    a) A caixa de 200kg da figura suspensa usando as cordas AB e AC. Cada corda pode suportar uma fora mxima de 10kN antes de se romper. Se AB sempre permanece horizontal, determine o menor ngulo para o qual a caixa pode ser suspensa antes que uma das cordas se rompa.

    Resp.: FB=9,81kN e =11,31

    b) Determine o ngulo e a intensidade de F de modo que o ponto material esteja em equilbrio esttico.

    Resp.: F=4,94kN e =31,8

    c) Determine a intensidade e o sentido de F1 necessrios para manter o sistema de foras concorrentes em equilbrio.

    Resp.: F1=607,89N, =79,2, =16,4e =77,8

    d) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condio de equilbrio do ponto material.

    Resp.: F1=800N, F2=147N e F3=564N

    e) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condio de equilbrio do ponto material.

    Resp.: F1=5,60kN, F2=8,55kN e F3=9,44kN

  • f) O cabo supor O cabo suporta a caamba e seu contedo que tem massa total de 300kg. Determine as foras desenvolvidas nas escoras AD e AE e a fora na parte AB do cabo para a condio de equilbrio. A fora em cada escora atua ao longo do seu prprio eixo.

    Resp: FAE=FAD = 1240,76N e FAB=1319,28N

    g) Os cabos AB e AC suportam uma trao mxima de 500N e o poste, uma compresso mxima de 300N. Determine o peso da luminria sustentada na posio mostrada. A fora no poste atua alongo de seu prprio eixo.

    Resp: P=138N

    h) Determine a fora necessria em cada um dos trs cabos para levantar a escavadeira que tem massa de 8 toneladas.

    Resp: FAB=FAC = 16,6kN e FAD=55,2kN