Representação do E-T : diagramas de Minkowskidiagramas de Minkowski

eventos ( transitórios ) linhas de mundo ( duradoura no t ) cones de luz ( raios de luz)

um observador recebe sinais de luzque vêm do passado e transmite sinaisde luz para o futuro

cada observador temo seu cone de luz

Informações chegam ao observador com v c

eventos que foram observados estão dentro ou no cone de luz dopassado

eventos influenciados pelo observador deverãoficar dentro ou no cone de luz do futuro

Somente os eventos que estão dentro ou sobre o conesde luz de um dado observador fazem parte da linha demundo deste observador

Tipos de intervalo de E-T:

A. d2 > 0 : time-like → pode situar-se sobre a linha de mundo de um dado observador v < c

B. d2 = 0 : light-like → pode situar-se na linha de mundo de um raio de luz → eventos de separação nula (geodésica nulas) v = c

C. d2 < 0 : space-like → não pode situar-se sobre a linha de mundo de um dado observador v > c

x= - ct x= ct

x

t

A

B

C

cone de luz

O

•AO = time-like•OB = light-like•OC = space-like

presente

passado

futuro

Como d = 0 para um sinal luminoso 02

22

c

dsdtd

ds= c dt

ds2=dx2+dy2+dz2 (distância própria= euclidiana)

Definição : DISTÂNCIA PRÓPRIA

Distância medida entre 2 eventos : mede-se o tempoque um sinal de luz leva de A para B

dD = c dt

Trajetórias no E-TTrajetórias no E-T

Distâncias entre dois pontos no E-T não são medidas comodistâncias entre dois pontos no espaço ordinário

d(E-T)2=c2dt2-ds2

Distância menor entre dois eventos NÃO é uma linha reta no E-T

Para a luz: tempo = espaço

d=1000 anos-luz

> t= 1000 anos

(E-T)=0

luz invariante!!!

1. Seja uma linha de mundo reta que conecta dois eventos a e b

2. Seja um caminho alternativo acb onde a partir de c formam-se os cones de luz que interceptam a e b

Na folha de papel a distância acb > distância ab

Mas... no E-T distância acb=0 !!!distância ab é o maior caminhoEntre os dois eventos!!!

Caminhos alternativos + próximosa acb são < caminho reto ab

Paradoxo dos gêmeos Ler na apostilha demonstração usando métricade Minkowski

PARADOXO DOS GÊMEOS

O tempo próprio de um corpo mede-se ao longo da sua linhade mundo idade = comprimento de linha de mundo

adb leva tempo menor do que ab

O tempo medido é ao comprimentoda linha de mundo medida no E-T

Gêmeos A e B nasceram juntos suas linhas de mundo começam no mesmo evento

O gêmeo B viaja durante 6 anos (ida e volta) com v=0.8c (tempo marcado por B)

O gêmeo A continua em repouso em relação à Terra

Quantos anos se passaram para A ?

Diagrama de Minkowski para os 2 gêmeos

coordenadas dos eventos:O (0,0)Q (tQ,xQ)P (tP,0)considerando: tQ=tP/2 xQ=vtQ=vtP/2

Separação entre os dois eventos O e Q:

22

2

2

222)( )1(

2

QQ

QOQcTEd t

c

V

c

xtd

2

2

1cV

OQQt

anost

cV

OQP 10

1

2

2

2

OP = linha de mundo de AOPQ= linha de mundo de B

O

P

Q

Paradoxo: se o nosso sistema de coordenadas estivesse em B A seria o viajante t seria menor para A ??

situação de A e B NÃO são simétricas

Experimento:

decaimento (decai em 10-3 s)tempo de vida intrínseco medidoao longo da sua linha de mundo

move-se relativisticamenteem relação a nós tempo de vida maior!

t decaimento 1/(1-V2/c2)1/2 (V=0.9998c)

tdecaimento (observado) = 50 tdecaimento

Análise da gravitação...

O princípio da Equivalência

F gravitacional e F inercial produzem efeitos indistinguíveis

conexão entre movimento e gravidade

geometria e gravidade tem algo em comum

1o passo p/ TRG

2o passo p/ TRG

Um cenário mais simples...

Seja um laboratório sem janelas no espaço

1a situação: lab está longe da estrela + próxima

g ~ 0

move-se livremente: F inercial = 0F=ma

Lab em estado inercial

experimentos feitos dentro do lab

2a situação: lab passa perto da estrela + próxima

lab continua em estado inercial

experimentos feitos dentro do lab

lab segue uma órbita em queda-livre

Ftotal=Finercial-Fgravitacional=0

Conclusão: neste caso não dá para distinguir força inercial da gravitacional

TRE → as leis e suas equações físicas são as mesmas em todos os sistemas inerciais (não acelerados)

Mas se os experimentos não conseguem distinguir entreFinercial e Fgravitacional

pode-se usar a TRE em sistemas em queda-livre

TRE → as leis e suas equações físicas são as mesmas em todos os sistemas inerciais + sistemas em queda-livre

“Newtonianamente” falando...

Na queda-livre: massa inercial = massa gravitacional

gmr

mGMam g

gi

2

mi e mg : massas inerciale gravitacional do lab

Princípio da equivalência newtoniano

“Einstenianamente” falando...

Aceleração do lab em queda livre cancela completamenteo efeito da gravidade NÃO SÓ DINAMICAMENTE!!

Mecânica newtoniana

MAS EM QUAISQUER EXPERIMENTOS FÍSICOS

TRE usada em sistemas inerciais e em queda-livre

Geometria e gravidade

Superfícies curvas são análogas à gravidade

Outros termos...

Corpos com V constante descrevem linhas retas no E-T planode Minkowski da TRE

Corpos em queda livre no mesmo E-T de Minkowski possuem linhas de mundo curvas

Mas e a equivalência entre sistemas inerciais e em queda-livre???Não teriam ambos linhas de mundo retas???

Abandono do E-T plano para encontrar uma teoria naqual gravidade altera a geometria do E-T tal que todosos corpos em queda-livre descrevam linhas de mundo retas

Mundo Newtoniano de linhas de mundo curvas

Linhas de mundo retas (geodésicas) num E-T curvo

Uma pequena complicadinha...

Forças de maré

Cenários descritos anteriormente para demonstrar o princípioda equivalência são idealizações...

1. Somente pontos no espaço vão ser inerciais (movimento inercial raramente existe!!!)

2. Princípio da equivalência só é verdadeiro num campo gravitacional UNIFORME

Gravidade não é nunca uniforme

Seja um corpo sólido que se move sob a ação da gravidade

Força de maré : resultante da força gravitacional não uniforme

Centro de massa é o único realmente em queda-livre

Princípio da equivalência aplicável só a regiões de volumeextremamente pequenos...

Leis da física são expressas em termos de equações diferenciais

Lab extremamente pequeno...

Forças de maré e variações na curvatura

Princípio da equivalência aplica-se somente a regiões infinitesimais

Geometria euclidiana pode ser usada somente em regiões pequenasde uma superfície curva

Retângulo = variação de K com a posiçãoe com o tempo = simula lab em queda- livre com um campo gravitacionalnão uniforme e que varia com t

TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL

Universo newtoniano : geometria euclidiana + forças gravitacionais

Universo relativístico do E-T de curvatura variável

Órbitas curvas de corpos em queda-livre no universo newtoniano

Órbitas retas no E-T curvo no universo de Einstein

Órbita em linha reta = geodésica = distância + curta entre dois pontos

substituído por:

Na TRG: corpos em queda-livre seguem caminho geodésicos

TRG

curvatura do E-T é influenciada pela distribuição de matéria-energia

Outra forma: a deformação do E-T está relacionada com a tensão induzida pela matéria-energia

curvatura do E-T=constante (matéria-energia)

Ligação entre geometriae matéria-energia

E=mc2

constante G

•qdo K é negligível: equação TRG→equação TRE

•qdo v << c: equação TR→equação de movimento e gravidade de Newton Gij=cteTij

Usar curvatura ao invés de gravidade !!!

Curvatura produz curvatura

Cada curvatura tem influência oué influenciada por outras curvaturasno espaço

Universo Newtoniano: gravidade deum corpo não modifica a gravidadede um outro

“Gravidade” é transmitida a velocidade da luz

Universo de Newton: gravidade é propagada instantaneamente...

Campo gravitacional produzidopor um corpo existe instantaneamente

Universo de Einstein: gravidade ou K do E-T se propaga a velocidade da luz!

Equação da TRG = equação de ondaque gera e propaga as deformaçõescurvas do E-T

2 estrelas orbitando ao redor delas mesmas

produzem g que varia periodicamentecom o tempo

Então K do E-T varia periodicamenteEnergia é redistribuída na região

Ondas de “deformação” do E-Tfluem em todas as direções comvelocidade = c

Energia e momentum angular são perdidos pelas s sob forma de ONDAS GRAVITACIONAIS

A cada 109 ou 1012 anos

Prova da existência de radiaçãogravitacional : sistemas binárioscom um pulsar