representação de sistemas de potência

A S E – ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA – REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EMREGIME PERMANENTE 4 1

ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIAREPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME

PERMANENTE 4

MODELAGEM DOS COMPONENTES DE SISTEMA DE POTÊNCIAPara o estudo de um sistema elétrico de potência, devemos definir o modelo

de simulação adequado de cada componente da rede

LINHA DE TRANSMISSÃO Uma L.T. pode ser considerada como a associação de um número infinito de

impedâncias série e capacitâncias em derivação ligadas conforme esquema dafigura 1.

Figura 1 - Linha de Transmissão

As linhas de transmissão serão representadas, em todas as seqüências, porum modelo equivalente, independentemente do tipo de estudo de regimepermanente em que se estiver interessado.

MODELO PARA SEQÜÊNCIA POSITIVA (DIRETA) E NEGATIVA (INVERSA)As LT’s são normalmente representadas através de modelo � ou T com os

parâmetros concentrados.Admitiremos as equações sem demonstração, pois não é o objetivo da

disciplina.Assim, admita-se que toda L.T possa ser representada por um quadripolo

com entrada VI e II e saída VF e IF, conforme a figura 2

Figura 2 – L.T como quadripolo


As equações de linha longa em forma matricial para uma L.T. sem reatores

são: ��

��

�

��

�

�

��

�

��

�

��

�

F

F

c

c

I

I

IV

Z

Z

IV

�

�

��

��

�

�

)cosh()senh()senh()cosh(

��

��

com VI, II, VF e IF definidos conforme a

figura 3

Figura 3 – Convenção de tensões e correntes para L.T. sem reatoresℓ = comprimento da L.T. (km)

Zc = impedância característica da L.T = yz (�)

z = impedância série (r + jx) (�/km)y = admitância de derivação (g + j �c) (S/km)� = constante de propagação da L.T. = yz. (km-1)

Para o caso da existência de reatores de linha, as convenções sãorepresentadas na figura 4, e as equações relacionando as tensões e correntes naentrada e no extremo receptor têm que levar em conta a presença dos reatores.

Figura 4 – L.T com reatores

As equações em forma matricial, para caso mais geral são:

��

��

��

��

��

�

��

�

F

F

I

I

IV

DCBA

IV

�

�

�

�

que constituem as equações de um quadripolo, no qual estão incluídos os reatores,com entradas VI e II e saídas VF e IF.

As constantes do quadripolo podem ser calculadas simplesmente pelaassociação série dos três quadripolos parciais indicados na figura 5 que se segue.


Figura 5 – Associação série de quadripolos parciais

Cada um dos quadripolos parciais possui constantes A, B, C, D parciais, dasquais já conhecemos as relativas à L.T.

As constantes do quadripolo representando um reator são obtidas,lembrando-se que:

02

1

2�

�

IVVA�

�

02

1

2 �

�

VIVB�

�

02

1

2 �

�

IVIC�

�

02

1

2�

�

VIVD�

�

sendo V1 e I1 as grandezas na entrada e V2 e I2 as de saída.Para o caso reator em derivação, temos: A = D = 1 B = 0 e C = YEscrevendo as equações para cada quadripolo da figura 5, resulta:

��

��

��

��

��

�

��

�

S

S

rI

I

IV

YIV

�

�

�

�

101

1��

��

��

��

��

�

��

�

R

R

LL

LL

S

S

IV

DCBA

IV

�

�

�

�

��

��

��

��

��

�

��

�

F

F

rFR

R

IV

YIV

�

�

�

�

101

que resulta: ��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

�

F

F

rFLL

LL

rI

I

IV

YDCBA

YIV

�

�

�

�

101

101

1

Efetuando os produtos de matrizes, obtemos:A = AL + BL.YrF C = Yr1.AL + CL + YrF.Yr1.BL + DL.YrF

B = BL D = DL + BL.Yr1

As constantes AL, BL, CL e DL representam o quadripolo da linha detransmissão excluindo os reatores, valem:

AL = cosh (�ℓ) BL = Zc.senh(�ℓ) CL = Zc

)senh( �� D = cosh(�ℓ)

conhecidas as constantes do quadripolo total, pode-se obter um circuito equivalente,muito útil em algumas aplicações, na forma indicada na figura 7

A demonstração é simples, bastando equacionar o circuito da figura 6 onde serepresenta a linha de transmissão por um circuito equivalente.


Figura 6 – Circuito equivalente de L.T

Da figura 6, podemos escrever,

IIFFFI

FFFFI

VYVYIIVYIZVV��

��

��

�� )(

�

��

��

FIFFIFI

FFFI

IZYVZYYYYIIZVZYV

��

��

)1()()1(

1

Daí, temos o sistema:

BZAZYF

�

��1DZY

CZYYYY

I

FIFI

��

��

1

Das duas primeiras vem: BAYF1�

� e da segunda e última resulta BDYI

1��

No caso de reatores de linhas diferentes nas extremidades, deve-se adotar omodelo � assimétrico, como mostra a figura 7

Figura 7 - Circuito �-equivalente de uma L.T

Em geral as LT’s são representadas por modelos em função do comprimento,como curta, média e longa, conforme mostra a figura 8

Figura 8 - Modelos alternativos para L.T.


MODELO PARA A SEQÜÊNCIA ZEROO modelo de seqüência zero de L.T. é um modelo análogo ao da seqüência

direta e inversa, com a única diferença de que os valores de impedância série Z eadmitância de derivação Y são diferentes, o que acarreta constantes A, B, C, D doquadripolo equivalente daquelas de seqüências diretas e inversa, econsequentemente parâmetros do circuito também diferentes.

TRANSFORMADORES

Apresentaremos os modelos de seqüência direta e zero dos transformadoresde dois e três enrolamentos.

Serão discutidos a influência da derivação na representação dos modelos detransformadores e a flexibilidade obtida admitindo-se derivação na alta e baixatensão.

A obtenção do modelo para o transformador é feita de forma análoga aoprocedimento adotado para linhas de transmissão, ou seja, o transformador éestudado como um quadripolo com constantes A, B, C e D.

TRANSFORMADOR DE DOIS ENROLAMENTOS – SEQÜÊNCIA DIRETAUm transformador pode ser representado com razoável precisão, por um

circuito equivalente, conforme representado na figura 9

Figura 9 - Circuito equivalente do transformador de dois enrolamentosOnde R = resistência dos enrolamentos do transformador

X = reatância de dispersãoRP = resistência de perdas no ferroXm = reatância de magnetização

O modelo de seqüência direta para simulação em computador é obtido porsimplificação do esquema da figura 9, desprezando-se o ramo magnetizante, comomostra o modelo da figura 10.

Figura 10 – Circuito do transformador para simulação

O modelo da figura 10 é valido quando o transformador está na derivaçãonominal.


Para um transformador operando fora da derivação nominal, a suarepresentação pode ser por impedância ou admitância, ligada em série com umautotransformador, conforme a figura 11.

Figura 11 – Circuito equivalente para transformador fora da derivação

Um circuito �-equivalente pode ser obtido desta representação com vista aosestudos em regime permanente de um sistema. Os elementos do circuito �-equivalente, que representam um quadripolo, podem então ser tratados da mesmaforma que os elementos de linha.

O circuito adotado para simulação do modelo de transformador é o da figura12

Figura 12 - Circuito �-equivalente do transformador de dois enrolamentos –seqüência direta

Onde cada admitância pode ser escrita, em termos dos parâmetros dotransformador, como:

�

�

�

�

��

��

��

��

��

��

�

A

YA

Y

YAA

YAY

Y

TF

TI

Tsérie

11

111


DEMONSTRAÇÃOConsideremos o transformador mostrado na figura 13, com derivações na alta

e na baixa tensão

Figura 13 – Transformador de dois enrolamentos fora de derivaçãoConsideremos inicialmente o transformador em vazio, o que implica

II = IS = IF = 0 e temos AVV

S

I��

�

�

Sejam a

V

VVV

pu

pu

BS

BI

Spu

Ipu��

�

�

�

�

Sendo assim, podemos substituir o transformador da figura 10 por umautotransformador de relação de transformação a :1 desde que adotado arepresentação em pu

A figura 14 mostra o exposto, devendo-se notar que todos os valores decorrente e tensão indicados são valores em pu nas bases do sistema.

Figura 14 – Autotransformador equivalente à figura 10 – valores em pu

Da figura vem ��

��

��

��

��

�

��

�

S

S

aI

I

iva

iv

�

�

�

�

100

Relacionando a corrente e tensão do secundário do autotransformador idealcom as grandezas correspondentes do secundário real, vem:


��

��

��

��

��

�

��

�

F

Fy

S

S

iv

iv

T

�

�

�

�

101 1

logo ��

��

��

��

��

��

��

�

��

�

F

Fy

aI

I

iva

iv

T

�

�

�

�

101

00 1

1 portanto �

�

��

��

��

��

�

��

�

F

F

a

ya

I

I

iva

iv

T

�

�

�

�

10

Que em termos de constantes A, B, C e D de um quadripolo, temos:

aD

yaB

CaA

T

1

0

��

��

Utilizando as relações obtidas à partir da figura 6, obtemos:

TF

TI

Tsérie

T

yaB

Ay

yaaB

Dy

ay

youyaz

��

��

��

��

��

��

��

��

��

111

1111

��

que são as relações que queríamos demonstrarUm cuidado que se deve tomar é quanto ao valor da admitância (ou

impedância) série do transformador que deve estar em pu nas bases do sistema dolado secundário.

A representação de transformadores de dois enrolamentos, com derivação naalta e baixa tensão, possibilita uma razoável flexibilidade em estudos de sistemas depotência, pois já é comum o uso de transformadores com tap fixo e um dosenrolamentos e variador de derivação automático sob carga no outro enrolamento


TRANSFORMADOR DE DOIS ENROLAMENTOS – SEQÜÊNCIA ZERO

O modelo para representar a seqüência zero dos transformadores leva emconsideração a forma de ligação do transformador, enquanto o modelo de seqüênciadireta independe deste fator, para a seqüência zero ele é determinante no modeloadotado conforme a tabela 1

Tabela 1 – Transformadores de dois enrolamentos – Modelos para seqüência zero

onde ZGP e ZGQ são eventuais impedâncias de aterramento presentes nos centro-estrêla dos enrolamentos P e Q.

TRANSFORMADOR DE TRÊS ENROLAMENTOS – SEQÜÊNCIA DIRETA EINVERSA

A utilização de transformadores de três enrolamentos em sistemas elétricosde potência é bastante difundida.

O modelo deve ser suficientemente versátil para permitir a representação detaps em qualquer dos enrolamentos.

A derivação de circuito equivalente é feita a partir dos dados de impedânciaobtidos a partir de ensaios de curto-circuito, realizados entre cada par deenrolamentos.


Consideremos o circuito da figura 15-a, onde se representa uma das fases deum transformador de três enrolamentos

Figura 15 – Transformador de três enrolamentos (representação em kV, �)

Na figura 15-b, os valores das impedâncias indicadas estão em (�) referidasao primário.

Consideremos inicialmente os taps em seu valor nominal, e a realização dosensaios de curto-circuitos.

Os valores de impedância obtidas em função dos valores indicados na figura15 são:

Z’PS = ZP + ZS (impedância do primário para o secundário)Z’PT = ZP + ZT (impedância do primário para o terciário)Z’ST = ZS + ZT (impedância do secundário para o terciário)

De onde se obtém as relações já conhecidas:

� �

� �

� �PSSTPTT

PTSTPSS

STPTPSP

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

'''21

'''21

'''21

��

��

��

Calculando os valores de ZP, ZS e ZT em pu nas bases do sistema econsiderando os taps em seus valores nominais, os quais admitiremos coincidentescom os valores de tensão de base adotados para cada uma das barras terminais decada enrolamento. Admitindo ainda que os valores das impedâncias ZP, ZS e ZTestão referidas ao primário e VNP = tensão nominal do primário.

)(2 puVS

ZzNP

BasePP � )(2 pu

VS

ZzNP

BaseSS � )(2 pu

VS

ZzNP

BaseTT �

De posse dos valores de impedância em pu nas bases do sistema, osseguintes circuitos equivalentes são válidos para o caso geral em que se consideretap fora da Nominal nos três enrolamentos.


A impedância em estrela da figura 16 pode ser transformada em � conformemostra a figura 17

Figura 16 – Circuito equivalente em pu para transformador de três enrolamentos comderivação fora do valor nominal nos três enrolamentos

Figura 17 – figura 16 após uma transformação � - �.Utilizando as fórmulas de transformação estrela - triângulo, obtemos:

��

��

��

��

��

��

��

��

��

TSPTSST

TSPTPPT

TSPSPPS

zzzzzz

zzzzzz

zzzzzz

111

111

111.

e analisando as figuras 16 e 17, temos

PN

TP

VV

�� = tap do primário em pu

SN

TS

VV

�� = tap do secundário em pu

TN

TT

VV

�� = tap do terciário em pu


Para efeito de simulação em computador, é conveniente transformar o circuitoda figura 17 no circuito da figura 18.

Figura 18 – circuito equivalente modificado

Na figura 18, temos:a = �/� = relação de transformação primário/secundário em pub = �/� = relação de transformação terciário/primário em puc = �/� = relação de transformação secundário/terciário em pue as impedâncias são valores em pu referidos aos valores dos transformadoresideais.

PSPS zz � a2 (pu) PTPT zz � a2 (pu) STST zz � a2 (pu)A vantagem do circuito da figura 18 no tocante à simulação digital é agora

evidente, pois o transformador de três enrolamentos com derivações diferentes dovalor nominal nos três enrolamentos foi substituído por três transformadores de doisenrolamentos que já sabemos equacionar.

A aplicação repetida às equações da página 6 fornece os parâmetros dos �’sequivalentes dos três transformadores, que resulta o modelo da figura 19, ondecada autotransformador da figura 18 foi substituído por seu modelo � equivalente.

Figura 19 – Modelo transformador de três enrolamentos – seqüência direta/inversa


Para os parâmetros de cada um dos �’s equivalentes, temos os seguintesvalores: �1

� �

��

�

��

�

�

��

��

��

�

��

��

�

��

��

��

�

�

��

�

��

��

�

��

��

12221

2

21

221

.)..(

)()(1

11

..

1111

..

PPSPSPS

PSS

PSPS

PSP

PSPSPSPS

Yaza

zzy

aY

zz

yaa

Y

zzzazaZ

��

��

��

��

�

�

�

��

��

�

�

�

�

��

��

�

De modo análogo, vem:�2: �3

��

��

�

��

��

�

2

2

2

...1.

..

2 ST

STS

ST

YcYz

Y

zZ

��

��

��

��

��

�

��

��

�

33

3

3

...1.

..

PT

PTP

PT

YbYz

Y

zZ

��

��

��

TRANSFORMADORES DE TRÊS ENROLAMENTOS – SEQÜÊNCIA ZERODe forma análoga ao transformador de dois enrolamentos, para obtermos os

modelos para simulação em computadores digitais devemos levar em consideraçãoa forma de ligação do primário, secundário e terciário, que, ao contrário daseqüência direta, é fator preponderante na determinação do circuito equivalente.

A tabela 2 representa os tipos mais comuns de ligações para transformadoresde três enrolamentos. Outras formas de ligação pouco usuais são apresentadas natabela 3.Nota. Os valores de impedância indicados devem corresponder à impedância deseqüência zero. Tais valores serão iguais aos de seqüência direta para bancos detransformadores monofásicos ou transformadores trifásicos com núcleo magnéticodo tipo envolvente, sendo um valor inferior para transformadores trifásicos comnúcleo envolvido.

Nos casos em que o aterramento do centro estrela não for sólido, os modelosde seqüência zero devem incluir as impedâncias de aterramento.

Assim, se ZGi for a impedância de centro estrela do enrolamento i deve-seadicionar aos modelos vistos a impedância 3ZGi em série com a impedância Zi dotransformador associada ao enrolamento em questão.


Tabela 2 – Transformador de 3 enrolamentos – seqüência zero – tipos de ligação


Tabela 3 – Transformador de três enrolamentos – seqüência zero – tipos de ligaçãopouco usuais


GERADORES SÍNCRONOS

Apresentaremos os modelos adotados para simulação digital dos geradoressíncronos para as seqüências direta, inversa e zero. O gerador é representado, paraos problemas em análise como uma tensão constante atrás de uma determinadareatância.

MODELO DE SEQÜÊNCIA DIRETAO modelo adotado para simulação digital da seqüência direta é o da figura 20

Figura 20 – Modelo de seqüência direta do gerador.A reatância X utilizada no modelo adotado pode assumir diversos valores em

função do tipo de estudo a ser feito.1. No caso de desejarmos obter o valor eficaz da componente senoidal da correntede curto-circuito no instante imediatamente após a ocorrência do defeito, o valor deX passa a ser: X = X”d , onde X”d = reatância subtransitória do gerador, segundoeixo direto.

2. Se quisermos obter a corrente de curto alguns instantes após o defeito temos: X =X’d , onde X’d = reatância transitória do gerador, segundo eixo direto.

3. Por fim, se quisermos a corrente de curto para a rede em regime temos: X = Xdonde Xd = reatância não saturada segundo eixo direto do gerador.

Resumindo o apresentado, temos a tabela 4Tabela 4 – Geradores – modelos para seqüência direta


MODELO DE SEQÜÊNCIA INVERSANa rede de seqüência inversa, os geradores serão simulados pela sua

reatância de seqüência, definida pela equação que se segue:Z2 = jX’2 = j ½ (X”d + X”q) onde Z2 = impedância de seqüência inversa e X”q =reatância subtransitória segundo eixo em quadratura.

Figura 21 – Geradores – Modelo de seqüência inversa

MODELO DE SEQÜÊNCIA ZEROPara simulação da seqüência zero dos geradores, adotamos, modelo análogo

ao da seqüência inversa, como mostra a figura 22, só que incluindo também aeventual impedância de aterramento.

Figura 22 - Modelo de seqüência zero.

REATORES, BANCO DE CAPACITORES E CARGAS

Para representarmos reatores, banco de capacitores e cargas, na seqüênciadireta, inversa e zero, adotamos o modelo da figura 23, ou seja, todos eles podemser simulados como um estático de barra (impedância constante Z ligada à terra).

Para seqüência Zero devemos verificar o tipo de ligação, ou seja, caso hajaligação com a terra, utilizarmos o modelo da figura 23; caso contrário, temos umcircuito aberto.

Figura 23 – modelo para seqüência direta, inversa e zero

REATORES E BANCO DE CAPACITORES

n

n

QV

Z2

�

onde Qn = potência reativa nominal do reator/banco de capacitores Vn = tensão nominal do reator/banco de capacitores


CARGAS

Em alguns tipos de estudos, as cargas do tipo P, Q constantes serãotransformadas em impedância constante.

A formulação necessária, imediatamente dedutível, resume-se em:

��

�

��

�

�

��

��

��

��

��

PQarctgZ

QPVZ

jQPS

�|

||22

2

ANEXORELAÇÕES IMPORTANTES – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

SENDO: �� j��

�� sen.senhcos.cosh)cosh(cosh jj ��

�� sen.coshcos.senh)senh(senh jj ��

� ��

�� ||

21)cosh( eej

� � � ��

�� ||

21senh eej

�

��

�

��

senh1cosh

2�

�tgh

1senhcosh 22��

CONVERSÃO DE CIRCUITO �-NOMINAL EM �-EQUIVALENTE

Z E Y – CIRCUITO �-NOMINALZ’ E Y’ – CIRCUITO �-EQUIVALENTEZc = IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA DA L.T. = yz.z = impedância série por unidade de comprimentoy = admitância de derivação por unidade de comprimento

�

��

�

��

senhsenh' ZZZ c ��

2

222

12'

�

�

�

�

�

��

��

�

��

tghYtgh

ZY

c

representação de sistemas de potência

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