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Redes de Fluidos

Folhas de Tericas de Apoio Cadeira Ano lectivo de 2006/2007 Departamento de Engenharia Mecnica rea Cientfica de Termodinmica Aplicada Realizadas pelo Docente da Cadeira:Miguel Cavique

Outubro de 2007 Verso 1.1. Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 2 - 59 Verso 1.1 Jan 20071. Introduo Da experincia colhida nos ltimos anos, pretende-se que estas folhas possam contribuir paraamelhoriadoconhecimentodosalunosnadisciplinadeRedesdeFluidos.Esta disciplina,com7ECTS,deverdaraosalunosasbasesquelhespermitamdefinir sistemas mais elaborados.Os alunos devero considerar uma carga de trabalho externa s aulas de 110h, das quais 90h no perodo lectivo.Nofinal,osalunosdeverodominarosconhecimentosbsicosdeRedesdeFluidos, saberaplic-losaoscasosderedesprediaiseurbanasdegsedeguasabendo inscrev-las e dimension-las, conhecer os equipamentos bsicos destas redes e analisar redesemanel.Saberoaindadimensionarredeselementaresdeguaedearem instalaesdearcondicionado.Deverodemonstraracapacidadedeaplicaros conhecimentos obtidos a redes com outros fluidos. Asmatrias leccionadas deveroser encaradascomoaplicaesdos conhecimentosde base, no devendo ser confundido com manuais de projecto de redes gs, gua ou de ar condicionado.Posteriormente e na vida activa devero os alunos conhecer em pormenor os cdigos de boaprtica,otipodeaplicaodeterminadopor cadadistribuidoradegsoudegua, ou conhecer as tcnicas de aplicao a cada indstria. Estasfolhaspretendemserumresumodamatriaecomotalumbomauxiliar.So indicadasasprincipaisdemonstraes,mesmoqueemalgunscasossefaausode comparaocomoutrosmtodos,osdadosmaisimportantesparaodimensionamento deredesepropostasdeexerccios,detrabalhosedereflexessobreotema.Como primeira verso melhorada das folhas anteriores, ser concerteza alvo de melhorias. Os alunosdevemencar-lascomoumamanualdeaplicaogeralnodispensandoa consulta de outros referidos na bibliografia. Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 3 - 59 Verso 1.1 Jan 20072. Perdas de carga 2.1. Equao de Bernoulli Bernoullidemonstrouquenumescoamentodeumqualquerlquidoentredoispontos (1-montantee2-jusante)olquidocedeenergiaparavencerasresistnciasquese oferecem ao seu escoamento. A equao da energia pode ser expressa por:

,`

.| + + ,`

.| + + 2 2221 121gh p2Vgh p2VP (2.1) onde: -h1 e h2 so as cotas-p1 e p2, as presses estticas -V1 e V2, so as velocidadesrespectivamente nos pontos 1 e 2 definidos anteriormente. Emqualquerprojectodeumaredenecessriocalcularaenergiaqueolquidoir despender para poder escoar na tubagem, isto a perda de carga na tubagem.2.2. Frmula de Darcy Aperdadecarga,oudeenergia,resultadoatritointernodolquidodevidosua viscosidadeedaresistnciaoferecidapelasparedesemvirtudedasuarugosidade. Darcy props a expresso geral da perda de carga: 2V.DL. . f P2 (2.2) sendoP a perda de carga, que varia directamente com ocomprimento L da tubagem, com a energiacintica do escoamento e com o factor de atrito f e inversamente com o dimetroDdasecodoescoamento.Estaexpressopodeserobtidaporanlise dimensional._________________________________________________ Exerccio 2.1. Analise dimensionalmente a expresso (2.2).AperdadecargaPmuitasvezesexpressaem(m.c.a.). Altere(2.2)demodoqueaperdadepressosejaobtidaem metros de coluna do lquido considerado._________________________________________________ Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 4 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Nas expresses que se seguem D ser considerado o dimetro de uma conduta circular. Emcasosdecondutascomoutrasformaspoder-se-utilizaremsuasubstituioo dimetrohidrulicoDhdadopelarelaode4vezesasecodacondutasobreo permetromolhado.ParaumacondutacircularDh=D,comoseverificapelaexpresso DD .4D. 4PA . 4D2h .Numacondutadesecorectangulardedimensesaeb,o dimetro hidrulico ser ) b a () b . a ( 2Dh+ . _________________________________________________ Exerccio2.2.Paraumacondutadearcondicionadode secorectangularconsiderebadimensovertical supostamente fixa e a a dimenso horizontal com possibilidade devariar.Provequepormaiorquesejaa,oDhdependente de b no podendo ser superior a 2b._________________________________________________ Rescrevendo a eq. 2.2 funo do caudal Q, para uma conduta circular:522DQ. L . .f. 8 P (2.3) Ou para um fluido e admitindo f aproximadamente constante: 52DQ. L . K P (2.3. a) Emregimeturbulento,ofactordeatritofdepende,darugosidaderelativadasparedes da tubagem./D. sendo a rugosidade absoluta das paredes Re o nmerode Reynolds dado por D . VRe (2.4) onde a viscosidade cinemtica do fluido1.A viscosidade cinemtica funo da viscosidade dinmica segundo-/ . A viscosidade dos fluidos varia com a temperatura. Para o ar e gs natural inserem-se na tabela seguinte os valores da viscosidade dinmica em centi Poise: 1 Viscosity Calculator: http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 5 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Viscosidade[cPoise = 10-3 Pa.s] Temperatura [C] 0C15C25C Ar0.01740.01810.0186 Gs Natural sg(0.5)0.01210.01250.0129 Gs Natural sg(0.75)0.01060.01120.0113 Fluido Tabela 2.1 Viscosidade dinmica de gases em centi poise OPoiseaunidadedeviscosidadedinmicadosistemaCGS,devendooseunomea Poiseuille,mdicofrancsdosculoXIX,queestudouacirculaosanguneae escreveu "Le mouvement des liquides dans les tubes de petits diamtres", publicada em 1844.Estaunidadeaindausadaemdiversasindstrias,sendo aconversode1centi Poise=10-3Pa.s.Aviscosidadeemgasesfundamentalmentedependenteda temperatura,variandopositivamentecomoaumentodetemperatura.Acorrecoda viscosidade para presses de 35 bar geralmente inferior a 10% do seu valor. Para a gua e muitos outros lquidos, a viscosidade diminui com a temperatura. A tabela seguinte exprime essa relao em centi Stokes, unidade igual a 10-6 m2/s. Temperatura [C]0152025456080 Viscosidade [cStokes= 10-6 m2/s]1,791,141,010,900,610,490,37 Tabela 2.2 Viscosidade cinemtica da gua Ofactordeatritofpodedependedotipodeescoamento,ecomotaldeRe,eda rugosidadereIativa/D.OconhecidodiagramadeMoodypermiteestabeIeceressa relao. Dado que depende de nmeros adimensionais permite a obteno do factor de atrito para qualquer fluido.Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 6 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Figura 2.1 Diagrama de Moody Este diagrama pode ser expresso por diversas equaes de aproximao. Sitam-sea de Colebrook necessitando de resoluo iterativa, dado que f aparece em ambos os lados da equao:

,`

.|+ f Re7 . 18D2log 2 74 , 1f110(2.5) Ou em alternativa pode ser utilizada a expresso de Hunter-Rouse:14 , 1 log 2110+ ,`

.|Df(2.6) Numa outra expresso explicitada em ordem a f:29 , 010Re74 , 57 , 3Dlog25 , 0f]]]]]]

,`

.|+ (2.7) Ou a expresso de Churcill (1977):Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 7 - 59 Verso 1.1 Jan 2007( )1215 , 112B A1Re88 f]]]]

++ ,`

.| (2.8) 169 , 0D27 , 0Re71ln 457 , 2 A]]]]]]]

,`

.|

,`

.| + ,`

.|e 16Re37530B ,`

.| Osvaloresdarugosidadevariamcomomaterialeestadodeuso,conformetabela seguinte:Rugosidade Absoluta |m] Cobre ou plstico1,5 a 15 Ao polido45 Ao Galvanizado com costura150 a 200 Ao Galvanizado sem costura60 a 150 Ferro Fundido260 Fero Fundido revestido com cimento50 a 150 Tabela 2.3 Rugosidade absoluta de materiais empregues em tubos 2.3. Expresses de correlao Paraumadeterminadaindstriausualautilizaodeumadeterminadagamade dimetrosdetubagensparadeterminadoscaudais,peloqueparaessestiposde escoamentos possvel expressar o factor de atrito funo exclusivamente de Re. f=f(Re)=a.Reb (2.9) sendobprximode0,2paraamaioriadosfluidos,aeq.1.3podeserexpressana forma:mnDQ. L . K P ,(2.10) sendo n prximo de 1,8 e m prximo de 4,8. Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 8 - 59 Verso 1.1 Jan 2007_________________________________________________ Exerccio2.3.Considereostubosdeplsticodedimetros nominaisentre22mmeos90mmcomvelocidadesde escoamento de 1m/s. Utilizando o diagrama de Moody ou uma dasexpressesapresentadasobtenhaf(Re).Seguidamente determineumaequaodeperdadecargadaforma apresentada em (1.7). {Sugesto: para determinar as constantes aebde(1.7),apliqueumarectaderegressodemnimos quadradosaologaritmodaexpresso,ouseja ln(f)=ln(a)+b.ln(Re) }. _________________________________________________ comum estabelecer perdas de presso por unidade de comprimento de tubagem, pelo que a expresso (2.10) surge diversas vezes na Iorma i- P/L. Frmulas diversas tm sido propostas nesta base, nomeadamente as de Fair-Hassio, para tubos de ferro galvanizado at 4: [ ][ ][ ] m Ds m Q002021 , 0 m . a . c . m j88 , 43 88 , 1 (2.11) Ou a Flamant para tubos lisos: [ ][ ][ ][ ]417m Ds m vm Db 4m . a . c . m j

,`

.| ,queparatubosusadostomaaseguinteforma [ ][ ][ ] m Ds m Q0014 , 0 m . a . c . m j75 , 43 75 , 1 (2.12) Sendo b=0,00023 para tubos usados e b=0,00018 para tubos novos.So ainda conhecidas as expresses para tubagem de cobre com gua fria:[ ][ ][ ] m Ds m Q00086 , 0 m . a . c . m j75 , 43 75 , 1 (2.13) Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 9 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Ou para tubagem de cobre com gua quente: [ ][ ][ ] m Ds m Q0007 , 0 m . a . c . m j75 , 43 75 , 1 (2.14) 2.4. Importncia relativa dos parmetros na perda de carga. A expresso (2.3.a) mostra a importncia relativa do dimetro face s restantes variveis daequao.Aperdadecarga,numacondutacircular,varialinearmentecomo comprimento, quadraticamente com o caudal e com o quntuplo do dimetro.Oseventuaiserrosnaescolhaouutilizaodetubos,influenciamodimetrointerior, tendo pois um impacto determinante na determinao da perda de carga.O efeito relativo na presso por variao de um qualquer dos parmetros pode ser obtido diferenciando a expresso (2.3.a). Obtm-se ento: dDDQmKL dQDQnKL dLDQKDPQPLPP d1 mnm1 nmn+ + + + oudividindoporP.obtm-seasvariaesrelativasdapressocomocomprimento, caudal e dimetro:DdDmQdQnLdLPP d + (2.15) Daexpressoanteriorassinala-sequeavariaoem10%nodimetrocausauma variaode cercade50%naperdadecarga. poismuito importante conhecerqualo material e a norma seguida para os tubos empregues numa rede, dado que as variaes para o mesmo dimetro nominal podem ser superiores a 10%. Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 10 - 59 Verso 1.1 Jan 2007_________________________________________________ Exerccio2.3Determineaexpressodoerrorelativode clculodapressoporutilizaoincorrectadodimetro exterior de uma tubagem de polietileno sdr 11, conforme tabela 2.4._________________________________________________ Designao IPDesignao mtrica Ao Galv. DIN2444Srie mdia Ao sem costuraNP EN 1028-I CobreNP-1638 PEISO 4427 Sdr11 Tubo Spiro Taabela parcial DN (pol) D ext (mm) e (mm) D ext (mm) e (mm) D ext (mm) e (mm) D ext (mm) e (mm) D int (mm) Tol (mm) 10.21.860.820380+0.5 13.52.3513.52.380.8323100+0.5 3/817.22.3517.22.3100.8403,7125+0.5 21.32.6521.32.9120.8635,8140+0.6 26.92.6526.92.9151.0908,2150+0.6 133.73.2533.73.6181.011010,0160+0.6 1 42.43.2542.43.6221.012511,4180+0.7 1 48.33.2548.34.0281.216014,6200+0.7 260.33.6560.34.0351.520018,2224+0.8 2 76.13.6576.15.0421.5250+0.8 388.94.0588.95.6542.0280+0.9 4114.31.05114.36.3300+0.9 5139.74.85315+0.9 Tabela 2.4 Dimenses de Tubos NatabelaanteriorDextdesignaodimetroexterior,Dintodimetrointerioreea espessura da parede da tubagem. Nassriesmtricasodimetronormalmentedefinidopeloexterior,demodoque diversos acessrios sejam compatveis entre diversos materiais e normas. Nas sries em polegadas o dimetro nominal no corresponde quer ao exterior, quer ao interior, sendo normalmente ligeiramente superior ao dimetro interior. Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 11 - 59 Verso 1.1 Jan 2007Natubagememplsticocomumdefinirosdr(standarddiameterratio) dadocomoa relao entre o dimetro e a espessura. Assim para o PE 110 sdr 11 a espessura de 110/11= 10mm e o dimetro interior dado por 110-2x10=90mm.NastubagensdeaocomumreferirastubagensfunodoseuScheduleSch, definida como uma relao entre a presso suportada e a tenso admissvel do material. O Sch=1000xP[psig]/S[psi], sendo comum utilizar o Sch 40 para tubagens com fluidos a temperatura prxima da ambiente. 2.5. Perda de carga em regime compressvel A introduo de redes de gs natural veio tornar especialmente importante a anlise de redes de fluidos compressveis. Por facilidade de trabalho os caudais de gs numa rede sonormalmentereferidosscondiesnormais(0)depressoetemperatura.Paraas pressesdetrabalhoat25baretemperaturaambienteogsnaturalpodeser consideradocomogsperfeito.Aplicandoaequaodeestadodosgasesperfeitos pode-sealteraraexpressodeperdadecargacontemplandoocaudalscondies normaisemvezdeconsiderarocaudalquerealmentepassanatubagem. Considere-se pois a expresso (2.3) nas condies de escoamento e introduza-se a equao dos gases perfeitos:00 0TTPP(2.16) A expresso referida pode ser escrita na forma:522DQf8dLdP (2.17) Edadoqueo caudal mssiconacondutaigual aodoslocaisde consumo.Q-0Q0 , muItipIicando e dividindo por:520202DQ 1f8dLdP ou introduzindo 2.16, P TTPDQf8dLdP0052020 Considerando o escoamento isotrmico a expresso anterior pode ser reescrita como:Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 12 - 59 Verso 1.1 Jan 2007PPDQf8dLdP052020 dLDQfP 8dP . P52020 0 (2.18) IntegrandoentreAeBeutilizandoadensidaderelativaaoar(specificgravity,s) obtm-se:LDQf P s16P P52002ar 2B2A (2.19) AmuitoconhecidaexpressodeRenouardparamdiapresso,consideraumarelao do factor de atrito com Re da forma f=f(Re-0.18), transformando 2.19. na expresso: [ ] [ ][ ][ ] mm Dh m Qm L s 9 , 43 bar P P82 , 43 82 , 10 2 2B2A (2.20) Denotarnestaexpresso,facedemonstrao,quePpressoabsoluta.diferena PA2-PB2chamadadiferenaquadrticadepressorepresentadaporP(2),ondeo(2) pretende indicar que uma diferena de quadrados e no o quadrado de uma diferena. ConhecidaapressorelativaemApAeapressoatmosfricapo(1,01325bar), facilmente se obtm a presso relativa em B como: pB= ( (pA+po)2- P(2))1/2-po (2.21) _________________________________________________ Exerccio2.4.DetermineaperdadepressoP-PA-PB= pA-pB numa rede de gs natural com uma tubagem de1000m eumcaudalde150m3/h,quandoapressodeentradaforde 110mbar,1,5bar,4barou7bar(valorestpicosparaapressonominalderedesdegsemmdiapresso).Comente as concluses._________________________________________________ Nas redes de gs em baixa presso a presso de cerca de 20 mbar, valor utilizado nos gasodomsticos mais comuns. A obteno de uma expresso para a perda de carga pode Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 13 - 59 Verso 1.1 Jan 2007ser obtida linearizando a expresso (2.20). Se P for a presso em qualquer ponto e PA a pressonondeinjeco,afunoP2podeserlinearizadapordesenvolvimentoem srie de Taylor P2=PA2- (P-PA) (2.PA). OuP(2)= PA2-P2=2.PA(P-PA), pelo que se sendo p-p-pA=P-PA, p- P(2)/(2.PA),obtendo-sede(2.20)aexpressocomadiferenadepressesem mbar:[ ][ ][ ] mm Dh m Qs 21950 mbar p82 , 43 82 , 10 (2.22) Renouard props uma expresso ligeiramente diferente dada por: [ ][ ][ ] mm Dh m Qs 23200 mbar p82 , 43 82 , 10 (2.23) Asexpressesdescritasmuitoemborasejamvlidasemsentidoestritoparaas aplicaesqueforamdeduzidas,podemnoentantosemerrosignificativosserem utilizadas em outras aplicaes. Afrmulade Renouard para mdia presso aplicada emredesdediversosgasescombustveisapressesentreos100mbareos25bare podeserutilizadaemredesdearcomprimido.Afrmuladebaixapressopodeser utilizada em redes de distribuio de ar. _________________________________________________ Exerccio 2.5. Resolva o exerccio 2.4. em baixa presso (20 mbar) utilizando as expresses (2.20) e (2.23). _________________________________________________ Exerccio 2.6. - Uma tubagem de ar de ao, com rugosidade de 0,01mm,devertransportar10.000m3/h,comumaperdade presso de 1 Pa/m, a uma temperatura mdia de 300K. Nessas condiesamassaespecficadoarde1,1774kg/m3ea viscosidade cinemtica de 15,69x10-6 m2/s.Determine:a) O dimetro, com recurso formula de Renouard para o ar.b)Paraodimetrodaalneaa)eutilizandoodiagramade Moody determine o valor exacto da perda de carga. _________________________________________________ Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 14 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 2.6. Variao da presso relativa com a altura A presso absoluta P na base de uma coluna de lquido obtida da altura h dessa coluna e da presso atmosfrica P0, como sendo: P= P0gh(2.24) Emalgumasinstalaes,nomeadamentedeventilaooudedistribuiodegs, interessa que a uma determinada cota o fluido tenha uma presso relativa determinada. Por exemplo, a distribuio de gs natural necessita que se garanta uma presso relativa de20mbarnosaparelhos,demodoagarantirascondiesdequeima.Dadoquea pressoatmosfricavariaigualmentecomaalturaapressorelativaserobtidada diferenaentreaspressesda colunadearatmosfrica ea colunadefluido.SejaP0a pressoatmosfricanabasedascolunasdeare defluido epg(0)apressorelativana base da coluna do fluido g. A presso absoluta a uma altura h de ambas as colunas ser: Pa(h)= P0-a .g.h, para o ar ePg(h)=P0+pg(0) -g .g.hpara o fluido g. A presso relativa do gs ser ento dada por: pg(h)= Pg(h)-Pa(h)=pg(0)(a-g).gh.Assim sendo, se o gs for menos denso que o ar a presso relativa aumenta com a altura h, dizendo-se que existem ganhos de presso relativapg. Dado que a densidade do ar de cerca de 1,2 kg/m3, a expresso pode tomar a forma em Pa: pg = (a-g)gh = 1,2 g.h(s-1)(2.25) _________________________________________________ Exerccio2.7.a)Determineaalturamanomtrica,avencer por uma bomba, para elevar a 10m uma coluna de gua situada na atmosfera terrestre.b)Determineaalturamanomtrica,avencerporum ventilador,paraelevara10mumacolunadearsituadana atmosferaterrestre.Expliqueaseventuaisdiferenasde concepo encontradas. _________________________________________________ Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 15 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 2.7. Perdas de carga em linha e singulares Almdaperdadecargaocorridaaolongodatubagem,aspeasespeciais,vlvulas, conexes,etc.originamperdasdepressodenominadasdelocais,localizadasou acidentais. Asperdasdecargalocalizadaspodemserdeterminadaspelomtododocomprimento equivalente ou pela perda de energia. Nesta, as perdas localizadas so calculadas usando um coeficiente K, na expresso:g 2VK J2(2.26) Emvlvulasenomeadamenteemvlvulasdecontrolocomumautilizaodeum coeficiente de fluxo Kv usado em:[ ][ ][ ]3v3m / kgbar PK h / m Q (2.27) Omtododoscomprimentosequivalentesbaseia-seemcorresponderperdadecarga decadapeaespecialouligaoaqueproduziriaumcertocomprimentodetubagem comomesmodimetro.Paraoefeitosousadastabelasconformeasindicadasem anexo.Porvezesutilizadoumcomprimentoequivalentequeenglobaasperdasemlinhae singulares. Nas redes de gs comum considerar-se as perdas singulares como 20% das perdasemlinha;nasredesprediaisdeguausa-semuitasvezes30%.Estescritrios estimativosnodeveroserusadosnoscasosemqueexistamdiversosequipamentos, comoocasoderedesdeguadecentraisdearcondicionado.Nestescasos,asoma dasperdasdecargasingularesmaisimportantequeasperdasemlinha,porvezes sendo diversas vezes superior._________________________________________________ Exerccio 2.8- Um anel primrio de um chiller de 160 kW, que trabalhacomguaa7Centradae11Csada,temuma topologiaconformeindicadanafigura.Aredetem15metros emtubodeaode3,contandoaindacomosseguintes acessrios: 4 juntas de dilatao; 2 vlvulas de macho esfrico; Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 16 - 59 Verso 1.1 Jan 20071vlvuladeglobo;1filtro,de21/2,comcaractersticaem anexo; ligaes de entrada e de sada do depsito.Nas condies nominais a perda de presso no evaporador de 43kPa.Utilizandoaexpressodeperdadecarga(2.11), obtenha a perda de carga na rede primria, com base no caudal nominal de gua que dever passar no evaporador. Depsito Circuito Hidrulico _________________________________________________ Notas do aluno sobre a matria do captulo 2: Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 17 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 3. Caudais Asredesdefluidosdeveroserdimensionadasparaoscaudaisinstantneos, eventualmente afectados de coeficientes de simultaneidade. Indicam-se na tabela 3.1. os caudais instantneos de alguns aparelhos sanitrios: Aparelho SanitrioCaudal instantneo [l/s] Lavatrio0,10 Retrete com depsito0,10 Retrete com fluxmetro1,50 Banheira0,35 Duche0,10 0,20 Lavatrio de cozinha0,20 Urinol com descarga 0,05 Tabela 3.1. Consumos instantneos em aparelhos sanitrios Oscaudaisinstantneosparaasredesdegssonormalmenteobtidosdapotncia calorfica til necessria. As potncias calorficas superiores e inferiores, a densidade e a presso tpica de queima so dadas na tabela seguinte: GsPCS [MJ/m3]PCI [MJ/m3]sP [mbar] Cidade (54% H2)17,615,70,68 Natural 42,037,90,6520 Ar Propanado56,652,11,3120 Propano102,193,51,5637 Tabela 3.2. Caractersticas de gases combustveis Aspotnciastpicasdosgasodomsticospodemserreferidasavaloresnominais normalmente associados potncia do caudal de consumo referida ao PCS do gs, ou potnciatiltransferidaparaautilizaodogasodomstico.Nestecasodeve-se considera os rendimentos de queima e de transferncia de calor e o modo de exausto Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 18 - 59 Verso 1.1 Jan 2007dosprodutosdecombusto.SerusadooPCI,casohajacondensaodovaporno permutadordogasodomstico,casocontrriooPCS.Oclculodocaudalfunoda potncia til pode ser obtido de: [ ][ ]. 1000 ]. m / MJ [ PCI3600 . kW Ph / m Q33(3.1) Aspotnciasnominaistpicasdediversosaparelhossoapresentadosnoseguinte quadro:AparelhoPotncia Nom. [kW] Fogo com forno9 Fogo industrial30 a 60 Forno independente6 Grelhador 16 Fritadeira27 Esquentador 11 l/m23 Esquentador 14 l/m28 Termoacumulador 8 Tabela 3.3. Potncias nominais de aparelhos a gs Adeterminaodocaudalmssicodeguamnumarededearcondicionadopodeser obtidodapotnciaPtdosaparelhosquearedeservedeacordocom: Pt[kW]=m[kg/s].c[kJ/kg.K]. T|C],sendococalorespecficodagua, aproximadamente 4,18 kJ/kgK. A diferena de temperatura referida diferena entre a entrada e sada da bateria que serve. A potncia total Pt removida por uma caudal de ar temumacomponentesensveleumacomponentelatente,peloqueseutilizara expresso: Pt[kW]=m[kg/s]. h|kJ/kg]. comumconsiderarquenemtodososaparelhospresentesnumainstalaoestoem funcionamento simultneo. A relao entre o caudal mximo probabilstico num troo e o caudal mximo absoluto de abastecimento de todos os aparelhos a jusante, designa-se Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 19 - 59 Verso 1.1 Jan 2007porcoeficientedesimultaneidadeCs.OCssempreinferiora1,sendocomumpor razes de segurana utilizar valores sempre superiores a 0,20.Note-sequemuitoemboraaequaodacontinuidadesejavlidaemcadainstantede funcionamento da rede, no aparece explicitamente nos caudais simultneos nos troos. Adeterminaodasimultaneidadedoscaudaisexigequeoprojectistaconheaa utilizaodarede.Porexemploparaumarededeguasdeumbalneriodeumclube desportivo ou em uma cozinha industrial de fabrico de po, dever ser usado um valor desimultaneidadede1,enquantoqueparaoabastecimentoaumprdioosvalores relativos ao ramal so prximos de 0,20. Emoutrassituaesutilizam-seexpressesdecorrelaofunodonmerode aparelhos. o caso do abastecimento de gs a diversos fogos. Admitindo que cada fogo tem um fogo e um esquentador comum determinar o caudal Q no troo que abastece N fogos a jusante como sendo: Q[m3/h]=(5+(3.N)0,736).a , com a=0,47 para o GN e a=0,35 para o Propano(3.2.) Uma expresso mais geral era utilizada nas redesde gs de cidade, funo da potncia dosaparelhos.Erausualusar-secomounidadesatermia(1termia=1000kcal),oua kcal/min (1 kcal/h= 1,16 kW). A expresso seguinte foi adaptada dessas unidades. Q[m3/h]=(5+(n1+n2+0,5.n3+1,5.n4+2.n5)0,736+0,267x10-3.Pt).a (3.3.) , sendo n1 o nmero de foges, n2 o de aparelhos de aquecimento de gua at 9 kW, n3 o demquinasdelavaraquecidasags,n4odeesquentadoresat14kW,n5ode esquentadoresentre22e27kWePtapotnciaemkWdosequipamentosde aquecimento ambiente. _________________________________________________ Exerccio3.1-Obtenhaocaudaldesimultaneidadede abastecimentodegspropanoaum edifciode habitao com 8fogos,admitindoqueemcadaexisteumfogo,um esquentador e uma caldeira de 30 kW de aquecimento. _________________________________________________ Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 20 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Oproblemadadeterminaodocaudaldesimultaneidadepodeserresolvidopela determinaodocaudalmximoprovvel,admitindoquecadaaparelhotemuma distribuiodeconsumosegundoumadistribuionormal,commdiaedesvio padro.OcaudaImximoprovvelserobtidodasomadasdiversasdistribuies normaisNi(i.i),tendo umadistribuioN(i. (i2)1/2).Seosn aparelhostiverema mesmadistribuioN( . ).aexpressoanteriorsimplifica-seobtendo-secomosoma uma distribuio N(n. ..n). Seia o quantiI para o quaI se pretende calcular o caudal simultneo Q dos n aparelhos indicados. Este ser dado por: Q- n. . .n(3.4.) Dado que o caudal mximo Qmax, para o mesmo quantil, ser n.( . ) o coeIiciente de simultaneidade Cs ser dado por:n . . nn . . nQQCsmax + + (3.5.) Emmuitassituaesasmdiashorriasdeconsumosopequenas,peloque desprezando Iace a. n1QQCsmax . Dado que comum admitir a simultaneidade de 2 aparelhos como 1, a expresso usada :1 n1QQCsmax (3.6.) Esta expresso usada para a determinao de coeficientes de simultaneidade de redes prediais,considerando-seumvalormnimode0,20.Nestasredesosaparelhosso geralmentediferentesconformeindicadonatabela3.1.Nestassituaescomum considerar nm o nmero de aparelhos de maior consumo (aparelhos de consumo superior mdia):1 n1QQCsmmaxm . Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 21 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 _________________________________________________ Exerccio3.2-Determineocaudaldesimultaneidadede abastecimentodeguaaumamoradiacom3casasdebanho com lavatrio, bid, banheira e sanita, e com cozinha equipada com lava loia, mquinas de lavar roupa e loia e esquentador de 20 l/m._________________________________________________ O caudal a considerar em cada troo poder considerar o caudal dos aparelhos de maior consumoajusanteCsm. Qm,ou,deformamaisconservadora,admitiroscaudaisde todos os aparelhos Csm. Qi. Da expresso 3.5 se o coeIiciente de simuItaneidade tender para 1. Por vezes os consumos mdios dos aparelhos no so desprezveis, podendo admitir-se queoconsumomximodoaparelhoiocorreparaQi-i2i.Sendoadistribuio centrada pode admitir-se i=Qi/2 e i=Qi/4. Ou seja a introduo de cada novo aparelho contribuiemmdiacomumacrscimodecaudaldeQi/2.Estaconclusopode igualmente ser obtida se obtivermos de 3.4. a mdia dos consumos: 2Q)n 211 (2Qnn . . nnQQ + + O resultado desta expresso usado para a determinao dos caudais de simultaneidade numtroo,queabasteceaparelhosagsdepotnciasdiversas.SeQ1eQ2foremos caudaisdosaparelhosdemaiorpotnciadeumconjuntodenaparelhosservidos,o caudaldesimultaneidadeserdadopelasomadessesdoiscaudaiseasemi-somados restantes, conforme a expresso:+ + n3 ii 2 12 / Q Q Q Q (3.7.) Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 22 - 59 Verso 1.1 Jan 2007Desteconjuntodeabordagensdoscaudaisdesimultaneidadehquereterqueo projectistadeveradaptaromtododeclculosituaoparticularquesedepara, devendo usar sempre os modelos consagrados para cada aplicao. _________________________________________________ Exerccio3.3-Umarededegsnaturaldeumedifciofabril, abastece3gasodomsticosagsnaturaldispostosemaltura distanciadosentreside10m.Osaparelhostmumapotncia til de respectivamente: 70kW para o situado na base, 120 kW para o situado no piso acima e 200 kW para o do topo. Calcule os caudais de simultaneidade e determine a variao de presso relativa com a altura._________________________________________________ Notas do aluno sobre a matria do captulo 3: Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 23 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 4. Critrios de Dimensionamento Apsoclculodoscaudaisemcadatroo,podeefectuar-seodimensionamentodo dimetrodastubagensmuitasvezesconfundidocomodimensionamentodarede.Da expresso(2.10),concluiqueparaumfluidoeumdeterminadocomprimentodeum trooodimetrodependedocaudal.Amaioriadosmtodosdedimensionamento tentamobterumafunoentreocaudaleodimetro,D=D(Q).Paraadeterminao desta funo comum considerar um determinado parmetro fixo, tais como: - Velocidade constante. - Perda de presso constante. - Perda de energia constante.- Recuperao de presso esttica, ou ainda- Critrios econmicos.Emqualquerdosmtodoscomumverificarosvaloresdevelocidadeedeperdade carga.Velocidade constante A velocidade imposta, normalmente limitada pelo rudo que provoca. O dimetro ser obtido de:2 / 1V .Q . 4D ,`

.| (4.1) Emtubagensdeguadecircuitosdear condicionado comumautilizaodevalores mximosde2m/s.Algunsautoresaconselhamodimensionamentoa500Pa/mpara caudais at 25 l/s e para caudais superiores dimensionar para 2,4 m/s.Paratubagensdearosvaloresdependemdo trooconsiderado,variando normalmente entre3m/snostroosterminaisa7m/snosprincipais,podendoserutilizadopara orientao a seguinte tabela: Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 24 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 V [m/s] Locais para instalaes centralizadas Conduta Principal Conduta secundria Residenciais ou hotis3-51-3 Espaos pblicos e de servios5-71-3 Espaosindustriaisougrandesespaos comerciais 5-102-5 Tabela 4.1. Velocidade do ar em condutas Nas redes prediais comum que a velocidade da gua seja inferior a 1m/s, embora em algumas instalaes se possa manter por valores superiores dentro da mesma ordem de grandeza.Emredesdegsavelocidaderealdoescoamentodependedapressode funcionamento.ParaumapressomdiaabsolutaPmeumcaudalscondies nominais Q, a velocidade dada por: ] bar [ Pm ]. mm [ D] h / m [ Q. 354 ] s / m [ V23 (4.2) A velocidade no dever ser superior a 15 m/s na coluna montante e a 10 m/s nas redes interiores.Estecritrioutilizadonodimensionamentodecondutaseminstalaescom constrangimentosacsticos,oucomoformadeprdimensionamentoderedes. Geralmente utilizado como critrio de verificao aps a aplicao de outros mtodos, nomeadamente o de perda de presso constante por unidade de comprimento. _________________________________________________

Exerccio4.1-Determineaalturadeumacondutarectangular deinsuflao,deumaunidadedetratamentodear(UTA)de 35.000m3/hdeumagrandeinstalaocomercial,sabendo-se que a sua largura no poder exceder 1,5 m. _________________________________________________ Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 25 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Perda de Presso Ocritriodeperdadepressolinearconstantejocritriomaiscomumde dimensionamento. Diramos mesmo que o critrio de dimensionamento por excelncia sendo usado na maioria das instalaes. Como regra geral este mtodo utiliza 10 a 30% dapressodisponvel,distribuindoasuaperdauniformementepelocomprimentoda rede. Da expresso 2.10 o dimetro de clculo pode ser obtido como: m / 1n)jQ . k( D (4.3.) comumefortementeaconselhvel,queaescolhadosdimetrosparaaredesefaa dosdimetroscomerciais,cujosdimetrosinterioressejamsuperioresaoscalculados. Algum sobredimensionamento da rede geralmente no acarreta sobrecustos de monta na instalao, mas o reverso pode inviabilizar o seu funcionamento.

Em tubagens de gua refrigerada de redes de climatizao a perda de carga pode variar entre100Pa/ma1000Pa/m.comumutilizarvaloresprximosde200Pa/mparaa maioriadasredese500Pa/mparapequenostroosdeinterligaodeaparelhos.Em condutasdearcondicionadoosvaloresvariamentre0,5e3Pa/m,sendocomuma utilizao de 1 Pa/m.Nasredesdeguasprediaisaperdadepressodisponveldependedazonaurbana considerada,facevariaoorogrficadapresso.Apressonaredeprvaria geralmente entre os 2 bar e um mximo de 6 bar; a presso mnima nos aparelhos pa normalmentede3a5m.c.a.ParaumacomprimentoequivalenteLeqdalinhade corrente mais desfavorvel, onde se considera o comprimento da linha e o comprimento equivalenterelativosperdassingulares,eumacotaavencerh,aperdalinearjser dada por: Leqpa h prj (4.4.) Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 26 - 59 Verso 1.1 Jan 2007Nasredesdegsaperdadepressodisponveldefinidapelasconcessionrias, dependendo se a rede interior ou coluna montante e se a presso mdia ou baixa. A ttulo indicativo poder-se-o utilizar os seguintes valores: TopologiaRedePresso relativa [mbar] pr disponvel [mbar] Interior 200,5Coluna em BP Coluna201,0 Interior 201,5Coluna em MP Coluna100-11010-30 Tabela 4.2. Perda de presso disponvel em redes de gs. A perda de presso para a determinar a perda de carga linear dever considerar a perda depressodisponvelnaredepr e os ganhos de pressorelativaconformeexpresso (2.25)ph.DadoqueocomprimentoequivaIentemuitasvezesconsiderado20% superior ao comprimento da tubagem, j pode ser obtido de: L . 2 , 1ph prj + (4.5.) Caso se utilizem outros critrios conveniente que se verifique se a perda de presso na redeestdentrodevaloresadmissveis.Deigualmodoconveniente averificaoda velocidade nos troos. Os critrios de velocidade e de perda de carga podem igualmente servircomocritriosdedimensionamentodoprimeirotroo,comoqualseiniciam outros mtodos como os que se descrevem de seguida. _________________________________________________ Exerccio 4.2- Resolva o exerccio 3.1 admitindo uma perda de cargamximade1mbar.Considereavariaodepresso relativacomaalturaedetermineosdimetroscomerciaisa instalar.Combasenasescolhasefectuadas,determineas presses previsveis entrada dos aparelhos, considerando uma presso de entrada de 37 mbar. _________________________________________________ Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 27 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Perda de Energia Este critrio pretende que a dissipao de energia seja proporcional ao comprimento da tubagem. Como a perda de energia por unidade de comprimento e de tempo, depende da perda de carga e do caudal, pode ser expressa por: |W/m]-Q|m3/s].j[Pa/m](4.6) Este critrio pode ser utilizado no dimensionamento directo de redes malhadas, podendo ser utilizado para redes urbanas de gs ou de gua. Ao contrrio do critrio de perda de cargaconstantepossvelcriarumaredemalhadaajustandoocaudaldemodoquea dissipaodeenergiasejaconstanteequealeidasmalhassejavlida.Nocritriode perdadepressoconstante,jqueaperdadecargatotaldependedocomprimentoda tubagem,nopossvelgarantirqueumdimensionamentoorigineamesmaperdade carga por dois caminhos entre dois pontos.Aaplicaodomtodoinicia-secomadefiniodaperdadepressoecaudaldeum trooinicialoutipo,comaconsequentedefiniode.Conhecido acada caudaI definidaumaperdadecargajeconsequentementeumdimetro.Jqueaconstante quanto maior for o caudal menor ser j, este mtodo garante menores perdas de presso nostroosprincipaisondeo caudalmaior, criandouma estruturaderede compatvel como a possibilidade de expanso. _________________________________________________ Exerccio4.3-Combasenoexerccio4.2.determineos dimetrosdaredeutilizandoomtododeperdadeenergia constante. Considere a perda de presso do primeiro troo para efeitos de determinao do valor de. Com base nas escolhas efectuadas,determineaspressesprevisveisentradados aparelhos, considerando uma presso de entrada de 37 mbar. _________________________________________________ Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 28 - 59 Verso 1.1 Jan 2007Recuperao de Presso Esttica Estecritriousadoquaseemexclusivoparasistemasdeventilao.Considere-sea rede aerlica de insuflao da figura 4.1. com difusores de ar iguais para o ambiente nos pontosBeC.OfluxodearparaoambienteemBouemC,dependedadiferenade pressesentrequalquerdestespontoseoambienteexteriorconduta.Casoapresso em B seja igual presso em C o caudal de insuflao ser igual. Esta situao evita a necessidadedecalibrarosdifusoresparaocaudaldeinsuflao,necessitando-seto somente de acertar o caudal de ar no incio do troo. NoentantohumaperdadepressoentreospontosBeC.Dadoqueadiferenade presso,quefazmoveroardeBoudeCparaoexterior,adiferenadepresses estticas entre o escoamento e o ambiente; j que a energia potencial de presso dada pelasomadapressoestticapeepressodinmicapd=.V2/2,emmuitoscasos possvel manter a presso esttica reduzindo apenas a presso dinmica do escoamento. Figura 4.1. Esquema de uma rede. AplicandoaequaodeBernoullientreBeC,admitindocotasiguaisegarantindo-se presses estticas iguais, obtm-se

,`

.| +

,`

.| 2Vp2V2C2B, ou explicitando Vc: p 2V V2B C(4.7)Estemtodoimplicanormalmenteautilizaodevelocidadedoprimeirotroo ligeiramentemaior,dadoqueaperdadepressocompensadacomavariaode presso dinmica. As velocidades nos troos terminais so geralmente muito baixas. O mtodo inicia-se pela imposio de uma velocidade no primeiro troo, determinando-se a perda de cargap e caIcuIando-se deseguida a velocidade usando (4.7.) O dimetro deste segundo troo calculado usando (4.1.), seguindo-se novamente a perda de carga desse novo troo. ABC Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 29 - 59 Verso 1.1 Jan 2007_________________________________________________ Exerccio4.4-Considerearededafigura4.1e admitaqueno troomaisamontantepassaumcaudaldearde15.000m3/h, extraindo-seemB5.000m3/heemC2.000m3/h.Parauma velocidadeinicialde10m/sdetermineodimetrosdostroos A-B,B-CeoposterioraopontoC,utilizandoomtodode recuperao de presso esttica. _________________________________________________ Critrio Econmico Emtodososcritriosanteriores,existesubjacenteaideiadacorrectaescolhado parmetrodedimensionamento.Esteparmetro estnormalmenteassociadoa factores de ndole econmica.Paraumaanliseeconmicasimplespoderemosconsiderarna equaooinvestimento inicial e o consumo de energia ao longo da vida do investimento. Se a perda de presso linearjaumentar,odimetrodatubagemdiminuieoconsumodeenergiaaumenta. Num investimento de muito curto prazo interessa escolher o menor dimetro compatvel com o funcionamento da instalao, aumentando-se a potncia da central de bombagem. A central de bombagem pode ser ignorada na equao econmica, j que o aumento dos custosdacentraldebombagemdevidosaaumentosdepotncia,sodealgummodo compensados com as redues de dimetro. Ocustodainstalaodatubagemeacessriostemnomercado,umavariaolinear comdimetroD,peloqueoinvestimentoinicialpoderserexpressopor: ( ) D . C C ] m / [ inicial . It 0 + . O custo em energia utilizada depende da potncia entregue ao fIuido. do rendimento gIobaI da centraI de bombagem. do custo unitrio da energia utilizada Ce e do tempo de funcionamento. Dado que a potncia entregue ao fluido Q.j o custo anual em energia ser dado por:

,`

.| ] ano / h [ t )]. h . W /( [ C] m / Pa [ j ]. s / m [ Q] m / ) ano / [( CEe3 O tempo de vida de uma rede de cerca de 30 anos, mas o tempo de investimento para oqualsepretenderentabilizaroprojectogeralmentemuitomaiscurto.Mesmoa custos constantes, ou seja admitindo Ce invarivel, no indiferente pagar a energia do Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 30 - 59 Verso 1.1 Jan 2007perodo de investimento no primeiro ano ou ao longo dos anos. Esta diferena pode ser expressa por uma taxa de investimento i, que representa a valorizao anual lquida que oinvestidordaoseudinheiro.AssimumpagamentoCarealizarnoprimeiroano valerC,masnoprximoanoterumsignificadoactualdeC/(1+i),apsdoisanos C/(1+i)2, aps n-1 anos C/(1+i)n-1.O custo actual ser dado da soma de uma progresso geomtrica de razo r=1/(1+i), ou seja r 1r 1S1 n.poispossveldeterminaraquantosanosAdeesforoactual representam n anos de pagamentos anuais. Este valor pode ser calculado para cada caso, apresentando-se na tabela seguinte alguns casos de interesse: ni5%8%10% 54.54.34.2 108.17.26.8 1510.99.28.4 2013.110.69.4 Tabela 4.3. Anualizao A de investimento a n anos, com taxa i de investimento OinvestimentoinicialnaredeeoconsumodenanosanualizadosemAanospode ento ser expresso por:( )

,`

.|+ + A . t . Cj . QD . C C Ie t 0 (4.8) _________________________________________________ Exerccio4.5-Reescrevaaequao4.8admitindoumalei exponencialparaoinvestimento D . a0e . C ] m / [ inicial . I e obtenha o valor de j econmico adaptando os passos seguintes a esta equao. _________________________________________________ Introduzindo a relao entre dimetro D e caudal Q, na forma:512jQ . kD

,`

.| (4.9) Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 31 - 59 Verso 1.1 Jan 2007Obtm-se:

,`

.|+

,`

.|

,`

.|+ A . t . Cj . QjQ . kC C Ie512t 0 (4.10) Derivando I em ordem a j e igualando a zero obtm-se o mnimo do investimento:216165etQ . k .A . t.CC.51j

,`

.| (4.11) Esta expresso indica uma relao de j com Q-1/2, que expressa que a caudais menores a perdadecargadeversersuperiorquequadruplicando-seocaudalaperdadecarga deverreduzir-seametade.MostraaindaumaquaselinearidadecomarelaoCt/Ce, parmetro razoavelmente constante ao longo do tempo. _________________________________________________ Exerccio4.6-Determineosdimetrosporcadaumdos mtodosenunciadosdeumaredeaerlicacomtrstroose difusoresde500m3/hnofinaldecadatoco,utilizandoos seguintes parmetros:a) Velocidade constante de 4 m/s.b) Perda de carga constante de 1 Pa/m.c) Recuperao de presso esttica para uma velocidade inicial de 5 m/s.d)Critriodeenergiaparaumaperdadecarganoprimeiro troo de 1 Pa/m.e)Critrioeconmicoadmitindoaenergiaelctricaa0,1 t/kW.h. o investimento na rede dado por C[t/m]- 1 50.D[m] efectuado a 5 anos com uma taxa de 8%._________________________________________________ Notas do aluno sobre a matria do captulo 4: Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 32 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 5. Bombas O funcionamento das bombas baseia-se no aumento da energia cintica do escoamento realizado no rotor e sua transformao em energia potencial de presso na voluta. Para um determinado rotor, este aumento de energia cintica depende do fluxo de caudal e da suavelocidadederotao.Avelocidadedesadadaspsdorotorumacomposio das duas velocidades. Fig. 5.1 Tringulo de velocidades A direco da velocidade sada da p deve ser acompanhada pela forma da voluta, que aumentandoprogressivamentedereaproporcionaratransformaodeenergia cinticaemenergiadepresso.Naausnciadeatritoseperdasofuncionamentoda mquinadadoporumacaractersticarectilnea.Oaumentodocaudalimplicaum aumentodeperdasporatritoaproximadamenteproporcionalaQ2.Deformaanloga respondem as perdas volumtricas causadas por diferentes presses nos bordos das ps. Quandoporvariaodocaudal,ostringulosdevelocidadesealteram,aumentamos choques na entrada das ps e na voluta, causando perdas suplementares. A caracterstica resultantedadapelacomposiodetodasestascontribuiesconformefigura seguinte:Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 33 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Fig.5.2 Caracterstica de bomba centrfuga 5.1. Caracterstica de bomba e rede Acurvadabombaeacurvadosistemapodemsertraadasnomesmogrfico.Na interseco das duas curvas encontra-se o ponto de operao do sistema. Tipicamente, a curvarealdosistemaligeiramentediferentedacurvadesejadaemprojecto.Em consequncia,abombaoperanumoutroponto,preferencialmentecommaiorcaudal, que dever ser ajustado por interveno numa vlvula de regulao de caudal. A perda de carga do circuito pode ser estimada admitindo uma lei de potnciap-a.Qn. _________________________________________________ Exerccio5.1-Umaredetemumpontodefuncionamento nominal de 20 m3/h vencendo uma perda de carga de 100 kPa. TendosidoutilizadaabombatipoA,conformefiguraanexa, determine o ponto de funcionamento da rede admitindo uma lei de perda de carga para tubos de ao galvanizado. _________________________________________________ Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 34 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 5.2. Associao de bombas Quandoasbombassoassociadasemparalelo,cadabombaoperamesmapresso contribuindo com uma parte do fluxo. Geralmente recomenda-se a utilizao de bombas deigualtamanho.Obtm-seacurvaconjuntaduplicandoofluxoparacadavalorde altura manomtrica. O ponto de funcionamento do sistema depende da caracterstica da rede, pelo que o conjuntodas duas bombas noir fornecer odobro do caudal de uma s bomba. Figura 5.3 Caracterstica da associao de duas bombas iguais em paralelo Devesertambmanalisadaacondiodefuncionamentodecadabomba,dadoquea alturamanomtricavencidaporcadaumasermaior.Autilizaodeduasbombas diferentesassociadasemparalelorequerumespecialcuidado.Emalgumassituaes umadasbombaspodertrabalharsemcapacidadedebombear,podendooriginar sobreaquecimentos indesejados. Figura 5.4 Caracterstica da associao de duas bombas diferentes em paralelo Na situao de bombas em srie, a caracterstica conjunta obtida da soma das alturas manomtricas para cada valor de caudal.Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 35 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Figura 5.5 Ponto de funcionamento de uma rede numa associao de duas bombas iguais em srie _________________________________________________ Exerccio 5.2- Para a rede definida no exerccio 5.1, determine opontodefuncionamentoquandoseinstalamduasbombas iguais do tipo A em srie e em paralelo._________________________________________________ 5.3. Leis de semelhana As bombas e turbomquinas podem ser descritas por leis de semelhana, que permitem conhecido um ponto de funcionamento estimar o funcionamento da mquina em outras condies. Pressupem que a curva do sistema conhecida e que a presso varia como o quadrado de fluxo. Podem ser expressas conforme tabela seguinte: Variao na velocidade de rotao N Variao no dimetro do rotor D Caudal Q2/Q1=(N2/N1)Q2/Q1=(D2/D1)3 Pressop2/p1=(N2/N1)2 p2/p1=(D2/D1)2 PotnciaPt2/Pt1=(N2/N1)3 Pt2/Pt1=(D2/D1)5 Tabela 5.1. Leis de semelhana Asleisdesemelhanatambmpodemserusadasparapreveropontodemelhor eficincia quando se varia a velocidade da bomba. Esta situao tem especial aplicao em sistemas com bombas de velocidade varivel. normal fazer variar a velocidade de Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 36 - 59 Verso 1.1 Jan 2007rotaoentreumlimitemnimode30%eummximode80%.Ocontrolode velocidade de rotao deve ter em considerao a alterao da caracterstica da bomba, assim como a da instalao. 5.4. NPSH Durantemuitotempoespeculou-sedarazopelaqualeraimpossvelbombeargua, sugando a uma altura superior a 5ou 6 metros. Este fenmeno deve-se possibilidade devaporizaodaguaquandoseatingeumapressomuitobaixa,atemperatura constante, tendo-se designado por cavitao. Para todo fluido no estado lquido pode ser estabelecidaarelaoentreapressoeatemperaturaaqueocorreavaporizao.Por exemplo,pressoatmosfricaatemperaturadevaporizaodaguadecercade 100C, contudo a uma presso menor a temperatura de vaporizao reduz-se. Deveserdadaumaespecialatenopressoetemperaturadaguaentradada bomba,especialmenteemsituaesdeutilizaocomguasquentes.Seapresso entradadabombaforbaixaeatemperaturaelevadapode-seatingirascondiesde vaporizaodolquidocriando-sepequenasbolhasdevapornaszonasdemenor presso do rotor. O colapso destas bolhas por posterior aumento de presso ruidoso e podelevardestruirabomba.Apressoabsolutarequeridaentradadabombapara impedir a vaporizao no interior da bomba, designa-se por NPSH requerida ou NPSHR. Estaumacaractersticadabombadadapelofabricante,variandocomvelocidadee fluxo na bomba, normalmente para gua a 15C.Aaspiraodolquidonasbombasdeveocorreraumapressoabsolutasuperior. Conhecidaapressonumdeterminadopontodocircuitoo,situadoaumacotape hiptese inferior z relativamente entrada da bomba, a presso total absoluta entrada da bomba b pode ser expressa como:2) V V .(P gz P P2o2bz o 0 b (5.1) A presso entrada da bomba dever ser superior presso de vaporizao do fluido s condies de temperatura Ps(T) de entrada na bomba, pelo que o NPSH disponvel ser: ) T ( P P NPSHs b d (5.2)A presso de saturao do vapor de gua pode ser obtido de tabelas de vapor. A presso de Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 37 - 59 Verso 1.1 Jan 2007saturao,paraalgunsvalorestpicosdetemperaturadefuncionamentoderedesde gua, dada na tabela seguinte: T [C]P [kPa] 00.6108 101.227 202.337 304.241 407.375 5012.335 6019.920 7031.160 8047.360 Tabela 5.2. Tabela de presses de saturao Em alternativa podero utilizar-se expresses de correlao, como o exemplo seguinte: Ps(T)[Pa] =105.exp(14,2928-5291/T[K]) (5.3) Uma bomba para operar sem os riscos de cavitao necessita que o lquido possua uma energia residual mnima. Essa energia requerida pela bomba (NPSHR) ou simplesmente o NPSH da bomba. A bomba deve ter oseu NPSH inferior ao NPSHD pela instalao, para que opere em condies favorveis de aspirao. CasonosedisponhadacurvadeNPSHpodeestimar-seoseuvalordesdequese estime o funcionamento num ponto. Thoma chegou concluso de que a relao entre o NPSHdabombaeaalturamanomtricaumaconstante,aquechamoudenmero adimensional de cavitao, grandeza que ficou conhecida como factor de Thoma: HNPSH (5.4) _________________________________________________ Exerccio5.4-ParaabombatipoAdafigurareferidano exerccio5.1,obtenhaoNPSHdabombanascondiesde funcionamento desse exerccio, sabendo-se que o NPSH de 1,5m para 200kPa. _________________________________________________ Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 38 - 59 Verso 1.1 Jan 2007_________________________________________________ Exerccio5.5-Umdepsitodeguaquentedeumsistema colectivo de AQS mantido a 60C e uma presso interna de 4 barrelativos.Umaredeemtubodecobrede2transportaa guaquenteataopontoA(atmosfrico)situado30macima do nvel do depsito. (despreze a altura de gua no depsito). Admitindoinexistnciadeatritoqualavelocidadeeocaudal em A.DetermineocaudalquerealmentesaiemA,considerandoa expressoparatubodecobrecomguaquente,perdas singulares de 30% das perdas em linha e uma presso constante no depsito. Admitindo que se pretendia instalar uma bomba, cujo NPSH de cerca de 2 m.c.a., na prumada vertical de forma a aumentar ocaudalemA(admitaumcaudalprximodocalculadona alnea anterior), determine qual a cota mais elevada compatvel com a inexistncia de cavitao._________________________________________________ Notas do aluno sobre a matria do captulo 5: 20 m 30 m A 60 C 4 bar Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 39 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 6. Introduo s redes de gua refrigerada A maioria das redes em sistemas de climatizao fechada. Nestas redes estabelecido umpontoaumadeterminadapresso,normalmenteporutilizaodeumvasode expansocomgs,queestabeleceapressodosistema.Numsistemaabertoexistem pelo menos dois pontos com presso definida. Por exemplo, numa torre de refrigerao a tina da torre e a descarga esto presso atmosfrica.Um sistema de climatizao, fechado pode ser esquematizado conforme na figura 6.1 Figura 6.1. Componentes de uma rede de climatizao Oscomponentesfundamentaisdestesistemasoosdispositivosdecarga,afontede aquecimento ou de arrefecimento, a bomba de circulao,o vaso de expanso e a rede de distribuio. Comearemos por analisar de forma genrica as cargas, que determinam os caudais de gua no sistema. 6.1. Cargas Ascargastrmicasdoedifciodeveroserremovidaspelosistemadeclimatizao. Estascargaspodemserdeaquecimentooudearrefecimento,sensveloulatente.O calorsensveltransferidodoambienteparaopermutadorfunodareadepermuta A, da diferena de temperatura mdia logartmica Tml entre a gua e o ambiente e do coeficiente global de transferncia de calor U:ml ST AU PT (6.1) Com )TTln(T TTmMm Mml Caso haja desumidificao o calor removido pode ser obtido do caudal de ar e diferena de entalpia. (ver psicrometria)Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 40 - 59 Verso 1.1 Jan 2007A potncia removida Pt transferida para o fluido de transporte, com fluxo mssico m e calor especfico c, com uma diferena de temperatura T: T . c . m Pt (6.2) Nocasodesistemasaguaocalorespecficomdiode4,18kJ/kg.Keadiferena tpicadetemperaturadaguaentreaentradaeasadadopermutadorde5K.A alteraodadiferenadetemperatura,alteradirectamenteocaudaldeguanabateria Q, que varia sensivelmente de forma quadrtica com a perda de carga correspondente: 20101QQPP

,`

.|(6.3) Comavariaodadiferenadetemperaturaecorrespondentevariaodocaudala potnciadasunidadesvaria,masde formanolinear.Oaumentodecaudalacimadas condiesnominaisalteramenosqueproporcionalmenteapotnciadaunidade.Um exemplo mostrado na figura 6.2. 02468100,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5Caudal gua [l/s]Potncia [kW]Total Sensvel Figura 6.2. Variao da Potncia sensvel e total com o caudal. 6.2.Temperaturas de projecto para gua refrigerada Atemperaturamxima(aquecimento)emnima(arrefecimento)daguadevemser ditadaspelasnecessidadestrmicasdosistemaedaanliseeconmicadasexigncias do sistema.Nossistemascorrentes,atemperaturadearrefecimentotpicadecercade7C, imposta pela necessidade de transferncia de calor para o ciclo frigorfico a cerca de 2 a 4C eda possibilidade de desumidificao, com temperatura hmida de cerca de 13C, para as aplicaes correntes.Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 41 - 59 Verso 1.1 Jan 2007UmvalorelevadodeTdeterminaummenorcaudaleconsequentementemenor dimensodastubagens,dasbombasedoconsumodeenergiaassociado.Temcomo consequncia o aumento dadimenso dos permutadores das unidadesque removem as cargas.Oequilbrioentreestes factorestemdeterminadoautilizaode7C entrada com 12C sada das unidades. Outrossistemasutilizamguaglicoladaquandosepretendetrabalharabaixas temperaturas._________________________________________________ Exerccio 6.1- Uma bateria de arrefecimento tem uma potncia dearrefecimentode4kW,paraumregimedetemperaturada gua de 7-12C a que corresponde uma perda de presso de 15 kPa.Estimeenunciandoashiptesessimplificativasquala perdadecargaparaumregimedetemperaturadaguade7-15C. _________________________________________________ 6.3.Controlo de caudalOs sistemas de controlo de caudal tm por objectivo disponibilizar a potncia necessria nacarga.Afigura6.2espelhaavariaodapotnciacomocaudalverificando-sedo inconveniente de reduo do caudal. Ao invs um ligeiro aumento de caudal no causa grandesvariaesdepotncia.Umligeirosobredimensionamentodabombaedarede ser sempre aconselhvel.Adisponibilizaodocaudalnecessriopodeservistocomoarealizaodeduas funes:entregarocaudalnecessrioentradadaunidadeefazervariarocaudalde acordo com as necessidades de carga do edifcio. A primeira funo depende do tipo de circuito e das vlvulas de equilbrio de caudal.Empequenasinstalaes,normalmentedeaquecimento,utiliza-seporvezescomum nico anel com as cargas em srie, ou redes com vlvulas desviadoras.Em climatizao so utilizados normalmente sistemas a dois tubos com retorno directo; a dois tubos com retorno inverso; a quatro tubos. Os sistemas a trs tubos existem como curiosidade,sendoenergeticamenteineficienteecominterconexohidrulicaentreas duas redes.Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 42 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Redes a dois tubos com retorno directo Numsistemaadoistubosacargaeasfontesfuncionamexclusivamentesem arrefecimentoouemaquecimento,peloquetodasascargasdevemnecessitaroude arrefecimentooudeaquecimento.Aoprojectarosistema,ocaudaleasexignciasde temperaturapararefrigerareaquecerdevemsercalculadosparaasituaomais desfavorvel,normalmenteadearrefecimento.Oprocessodecomutao,vulgo change-overdeveserprojectadodeformaqueoevaporadordochillernoesteja sujeitoavariaesbruscasdetemperatura.Afigura6.3representaumesquema simplificado de uma rede a dois tubos. Figura 6.3. Rede a dois tubos Estas redes necessitam de formas de equilbrio suplementares nomeadamente reduzindo aperdadecarganatubagemdedistribuioouutilizandodispositivosmodulantesde caudal, nomeadamente vlvulas de controlo. Redes a dois tubos com retorno inverso Numsistemaderetornoinverso,ocomprimentodatubagemdeidaederetornonos vrios sub-circuitos igual. Isto permite equilibrar os diversos caudais, requerendo um balanceamentoquedependesomentedasperdasdecargadasunidadesdecarga.Este tipoderedeimplicaummaiorcomprimentodetubagemecustoinicialdainstalao, mas geralmente uma menor perda de carga. Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 43 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Figura 6.4 Rede com retorno directo e inverso Vlvulas de equilbrio de caudal Um sistema hidrulico de distribuio diz-se em equilbrio quando os caudais em todo o sistemacorrespondemaoscaudaisnominaisespecificadosnoprojecto,situaoque ocorre geralmente com todas as vlvulas de regulao abertas.Dado que no possvel garantir um correcto equilbrio da instalao alterando somente as seces da tubagem, e comum usarem-se vlvulas equilibradoras de caudais. Asvlvulassogeralmentereferidaspelovalorkv,comavlvulatotalmenteaberta, conforme indicado no captulo 2. Vlvulas de equilbrio esttico

Umacaractersticainerentesvlvulasdeequilbrioestticoqueocoeficientekv podeseralteradomanualmenteparaumdeterminadovalor.Estecoeficientepodeser obtido dos grficos de calibrao das vlvulas para cada posio do manpulo. A vlvula munida de dois terminais de teste aos quais pode ser ligado um manmetro diferencial para leitura indirecta do caudal. A figura 6.5. representa uma unidade deste tipo: Figura 6.5. Vlvula de equilbrio esttico Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 44 - 59 Verso 1.1 Jan 2007Avlvulapodeserpr-reguladacombasenadistribuiodecaudaisepressesde projecto.Estasvlvulas impemgeralmenteumaperdadepresso adicionalde5 a10 kPa.Vlvulas de equilbrio dinmico A vlvula de equilbrio dinmico permite o ajuste constante do caudal.Ovalordokvdavlvulacompensaautomaticamentequalquervariaodapresso diferencial, pelo que o caudal nunca excede o valor pr-ajustado. Estas vlvulas podem se limitadoras de caudal ou reguladoras de caudal.Asprimeirasfuncionamporequilbrioentreaforadeumamolaeaforaprovocada pela presso diferencial entre os lados de uma barreira com orifcio, conforme figura 6.6 Figura 6.6 Vlvula limitadora de caudal Asvlvulasderegulaofuncionamporequilbrioentreaforadeumamolaea presso exercida por pilotagem, conforme esquema seguinte.

Figura 6.7 Vlvula reguladora de caudal A vlvula pr-regulada para o caudal nominal, funo da escolha da mola e seu ajuste prvio, no sendo necessrio recorrer a medies ou ajustes posteriores.Asvlvulasdeequilbriosoutilizadasjuntodasnonecessitandodeequilbrionos circuitosdedistribuionemnocircuitoprincipal.Asvlvulasrespondemaqualquer variao de cargas do sistema ou devido a ampliaes, mantendo o caudal nas unidades. Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 45 - 59 Verso 1.1 Jan 2007Estasvlvulasconduzemgeralmenteaperdasdepressodaordemdos30kPa.Em resultadoconsegue-seummelhorajustedoscaudaiscomprecisodecercade5%, sendo necessrio ummaior consumo de energia. As perdas de presso comparadas so expressas na figura 6.8: Figura 6.8 Perda de presso e caudal em vlvulas de regulao. _________________________________________________ Exerccio 6.2-Responda Verdadeiro ou Falso Asvlvulasdeequilbrioestticotmperdasdepresso geralmente inferiores s de equilbrio dinmico.Uma nica vlvula de equilbrio esttica garante o equilbrio do caudal de gua numa UTA, com vlvula termosttica on/off de trs vias. Aperdadepressonavlvulatermostticadeveequivaler perda de presso na bateria. Asvlvulasdeduasviascomchange-overdevemterobolbo do termostto de inverso prximo da bateria. _________________________________________________ Notas do aluno sobre a matria do captulo 6: Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 46 - 59 Verso 1.1 Jan 20077. REDES COM CICLOS. Asredesdedistribuioeasredesemclimatizaosofremgeralmentevariaesde caudais nos diversos troos quando existe alguma alterao na rede. A determinao dos caudais e presses nos diversos ns face a uma determinada rede o problema principal daanlisederedes.Emclimatizaonecessrioterconscinciadainterdependncia entreosdiversosparmetrosdarede,pretendendo-secontrariaressatendncianatural de forma a conseguir um funcionamento conforme o projectado.Designa-se por rede de recobrimento mnima ou antena a rede constituda pelo nmero mnimodetroosquegarantemoabastecimentodetodososns.Umaredepodeser vista como um conjunto de troos pode ser dividida na rede de recobrimento mnima T enoseucomplementar T .Aestenovoconjunto,desnecessrioaoabastecimentopela rede mnima, mas muito importante em termos de garantia de abastecimento designa-se por conjunto de cordas, que criam as malhas. Numaredeemantenaverifica-sequeacadanacrescentadoredecorrespondeum novo troo para o abastecer, obtendo-se a relao: t= n-1(7.1) Numa rede malhada, ou com cordas, a criao de uma corda implica a criao de uma malha, no necessitando novos ns para o efeito: t= n-1+m(7.2) 7.1. Leis dos ns e das malhas A soluo de uma rede passa pela resoluo conjunta das equaes de Kirchoff, tambm designadasporleidosnsedasmalhas.Aleidosnsestabeleceacontinuidadeem cadaneleidasmalhasocampopotencialdepresses.Asexpressesusadasso anlogassconhecidasdosalunosparaoestudodecircuitoselctricos.Existeno entantoumadiferenasubstancialentreasduasformulaesjqueasdiferenasde potencialdepressodependemdeumapotnciaprximadedoisdocaudal,enquanto Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 47 - 59 Verso 1.1 Jan 2007queadiferenadepotencialdeumcircuitoelctricodependedirectamenteda intensidadedecorrente.Asexpressesparaasredeselctricaspodemserdefinidasna forma out inI I e0 V , sendo I a corrente e V a diferena de potencial. Nas redes de fluidos estas expresses tomam a forma: out inQ Q (7.3) 0 P (7.4) Analise-se a rede elctrica conforme a figura 7.1, admitindo que existe uma diferena de potencialVeumacorrenteI=I1+I2epretendendo-seobterumaresistnciaR equivalente s duas resistncias em paralelo: Figura 7.1 Rede com um Circuito As equaes de Kirchoff sero:' + I I I0 I . R I . R2 12 2 1 1,sendoI1=I-I2esubstituindonaequaosuperiorexplicitadaem ordem a I2, obtm-se: 2 112R RI . RI+ ,e sendoI .R RR . RI R I . R V2 11 22 2+ ,peloquecomparandoosdoisladosdaigualdadeobtm-seaconhecidaexpressodas redes elctricas: 2 11 2R RR . RR+ .Numarededefluidos,aresistnciaaotransportepodeserobtidadaexpresso(2.10) como: miiiDL . KR , pelo que as equaes de Kirchoff podem ser escritas como:R1 R2 Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 48 - 59 Verso 1.1 Jan 2007' + Q Q Q0 Q . R Q . R2 12n21n1(7.5) SendoQ1=Q-Q2esubstituindonaequaosuperior,explicitandoemordemaQ2, obtm-se:n n / 112n22n2n) )RR( 1 (Q . RQ R Q . R P+ , ou seja a resistncia equivalente ser:n n / 1122) )RR( 1 (RR+ (7.6) Expresso igual dos circuitos elctricos para n=1. _________________________________________________ Exerccio7.1-Considereosistemadecontrolodecaudal numa bateria de arrefecimento de uma UTA, com uma vlvula detrsviasmodulante,comoumsistemaderesistncias hidrulicasemparalelo.Admitaqueaperdadecargaentrea entradaeasadadosistemaconstanteede3m.c.a.,queo caudalnominaldabateriade5l/sequeacaractersticada vlvula linear. Escreva as equaes que definem o caudal na bateria funo da posio de abertura da vlvula e da perda de carga no circuito da vlvula. _________________________________________________ 7.2. Definio da rede e matriz de incidncia Adefiniotopolgicadaredepodeserfeitaatravsdematrizesquerelacionemos elementosdarede.Temespecialinteresseamatrizdeincidnciamalhatroo(matriz B), que permite obter as relaes entre as malhas e os troos respectivos. Considere-searedeconstantenafiguraseguinte,ondeserepresentam5troos interligados, que a partir de um n de injeco abastecem 3 ns de consumo, formando 2 malhas:Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 49 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 Figura 7.2 Exemplo de Rede Malhada AmatrizB,conformefig.7.1temvaloresnulosseumamalhanopercorreumtroo, positivos se a malha percorre o troo no sentido definido para esse troo e negativo se percorre no sentido contrrio.Troo 12347 1+1-10+10 Malha 20+1-10-1 Tabela 7.1 Matriz de incidncia B para o exemplo da figura 7.2. O produto BxBT define a relao entre as duas malhas, sendo negativo se o sentido de circulao entre as malhas for oposto. Para o exemplo da figura 7.1 as equaes (7.3) e (7.4) tomam a forma:' + + 3 5 32 5 4 21 4 1C Q QC Q Q QC Q Q (7.7) e ' + 0 P P P0 P P P5 3 24 2 1(7.8) Cujo conjunto constitui o sistema de 5 equaes no lineares a resolver. 1 2 3 45 Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 50 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 7.3. Resoluo de sistemas de equaes no lineares Nesta seco ser dado um conjunto de conceitos bsico de obteno da soluo de uma equaonolinear,pormtodonumrico,sendodepoisgeneralizadaparaaresoluo de um sistema de equaes.Sejaf(x)umafunocomprimeiraderivadanumadeterminadaregio,econhea-se dessafunoumaestimativax0dozerodafuno,conformefigura7.3.Umamelhor estimativa da raiz pode ser obtida fazendo passar uma recta tangente ao ponto (x0, f(x0)) e intersectando-a nas abcissas. Figura 7.3 Zero de uma funo f(x) Este mtodo pode ser expresso matematicamente na forma: ) x ( f) x ( fx x000 1 (7.9) ,designado por mtodo de Newton para resoluo de uma equao no linear. Desde que x0 seja escolhido com razovel percia x1 estar mais prximo da raiz, sendo o mtodo denovoaplicadoasvezesquesejulguemnecessriasatatingiraprecisodesejada. Esta preciso depende directamente do mdulo da funo, |f(x)|, e indirectamente de |x1-x0|. Seafunoaresolverforumsistemade equaes0 ) x ( f ,sendof ex vectores,a expresso (7.9) pode ser generalizada para: x0x1 x f(x) Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 51 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 ) x ( f ). x ( J x x0 010 1 (7.10) OndeJrepresentaoJacobianodef.Paraumsistemade2equaes,f1ef2,aduas incgnitas, x1 e x2, o Jacobiano toma a forma:

]]]]]]22122111xfxfxfxfJ (7.11) Ou na forma mais comum de resoluo de sistema de equaes lineares: ) x ( f x ). x ( J0 0 (7.12) Conhecidaumasoluo aproximadaa equao(7.12)permiteobteravariaox que ir,emprincpio,permitirumasoluomaisaproximada.Omtodoterminaquandoa normadafuno f edavariaox forempequenas.Podemserassimresolvidas conjuntamente as equaes (7.7) e (7.8). _________________________________________________ Exerccio 7.2- Estime uma aproximao da soluo do seguinte sistema de equaes, utilizando o mtodo de Newton com duas iteraes a partir de uma aproximao inicial (1,1). ' + 1 x x0 x x22212 1 _________________________________________________ Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 52 - 59 Verso 1.1 Jan 20077.4. Mtodo de Hardy Cross e de Newton Raphson As equaes (7.4) ou (7.8) podem ainda ser escritas como:B P = 0(7.12) Parapontodepartidadaresoluodasequaesnolineares,podeescolher-seum vectordecaudaisQquesatisfaaasequao(7.7),talcomonoexerccio7.2.Neste caso e com base no exemplo da figura 7.1, se se aumentar em q1 o caudal ao longo do circuito1,aequao(7.7)nosealtera.Omesmoepassanocircuito2emqualquer iterao.Dadoqueemqualqueriteraoaequao(7.7)satisfeita,bastaquese explicite(7.8)comrespeitoaoscaudaisdeacertoq1eq2eseresolvaumsistemade duas equaes a duas incgnitas, conforme a equao: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )'+ +++ +0Dq Q. L . kDq Q. L . kDq q Q. L . k0Dq Q. L . kDq q Q. L . kDq Q. L . km5n2 55m3n2 33m2n2 1 22m4n1 44m2n2 1 22m1n1 11(7.13) Onde os caudais Qi so valores determinados dados pela aproximao que satisfaz (7.7). AresoluonumricadosistemadeduasequaesnolinearesparaoscaudaisQi determinadosnumaiterao anterior,podeserobtidapeloprocessoiterativocombase naequao(7.12).Sendoq ocaudaldeacertoeQiasoluoinicialessaequao equivalente a) Q ( f q ). Q ( J , ou mais precisamente dado que f s funo de q: ) 0 ( f q ). 0 ( J (7.14) Sendo J o Jacobiano definido como em (7.11):

]]]]]]22122111qfqfqfqfJ (7.15) Obtenha-se por exemplo a primeira linha do Jacobiano com base em (7.13):Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 53 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 ( ) ( ) ( )( )m21 n2 1 2221m41 n1 44m21 n2 1 22m11 n1 1111Dq q Q. n . L . kqfDq Q. n . L . kDq q Q. n . L . kDq Q. n . L . kqf + ++ ++(7.16) Que calculadas para (q1,q2)=(0,0) apresentam a forma de( ) ( ) ( )( )m21 n2221m41 n44m21 n22m11 n1111DQ. n . L . kqfDQ. n . L . kDQ. n . L . kDQ. n . L . kqf + + Ou seja:222144221111QP. nqfQP. nQP. nQP. nqf ++ (7.17) Reescrevendo para toda a matriz Jacobiano:

]]]]]]++ ++5533222222442211QPQPQPQPQPQPQPQP. n J(7.18) SendoJarelaoentreasvariaesdasequaesdeperdadecargaaolongodecada malha com todas as malhas, J pode ser expressa como:TB . D . B J (7.19) sendo D a matriz diagonal com elementos iiiiQPD . (7.20) O mtodo de Hardy Cross difere do de Newton Raphson por suprimir os elementos do Jacobiano externos diagonal principal, tomando o Jacobiano a forma: Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 54 - 59 Verso 1.1 Jan 2007

]]]]]]++++553322442211QPQPQP00QPQPQP. n J(7.21) Conhecidos os caudais de acerto q os novos caudais nos diversos troos Qn, podem ser obtidos dos anteriores Q0 pela expresso seguinte, conforme facilmente se verifica: Qn=Q0+BT.q(7.22) O processo de clculo termina quando a norma dos caudais de acertoqe a norma da funo f foremconsideradospequenos.Poderserutilizadaumaqualquernorma, nomeadamenteaquadrtica,dadoquesepretendeapenasumvalordereferncia.A normainfinitonormalmenteusadadadopermitircontrolaromtodocombaseno maior valor de q ou de f. _________________________________________________ Exerccio7.3-Umarededegua,abastecetrspontosde consumoembaixapresso,podendosertopologicamente definidaconformeafigura7.2.Todosostroostmdimetro de 100mm, sendo os troos maiores de 150 m e os menores de 100m.Oconsumode130m3/hemcadaumdosnsde consumo.Pretendendo-seobterascondiesdeequilbrioda rede, sendo o n 1 o de injeco, obtenha: a) Uma aproximao dos caudais na rede de forma a obedecer equao da continuidade.b)Utilizandoafrmulaaproximativaparatubosdeao, obtenhaaperdadecarganostroos.( P|m.c.a]-0.002021 L[m] Q[m3/s]1,88 /D[m]4,88) c) Identifique a matriz de incidncia malha-troo. d)AplicandoumavezomtododeHardy-Crossdasmalhas, obtenha uma aproximao dos caudais de equilbrio na rede._________________________________________________ Redes de Fluidos2006/07 ______________________________________________________________________ Miguel CaviquePag. 55 - 59 Verso 1.1 Jan 2007 7.3 Algoritmo de clculo O algoritmo de clculo pode ser sumariado em conformidade com as equaes descrita: 1. Determinar um conjunto de caudais Q0 que satisfaam as equaes dos ns (7.7). 2. Obter perda de cargaP de acordo com o captulo 2. 3. Determinar a Matriz diagonal D. Eq.(7.20) 4. Obter o erro de fecho) Q ( fe a sua norma. 5.CalculaoJacobianodeacordocom(7.18)paraomtododeNewton-Raphson,ou com (7.21) para o mtodo de Hardy Cross. 6. Resolver o sistema de equaes lineares (7.14) 7. Calcular uma nova aproximao do caudal nos troos Qn (7.22) 8.Avaliarcondiesdeparagem,combasenanormadeqedef(q),ouretornarao clculo da perda de carga. Estes passos podem ser facilmente implementados num programa. Uma implementao despretensiosaemMatlabdescritanoexerccio7.4.Descrevem-sedeseguidaa relao dos principais tpicos descritos e o programa do exerccio: TpicoLinha de Programa 8while and(or((normaq > (qmin),(normaf>fmin)), (iter