rendas antecipadas e diferidas
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Rendas Imediatas:
Antecipadas: O fluxo de caixa antecipado indica que a série de valores começa a ocorrer antes do final do primeiro
período. A determinação do valor presente e do montante de um fluxo de caixa antecipado não apresenta maiores
novidades. Além de ter-se sempre a opção de atualizar ou corrigir os seus termos individualmente, pode-se também
utilizar a fórmula do modelo básico para a parte convencional do fluxo e corrigir para as rendas antecipadas.
Valor atual de uma renda antecipada: Para o cálculo do valor atual de uma renda antecipada, utiliza-se o mesmo
conceito de renda postecipada, no entanto, como os pagamentos ou recebimentos ocorrem com a antecipação de um
período, multiplica-se a fórmula original por (1+ i). Assim sendo, temos:
)1()1(1
)( ii
iPMTPVatualValor
n
Exemplo:
Determine o valor, à vista, de uma série de 6 prestações de R$ 20.000,00, vencíveis mensalmente, sendo a primeira
no ato da compra, sabendo que a taxa é 5% a.m.
Valor futuro de uma série de depósitos: (Montante): É uma renda antecipada relativa ao montante quando o
último depósito da série ocorrer um intervalo antes do momento em que queremos saber (o montante). Para calcular
o montante utilizamos a fórmula do modelo básico, corrigida:
)1(1)1(
)( ii
iPMTFVfuturoValor
n
Exemplo:
Uma pessoa deposita no início de cada mês numa caderneta de poupança programada o valor de R$ 5.000,00.
Sabendo que o banco paga juros de 5,5% a.m., quanto possuirá após 5 depósitos?
UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL – CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E
TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA (DEME)
DISCIPLINA: MATEMÁTICA FINANCEIRA
CÓDIGO : CRÉDITOS: 04 HORÁRIO:
Professora: Silvia Carla Menti - [email protected]
Rendas Diferidas: Como já foi visto na classificação dada, as anuidades diferidas são aquelas em que o primeiro
pagamento ou recebimento acontece a partir de certo período de carência.
Exemplos:
1) Um veículo, cujo preço a vista é de R$ 30.000,00, está sendo vendido nas seguintes condições:
Taxa de 2% a.m.
entrada de 30%
saldo em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira daqui a dois meses.
Qual o valor de cada prestação?
2) A loja Barrabás vende um determinado produto a vista por R$ 850,00, em 24 parcelas mensais, devendo a
primeira prestação somente ser paga após 4 meses do fechamento da compra. Considerando uma taxa de 4% a.m.,
determine o valor de cada prestação.
3) Um eletrodoméstico é vendido à vista por R$ 8 000,00 ou em quatro pagamentos mensais de R$ 2 085,79, com 2
meses de carência. Qual deve ser o valor da entrada, sabendo que a taxa de juros é de 4% a.m?
4) Uma pessoa deve receber os seguintes pagamentos:
1) 10 prestações mensais de R$ 700,00 cada, vencendo a primeira daqui a um mês.
2) 6 prestações trimestrais de R$ 2 800,00 cada , vencendo a primeira após 3 meses do término de pagamentos da
sequência acima .
Para uma taxa de juros de 4,1% a.m., determine o valor presente deste fluxo de pagamentos.
5. Uma pessoa possui hoje, R$ 50.000,00 em dinheiro e uma capacidade de poupança de R$ 3.000,00 mensais no
próximo semestre e R$ 4.000,00 mensais nos 4 meses seguintes ao semestre. Se esse fluxo de poupança for
depositado mensalmente num fundo que rende 2,5% a.m., determinar quanto essa pessoa terá acumulado ao final de
10 meses:
6. Um carro é vendido em 8 prestações mensais. As prestações de ordem ímpar são iguais a R$ 1.000,00, enquanto
as de ordem par são iguais a R$ 2.000,00. Considerando-se a taxa de juros de 2% a.m., qual o preço a vista?
Anuidades perpétuas:
São anuidades de duração ilimitada. No caso de uma série infinita, determina-se unicamente o seu valor presente.
O cálculo do valor presente é efetuado pela somatória do valor atualizado de cada um de seus termos:
PV = i
PMT
Exemplo: Se um apartamento está recebendo um aluguel de R$ 500,00 por mês e se a taxa da melhor aplicação no
mercado financeiro é de 1% a.m., qual seria uma estimativa do valor do imóvel?
Exercícios:
1) Uma loja anuncia a venda de uma geladeira em 12 prestações mensais de R$ 2.550,00, sendo que o primeiro
pagamento ocorrerá no ato da compra. Determine o preço a vista, sabendo que a loja cobra 6% a.m de juros:
2) Um televisor no valor de R$ 39.000,00 será pago em 10 prestações mensais antecipadas. Qual o valor das
prestações sabendo que a loja cobra 4% a.m. de juros?
3) Depositando R$ 2.620,00 no início de cada mês em uma instituição que paga juros de 5% a.m., qual será o
montante no final de 30 meses?
4) Quanto deverá ser depositado no início de cada período para obter um montante de R$ 305.200,00, no final de 30
períodos, a uma taxa de 5% a.m.?
5) Uma pessoa deposita mensalmente o valor de R$ 500,00 numa caderneta de poupança, que paga uma taxa de
2,5107% ao trimestre. Considerando renda antecipada e capitalização composta, qual é o montante após um ano?
6) Na venda de um automóvel, a revendedora propõe o seguinte:
a) entrada de R$ 12.000,00 mais 12 prestações de R$ 2.000,00
b) entrada de R$ 12.000,00 mais 8 prestações mensais de R$ 4.000,00, iniciando 5 meses após a venda.
Qual é a melhor alternativa se a taxa de juros é 13% a.m.?
7) Um televisor custa R$ 9.850,00 a vista; se o cliente pretende pagar em 5 prestações mensais sem entrada, a
primeira paga 5 meses após a compra, e a loja cobra 5% a.m. de juros, qual o valor de cada prestação?
8) Uma casa comercial vende um televisor em seis pagamentos mensais de R$ 180,00 cada, sendo o primeiro no ato
da compra. Se a taxa de juro é de 12% a.m., qual o valor do televisor a vista?
9) Uma empresa comprou uma máquina e financiou o seu valor em 6 prestações mensais de R$ 15.000,00 cada, com
três meses de carência. Se a taxa cobrada no financiamento é de 8% a.m., qual o valor da máquina à vista?
10) Uma empresa compra uma máquina pagando R$ 40.000,00 no ato e financiando o restante da seguinte maneira:
12 prestações mensais de R$ 20.000,00 cada, no primeiro ano e 12 prestações mensais de R$ 30.000,00, no segundo
ano.Qual o valor da máquina à vista, se a taxa de juros do financiamento é de 5%?
11) Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se propõe a depositar, no início de cada mês,
durante três anos consecutivos, R$ 200,00, numa instituição financeira que credita juro mensalmente à taxa de 3%
a.m. Qual o saldo da conta no final do quinto ano, a partir do primeiro depósito?
12) Uma dívida, no valor de R$ 9159,40 vai ser paga em 5 prestações mensais iguais e consecutivas, a primeira
vencendo ao completar 3 meses da data de contrato. Os juros são compostos, à taxa de 3% ao mês. O valor de cada
prestação deve ser:
13) Para constituir uma aposentadoria, uma pessoa propõe depositar, no final de cada mês, R$ 500,00 durante 7
anos consecutivos. Qual a importância que pode retirar, mensalmente, a partir do final do primeiro mês do 8º ano,
durante também 7 anos, se a taxa de juro é 2% a.m.?
14) Desejando constituir uma poupança, uma pessoa deposita R$ 100,00 no final de cada mês, durante 2 anos
consecutivos. Qual será o saldo da conta no final do terceiro ano, se a taxa de juro é de 4% a.m?
Respostas:
1) R$ 22 661,53 2) R$ 4 623,41 3) R$ 182 773,27 4) R$ 4 374,95
5) R$ 6 333,76 6) a) R$ 23 835,29 b )R$ 23 772,70
7) R$ 2765,40 8) R$ 828,26 9) R$ 55 046,86 10) R$ 365 326,73
11) R$ 26 497, 15 12) R$ 2 121,80 13) R$ 2 638,66 14) R$ 6 257,25
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1.São efetuados, a partir do final do primeiro mês, 12 depósitos mensais de R$ 900,00 num fundo de investimento
que paga juros de 1,85%a.m. Calcular o montante acumulado ao final dos seguintes meses:
a) 12º b) 24º Respostas: a) R$ 11.969,57 b) R$ 14.914,60
2. Um terreno é vendido por R$ 20.000,00 a vista, ou por 40% de entrada e o restante em 12 prestações mensais.
Para uma taxa de 2,5% a.m., determinar o valor de cada prestação mensal. Resposta: R$ 1.169,85
3.Uma pessoa deve a outra 15 pagamentos mensais de R$ 2.400,00. Até o final do 6º mês não havia efetuado
nenhum pagamento. Nesta data o devedor procura o credor e decide liquidar toda sua dívida. Para uma taxa de juros
de 3,7% a.m., determinar quanto foi pago: Resposta: R$ 33.890,84
4. Um sítio é vendido nas seguintes condições:
a) Entrada de R$ 30.000,00
b) 20 prestações mensais de R$ 1100,00 cada, vencendo a primeira daqui a 30 dias.
c) 6 prestações semestrais de R$ 7.500,00cada, vencíveis a partir do final do 3º mês.
Sendo 2,5% a.m. a taxa de juros, determinar até que prrço é interessante adquirir esse sítio a vista:
Resposta: R$ 76.932,70
5.Um depósito de R$ 8.000,00 é efetuado num fundo de poupança que rende juros de 2,1% a.m . Após 5 meses, o
depositante decide retirar sua poupança em 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira 30 dias
após. Admitindo a manutenção da mesma taxa de juros para todo o período, determinar o valor das parcelas que
serão sacadas.
Resposta: R$ 844,48
6. Um financiamento no valor de R$ 6.800,00 é concedido para pagamento em 10 prestações mensais e iguais com 2
meses de carência. Sendo 3,6% a.m. a taxa de juros, calcular o valor de cada pagamento mensal:
Resposta: R$ 882,00
7. Um empresário tomou um financiamento de R$ 75 000,00, para ser pago em 15 prestações mensais, iguais e
postecipadas a uma taxa de 1% a.m. Imediatamente após o nono pagamento, o empresário propôs uma renegociação
ao banco, que aceitou refinanciar a dívida em 12 prestações mensais, todas de mesmo valor, a serem pagas no fim do
décimo mês. Determine o valor das novas prestações mensais, sabendo que a taxa de juros da operação permanece a
mesma. Resposta: R$ 2785,35
8. Uma pessoa faz depósitos mensais durante três anos numa instituição financeira que paga 1% a.m. de juros. No
primeiro ano, seus depósitos são de R$ 3000,00. No segundo ano, são de R$ 5 000,00 e no terceiro ano, são de
R$ 8 000,00. Qual é o seu montante, no final do terceiro ano, após fazer o 36º depósito?
Resposta: R$ 221 225,07