CAPTULO IV

CAPTULO IV

GEOMETRIA DAS MASSAS

I. ASPECTOS GERAISApesar de no estar incluida dentro dos nossos objetivos principais, vamos estudar algumas grandezas caractersticas da geometria das massas com a finalidade de conhecermos alguns valores necessrios ao estudo das solicitaes que provoquem a rotao, como o Momento Fletor e o Momento Torsor.Vamos nos ater ao clculo das propriedades das sees planas.II. MOMENTOS ESTTICOS E BARICENTROS DE SUPERFCIES PLANAS

A. CONCEITOAdmitimos uma superfcie plana qualquer de rea "A", referida um sistema de eixos ortogonais x,y. Sejam:

dA - elemento de rea representativo componente da superfcie

x e y - coordenadas deste elemento em relao ao sistema de eixos

Define-se:Momento esttico de um elemento de rea dA em relao a um eixo o produto da rea do elemento por sua orddenada em relao ao eixo considerado.

Notao : s Expresso analtica :

Define-se:Momento esttico de uma superfcie a soma dos momentos estticos em relao a um mesmo eixo dos elementos que a constituem.

Notao : S

Expresso analtica:

Observaes:1. unidade: cm3, m3, ...

2. sinal : O momento esttico pode admitir sinais positivos ou negativos, dependendo do sinal da ordenada envolvida.

3. O momento esttico de uma superfcie nulo em relao qualquer eixo que passe pelo baricentro desta superfcie.

B. DETERMINAO DO BARICENTRO DE SUPERFCIEA utilizao dos conceitos de momento esttico se d no clculo da posio do baricentro de figuras planas.

Seja:

G - baricentro da superfcie com coordenadas determinar (xG; yG)

por definio:

Se o baricentro da superfcie fosse conhecido poderamos calcular o momento esttico desta superfcie pela definio:

Sx = yG . A SYMBOL 92 \f "Symbol" yG =

Como A (rea total) pode ser calculado pela soma dos elementos de rea que a constituem:

ento :

Anlogamente:

Estas expresses nos permitem determinar as coordenadas do centro de gravidade de qualquer seo desde que se conhea um elemento dA representativo da superfcie toda. So chamadas genricamente de "Teorema dos Momentos Estticos".Nos casos mais comuns, quando a superfcie em estudo for a seo transversal de um elemento estrutural, normalmente sees constituidas por elementos de rea conhecidos, podemos substituir nas equaes a integral por seu similar que o somatrio, e as expresses ficam:

ou

OBS: Quando a figura em estudo apresentar eixo de simetria, o seu centro de gravidade estar obrigatriamente neste eixo.Exemplo1:

Determinar a altura do centro de gravidade do semi-crculo de raio R da figura

R :

III. MOMENTOS E PRODUTOS DE INRCIAPodemos definir momentos e produtos de inrcia de uma superfcie , usando como referencia a mesma superfcie de rea A referida um sistema de eixos x,y:

A. MOMENTO DE INRCIA AXIAL Define-se:Momento de inrcia de um elemento de rea em relao a um eixo o produto da rea deste elemento pelo quadrado de sua distncia ao eixo considerado.

Notao : j Expresso analtica:

jx = y2 . dA jy = x2 . dA

Unidade : cm4 , m4, ...

Sinal : sempre positivo

Define-se:

Momento de inrcia de uma superfcie em relao a um eixo a soma dos momentos de inrcia em relao ao mesmo eixo dos elementos de rea que a constituem.

ou

OBS: Sendo o momento de inrcia axial de uma superfcie o somatrio de valores sempre positivos, ele s admite valores positivos tambm.

B. MOMENTO DE INRCIA POLARDefine-se:Momento de inrcia de um elemento de rea em relao a um ponto o produto da rea deste elemento pelo quadrado de sua distncia ao ponto considerado.

Notao: j (ndice com o nome do ponto)

Expresso analtica:

jo= r2 . dA

Unidade : cm4 , m4 , ....

Sinal: sempre positivoDefine-se:Momento de inrcia de uma superfcie em relao a um ponto a soma dos momentos de inrcia, em relao ao mesmo ponto dos elementos qua a constituem."

Se levarmos em conta o teorema de Pitgoras:

ento:

= +

Portanto, o momento de inrcia de uma superfcie em relao a um ponto a soma dos momentos de inrcia em relao a dois eixos ortogonais que passem pelo ponto considerado.

C. PRODUTO DE INRCIADefine-se:O produto de inrcia de um elemento de rea em relao a um par de eixos o produto da rea deste elemento por suas coordenadas em relao aos eixos considerados.

Notao : j Expresso analtica :

jx,y = x.y.dA

Sinal: admite sinais positivos e negativos, de acrdo com o sinal do produto das coordenadas.

Unidade : cm4, m4 , ...Define-se:O produto de inrcia de uma superfcie a soma dos produtos de inrcia, em relao ao mesmo par de eixos, dos elementos que a constituem."

O produto de inrcia de uma superfcie por ser o somatrio do produto dos elementos que a constituem pode resultar em um valor negativo, positivo ou nulo.Exemplo 2:Determine o momento de inrcia de um retangulo b x h , em relao ao eixo horizontal coincidente com a base.

IV. TRANSLAO DE EIXOS (TEOREMA DE STEINER)Este teorema nos permite relacionar momentos e produtos de inrcia em relao a eixos quaisquer com momentos e produtos de inrcia relativos a eixos baricntricos, desde que eles sejam paralelos.

Expresses analticas:

Jx = JxG + A.dy2Jy = JyG + A.dx2Jo = JG + A . r2Jx,y = JxG,yG + A.dx.dy

Para a utilizao do teorema de steiner, os eixos baricentricos devem necessriamente estar envolvidos na translao.V. ROTAO DE EIXOS

A. SEGUNDO UMA INCLINAO QUALQUER SYMBOL 97 \f "Symbol"

O teorema seguir nos permite calcular momentos e produtos de inrcia em relao a eixos deslocados de um angulo SYMBOL 97 \f "Symbol", de uma referncia conhecida.Conhecidos: Jx, Jy, JxyA determinar: Jx, Jy, Jxy.

Expresses analticas:Jx' = Jx. cos2 SYMBOL 97 \f "Symbol" + Jy. sen2SYMBOL 97 \f "Symbol" - Jx,y. sen 2SYMBOL 97 \f "Symbol"Jy' = Jy. cos2 SYMBOL 97 \f "Symbol" + Jx .sen2SYMBOL 97 \f "Symbol" + Jx,y. sen 2SYMBOL 97 \f "Symbol"Jx',y' = Jx,y . cos 2SYMBOL 97 \f "Symbol" + (Jx - Jy).sen 2SYMBOL 97 \f "Symbol"A conveno adotada na deduo destas expresses na medida de SYMBOL 97 \f "Symbol", segue a conveno adotada no crculo trigonomtrico, ou seja deslocamento no sentido anti horrio.

A. EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INRCIAPodemos notar que ao efetuarmos a rotao dos eixos que passam por um ponto 'o', os momentos e produtos variam em funo do angulo de rotao SYMBOL 97 \f "Symbol".Em problemas prticos, normalmente nos interessa a inclinao 'SYMBOL 97 \f "Symbol"', em relao qual os valores do momento de inrcia mximo, para ento aproveitarmos integralmente as caractersticas geomtricas da seo transversal que deve ser adotada.Para a determinao do mximo de uma funo, por exemplo Jx', podemos utilizar os conceitos de clculo diferencial, onde sabemos que uma funo mxima ou mnima no ponto em que sua primeira derivada for nula.

Ento:

Efetuando as derivaes e com algumas simplificaes algbricas chegamos expresso:

Esta expresso nos permite calcular dois valores para o angulo SYMBOL 97 \f "Symbol", que caracterizam a posio dos eixos em relao aos quais o momento de inrcia assume valores extremos (mximo e mnimo).Vamos observar que estes eixos so:

1. Ortogonais entre si.

2. O produto de inrcia em relao a este par de eixos nulo.

3. Na rotao dos eixos a soma dos momentos de inrcia constante.

Jx + Jy = Jx' + Jy'Os dois eixos determinados chamam-se de eixos principais de inrcia e os momentos correspondentes momentos principais de inrcia.

Observaes:

1. Se o ponto "o" em trno do qual se fez a rotao coincidir com o centro de gravidade da seo, os eixos passaro a ser chamados de principais centrais de inrcia e a eles correspondero os momentos principais centrais de inrcia.

2. Se a seo tiver eixo de simetria, este ser, necessriamente , um eixo principal central de inrcia.

EXERCCIOS PROPOSTOS:1. As superfcies abaixo indicadas foram construdas em chapas de ao dobradas. Determine o baricentro das mesmas supondo que as chapas adotadas tem 10 mm de espessuraa. b.2. Determine e localize o baricentro das superfcies hachuradas abaixo, que tem as medidas indicadas em cm:a. b.

R: XG = 5,00 ; YG= 9,66 R: XG = 6,00; YG = 9,17c.

R: XG = 25; YG = 274. Determinar o momento de inrcia das figuras em relao aos eixos baricentricos horizontail e vertical. (medidas em cm)

a. b.

R: Jx = 3.541,33 cm4 R: Jx = 553 cm4 Jy= 1.691,33 cm4 Jy = 279,08 cm4c. d.

R: Jx = 687,65 cm4 R: Jx = 1.372,29 cm4

Jy= 207,33 cm4 Jy= 1.050,27 cm45. Para as figuras abaixo, determine os seus eixos principais centrais de inrcia, bem como os momentos correspondentes (momentos principais centrais de inrcia). As medidas esto cotadas em cm.

a. b.

R: Jmx = 1.316 cm 4 R: Jmx = 2.707 cm4 Jmn = 325,5 cm4 Jmn = 105 cm46. Para a figura abaixo determine:

a. Momentos principais centrais de inrcia

b. Momentos principais de inrcia em relao ao ponto O.

R: a. Jmx = 105,33 cm4 Jmn = 87,05 cm4 b. Jmx = 142,33 cm4 Jmn = 91,70 cm4

TABELA DE MOMENTO DE INRCIA DE SEES USUAIS

EMBED PBrush

x

y

x

y

yG

xG

y

x

G

y

x

y

x

r

X

x

y

xG

yG

dy

dx

x

x'

y

y'

O

x

x'

20 cm

20 cm

21 cm

20 cm

b

x

y

h

x

y

H

h

b

B

x

y

B

b

H

h

x

y

b

H

h

e

B

x

y

2/3 h

1/3 h

b

y

x

2/3 h

h/3

b/3 2/3 b

X

Y

O

x

y

PAGE 87Resistncia dos Materiais I CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini

_1243446963.unknown

_1243447055.unknown

_1243337790.unknown

_1222268846.unknown

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_1223813751.unknown

_1223813752.unknown

_1223814066.unknown

_1222270173.unknown

_1222269565.unknown

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_1222268824.unknown

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