relatório 4 - molas - data 23-09-2011

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

"JÚLIO DE MESQUITA FILHO"

Faculdade de Ciências de Bauru

Licenciatura em Física

EXPERIMENTO 4:Molas.

BAURU - 2011



Faculdade de Ciências de Bauru

Licenciatura em Física

EXPERIMENTO 4:Molas.

Equipe Técnica:

Levy Alvarenga | R.A.: 11021489

Carlos Sales de Oliveira | R.A.: 11024356

Fernando Meneses de Carvalho | R.A.: 11026057

Fernando Luis de Souza | R.A.: 11024331

BAURU - 2011



SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO...………………………………………………………… .......……….............2 OBJETIVOS................................................................................................................................

3 EXPERIMENTAL ……………………………………………………………......……...........

3.1 MATERIAIS E MÉTODOS……………………………………………...................

3.2 PROCEDIMENTO ……………………………………………….....………............

3.3 RESULTADOS E DISCUSSÃO...............................................................................

CONCLUSÃO................................................................................................................................

REFERÊNCIAS ………………………………………………………………… .....…...............

LISTA DE FIGURAS....................................................................................................................

0407

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11



1 INTRODUÇÃO

O oscilador harmônico simples é um dos primeiros sistemas que estudamos na

Mecânica Clássica e também um dos mais importantes. Uma de suas realizaçõesexperimentais mais simples é por meio de uma massa m ligada a uma mola ideal de

constante elástica k. A mola exerce sobre a massa uma força restauradora F = - kx (Lei

de Hooke) sempre que a partícula sofre um deslocamento x, medido a partir da posição

em que a mola está relaxada. O sistema é descrito por uma energia potencial V(x) = 1/2

kx², e as soluções da equação de movimento de Newton são funções x(t) que oscilam no

tempo com a freqüência natural do oscilador, ω = √(κ/m). A importância do oscilador

harmônico na Física Clássica vai muito além do sistema massa-mola. Oscilações

harmônicas surgem em uma imensa variedade de sistemas: pêndulo, fluidos, circuitos

eletromagnéticos etc.

Um sistema “massa-mola” quântico é definido por uma partícula quântica de

massa m sob ação de um potencial da forma V(x) = 1/2 kx², Assim como na Física

Clássica, o oscilador harmônico também tem uma importância fundamental na

Mecânica Quântica. O motivo para isso é que sempre podemos aproximar o ponto de

equilíbrio de um potencial qualquer, V(x), pelo potencial parabólico do oscilador

harmônico. Graficamente, isso significa encontrar a parábola que melhor se ajusta ao

potencial em torno do mínimo. Se a energia total da partícula for suficientemente

pequena, de modo que a partícula passa a maior parte do tempo em torno do mínimo,

onde a parábola é uma boa aproximação à curva de energia potencial, o sistema será

aproximadamente harmônico.

Todo o movimento que se repete a intervalos regulares é chamado de

movimento periódico ou movimento harmônico. No momento estamos interessados em

um movimento que se repete de um modo particular. Esse tipo de movimento que

estamos interessados é o deslocamento x da partícula em relação à origem é dado por

uma função do tempo da forma.

x(t) = xm cos(ω t+ φ) (deslocamento), equação 1

Onde xm ω e φ são constantes. Esse movimento é chamado de movimento

harmônico simples (MHS), uma expressa que significa que o movimento periódico é

uma função senoidal do tempo. O gráfico da equação 1, na qual a função senoidal é uma

função co-seno, aparece na Figura 1.



Figura 01: Gráfico da equação 1, fonte: Halliday

As grandezas que determinam a forma do gráfico são mostradas na Figura 2 com

os respectivos nomes. Vamos agora definir essas grandezas.

Figura 02: Nomes das grandezas da equação 1, que descreve o movimento harmônico simples; fonte:

Halliday.

A grandeza xm denominada amplitude do movimento, é uma constante positiva

cujo valor depende do modo como o movimento foi produzido. O índice m indica o

valor máximo, já que a amplitude representa o deslocamento máximo da partícula em

um dos sentidos. A função co-seno da Equação 1 varia entre os limite + - 1; assim o

deslocamento x(t) varia entre os limites + - xm..

A grandeza depende do tempo (ω t+ φ) da Equação 1 é chamada de fase do

movimento, e a constante φ é chamada de constante de fase (ou ângulo de fase). O valor

de φ depende do deslocamento e da velocidade da partícula no instante t = 0.

Para interpretar a constante ω, denominada freqüência angular do movimento

notamos primeiramente que o deslocamento x(t) deve ser igual a x(t + T) para qualquer

valor de t. para simplificar esta análise, vamos fazer φ =0 na Equação 1. Nesse caso

podemos escrever:



xm cos ωt = xm cos ω(t + T). equação 2

A função co-seno se repete pela primeira vez quando seu argumento (a fase)

aumenta de 2π rad, a

ω(t + T) = ωt + 2π

ωt = 2π

Portanto a freqüência angula é:

ω = 2π/T = 2 πf. equação 3

A unidade de freqüência angular no sistema internacional é o radiano por

segundo. Derivando a equação 3, obtemos uma expressão para a velocidade de uma

partícula em movimento harmônico simples:

v(t) = dx(t)/dt = d[( xm cos (ω t + φ)]/dt

ou

v(t) = - ω xm sen(ω t + φ) (velocidade) equação 4.

Conhecendo a velocidade v(t) do movimento harmônico simples, podemos obter

uma expressão para a aceleração da partícula derivando essa velocidade. Derivando a

equação 4, obtemos:

a(t)= dv(t)/dt = d[(-ω xm sen(ω t + φ)] / dt

ou

a(t) = - ω² xm cos(ω t + φ). (aceleração) equação 5.

Combinando as equações 1 e 5 para obter

a(t) = - ω²x(t) equação 6.

Que é a relação característica do movimento harmônico simples. No MHS, a

aceleração é proporcional ao negativo do deslocamento, e as duas grandezas estão

relacionadas pelo quadrado da freqüência angular.

A lei do movimento harmônico simples: uma vez conhecida a forma como a

aceleração de uma partícula varia com o tempo, podemos usar a segunda lei de Newtonpara descobrir qual é a força que deve agir sobre a partícula para que ela adquira essa

aceleração. Combinando a segunda lei de Newton com a equação 6 encontramos, para o

movimento harmônico simples, a seguinte relação:

F = ma = - (m ω²)x. equação 7

Este resultado, uma força restauradora proporcional ao deslocamento, já foi

encontrado em outro contexto: é a expressão matemática da lei de Hooke, para uma

mola, sendo que neste caso a constante elástica é dada porF = -kx equação8.



K = mω² equação9.

O movimento harmônico simples é o movimento executado por uma partícula

sujeita a uma força proporcional ao deslocamento da partícula e de sinal oposto.

O sistema bloco-mola constitui um oscilador harmônico simples linear (ou,

simplesmente, oscilador linear), onde o termo “linear” indica que F é proporcional a x e

não a alguma outra potência de x. a freqüência angular ω do movimento harmônico

simples do bloco está relacionada à constante elástica k e à massa m do bloco pela

equação 9, que nos dá

ω = (freqüência angular). Equação10

Combinando a equação 3 e a equação 10 podemos escrever, para o período dooscilador linear:

T = 2 π (período). Equação11

De acordo com as equações 10 e 11, uma grande freqüência angular (e, portanto,

um pequeno período) está associada a uma mola rígida (k elevado) e a um bloco leve (m

pequeno). Todo sistema oscilatório, seja ele um trampolim ou uma corda de violino,

possui certa “elasticidade” e certa “inércia” e, portanto, se parece com um oscilador linear. No oscilador linear esses movimentos estão concentrados em partes diferentes do

sistema: a elasticidade esta inteiramente na mola, cuja massa desprezamos, e a inércia

esta inteiramente no bloco, cuja elasticidade é ignorada.

2 OBJETIVO

Demonstrar experimentalmente a lei de Hooke e determinar a constante elástica

através dos métodos dinâmicos e estáticos de duas molas, cada uma individualmente.

Comparar o resultado obtido experimentalmente com o teórico.



3 EXPERIMENTAL

3.1 MATERIAIS E MÉTODOS

Cronômetro;

Mola;

Régua;

Suporte para pendurar a mola;

5 massas de tração cada uma pesando aproximadamente 50g;

3.2 PROCEDIMENTO

Estático: Com ajuda de um suporte foi pendurado uma mola e com uma régua

foi medido a distância inicial, em seguida foi pendurado na ponta da mola com ajuda de

um gancho uma massa de tração de 50 g, logo em seguida foi medido a distância final

da mola (quanto a mola “esticou”). Em seguida repetimos o procedimento anterior só

que dessa vez foi usado uma massa de tração de 100g, e isso foi feito para 150g e 200g.

Dinâmico: O mesmo suporte foi usado para pendurar a mola e com uma massa

de 50g pendurado no extremo da mola a mesma foi puxada para baixo a partir do

equilíbrio do sistema mola + massa, provocando um pequeno deslocamento de

aproximadamente 1 cm, depois ela foi solta e com ajuda de um cronômetro foi marcado

o tempo de 10 oscilações e com isso foi possível obter o período, repetimos esse

procedimento mais duas vezes adquirindo 3 tempos. O mesmo procedimento foi feito

para as massas de 150g e 200g.

Figura 03 – Mola, ponto de equilíbrio. Fonte: internet.



Figura 04 – Mola com massa de tração na ponta. Fonte: internet.

3.3 RESULTADOS E DISCUSSÃO

Tabela 1: Método Estático, massa de tração e espaço inicial e final.

Tabela 1 - Método EstáticoMola 1m (g) 50 100 150 200x (cm) 0,3 2,5 4,8 7,1

Tabela 2: Método Dinâmico, massa de tração, tempo médio e período.

Tabela 2 - Método DinâmicoMola 1m (g) 50 100 150t (s) 2,53 2,31 2,43 4,07 4,16 4,16 5,10 5,09 5,01t médio (s) 2,42 4,13 5,07

T (s) (período) 0,242 0,413 0,507

T²(s) (período) 0,059 0,171 0,257

Estático: Foi determinada a constante da mola fazendo um gráfico do peso

associado à massa m em função do deslocamento x.

Com a equação F = m.g e com os valores das massas de tração somados com a

do suporte multiplicado pela gravidade 980 cm/s² foi encontrado a força. O gráfico

mostra uma reta q corta o eixo y em y= 50.000,00 (coeficiente linear). O coeficiente

angular da reta encontrado é a tg θ = 21654,74. Com esses dados foi possível escrever a

equação da reta F = tgθ.x + b. Onde a tg θ = k (estático).



A equação da reta: F = 21654,74. x + 50.000,00, onde x é o deslocamento da

mola e b = coeficiente linear.

Dinâmico: Foi feito um gráfico de T² (período) em função de m (massa).

O gráfico mostra uma reta que corta o eixo x a 6,25 da origem e corta o eixo y

em y = - 0,025. A tgθ = 24.649,00. Comparando a equação teórica com a equação

experimental foi possível encontrar o K dinâmico da mola. A equação utilizada para faze

esta comparação é a:

Com essa equação é possível encontrar a constante elástica (K dinâmico) da mola e

comparar com o K estático, com todos esses dados é possível encontrar calcular a

porcentagem de erro.

CONCLUSÃO

Depois de comparar a constante elástica da mola no método estático com o

dinâmico foi encontrada uma diferença de aproximadamente 14%. Essa diferença é

devido às condições não serem completamente ideais. Portanto conclui-se que o

objetivo de demonstrar a lei de Hooke e determinar a constante elástica através dos

métodos dinâmico e estático de 2 molas, cada uma individualmente foi concluído com

sucesso.



REFERÊNCIAS

[1] HALLIDAY, DAVID. RESNICK. “Fundamentos da Física”, 8º Edição, 2009;Volume 1.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Gráfico da equação 1, fonte: Halliday............................................................... 05Figura 2 Nomes das grandezas da equação 1, que descreve o movimento harmônico

simples; fonte: Halliday.....................................................................................05

Figura 3 Mola, ponto de equilíbrio. Fonte: internet......................................................... 08Figura 4 Mola com massa de tração na ponta. Fonte: internet......................................... 09

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Método Estático, massa de tração e espaço inicial e final. ............................... 09Tabela 2 Método Dinâmico, massa de tração, tempo médio e período............................ 09

relatório 4 - molas - data 23-09-2011

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