resistência dos materiais

Praça Expedicionário Assunção, 168 – Bairro Centro

Nova Lima – MG – CEP: 34.000-000 Telefone: (31) 3541-2666

RREESSIISSTTÊÊNNCCIIAA DDOOSS

MMAATTEERRIIAAIISS

SENAI – “Serviço Nacional de Aprendizagem

Industrial”

CCeennttrroo ddee FFoorrmmaaççããoo PPrrooffiissssiioonnaall

““AAFFOONNSSOO GGRREECCOO””

Presidente da FIEMG

Olavo Machado Gestor do SENAI

Petrônio Machado Zica

Diretor Regional do SENAI e

Superintendente de Conhecimento e Tecnologia

Lúcio Sampaio

Gerente de Educação e Tecnologia

Edmar Fernando de Alcântara

Sumário

PRESIDENTE DA FIEMG .................................................................................................................... 2

APRESENTAÇÃO .............................................................................................................................. 5

1. GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS. .............................................................................. 6

1.1. VETORES. .................................................................................................................................. 6

1.2. ADIÇÃO DE VETORES. ................................................................................................................. 7

1.3. MÉTODO DO PARALELOGRAMO. ................................................................................................... 7

1.4. MÉTODO ANALÍTICO. ................................................................................................................... 8

1.5. LEI DOS SENOS: ......................................................................................................................... 9

1.6. LEI DOS COSSENOS: ................................................................................................................... 9

1.7. SUBTRAÇÃO DE VETORES: VETOR OPOSTO (SIMÉTRICO). .............................................................. 9

1.8. MÉTODO DE SUBTRAÇÃO. ........................................................................................................... 9

1.9. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES. .................................................................................................. 10

2. QUANTIDADES BÁSICAS........................................................................................................... 11

2.1. IDEALIZAÇÕES. ......................................................................................................................... 11

3. AS TRÊS LEIS DO MOVIMENTO DE NEWTON. ........................................................................ 12

4. UNIDADES DE MEDIDA. ............................................................................................................. 13

4.1. UNIDADES DO SI (SISTEMA INTERNACIONAL). ............................................................................ 13

4.2. UNIDADES DO SISTEMA FPS. .................................................................................................... 13

4.3. CONVERSÃO DE UNIDADES. ....................................................................................................... 14

4.4. PREFIXOS. ............................................................................................................................... 14

4.5. REGRAS DE UTILIZAÇÃO. ........................................................................................................... 15

5. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. ............................................................................................... 16

5.1. INTRODUÇÃO. ........................................................................................................................... 16

5.2. DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO. ................................................................................................ 16

6- FORÇA NORMAL (N). ................................................................................................................. 17

7. TRAÇÃO E COMPRESSÃO. ....................................................................................................... 17

8. TENSÃO NORMAL (). ................................................................................................................ 18

9. TENSÃO DE CISALHAMENTO (). ............................................................................................. 18

10. TENSÃO ADMISSÍVEL ( ADM). .............................................................................................. 19

11. COEFICIENTE DE SEGURANÇA (K). ....................................................................................... 20

12. FADIGA. ..................................................................................................................................... 21

13. PRESSÃO DE CONTATO. ......................................................................................................... 21

14. TENSÃO DE ESMAGAMENTO (D). ........................................................................................ 22

15. MOMENTO DE UMA FORÇA (M). ............................................................................................. 23

16. REAÇÕES DE APOIO. ............................................................................................................... 24

17. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO. ................................................................................................. 25

18. TRELIÇAS. ................................................................................................................................. 25

19. MÉTODO NOS NÓS. .................................................................................................................. 26

20. LEI DE HOOKE. ......................................................................................................................... 27

21. DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO PARA MATERIAIS FRÁGEIS. ............................... 28

21.1. DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO PARA MATERIAIS DÚCTEIS.................................................. 28

21.2. DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL (). ............................................................................................ 29

21.3. MÓDULO DE ELASTICIDADE (E). ............................................................................................... 29

22. MOMENTO TORÇOR OU TORQUE (T). ................................................................................... 30

23. TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO ( MAX.). .......................................................... 31

24. ÂNGULO DE TORÇÃO (Ø). ....................................................................................................... 31

25. MOMENTO FLETOR (MF). ........................................................................................................ 32

26. MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (WF)......................................................................... 34

27. TENSÃO NA FLEXÃO ( F)....................................................................................................... 35

28. FLAMBAGEM. ............................................................................................................................ 35

CADERNO DE EXERCÍCIOS:.......................................................................................................... 37

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................ 58

Resistência dos Materiais ____________________________________________________________

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Centro de Formação Profissional “Afonso Greco”

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Apresentação

“Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade do conhecimento.“

Peter Drucker O ingresso na sociedade da informação exige mudanças profundas em todos os perfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos na produção, coleta, disseminação e uso da informação. O SENAI, maior rede privada de educação profissional do país, sabe disto, e, consciente do seu papel formativo , educa o trabalhador sob a égide do conceito da competência: ”formar o profissional com responsabilidade no processo produtivo, com iniciativa na resolução de problemas, com conhecimentos técnicos aprofundados, flexibilidade e criatividade, empreendedorismo e consciência da necessidade de educação continuada.” Vivemos numa sociedade da informação. O conhecimento , na sua área tecnológica, amplia-se e se multiplica a cada dia. Uma constante atualização se faz necessária. Para o SENAI, cuidar do seu acervo bibliográfico, da sua infovia, da conexão de suas escolas à rede mundial de informações – internet- é tão importante quanto zelar pela produção de material didático. Isto porque, nos embates diários, instrutores e alunos , nas diversas oficinas e laboratórios do SENAI, fazem com que as informações, contidas nos materiais didáticos, tomem sentido e se concretizem em múltiplos conhecimentos. O SENAI deseja , por meio dos diversos materiais didáticos, aguçar a sua curiosidade, responder às suas demandas de informações e construir links entre os diversos conhecimentos, tão importantes para sua formação continuada !

Gerência de Educação e Tecnologia


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11.. GGrraannddeezzaass eessccaallaarreess ee vveettoorriiaaiiss..

Uma grandeza física é tudo aquilo que pode ser medido. Se a grandeza ficar bem entendida somente com o conhecimento de seu valor numérico (módulo) e da sua unidade (se houver), chamaremos esta grandeza de escalar. O tempo, a massa de um corpo, a energia e o espaço percorrido por um móvel são grandezas escalares.

Por outro lado, se além do módulo e da unidade, uma grandeza física necessitar de uma direção e de um sentido para ser bem compreendida, será chamada de grandeza vetorial. A velocidade, a aceleração e o deslocamento são exemplos de grandezas vetoriais.

11..11.. VVeettoorreess.. Para que possamos representar geometricamente uma grandeza vetorial, vamos utilizar uma convenção matemática chamada vetor. O vetor é um segmento de reta orientado como mostrado na figura.

A inclinação do vetor (ângulo ) determina a direção da grandeza que ele representa; a seta representa o sentido, e seu tamanho é proporcional ao módulo da grandeza. Utilizamos uma letra do alfabeto sobrescrita por uma seta para representarmos um vetor.

Para representarmos o módulo de um vetor, utilizamos a seguinte

notação: |a| ou a.

OObbsseerrvvaaççããoo::

a) É um erro de representação escrever a = 5. O correto seria |a| = 5 ou a = 5. b) Um vetor tem uma origem e uma extremidade.


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c) Somente podemos dizer que dois vetores são iguais quando eles possuírem mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.

11..22.. AAddiiççããoo ddee vveettoorreess.. Imagine que queiramos somar os três vetores abaixo.

Pelo método do polígono, vamos enfileirando os vetores, tomados ao acaso, fazendo coincidir a origem de um vetor com a extremidade do anterior. Veja como fazer:

O vetor soma R (ou resultante) terá origem na origem do primeiro e extremidade na extremidade do último vetor.

Apesar deste método ser gráfico, podemos identificar perfeitamente o módulo do vetor resultante.

11..33.. MMééttooddoo ddoo ppaarraalleellooggrraammoo..

Este método somente pode ser empregado para somarmos vetores de dois a dois. Vamos somar os dois vetores da figura seguinte:

Inicialmente devemos fazer coincidir as origens dos dois vetores. Note que

os dois vetores formam entre si um ângulo .


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A partir da extremidade de um dos vetores, traçamos uma reta paralela ao

outro.

O vetor soma R (ou resultante) terá origem na origem comum dos dois

vetores e extremidade no encontro das paralelas traçadas.

O módulo do vetor resultante é dado pela expressão:


a) Quando = 0º, temos vetores com a mesma direção e mesmo sentido. R = a + b (esta é a maior resultante entre dois vetores).

b) Quando = 180º, temos vetores com a mesma direção e sentidos opostos. R = a - b (se a > b). Esta é a menor resultante entre dois vetores.

c) Quando = 90º, os vetores são perpendiculares entre si.

11..44.. MMééttooddoo aannaallííttiiccoo..

Outra maneira de obtermos o vetor resultante de uma composição vetorial, é a utilização do procedimento algébrico. Através deste procedimento, podemos aplicar a lei dos senos e a lei dos cossenos, seguindo o roteiro abaixo: a) Redesenhe uma metade do paralelogramo para ilustrar o triângulo de vetores, mostrando a adição das componentes pelo método do paralelogramo.


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b) O módulo e a força resultante podem ser determinados a partir da lei dos cossenos. A direção pode ser determinada utilizando a lei dos senos. c) Os módulos das componentes de uma força podem ser determinados a partir da lei dos senos.

11..55.. LLeeii ddooss sseennooss::

11..66.. LLeeii ddooss ccoosssseennooss::

11..77.. SSuubbttrraaççããoo ddee vveettoorreess:: vveettoorr ooppoossttoo ((ssiimmééttrriiccoo))..

Na figura abaixo, representamos um vetor qualquer a.

Definiremos como sendo um vetor oposto (representação: -a) de a, um

vetor que tenha mesmo módulo de a, mesma direção de a e sentido oposto ao

de a. A figura nos mostra o vetor original e o seu oposto.

11..88.. MMééttooddoo ddee ssuubbttrraaççããoo..

A partir de dois vetores, a e b, devemos determinar R = a - b. Note

que R = a + (-b), ou seja, a subtração entre dois vetores é, na verdade, a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo.

Em termos práticos, podemos dizer que, para subtrairmos os vetores a e


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b (nesta ordem), devemos inverter o sentido do vetor b e efetuar uma adição, utilizando para isto, um dos métodos estudados.

11..99.. DDeeccoommppoossiiççããoo ddee vveettoorreess..

Anteriormente, através da soma ou composição, obtínhamos um único vetor a partir de dois outros. Agora, pela decomposição, a partir de um vetor, podemos obter outros dois. Estudaremos a decomposição de um vetor em componentes ortogonais.

Seja um vetor v inclinado de um ângulo em relação a horizontal, como mostrado na figura.

Para efetuarmos a decomposição do vetor v, devemos inicialmente traçar um sistema de eixos cartesianos de tal forma que a sua origem coincida com a do vetor.

Da extremidade do vetor v desenhamos duas retas, uma paralela ao eixo x e outra paralela ao eixo y. As interseções entre as retas desenhadas e os eixos

cartesianos determinam as componentes ortogonais do vetor v.

Podemos entender estas projeções como sendo pedaços do vetor v desenhados nos eixos cartesianos. Os módulos destas componentes são:

V(x) = V . cos

V(y) = V . sen


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22.. QQuuaannttiiddaaddeess bbáássiiccaass..

As seguintes quantidades são utilizadas para os estudos básicos de Resistência dos Materiais. - Comprimento: o comprimento é necessário para localizar a posição de um ponto no espaço, descrevendo assim a dimensão do sistema físico. Uma vez definida uma unidade padrão de comprimento, podemos definir quantitativamente as distâncias e as propriedades geométricas de um corpo como múltiplos desta unidade de comprimento. - Tempo: o tempo é definido como uma sucessão de eventos. Embora os princípios da estática sejam independentes do tempo, esta quantidade tem uma função muito importante no estudo da dinâmica. - Massa: a massa é uma propriedade da matéria pela qual podemos comparar a ação de um corpo com a de outro. Esta propriedade se manifesta como uma atração gravitacional entre dois corpos e fornece uma medida quantitativa da resistência da matéria a mudanças de velocidade. - Força: em geral, a força é considerada como sendo um empurrão ou um puxão de um corpo sobre o outro. Esta interação pode ocorrer quando existe contato direto entre os corpos, como o caso de uma pessoa empurrando um carrinho, ou quando existe uma distância de separação entre os corpos. Neste último caso, podemos citar como exemplo as forças gravitacionais, as forças elétricas ou as forças magnéticas. Em quaisquer dos exemplos, a força é completamente caracterizada pelo seu módulo, direção, sentido e ponto de aplicação.

22..11.. IIddeeaalliizzaaççõõeess..

São modelos utilizados na mecânica de modo a facilitar a aplicação da teoria. Algumas das idealizações mais importantes serão definidas a seguir. - Partícula: uma partícula tem uma massa, porém suas dimensões são desprezíveis. Por exemplo, o tamanho da terra é insignificante quando comparado as dimensões de sua órbita, e portanto a terra pode ser modelada como uma partícula no estudo de seu movimento orbital. Quando um corpo é idealizado como uma partícula, os princípios da mecânica são reduzidos a formas simplificadas, uma vez que a geometria do corpo não será envolvida na análise do problema. - Corpo rígido: um corpo rígido pode ser considerado como a combinação de um grande número de partículas que permaneçam a distâncias fixas entre si antes e depois da aplicação de uma carga. Como resultado, as propriedades materiais de qualquer corpo admitido como rígido não devem ser consideradas na análise das forças que atuam sobre o corpo. Em vários problemas, as deformações reais ocorrentes em estruturas, máquinas, mecanismos e similares são relativamente pequenas, tornando válida para análise a hipótese de corpo rígido.


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- Força concentrada: uma força concentrada representa o efeito de uma carga considerada atuante em um ponto de um corpo. Podemos representar uma carga por força concentrada, uma vez que a área sobre a qual ela atua é muito pequena se comparada ao tamanho do corpo. Um exemplo de força concentrada poderia ser a força de contato entre uma roda de uma bicicleta e o solo.

33.. AAss ttrrêêss lleeiiss ddoo mmoovviimmeennttoo ddee NNeewwttoonn..

Todos os preceitos da mecânica de corpos rígidos são formalizados com base nas três leis de movimento de Newton, cuja validade é assegurada por observações experimentais. Estas leis se aplicam aos movimentos de partículas medidos a partir de um sistema de referência sem aceleração. Relativamente elas podem ser estabelecidas, em poucas palavras conforme descrito a seguir: Primeira lei: uma partícula originalmente em repouso, ou movendo-se em uma linha reta com velocidade constante, permanecerá neste estado de movimento desde que não seja submetida a ação de uma força desbalanceadora.

Segunda lei: uma partícula sob a ação de uma força desbalanceadora F fica sujeita a uma aceleração a na mesma direção e sentido da força, e módulo diretamente proporcional a força. A força desbalanceadora que atua sobre uma partícula é proporcional a taxa de mudança com o tempo da quantidade de movimento linear da partícula. Se a força F é aplicada a uma partícula de massa m, esta lei pode ser expressa matematicamente como: F = m . a.

Terceira lei: as forças mútuas de ação e reação entre duas partículas são iguais em módulo, sentidos opostos e colineares.


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Peso: quaisquer duas partículas ou corpos apresentam forças de atração mútuas (gravitacionais) atuantes entre si. Entretanto, no caso de uma partícula localizada na superfície da terra, ou próxima a ela, existe uma única força gravitacional de módulo significativo que age entre a terra e a partícula. A esta força damos o nome de peso. Podemos desenvolver uma expressão aproximada para encontrarmos o peso de uma partícula. Se admitirmos a terra como uma esfera que não gira, tendo uma densidade e massa de partícula constantes, temos: P = m . g

O termo g é denominado aceleração devido à gravidade. Para muitas análises, g é determinado ao nível do mar e a uma latitude de 45º, posição considerada como padrão (ou local padrão).

44.. UUnniiddaaddeess ddee mmeeddiiddaa..

As quatro unidades básicas (comprimento, tempo, massa e força) não são totalmente independentes entre si. Na verdade, elas estão relacionadas pela segunda lei de Newton do movimento. Graças a esta relação, as unidades utilizadas para definir estas quantidades não podem ser escolhidas arbitrariamente. A igualdade F = m . a somente será mantida se três das quatro unidades (denominadas unidades básicas) forem definidas a partir de uma quarta unidade, obtida pela equação básica.

44..11.. UUnniiddaaddeess ddoo SSII ((SSiisstteemmaa IInntteerrnnaacciioonnaall))..

O Sistema Internacional de unidades, abreviado por SI, é uma versão moderna do sistema métrico que recebeu reconhecimento internacional. O sistema SI estabelece o comprimento em metros (m), o tempo em segundos (s) e a massa em quilogramas (kg). A unidade de força, chamada Newton (N) é derivada de F = m . a. Assim, 1 Newton é igual a força necessária para impor a 1 quilograma de massa uma aceleração de 1 m/s² (N = kg.m/s²). Se o peso de um corpo, no local padrão, deve ser determinado em Newtons, para efeito de cálculos, podemos dizer que o valor de g vale 9,81 m/s². Portanto, um corpo com massa de 1 kg tem um peso de 9,81 N; um corpo de 2 kg pesa 19,62 N e assim por diante.

44..22.. UUnniiddaaddeess ddoo SSiisstteemmaa FFPPSS..

Nos Estados Unidos, um sistema de unidades ainda bastante usado é o FPS, em que o comprimento é expresso em pés (ft), a força em libras (Lb) e o tempo em segundos (s). A unidade de massa, denominada slug, também é derivada de F = m . a. Assim, 1 slug é igual a quantidade de matéria acelerada em 1 ft/s² quando sobre ela age uma força de 1 Lb (slug=Lb.s/ft²).

Sistema Comprimento Tempo Massa Força

SI Metro (m) segundos (s) quilograma (kg) Newton (N)


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FPS Pé (ft) segundos (s) slug libra (Lb)

Para determinarmos a massa de um corpo com um peso medido em libras no FPS, devemos considerar o valor de g como sendo 32,2 ft/s². Assim, um corpo pesando 32,2 Lb tem uma massa de 1 slug, um corpo de 64,4 Lb tem uma massa de 2 slugs e assim por diante.

44..33.. CCoonnvveerrssããoo ddee uunniiddaaddeess..

A tabela seguinte fornece um conjunto de fatores de conversão diretos entre as unidades do sistema FPS e do SI para as quantidades básicas. Devemos lembrar também que para o sistema FPS 1 ft=12 in (polegadas), 5280 ft=1 mi (milha), 1000 Lb=1 Kip (quilolibras) e 2000 Lb=1 ton (tonelada). Veja o quadro comparativo.

Quantidade Unidade de

medida do FPS Equivalência

Unidade de medida no SI

Forca 1 Lb igual a 4,4482 N

Massa 1 slug igual a 14,5938 kg

Comprimento 1 ft igual a 0,3048 m

O sistema SI de unidades será utilizado extensivamente nos nossos estudos, tendo em vista sua tendência de uso como sistema padrão de medidas. Consequentemente, suas regras de utilização e algumas de suas terminologias importantes serão apresentadas a seguir.

44..44.. PPrreeffiixxooss..

Quando um valor numérico é muito grande ou muito pequeno, as unidades utilizadas para defini-lo podem ser modificadas pelo uso de prefixos. Alguns dos prefixos utilizados no SI são mostrados na tabela a seguir. Cada um representa um múltiplo ou submúltiplo da unidade que, se aplicado sucessivamente, move a vírgula de um valor numérico de três em três casas (o quilograma é a única unidade básica definida com o prefixo). Por exemplo, 4.000.000 N = 4.000 KN (quilonewtons) = 4 MN (meganewtons); 0,005 m = 5 mm (milímetros). Note que o SI não inclui o múltiplo deca (10) ou o submúltiplo centi (0,01), que fazem parte do sistema métrico. Exceto para algumas medidas de volume e área, a utilização destes prefixos deve ser evitada, sempre que possível.

Forma

exponencial Prefixo Símbolo do SI

Múltiplo 1.000.000.000

109 Giga G

1.000.000 106 Mega M

1.000 103 Quilo K


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Submúltiplo 0,001

10-3 mili m

0,0000001 10-6 micro

0,0000000001 10-9 nano n

44..55.. RReeggrraass ddee uuttiilliizzaaççããoo.. As regras a seguir são fornecidas para a utilização apropriada dos vários símbolos do SI. 1- Um símbolo nunca é escrito no plural s, pois ele pode ser confundido com a unidade de segundos (s). 2- Os símbolos são sempre escritos em letras maiúsculas, com as seguintes exceções: símbolos para os maiores prefixos e símbolos representando nomes de pessoas. Exemplo: (N) Newton, (G) Giga. 3- Quantidades definidas por várias unidades que são múltiplas umas das outras são separadas por um ponto para evitar conflitos com a notação de prefixos, conforme indicado em N = kg.m/s² = kg.g.s-2. Outro exemplo é m.s (metro por segundo), que é diferente de ms (milissegundo). 4- O expoente representado em uma unidade com prefixo refere-se tanto a

unidade quanto ao seu prefixo. Por exemplo, N²=(N)²= N.N. Da mesma forma, mm² representa (mm)²=mm.mm. 5- Constantes físicas ou números com vários dígitos, de ambos os lados da vírgula, serão representados com um ponto entre cada três dígitos em vez de vírgula, por exemplo: 773.569.223.427. No caso de quatro dígitos em cada lado da vírgula, o ponto é opcional, isto é, 8537 ou 8.537. De qualquer forma, procure utilizar décimos e evitar frações, isto é, sempre escreva 15,25 em vez de 15 ¼. 6- Ao efetuar os cálculos, represente os valores em termos de suas unidades básicas ou suas derivadas convertendo todas em potência de 10. O resultado final poderá, assim, ser expresso utilizando um único prefixo. Após a realização dos cálculos, também é mais apropriado mantermos valores numéricos entre 0,1 e 1000; para valores fora deste intervalo, um prefixo apropriado deve ser utilizado. Por exemplo: (50KN).(60nm)=[50.(103)N].[60.(10-9)m]=3000.(10-6)N.m=3.(10-3)N.m=3mN.m

7- Prefixos compostos não devem ser utilizados, por exemplo Ks (quilomicrossegundo). Neste caso, poderíamos expressar o resultado em ms

(milissegundos), uma vez que 1 Ks=1.(103).(10-6)s=1.(10-3)s=1 ms. 8- Com exceção da unidade básica quilograma, em geral evite o uso de um


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prefixo no denominador de uma unidade composta. Por exemplo, não escreva N/mm, mas sim KN/m. Evite m/mg, substitua por Mm/kg. 9- Embora não sejam expressos em múltiplos de 10, o minuto, a hora, etc, são mantidos, para efeito prático, como múltiplos do segundo. Além disto, uma medida angular plana é feita utilizando o radiano (rad). Nesta apostila, entretanto,

utilizaremos o grau freqüentemente. Saiba que: 180º= rad ; 360º=2 rad.

55.. RReessiissttêênncciiaa ddooss MMaatteerriiaaiiss..

55..11.. IInnttrroodduuççããoo..

A resistência dos materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas atuantes no corpo. Este assunto envolve também o cálculo das deformações do corpo e propicia um estudo de sua estabilidade, quando submetido à forças externas.

No projeto de qualquer estrutura ou máquina, é necessário inicialmente utilizarmos os princípios da estática para determinarmos tanto as forças atuantes quanto as forças internas sobre seus vários elementos. As dimensões de um elemento, seus deslocamentos e sua estabilidade dependem não apenas das cargas internas, mas também do tipo de material com que o elemento é fabricado. Consequentemente, serão de vital importância para o desenvolvimento das equações da mecânica dos materiais o entendimento e a determinação precisa do comportamento do material.

55..22.. DDeesseennvvoollvviimmeennttoo hhiissttóórriiccoo..

A origem da resistência dos materiais data do inicio do século XVII, quando Galileu realizou experimentos para estudar o efeito de forças aplicadas a barras e vigas fabricadas de vários materiais. Entretanto, para um entendimento apropriado do fenômeno, foi necessário estabelecer um procedimento experimental preciso das propriedades mecânicas dos materiais. Estes procedimentos foram bem definidos no início do século XVIII. Naquele tempo, tanto estudos experimentais quanto teóricos sobre o assunto foram realizados inicialmente na França, por estudiosos como Saint-Venant, Poiston, Lamé e Navier. Tendo sido seus esforços baseados nas aplicações da mecânica a corpos materiais, eles denominaram este estudo de Resistência dos Materiais.


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Atualmente, este estudo é conhecido como mecânica dos corpos deformáveis, ou simplesmente, Mecânica dos Materiais.

Ao longo dos anos, depois que muitos problemas fundamentais da resistência dos materiais foram resolvidos, tornou-se necessário utilizar o cálculo avançado e técnicas computacionais na solução dos problemas mais complexos. Como resultado, este assunto expandiu-se para outros temas da mecânica avançada, como a teoria da elasticidade e a teoria da plasticidade. Muitas pesquisas nestes campos estão em andamento, não apenas para atender a demanda na solução de problemas avançados de projetos, mas também para justificar as utilizações e limitações nas quais a teoria fundamental da resistência dos materiais é baseada.

66-- FFoorrççaa nnoorrmmaall ((NN))..

Define-se como força normal ou axial aquela força que atua perpendicularmente (ou normal) sobre a área de uma seção transversal de uma peça.

77.. TTrraaççããoo ee ccoommpprreessssããoo..

Podemos afirmar que uma peça está submetida a esforço de tração ou compressão, quando uma carga normal F atuar sobre a área de seção transversal da peça, na direção do eixo longitudinal. Quando a carga atuar com o sentido dirigido para o exterior da peça (puxando), a mesma estará tracionada. Quando o sentido de carga estiver dirigido para o interior da peça (apertando), a mesma estará comprimida.


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88.. TTeennssããoo nnoorrmmaall (())..

A carga normal F, que atua na peça, provoca na mesma uma tensão perpendicular (normal) que é determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada e a área de seção transversal da peça. A expressão matemática que define o valor da tensão normal é:

= tensão normal. Sua unidade padrão é o Pa (Pascal). F = força normal ou axial. Sua unidade padrão é o N (Newton). A = área da seção transversal da peça. Sua unidade padrão é o m².

99.. TTeennssããoo ddee cciissaallhhaammeennttoo (())..

Definimos tensão de cisalhamento como sendo a intensidade média da força por unidade de área atuante na direção tangente a área de seção transversal de uma peça. A expressão matemática que define o valor da tensão cisalhante é:


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= tensão cisalhante. Sua unidade padrão é o Pa (Pascal). V = força cortante. Sua unidade padrão é o N (Newton). A = área da seção transversal da peça. Sua unidade padrão é o m².

OObbsseerrvvaaççããoo:: a) Cisalhamento simples: ocorre quando temos duas juntas sobrepostas e apenas uma área sujeita ao corte. As espessuras dos componentes são consideradas finas e o atrito entre as partes pode ser desprezado. b) Cisalhamento duplo: ocorre quando temos duas ou mais juntas sobrepostas e mais de uma área sujeita ao corte. A força cortante atua em cada área presente na conexão dos componentes.

1100.. TTeennssããoo aaddmmiissssíívveell (( aaddmm))..

É a tensão ideal de trabalho para o material nas circunstâncias de aplicação. Geralmente esta tensão deve ser mantida na região de deformação elástica do material. Porém, existem situações em que a tensão admissível deverá estar na região de deformação plástica do material, visando a redução do peso da estrutura, como acontece nos aviões, foguetes, etc. Trataremos apenas o primeiro caso, pois ocorre com maior freqüência na prática.

A tensão admissível é determinada através da relação entre tensão de

escoamento (e), coeficiente de segurança (K) e tensão de ruptura (r). Matematicamente, podemos expressar a tensão admissível pelas seguintes fórmulas: a) Para materiais dúcteis:

b) Para materiais frágeis:

OObbsseerrvvaaççããoo:: a) Material dúctil é aquele que, ao ser submetido a um ensaio de tração, apresenta deformação plástica (irreversível) precedida por um deformação elástica (reversível) antes de romper-se. São exemplos de materiais dúcteis: aço, alumínio, cobre, bronze, latão, níquel.


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b) Material frágil é aquele que ao ser submetido a um ensaio de tração, não apresenta deformação plástica, passando da deformação elástica para o rompimento. São exemplos de materiais frágeis: concreto, vidro, cerâmica, gesso, cristal, acrílico.

1111.. CCooeeffiicciieennttee ddee sseegguurraannççaa ((KK))..

O coeficiente de segurança é sempre representado por um número maior do que 1, que pode ser obtido através de uma tabela técnica de engenharia ou fornecido pela norma de projeto do componente em fabricação. Sua utilização é baseada no dimensionamento dos elementos de construção, visando assegurar o equilíbrio entre qualidade e custo. Podemos também determinar o coeficiente de segurança em função dos três tipos de cargas abaixo: a) Carga estática: é aquela carga aplicada na peça e que permanece constante. Exemplo: um parafuso de fixação de uma luminária. b) Carga intermitente: é aquela carga aplicada gradativamente na peça, fazendo com que seu esforço atinja os valores máximos, após transcorrido determinado tempo. Ao atingir o ponto máximo, a carga é retirada gradativamente no mesmo intervalo de tempo gasto para atingir os valores máximos, fazendo com que a tensão retorne a zero. Esta aplicação de carga ocorre de maneira sucessiva. Exemplo: o dente de uma engrenagem durante seu trabalho. c) Carga alternada: neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia do ponto máximo positivo para o ponto máximo negativo ou vice versa, constituindo a pior situação para um material. Exemplo: eixos, molas, amortecedores.

Para determinar o coeficiente de segurança em função das situações apresentadas, devemos utilizar a seguinte expressão: K = x . y . z . w ; onde: Valores para x (fator do tipo de material). x = 2 para materiais comuns. x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga. Valores para y (fator do tipo de solicitação). y = 1 para carga constante. y = 2 para carga intermitente. y = 3 para carga alternada. Valores para z (fator do tipo de carga). z = 1 para carga gradual. z = 1,5 para choques leves. z = 2 para choques bruscos. Valores para w (fator para falhas de fabricação).


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w = 1 a 1,5 para aços. w = 1,5 a 2 para ferro fundido.

1122.. FFaaddiiggaa..

Quando um material está sujeito a ciclos repetidos de tensões ou deformações, podemos esperar uma quebra em sua estrutura, o que conduz a sua fratura. Este comportamento é denominado fadiga e é usualmente responsável por um grande percentual de falhas, por exemplo, nas bielas e manivelas de um motor, nas pás de turbinas a gás ou a vapor, nas conexões ou suportes de pontes, eixos e outras partes sujeitas a carregamentos cíclicos. Em todos estes casos, a fratura ocorrerá a um nível de tensão abaixo da tensão de escoamento do material.

Aparentemente esta falha ocorre devido ao fato de que existem regiões microscópicas, geralmente na superfície do elemento, onde a tensão localizada torna-se muito maior do que a tensão média atuante ao longo da seção transversal do elemento. Sendo esta tensão cíclica, ela provoca o aparecimento de micro-trincas. A ocorrência destas trincas causa um aumento na tensão em seu contorno, fazendo com que se estendam para o interior do material enquanto a tensão continua a ser ciclicamente aplicada. Eventualmente, a área de seção transversal do elemento é reduzida ao ponto de não mais resistir à carga, resultando na fratura súbita do elemento. Assim, um material reconhecido originalmente como dúctil, comporta-se como se fosse frágil. Para especificarmos uma resistência segura para um material metálico sujeito a um carregamento repetido, é necessário determinarmos um limite abaixo do qual não seja detectada qualquer evidência de falha após a aplicação do carregamento por um número definido de ciclos. Esta tensão limite é denominada limite de fadiga. Utilizando uma máquina de testes específica, uma série de corpos de prova é submetida a uma tensão específica cíclica até sua falha. Os valores são então colocados num gráfico, onde o eixo x representa o número de ciclos até a falha e o eixo y representa as tensões aplicadas ao material.

Os valores típicos do limite de resistência a fadiga para vários materiais empregados em construções mecânicas são normalmente listados em manuais e em normas técnicas. Uma vez obtido um valor particular do limite de fadiga, admite-se que, geralmente para qualquer tensão abaixo deste valor, a vida do material será infinita, e portanto, o número de ciclos para o material falhar não será levado em consideração.

1133.. PPrreessssããoo ddee ccoonnttaattoo..

No dimensionamento de juntas rebitadas, parafusadas, de pinos, chavetas, etc, torna-se necessário a verificação da pressão de contato entre o elemento e a


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parede dos furos nas chapas ou nas juntas. Quando a força cortante V atua na junta, esta tende a cisalhar a seção de área A-A, conforme a figura abaixo.

Ao mesmo tempo, cria um esforço de compressão entre o elemento

(parafuso ou rebite) e a parede do furo (região AB ou AC). A pressão de contato, que pode acarretar esmagamento do elemento e da parede do furo, é definida através da relação entre a carga de compressão atuante e a área de seção longitudinal do elemento, que é projetada na parede do furo.

1144.. TTeennssããoo ddee eessmmaaggaammeennttoo ((dd))..

É determinada pela seguinte expressão:

d = tensão de esmagamento. Sua unidade padrão é o Pascal (Pa). V = força cortante (tangencial). Sua unidade padrão é o Newton (N). n = número de áreas sujeitas ao corte. A = área projetada. Sua unidade é o m².

OObbsseerrvvaaççããoo:: a) Tenha atenção especial ao analisar a área projetada. Seu valor é determinado conforme o sentido da força cortante. b) Em geral, a tensão admissível de cisalhamento recomendável está entre 0,6 e


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0,8 da tensão admissível normal.

1155.. MMoommeennttoo ddee uummaa ffoorrççaa ((MM))..

Uma força aplicada a um corpo pode produzir nele uma rotação quando possui uma componente perpendicular ao seu eixo de aplicação. Esta característica pode ser encontrada no nosso dia a dia. Por exemplo, ao fecharmos uma porta, estamos empurrando-a (aplicando uma força) numa direção praticamente perpendicular a sua área. Podemos verificar que, quanto mais distante da dobradiça aplicarmos a força, mais facilmente a porta efetuará o movimento de rotação. No exemplo citado acima, dizemos que a força aplicada na porta criou um momento (M), que é responsável pelo movimento de rotação da porta. A figura seguinte mostra uma barra que está presa a uma parede por meio de uma articulação. Como o peso da barra é vertical e para baixo, podemos dizer que sua tendência é girar no sentido horário em relação ao ponto O. Em outras palavras, o peso gera um momento no sentido horário fazendo a barra adquirir um movimento de rotação acelerado.

Se quisermos manter a barra em repouso na posição horizontal, devemos

aplicar uma força F que tenha uma componente perpendicular à barra para gerar um momento no sentido anti-horário de igual intensidade ao momento criado pelo peso da barra. É fácil notarmos que o esforço para sustentar a barra será menor se a força for aplicada à direita de seu peso.

A próxima figura servirá de exemplo para que possamos definir matematicamente o momento de uma força. Observe que uma força está sendo aplicada na barra que está presa na parede. Esta força comprime a barra contra a

parede (por causa de sua componente F.cos ), e ao mesmo tempo tende a

girar a barra no sentido anti-horário (pela ação da componente F.sen ). A distância L é a medida do ponto de aplicação da força até o ponto de rotação da barra.


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A definição do momento de uma força leva em consideração a

decomposição do vetor força em x e y, conforme antes mencionado. De maneira simplificada, podemos calcular o módulo desta grandeza aplicando a equação:

Mo = (F.sen ).L ; onde: Mo = momento em relação ao ponto O.

(F.sen ) = componente normal da força no eixo y. L = distância da aplicação da força.

Note bem que para calcularmos o momento, a força aplicada deve ser perpendicular à barra. Nos casos em que a força estiver sendo aplicada com determinada inclinação, é preciso decompor a força. A unidade padrão do momento é N.m (Newton x metro).

Quando várias forças são aplicadas em um mesmo corpo, podemos calcular o momento resultante conforme os seguintes procedimentos: a) Escolher um ponto arbitrário de rotação, em relação ao qual serão calculados os momentos. b) Calcular isoladamente o momento de cada força aplicada em relação ao ponto escolhido, mostrando qual a tendência de rotação. c) Executar o somatório de todos os momentos gerados no sentido horário. d) Executar o somatório de todos os momentos gerados no sentido anti-horário. e) Efetuar a subtração do momento total no sentido horário pelo momento total no sentido anti-horário (ou vice versa, dependendo de qual for o maior). O momento resultante terá o valor encontrado desta subtração, e seu sentido de giro (horário ou anti-horário) será igual ao sentido do momento total maior.

1166.. RReeaaççõõeess ddee aappooiioo..

As forças de superfície desenvolvidas nos apoios ou pontos de contato entre os corpos são chamadas de reações. Nos problemas onde os corpos estão sujeitos a forças bidimensionais, os apoios mais encontrados na prática são mostrados na tabela seguinte. Observe cuidadosamente o símbolo utilizado para representar cada apoio e os tipos de reações que ele exerce sobre os


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elementos em contato com ele. Em geral, podemos sempre determinar o tipo de reação de um apoio imaginando o elemento a ele conectado e girando em uma determinada direção. Por exemplo, um apoio com roletes restringe apenas a rotação na direção de contato, isto é, perpendicularmente à superfície. Logo, o rolete exerce uma forca normal F sobre o elemento, no ponto de contato. Uma vez que o elemento pode girar livremente em relação ao rolete, não será desenvolvido um momento sobre ele.

Tipo de conexão. Reações

1177.. CCoonnddiiççõõeess ddee eeqquuiillííbbrriioo..

Um corpo extenso que possui um momento resultante diferente de zero, apresentará um movimento de rotação em que o módulo da velocidade varia. Já vimos que a intensidade deste momento resultante é o módulo da diferença entre o momento total no sentido horário e o momento total no sentido anti-horário.

Para que um corpo extenso qualquer fique em equilíbrio estático, é necessário que ele não possua movimento de translação e nem movimento de rotação. As duas condições de equilíbrio podem, então, ser expressas da seguinte forma:

F = 0.

Mo = 0.

1188.. TTrreelliiççaass..


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Uma treliça é uma estrutura composta de elementos esbeltos unidos uns aos outros por meio de rótulas em suas extremidades. As ligações entre os elementos são geralmente formadas pelo aparafusamento ou soldagem de suas extremidades em uma chapa de reforço, ou simplesmente atravestando cada um dos elementos com um parafuso ou pino. Estes pontos onde ocorre a união dos elementos recebem o nome de nós. Para compreendermos uma treliça, é necessário inicialmente que conheçamos a força desenvolvida em cada um de seus elementos quando a mesma estiver submetida a um carregamento conhecido. Para isto, devemos conhecer duas regras básicas: 1- Todas as cargas devem ser aplicadas nos nós. 2- Os elementos são unidos nos nós através de pinos considerados lisos. Assim, cada elemento estará, por convenção, recebendo apenas uma força de tração ou um força de compressão.

1199.. MMééttooddoo nnooss nnóóss..

Pelo fato dos elementos de uma treliça serem todos retilíneos e apoiarem-se num mesmo plano, as forças atuantes em cada nó são coplanares e concorrentes. Consequentemente, o equilíbrio dos momentos deverá ser atendido em cada nó, devendo satisfazer as seguintes condições para haver equilíbrio:

Fx=0

Fy=0

Ao utilizar o método dos nós, é necessário primeiro construir o diagrama de corpo livre (DCL) dos nós, antes de aplicar as condições de equilíbrio. Para isto, lembre-se que a linha de ação da força de cada elemento atuante sobre o nó é definida a partir da geometria da treliça, pois a força em um elemento tem a direção de seu eixo geométrico.

MMééttooddoo ddee aannáálliissee:: 1- Determinar as forças atuantes em cada elemento. 2- Aplicar o diagrama de corpo livre (DCL) para cada nó, supondo que estão em

equilíbrio. Esta condição de equilíbrio é satisfeita obtendo-se Fx=0 e Fy=0. 3- A linha de ação da força sempre segue sua forma ou linha geométrica. 4- Devemos sempre admitir que as forças desconhecidas estão puxando o nó. Se ao final dos cálculos encontrarmos valores positivos, a força será de tração. Se encontrarmos valores negativos, a força será de compressão.


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2200.. LLeeii ddee HHooookkee..

Os corpos sólidos, quando submetidos à tração ou compressão, deformam-se inicialmente dentro de um limite, no qual a deformação ocorrerá somente enquanto a força responsável pela tração ou compressão estiver atuando. Quando esta força deixar de atuar, a forma do corpo será restabelecida. Além deste limite, o corpo sofrerá uma deformação permanente, não retornando mais a sua forma original. Este limite é chamado limite elástico, e a lei que rege este comportamento é chamada lei de Hooke. Matematicamente, a lei de Hooke é determinada por: F = -K . X ; onde: F = força responsável pela deformação dentro do limite elástico. X = comprimento da deformação dentro do limite elástico. K = constante elástica em função do corpo analisado.

O sinal negativo na expressão da lei de Hooke representa a convenção na qual o sentido da força é oposto ao do deslocamento. A força da equação é, portanto, uma força restauradora.

Para melhor compreendermos o comportamento de um corpo submetido a uma força dentro do limite elástico, vamos imaginar uma mola de aço presa verticalmente conforme a figura.

Nas suas extremidades, colocamos pesos, fazendo com que a mesma

adquira os respectivos deslocamentos. Aplicando a primeira lei de Newton ao sistema em equilíbrio, no instante em que apenas o peso P1 de massa M1 atua na mola, temos:

a) X1 = (M1 . g) / K b) (X2 - X1) = (M2 . g) / K


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A expressão b) mostra que o deslocamento de uma mola (X2 - X1) é linearmente proporcional ao acréscimo de peso (M2 . g), produzindo o respectivo deslocamento.

2211.. DDiiaaggrraammaa tteennssããoo xx ddeeffoorrmmaaççããoo ppaarraa mmaatteerriiaaiiss

ffrráággeeiiss..

Ponto O = início do ensaio (carga nula). Ponto A = limite máximo de resistência (ponto de ruptura do material).

2211..11.. DDiiaaggrraammaa tteennssããoo xx ddeeffoorrmmaaççããoo ppaarraa mmaatteerriiaaiiss

ddúúcctteeiiss..


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Ponto O = início do ensaio (carga nula). Ponto A = limite de proporcionalidade. Ponto B = limite superior de escoamento. Ponto C = limite inferior de escoamento. Ponto D = final do escoamento e início da recuperação do material. Ponto E = limite máximo de resistência. Ponto F = limite de ruptura do material.

2211..22.. DDeeffoorrmmaaççããoo lloonnggiittuuddiinnaall (()).. Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento de uma peça submetida à ação de carga axial. Pode ser determinada a partir da seguinte relação matemática:

= L / L ; onde:

= deformação longitudinal.

L = comprimento final - comprimento inicial. L = comprimento inicial.


a) A deformação () não possui unidade. Ela normalmente é expressa em valores percentuais.

2211..33.. MMóódduulloo ddee eellaassttiicciiddaaddee ((EE))..


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Definimos como módulo de elasticidade a capacidade que um material possui em suportar uma deformação relativa. Quando um material recebe excesso de tensão que ele pode suportar, ocorre um deslocamento irreversível de sua estrutura interna. Ao cessarmos a tensão, se o valor do módulo de elasticidade não tiver sido ultrapassado, o material retorna ao seu comprimento original. Seu valor pode ser obtido pela expressão:

E = / ; onde: E = módulo de elasticidade. Sua unidade padrão é o Pascal (Pa).

= tensão normal. Sua unidade padrão é o Pascal (Pa).

= deformação longitudinal.

2222.. MMoommeennttoo ttoorrççoorr oouu ttoorrqquuee ((TT))..

Uma peça submete-se a um esforço de torção quando nela atua um torque numa de suas extremidades, e um contratorque na extremidade oposta. Em outras palavras, se um eixo é submetido a um torque externo, pela condição de equilíbrio, um torque interno também deverá ser desenvolvido. O torque é definido através do produto entre a carga F e a distância entre o ponto de aplicação da mesma, e o centro da seção transversal da peça. No caso de eixos, temos: Mt = 2 . F . L ; onde: Mt = momento torçor em N.m. F = carga aplicada em Newton. L = distância entre o ponto de aplicação da carga e o núcleo da seção transversal, em metros.

Quando temos mecanismos acionados por motores, polias, rodas de atrito ou engrenamentos, a expressão matemática que determina o torque pode ser assim escrita:

T = P / (2 . . f) ; onde: T = torque. Sua unidade pode ser N.m ; KN.m ; Lb.in. P = potência. Sua unidade é o watt (W). f = frequência. Sua unidade é o hertz (Hz).

OObbsseerrvvaaççõõeess:: a) Para converter rotações por minuto (rpm) em hertz (Hz), basta dividir por 60. Assim: f = n / 60 ; onde:


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f = frequência em hertz. n = rotações por minuto. b) Quando a potência não for fornecida em watt (W), veja algumas equivalências de unidades: 1 hp = 745,7 W 1 cv = 735,5 W 1 hp = 550 ft.Lb/s 1 hp = 6600 in.Lb/s

2233.. TTeennssããoo ddee cciissaallhhaammeennttoo nnaa ttoorrççããoo (( mmaaxx..))..

Pode ser determinada através da equação:

max. = (T . R) / J ; onde:

max. = tensão máxima devido à torção. Sua unidade pode ser N.m; KN.m ; Lb.in R = raio externo da peça. J = momento de inércia da área de seção transversal.

OObbsseerrvvaaççããoo:: a) Para calcularmos J, devemos conhecer a forma geométrica do elemento utilizado no projeto. Como exemplo prático, descrevemos a fórmula de J para os seguintes casos:

- Eixo maciço: J = ( . R4) / 2 ; onde: R = raio externo.

- Eixo oco (tubo): J = ( / 2) . (R4 - r4) ; onde: R = raio externo. r = raio interno. A unidade de J pode ser o mm4, cm4, m4, in4.

2244.. ÂÂnngguulloo ddee ttoorrççããoo ((ØØ))..

Ocasionalmente o projeto de uma máquina pode depender da limitação do ângulo de torção que pode ocorrer quando um eixo estiver submetido a um torque. A expressão matemática que determina tal ângulo é:


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Ø = (T . L) / (J . G) ; onde: Ø = ângulo de torção de uma das extremidades do eixo em relação a outra, medido em radianos. Pode variar de acordo com a forma geométrica da estrutura. T = torque interno. Sua unidade é o N.m J = momento de inércia da área de seção transversal. Pode variar de acordo com a forma geométrica da estrutura. G = módulo de elasticidade transversal do material (tabelado).

2255.. MMoommeennttoo fflleettoorr ((MMff))..

Observe o que acontece com a seguinte estrutura ao receber um determinado carregamento. As fibras superiores do material estão sendo comprimidas, enquanto que as fibras inferiores estão sendo tracionadas.

Podemos definir momento fletor (Mf) da seção x, como a soma algébrica dos momentos em relação a x de todas as forças Fx que precedam ou que sigam a seção. Observe o seguinte exemplo:


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Neste carregamento, o momento fletor em relação a x é dado por:

Mf = (F1 . a) - (F3 . b) + (F2 . c) O procedimento de análise utilizado consiste basicamente em determinar como varia o momento fletor ao longo de uma estrutura, obtendo seu valor máximo, através das condições básicas de equilíbrio. Partindo deste princípio, fazemos o mesmo com a força cortante, encontrando também seu valor máximo. Deste método terão origem dois diagramas, um para momento fletor e outro para força cortante. Primeiramente, algumas regras devem ser observadas: 1- Consideramos uma estrutura sujeita a flexão pura somente se o valor do

momento for diferente de zero e o valor da força cortante for igual a zero (M 0 e V = 0). 2- Consideramos uma estrutura sujeita a flexão simples somente se o valor do

momento e da força cortante forem diferentes de zero (M 0 e V 0). 3- Por convenção, a parte esquerda da estrutura é tomada como a origem do plano de coordenadas, gerando valores de x positivos para a direita. Observamos tais valores para determinar as equações matemáticas que expressam a variação do momento e da força cortante.

4- Se tomarmos o lado esquerdo da estrutura, a força cortante será direcionada

para baixo () e o momento fletor terá sinal positivo (sentido anti-horário).


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5- Se tomarmos o lado direito da estrutura, a força cortante será direcionada para

cima () e o momento fletor terá sinal negativo (sentido horário).

6- Em estruturas sujeitas a cargas concentradas, o momento fletor varia linearmente ao longo dos trechos descarregados. Para traçarmos um diagrama basta calcular os momentos fletores nas seções em que são aplicadas as forças e unir os valores por meio de retas. 7- A seção mais solicitada é aquela em que o momento fletor é máximo.

2266.. MMóódduulloo ddee rreessiissttêênncciiaa àà fflleexxããoo ((WWff))..

Como já vimos, a flexão é a solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça, tanto em compressão quanto em tração. Dependendo do tipo de seção e de sua posição relativa, podemos ter maior ou menor facilidade em alterar tal eixo. Observe a seguinte figura:

Note que, dependendo do modo como posicionamos a chapa, podemos empregar maior ou menor resistência em alterar a linha de centro geométrica x. Definimos então o módulo de resistência a flexão como: Wf = (b . h²) / 6 (para figuras planas).

Wf = ( . d³) / 32 (para figuras cilíndricas). A unidade padrão para o módulo de resistência a flexão é o m³.



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a) Quanto maior for o módulo de resistência a flexão, maior será a resistência da peça em flexionar-se.

2277.. TTeennssããoo nnaa fflleexxããoo (( ff))..

No dimensionamento de peças sujeitas à flexão, como o caso de vigas estruturais e eixos de máquinas, consideramos que as deformações estão sempre compreendidas dentro do regime elástico do material. Aplicamos a fórmula de tensão nas seções críticas, sujeitas ao rompimento por fadiga. Matematicamente, a tensão na flexão pode ser determinada por:

f = Mf / Wf ; onde:

f = tensão na flexão Mf = momento fletor Wf = módulo de resistência a flexão

2288.. FFllaammbbaaggeemm..

Uma barra submetida a uma carga axial P pode sofrer um encurvamento lateral, conhecido como flambagem. A carga na qual se inicia este fenômeno é

determinada como P(fL), e a tensão correspondente é determinada como (fL).

Devido ao formato, certas barras flambam com mais facilidade do que

outras. Este fato pode ser expresso através de um número (lâmbida), chamado

de índice de esbeltez. Assim, uma barra mais esbelta ( de maior valor) flamba

com menor tensão, enquanto que uma barra menos esbelta ( de menor valor)


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flamba com uma tensão maior. Experimentalmente verificou-se que os valores da

tensão de flambagem (fL) variam conforme o gráfico abaixo.


a) (cp) é a tensão de proporcionalidade à compressão.

b) (o) é o índice de esbeltez correspondente à (cp). Através deste gráfico, podemos notar que:

1- Uma barra com > o (muito esbelta) flamba com uma tensão (fL) abaixo

da tensão de proporcionalidade (cp).

2- Uma outra barra com < o (pouco esbelta) flamba somente com uma tensão

(fL) acima de (cp). Neste caso, pode ocorrer inclusive, a ruptura do material antes da barra flambar.

No caso em que > o, o cálculo de (fL) ou P(fL) é feito com a seguinte expressão:

P(fL) = (2 . E . J) / Lo2 e (fL) = (2 . E . J) / (Lo2 . S) ; onde: E = módulo de elasticidade. J = momento de inércia (depende da forma geométrica do material). S = área da seção. Lo = comprimento de flambagem. O valor de Lo depende do comprimento real da barra e de seus vínculos externos. Veja a figura abaixo:


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O índice de esbeltez pode ser determinado pela expressão:

= Lo / J.

CCaaddeerrnnoo ddee EExxeerrccíícciiooss::

POTÊNCIA DE 10: 1- Complete as seguintes igualdades, conforme o modelo: Modelo: cem = 100 = 10² a) mil = b) cem mil = c) um milhão = d) um centésimo = e) um décimo de milésimo = f) um milionésimo = 2- Complete as seguintes igualdades, conforme o modelo: Modelo: 3,4 x 105 = 340.000 a) 2 x 10³ = b) 1,2 x 106 = c) 7,5 x 10-2 = d) 8 x 10-5 = 3- Usando a regra prática, escreva os seguintes números em potência de 10: a) 382 = b) 21.200 = c) 62.000.000 = d) 0,042 =


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e) 0,75 = f) 0,000069 = 4- Efetue as operações indicadas: a) 10² x 105 = b) 1015 x 10-11 = c) (2 x 10-6) x (4 x 10-2) = d) 1010 / 104 = e) 1015 / 10-11 = f) (4,8 x 10-3) / (1,2 x 104) = g) (10²)³ = h) (2 x 10-5)² = UNIDADES DE MEDIDA. 5- Faça as seguintes conversões: a) 2,78 m para ft = b) 0,0214 mm para ft = c) 78,65 ft para in = d) 157,81 in para mm = e) 5896,2 Lb para N = f) 8,544 slug para kg = g) 0,00887 N para Lb = h) 0,996 KN para MPa = i) 9,77 GPa para N = j) 3,14 MPa para KN = 6- Converta 2 km/h para m/s. Quanto seria este valor expresso em ft/s? (RESP. 0,556 m/s ; 1,82 ft/s) 7- Converta as quantidades 300 Lb.s e 52 slugs/ft3 para as unidades apropriadas do SI. (RESP. 1,33 KN.s ; 26,8 Mg/m3) VETORES.

8- Os vetores d1 e d2 mostrados na figura representam deslocamentos cujos

módulos são d1=5 cm e d2=2 cm.

a) Na figura (a) desenhe a resultante D destes vetores e determine seu módulo. (RESP. 7 cm) b) Faça o mesmo para figura (b). (RESP. 3 cm)

c) Na figura (c) desenhe a resultante D e use a fórmula adequada para determinar o valor de seu módulo. (RESP. 3,9 cm)


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9- Dois deslocamentos a e b, perpendiculares entre si, tem módulo a=8 cm e

b=6 cm, conforme a figura. Desenhe na figura a resultante c destes dois vetores e determine seu módulo usando a fórmula adequada. (RESP. 10 cm)

10- Em cada um dos casos mostrados na figura desenhe a resultante das forças

F1 e F

2, utilizando a regra do paralelogramo.

11- O vetor V mostrado na figura representa um deslocamento cujo módulo é V=20 m.

a) Desenhe na figura as componentes cartesianas Vx e V

y do vetor V.

b) Sabendo que =25º, calcule Vx e Vy. (RESP. Vx=18 m ; Vy=8,4 m)


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12- O parafuso na forma de gancho da figura esta sujeito a duas forças, F1 e F2. Determine o módulo e a direção da força resultante. (RESP. Fr=213 N ; 54,8º)

13- Decomponha a força de 200 Lb indicada na figura, em componentes nas direções: a) x e y. (RESP. Fx=153 Lb ; Fy=129 Lb) b) x’ e y. (RESP. Fx’=177 Lb ; Fy’=217 Lb)

14- A força F atuante na estrutura mostrada tem um módulo de 500 N e deve ser decomposta nas duas componentes atuantes ao longo das barras AB e AC.

Determine o ângulo , medido abaixo da linha horizontal e no sentido horário,


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de forma que a componente Fac seja direcionada de A para C e tenha um módulo de 400 N. (RESP. 76,1º)

15- Determine o módulo da força resultante e sua direção medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. (RESP. 72,1 Lb ; 73,9º)

16- Determine as componentes das forças de 250 N atuantes ao longo dos eixos u e v. (RESP. Fu=320 N ; Fv=332 N)

17- Uma força vertical resultante de 350 Lb é necessária para manter o balão na posição mostrada. Decomponha esta força em componentes atuantes ao longo


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das linhas de apoio AB e BC e calcule o módulo de cada uma das componentes. (RESP. Fab=186 Lb ; Fac=239 Lb)

18- Decomponha a força F1 em componentes atuantes ao longo dos eixos u e v e determine os módulos destas componentes. (RESP. Fv=129 N ; Fu=183 N)

19- Um bloco de concreto com massa de 57 kg está preso a um sistema constituído por um cabo e uma haste, conforme mostrado na figura. O ângulo entre o cabo e a parede vale 48º. Considerando o sistema em equilíbrio, determine o valor da força que atua na haste e no cabo, indicando quais elementos estão tracionados e quais estão comprimidos. (RESP. Fab=835,57 N (T) ; Fac=621 N (C))


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20- Uma esfera de aço cuja massa vale 7 slug está sustentada por um cabo, preso no alto de um poste, conforme a figura. Uma pessoa, exercendo na esfera uma força F na horizontal, desloca-a lateralmente até a posição indicada. Nestas condições, determine o valor da força F e da força no cabo AB para manter o sistema em equilíbrio. (RESP. F=4541,95 Lb ; Fab=5144,1 Lb)

TENSÃO NORMAL E CISALHANTE. 21- A barra mostrada na figura tem uma largura constante de 35 mm e uma espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média atuante na barra quando ela estiver sujeita ao carregamento indicado.

(RESP. = 85,7 MPa)

22- A barra mostrada na figura tem uma seção quadrada e reta com espessura de 40 mm. Se uma força axial de 800 N é aplicada ao longo do eixo central da barra, determine a tensão normal média e a tensão cisalhante média atuantes no material ao longo do plano de corte A-A.

(RESP. = 500 KPa ; (média)=0)


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23- A peça de acrílico mostrada na figura é suspensa por um pino de aço com diâmetro de 10 mm, que é fixado a uma parede. Se a peça suporta uma carga vertical de 5 KN, calcule a tensão cisalhante média exercida pela parede ao pino.

(RESP. (média) = 63,7 MPa)

24- A coluna mostrada na figura está sujeita a uma força axial de 8 KN em seu topo. Se sua área de seção transversal possui as dimensões indicadas na figura, determine a tensão normal média atuante na seção A-A. (RESP. 1,82 MPa)

25- O elo do tirante mostrado na figura suporta uma força de 600 Lb aplicada pelo cabo. Se o pino tem um diâmetro de 0,25 in, determine a tensão cisalhante média no pino. (RESP. 6,11 Ksi)


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26- A alavanca mostrada na figura é mantida fixa ao eixo através de um pino localizado em AB, cujo diâmetro é de 6 mm. Se um homem aplica as forças mostradas na figura ao girar a alavanca, determine a tensão cisalhante média no pino na seção entre este e a alavanca. (RESP. 29,5 MPa)

27- A luminária mostrada na figura é suportada pelo pino A cujo diâmetro é de 1/8” in. Se a luminária pesa 4 Lb e o braço AB do suporte pesa 0,5 Lb/ft, determine a tensão cisalhante média no pino necessária para suportar a luminária. (RESP. 11,1 Ksi)

TENSÃO ADMISSÍVEL.


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28- A junta mostrada na figura utiliza dois parafusos para unir as placas. Determine o diâmetro necessário aos parafusos, considerando que a tensão

cisalhante admissível (adm)=110 MPa. Admita que a carga seja igualmente distribuída entre os parafusos. (RESP. 15,2 mm)

29- A alavanca mostrada na figura é fixada ao eixo A por uma chaveta de largura d e comprimento de 25 mm. Se o eixo está fixo e uma força de 200 N é aplicada perpendicularmente a alavanca, determine a dimensão d considerando que a

tensão cisalhante admissível para o material da chaveta é (adm)=35 MPa. (RESP. 5,71 mm)

COEFICIENTE DE SEGURANÇA. 30- Determine o diâmetro da barra de aço 1 indicada na figura. A barra está presa ao solo no ponto C e sujeita as forças mostradas. Admita que o material possui as

seguintes características: (adm)=220 Mpa; fator falha de fabricação = 1 ; material comum ; carga constante e gradual. (RESP. K=2 ; Ø 13,6 mm)


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31- A barra rígida AB mostrada na figura é suportada pela barra de alumínio AC, que está acoplada por meio de pinos. Determine o diâmetro da barra de alumínio

e dos pinos, sujeitos a cisalhamento duplo, sabendo que (adm) alumínio = 10,6 x

10³ Ksi e (adm) aço = 29 x 10³ Ksi. Utilize um fator de segurança K = 2 para o alumínio e um fator K = 2,5 para o aço. (RESP. Ø(alumínio)=0,554 in; Ø(pinos)=0,265 in)

MOMENTO DE FORÇAS. 32- Para cada situação ilustrada, determine o momento da força aplicada em

relação ao ponto . (RESP. a) Mo=200 N.m ; b) Mo=37,5 N.m ; c) Mo=229

Lb.ft ; d) Mo=42,4 Lb.ft ; e) Mo=21 KN.m )


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33- Determine o momento da força de 800 N atuante sobre a estrutura mostrada na figura em relação aos pontos A, B, C e D.

(RESP. Ma=2000 N.m ; Mb=1200 N.m ; Mc=0 ; Md=400 N.m )

34- Uma força de 200 N atua sobre o suporte mostrado na figura. Determine o momento desta força em relação ao ponto A.

(RESP. 14,1 N.m )

35- Determine o módulo, a direção e o sentido do momento resultante das forças aplicadas em A e B em relação ao ponto P.

(RESP. 4,47 KN.m )


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36- Determine o momento de cada uma das três forças atuantes sobre a viga, relativamente ao ponto B.

(RESP. M(b1)=4800 Lb.ft ; M(b2)=600 Lb.ft ; M(b3)= 1000 Lb.ft )

37- Determine o momento resultante gerado pelos pesos dos cabos em relação a base do poste de uma linha de transmissão. Cada cabo tem um peso de 560 Lb.

(RESP. 43,1 Kip.ft )


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38- Para a viga engastada sujeita a duas forças, determine o momento de cada

uma das forças em relação ao ponto .

(RESP. M(f1)=13 KN.m ; M(f2)=6,1 KN.m )

39- Duas forças atuam sobre os dentes de uma engrenagem, conforme mostrado na figura. Qual a força equivalente que atua nos pontos A e B? (RESP. F=120 N)


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TRELIÇAS. 40- Determine a força atuante em cada elemento da treliça mostrada na figura e indique se os elementos estão sob tração ou compressão. (RESP. Ax=500 N ; Cy=500 N ; Ay=500 N ; Fbc=-707,1 N ; Fba=500 N ; Fac=500 N)

41- Determine as forças em cada um dos elementos da treliça mostrada na figura. Indique se os elementos estão tracionados ou comprimidos. (RESP. Cx=600 N ; Ay=600 N ; Cy=200 N ; Fab=-750 N ; Fad=450 N ; Fdb=250 N ; Fdc=-200 N ; Fcb=-600 N)


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42- Determine as forças em cada elemento da treliça mostrada e identifique os elementos submetidos a tração e a compressão. (RESP. Fba=214 Lb ; Fbc=-525 Lb ; Fca=371 Lb)

43- Determine a força atuante em cada elemento da treliça mostrada na figura e indique se os elementos estão sob tração ou compressão. (RESP. Fab=-21,9 KN ; Fag=13,1 KN ; Fbc=-13,1 KN ; Fbg=17,5 KN ; Fcg=3,12 KN ; Ffg=11,2 KN ; Fcf=-3,12 KN ; Fcd=-9,38 KN ; Fde=-15,6 KN ; Fdf=12,5 KN ; Fef=9,38 KN)

44- Determine a força atuante em cada elemento da treliça mostrada na figura e indique se os elementos estão sob tração ou compressão. (RESP. Fab=-43,8 KN ; Fag=26,2 KN ; Fbc=-26,2 KN ; Fbg=35,0 KN ; Fgc=6,25 KN ; Fgf=22,5 KN ; Fed=-31,2 KN ; Fef=18,8 KN ; Fdc=-18,8 KN ; Fdf=25,0 KN ; Ffc=-6,25 KN)


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45- A treliça de uma ponte esta sujeita ao carregamento mostrado na figura. Determine os forças nos elementos DE, EH e HG e indique se estes estão sob tração ou compressão. (RESP. Fde=-45 KN ; Feh=5 KN ; Fhg=45 KN)

MOMENTO TORÇOR. 46- Determine o momento atuante na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A carga de aperto é de 100 N e o comprimento L=200 mm. (RESP. M=20 N.m)

47- Qual o momento atuante na chave de roda da figura? A carga aplicada na extremidade do braço é de 120 N e o braço mede 400 mm. (RESP. 48 N.m)


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48- O eixo motriz de um automóvel deve ser projetado com um tubo de parede fina. O motor transmite 150 hp ao eixo quando este gira a 1500 rpm. Determine a menor espessura da parede do eixo considerando que seu diâmetro externo seja

de 2,5 in. O material utilizado tem uma tensão cisalhante admissível adm = 7 Ksi. (RESP. 0,104 in)

49- Um motor transmite 500 hp a um eixo de aço, que é tubular e tem um diâmetro externo de 2 in e um diâmetro interno de 1,84 in. Determine a menor velocidade angular na qual o eixo pode girar se a tensão cisalhante admissível

para o material é adm = 25 Ksi. (RESP. 296 rad/s)

50- O eixo maciço de um motor elétrico tem um diâmetro de 0,75 in e transmite 0,5 hp a um giro de 1740 rpm. Determine o torque gerado e calcule a tensão cisalhante máxima no eixo. (RESP. 1,51 Lb ; 219 Psi)


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51- O eixo maciço de aço AC tem um diâmetro de 25 mm e é suportado por mancais lisos em D e E. Ele é acoplado a um motor em C, que transmite 3 KW de potência a um giro de 50 Hz. Se as engrenagens A e B absorvem 1 KW e 2 KW, respectivamente, determine as tensões cisalhantes máximas desenvolvidas no eixo nas regiões AB e BC. O eixo gira livremente em relação aos mancais de

apoio em D e E. (RESP. ab = 1,04 MPa ; bc = 3,11 MPa)

LEI DE HOOKE E MÓDULO DE ELASTICIDADE. 52- O corpo de prova de alumínio mostrado na figura tem um diâmetro do=25 mm e um comprimento nominal Lo=250 mm. Se uma força de 165 KN alonga o comprimento em 1,2 mm, determine o módulo de elasticidade do material. (RESP. 70 GPa)

53- Uma barra de plástico reforçado tem um comprimento inicial de 8 in e um diâmetro de 3/4” de in. Se uma carga axial de 1500 Lb for aplicada em suas extremidades, tracionando-a, determine a variação ocorrida no seu comprimento devido a carga aplicada. Para efeitos de cálculo, considere o módulo de elasticidade do plástico como 19 x 10³ Ksi.


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(RESP. 1,43 in)

MOMENTO FLETOR: 54- Para a estrutura indicada na figura, desenhe os diagramas de força cortante e de momento fletor. [RESP. V(ab)=-10 KN; V(bc)=12 KN; V(cd)=-8 KN; Mf(a)=0; Mf(b)=-20 KN.m; Mf(c)=16 KN.m; Mf(d)=0]

55- Determine as reações de apoio referentes aos carregamentos mostrados na figura. Obtenha as equações do momento fletor e da força cortante e trace os diagramas de força cortante e de momento fletor. (RESP. Ax=0; Ay=6,66 KN; By=3,33 KN) (trecho AC: V=6,66 KN; M=6,66.x) [trecho CB: V=-3,33 KN; M=(-3,33.x)+20]

56- Para a viga mostrada na figura, trace os diagramas de força cortante e de


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momento fletor. (RESP. Mf(a)=-40 KN.m; Mf(b)=0)

57- Construa o diagrama de esforços cisalhantes e de momentos fletores para o eixo mostrado na figura. Os mancais em A e B exercem apenas reações verticais sobre o eixo. O carregamento é aplicado às rodas em B, C e D. [RESP. V(max)=-108 Lb ; M(max)=1196 Lb.in)]


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Referências Bibliográficas

SOUZA, Hiran Rodrigues. Resistência dos Materiais. São Paulo: Editora F. Provenza, 1991. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Terceira Edição.

resistência dos materiais

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