Relatividade Especial & Geral

Roteiro

Relatividade Especial:• Conceitos básicos e algumas conseqüências• Paradoxo dos gêmeos

Relatividade Geral:• Conceitos básicos, conseqüências e

aplicabilidade.

Relatividade Especial

• Essa teoria modifica as noções newtonianas de espaço e tempo e incorpora o eletromagnetismo como representado pelas equações de Maxwell.

• Essa teoria é dita especial ou restrita, pois usa o princípio da relatividade somente para o caso restrito ou especial de referências inerciais (não acelerados).

• A gravidade não é levada em conta!

A mecânica newtoniana é consistente com astransformações de Galileu.

x

z

yS S*

x*

y*

z*

vr

tt*zz*yy*

vtxx*

===

−=

** FFeaarrrr

==⇒

JµtE

c1B

tBE

0B

ερE

MaxwelldeEquações

02

0

+∂∂

=×∇

∂∂

−=×∇

=⋅∇

=⋅∇

Por outro lado, as equaçõesde Maxwell do eletromagne-tismo não mantêm a formafrente às transformações deGalileu.⇒ essas equações não seriam válidas em todos referênciais inerciais.⇒ seria possível descobrir seum sistema está se movendoem relação ao sistema onde elas são válidas.

Sendo as equações de Maxwell válidas em qualquer referencial inercial deve se modificar a mecânica newtoniana.

Por outro lado, as equaçõesde Maxwell do eletromagne-tismo não mantêm a forma frente às transformações de Galileu.⇒ essas equações não seriam válidas em todos referênciais inerciais.⇒ seria possível descobrir seum sistema está se movendoem relação ao sistema onde elas são válidas (éter?).

JµtE

c1B

tBE

0B

ερE

MaxwelldeEquações

02

0

+∂∂

=×∇

∂∂

−=×∇

=⋅∇

=⋅∇

A relatividade especial é baseada em dois postulados:

RelatividadeConstância da velocidadeda Luz

O primeiro postulado (princípio da relatividade)

• As leis da física são as mesmas em todos os referências inerciais. Ou seja, toda teoria física deve ter a mesma forma matemática para todos os referências inerciais. Não existe referencial inercial privilegiado.

O segundo postulado (invariância de c)

• A velocidade da luz no vácuo, c, é a mesma para todos os observadores inerciais, e não depende da velocidade do objeto emissor da luz.

⇒Os dois postulados combinados equivalem a dizer que a luz não requer qualquer meio (tal como o éter) para se propagar.

• As transformações de Galileu devem ser modificadas. • As transformações válidas na relatividade restrita são

as transformações de Lorentz.

x

z

yS S*

x*

y*

z*

vr

22

2

22

/cv1)x(v/ctt*

zz*yy*

/cv1vtxx*

−

−=

==

−

−=

22

2

22

/cv1)x(v/ctt*

zz*yy*

/cv1vtxx*

−

−=

==

−

−=

tt*zz*yy*

vtxx*

===

−=

⇒<<1v/c

Note que:

)Ecv(BγB

)Ecv(BγB

BB

)Bv(EγE

)Bv(EγE

EE

y2z*z

z2y*y

x*x

yz*z

zy*y

x*x

−=

+=

=

+=

−=

=

22/cv11γ

:Onde

−=

As transformações para os campos são:

• Contração do espaço• Dilatação do tempo• Simultaneidade de eventos não é um

conceito absoluto• m=m(v)• E=mc2

Efeitos relativísticos

Contração do espaço

Dilatação do tempo

vr

h

h

vt

Dilatação do tempo

Simultaneidade

vr

Simultaneidade

vr

Efeitos dinâmicos

A massa depende da velocidade

220

/cv1mm(v)−

=

Onde m0 é a chamada de massa de repouso.

• Note que: v → c ⇒ m → ∞

• Somente para partículas com massa de repousonula (e.g., fóton) v = c.

2mcE =

A energia relativística é dada por uma das mais famosas equações da física:

Esta equação tem um significado profundo: energia e massa são equivalentes.

Massa é um forma de energia.

Mudança na energia é igual a mudança na massa.

“Paradoxo dos gêmeos”

Solução do “paradoxo dos gêmeos”

• A gêmea que viaja sofre várias acelerações, coisaque o gêmeo que ficou na Terra não sofre.

• Isto faz com que não haja simetria neste caso.• Relógios acelerados andam mais devagar, isto

explica o motivo da gêmea que viajou ficar maisjovem que o seu irmão.

Teorema de Minkowski−Pitágoras (1908)

222222 dzdydxdtcds +++−=

∑∑=i j

jiij

2 dxdxηds

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

1000010000100001

:onde

ijη

(Invariante, i.e., independente do sistema de referência.)

Podemos ainda escrever que:

jiij

2 dxdxηdsou

=

Vamos escrever a métrica acima em coordenadas cilíndricas:

( )2222222 dzdrdrdtcds +++−= ϕ

Fazendo agora uma transformação de

coordenadas para um sistema que gira em torno do eixo z com

velocidade angular ω.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 2

222

2222 *2

2

222 dz

crω1drdrdtc

crω1ds ϕ

x

y

x*

y*

zz* ≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 2

222

22222

2

222 dz

crω1drdrdtc

crω1ds ϕ

ππ 2crω1

2222>

−

Note que a razão do comprimento da circunferência pelo raio vale:

⇒ A geometria não é euclidiana!

O tempo próprio sendo dado por:

dtc

rω1dτ 2

22

−=

⇒ não é um invariante em sistemas não inerciais!

Relatividade Especial: Epílogo

• Uma importante questão ainda parecia sem solução: como levar em conta a gravidade na teoria da relatividade?

• A solução para esta questão demorou ainda 10 anos para ser dada.

Relatividade Geral

• Einstein considerava que a gravitação newtoniana deveria ser também modificada.

• Em 1907, enquanto escrevia um artigo de revisão sobre a relatividade especial, Einstein teve uma idéia brilhante.

• Princípio da equivalência:Um sistema de referência em queda livre se comporta, localmente, tal como um sistema de referência inercial (livre de acelerações e da gravidade).

Conseqüências: massa inercial = massa gravitacional ativa = massa gravitacional passiva

Uma consequênciado princípio da equivalência: relógios mais próximos da

superfície da terra andam mais devagar do que aqueles acima

desta.

• Estas idéias não resultaram, na época, em uma teoria da gravitação, ficando “engavetada” por 5 anos.

• Einstein voltou a atacar este problema em 1912. Ele conclui que a equivalência entre aceleração e gravidade funcionaria se a geometria do espaço-tempo fosse curva (não euclidiana)

• Em 1913, publicou um trabalho com Marcel Grossmann argumentando que o que chamamos de força gravitacional é de fato uma expressão do espaço-tempo ser curvo.

• Note que: tanto o espaço como o tempo devem ser curvos!

... energia, momento etc. curvam o espaço-tempo.

• Einstein teve que aprender geometrias não euclidianas. Fez isto com seu amigo Marcel Grossmann.

• Riemann, que foi estudante de Gauss, foi o grande nome nos estudos relacionados com a geometria diferencial, onde são estudas geometrias não-euclidianas.

• A geometria Riemanniana é a matemática adequada para a Relatividade Geral.

jiij

2 dxdxgds =

• Foram necessários ainda mais alguns anos para a formulação definitiva da teoria, que se deu em novembro de 1915.

• Vale notar que, o grande matemático Hilbert obteve as equações de campo da gravitação, independentemente de Einstein, quase na mesma época.

Princípios Básicos da Relatividade Geral:

• Equivalência – Um sistema de referência em queda livre se comporta, localmente, tal como um sistema de referência inercial. Uma outra versão deste principio seria: um referencial linearmente acelerado em relação a um referencial inercial da relatividade especial é localmente idêntico a um referencial em repouso num campo gravitacional.

• Relatividade Geral – As Leis da Física devem ter a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas.

• (Princípio da covariância geral – As equações da física devem ter a forma tensorial.)

• Acoplamento gravitacional mínimo – as equações de campo devem ter a forma mais simples possível.

• Correspondência – na ausência de gravidade ⇒ relatividade especial; campo fraco e baixas velocidades ⇒ gravitação newtoniana.

Conseqüências: massa inercial = massa gravitacional ativa = massa gravitacional passiva

ijijij TcπGRgR 4

821

=−

As equações de Einstein:

... mas afinal, qual é a “cara” desta teoria da gravitação?

{

MomentoEnergiaGeometria

4

821

−

⇓

=

⇓

− ijijij TcπGRgR

43421

jiij

2 dxdxgds:queLembrando

=

• Onde Rij e R são o tensor e o escalar de Ricci, respectivamente, que são obtidos do tensor de Riemann Rijkl.

• .... estes vários “Rs” dependem dos gij, que contêm as propriedades geométricas do espaço tempo.

Algumas previsões de Einstein

• Desvio da Luz• Precessão da órbita de mercúrio• Dilatação gravitacional do tempo

Sem SolNewtonEinstein

Sobral 1919

Relógios mais próximos da

superfície da terra andam mais

devagar do que aqueles acima

desta.

Mercúrio: 43 segundos de arco por século

Para que serve a Relatividade Geral?

• Cosmologia (assistam a palestra de 29/11/2005).• Formação de galáxias e estrelas (em particular as

estrelas de nêutron e buracos negros).• Ondas gravitacionais.• Espaço-tempo e órbitas ao redor de estrelas com ou

sem rotação. • Em resumo: em tudo onde a gravidade é importante!

Epílogo

• A Relatividade Geral tem passado com sucessopelos mais variados testes experimentais.

• Vale mencionar, no entato, que ela não é certamente a teoria definitiva para a gravitação, pois uma teoria quântica é requerida em algumascircunstâncias.

• Há, no entato, uma previsão da Relatividade Geralque ainda não foi verificada: a da existência de ondas gravitacionais.

• Descobertas por Einstein através da teoria darelatividade geral em 1916.

• Concentrações de massa (ou energia) mudandode forma ou posição podem causar distorçõesno espaço-tempo que se propagam no Universocom a velocidade da luz.

Perturbação no campo gravitacional, ( hµν) Equação de onda:

0222

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−

∂∂

µνhtc

Amplitude da onda: h = ∆L/L

Freqüências das ondas: 10-18 Hz a 1010 Hz

223

fh4G

πc F ≅

22235 W/mfh103 F ×≈⇒

Fluxo de ondas gravitacionais

Onde: h - amplitude da OG e f - freqüência da OG

Qual deveria ser o valor de h de modo que F ~ 103 W/m2 ?

Obs.: um fluxo de ~ 103 W/m2 em ondas eletromagnéticas é, e.g., o que recebemos do Sol em todos os comprimentos de onda!!

Para f ~ 1kHz ⇒ h ~ 10-19 (sic) !!

(uma supernova na nossa galáxia, e.g., @ 10 kpc )

atômiconúcleo101 ~ m10 ~ L

km 1Lpara10~L∆L~h

16

19

−

−

∆⇒

=

OGs realmente existem?

• Uma boa evidência:PSR 1913+16 (Taylor & Hulse 1974)(Pulsar binário com período de 7,75 horas)

• Existem pelo menos 5 outros sistemas similares, todos em bom acordo com a RG.

• ⇒ OGs devem existir, sendo responsáveis pela perda de momento angular destes sistemas.

Ondas Gravitacionais em laboratório?

rE

cG~h

simétricanãocinética

4

−

⋅

rad/s 20 ω =

kg10M 6=

m100L =

Rotor

rωL M10 ~h

2245- ⋅

Usando:

Para o rotor ao lado ⇒

Para r > λOG (≈ 50.000 km)

⇒ h < 10–40 !!!

Fontes de OGs

Fontes astrofísicas e cosmológicas• Impulsivas:• Formação de estrelas de nêutrons e buracos negros em supernovas• Coalescência de estrelas compactas, etc.• Periódicas:• Sistemas binários• Estrelas de nêutron em rotação, etc.• “Chirp” (gorjeio) • Estágios finais da espiralação de sistemas binários compactos• Estocásticas• Efeito integrado de muitas fontes periódicas na Galáxia• População de fontes cosmológicas impulsivas: buracos negros, etc.• Processos cosmológicos no Universo primordial

• Desde os anos 1960 há vários experimentosna busca das ondas gravitacionais.

• Até hoje, no entanto, não houve qualquerdetecção direta delas.

• Acredita-se que dentro em breve elas serãodetectadas.

• Quem sabe se nós aqui do INPE nãoseremos capazes de detectá-las, pois temosum projeto (GRAVITON) emdesenvolvimento para esta finalidade.