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1. Objetivo

Esta pratica tem por objetivo modelar um sistema massa-mola atravs de

equaes diferencias ordinrias resolvidas pelo mtodo de Runge-Kutta de quarta

ordem.

.

2. Introduo

No estudo das equaes diferenciais ordinrias, muito comum a recorrncia de sistemas envolvendo osciladores harmnicos como recurso didtico para interpretao fsica de equaes.

No caso de sistema massa-mola, normalmente os problemas so inicialmente apresentados como movimento harmnico simples e posteriormente para dar realismo ao sistema, so introduzidas fora de atrito e fora peridica.

3. Procedimento

Inicialmente uma mola ideal de massa desprezvel acoplada a um ponto fixo

em uma extremidade e a um corpo rgido M de massa m na outra. A mola pode se

estender e contrair sob o eixo x como abaixo ilustrado.

Em (a) o bloco M representado em repouso. Como a fora normal e fora

gravitacional e se anulam. A equao que ilustra a situao apresentada a seguir:

Figura 1 - Sistema massa-mola

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Equao 1 - Equilbrio esttico do sistema

Em (b), o corpo em repouso na marca X0 deslocado e fixado at a posio

X. Como neste momento a mola tende a se contrair, associada ao sistema uma fora

F relacionada Lei de Hook.

O corpo ento solto e comea a se movimentar quando a fora de atrito Fa

age sobre o bloco sempre contrrio ao movimento. Esta fora proporcional a

velocidade e sua constante depende da viscosidade do meio.

Em alguns casos uma fora externa, peridica e senoidal Fe de frequncia

inserida no sistema. Considerando esta e as demais foras, a equao que representa o

movimento do bloco obtida atravs da 2 Lei de Newton deduzida seguir e

representada pela equao 3:

De acordo com a ultima equao, se tomados e F0 iguais zero, o sistema

descrito como movimento harmnico simples no qual a soma da energia cintica e

elstica da mola se conserva fazendo com que o bloco oscile eternamente. A soluo

geral dada pela equao 5 na qual A representa a amplitude:

Equao 2 2 Lei de Newton aplicado ao sistema massa mola

Equao 3 2 Lei de Newton aplicado ao sistema massa mola

Definio da frequncia natural do sistema

Equao 4 - Equao do movimento amortecido do sistema massa-mola

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Caso a fora o atrito seja considerada no sistema, a soluo geral resolvida pelo

mtodo dos coeficientes a determinar expressa pela equao 6. Dependendo do valor

de , o sistema poder apresentar trs comportamentos distintos:

i) Se < 2, ento o sistema do tipo sub-amortecido, no qual a amplitude diminui com o passar do tempo.

ii) Se = 2, ento o sistema do tipo criticamente-amortecido crtico, no qual o sistema no oscila e apenas retorna a posio de equilbrio.

iii) Se > 2, ento o sistema do tipo super-amortecido, no qual o sistema no oscila e apenas retorna a posio de equilbrio de maneira mais

lenta quando comparado ao caso anterior.

Equao 5 Posio em funo do tempo para M.H.S

Figura 3 - Elongao de um objeto que executa oscilaes amortecidas, em funo do tempo. (a) oscilaes sub-amortecidas, (b) oscilaes com amortecimento crtico e (c) oscilaes com super-amortecimento. Nos casos (b) e (c) no existe nenhuma frequncia angular associada ao movimento

Figura 2 Movimento harmnico simples

Equao 6 Movimento harmnico amortecido

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Se considerado a fora externa Fe ao sistema, a soluo geral dada pela

equao 7. Neste caso, a amplitude A depende de outros fatores como representado na

equao 8 a seguir:

Curiosamente a equao 8 indica que se muito pequeno e e 0 so

prximos entre si, o denominador da expresso aumenta fazendo com que a amplitude

do sistema aumente com o passar do tempo pelo fenmeno de ressonncia.

Apesar da equao 3 possuir soluo analtica como apresentado, neste trabalho

ser empregado o mtodo numrico Runge-Kutta de quarta ordem. A explicao

detalhada do fundamento terico deste mtodo extensa demais para ser apresentada

neste relatrio. Entretanto a leitura a atenta do cdigo fonte j suficiente para entender

na prtica o seu funcionamento.

Figura 4- Amplitude das oscilaes foradas em funo da frequncia da fora

Equao 7 - Movimento harmnico amortecido forado

Equao 8 Constante do sistema amortecido forado

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Por hora preciso saber que por empregar uma expanso em srie de Taylor e

ser um processo numrico, o mtodo Runge-Kutta apresenta erros de truncamento,

arredondamento e aproximao.

4. Cdigo Fonte:

O cdigo escrito em Fortran 90 pelo professor Dr. Carlos Felipe Saraiva

Pinheiro foi adaptado para este projeto. Aps a execuo da rotina os resultados so

gerados no terminal que podem ser transferidos para um arquivo de dados.

Para cada situao, a parte que contm o modulo constantes adaptada

trocando-se os dados.

01 module constantes 02 implicit none 03 real, parameter :: k = 100.0, m=1.00, x0=0.0, v0=1.0 & 04 A = 0.1 05 real :: omgz = (k/m)**0.5, omg = 0.01*(k/m)**0.5, ro = 0.00*2*(k*m)**.5 06 end module constantes 07 module derivadas ! Um modulo para definir as funcoes derivadas 08 !Esse modulo deve ser usado na subrotina que ira resolver seu sistema de EDOs 09 implicit none 10 contains 11 function f(s,z) !Aqui sao definidas as funcoes derivadas 12 use constantes 13 implicit none 14 real :: s !variavel independente 15 real :: z(2) ! vetor com variaveis dependentes 16 real :: f(2) ! cada f corresponde ao lado direito da EDO de z dz/dx = f 17 f(1) = z(2) !v 18 f(2) = -z(1)*omgz**2 -ro*z(2)/m + A/m * sin(omg*s) 19 end function f 20 end module derivadas 21 module runge_kutta_4 22 implicit none 23 contains 24 subroutine rk4(h,t,y0,y) !Aqui estao os procedimentos para a solucao 25 use derivadas ! Esse deve ser o modulo com as funcoes derivadas f 26 implicit none 27 real :: y(:,:) !variaveis dependentes e derivadas 28 real :: h !tamanho do passo 29 real :: t(:) !vetor de valores da variavel independente 30 real :: y0(:) !condicoes iniciais 31 integer :: Npassos, Neqs !No. de passos e No. de equacoes 32 integer :: i 33 real, allocatable, dimension(:) :: k1,k2,k3,k4 34 Npassos = size(t) 35 Neqs = size(y0) 36 allocate ( k1(Neqs), k2(Neqs), k3(Neqs), k4(Neqs)) 37 y(:,1)=y0 ! valores iniciais 38 do i=1, Npassos-1 39 k1 = f(t(i),y(:,i)) 40 k2 = f( t(i)+h/2.0, y(:,i) + (h/2.0)*k1 ) 41 k3 = f( t(i)+h/2.0, y(:,i) + (h/2.0)*k2 ) 42 k4 = f( t(i)+h, y(:,i) + h*k3 ) 43 y(:,i+1) = y(:,i) + (h/6.0)*(k1+2*k2+2*k3+k4) 44 end do

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45 end subroutine rk4 46 end module runge_kutta_4 47 program passing 48 use constantes 49 use runge_kutta_4 50 implicit none 51 real,parameter :: dt=0.005 52 integer, parameter :: Npts=2000+1 53 real :: yinit(2) 54 real :: y(2,Npts) 55 integer :: i 56 real :: t(Npts) 57 t(1) = 0.0 58 do i = 2,Npts 59 t(i) = t(i-1)+dt 60 end do 61 yinit(1) = x0 62 yinit(2) = v0 63 call rk4(dt,t,yinit,y) 64 do i=1,Npts 65 write(*,100) t(i), y(1,i), y(2,i) 66 enddo 67 100 format(f7.4,3x,f7.4,3x,f7.4) 68 end program passing

5. Resultados e discusses:

Aps a compilao e execuo da rotina, a simulao revela diferentes

comportamentos oscilatrios das funes apresentadas a seguir.

Para movimento harmnico simples, a funo corresponde a equao 5. Como a

nica fora envolvida a fora da mola, o bloco oscila livremente e eternamente sem

perda de energia mecnica.

Figura 5 M.H.S e M.H.A com V0 = 25.0, A = 0.0, k =100.0, m = 1.0, X0 = 0.0 e ro = 0.0 para M.H.S e ro = 0.1 * 2*(k*m)**0.5 para M.H.A

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Quando considerado um pequeno para causar atrito, o movimento passa a

ser do tipo movimento harmnico sub-amortecido como previsto na equao 6. Neste

caso, a viscosidade do meio em que o bloco transita faz com que a energia mecnica se

transforme em energia trmica e sonora gradativamente.

Nos dois casos os perodos so os mesmos, mas a amplitude e a velocidade de

deslocamento do bloco no M.H.A decresce com passar do tempo enquanto no M.H.S

essas grandezas permanecem constantes.

A diferena entre as equaes 5 e 6 um termo exponencial que faz com que no

M.H.A a amplitude diminua com o tempo. Quando este termo graficamente

representado, visto que ele limita o deslocamento do bloco na equao.

Como a teoria revela ainda que para diferentes valores da constante implica

em comportamentos diferentes em torno do valore de 2. Os trs possveis casos so representados graficamente. A medida que o meio fica mais viscoso ( aumenta),

o bloco perde mais energia mecnica. Se 2, o bloco no oscila em torno de X0 como visto na figura 7 a seguir.

Figura 6 - M.H.A com V0 = 5.0, A = 0.0, k =100.0, m = 1.0, X0 = 0.0 e ro = 0.1 * 2*(k*m)**0.5.

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At o momento, o valor da constante A no cdigo que representa F0 na

equao 4 permaneceu igual a zero para que a fora peridica externa no atuasse no

sistema. Quando pequeno, a diferena entre e e 0 passa a ditar o

comportamento do movimento do bloco.

Figura 7 - M.H.A com V0 = 25.0, A = 0.0, k =100.0, m = 1.0, X0 = 0.0 e variados valores de ro.

Figura 8 Movimento harmnico forado e amortecido com V0 = 5.0, A = 10.0, k =100.0, m = 1.0, X0 = 0.0, ro = 0.001 * 2*(k*m)**0.5 e variados valores de omg

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Para = 1% 0 a onda muito se aproxima de M.H.A. Se = 99% 0 a

amplitude cresce linearmente como previsto no comportamento de ressonncia. Para

demais valores, a fora externa atua como sinal modulador no qual em = 110% 0 a

onda tem um comportamento tpico de fenmeno de batimento.

Como demostrado, a equao do sistema massa-mola resolvida por Runge-Kutta

de quarta ordem est de acordo com o modelo terico.

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6. Referncias Bibliogrficas

Duarte, J.L., Appoloni, C.R., Toginho Filho, D.O.,Zapparoli, F.V.D.,Roteiros

de LaboratrioLaboratrio de Fsica Geral I 1a Parte, Londrina, 2002.

Brito e Cavalcante, C. H, Guia para Fsica Experimental, Caderno de

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Bertoldi, N.M Franco, Clculo Nmerico, Pearson Brasil, 2006.

Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. Fundamentos de Fsica 2 - So Paulo:

Livros Tcnicos e Cientficos Editora, 4a Edio, 1996.