Redes de Computadores

Camada de AplicaçãoTeoria de Redes Complexas

Modelagem – Modelos de Rede

Estudando redes reais• Como estudar uma rede real?

• Internet, Facebook, ...

• Abstração matemática da realidade

• Permite resultados analíticos atravésda simplificação da realidade

• não somente caracterização,mas também análise e predição

Modelo matemático !

Modelos Determinísticos para Redes

• Estrutura topológica é derterminística

• Propriedades e características topológicas são determinísticas

• por exemplo, diâmetro possui valor conhecido ou pré-estabelecido

• Grafo completo, hipercubo, etc.

Exemplos de modelos ?

Modelos Probabilísticos para Redes• Estrutura topológica é aleatória

• Grafo é definido através de um processo aleatório

• dinâmica do processo origina o grafo

• Espaço amostral são todos os possíveis grafos

• Grafos aleatórios

• teoria iniciada em 1959, por Erdös e Réyni

Exemplos de modelos ?

Modelos de Redes

• Modelo G(n,p) de grafos aleatórios(de Erdös-Rényi)

• Modelo Small-World(de Watts-Strogatz)

• Modelo Preferential Attachment(de Barabási-Albert)

Modelos de Redes

• Modelo G(n,p) de grafos aleatórios(de Erdös-Rényi)

• Modelo Small-World(de Watts-Strogatz)

• Modelo Preferential Attachment(de Barabási-Albert)

Modelo G(n,p)

• Modelo clássico para grafos aleatórios

• proposto por Erdös e Rényi (1959)

• Grafo possui n nós

• Cada aresta do grafo existe, independentemente, com probabilidade p

Como funciona o modelo ?

Modelo G(n,p)• Modelo possui dois parâmetros

determinísticos n: número de vértices p: prob. de existência de cada aresta

• Para um par de valores de (n,p), diversos grafos podem ser gerados

Modelo G(n,p)

• A estrutura esperada de um grafo aleatório G(n,p) varia com o valor de p

• arestas conectam nós formando componentes, i.e. subconjuntos de nós alcançáveis por caminhos pela rede

Exemplos...

Exemplos...

Exemplos...

Grau do G(n,p)

• Qual é o grau esperado de um nóqualquer do modelo?

• Se D é a variável aleatória do número de vizinhos de um nó qualquer, qual adistribuição de D?

ii...

Grau do G(n,p)• Cada aresta incide sobre o nó i com

probabilidade p

• Grau esperado de G(n,p)?

Distribuiçãobinomial

Grau do G(n,p)• Para valores grandes de n, a

distribuição do grau de um nó é dada pela distribuição de Poisson

• Distribuição comvalor esperado E[D]

Para n grandee k<<n

Grau do G(n,p)

Coeficiente de Clusterização do G(n,p)

• Nó qualquer, escolhido ao acaso

• Qual o valor esperado para a variável aleatória K representando o coeficiente de clusterização do G(n,p)?

• Efeito “meus amigos também são amigos” depende somente da probabilidade de existência de uma aresta entre eles

Diâmetro do G(n,p)• Grafos aleatórios tendem a ter

diâmetro pequeno

• Modelo G(n,p) captura esta propriedade para diversas redes reais: roteadores na Internet, WWW

Na maioria dos casos,o modelo G(n,p) oferece

boa aproximação de redes reais

em termos de diâmetro

Onde o G(n,p) falha?• Na predição do coeficiente de

clusterização!

• baixo coeficiente de clusterização

19

Modelo G(n,p) ignora características que

favorecem a clusterização!

P. ex. mixing patternsem redes sociais, etc

Onde o G(n,p) falha?

modelo bompara o diâmetro

modelo falhopara a clusterização

Onde o G(n,p) falha?• Na distribuição do grau dos nós!

• G(n,p): exponencial com média E[D]

• Redes reais: poucos com grau alto, muitos com grau baixo...

• Grafo que representa ASes na Internet:10697 nós e 31992 arestas

Modelos de Redes

• Modelo G(n,p) de grafos aleatórios(de Erdös-Rényi)

• Modelo Small-World(de Watts-Strogatz)

• Modelo Preferential Attachment(de Barabási-Albert)

Small-World

Quantas vezes nossurpreendemos ao

descobrir poucos “saltos”para completos estranhos?

Small-World

• A partir dos resultados do experimento pioneiro do psicólogo social Milgram (1967), dois indivíduos aleatoriamente escolhidos se “mostraram” muito próximos numa rede social

• Experimento popularizou o termo “Small-World”

• pares de nós conectados através de um caminho curto

Seis graus de separação !

Modelo Small-World

• Inspirado nos resultados pioneiros de Milgram:baixo diâmetro

• Inspirado na alta clusterização observada empiricamente

• alta probabilidade de dois nós conectados entre si terem vizinho(s) em comum

• Proposto por Watts e Strogatz em 1998(Nature 393)

• Modelo captura as duas propriedades(tanto o baixo diâmetro quanto a alta clusterização)

• mostra que ambas podem coexistir em um mesmo grafo

Modelo Small-World• A partir de látice regular: estrutura com

“ordem”

• n nós organizados em um círculo

• arestas são definidas entre um nó e seus k nós mais próximos

• Para cada aresta, escolher uma nova extremidade com probabilidade p (introduzir aleatoriedade)

• escolha uniforme entre os demais nós

• valor de p reflete o grau de aleatoriedade

Modelo Small-World

• Modelo possui três parâmetros: n, p, k

• Modelo Small-World está entre uma látice regular e um grafo aleatório

Modelo Small-World

• Interpretação em redes sociais

• Pessoas tem muitas conexões “próximas” que se conhecem entre si (vizinhos, colegas de trabalho, amigos, família, ...): alta clusterização

• Pessoas também tem algumas conexões “distantes”(outra cidade, país, comunidade de interesse, ...), representadas pelas arestas re-posicionadas:baixo diâmetro

O que significa re-organizar as arestas?

Modelo Small-Worldláticeregular

ModeloG(n,p)

Small-World

Collective dynamics of ‘Small-World’ networks,D. Watts & S. Strogatz, Nature 393,1998

Grau do ModeloSmall-World

• Para p=0 (látice regular)

• todos os nós possuem o mesmo grau: parâmetro k

• Para !p 1 (aproximando de rede aleatória)

• distribuição do grau é semelhante ao modelo G(n,p)

Diâmetro doModelo Small-World

• Diâmetro/distância decresce rapidamente com o aumento de p

• Poucas arestas aleatórias são suficientes para diminuir significativamente o diâmetro

Arestas criamatalhos!

Coeficiente de Clusterização do Modelo Small-World

• Para diversas probabilidades de redistribuição de arestas, coeficiente de clusterização se mantém alto

Apesar dos atalhos,clusterização continuaalta mesmo em nós queparticipam dos atalhos

Exemplos de Redes com Características de Small-

World

Lactual ! Lrandom Cactual ≫ Crandom

Onde o Modelo Small-World falha?

• De forma similar ao modelo G(n,p)

• distribuição do grau dos nós não considera diferenciação entre os nós

• não considera evolução da rede no tempo: total de nós e arestas são constantes

Como capturar a dinâmica de um sistema e/ou a preferência entre nós?

Modelos de Redes

• Modelo G(n,p) de grafos aleatórios(de Erdös-Rényi)

• Modelo Small-World(de Watts-Strogatz)

• Modelo Preferential Attachment(de Barabási-Albert)

Motivação

• Muitas redes reais são dominadas por um número pequeno de nós que estão conectados com muitos outros nós

Nós em vermelhopossuem uma grandequantidade de vizinhos

Motivação

• Muitos nós com poucos vizinhos epoucos nós com muitos vizinhos

• distribuição do grau segue umalei de potência (power-law)

• também conhecidas como redes scale-free

Lei de Potência

Fonte: Linked: The New Science of Networks, A. Barabási, 2002

Redes Scale-Free

Redes Scale-Free

Redes Scale-Free

Distribuição de probabilidades em função do grau

γGrande parte das redes reais apresenta 2< <3

Como obterRedes Scale-Free?

• Modelo deve considerar duas características principais

• Crescimento: nós e arestas são adicionados incrementalmente

• Preferential Attachment: novos nós tendem a se tornarem vizinhos de nós que possuem uma vizinhança maior

Modelo BA

• Proposto por Barabási & Albert em 1999[Emergence of Scaling in Random Networks, Science vol 286 no 5439, 1999]

• Dividido em duas partes

• Crescimento

• Preferential attachment

• Modelo generativo

• topologia da rede é função do processo gerador

Qual a dinâmicado modelo ?

Modelo BA

• Crescimento

• comece com um número pequeno de nós

• adicione um novo nó e o conecte a m diferentes nós que já estejam presentes no sistema

Probabilidade de novaconexão do nó s

depende de seu grau

Programa de Verão LNCC 2011 - Minicurso Redes Complexas

A. P. C. da Silva (UFJF), N. Alves Jr. (CBPF) & A. Ziviani (LNCC)

Preferential Attachment

• Efeito “Rico fica mais rico”

• Diversas funções de preferência podem ser usadas(mixing pattern)

Grau do Modelo BA

• Evolução do modelo

• nós mais populares atraem mais vizinhos

• ex., twitter: celebridades possuem milhares de seguidores e tendem a atrair mais entre novos participantes

• Distribuição de grau dos nós segue umalei de potência com um coeficiente ! específico

• γno modelo BA, = 3

47Programa de Verão LNCC 2011 - Minicurso Redes

Complexas A. P. C. da Silva (UFJF), N. Alves Jr. (CBPF) & A.

Ziviani (LNCC)

Grau do Modelo BA

• Simulação do modelo

• diversos valores para o total de nós que estão inicialmente na rede e quantas arestas são acrescidas a cada passo para um novo nó

• γinclinação próxima a

• Hubs (nós com grande →número de vizinhos)

fazem com que os nós fiquem mais próximos

• ex. disseminação de informação é mais eficiente

Diâmetro do Modelo BADiâmetro menor do que o do Modelo G(n,p)

Coeficiente de Clusterização do Modelo BA

• Clusterização maior do que do modelo G(n,p)

• Diminuição do valor com o aumento da CBA ! 5 vezes maior do que CG(n,p)

Discussão• Redes Scale-Free possuem propriedades

típicas de redes Small-World

• baixo diâmetro (comparada com tamanho da rede)

• alto coeficiente de clusterização (comparada com grafo aleatório)

• Visão mais genérica de redes small-world

• “igualitárias” (grau similar entre os nós): modelo de Watts-Strogatz

• “aristocráticas” (grau segue lei de potência - scale-free): modelo de Barabási-Albert

Ref.: Nexus: Small Worlds and the Groundbreaking Science of Networks, M. Buchanan, 2002