MATEMATICA DISCRETA

UNIDAD Nº 3

1º parte

RELACIONES Y DIGRAFOSTEORIA

Bibliografía: Estructuras de Matemáticas Discretas para Computación.

Kolman y Busby. Cap IV y VII

1

RELACIONES BINARIAS

Una estructura de datos, tal como un arreglo, lista o árbol esgeneralmente usada para representar simultáneamente a unconjunto de datos y a una relación que se cumple entre losmiembros del conjunto. El caso particular de relaciones binariasmerece ser tratado aparte, por la riqueza de conceptos yresultados a que da lugar y el tipo de técnicas que puedenutilizarse.

Es por ello que en esta unidad estudiaremos formalmente a las

RELACIONES BINARIAS, conjunto de parejas de objetos que

comparten algunas características o propiedades en común. Las

mismas son de fundamental importancia en computación.

Para poder introducir el concepto de relación binaria necesitamosprecisar lo que significa una pareja ordenada de objetos y definirel producto cartesiano de dos conjuntos.

2

PAR ORDENADO

Un par ordenado (a, b) es una lista de dos objetos a y b en un orden preestablecido, donde a se dice primera componente y bsegunda componente.

Un par ordenado es una secuencia de longitud 2.

Se denota entre paréntesis y separadas las componentes por una coma: (a,b)

Por definición, (a,b) (b,a)

Igualdad entre pares ordenados

Definición: (a1, b1) = (a2, b2) si y solo si a1 = a2 y b1= b2

CONJUNTO PRODUCTO CARTESIANO

Definición: Si A y B son conjuntos no vacíos, se define el conjunto producto cartesiano A x B del siguiente modo

A x B = { (a, b) / a A y b B }3

Ejercicio para el aula: Sean A = {1, 2} y B = {a, b, c}

Calcule A x B y B x A . ¿Es conmutativo el producto cartesiano?

Para dos conjuntos finitos no vacíos A y B se cumple que |A x B|= |A|. |B|

El cardinal del producto es igual al producto de los cardinales

TEOREMA

A B a b c

1 (1,a) (1,b) (1,c)

2 (2,a) (2,b) (2,c)

B A 1 2

a (a,1) (a,2)

b (b,1) (b,2)

c (c,1) (c,2)

Observe que los elementos de AxB y BxA pueden ser dispuestos en forma tabular del siguiente modo

4

Ejercicio para el aula

Una compañía de investigación de mercadosclasifica a una persona de acuerdo con los siguientescriterios:Género: masculino (m); femenino (f)Máximo nivel de educación terminado:escuela primaria (p); secundaria (s); universidad (u); posgrado (g).

Sean S ={m,f} y L={p,s,u,g}Forme SxL y diga que representa

5

GENERALIZACIÓN: PRODUCTO

CARTESIANO DE N CONJUNTOS

Sean A1 , A2 , ….. , An conjuntos , se define

A1xA2x…xAn={ (a1, a2, … ,an) / ai Ai , i = 1, 2,… , n}

Si cada conjunto Ai es finito se tiene que

|A1xA2x…xAn| = | A1 | . |A2| . ….|An|

6

PARTICIÓN DE A O CONJUNTO COCIENTE

DE AUna partición o conjunto cociente de un conjunto no vacío A es una colección P={A1 , A2 …, AK } de subconjuntos no vacíos de A tales que:

a) Cada elemento de A pertenece a uno de los conjuntos en P

b) Si Ai y Aj son elementos distintos de P, entonces Ai ∩ Aj= Ø

A1

A2

A3 A4

A5 A6

A

7

Ejercicio para el aula:a) Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h}. ¿Cuáles de los siguientessubconjuntos forman una partición de A?A1 = {a, b, c, d} A2 = {a, c, f, g, h}A3 = {a, c, e, g} A4 = {b, d} A5 = {f, h}

b) Dados los siguientes conjuntos, encuentre por lo menosuna partición para cada uno:

i)ii) A={x N / x es múltiplo de 3}iii) A={ x / x es una letra de la palabra paralelepípedo}iv) A={ (a,b) / a, b {1,2,3} } v) A={ (a,b) / a,b N}

8

RELACIÓN

Definición:

Sean A y B conjuntos no vacios. Una relación R de A en B

es cualquier subconjunto del producto cartesiano AxB.

Simbólicamente : Cualquier conjunto R tal que R ⊆ AxB se

dice Relación de A en B

Caso particular:

Si A = B se dice que R está definida en A y se expresa

R⊆ A x A

Notación :

Cuando a está relacionada con b por medio de R

escribiremos (a,b) R o aRb9

a) Sean A={Pablo,Juan,Carlos} y B={Fiat,Peugeot,Chevrolet,Renault}

y sea R definida del siguiente modo

aRb⇔ “a prefiere la marca b”

Entonces la enumeración de los elementos de R podría ser:

R={(Pablo,Chevrolet),(Juan,Fiat),(Juan,Renault),(Carlos,Peugeot)}

b) Sea R definida en N por medio de la condición

a Rb ⇔ a = b2

Entonces R = { (1,1),(4,2),(9,3),(16,4),…} es un conjunto infinito, por lo tanto conviene definirlo por comprensión o propiedad

Se tendrá R = { (a,b) NxN / a = b2 }

EJEMPLOS

10

c) Sea R definida en Z+ por medio de aRb⇔ a|b

Si bien R puede expresarse por extensión, lo más conveniente es expresarla por comprensión:

R ={(a,b) / a|b con a,b Z+} = {(a,b) / b = ak con a,b,k Z+ }

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7

b

a

R

11

Conjuntos que surgen de las relaciones:

Sea R de A en B, se definen:

Dominio de R : Conjunto de elementos de A que están relacionados con algún elemento de B mediante la relación R

Rango de R: Conjunto de elementos de B que están relacionados con algún elemento de A por medio de R

Si x A , se define el Conjunto relativo en R de x como el conjunto de todos los elementos de B relacionados con x . Simbólicamente se expresa R(x)={y B / xRy}

En el Ejemplo c)Dom R = Z+

Rango R = Z+

R(1) = { 1,2,3,4,5,…} = Z+ , R(2) = { 2,4,6,8,…} , R(3) = {3,6,9,12,15,…}etc

12

MATRIZ DE UNA RELACIÓNSi A= {a1,a2,…,am} y B={b1,b2,…,bn} son conjuntos finitos

que contienen m y n elementos, respectivamente, y si R

es una relación de A en B, se representa R por la matriz

MR definida como

MR se dice matriz de R y es una matriz booleana de

orden mxn. A menudo MR proporciona una manera fácil

de verificar si tiene una propiedad dada.

R b , a si 0

R b , a si 1 m /)(mM

ji

ji

ijijR

13

Ejercicio para el aulaSea A = { Ana , Carlos , Javier , Victor} yB = { M , F} y sea R la relación que vincula a cadapersona con su sexo. EntoncesR= { (Ana,F),(Carlos,M),(Javier,M),(Victor,M)} FM

01

01

01

10

V

J

C

A

M R

La matriz que representa a R es

Teorema: Toda relación definida en conjuntos finitos tiene representación matricial booleana y recíprocamente toda matriz booleana representa una relación.

Ejercicio para el aulaDeducir la relación definida en A representada por la siguiente matriz booleana

11000

11100

01111

00110

00101

MR 14

GRAFO DIRIGIDO O DIGRAFO DE RSi A es un conjunto finito y R una relación definida en A, se puede representar a R de modo gráfico siguiendo las instrucciones que se dan a continuación:

Se representa con un círculo o simplemente con un punto a cada elemento de A.

Se dibuja una flecha del vértice ai al vértice aj si y solo si (ai,aj)∈R

Esta representación gráfica se llama Grafo Dirigido o Digrafo de R. Los círculos se dicen nodos o vértices y las flechas se dicen aristas o arcos del Digrafo

Al conjunto de vértices o nodos se le representa con V y al conjunto de aristas con la letra E. Se denota digrafo G=(V,E)

15

Ejercicio para el aulaSea A = { 1 ,2,3,4,5,6} y sea R en A definida por

aRb a|bConfeccionar el Digrafo y la matriz de R.

Observe que:•Debido a que cada número es divisor de si mismo , en el grafo cadaelemento de A tendrá un lazo (flecha que sale de un vértice e ingresa almismo) . Esta particularidad se verá reflejada en la diagonal de la matriz.•Como 1 es divisor de todos los números, del vértice etiquetado con 1saldrán flechas hacia todos los elementos de A. Esto se observará en la 1ºfila de la matriz•4 , 5 y 6 sólo son divisores de si mismo por lo que de ellos saldrá una únicaarista, un lazo. Y en la matriz se observará en las filas correspondientes lapresencia del único 1 que representa al lazo correspondiente

16

El grafo y la matriz correspondientes son

6

5

4

3

2

1

100000

010000

001000

100100

101010

111111

RMDom R= ……..

Rango R = …….

R(1)= …………

R(3)=………..

R(6)=………..

17

Ejercicio para el aula Para las siguientes relaciones confeccioneel digrafo de R y encuentre su matriz

a) A = { 1 ,2,3,4,5,6} y sea R en A definida por aRb a+b es par

b) A = { a,b,c,d} y R = {(a,a),(a,b),(b,c),(c,d),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(a,b) ,(b,d)}

18

6

5

4

3

2

1

111000

111000

111000

000111

000111

000111

6

4

2

5

3

1

RM

642531Respuesta de a)

Observe que se han formado dos grupos de elementos, por un lado los numeros pares relacionados todos entre si y por otro lado los impares todos entre si. Ninguna arista va de un par a un impar ni a la inversa.Se ha producido una partición P del conjunto AP = { {1,3,5},{2,4,6}}

19

Otros conceptos importantes:

Si R es una relación en A y si a∈A entonces el grado

interno de a es el número de nodos b∈A tal que

(b,a)∈R

Mientras que el grado externo de a es el número de

nodos b∈A tal que (a,b)∈R

Esto significa , en términos del digrafo de R, que el

grado interno de un vértice es el número de arcos que

terminan en el vértice y el grado externo es el número de

arcos que salen del vértice.

Ejercicio para el aula

Sea A={a,b,c,d} y sea R la relación sobre A que

tiene la matriz

Construya el digrafo de R y haga una lista de los

grados internos y externos de todos los vértices20

TRAYECTORIAS EN RELACIONES Y DIGRAFOS

Sea R en A. Una trayectoria de longitud n de a a b es una sucesión finita que comienza con a y termina en b tal que

Si están involucrados n+1 elementos de A, no necesariamente distintos, se dice que es una trayectoria de longitud n.

Una trayectoria se concibe visualmente con más facilidad con ayuda del digrafo de la relación. Aparece como una trayectoria geométrica o sucesión de arcos, y de hecho el nombre de trayectoria es debido a esta representación.

En consecuencia, la longitud de una trayectoria es el número de arcos que hay en la misma, en donde los vértices no necesitan ser todos distintos

b,,...xx,xa,:π 1n21

Rbx ..., ,Rxx , Rxx , aRx 1n32211

21

6

5

4

3

2

1

Ejemplo

En el digrafo

1 : 1,3 es una trayectoria de 1 a 3 de longitud 1

2: 1,1,2,4,4,4 es una trayectoria de 1 a 4 de longitud 5

3 :2,4,4 es una trayectoria de 2 a 4 y de longitud 2 22

Las trayectorias pueden usarse para definir otras

relaciones vinculadas a una R dada.

Definición de Rn

Si n N , se define una relación Rn en A como sigue:

a Rn b existe una trayectoria de longitud n de a a b en R

Caso particular

a R2 b existe una trayectoria de longitud 2 de a a b en R

Definición de R

a R b existe una trayectoria de cualquier longitud de a a b en R

R se llama relación de conectividad23

Ejercicio para el aula Sea R la relación dada por el siguiente

grafo

a

b

4

c d e

f

Encuentre los digrafos de R2 , R3 y R24

R2 es la relación tal que vincula a los elementos de

A unidos por una trayectoria de longitud 2 en R

Se observa que aR2c , aR2d, cR2d, fR2d, cR2c, etc

Pero sin embargo aR2b , cR2e

R3 es la relación tal que vincula a los elementos de A

unidos por una trayectoria de longitud 3 en R

Se observa que aR3c , aR3d, cR3d, bR3d, bR3c, etc

Pero sin embargo aR3b , cR3e

25

Los grafos de R2 y R3 son

a

b

4

c d e

f a

b

4

c d e

fR2R3

26

TEOREMA

Para n N y R definida en A se tiene que( n factores)

Donde es el símbolo que representa al producto booleano de matrices

RRRRM....MMM n

27

En el ejemplo se tiene que para R y R2 sus respectivas matrices son

011000

001000

000000

001100

000100

000110

RM

001000

000000

000000

001100

001100

001100

011000

001000

000000

001100

000100

000110

011000

001000

000000

001100

000100

000110

2 RRRMMM

28

a

b

4

c d e

f

a

b

4

c d e

f

Para R3

La matriz de R es igual a la suma booleana de las

matrices que representan a todas

las trayectorias posibles:

......MMMMRRRR 32

29

000000

000000

000000

001100

001100

001100

M 3R

011000

001000

000000

001100

001100

001110

a

b

4

c d e

f011000

001000

000000

001100

000100

000110

001000

000000

000000

001100

001100

001100

MMMM RRR3R

a

b

4

c d e

f

R3

R

Ejercicio para el aula a) Dadas la relación R, encontrar R2, R 3yR ∞ y sus

correspondientes matrices

R a

g

d

ce

bf

30

b) ¿Es posible partir de un vértice y llegar a

cualquier vértice de A = { u,t,s,z,y,x } por medio

de la relación cuyo dígrafo se muestra?

x

u

st

z Y

31