relatório 3º trabalho - kaike e renan

7/21/2019 Relatório 3º Trabalho - Kaike e Renan

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APLICAÇÃO NUMÉRICA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR ECOLÔNIA DAS FORMIGAS NO MATLAB

Kaike Manoel B. do Nascimento a, Renan Gustavo Pacheco Soares b

a, b Pós-Graduando em Engenharia Civil e Ambiental, Área de Concentração Estruturas e Materiais, Universidade Federal de Pernambuco-UFPE, Caruaru, Pernambuco, Brasil,

[email protected] , [email protected]

Resumo: A modelagem matemática computacional tem possibilitado que problemascomplexos de otimização, seja por minimização ou maximização, consigam serresolvidos de maneira rápida, precisa e com baixo esforço manual. Para que todo esseavanço fosse dado, pesquisadores desenvolveram métodos para que os processositerativos fossem melhor guiados desde o seu ponto de partida até o ponto ótimo. Estetrabalho teve como objetivo apresentar a aplicação prática das técnicas de otimização

por Programação Linear e Método da Colônia da Formigas fazendo uso do softwareMatLab para a solução de maximização e minimização de funções objetivo sujeitas a

restrições de igualdade e desigualdade. Após a pesquisa, foi constatada a viabilidade dautilização das técnicas de otimização por Programação Linear e por Colônia daFormigas para solução de problemas de engenharia, com implementação numérica.

Palavras-chave: Função objetivo, restrições, Programação Linear, Colônia das Formigas.

mailto:[email protected]





1. INTRODUÇÃO

A aplicação de métodos de otimização em projetos estruturais é uma importanteferramenta na medida em que permite a busca por redução ou aumento de algumavariável sem que os requisitos estruturais do projeto sejam comprometidos. Em um

projeto estrutural, o procedimento de otimização pode ser adotado para que se busque aredução do peso através da variação de áreas, comprimentos, etc. Porém, os valoresdestas dimensões não podem comprometer estruturalmente o objeto. O emprego detécnicas de otimização viabiliza elaboração de um projeto bem feito e que atenda atodas as restrições. Estas restrições variam desde a resistência ao cisalhamento máximo,flexão máxima e flambagem até critérios de relações entre as dimensões.

Estes métodos de otimização podem ser aplicados à diversas áreas da ciência,tais como alimentação humana e animal, ligas metálicas, petróleo, transporte, fluxo em

redes, compras, vendas, produção entre outros.A programação linear é uma técnica utilizada para se otimizar uma função desdeque sua variáveis atendam ao que definimos como linearidade. Para que esta

programação possa funcionar de maneira eficaz, não apenas a função objetivo precisaestar linearizada como também suas restrições, sejam de igualdade ou de desigualdade.Sendo assim desde que um problema tenha sua função objetivo e suas restrições escritasde maneira linear, o seu dimensionamento ótimo pode ser feito através da ProgramaçãoLinear.

A técnica de otimização por Colônia de Formigas foi desenvolvida a partir daanálise do comportamento de formigas quando em busca de uma fonte de alimento, peloque elas mesmo com a grande deficiência de visão, sempre chegam ao ponto de destino

adotando a menor rota. Esse método possui uma extensa gama de aplicação, indo desdeas ciências sociais e humanas até as ciências exatas.Este trabalho tem como objetivo principal realizar um breve estudo sobre os

métodos de Programação Linear e Colônia de Formigas, abordando desde os conceitosfundamentais até aplicações numéricas voltadas a Engenharia. Espera-se que, após aleitura do presente trabalho, o leitor possa adquirir o entendimento no tocante a insersãode técnicas numéricas na resolução de problemas reais através da modelagemmatemática.



(1)

2 MÉTODOS E FORMULAÇÕES

2.1 Programação Linear

A programação linear (LINEAR PROGRAMMING) é provavelmente a maisconhecida técnica de otimização em todo o mundo. As informações obtidas são usadas

para determinar a melhor solução que na grande maioria das vezes se dará pelo maior(maximização) ou o menor (minimização) valor compreendido entre intervalos (ou não)

pertencentes a um domínio viável. No ambiente da Engenharia de Estruturas estesvalores geralmente são dados pela redução do custo ou peso da estrutura. Qualquer

problema que possa ser formulado com variáveis de decisão reais, tendo uma função-objetivo linear, e funções de restrição lineares, em princípio pode ser solucionadoatravés da programação linear.

Vários são os exemplos que podem ser resolvidos através desta técnica. Emengenharia de estruturas, apenas problemas mais comuns podem ser realizados atravésde programação linear, uma vez que a maioria das funções objetivo e das restrições sãode natureza não linear. Na figura 1 está descrito um modelo clássico otimização:

Figura 1: Problema Clássico de otimização (BONO, 2015).

Onde:

F(X) = função objetivo contendo as variáveis de projeto; R = Domínio do problema;hj(x) = funções de restrições de igualdade; m e p = Intervalos definidos.gj(x) = funções de restrições de desigualdade ;x = variável de projeto;

2.1.1 Métodos de Programação Linear

Para que se possa compreender melhor os métodos de programação linear e osalgoritmos utilizados, é necessário que se conheça os PPL’s (Problemas de

Programação Linear).

Problema Primal – De acordo com Pinto e Menezes (2008), a formulação padrão de um problema primal segue conforme a relação abaixo:



(2)

(3)

Problema Dual – Seguindo os mesmos autores, a formulação padrão de um problema dual é dada por:

Problema Primal-Dual – Ainda segundo Pinto e Menezes (2008), a formulaçãode um problema Primal-Dual é:

Diante da vasta literatura sobre o assunto, os métodos mais utilizados para programação linear são:

Método gráfico; Método Simplex e Simplex Revisado; Método Pert; Método das Redes; Active-Set Método de Johson e Bellman; Método dos Pontos Interiores

Dentre estes métodos destacam-se os dois mais utilizados no ambiente de

programação que são os Métodos Simplex e os Métodos dos Pontos Interiores.

2.1.1.1 O Método Simplex

O método simplex foi desenvolvido em 1951 por DANTZIG, no período póssegunda guerra mundial, e foi o primeiro método efetivamente desenvolvido pararesolução de problemas de programação linear. Este método trabalha com os problemas

primal, dual e primal-dual. Sua ideia consiste basicamente em alcançar o ponto ótimodesejado (máximo ou mínimo) otimizando a função objetivo através das iterações feitasnos pontos extremos e extremos adjacentes a um conjunto de soluções viáveis do

problema.



2.1.1.2 O método dos Pontos Interiores

Este foi método foi publicado em 1984 por Karmarkar, e apresenta-sediferentemente do método simplex, uma vez que não é permitida a obtenção do valorótimo da função através das extremidades ou conhecida também como fronteira do

conjunto viável de um PPL. Os algoritmos de pontos interiores geram pontos interioresviáveis, próximos à trajetória central, até obter uma solução aproximadamente ótima.Estes algoritmos trabalham com a hipótese de que é dado um ponto interior viávelinicial próximo à trajetória central.

2.1.2 Vantagens e Limitações da Programação Linear

Vantagens

Aplicada em todos os ramos da ciência;

Fácil modelagem numérica em softwares de ambientes de programação; Menor esforço computacional; Permite compreender problemas complexos em problemas mais simples.

Limitações

Técnica limitada à linearidade das funções objetivo e restrição, ou seja, alimitação da Programação Linear, portanto, é a própria condição de linearidadeque o problema a ser otimizado deve apresentar, essencial para a aplicação dosmétodos de PL. A partir daí, quando a condição de linearidade começa a falhar eo modelo de otimização se torna inadequado, apela-se para a programação não-

linear, que é bem mais complexa, com métodos e algoritmos bem maiscomplexos.

Figura 2: Simplex X Pontos Interiores – Esquema de Iteração (PINTO E MENEZES, 2008).

2.1.3 Aplicações numéricas no Sofware Matlab

Função Linprog no MatLab

O comando desta função no MatLab proporciona encontrar o valor ótimo deuma função, sempre de minimização, através de algoritmos já implementados no

programa, tais como: Ponto interior; Simplex; Dual Simplex; Active-set. Assim, bastaseguir as instruções de substituição de valores no comado do algoritmo para que a

operação seja realizada com sucesso. Conforme a opção Help do software MatLab, ocomando Linprog consiste em:



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Onde:

f = função objetivo;A = matriz de restrições de desigualdades lineares;

b = vetor das restrições de desigualdades lineares;Aeq = matriz de restrições de igualdades lineares;Beq = vetor das restrições de desigualdades lineares;lb = vetor de limites inferiores;ub = vetor de limites superiores.

2.1.4 Aplicações Numéricas

1) Minimizar = −1– (2)/3 (função objetivo)

Sujeito a 1 + 2 ≤ 2 1 + (2)/4 ≤ 1 (Restrições de desigualdade)

Aplicação no MatLab:

A = [ 1 1 ; 1 1/4] b = [2 1] f = [-1 -1/3]

x = linprog (f, A, b)Saída dos dados:

X1 = 0,6667

X2 = 1,3333


Sujeito a X1 + X2 ≤ 2 (restrição de desigualdade)X1 + (X2)/4 ≤ 1 (restrição de desigualdade)X1 + (X2)/4 = 1/2 (restrição de igualdade)


A = [ 1 1 ; 1 1/4] b = [2 1] f = [-1 -1/3] Aeq = [1 1/4] beq = [ 1/2 ]

x = linprog (f, A, b, Aeq, beq)

Saída dos dados:

X1 = 0,00

X2 = 2,00




Sujeito a {X1 + X2 ≤ 2

X1 + (X2)/4 ≤ 1X1 + (X2)/4 = 1/2−1 ≤ X1 ≤ 1,5−0,5 ≤ X2 ≤ 1,25

(com restrições de desigualdade, igualdade e intervalos de busca)


A = [ 1 1 ; 1 1/4] b = [2 1] f = [-1 -1/3] Aeq = [1 1/4] beq = [ 1/2 ]

lb = [-1; -0,5] ub = [1,5; 1,25]

x = linprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)Saída dos dados:

X1 = 0,1875

X2 = 1,25

Para se obter a saída de dados do valor da função objetivo deve-se proceder:

[x,fval]= linprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub), que fornece fval = -0,6042.

Por default da função linprog (através do comando optimset), o MatLab utiliza oalgoritmo dos pontos interiores para a resolução do problema linear.

Este método pode ser alterado de acordo com a seguinte formulação:

options = optimoptions ('linprog', 'Algorithm', 'dual-simplex');

acrescentar x0 = [ ] porque o método simplex exige um ponto inicial de partida. Logo:

[x,fval,exitflag,output] = linprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)

Onde exitflag varia entre 0 e 1, onde 0 significa resultado não confiável e 1resultado confiável e output fornece o número de iterações feitas no processo, o métodode otimização entre outras informações.



2.2 Colônia De Formigas

Desenvolvido por Dorigo e Gambardella (1996), a técnica heurística deOtimização por Colônia de Formigas (ACO, em inglês) é baseada no comportamento

das formigas quando do traçado dos caminhos entre sua colônia base e as fontes dealimentos.O traçado do menor caminho se dá através de uma substância exalada pelas

formigas durante sua trajetória para que as outras formigas sigam o mesmo percurso.Esta substância é conhecida por Feromônio. Ao caminharem pelos trechos em busca doalimento, o Feromônio é exalado, onde uma tendência é formada para o menor trecho,visto que a quantidade de substância torna-se maior e com menos índice de evaporação.E, quando evaporado com maior frequência, o trecho percorrido pelas formigas tende aser maior, sendo descartado pelas mesmas. Para Freitas (2010), a maior quantidade deferomônio que fica deposto na busca pelo alimento caracteriza o menor trajeto, sendoatraídas as demais formigas, formando o caminho ótimo.

Deneubourgh et al. (1990), realizou um estudo de modo a verificar essaatividade das formigas na busca pelo alimento com o menor caminho a percorrer. Dessemodo, as formigas foram sujeitas à seguinte situação (Figura 3):

Figura 3: Esquema inicial da Ponte Binária (DENEUBOURGH, 1990).

Como se observa, os trechos possuem a mesma distância entre o formigueiro e afonte de alimentos. Assim, submetendo as formigas ao experimento, observa-se naFigura 4 que:

Figura 4: Experimento 1 (DENEUBOURGH, 1990).

Neste momento, as formigas adotam de forma aleatória qualquer dos trechos,exalando uma quantidade de feromônio por onde passam, atraindo as demais formigas.

Com o passar do tempo, um dos caminhos possuirá uma quantidade maior deferomônio que o outro, sendo assim, o trecho adotado pela grande maioria das formigas(Figura 5).



Figura 5: Situação Final do Experimento 1 (DENEUBOURGH, 1990).

De outro modo, o mesmo autor refez o experimento alterando um dos trechos, demodo que um dos trechos seria maior que o outro, conforme a Figura 6:

Figura 6: Experimento 2 (DENEUBOURGH, 1990).

A trajetória de menor distância é percorrida em menor tempo, de modo que umamaior quantidade de formiga atravesse este caminho. Assim, é trivial que uma maiorquantidade de feromônio é depositado. Desse modo, as formigam adotam de forma mais

provável o trajeto de menor distância, visto que possui maior quantidade de feromônio.De mesmo modo é o comportamento das formigas se forem impostas restrições

em seus trajetos, conforme observa-se na Figura 7 abaixo:

Figura 7: Comportamento das formigas quando sujeitas a barreiras (DENEUBOURGH, 1990).



A figura acima deixa claro que quando sujeitas a restrições figuras 7b e 7c, asformigas aplicam a tendência em seguir sempre o menor trajeto.

O método de otimização por Colônia de Formigas objetiva proceder areprodução simulada do comportamento das formigas na busca de solução para

problemas de otimização. Tem como fundamento básico a utilização de formigas que

formam trajetos em forma de grafos, onde seus vértices são os candidatos a solução(SUCUPIRA, 2004). Os parâmetros de busca devem ser devidamente regulados em função do

problema a ser analisado, onde o caminho que for percorrido por um maior número devezes, mais elevado o teor de feromônio deixado no trajeto, caracterizando umatendência no estudo. Esse processo é iterativo e concluso no momento que o quantilmáximo de iterações é atingido ou quando não há um melhor refinamento nas soluçõesobtidas (PEREIRA, 2007).

Payá-Zaforteza (2007) propôs uma analogia entre as condutas das formigas como processo de otimização, conforme a Tabela 1 que segue:

Comportamento das Formigas Equivalência em OtimizaçãoBusca pelo alimento Exploração de soluções factíveis

Quantidade de alimento Valor da Função objetivoRastro de Feromônio Memória adaptativa do método

Tabela 1: Correspondência entre o comportamento das formigas e a técnica de otimização.

Observa-se na tabela acima que há uma correlação entre as característicascomportamentais das formigas e as características vivenciadas em otimização.

De igual modo, Pereira (2007), apresenta os parâmetros do método deotimização por Colônia de Formigas, sendo eles: a Ponderação de Feromônio; o

Percentual de Evaporação do Feromônio; a Quantidade de Formigas; e o NúmeroMáximo de Iterações.

2.2.1 Procedimento de aplicação do método

Dorigo e Gambardella (1996) estabelecem alguns passos para se realizar o procedimento por colônia de formigas. São eles:

1. Representação do problema por meio de conjuntos de grafos, onde as formigasvão trabalhar.

2.

Estabelecer os caminhos de feromônio (que é a matriz τ) do problema.3. Definir informação heurística (matriz de atratividade η), que influenciará nas

decisões das formigas.4. Implementar algoritmos de busca para o problema.5. Adaptar, quando for o caso, uma das variantes existentes para ACO.6. A partir de valores previamente utilizados em aplicações similares, ajustar os

parâmetros da ACO para o problema.

Os autores destacam para a importância dos quatro primeiros passos na garantiada eficiência do processo. Em se tratando do passo 5, este se dá em função das diversasmodificações/aperfeicoamento dessa técnica, como verifica-se a Tabela 2:



Técnica/Algoritmo AutorAnt System (AS) Dorigo et al (1991)Elitist AS (EAS) Dorigo et al (1992)Ant-Q Gambardella & Dorigo (1995)Ant Colony System (ACS) Dorigo & Gambardella (1996)

Max-Min AS (MMAS) Stützle & Hoos (1996)Rank-Based AS (ASRank/RBAS) Bullnheimer et al. (1997)ANTS Maniezzo (1999)Best-Worst AS (BWAS) Cordón et al (2000)Hyper-Cube AS (HCAS) Blum et al (2001)

Tabela 2: Variações das técnicas de otimização por Colônia de Formigas (DORIGO et al., 2006).

2.2.2 Vantagens e Limitações

Em se tratando de uma análise geral desse tipo de técnica, verificam-se algumasvantagens e limitações, conforme Tabela 3 que segue:

Vantagens LimitaçõesVersatilidade: Possibilidade deemprego em grande variedade deaplicações.

A análise teórica é complicada: Sequênciasaleatórias e distribuição de probabilidade.

Robusto: aplicação com pequenasalterações de configuração de forma

para problemas de otimização.

Codificação complicada, não é direta: Necessita de grande número de algoritmos para analisar diferentes problemas.

Baseado em população: retorna um feedback quando da busca por um parâmetro.

Por ter uma aplicação de formageneralizada, pode ser superado por umalgoritmo especializado, a depender do

problema que se queira analisar.Indicado para problemas derestrições discretas.

Para problemas maiores, consome grandequantidade de memória para processamento.

Melhor desempenho em relação aoutras técnicas de otimização global(AG, Simulated Annealing, ...),quando aplicado ao problema docaixeiro viajante.

Para grande número de nós: difíceis deresolver, com grande consumo de tempo

para a convergência.

Tabela 3: Vantagens e Limitações da Otimização por Colônia de Formigas.

Como todo tipo de técnica de otimização, cabe ao pesquisador fazer a escolha dométodo que mais se adeque ao problema que for analisar. Assim, a técnica aqui emestudo é mais uma opção dentre as demais existentes.

2.2.3 Aplicações

Diversos pesquisadores nos últimos anos estão realizando aplicações numéricascom esse tipo de técnica de otimização. Em otimização estrutural, a Colônia de

Formigas apresenta bons resultados. Por exemplo, Degertekin (2008) observou que



Colônia de Formigas se sobressaiu quando em comparação com os AlgoritmosGenéticos na redução de peso de pórticos em aço.

Outra aplicação para redução de peso em que Colônia de Formigas apresentouexcelentes resultados foi a otimização de treliças planas e espaciais, conforme Caprileset al. (2007).

Para Martínez-Martín (2008), a técnica de otimização por Colônia de Formigasapresentou o melhor desempenho referente aos custos mínimos quando de sua aplicaçãona otimização de pilares em estrutura de pontes. O referido pesquisador também fez usodos consagrados métodos Simulated Annealing e Algoritmos Genéticos, onde osresultados obtidos foram bem próximos. Foi destacada ainda a importância dacalibração dos parâmetros como ponto essencial nos resultados.

Júnior e Martins (2011) aplicaram essa técnica na otimização de vigas deconcreto armado em função do atendimentos aos Estados Limites regulados pornormatizações, bem como na busca pelo custo final mínimo dentro das restriçõesimpostas.

Távora e Leoni (2013) também fizeram uso da técnica de otimização por

Colônia de Formigas para a obtenção dos melhores trechos/pontos/caminhos devisitação para a população visitante da Academia Militar das Agulhas Negras (AMAN),situada próxima à Rodovia Presidente Dutra, no triângulo Rio – São Paulo – MinasGerais.

2.2.4 Exemplos Numéricos

Problema do Caixeiro Viajante

Uma aplicação clássica dessa técnica é a aplicação para o Problema do CaixeiroViajante, que consiste em partir de um ponto inicial (cidade primária), visitar todas ascidades dentro do espaço de busca, passando na cidade uma única vez e retornando paraa cidade inicial de tal modo que a distância percorrida seja a menor possível(APPLEGATE et al., 2007).

A formulação do problema de forma analítica é a seguinte (Figura 8):

Figura 8: Formulação do Problema do Caixeiro Viajante (DENEUBOURGH, 1990).

Inicialmente, cada formiga é colocada de forma aleatória em uma cidade. A partir de qualquer cidade , a formiga se desloca até a próxima cidade j (entre as



(6)

(5)

possíveis cidades vizinhas). As chances de uma formiga k da cidade i escolher a cidade j obecede a seguinte relação:

Aplicando os dados na formulação, obtém-se os seguintes resultados para a primeira iteração (Tabela 4):

Tabela 4: Primeira iteração do processo.

Após realização desse passo, deve-se proceder com a atualização do feromônio, de modo que o mesmo é composto de uma parcela de depósito e evaporação,conforme a equação que segue:

Dessa forma, sendo atualizados os feromônios e verificados os critérios de parada, seja pelo número máximo de iterações ou pela estagnação em que um mesmo percurso é o mais percorrido pelas formigas, o processo se repete até se chegar a melhorsituação para o problema. Assim, no problema do caixeiro viajante, as situações iniciaise finais seguem conforme a Figura 9 abaixo:

Figura 9: Solução do PCV (DENEUBOURGH, 1990).



A Figura 9 deixa claro que no início da busca há uma grande possibilidades decaminhos a serem percorridos, onde a distribuição tendenciosa de feromônios no fim da

busca evidencia o menor/melhor caminho a ser traçado para o problema analisado.Fazendo uso do software MatLab para a implementação do mesmo problema,

através da técnica de otimização por colônia de formigas, chega-se a melhor solução,

após a iteração 140, conforme se observa na Figura 10:

Figura 10: Implementação da otimização por colônia de formigas para o PCV (HERIS, 2015).

Na Figura 10a observa-se a melhor solução para o problema onde demonstratodos os pontos que se devem percorrer. Já na Figura 10b observa-se o menorcusto/distância em função do quantil de iterações, sendo nesse caso necessáriasaproximadamente 140 iterações para se chegar ao ponto ótimo de aproximadamenteigual a 362.

Otimização de vigas através do ACO

Outro exemplo, voltado para engenharia, apresentado por Júnior e Martins(2011), trata da aplicação do algoritmo de Colônia de Formigas na otimização de vigasde concreto armado. As variáveis analisadas foram as armaduras longitudinais de traçãoe compressão, além da altura útil da seção transversal, onde o custo mínimo em funçãodo atendimento aos estados limites de serviço e último era o ponto ótimo que se

buscava.

As função objetivo e restrições de igualdade e desigualdade do problema seguemna Tabela 5 abaixo:

Tabela 5: Função objetivo e restrições do problema para vigas de CA (JÚNIOR e MARTINS, 2006).



As duas primeiras restrições estão definidas as relações para tensões edeformações em função do dimensionamento em quaisquer dos domínios dedimensionamento. A terceita restrição estabelece a taxa de armadura máxima para aseção transversal do elemento. A restrição 4 indica o percentual de armadura decompressão em relação à armadura de tração. A última restrição estabelece a dispensa

de verificação de armadura de pele para vigas de até 60cm de altura. Verifica-se quetodas as rsetrições estão em conformidade com o estabelecido na ABNT NBR6118:2014.

Para implementação do algoritmo, os autores utilizaram a plataforma Fortran,com uso de 300 ants (formigas), 200 iterações e 50 ciclos. As condições de contorno daviga foram: viga biapoiada de concreto armado; = 30 , C-20, aço CA-50,momento de cálculo de = 44100 .. Após a implementação e obtenção dosvalores ótimos em relação a mínimos custos, os valores finais foram comparados com ocálculo convencional estabelecido pela norma brasileira ABNT NBR 6118:2014(Tabela 6).

Tabela 6: Comparativo dos custos (JÚNIOR e MARTINS, 2006).

Como se observa, o método das Colônias de Formigas apresentou resultadossatisfatórios. Os autores destacaram ainda a necessidade de maiores estudos paracomprovar a eficácia do presente método na otimização de vigas de concreto armado.



3 CONCLUSÃO

Foi realizado um estudo sobre Programação Linear e Colônia de Formigas, demodo a consatar a viabilidade dessas técnicas em aplicações de Engenharia.

A programação linear foi utilizada na maximização/minimização de funçõesobjetivo sujeitas a restrições de igualdade e desigualdade, chegando-se aos pontos ideais para cada problema analisado. A técnica de otimização por Colônia de Formigas foiaplicada na resolução do problema do caixeiro viajante, na otimização de vigas, treliçase pilares, cada um com suas funções objetivo e tipos de restrições, obtendo resultadossatisfatórios.

Verificou-se que os métodos aplicados no presente trabalho são técnicas deotimização bastante utilizadas no meio acadêmico, apresentando resultados satisfatórios.Salienta-se que cada tipo de procedimento de otimização pode gerar resultados diversos,

pelo que cabe ao pesquisador fazer a escolha do método que mais se adeque ao problema em que for analisar.

Sugere-se estudos mais aprofundados a respeito das temáticas aqui trabalhadascomo forma de solidificação e expansão do índice de confiabilidade e uso dessastécnicas em escala industrial.



REFERÊNCIAS

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