Regras de Derivaoa) Regras de Derivao de Funes Elementares Como o prprio nome diz, as regras a seguir so de derivao de funes elementares. Utilizadas em conjunto com as Regras Bsicas de Derivao apresentadas a seguir, pode-se derivar qualquer funo elementar. Nota: em todos os casos abaixo, f (x) representa a derivada de f(x) em relao x:

Nota: n, p, q so inteiros. q

0. a e k = constantes reais.

Nota: e a base do logaritmo neperiano: e = 2,718282 Derivada de uma funo constante: Derivada da funo identidade: Derivada da funo quadrtica: Derivada da funo potncia: Derivada da funo inversa: Derivada de potncia com expoente negativo:

Derivada de raiz n-sima: Derivada de potncia com expoente racional:

Derivada da funo exponencial: Derivada da funo exponencial de base a: Derivada da funo logaritmo neperiano:

Derivada da funo coseno: Derivada da funo tangente: Derivada da funo secante: Derivada da funo cotangente:

Derivada da funo cosecante:

b) Regras Bsicas de Derivao As regras a seguir estabelecem uma srie de orientaes de como proceder no caso de composio de funes elementares. Antes de derivar til, se for possvel, transformar a funo em forma de uma soma: abrir os parnteses, separar a parte inteira de polinmios, aplicar logaritmos expresso etc.

Derivada de constante vezes funo: [kf(x)] = kf (x) Derivada da soma: f(x) = u(x) + v(x) => f (x) = u(x) + v(x) Derivada da diferena: f(x) = u(x) - v(x) => f (x) = u(x) - v(x)

Derivada do produto: f(x) = u(x) v(x) => f (x) = u(x) v(x) + u(x) v(x)

Derivada de

Derivada do quociente:

A regra da cadeia e derivadas de ordem superiorEm certos casos precisamos compor determinadas funes. Nesta Seo, por exemplo, vamos atacar o problema de derivar a composio de funes diferenciveis. Apenas, para se ter uma idia mais precisa do assunto, consideremos o exemplo de um ponto (x,y) se movendo no plano xy sobre a curva de modo que sua abscissa percorre o eixo x, obedecendo lei horria . Assim, a abscissa crescente com o tempo (isto , x se movimenta sempre na direo positiva), enquanto que a ordenada y descreve um movimento oscilatrio regido pela lei . Fixemo-nos ento na ordenada y. Podemos logo perceber que o ponto em questo est se movendo sobre o grfico da funo coseno, isto se considerarmos o movimento de sua projeo ortogonal no eixo y. No instante t, qual a velocidade v(t) da ordenada y? Considerando v(t)=dy/dt, teremos a necessidade de calcular a derivada obtida a partir da composio da funo coseno, a qual podemos obter com a seguinte funo: . Veja que a proposio abaixo, ou seja, a regra da cadeia, que nos fornece a ferramenta para tratarmos justamente deste problema.

Teorema (Regra da Cadeia)Seja y= f(x) diferencivel em a, e z= g(y) diferencivel em b=f(a), ento podemos dizer que z=g(f(x)) diferencivel em a (ou seja, diferencivel em a) ou, numa notao mais sugestiva (como se cancelssemos os dys):

Prova. Para provar a validade do atestamos, vamos definir a funo auxiliar

Como para todo y:

,conclumos que h contnua em b e ainda temos

h(y)(y-b)=g(y)-g(b)-g(b)(y-b). Assim, e, ao considerarmos y= f(x), b= f(a), vamos obter:

No entanto, dividindo-se por x-a, e tomando-se os limites para x ->a, chegamos finalmente seguinte equao :

Observe que a frmula usada para chegarmos regra de diferenciao de potncias com expoentes racionais , obviamente, um caso particular da regra da cadeia.

Exemplo1:

*

Donde, (dy/dx) x=0 = 6. A partir de tudo que isto que vimos, voc j se encontra em condies de calcular a velocidade da ordenada daquele ponto se movendo sobre o grfico do coseno, conforme a descrio dada no inicio desta Seo. Procure ento fazer este clculo para tentar assimilar melhor os conceitos de derivadas propostos a partir desta aula. Se uma funo f derivvel num conjunto , fica ento definida uma outra funo f em A, a qual se associa a cada ponto derivada de f em x.

Derivadas de Ordem SuperiorDefinio 1: Uma funo y=f(x) de A em R dita duas vezes diferencivel, se a funo derivada f(x) for diferencivel em A. Neste caso, a derivada de f(x), , chamada de derivada segunda (ou derivada de ordem 2) de f em x, e denotada por f(x). Nas condies da Definio 1 tambm se usam as seguintes notaes para a derivada segunda de f:

Procedendo-se sucessivas vezes de modo inteiramente anlogo, chegamos definio de funo n vezes diferencivel e de derivada n-sima. Isto : Definio 2 Para n pertencente N, tendo definida uma funo f (n1) vezes diferencivel em , e diz-se que f n vezes diferencivel (n-1) em A, se a funo f for tambm diferencivel em A. Neste caso,

chamada de derivada n-sima de f, ou simplesmente derivada de ordem n. Neste caso, tambm se usam as notaes:

para a derivada n-sima de y=f(x). Exemplo 2: (1) Se 4 2

, ento f(0)=2. De fato, , portanto, f(0)=2.3 2 (3)

(2) Se f(x)=x -5x +3, ento f(x)=4x -10x, f(x)= 12x -10, f (4) f (x)=24, ...

(x)=24x,

Derivada de funes implcitasEncerremos esta Seo, considerando-se um mtodo bastante importante para calcular certas derivadas: as derivadas de funes definidas implicitamente. Uma equao em duas variveis x e y pode definir y como funo de x, pelo menos para x e y restritos a convenientes subconjuntos de R. Por exemplo, a equao x +y =1, para -1 Logo a derivada de x2 + y2 =0 ser: 2x + 2y * y = 0 => * *