Regra de Trs CompostaEnquanto a regra de trs simples relaciona duas grandezas, a regra de trs composta possui o objetivo de relacionar trs ou mais grandezas. Inmeras situaes cotidianas so determinadas com o uso de uma simples regra de trs. Dessa forma, quem est prestes a participar de um concurso pblico atravs de processo seletivo, deve estar atento ao uso das propriedades da regra de trs. Na regra de trs composta devemos analisar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais, baseando-se na grandeza a ser calculada. Caso seja diretamente proporcional (d.p.), a ordem mantida, e no caso de ser inversamente proporcional (i.p.), invertemos a ordem da grandeza antes de realizarmos os clculos. Vamos atravs de exemplos prticos, demonstrar os clculos efetuados na resoluo de problemas envolvendo a regra de trs composta. Exemplo 1 Usando um ferro eltrico 20 minutos por dia, durante 10 dias, o consumo de energia ser de 5 kWh. Qual ser o consumo do mesmo ferro eltrico se ele for usado 70 minutos por dia, durante 15 dias?

O consumo do ferro eltrico ser de 26,25 kWh. Exemplo 2 Trabalhando oito horas por dia, durante 16 dias, Pedro recebeu R$ 2 000,00. Se trabalhar 6 horas por dia, durante quantos dias ele dever trabalhar para receber R$ 3 000,00?

Pedro ter que trabalhar 32 dias. Exemplo 3 Cinco trabalhadores de produtividade padro e trabalhando individualmente, beneficiam ao todo, 40 kg de castanha por dia de trabalho referente a 8 horas. Considerando que existe uma encomenda de 1,5 toneladas de castanha para ser entregue em 15 dias teis, quantos trabalhadores de produtividade padro devem ser utilizados para que se atinja a meta pretendida, trabalhando dez horas por dia? 1,5 toneladas = 1500 kg

Para atingir a meta pretendida sero necessrios 10 funcionrios.

Transformando regra de trs compostas em regra de trs simples

Uma maneira fcil (sem precisar decorar regras) de resolver uma regra de trs compostas transform-la em regra de trs simples, tomando o cuidado de usar o que for diretamente proporcional. Por exemplo: a quantidade de dias inversamente proporcional quantidade de operrios a quantidade de estantes diretamente proporcional quantidade de operrios Ento no se deve armar a regra de trs simples com a quantidade de dias. Deve-se armar a regra de trs simples com a quantidade de estantes fabricadas por dia. Exemplo: "O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 40 operrios para fazer 10 estantes em 5 dias. Quantas estantes ele fabricar em oito dias, sabendo ele que s poder usar 30 empregados?" Soluo: 40 operrios produzem 10/5 = 2 estantes por dia Os 30 operrios faro x/8 estantes por dia

Armando a regra de trs simples: 40 - 2 30 - x/8 40.x/8 = 30x2 x = 12 estantes

- Sistema Lineares

Chamamos de sistema linear um conjunto de equaes lineares. Esse conjunto pode ter m equaes e n incgnitas. Resolver um sistema linear consiste em determinar o conjunto soluo de suas incgnitas, isto , encontrar os valores desconhecidos que tornem o sistema verdadeiro. De acordo com a soluo, um sistema pode ser classificado da seguinte forma:

Possvel e determinado: uma nica soluo Possvel e indeterminado: infinitas solues Impossvel: no possui solues. Observe o seguinte sistema linear com trs equaes e trs incgnitas: Exemplo 1

Devemos aplicar conhecimentos matemticos relacionados resoluo de sistemas no intuito de descobrir os valores de x, y e z. Nessas situaes, o clculo mental se torna muito complexo. Observe o mtodo de resoluo oferecido para este sistema linear: 1 equao Isolar x x + 2y + 3z = 1 x = 1 2y 3z 2 equao Substituir x por 1 2y 3z 4x y z = 3 4 * (1 2y 3z) y z = 3 4 8y 12z y z = 3 9y 13z = 3 4 9y 13z = 1 3 equao Substituir x por 1 2y 3z x+yz=6 1 2y 3z + y z = 6 y 4z = 6 1 y 4z = 5 Resolver o novo sistema determinando os valores de z e y.

A soluo do sistema linear : x = 1, y = 3 e z = 2. Nesse caso, o sistema possvel e determinado. Exemplo 2

Isolar x na 1 equao x + 2y z = 3 x = 3 2y + z Substituir x na 2 equao 3x y + z = 1 3 * (3 2y + z) y + z = 1 9 6y + 3z y + z = 1 7y + 4z = 8 Substituir x na 3 equao 2x + 4y 2z = 6 2 * (3 2y + z) + 4y 2z = 6 6 4y + 2z + 4y 2z = 6 0y + 0z = 6 6 0y + 0z = 0 Na ocorrncia dessa situao dizemos que o sistema possvel e indeterminado, pois nesse caso as incgnitas admitem infinitas solues. Por qualquer valor que trocarmos y e z na equao 0y + 0z = 0, tornamos a sentena verdadeira. Observe: y=3ez=4 0 * 3 + 0 * 4 = 0 verdadeiro

y=7ez=4 0 * 7 + 0 * (4) = 0 verdadeiro Um sistema ser impossvel quando na sua resoluo ocorrer sentena semelhante a 0y = 4, pois nessas condies temos uma diviso impossvel, 4 / 0.

Funo ExponencialTweet

As funes exponenciais so utilizadas nas situaes envolvendo crescimento e decrescimento, onde a varivel est localizada no expoente de uma base. Sua lei de formao dada pela relao de dependncia entre y e x, da seguinte forma: y = ax ou f(x) = ax , de modo que a seja maior que 0 e diferente de 1. As funes exponenciais so classificadas em crescentes ou decrescentes. As funes crescentes possuem base a com valor numrico maior que 1 ( a > 1) e as decrescentes possuem base a maior que 0 e menor que 1 (0 < a < 1). Grfico da Funo Exponencial Crescente (a > 0)

y = 2x

Grfico da Funo Exponencial Decrescente (0 < a < 1) y = (1/2)x

As aplicaes financeiras envolvendo juros compostos so exemplos de funes exponenciais, em razo da propriedade acumulativa dos juros nesse regime de capitalizao. A prtica de juros sobre juros utilizada na cobrana de dvidas, no fornecimento de emprstimos e na aplicao de capitais so representadas por funes onde a varivel se encontra no expoente. No clculo dos juros compostos utilizamos a expresso M = C * (1 + i)t, onde M (montante), C(capital), i(taxa de juros unitria) e t (tempo de aplicao). Observe que nessa expresso o montante est em funo do produto entre o capital e o fator de capitalizao (1 + i)t, onde t o expoente da expresso. Vamos desenvolver uma aplicao de um capital de R$ 200,00, a taxa de 2% ao ms, no intuito de verificarmos o comportamento do grfico dessa funo. Veja: Aps 6 meses de aplicao M = 200 * (1 + 0,02)6 M = 200 * 1,026

M = 200 * 1,1262 M = 225,23 Aps 1 ano M = 200 * (1,02)12 M = 200 * 1,2682 M = 253,65 Aps 2 anos M = 200 * (1,02)24 M = 200 * 1,6084 M = 321,69 Aps 10 anos M = 200 * 1,02120 M = 200 * 10,7672 M = 2 153,03 Observe o crescimento do coeficiente de capitalizao do dinheiro: (1 + i)t 6 meses 1,1262 1 ano = 12 meses 1,2682 2 anos = 24 meses 1,6084 10 anos = 120 meses 10,7672

O grfico representa uma curva que cresce exponencialmente de acordo com o decorrer dos meses.

LogaritmoTweet

O conceito de logaritmo foi criado pelo matemtico escocs John Napier (1550 1617) e aperfeioado pelo ingls Henry Briggs (1561 1630). A criao do logaritmo deveuse necessidade de facilitar e reduzir clculos relacionados astronomia. Vejamos como ficou definido o logaritmo de um nmero. Definio: Considere dois nmeros reais positivos a e b, sendo b 1. O logaritmo de a na base b um nmero real x, tal que:

Onde a o logaritmando. b a base do logaritmo. x o logaritmo. Vejamos alguns exemplos para compreenso da definio.

Da definio de logaritmo decorrem algumas propriedades imediatas. Propriedades do logaritmo. 1. O logaritmo da unidade em qualquer base nulo.

2. O logaritmo da base sempre igual unidade.

Exemplo: Utilize a definio e as propriedades para determinar o valor de x em cada caso.

Juros SimplesTweet

No regime de juros simples as taxa de juros so aplicadas somente sobre o capital inicial. Dessa forma podemos concluir que o valor dos juros em cada ms o mesmo. Essa forma de aplicao no utilizada atualmente, mas serve de parmetro para o estudo dos juros compostos. Vamos demonstrar a rentabilidade do dinheiro no regime de juros simples de acordo com o exemplo. Vamos determinar o valor do montante de um capital de R$ 1.650,00 aplicados a uma taxa de 2% ao ms durante 12 meses.

O valor do juro mensal de R$ 33,00. Considerando que o dinheiro ficou aplicado durante 12 meses, teremos: 12 * 33 = 396 reais de juros. O montante dever ser calculado adicionando o capital aplicado ao valor total dos juros. Montante igual a R$ 1 650,00 + R$ 396 = R$ 2 046,00. A tabela foi construda no intuito de demonstrar a movimentao de uma aplicao no regime de juros simples. Sua utilizao se torna invivel para o clculo de aplicaes que envolva longos perodos. Para tal situao devemos utilizar expresses matemticas que determinam o valor dos juros e do montante de acordo com a taxa de juros e o tempo de aplicao. Observe: J=C*i*t M=C+J J = juros C = capital i = taxa de juros t = tempo de aplicao M = montante Vamos calcular o valor do montante de uma aplicao de R$ 620,00 durante 15 meses a uma taxa mensal de 1,5%, utilizando o regime de juros simples. C = 620 i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015 t = 15 j = 620 * 0,015 * 15 j = 139,50

M=C+J M = 620 + 139,5 M = 759,50 O valor do montante final ser de R$ 759,50. Com a ajuda dessas expresses podemos determinar o valor dos juros, do tempo e da taxa de juros. Calculando a taxa de juros A que taxa de juros devemos aplicar um capital de R$ 3 500,00 que aps 8 meses deve formar um montante de R$ 4 060,00. J = 4 060 3500 J = 560 J=C*i*t 560 = 3500 * i * 8 560 = 28000* i 560 / 28000 = i i = 0,02 i=2% A taxa correspondente de 2% Calculando o tempo Depois de quanto tempo um capital de R$ 2 230,00 gerou um montante de R$ 2 564,50 a taxa de 1,5% ao ms? J = 2 564,50 2230 J = 334,5 J=C*i*t 334,5 = 2230 * 0,015 * t 334,5 = 33,45 * t 334,5 / 33,45 = t t = 10 O tempo foi de 10 meses.

Capitalizao SimplesCapitalizao simples aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, no incide, pois, sobre os juros acumulados. a taxa varia linearmente em funo do tempo. Se quisermos converter a taxa diria em mensal, basta multiplicar a taxa diria por 30; se desejarmos uma taxa anual e tendo a mensal, basta multiplicar por 12, e assim por diante.

CALCULO DOS JUROS:Valor dos juros obtido da expresso: J = C x i x n onde:

j = valor dos juros C = valor do capital inicial ou principal i = taxa n = prazo M = montante final

EXEMPLO DE APLICAO:1 - Qual o valor dos juros correspondentes a um emprstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa cobrada de 3% a m.? Dados: C = 10.000,00 n = 15 meses i = 3% a m. j =? soluo: j=Cxixn j = 10.000,00 x 0,03 (3/100) x 15 = 4.500,00 2 - Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar a taxa correspondente? C j n i = 25.000,00 = 5.000,00 = 10 meses =?

soluo: j=Cxixn i = J / C x n = 5.000,00/25.000,0 x10 = 0,02 ou 2% a. m. 3 - Uma aplicao de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicao? C = 50.000,00 j = 8.250,00 n = 180 dias i =? soluo: i = j / C x n i = 8.250,00 / 50.000,00 x 180 = 0,00091667, ou 0,091667% ao dia. Taxa anual = 360 x 0,00091667 = 0,33 ou 33% a a Observao: Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos clculos ser diria; se o prazo for em meses, a taxa ser mensal; se for em trimestre, a taxa ser trimestral, e assim sucessivamente.

Juros CompostosTweet

Podemos dizer que juro uma remunerao calculada sobre um capital, uma taxa recebida por algum que emprestou dinheiro, os lucros de um investimento financeiro, entre outras definies. Muitas pessoas realizam depsitos em bancos, pois dessa forma o investidor fornece s instituies financeiras um capital o qual ela possa investir, e por esse capital o investidor recebe uma quantia extra denominada juros. Os juros so divididos em dois: simples e compostos. Vamos dar nfase ao estudo dos juros compostos em virtude de sua forma de capitalizao ser a mais utilizada atualmente. No regime de capitalizao composta, os juros do ms so incorporados ao capital seguinte, que aplicados taxa de juros fixa geram um novo montante a cada ms. Essa prtica recebe o nome de juros sobre juros. Observe a planilha de rendimentos envolvendo juros compostos: Considere que uma pessoa aplique R$ 1500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1,5% de juro ao ms. Qual ser o valor ao final da aplicao?

A tabela serve como suporte para visualizarmos melhor o andamento da aplicao financeira no regime de juros compostos. Mas nas situaes em que o tempo de aplicao muito extenso, utilizamos uma frmula matemtica. Veja: M = C * (1 + i)t, onde: M: montante C: capital t: tempo de aplicao i: taxa de juros da aplicao Exemplo 1 Um investidor aplica R$ 2 200,00 durante 12 meses a uma taxa de juros de 1% ao ms. Determine o montante produzido por essa aplicao. M=? C = 2200 t = 12 i = 1% 1 / 100 0,01

M = C * (1 + i)t M = 2200 * (1 + 0,01)12 M = 2200 * 1,0112 M = 2200 * 1,126825 M = 2479,02 O montante produzido ser de R$ 2 479,02. Exemplo 2 Uma empresa toma emprestado junto a um banco a quantia de R$ 20 000,00. Essa quantia ser paga aps 2 anos e 6 meses a uma taxa de juros mensais de 0,75%. Qual o valor a ser pago pelo emprstimo? M=? C = 20 000 t = 2 anos e 6 meses = 30 meses i = 0,75% 0,75/100 0,0075 M = C * (1 + i)t M = 20 000 * (1 + 0,0075)30 M = 20 000 * 1,007530 M = 20 000 * 1,251272 M = 25 025,44 O valor a ser pago pelo emprstimo ser de R$ 25 025,44.

Taxa Real e Taxa AparenteOs rendimentos financeiros so responsveis pela correo de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. As taxas de juros so corrigidas pelo governo de acordo com os ndices inflacionrios referentes a um perodo. Isso ocorre, no intuito de corrigir a desvalorizao dos capitais aplicados durante uma crescente alta da inflao. Entendemos por taxa aparente o ndice responsvel pelas operaes correntes. Dizemos que a taxa real e a aparente so as mesmas quando no h a incidncia de ndices inflacionrios no perodo. Mas quando existe inflao, a taxa aparente ser formada por dois componentes: um ligado inflao e outro, ao juro real. Para entendermos melhor o funcionamento da taxa aparente e da taxa real de juros vamos simular uma situao, observe: Um banco oferece uma aplicao na qual a taxa de juros efetiva corresponde a 12% ao ano. Considerando-se que no mesmo perodo fora registrada uma inflao de 5%, podemos afirmar que a taxa de 12% oferecida pelo banco no foi a taxa real de remunerao do capital, mas sim uma taxa aparente, pois os preos nesse perodo foram reajustados. Para descobrirmos a taxa de juros real, devemos aplicar o capital taxa de 12% e corrigir monetariamente o mesmo capital usando o ndice inflacionrio do perodo. Feitos esses clculos basta realizar a comparao entre os valores obtendo a taxa real de rendimento.

Supondo um capital de R$ 150,00, determine a taxa real de acordo com as condies demonstradas. Montante da aplicao referente taxa de juros de 12% 150 * 1,12 = 168 Montante da correo do ndice inflacionrio correspondente a 5% 150 * 1,05 = 157,5 Observe que o ganho real foi de R$ 10,50 em relao ao valor corrigido de acordo com o ndice inflacionrio. Portanto, a taxa real pode ser dada pela seguinte diviso: 10,5 / 157,5 = 0,066 = 6,6% A taxa real foi de 6,6%. Podemos determinar a taxa real, a taxa aparente e a inflao de uma forma simples, utilizando a seguinte expresso matemtica: 1 + ia = ( 1 + ir ) * ( 1 + I ) Onde: ia = taxa aparente ir = taxa real I = inflao Exemplo 1 Um emprstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano. Considerando-se que a inflao do perodo foi de 21%, determine a taxa real anual. Taxa aparente = 32% = 0,32 Inflao = 21% = 0,21 1 + 0,32 = (1 + ir) * (1 + 0,21) 1,32 = (1 + ir) * 1,21 1,32/1,21 = 1 + ir 1,09 = 1 + ir ir = 1,0909 1 ir = 0,0909 ir = 9,09% A taxa real anual foi equivalente a 9,09%. Exemplo 2 Uma instituio financeira cobra uma taxa real aparente de 20% ano, com a inteno de ter um retorno real de 8% ao ano. Qual deve ser a taxa de inflao? Taxa aparente = 20% = 0,2 Taxa real = 8% = 0,08

1 + 0,2 = (1 + 0,08) * (1 + I) 1,2 = 1,08 * (1 + I) 1,2 / 1,08 = 1 + I 1,11 = 1 + I 1,11 1 = I I = 0,11 I = 11% A taxa de inflao deve ser igual a 11%. Exemplo 3 Qual deve ser a taxa aparente que equivale a uma taxa real de 1,2% ao ms e uma inflao de 15% no perodo? Taxa real = 1,2% = 0,012 Inflao = 15% = 0,15 1 + ia = (1 + 0,012) * (1 + 0,15) 1 + ia = 1,012 * 1,15 1 + ia = 1,1638 ia = 1,1638 1 ia = 0,1638 ia = 16,38%

Desconto Composto Racional

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O desconto composto racional calculado de acordo com o regime de capitalizao composta. Conhecido como desconto por dentro ou racional, ele estabelece a diferena ente o valor futuro e o valor atual de um ttulo. Esse tipo de operao ocorre somente quando um ttulo descontado anterior ao seu vencimento. A expresso matemtica responsvel pelos clculos envolvendo esse tipo de desconto a seguinte:

Exemplo 1 Calcular o valor do desconto composto racional de um ttulo de valor nominal de R$ 14.000,00, descontado 4 meses antes do seu vencimento, taxa de 2,5% a.m. Taxa (i) = 2,5% = 2,5/100 = 0,025

O desconto ser de R$ 1.316,69. Exemplo 2 Uma Nota Promissria relativa a uma dvida de R$ 4.000,00, com prazo de 10 anos a juros compostos de 10% a.a. capitalizados anualmente, foi descontada 3 anos antes de seu vencimento taxa de juros compostos de 12% a.a. com capitalizao anual. Qual o valor do desconto composto racional? Calculando valor futuro da Nota. FV = VP * (1 + i)t FV = 4000 * (1 + 0,1)10 FV = 4000 * 1,110 FV = 4000 * 2,593742 FV = 10.374,97 Calculando o valor do desconto composto racional

Em algumas situaes devemos determinar a Exemplo 3 Determine o valor a ser resgatado no desconto de um ttulo no valor de R$ 15.000,00 vencvel daqui a 9 meses, taxa de juros efetiva de desconto racional composto de 52% ao ano capitalizvel trimestralmente. Taxa (i) = 52% ao ano = 52/100 = 0,52 Tempo = 9 meses = 3 trimestres Vamos determinar a equivalncia das taxas:

Determinando o desconto

Valor a ser resgatado 15000 4 042,59 = 10 957,41 Temos que o valor a ser regatado equivalente a R$ 10 957,41.

Taxa Nominal e Taxa EfetivaTweet

As aplicaes envolvendo juros compostos dependem das taxas fornecidas na forma de porcentagem. Elas tm o objetivo de corrigir o dinheiro durante o perodo de aplicao. Vamos estabelecer as diferenas entre a taxa nominal e a taxa efetiva, demonstrando as formas de converso entre elas. Taxa Nominal Na taxa nominal, o tempo de aplicao no confere com o tempo referido. Por exemplo, as seguintes situaes um caso que representa tal modalidade: Juros de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. Juros de 20% ao ano, capitalizados bimestralmente. Esse modelo de taxa considerada uma taxa falsa, frequentemente utilizada em perodos referentes a ano. Taxa Efetiva Na taxa efetiva, a unidade de tempo coincide com a unidade de tempo da aplicao. Veja: Taxa de 1,5% ao ms, com capitalizao mensal. Taxa de 2% ao semestre, com capitalizao semestral. Dentre as taxas citadas devemos utilizar a efetiva, pois ela confere os juros de forma correta. Na transformao da taxa nominal para a taxa efetiva, utilizamos uma regra de trs, que ir ajustar proporcionalmente a taxa nominal ao perodo de capitalizao.

Exemplo 1 Uma situao financeira prev uma taxa anual de 72%. Determine a taxa mensal para o caso de capitalizaes mensais. 72% ---------- 12 meses x% ----------- 1 ms 12x = 72 x = 72/12 x=6 A taxa mensal relativa a uma taxa nominal de 72% ao ano de 6% ao ms. Exemplo 2 Determine a taxa efetiva capitalizada trimestralmente relativa a uma taxa nominal de 32% ao ano. 32% ------------ 12 meses x% ------------- 3 meses 12x = 96 x = 96/12 x=8 A taxa efetiva ser de 8% ao trimestre. Podemos afirmar que a taxa efetiva maior que a taxa nominal, estabelecido o perodo anual. Por exemplo, uma taxa nominal de 12% ao ano corresponde a uma taxa efetiva mensal de 1%. Aplicando essa taxa efetiva mensal durante os 12 meses do ano, teremos a seguinte taxa efetiva anual: 1 + if = (1 + 0,01)12 1 + if = 1,0112 if = 1,126825 1 if = 0,126825 if = 12,6825% Para tais clculos podemos utilizar a seguinte expresso matemtica:

, onde: i: taxa nominal if: taxa efetiva k: nmero de capitalizaes para o perodo da taxa nominal. Exemplo 3 Uma taxa nominal de 36% ao ano capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva. i = 36% = 0,36 ao ano 1 ano = 2 semestres k = 2

Taxa efetiva de 39,24% ao ano. Exemplo 4 Dada uma taxa nominal de 15% ao ano capitalizada mensalmente, determine a taxa efetiva. i = 15% = 0,15 ao ano 1 ano = 12 meses k = 12

A taxa efetiva ser de 16,0755% ao ano.

Taxas Equivalentes em Juros CompostosVamos recordar a definio de taxas equivalentes, fornecida anteriormente: Duas taxas so ditas EQUIVALENTES quando, referidas a perodos distantes e aplicadas sobre o mesmo capital , no mesmo prazo, produzem montantes iguais. Traduzindo: duas taxas so equivalentes se, no mesmo prazo, tanto faz aplicar uma ou outra sobre o capital. No regime de JUROS SIMPLES, as taxas equivalentes so tambm PROPORCIONAIS. Por exemplo: a juros simples, tanto faz eu aplicar R$ 100,00 taxa de 2% ao ms durante 1 ano ou aplicar R$ 100,00 taxa (proporcional anterior) de 24% ao ano durante 1 ano. Tanto num caso como no outro eu vou ganhar a mesma coisa: No regime de JUROS COMPOSTOS, todavia, as taxas equivalentes no so necessariamente proporcionais. Considere a seguinte situao: um indivduo aplicou R$ 100,00 durante 1 ano, a uma taxa de 2% a.m., com capitalizao mensal. Vamos calcular o montante produzido no final do prazo. C = 100 capitalizao mensal i = 2% a.m. = 0,02 t = 1 ano = 12 meses => n = 12 M = C (1 + i)n M = 100 (1 + 0,02)12 M = 100 . 1,268242 M = 126,82

Voc percebeu que o capital, de 100 passou para um montante de 126,82? Houve, portanto, um aumento de 26,82%. Se tivssemos utilizado uma taxa de 26,82% a.a., capitalizada ANUALMENTE, o montante seria de: M = C (1 + i)n M = 100 (1 + 0,2682)1 M = 100 . 1,2682 M = 126,82 Uma vez que os montantes so iguais, podemos concluir que a taxa de 2% ao ms EQUIVALENTE, em juros compostos, taxa de 26,82% ao ano. O mais importante notarmos que: (1 + 0,02)12 = (1 + 0,2682)1 Ou seja: Duas taxas so equivalentes quando os seus fatores de capitalizao forem iguais ao mesmo prazo. Esta a grande dica na resoluo de problemas envolvendo taxas equivalentes. Quando se defrontar com um problema sobre taxas equivalentes, voc impor que os fatores de capitalizao sejam iguais. E isto vale tanto para o regime de capitalizao simples como para o regime de capitalizao composta. De fato, sabemos que, tanto para juros simples como juros compostos, o montante (M) dado pelo produto do capital (C) pelo fator de capitalizao respectivo (an). Considere, ento, duas taxas i1 e i2, aplicadas sobre o mesmo capital C, durante o mesmo prazo t, produzindo os montantes M1 e M2. Sejam an,1 e an,2 os respectivos fatores da acumulao de capital. Se i1 e i2 forem EQUIVALENTES, teremos que: M1 = M2 C . an,1 = C . an,2 an,1 = an,2 Ou seja, os fatores de acumulao de capital an,1 e an,2 devero ser iguais. Ns poderamos ter fornecido a voc uma frmula para estabelecer diretamente a equivalncia entre uma taxa e outra. No fizemos isso porque perfeitamente possvel resolver os problemas de equivalncia igualando os fatores de acumulao, e no queremos que voc fique com mais uma frmula ocupando a sua cabea.

Taxa Proporcional

A diferena entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos. Definies das taxas equivalente e proporcional: Taxas proporcionais so taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. Este caso se tiver uma taxa ao ano, e o perodo do problema em meses, basta dividir a taxa por 12, ou seja, um (1) ano tem doze (12) meses. Taxas equivalentes so taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.

Sistema de Amortizaes ConstantesTweet

Todo emprstimo a ser pago em prestaes, possui em sua composio duas situaes: a amortizao do emprstimo e os juros cobrados. O emprstimo simplesmente uma forma de aplicao financeira da instituio, pois o valor emprestado devolvido em parcelas mensais e na totalizao do pagamento, o valor final supera o inicial. Portanto, as instituies financeiras movimentam seus lucros baseando-se nos emprstimos oferecidos s pessoas. O sistema de amortizaes constantes muito utilizado e procurado no financiamento de moradias, pois os valores das prestaes e dos juros so decrescentes e as amortizaes so constantes. Nesse tipo de emprstimo no existe correo baseada na inflao do perodo, j que as taxas utilizadas produzem os juros dentro dos perodos. O interessante para quem realiza um emprstimo nesse sistema, que os juros so calculados mensalmente sobre o valor devido, isso implica em juros decrescentes, considerando a amortizao mensal constante. Vamos demonstrar atravs de uma situao-exemplo, a planilha responsvel pelo clculo das prestaes no SAC, bem como os valores decrescentes dos juros. Observe: Um emprstimo no valor de R$ 90.000,00 foi liberado para uma pessoa adquirir uma moradia. A instituio credora utiliza uma taxa de juros no valor de 2% ao ms. O valor das prestaes calculado utilizando o sistema de amortizao constante. Construa a tabela do financiamento, destacando o valor decrescente das prestaes mensais e dos juros, considerando que o emprstimo ser pago em 15 prestaes. O valor das amortizaes calculado dividindo o valor do financiamento pelo nmero de meses para quitao do emprstimo: 90 000: 15 = 6 000 Taxa = 2% = 2/100 = 0,02