Resistência dos MateriaisProf. Me. Andrew J.R. CassMestre em Estruturas e Construção Civil

IntroduçãoO que é Resistência dos Materiais?(Hibbeller) É o ramo de mecânica que que estuda as relações ntre cargas eternas aplicadas em um determinado corpo deformável e a intensidade das forças internas resultantes.Em qualquer projeto estrutural ou de máquinas é de fundamental importância o estudo das forças atuantes e do comportamento, frente a essas forças, do material em serviço.Em estruturas chamamos essas forças de tensão de serviço ou tensões atuantes.Metodologia:1. Determinação das cargas atuantes externamente;2. determinação das cargas internas;3. determinação das deformações (depende do material);4. determinação das condições de resistência, ou seja, se o material vai ou não

resistir às cargas atuantes.

As deformações dependem:1. Do tipo de material;2. Das características geométricas (seção);3. Dos tipos de vinculação existentes na peça analisada (apoios, enrijecedores,

etc).

Portanto o conhecimento do material é de fundamental importância para o desenvolvimento das equações fundamentais de “Resistência dos Materiais”.Estas equações servem com base para os estudos avançados de cálculo estrutural em Concreto Armado, Estruturas Metálicas, Concreto Protendido, Pré-moldado, alvenaria estrutural, etc.

Determinação das forças atuantes

(Princípio da estática)

Comportamento do material

(Estabilidade e dimensões da peça)

Histórico A resistência dos materiais (RM) remonta ao século XVII, quando Galileu Galilei

realizou experimentos com hastes de diferentes tipos de material.

Comparação do comportamento de diferentes materiais com o mesmo tipo de seção e carga atuante. Para o melhor entendimento dos princípios envolvidos, Galileu fez inúmeras descrições experimentais caracterizando, com razoável precisão, as características dos materiais utilizados.

Umas vez estabelecidos os princípios básicos da RM, houve uma série de inovações e de melhorias nos processos experimentais. No século XVIII destacan-se: Saint-Venant (princípio de Saint-Venant); Poisson (coeficiente de Poisson); Lamé Navier

A Resistência dos Materiais passou por muitos nomes: Mecânica dos sólidos Mecânica dos materiais Mecânica dos corpos deformáveis, etc

Forças ExternasUm corpo pode ser submetido à várias forças externas, ou seja, pode sofrer a ação de vários agentes externos: Cargas acidentais em pontes, lajes, etc Força do vento em edifícios altos; Empuxo da água em reservatórios.Estas forças podem assumir características distintas conforme sua conformação de aplicação. Cargas pontuais Cargas distribuídas uniformemente Cargas triangulares Cargas trapezoidais Cargas irregulares E muitos outros tipos

Classificam-se as forças externas como:1. Forças de superfície: Ocorrem quando há contato de superfície entre dois

corpos. Em todos os casos essas forças são distribuídas em ambos os corpos pela área de contato.

2. Força de corpo: Ocorre quando um corpo exerce uma força sobre outro sem que se tenha contato direto entre os dois corpos. Um exemplo é a força da gravidade, medida como sendo uma força concentrada (peso passando pelo centro de gravidade do corpo).

Tipos de Forças ExternasForças de Superfície: Forças geradas pelo contato de superfície entre dois corpos. Avalia-se a dimensão desse carregamento como sendo distribuído por toda a área de contato.Note que, se a área de contato for muito pequena, o carregamento pode ser considerado como sendo pontual (quando em duas direções ou linear quando em uma direção).

Exemplos:1. Reservatório: Tem-se a interação entre dois corpos, a água e o reservatório

(paredes e laje de fundo). No reservatório atuam cargas oriundas do empuxo (pressão) da água distribuída ao longo da área de contato entre ambos os corpos (área interna do reservatório).

Vigas: Uma viga, tipicamente, tem uma dimensão muito superior as demais, ou seja, tem um comprimento (l) bem maior que a largura e altura da seção. A viga além de carregar o peso próprio (2.500 (Kg/m3) -> 25(KN/m3)), deve carregar o peso de paredes, eventuais cargas acidentais e outras oriundas da estrutura até ela. Nesses casos pode-se considerar que as ações são distribuídas de forma linear sobre a mesma.

As cargas lineares são representadas pela razão entre unidade de força e de distância (peso/dist.). No caso acima temos (10KN/m e 5KN/m). -> 1Ton e 500Kg

No exemplo acima temos uma parede que recebe uma carga distribuída linearmente (da cobertura?) e uma carga pontual sobre um pilar.

Cargas ConcentradasAs cargas concentradas exercem uma força sobre uma área relativamente pequena, portanto são consideradas como pontuais.Exemplo: Um cofre sobre uma laje.A carga concentrada é representada por um vetor com intensidade, sentido e direção. No caso de nosso cofre temos, por exemplo:Direção perpendicular a lajeSentido para baixoIntensidade de 10KN

Cargas concentradas são expressas em unidades de força, ou seja, o produto entre a massa e a ação da gravidade: m x g -> [kg x m/s2] => [N].Lembrando de 1Kgf = 10[N]

Cargas Distribuídas LinearmenteComo vimos anteriormente, a carga é considerada linear quando aplicada sobre uma superfície muito estreita. Criando uma linha de carga.Exemplos:

Temos duas linhas de carga: uma de 10KN/m outra de 5KN/m.(10KN/m x 4m) + (5KN/m x 4m) = 60KN

As cargas distribuídas podem ser representadas por forças pontuais, é um artifício necessário para se poder calcular as demais tensões atuantes no corpo.

40(KN)20(KN)

Exemplos: Uma viga de 4 metros de comprimento com 2 apoios A e B. Uma força distribuída de 10 (KN/m) é aplicada ao longo da viga. Qual a carga pontual equivalente (força resultante) e onde será aplicada?

FR = 10KN/m x 4m = 40KNA força resultante será aplicada no centro de gravidade do diagrama de força distribuída. Neste caso, a 2 metro do apoio A.

Diagrama equivalente

`Na mesma viga são aplicadas 2 cargas distribuídas. Determinar as forças resultantes e suas devidas posições.

R1= 15KN/m x 1m= 15KN R2= 10KN x 1m= 10KN, aplicadas em relação ao apoio AR1= 0,5m R2= 3,5m

Nem sempre as cagas distribuídas são uniformes. De fato elas podem variar ao longo da estrutura. Nestes casos a força resultante (FR) é equivalente a área do diagrama de forma da carga distribuída. O ponto de aplicação da carga será o centro de gravidade do diagrama.

Tipos mais comuns de distribuição de cargas:- Carga triangular, tipicamente a conformação das cargas de pressão em reservatórios, ou de aterros.

R= (4m x 20KN/m)/2R= 20KNO ponto de aplicação da carga:1/3 x 4m = 1.333m

Outro tipo de carga comum é a trapezoidal: Neste caso pode-se substituir o trapézio por um a carga retangular e outra triangular.

Solução1:R1= (15x4)/2= 30KNR2= 5x4= 20KN

R1+R2= 50KNPosição de R1 e R2R1= 1/3x4= 1.33mR2= 4/2= 2m

Na solução 2, tratamos a carga como um único trapézio. Lembrando que a áreade um trapézio é:

(p+q)/2 . l (20 + 5)/2.4= 50KNA carga é aplicada no centroide do trapézio: l/3.(2.p.q/(p+q))4/3.(2.20.5)/(20+5)= 1.6m

Tanto a solução 1 como a 2 produzem um sistema estrutural (estática) idênticos.Isso em termos macroscópicos. Em termos microscópicos, como veremos, as tensões se distribuem de forma um pouco diferente. (Princípio de Saint-Venant)

Cargas Distribuídas por ÁreaComo citado anteriormente, as cargas distribuídas por área são as que são aplicadas em superfícies de contato relativamente grande, portanto, devem ser consideradas como tal.Para termos a carga resultante, temos que multiplicar a carga distribuída pela área de contato.

No caso acima temos: 75KN/m3 x 3m2 => FR= 25KN

Exemplo de carga distribuída por área.Uma caixa d’água tem as seguintes medidas 2m x 2m x 1.5m e está cheia d’água.. Qual a carga distribuída sobre a laje de fundo?Volume do reservatório: 2mx2mx1,5m= 6m3 6m3= 6Tf => 60KNÁrea da laje de fundo= 2mx2m= 4m2Carga distribuída= 60Kn/4m2= 15KN/m2

Reações de Apoio As forças que se desenvolvem nos apoios ou nos pontos de contato entre dois corpos são denominadas de reações. Para problemas bidirecionais (coplanares) os apoios mais comuns são:

Cada tipo de apoio, submetido a um conjunto de forças, deverá desenvolver forças equivalentes contrárias restringindo os movimentos do corpo.

O equilíbrio de um corpo exige o equilíbrio de forças, ou seja, para impedir a translação ou um movimento qualquer do corpo deve-se ter reações que impeçam eventuais desequilíbrios. Essa condição pode ser expressa pelas equações vetoriais de equilíbrio

Equilíbrio de Forças ou Equações de Equilíbrio

Onde ∑ F é a somatória de todas as forças e ∑ M a somatória de todos os momentos. Para um sistema estático estas somatórias devem ser igual a 0, caso contrário tem-se um sistema dinâmico ou hipostático (Tem um número de equações inferior ao necessário para garantir a estabilidade do corpo).

No caso de um sistema coplanar, tem-se o equilíbrio nos eixos X e Y e as equações serão as seguintes:

Já no caso de um sistema tridimensional ter-se-á, inclusive, o equilíbrio no eixo z.

A aplicação correta das equações de equilíbrio exige a especificação completa de todas as forças atuantes sobre o corpo. A melhor maneira de se fazer isso é por meio de “diagrama de corpo livre” do sistema.

Exemplos:

Cargas Resultantes InternasNos problemas de RM uma das aplicações mais importantes é a de se poder determinar as forças e os momentos resultantes que agem no interior de um corpo e quais deverão ser as condições necessárias para se manter a integridade desse corpo quando submetido a cargas externas (cargas de serviço).

Para se saber o valor das tensões internas deve-se imaginar um corte de seção que passe pelo ponto de análise desejado. Assim pode-se determinar os esforços atuantes no plano da seção. Este método é denominado “método das seções”.

Na seção se desenvolvem várias forças oriundas das forças externas. Uma vez determinados os valores dessas forças e momentos pode-se verificar se o material poderá resistir ou não às condições de serviço.

Recapitulando• Resistência dos materiais é o estudo da relação entre as cargas externas de serviço sobre um corpo

e as cargas internas desenvolvidas nesse corpo.• Forças externas podem ser aplicadas a um corpo como cargas de superfície, distribuídas ou

concentradas ou como forças de corpo que agem em todo o volume do corpo.• Cargas lineares distribuídas produzem uma força equivalente cujo valor é igual a área sob o

diagrama de carga e cuja localização passa pelo centroide dessa área.• Um apoio produz uma força em uma determinada direção sobre o elemento a ele acoplado se ele

impedir a translação do elemento naquela direção e produz um momento sobre o elemento se ele impedir a rotação.

• As equações de equilíbrio devem ser satisfeitas de modo a impedir translação ou rotação de um elemento.

• Ao aplicarmos as equações de equilíbrio é importante desenhar os diagramas de corpo livre de modo a considerar todos os termos necessários às equações.

• O método das seções é usado para a determinação das cargas resultantes internas que agem numa seção. Geralmente essas resultantes são: força normal, cisalhamento, momento torçor e momento fletor.

Exemplos1) Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C da viga mostrada na figura abaixo.

O problema pode ser resolvido de forma mais direta se analisarmos diretamente o segmento CB.

A carga máxima do triângulo de cargas fica (para o segmento CB) em 180KN (Proporção de triângulos)FR= bxh/2 -> 180x6/2=540KNPosição 1/3x6= 2m

Equações de equilíbrio:∑Fx=0 Nc=0 ∑Fy=0 Vc= -540KN ∑Mc=0 -Mc= -540x2 = 1080KM.m

2) Determine as cargas resultantes internas que agem na seção transversal em C do eixo de máquina mostrado na figura abaixo. O eixo está apoiado nos mancais em A e B, que exercem somente forças verticais.

Reações de apoio:

∑MB=0; -Ay*0.4m + 120N*0.125m – 225N*0.1m =0Ay= -18.75N

O sinal negativo, mostra que o momento em Ay é para baixo (inverso da figura).

Segmento AC

∑Fx= 0;∑Fy= 0 -18.75N - 40N – Vc = 0;

Vc= -58.8N∑Mc=0 40*0.025m +18.75*0.25m +Mc = 0;

Mc= -5.69N.m

800N/m *0.05m= 40N

3) O guindaste da figura abaixo é composto pela viga AB e roldanas acopladas, além do cabo do motor. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção C se o motor estiver levantando a carga W de 2KN (200Kg) com velocidade constante. Despreze o peso próprio da estrutura.

A forma mais direta de resolver o sistema é partindo da seção C e considerar o segmento esquerdo.Veja a figura (b)m

∑Fx= 0 -> 2KN + Nc= 0 => Nc= -2KN;∑Fy= 0-> -2KN –Vc= 0=> Vc= -2KN∑Mc= 0-> 2KN*1.125m – 2KN*0.125m +Mc= 0Mc= -2KN.m

4) Calcular as reações internas resultantes que agem na seção transversal E da viga de madeira da figura abaixo. Considerar as articulações em A, B, C, D e E como acopladas por pinos.

ME= 0 1.5KN*5m + 0.9Kn*2m – FBC*1.5m=0FBC= 6.2KN -> Ex= -6.2KNEy= 1,5KN + 0.9KN= 2.4KN