resistencia dos materiais apostila 2007

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Apostila de resistencia

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  • PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL

    FACULDADE DE ENGENHARIA

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

    Resistncia dos

    Materiais I

    Notas de Aula

    Profa. Maria Regina Costa Leggerini

  • Resistncia dos Materiais I CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini

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    CAPTULO I

    INTRODUO RESISTNCIA DOS MATERIAIS

    I. OBJETIVO FUNDAMENTAL

    A Resistncia dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das diversas partes de um corpo quando sob a ao de solicitaes.

    Ao estudar-se o equilbrio interno de um corpo, as solicitaes internas fundamentais (M, Q, N e Mt) so determinadas. Se est penetrando no interior da estrutura, para analisar-se, em suas diversas sees, a existncia e a grandeza dos esforos que a solicitam.

    A avaliao destes esforos foi objeto de estudo na disciplina de Estruturas Isostticas que deve preceder a Resistncia dos Materiais.

    Consideram-se corpos reais, istropos e contnuos constitudos de pequenas partculas ligadas entre si por foras de atrao. Com a aplicao de esforos externos supe-se que as partculas destes corpos se desloquem e que isto prossiga at que se atinja uma situao de equilbrio entre os esforos externos aplicados e os esforos internos resistentes. Este equilbrio se verifica nos diversos pontos do corpo citado e se manifesta sob a forma de deformaes (mudana da forma original), dando origem tenses internas.

    Observe-se que o equilbrio se d na configurao deformada do corpo, que admitiremos como igual configurao inicial, pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformaes.

    Resumindo, em um corpo que suporta cargas ocorre:

    1. Um fenmeno geomtrico que a mudana da sua forma original: Isto deformao.

    2. Um fenmeno mecnico que a difuso dos esforos para as diversas partes do corpo: Isto tenso.

    claro que se entende que a capacidade que um material tem de resistir as solicitaes que lhe so impostas limitada, pois pode ocorrer a ruptura do corpo quando o carregamento for excessivo. necessrio conhecer esta capacidade para que se projete com segurana.

    Pode-se resumir um problema de Resistncia dos Materiais conforme fluxograma abaixo:

    Estrutura

    Cargas Externas Reativas

    Cargas Externas Ativas

    Solicitaes

    Tenses

    Deformae

    Limite Resistente do Material

    Critrio de Resistncia (Coeficiente de Segurana)

    PROJETO

    VERIFICAO

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    II. TENSES

    Conforme se citou, as tenses que se desenvolvem nas partculas de um corpo so consequncia dos esforos (fora ou momento) desenvolvidos. Como os esforos so elementos vetoriais (mdulo, direo e sentido) a tenso como consequncia tambm o ser.

    Lembra-se do mtodo das sees visto em Isosttica:

    Supe-se um corpo carregado e em equilbrio esttico. Ao se cortar este corpo por um plano qualquer e isolando-se uma das partes, pode-se dizer que na seo cortada devem se desenvolver esforos que se equivalham aos esforos da parte retirada, para que assim o sistema permanea em equilbrio. Estes esforos so decompostos e se constituem nas solicitaes internas fundamentais. O isolamento de qualquer uma das partes deve levar ao mesmo resultado.

    As resultantes nas sees de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situao original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princpio da ao e reao devem ser de mesmo mdulo, mesma direo e sentidos opostos. r rR e M so as resultantes das solicitaes internas referidas ao centro de gravidade da seo de corte da barra.

    Partindo-se deste raciocnio pode-se afirmar que em cada elemento de rea que constitui a seo cortada, est sendo desenvolvido um elemento de fora, cujo somatrio (integral) ao longo da rea mantm o equilbrio do corpo isolado.

    =A

    dA.Rr

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    O Momento M resultante se deve translao das diversas foras para o centro de gravidade da seo.

    A tenso mdia (rm) desenvolvida no elemento de rea citado nada mais do que a

    distribuio do efeito da fora pela rea de atuao da mesma.

    Sejam:

    A Elemento genrico de rea

    rF Elemento de fora que atua em

    rm tenso mdia

    rr

    m FA

    =

    Como a tenso um elemento vetorial se pode represent-la aplicada em um ponto determinado, que obtem-se fazendo o elemento de rea tender ao ponto (A0), e ento: r = Tenso atuante em um ponto ou tenso resultante em um ponto

    ou grficamente:

    Ainda por ser um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espao segundo trs direes ortogonais que se queira, portanto escolhe-se como referncia duas direes contidas pelo plano da seo de referncia "S" (x,y) e a terceira perpendicular este plano (n).

    F

    dA

    Fd =

    A

    F lim0A

    rrr

    =

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    Isto permite dividir as componentes da tenso do ponto em duas categorias:

    1. Tenses Tangenciais ou de Cisalhamento () - contidas pela seo de referncia

    2. Tenso Normal () - perpendicular seo de referncia

    Costuma-se em Resistncia dos Materiais diferenciar estas duas tenses pelos efeitos diferentes que elas produzem (deformaes) e se pode adiantar que normalmente trabalham-se com estas componentes ao invs da resultante.

    Tambm se pode convencionar como seo de referncia a seo transversal da pea em estudo. Cabe observar-se entretanto que mudada a referncia mudam tambm as componentes.

    S S'

    '

    y'

    x'

    y

    x

    Existem casos em que a seo transversal no a de maior interesse, como ser demonstrado oportunamente nas solicitaes compostas. Nestes casos o procedimento ser alterado.

    A. TENSES NORMAIS ()

    A tenso normal tem a direo perpendicular seo de referncia e o seu efeito o de provocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas.

    z

    x

    y

    y x

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    Costuma-se medir a deformao de peas sujeitas a tenso normal pela deformao especfica longitudinal ().

    1. Conceito:

    a relao que existe entre a deformao medida em um corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direo da tenso.

    li comprimento inicial da barra

    lf comprimento final da barra

    l deformao total l = l f - l i

    il

    l=

    Observe que no exemplo dado l > 0 portanto > 0 (alongamento) Pode-se mostrar um outro exemplo onde l < 0 conseqentemente < 0 (encurtamento)

    Neste exemplo l 0 portanto 0

    2. Sinal:

    li

    lf

    li

    lf

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    (+) alongamento Corresponde uma tenso de trao que tambm ser positiva

    (-) encurtamento Corresponde uma tenso de compresso que tambm ser negativa

    3. Unidade:

    - adimensional quando tomarmos para l a mesma unidade que para li

    -Taxa milesimal (o/oo) - Nestes casos medimos l em mm e li em m(metros).

    B. TENSES TANGENCIAIS ( ) a tenso desenvolvida no plano da seo de referncia tendo o efeito de provocar corte ou cisalhamento nesta seo.

    1. Lei da Reciprocidade das tenses tangenciais

    Esta lei representa uma propriedade especial das tenses tangenciais. Pode-se provar a sua existncia a partir das equaes de equilbrio esttico. Pode-se enunci-la de forma simples e aplic-la.

    Suponha duas sees perpendiculares entre si formando um diedro retangulo. Se em uma das faces deste diedro existir uma tenso tangencial normal a aresta de perpendicularidade das faces, ento, obrigatriamente na outra face, existir a mesma tenso tangencial normal a aresta. Ambas tero o mesmo mdulo e ambas se aproximam ou se afastam da aresta de perpendicularidade. So chamadas de tenses recprocas."

    Para facilitar a compreenso, pode-se representa-la grficamente:

    A figura (c) demonstra o desenvolvimento das tenses de cisalhamento longitudinais, recprocas s tenses de cisalhamento desenvolvidas pelo esforo cortante.

    (c)

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    2. Distoro Especfica ( ) Medida de deformao de corpos submetidos a tenses tangenciais.

    Supe-se um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tenses tangenciais em suas faces. Para melhor ser visualisar a deformao considera-se fixa a face compreendida pelas arestas A e B.

    DB

    'DD

    CA

    CC' = tg =

    Como em estruturas trabalha-se sempre no campo das pequenas deformaes e ento

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    Pode-se diferenciar os tipos de deformaes observando um ensaio simples, de uma mola presa a uma superfcie fixa e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores at a sua ruptura.

    A. DEFORMAES ELSTICAS

    Uma deformao elstica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta a