1

Relembrando Conceitos

Para comecar nosso estudo, vamos recordar alguns conceitos importantes que voce podera utilizar, vejaa lista abaixo:

1. a(b + c) = ab + ac −→ Propridade Distributiva2. x + x = 2x −→ Soma de termos semelhantes3. x.x = x2 −→ Produto de termos semelhantes4. 1.x2 = x2 −→ Elemento neutro da multiplicacao5. x1 = x −→ Quando o expoente e 1 resulta na propria base6. Soma dos lados de um polıgono −→ Perımetro7. M.M.C (Mınimo Multiplo Comum) −→ O menor multiplo comum de dois ou mais numeros, diferente de zero, e chamado de mınimo multiplo comum desses numeros.

Notacoes

N = Numeros NaturaisR = Numeros ReaisZ = InteirosQ = Numeros RacionaisQ+ = Numeros racionais positivosU = Conjunto UniversoV = Conjunto Verdade∅ = Conjunto Vazio⇔ = Equivalencia⇒ = Implica6= = Diferente (Nao e igual a)∈ = Pertence< = Menor6 = Menor igual> = Maior> = Maior igual

Do que se trata o capıtulo

� Transformar um problema ou situacao numa linguagem matematica;

� O que e uma equacao de 1o grau e como resolve – la;

� Calcular o valor numerico de uma equacao;

� Usar diferentes metodos para resolucao de equacao de 1o grau;

� Identificar se uma equacao possui ou nao uma solucao.

2

1.1 Equacao de primeiro grau

Vamos analisar o seguinte problema:

Pedro e Joao estavam brincando com uma balanca, Pedro colocou de um ladoum peso de 3g mais uma lata que estava sem rotulo e nao sabiam qual era seupeso. Joao colocou um peso de 50g do outro lado e perceberam que a balancase equilibrou, com isso eles se perguntaram, qual era o peso da lata para abalanca estar equilibrada?

Antes de responder essa pergunta, vamos aprender um pouco.

Uma equacao de 1◦ grau tem como caracterıstica a juncao de letras e numeros,para o termo desconhecido sao usadas letras do nosso alfabeto, chamadas deincognitas, as mais utilizadas sao: x, y e z. Os numeros sao chamados decoeficientes quando acompanham alguma letra, e constantes caso estejam”sozinhos”. Assim, as incognitas e numeros juntos, formam uma equacao,dentro delas temos sinais operatorios como: adicao, subtracao, multiplicacaoe divisao. O sinal de igualdade divide a equacao em dois membros, onde oobjetivo geralmente e separar os elementos variaveis dos elementos constantes,fazemos isto somando ou subtraindo, multiplicando ou dividindo em ambos osmembros da equacao.

Chamamos equacao de primeiro grau toda equacao do tipo

ax + b = 0

onde a e b sao numeros reais, e a nao nulo.

Voltando a situacao do inıcio do capıtulo, vamos transformar o problemanuma linguagem matematica. Para isso, precisamos saber todos os dados doproblema:

Chamaremos o peso da lata de x.Seguindo o que esta descrito no texto temos: O peso da lata + 3 g = 50 gComo o peso da lata e x, formaremos a seguinte equacao matematica:

x + 3 = 50.

Pronto, nossa problema foi traduzido em uma equacao, que sera muito util paraa resolucao do problema. Porem iremos aprender como resolve-la mais adiante.E facil notar que a equacao encontrada nao esta na forma ax + b = 0, poremcom algumas operacoes e possıvel deixa-la nesta forma (que veremos tambemadiante).

Lembre-se

Toda sentenca ma-tematica expressa poruma igualdade, naqual exista uma oumais incognitas, e de-nominada equacao.

3

Eis, a seguir algumas equacoes de primeiro grau com uma incognita:

1. x + 2 = 0

2. 2x + 3 = 4

3. x− 5 = 0

Uma equacao de primeiro grau e composta por membros, que sao separadospelo sinal de igual:

x + 3︸ ︷︷ ︸ = 50︸︷︷︸1◦ membro 2◦ membro

Alem disso, cada membro e separado por termos, que sao as partes seguidasde uma letra ou nao:

x︸︷︷︸+ 3︸︷︷︸ = 50︸︷︷︸termo termo termo

Cada termo e formado por incognitas com seus coeficientes e constantes, assimcomo foi dito anteriormente.

A equacao 2., e formada pelos termos 2x, 3 e 4. Os termos 3 e 4 sao constantese o termo 2x e uma incognita com coeficiente 2.

Lembre-se

Como todo numero multi-plicado por 1 e igual a elemesmo, entao x = 1 · xe o coeficiente de x e 1.

1.1.1 Conjunto Universo e Conjunto Verdade

Conjunto Universo e o conjunto de todos os valores que umaequacao pode assumir (sendo validos ou nao). Denotamos pelaletra U .

O conjunto Universo sempre e dado junto com a equacao. Caso nao seja dado,precisamos analisar o problema para definir U , mas se o problema nao possuirinformacoes suficientes, entao assumimos que U = Q.

Vamos voltar ao problema inicial da balanca. Como ele nao nos da o conjuntouniverso, vamos determina-lo a partir das informacoes dadas no problema.Sabemos que o valor da incognita e o peso de uma lata, entao nao podemosatribuir valores negativos a incognita, pois o peso de qualquer objeto nao podeser negativo. Portanto, U = Q+, ou seja, os numeros racionais positivos.x = 0 0 + 2 = 8 Falsox = 1 1 + 2 = 8 Falsox = 3 3 + 2 = 8 Falsox = 6 6 + 2 = 8 Verdadex = 7 7 + 2 = 8 Falso

Agora, vamos tomar a seguinte equacao como exemplo: x+ 2 = 8 e o conjuntouniverso para esta equacao U = {0,1,3,6,7}. Entao, o x da equacao so poderaassumir os valores que estao em U , porem nem todos esses valores sao validos.Vejamos:

4

Como vimos, nem todos os elementos do conjunto satisfazem a equacao. Con-tudo, para os elementos que satisfazem, temos um nome especial: ConjuntoVerdade.

Conjunto Verdade e o conjunto de todos os elementos do Con-junto Universo que satisfazem a equacao dada. Denotamos pelaletra V .

Voltando ao exemplo anterior, podemos concluir que o conjunto verdade eV = {6}

Exercıcio ResolvidoSeja a equacao 2x + 1 = 5 e dado o conjunto universo U = {0,1,2,3,4}, qual eo Conjunto Verdade da equacao?Resolucao:

x = 0 2.0 + 1 = 5 Falsox = 1 2.1 + 1 = 5 Falsox = 2 2.2 + 1 = 5 Verdadex = 3 2.3 + 1 = 5 Falsox = 4 2.4 + 1 = 5 Falso

Como o unico elemento do conjunto universo que satisfaz a equacao e 2, entaoV = {2}

Exercıcio ResolvidoSeja a equacao x + 2 = 3 e dado o conjunto universo U = {−2, 12 ,2}, qual e oConjunto Verdade da equacao?Resolucao:

x = −2 −2 + 2 = 3 Falsox = 1

212 + 2 = 3 Falso

x = 2 2 + 2 = 3 Falso

Neste caso, como nenhum valor do conjunto universo satisfaz a equacao, entaoo conjunto verdade e vazio, ou seja V = ∅.

Para equacoes cujo Conjunto Universo possui infinitos elementos (como U = Z,U = Q, etc.), temos um outro metodo para encontrar o conjunto verdade, quee solucionando a equacao.

1.1.2 Equacoes Equivalentes

Quando uma equacao e dita equivalente a outra, entao os resultados que tornama primeira equacao verdadeira, tambem satisfazem a segunda equacao, e viceversa. Por exemplo, temos as equacoes x + 3 = 7 e x = 4, e ambas saoverdadeiras se substituirmos 4 no lugar do x.

Duas ou mais equacoes sao equivalentes quando elas possuem omesmo conjunto verdade dado um mesmo conjunto universo.

5

Exercıcio ResolvidoDado U = {0,1,1/2,2}. Considere as equacoes 12x = 6 e 4x−1 = 1. Determinese as equacoes sao equivalentes ou nao.Resolucao: Testando os elementos de U nas equacoes, temos:

x Equacao I Equacao II Resultado0 12.0 = 6 4.0− 1 = 1 Falso1 12.1 = 6 4.1− 1 = 1 Falso12 12. 12 = 6 4. 12 − 1 = 1 Verdadeiro2 12.2 = 6 4.2− 1 = 1 Falso

Logo, como 12 esta em U , temos que V = { 12} para ambas as equacoes, e

portanto sao equivalentes.

Exercıcio ResolvidoSejam as equacoes x + 1 = 0 e x + 2 = 3. Dado U = {0,2,4}, descubra se asequacoes sao ou nao equivalentes.Resolucao: Testando os elementos de U nas equacoes, temos:

x Equacao I Equacao II Resultado0 0 + 1 = 0 0 + 2 = 3 Falso2 2 + 1 = 0 2 + 2 = 3 Falso4 4 + 1 = 0 4 + 2 = 3 Falso

Nenhum elemento do conjunto universo satisfaz as equacoes, por isso oconjunto verdade de ambas e V = ∅. Portanto, sao equacoes equivalentes.

Agora, vamos alterar o conjunto universo para U = Z. Neste caso, como foidito antes, para sabermos o conjunto verdade dessa equacao, precisamos saberresolve-la (o que sera visto na proxima secao).

x + 1 = 0⇒ x = −1

x + 2 = 3⇒ x = 1

Visto isso, o conjunto verdade da primeira equacao e V1 = {−1} e dasegunda equacao e V2 = {1}. Logo, as equacoes nao podem ser equivalentesEste exemplo esta aqui para mostrar qie e preciso prestar bastante atencaono conjunto universo para responder se duas ou mais equacoes sao equivalentes.

6

1.1.3 Solucao de equacoes de primeiro grau com uma in-cognita

Resolver uma equacao consiste em realizar operacoes que nos conduzem aequacoes equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem determinaros elementos do conjunto verdade. Os elementos do conjunto verdade saochamados tambem de raızes da equacao.

As operacoes que iremos realizar nas equacoes sao: adicao, subtracao,multiplicacao e divisao. Essas operacoes sao feitas com o intuito de isolar aincognita em um dos lados da igualdade. Tudo o que fazemos em um lado daequacao, tambem fazemos do outro.

Adicao

Quando a incognita esta somada ou subtraıda a uma constanteem um mesmo membro, realizamos a adicao do numero oposto aessa constante em ambos os lados da igualdade.

Exemplo: Seja a equacao x + 2 = 0, para isolar o x na igualdade vamossomar −2 em ambos os lados, obtendo x + 2 + (−2) = −2. Realizando socalculos, temos x = −2. Logo V = {−2} ou a solucao da equacao e −2

Exemplo: Na equacao x − 3 = 2, temos os membros x − 3 e 2. Queremosisolar x do primeiro membro para encontrar a solucao da equacao. Entaovamos somar 3 em ambos os lados da equacao, ficando com x− 3 + 3 = 2 + 3.Somando ou subtraindo as constantes, temos x = 5, que e a solucao daequacao. Tambem podemos dizer que V = {5}.

Multiplicacao

Quando o coeficiente da incognita e diferente de 1, multiplicamosa equacao pelo inverso do coeficiente.

Exemplo: Seja a equacao 2x = 1, para resolve-la, temos que ”isolar”a

incognita. Para isso, vamos multiplicar toda a equacao pelo coeficente1

2:

1

2.2x = 1

2 ⇒ x =1

2. Entao, a solucao da equacao e 1

2 .

Exemplo: Vamos operar com a equacaox

3= 2. Como o coeficiente da

incognita e1

3, vamos multiplicar a equacao por 3:

x

3· 3 = 2 · 3⇒ x = 6. Logo

V = {6}.

Para resolver uma equacao na maior parte dos casos, precisamos usar mais deuma operacao na equacao, para que esta fique do tipo x = a, com a ∈ Q.

Lembre-se

Como x = 1 · x, entao−x = −1 · x, ou seja, ocoeficiente de −x e −1.

7

Agora que sabemos como operar com equacoes, e possıvel resolve-las, entaovamos voltar para o exemplo inicial sobre balancas e latas (enunciado na pagina3). Sabemos que a equacao que traduz o problema e x + 3 = 50 e U = Q+.Queremos descobrir qual o peso da lata, ou seja, quanto vale x. Vamos entaooperar com a equacao:

x + 3 = 50

Ha uma constante somada a incognita, entao a subtraimos em ambos os mem-bros

x + 3− 3 = 50− 3

Resolvendo os calculos com as constantes ficaremos com:

x = 47

Assim, chegamos no nosso objetivo, que era isolar a incognita em um dos ladosda igualdade. Mas, ainda temos que verificar se o valor encontrado pertenceao conjunto universo. Como 47 e um racional nao negativo, entao o valor en-contrado esta dentro de U . Ainda, precisamos fazer a verificacao, substituindono lugar de x o valor encontrado.

47 + 3 = 50⇒ 50 = 50

Apos esses passos, podemos concluir que o valor encontrado e valido, e entaodescobrimos o peso da lata que e 47g.Sempre escrevemos a solucao na forma: S = {x ∈ Q+/x = 47} (descrevendo oconjunto Universo e a solucao encontrada.

Lembre-se

Ao responder um pro-blema dado, devemos sem-pre verificar a consistenciada resposta em relacao aocontexto, alem disso, colo-car a unidade expressa noproblema ou no contexto

8

Exercıcio ResolvidoResolva a equacao 2x− 80 = −20Resolucao: Vamos somar 80 em ambos os termos:

2x− 80 + 80 = −20 + 80

Multiplicando por1

2em ambos os termos:

1

2.2x = 60.

1

2

Resolvendo os calculos:x = 30

Verificando:

2.30− 80 = −20⇒ 60− 80 = −20⇒ −20 = −20

Falta ainda o conjunto Universo, mas como nao ha nenhuma informacao,U = Q. Portanto, a solucao e S = {x ∈ Q/x = 30}

Exercıcio ResolvidoEncontre a solucao da equacao:

2x

3+ 1 =

7

2Resolucao: Multiplicando os dois membros por 6 temos:

6.(2x

3+ 1) = 6.

7

2

Usando a propriedade distributiva no 1◦ membro obtemos

4x+ = 21

Somando −6 em ambos os membros:

4x + 6− 6 = 21− 6

Desfazendos o produto multiplicando ambos os membros por1

4:

1

4.4x =

1

4.15

x =15

4

Verificando:

2. 1543

+ 1 =7

2⇒ 15

2.1

3+ 1 =

7

2⇒ 15

6+

6

6=

7

2⇒ 21

6=

7

2⇒ 7

2=

7

2

Como o conjunto universo e U = Q, entao a solucao e S = {x ∈ Q/x =15

4}

9

1.1.4 Equacoes impossıveis e identidades

Considere a seguinte equacao:

2.(6x− 4) = 3.(4x− 1)

Observe, agora, a sua resolucao:

2.6x− 2.4 = 3.4x− 3.1

12x− 8 = 12x− 3

12x− 12x = −3 + 8

0.x = 5

Como nenhum numero multiplicado por zero e igual a 5, dizemos que a equacaoe impossıvel e, portanto, nao tem solucao. Logo, V = ∅ (Conjunto va-zio). Assim, uma equacao do tipo ax+b = 0 e impossıvel quando a = 0 e b 6= 0.

Considere a seguinte equacao:

10− 3x− 8 = 2− 3x

Observe a sua resolucao:

−3x + 3x = 2− 10 + 8

Colocando os termos nos membros adequados e realizando as opoeracoes devi-das obtemos:

0.x = 0

Como todo numero multiplicado por zero e igual a zero, dizemos que a equacaopossui infinitas solucoes.

Equacoes desse tipo, em que qualquer valor atribuıdo a variaveltorna a equacao verdadeira, sao denominadas identidades

10

1.2 Equacao de primeiro grau com duasincognitas

Um professor de musica quer formar uma banda de rock com 5 integrantes,o grupo sera formado por meninos e meninas. Quantos meninos e quantasmeninas podem compor a banda?Para solucionar esse problema, vamos aprender um pouco.

Uma equacao de 1◦ com duas incognitas reais x e y e umasentenca matematica do tipo ax + by = c, sendo a, b e c numerosreais com a e b diferentes de 0. Ela e chamada de equacao de 1◦

grau, porque as duas incognitas x e y possuem expoente 1.

Exemplos de Equacao de 1◦ grau com duas incognitas

• 2x + y = 5

• y + 3x = 10

• a + 2b = 40

• 3m + 3n = 9

Nao sao Equacoes de 1◦ grau com duas incognitas

• x2 + y = 6

• 3x4 + 4 = 7

1.2.1 Plano Cartesiano

F No sistema cartesiano, ha duas retas numericas perpendiculares chamadasde eixos. O eixo horizontal, chamado de eixo das abscissas, tem seus valorescrescentes da esquerda para a direita. Ja o eixo vertical, chamado de eixo dasordenadas, tem seus valores crescentes de baixo para cima.

F O ponto determinado pelo cruzamento dos dois eixos e chamado deorigem e e representado por O(0,0).

F Os numeros de um par ordenado sao chamados de coordenadas doponto.

1.2.2 Resolucao de uma Equacao de 1◦ grau com duasincognitas

Para resolver este tipo de equacao, podemos primeiramente transformar o pro-blema numa linguagem matematica, desta forma chamaremos os meninos dex e as meninas de y e x + y devem ser igual ao total da banda que e de 5integrantes, portanto: x+ y = 5, esta e a chamada Equacao de 1◦ grau. Nossotrabalho agora e saber quais os valores para as incognitas x e y que satisfacama equacao, os possıveis valores para x sao: 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Entao teremos:

11

• Se x = 0, y = 5

• Se x = 1, y = 4

• Se x = 2, y = 3

• Se x = 3, y = 2

• Se x = 4, y = 1

• Se x = 5, y = 0

Estas solucoes podem ser expressas em pares ordenados: (0,5), (1,4), (2,3),(3,2), (4,1) e (5,0), em que o primeiro numero do par e a quantidade de meninose o segundo e o numeros de meninas, assim, podemos representar estes paresordenados em um plano cartesiano, estes pontos sao os conjuntos solucoes daequacao.Como vimos no exemplo acima, para resolver uma equacao deste tipo, temosque:

• Determinar valores validos para uma das incognitas;

• Substituir o valor determinado na equacao, ficando com uma equacao de1◦ grau com uma incognita;

• Resolver a equacao como ja foi visto anteriormente;

12

Exercıcio ResolvidoDetermine uma solucao para a equacao 2x + 3y = 8.Resolucao: Vamos atribuir um valor para x: x = 1

Agora, substituindo na equacao ficamos com: 2.1 + 3y = 8

Resolvendo a equacao:

2 + 3y = 8⇒ 2 + 3y − 2 = 8− 2⇒ 3y = 6⇒ 3y.1

3=

6

3⇒ y = 2

Verificando se o par (1,2) satisfaz a equacao:

2.1 + 3.2 = 8⇒ 2 + 6 = 8⇒ 8 = 8

Portanto, o par e valido, ou seja (1,2) forma uma solucao para a equacao.

13

1.2.3 Sistemas de duas Equacao de 1◦ com duas incognitas

Num final de semana, Joao e Marialevaram os filhos e seus sobrinhos paraa um circo, na entrada do circo, ha-via um cartaz dizendo que adultospagavam R$25,00 e criancas ate 14anos, pagavam R$18,00 compraram aotodo 7 ingressos e pagaram R$147,00.Quantos ingressos de cada tipo foramcomprados?

Neste tipo de problema, usaremos a ideia da Equacao de 1◦ grau com duasincognitas, a diferenca e que aqui teremos 2 Equacoes de 1◦ grau, por essemotivo e dado o nome de sistema de equacoes, pois a solucao agora deve satis-fazer as duas equacoes encontradas. Veja abaixo essas equacoes traduzidas emlinguagem matematica. {

x + y = 725x + 18y = 147

Para resolver este tipo de sistema, temos alguns metodos de resolucao, um delesmenos utilizado e por tentativa e erro, onde a ideia central e atribuir valorespara o par ordenado (x,y), que deve ser solucao para as duas equacoes. Mostra-remos aqui mais duas resolucoes do sistema de equacoes, o primeiro mostrado eo metodo da substituicao e o outro e o metodo da Adicao. E interessante conhe-cer a formas diferentes de resolver um sistema. Assim, pode-se escolher a formamais adequada a uma situacao. De qualquer forma, independente do caminhoque escolher, o importante e fazer a verificacao dos valores encontrados.

14

Metodo da Substituicao

Vamos resolver o problema acima pelo metodo da substituicao, para lembrar aequacao, temos: {

x + y = 7 [1]25x + 18y = 147 [2]

Inicialmente, isolamos uma das incognitas (x ou y). Podemos escolherqualquer uma das duas equacoes. Neste caso, escolhemos a incognita y paraser isolada equacao [1].

x + y = 7⇒ y = 7− x

Em seguida, substituimos a incognita isolada na outra equacao.Neste exemplo, substituımos y por 7 − x na equacao [2] e obtemos umaequacao com apenas uma incognita.

25x + 18(7− x) = 147 (propriedade distributiva)

25x + 126− 18x = 147

7x = 21

x =21

7

x = 3

Agora basta substituir o valor da incognita encontrado no passoanterior em qualquer uma das equacoes iniciais do sistema para obtero valor da outra incognita. Neste caso, vamos substituir x na equacao [1]

y = 7− 3⇒ y = 4

Para verificar se o resultado encontrado esta correto, basta substituir os va-lores de x e y na primeira e segunda equacao.{

x + y = 7 ⇒ 3 + 4 = 7 ⇒ 7 = 7 (Verdade)25x + 18y = 147 ⇒ 25.3 + 18.4 = 147 ⇒ 147 = 147 (Verdade)

Logo, o par ordenoado satisfaz as duas equacoes simultaneamente,e o conjuntoSolucao e S = (3,4)

15

Metodo da Adicao

Vamos resolver o mesmo sistema do exemplo inicial agora com o metodo daadicao. Esse metodo tem como objetivo ficar apenas com uma equacao e umaincognita, mas antes devemos prepara-las. Ou seja, multiplicar os dois membrosde cada equacao por um numero conveniente de forma que, ao adicionar asequacoes, uma incognita seja eliminada.{

x + y = 7 [1]25x + 18y = 147 [2]

Multiplicando toda a equacao [1] por −18, obtemos:{−18x + (−18y) = −126 [1]25x + 18y = 147 [2]

Obs:Neste passo, e importante multiplicar por uma constante que, quando somamos

as duas equacoes, uma das incognitas desapareca.

Somando as duas equacoes, temos como resultado uma equacao com apenasuma incognita. {

(−18)x + (−18)y = −12625x + 18y = 147

7x + 0y = 21

Resolvendo a equacao:7x + 0y = 21

x =21

7

7x = 21

x = 3

Substituindo o valor acima determinado (x = 3) em qualquer uma das duasequacoes iniciais do sistema, descobrimos o valor de y.

25x + 18y = 147

25.3 + 18y = 147

75 + 18.y = 147

18y = 147− 75

18y = 72

y =72

18

y = 4

Entao, o par ordenado e o mesmo encontrado acima (3,4) e solucao do sistema.

16

Exercıcio ResolvidoEncontre a solucao para o sistema:{

x + y = 4 [1]2x − 3y = 3 [2]

Resolucao: Vamos utilizar o metodo de substituicao.

Vamos isolar y na equacao [1]:

x + y = 4⇒ y = 4− x

Agora, substituindo y na equacao [2], temos:

2x− 3(4− x) = 3

2x− 12 + 3x = 3

5x− 12 = 3

5x = 3 + 15

x =15

5

x = 3

Como descobrimos o valor de x, vamos substituir na equacao [1] para encontrary:

3 + y = 4⇒ y = 1

Verificando na equacao [1]:

3 + 1 = 4⇒ 4 = 4

Portanto, a solucao do sistema e (3,1).

1.2.4 Representacao Grafica das Solucoes do sistema deequacoes

Toda solucao de uma equacao pode ser representada no plano cartesiano.Desta forma, faremos aqui alguns exemplos envolvendo as solucoes do sistema.Estas solucoes podem ser dividida em 3:

F Quando o sistema possuir apenas uma solucao, as retas formadas pe-los pontos do grafico sao concorrentes.

F Quando o sistema tem apenas solucao vazia, as retas formadas pelospontos do grafico sao paralelas.

F Quando o sistema tiver infinitas solucoes, as retas sao coincidentes.

Observe os exemplos abaixo:

17

Exercıcio ResolvidoResolva o sistema graficamente:{

x − y = 2 [1]x + y = 13 [2]

Resolucao: Faremos uma tabela para os valores da incognita x e encontrar ovalor de y. Para a equacao [1], vamos atribuir x = 3 , x = 4 e x = 5.

x− y = 2x y (x,y)3 1 (3,1)4 2 (4,2)5 3 (5,3)

Para a equacao [2], tomemos x = 3, x = 4 e x = 5:

2x + y = 13x y (x,y)3 7 (3,7)4 5 (4,5)5 3 (5,3)

Marcamos os pontos de cada uma das retas no grafico a seguir

As retas sao concorrentes e se cruzam no ponto (5,3). Entao, o par ordenadoe solucao do sistema.

18

Exercıcio ResolvidoResolva o seguinte sistema graficamente:{

x + y = 3x + y = 0

Resolucao: Resolvendo a primeira equacao, temos:

x + y = 3x y (x,y)0 3 (0,3)3 0 (3,0)

Resolvendo a segunda equacao, temos:

x + y = 0x y (x,y)0 0 (0,0)1 -1 (1,-1)

Neste exemplo, as retas que representam as solucoes das equacoes sao paralelas.Isso significa que elas nao tem nenhum ponto em comum. Ou seja, a solucaodo sistema e vazia (S = ∅).

19

Exercıcio ResolvidoVamos resolver o sistema graficamente:{

x + 2y = 32x + 4y = 2

Resolucao: Encontrando os pares ordenados que formam solucao para a pri-meira equacao:

x + 2y = 30 1

2 (0, 12 )1 0 (1,0)

Agora, vamos encontrar os pares ordenados que formam solucao para a segundaequacao:

2x + 4y = 2x y (x,y)3 -1 (3,-1)1 0 (1,0)

Neste exemplo, as retas que representam as solucoes das equacoes sao coinci-dentes. Isso significa que elas possuem infinitos pontos em comum. Portanto,o sistema tem infinitas solucoes.

Exercıcios Propostos

1. Enunciado facil2. Enunciado medio3. Enunciado difıcil

20

asdjlaksjdsakldjasdjlaksjdsakldjasdjlaksjdsakldjasdjlaksjdsakldjasdjlaksjdsakldjasdjlaksjdsakldjasdjlaksjdsakldjasdjlaksjdsakldjasdjlaksjdsakldjasdjlaksjdsakldjasdjlaksjdsakldjasdjlaksjdsakldj

Passo 1asdjlaksjdsakldj

PAsso 2asdjlaksjdsakldj

PAsso 3asdjlaksjdsakldj

PAsso 4asdjlaksjdsakldj

Agora e a sua vez!

problemaproblemaproblemaproblemaproblemaproblemaproblemaproblemaproblema

21

Exercıcios

1. Enunciado facil2. Enunciado medio3. Enunciado difıcil1. Enunciado facil2. Enunciado medio3. Enunciado difıcil1. Enunciado facil2. Enunciado medio3. Enunciado difıcil1. Enunciado facil2. Enunciado medio3. Enunciado difıcil

Desafio

Teste seu conhecimento

Assunto 1

saujdaskjdnskadaksasjkdasldksakd,sda

Assunto 2

saujdaskjdnskadaksasjkdasldksakd,sda

Assunto 3

saujdaskjdnskadaksasjkdasldksakd,sda

Assunto 4

saujdaskjdnskadaksasjkdasldksakd,sda

22

Vamos colocar em pratica os conhecimentos adquiridos atraves de um jogo muito conhecido: DOMINO. Sua prin-cipal regra e: combinar numeros iguais. Nesta versao porem, vamos combinar equacoes equivalentes.

Regras do jogo:

• Cada jogador (ou grupo) deve escolher 7 pecas ao acaso.

• O primeiro jogador (ou grupo) pode ser definido atraves de dados, ou acordo entre os jogadores.

• Em cada rodada, deve ser colocada uma peca com a equacao equivalente a um dos dois lados livres.

• Quando um jogador (ou grupo) nao possui pecas validas para jogar, passa sua vez, ou caso seja possıvel,compra pecas ate obter uma valida.

• Ganha aquele que colocar todas as suas pecas na mesa primeiro.

Abaixo ha um modelo de domino de equacoes para voce jogar. Considere o conjunto universo para todas asequacoes sendo U = Q

Nao se esqueca de calcular as equacoes com atencao!

Divirta-se!

23