REDES CONFORMADORAS DE ONDA TRIANGULAR A SENOIDAL

Ing. A. Ramón Vargas Patrón rvargas@inictel.gob.pe

INICTEL

RESUMEN

En el presente trabajo se efectúa el estudio de una red no lineal y no reactiva que permite filtrar las armónicas de una onda triangular para convertirla en una senoide. Se desarrollan las fórmulas matemáticas que permitan una implementación adecuada de la red. Al ser ésta de comportamiento aperiódico, un cuidadoso diseño de la misma permite un trabajo en banda ancha, logrando su aplicación primaria en circuitos de generadores de función.

El estudio exhaustivo de redes de filtro no reactivas es escaso en la literatura técnica, por lo que se piensa que el presente tutorial será de utilidad para el estudiante y el diseñador de circuitos. Al final del estudio se da un ejemplo de diseño ilustrativo.

ABSTRACT

The present work studies a non-linear non-reactive network that filters the harmonic content of a triangular wave in order to obtain a sine.

All the formulae necessary for a correct implementation of the network are developed. The network has an aperiodic behaviour, so a careful design will permit wideband performance, making it ideal for its use in function generators.

Exhaustive analysis of non-reactive filter networks is very difficult to find in technical literature, for the present study, we think, will be of utility for the student and circuit designer. At the end of the study a design example is given.

1. RED DE FUNCION SENO

La salida de una red de función seno está dada aproximadamente por la expresión:

⋅=

i

i

UU

UU ˆ2sinˆ

00π ....(1)

Para: iii UUU ˆˆ ≤≤−

Con pequeñas tensiones de entrada se cumple

i

i

UUUU ˆ2

ˆ00 ⋅=π

y

iUU =0

Entonces

iUU ˆ2ˆ0 π= .... (2)

Si la forma de onda de entrada es una rampa de tensión, entonces, con pequeños valores de la entrada la red de función seno deberá tener ganancia unidad, mientras que con tensiones más elevadas ésta deberá disminuir.

Basado en el principio de aproximación por partes, el circuito de la figura sintetiza una función seno a partir de una rampa de tensión. Con pequeñas tensiones de entrada todos los diodos están polarizados en sentido inverso, y Uo = Ui , Cuando Uo aumenta por encima de U1 , el diodo D1 se polariza en sentido directo. Uo aumenta entonces más lentamente que U1 a causa del divisor de tensión RV – R4.

Cuando Uo se hace mayor que U2, la salida de la red resulta adicionalmente cargada con R5, por lo que el aumento de tensión se retarda aún más. El diodo D3 produce finalmente la tangente horizontal en la senoide. Los diodos D1' a D3' tienen los efectos correspondientes en las tensiones negativas de entrada, es decir, para la parte negativa de la curva seno. Considerando que los diodos no comienzan a conducir repentinamente sino que tienen una característica exponencial, se pueden obtener bajos factores de distorsión con solo un pequeño número de diodos.

La forma de onda a la salida de la red se muestra en la figura 2, para medio ciclo de senoide y seis diodos en la red.

Para estudiar el contenido armónico de esta senoide, calcularemos su serie de Fourier:

( )∑∞

=

++=1

000 sincos)(n

nn tnbtnaatf ωω ...(3)

La componente DC es igual a cero, al igual que los coeficientes an. Por razones de simetría no existen armónicos pares. Se dará una demostración gráfica de lo último para n = 4 (figura 3).

En la figura 3:

∫= T

tdttfT

b 0 04 4sin)(2 ω

= ∑∫

=

+8

1

12

j

t

t

j

j

fgdtT . . . (3.1)

Por otro lado

∫∫ −=5

4

2

1

t

t

t

tfgdtfgdt

∫∫ −=4

3

3

2

t

t

t

tfgdtfgdt

∫∫ −=9

8

6

5

t

t

t

tfgdtfgdt

∫∫ −=8

7

7

6

t

t

t

tfgdtfgdt ...(3.2)

Por consiguiente, b4=0. Entonces:

f =( ... (4) imparntnbatn

n =+∑∞

=

,sin)1

00 ω

Por otro lado:

∫= T

n tdtntfT

b 0

0sin)(2 ω

Por lo tanto, en general podemos escribir:

( )[ ]∑∫−

=

+

+−=1

0

1

0sin2k

i

it

itiin tdtnyttmi

Tb ω ...(5)

donde:

ii

iii tt

yym

−−

=+

+

1

1 ...(6)

es la pendiente del (i + 1)-ésimo segmento de recta correspondiente al intervalo [ti , ti+1].

La amplitud de la senoide en el instante ti es:

= i

kUyi

π2sinˆ0 ...(6.1)

donde k es el número de segmentos de la aproximación que existe en un ciclo de la senoide.

De la expresión (5):

[ ]∑∫−

=

+−+=

1

0

1

00 sin)(sin2 k

i

it

itiiiin dttntmytntm

Tb ωω

∑−

=

++

−−+

+−=

1

0

1

0

0

1

20

20

0

0 cos))((

sincos2 k

i

it

itiii

it

it

in ntn

tmyn

tnn

tntm

Tb

ωω

ωω

ωω

∑−

=

+++

−+

−=

1

02

02

010

0

1010 sinsincoscos2 k

i

iiiiiiin n

tntnn

tnttntm

Tb

ωωω

ωωω

( )[ ]iiiii tntn

ntmy

0100

coscos ωωω

−−

− +

∑−

=

+++

+

−=

1

0 0

10

0

101 coscos2 k

i

iiiiiin n

tntmn

tntmT

bωω

ωω

[ ] [ ]iii

iii tntn

nytntn

nm

0100

01020

2coscossinsin ωω

ωωω

ω−−−+ ++

( ) ( )iioi

k

ii

iin tntn

nytn

nyy

Tb 01

0

1

010

0

1 coscoscos2 ωωω

ωω

−−−

−= +

−

=+

+∑

[ ]iii tntn

nm

01020

2sinsin ωω

ω−+ +

[ ]iii

ii

k

i

ii

n tntnn

mtn

ny

tnny

Tb 0102

020

0

1

0

100

1 sinsincoscos2 ωωω

ωω

ωω

−+−−= +

−

=

++∑

Finalmente, de (6), (6.1) y con la última expresión:

( ) ( )∑−

=

+++−=1

0

0 2cos2sin12cos12sinˆ k

in i

kni

ki

kni

knU

b πππππ

( )

−+

−++ i

kni

kn

kn

ik

ik ππ

π

ππ2sin12sin2

2sin)1(2sin ...(7)

La sumatoria correspondiente a los dos primeros términos es cero. Por lo tanto:

( )∑−

=

−+

−+=

1

0

0 2sin12sin2

2sin)1(2sinˆ k

in i

kni

kn

kn

ik

ik

nU

b πππ

ππ

π …(8)

Los puntos de codo de pendiente de la poligonal que aproxima a la senoide corresponden a valores del argumento:

kjjk

,...,1,02==

πφ

jm 1+2

=π

…(9)

donde por definición , los cruces por cero también constituyen puntos de codo de pendiente y 2m es el número de diodos de la red. Los valores correspondientes de la tensión de entrada se pueden calcular a partir de (1) y (9) igualando argumentos:

jmU

U

i

i

12ˆ2 +=

ππ

Entonces:

mjjmUi

ij ,...,1,0=1+2

ˆ2±=U . . .(10)

Las correspondientes tensiones de salida de la red son:

mjjm

UU ,...,1,012

sinˆ00 =+

±=π

mjjm

Ui ,...,1,012

sinˆ2=

+±=

ππ . . .(11)

Se puede comprobar asimismo que se anulan las "m" primeras armónicas impares y que la pendiente del segmento por encima del m–ésimo punto es también nula.

La pendiente de cualquier segmento se calcula por:

mjjUjUjUjUm

iij ,...,1,0

)()1()()1( 00 =

−+−+

=

Es decir:

+

+++

=

12

12sin-

12)1(sin

m

jmm

j

mj π

ππ

. . .(12)

2. EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA RED CONFORMADORA DE ONDA TRIANGULAR A SENOIDAL:

Con referencia a la figura 1, se dispone de una tensión de forma triangular de 5 voltios de amplitud pico para conformarla a un seno. Se desean 2m = 6 puntos de codo de pendiente para la red sintetizadora. Las pendientes de los segmentos serán entonces según (12):

mo = 0.9667

m1 = 0.78

m2 = 0.43

m3 = 0

Los puntos de quiebre corresponden a valores de la tensión de entrada dados por (10), con Ûi=5v:

mjjjUij ,...,1,07

101)32(

52=±=

+××

±=

Por lo tanto:

vUvUvU

vU

i

i

i

i

28.485.243.1

0

3

2

1

0

±=±=±=

=

Los correspondientes valores de la tensión de salida serán:

mjjm

UU ij,...,1,0

12sinˆ2

0 =+

±=π

π

Por lo tanto:

vπ

U

vπ

U

vπ

U

vU

1.3±=7

3sin18.3±=

48.2±=7

2sin18.3±=

4.1±=7

sin18.3±=

0=

3

2

1

0

0

0

0

0

Como los diodos reales conducen apreciablemente con tensiones directas de aproximadamente 0.5 voltios, se asumirá esta caída en ellos y por lo tanto las tensiones del divisor de polarización serán:

vVvV

vV

c

B

A

6.25.0-1.398.15.0-48.2

9.05.0-4.1

====

==

La pendiente m1 será, despreciando el efecto de la red de polarización:

44

1 +=

RRR

mv

Si RV = 2.2kΩ entonces R4 = 7.8kΩ

Similarmente, m2 será:

5454

2 //+//

=RRR

RRm

v

Luego R5 = 2.1 kΩ.

Escogiendo para R1 un valor tal que R1 << R4 , 220 ohmios por ejemplo, tenemos que la corriente en la red de polarización será:

mAk

V A 1.422.0

=Ω

Entonces: Ω→Ω=−

=−

= 270263.01.4

9.098.11.42 kVV

R AB que es un valor estándar.

Comprobamos que R2 << R5 .

Finalmente:

Ω→Ω=−

=−

= 150151.01.4

98.16.21.43 kVV

R BC , valor que también es estándar.

Los transistores son fuentes de DC de baja impedancia e introducen compensación por cambios en temperatura.

CONCLUSIONES

• Se ha realizado el análisis detallado de una red no reactiva, de banda ancha, utilizable para eliminar las armónicas de una onda triangular.

• Para poder implementar la red con resistencias de bajo valor y diodos con tiempos de conmutación cortos que den como resultado constantes de tiempo pequeñas, el amplificador excitador deberá tener baja impedancia de salida. Esto es deseable para un funcionamiento en banda ancha.

BIBLIOGRAFIA

• STRAUSS L. , Wave Generation and Shaping, Editorial Mc Graw – Hill • TIETZE – SCHENK , Circuitos Electrónicos Avanzados, Editorial Marcombo

Boixareu Editores • VARGAS PATRON R., Apuntes de Laboratorio.