sucessoes numerica

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Capítulo 2 Sucessões numéricas Neste capítulo, vamos considerar um caso particular de funções reais de variáveis reais que, pela sua importância em todas as áreas da Matemática, merece ser estudado num capítulo à parte. 2.1 Introdução Definição 2.1.1 (Sucessão numérica) Uma sucessão numérica infinita de termos reais é uma função de variável natural e com valores reais. Usando a escrita habitual para as funções, uma sucessão, digamos f , escreve-se da forma seguinte: f : N −→ R n f (n). Por simplicidade de escrita, iremos designar apenas por sucessão uma sucessão infinita de termos reais. O conjunto de partida da sucessão poderá ser qualquer subconjunto do conjunto dos naturais N = {1, 2, 3,... } ou, ainda, o conjunto dos inteiros não negativos N 0 = {0, 1, 2, 3,... }. Os valores f (1), f (2),..., f (n),... denominam-se termos da sucessão: primeiro termo, segundo termo, . . . , n-ésimo termo, ... . O contra-domínio da função f denomina-se por conjunto dos termos da sucessão. Habitualmente os termos da sucessão são denotados por letras indexadas nos números naturais. Por exemplo, podemos denotar os termos da sucessão acima por u 1 , u 2 , ..., u n , ... . Chama-se termo geral da sucessão à expressão designatória f (n) e, usando a mesma notação indexada, é habitual denotá-lo por u n . Cada termo da uma sucessão, digamos u n , tem um termo sucessor, u n+1 , e, assim, podemos dizer que não existe um último termo da sucessão. As operações algébricas habituais dos números reais estendem-se naturalmente às sucessões. A soma e diferença de duas sucessões u n e v n definem-se, respectivamente, por: (u + v) n = u n + v n e (u v) n = u n v n . 16

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Page 1: sucessoes numerica

Capítulo 2

Sucessões numéricas

Neste capítulo, vamos considerar um caso particular de funções reais de variáveis reais que,pela sua importância em todas as áreas da Matemática, merece ser estudado num capítulo àparte.

2.1 Introdução

Definição 2.1.1 (Sucessão numérica) Uma sucessão numérica infinita de termos reais éuma função de variável natural e com valores reais. Usando a escrita habitual para as funções,uma sucessão, digamos f , escreve-se da forma seguinte:

f : N −→ R

n 7→ f(n).

Por simplicidade de escrita, iremos designar apenas por sucessão uma sucessão infinita de termosreais. O conjunto de partida da sucessão poderá ser qualquer subconjunto do conjunto dosnaturais N = {1, 2, 3, . . .} ou, ainda, o conjunto dos inteiros não negativos N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}.Os valores

f(1), f(2), . . . , f(n), . . .

denominam-se termos da sucessão: primeiro termo, segundo termo, . . . , n-ésimo termo,. . . . O contra-domínio da função f denomina-se por conjunto dos termos da sucessão.Habitualmente os termos da sucessão são denotados por letras indexadas nos números naturais.Por exemplo, podemos denotar os termos da sucessão acima por

u1, u2, . . . , un, . . . .

Chama-se termo geral da sucessão à expressão designatória f(n) e, usando a mesma notaçãoindexada, é habitual denotá-lo por un. Cada termo da uma sucessão, digamos un, tem umtermo sucessor, un+1, e, assim, podemos dizer que não existe um último termo da sucessão.As operações algébricas habituais dos números reais estendem-se naturalmente às sucessões. Asoma e diferença de duas sucessões un e vn definem-se, respectivamente, por:

(u + v)n = un + vn e (u − v)n = un − vn.

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

O produto e quociente de duas sucessões un e vn define-se, respectivamente, por:

(u v)n = un vn e(u

v

)

n=

un

vn

(vn 6= 0 ∀ n ∈ N) .

2.1.1 Modos de designar uma sucessão

• Ordenação. Para designar uma sucessão, é habitual escrever ordenadamente uma quan-tidade suficiente de termos da sucessão, de modo a termos uma ideia do comportamentoda sucessão. Por exemplo, a sucessão cujos três primeiros termos são 1, 3, 5, é escrita domodo seguinte:

1, 3, 5, . . . .

• Fórmula. A forma mais comum para designar uma sucessão, consiste em indicar umafórmula por meio da qual se pode obter, para cada natural n, o correspondente n-ésimotermo. Por exemplo, a fórmula

un =1

n, n ∈ N,

permite-nos obter a sucessão seguinte de termos ordenados:

1,1

2,

1

3, . . . .

A fórmulavn = 1, n ∈ N,

designa a sucessão constante com todos os termos iguais a 1, e que, ordenada, se escreve

1, 1, 1, . . . , 1, . . . .

Por vezes, duas ou mais fórmulas podem ser indicadas para designar a sucessão. Porexemplo, as fórmulas

u2n−1 =1

n2, u2n = n2, n ∈ N,

definem a sucessão cujos oito primeiros termos ordenados são

1, 1,1

4, 4,

1

9, 9,

1

16, 16, . . . .

Isto é, a sucessão cujos quatro primeiros termos de ordem ímpar (2n − 1) são

1,1

4,

1

9,

1

16, . . .

e os quatro primeiros termos de ordem par (2n) são

1, 4, 9, 16, . . . .

EA EB 17 c© Hermenegildo Borges de Oliveira, 2009/2010

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

• Recorrência. Outro modo de designar uma sucessão, consiste em indicar as instruçõesde como obter os termos sucessores conhecido um ou mais dos primeiros termos. Porexemplo, as fórmulas

u1 = u2 = 1, un+1 = un + un−1, n ∈ N,

definem a sucessão (de Fibonacci1) cujos oito primeiros termos ordenados são

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . .

Uma sucessão determinada por este processo, diz-se uma sucessão definida por recorrência.

Por simplicidade de escrita, denota-se qualquer sucessão por un, qualquer que seja a forma porque é definida.

2.2 Representação gráfica de uma sucessão

A representação gráfica de uma sucessão, num sistema de eixos cartesianos, faz-se do mesmomodo como para qualquer função. No eixo das abcissas indicamos os números naturais e no dasordenadas as correspondentes imagens por meio da sucessão (termos da sucessão). O gráficode uma sucessão un é o conjunto de pontos discretos

{(n, un) : n ∈ N}.

Exemplo 2.2.1 (AULA TEÓRICA) Fazer a representação gráfica dos seis primeiros termos dasucessão

un =(−1)n

n, n ∈ N.

2.3 Princípio de indução matemática

O Princípio de Indução Matemática é um método de demonstração elaborado com base noPrincípio de Indução Finita, frequentemente utilizado para provar que certas propriedades sãoverdadeiras para todos os números naturais. Para uma determinada afirmação matemática quedependa de um natural n, digamos P (n), podemos enunciar este princípio do modo seguinte.

Se

1. P (n) é verificada para n = 1;

2. P (n) sendo verificada para n = k implicar ser também verificada para o seusucessor n = k + 1, com k > 1;

então a afirmação P (n) é válida para todo o natural n.

1Leonardo Fibonacci (1170-1250), matemático italiano natural de Pisa.

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

O passo 1, em que se estabelece a propriedade para o primeiro dos números naturais, designa-sepor base de indução. O passo 2 designa-se por passo de indução, em que se estabeleceque, caso a propriedade se verifique, para um número natural k (hipótese de indução) entãoela também é verificada para o número natural seguinte, k + 1. A validade de P (n) para todosos números naturais, depende essencialmente da possibilidade em provar que a observação dapropriedade num natural n implica a verificação da mesma propriedade para o natural seguinte,n+1 (passo de indução). Se isso suceder, então podemos concluir a veracidade de P (n) paratodos os números naturais desde que o primeiro deles (o número 1) a verifique. Na realidade, avalidade da propriedade para o primeiro natural (base de indução) implica a sua validade para osegundo (o número 2) e deste para o terceiro (o número 3), e assim sucessivamente, cobrindo-sedeste modo a totalidade dos naturais, como peças de um dominó em linha, em que as quedasdas sucessivas peças são provocadas umas a partir das outras após a queda da primeira peça.Por vezes, certas afirmações P (n) só são verificadas a partir de um número natural n1 > 1.Neste caso, temos de substituir, no passo 1, "P (n) é verificada para n1". De um modo sucinto,podemos enunciar o Princípio de Indução Matemática na forma seguinte.

Definição 2.3.1 (Princípio de indução matemática) Se:

1. P (n1) é verificada;

2. P (n) ⇒ P (n + 1), n > n1;

então P (n) é verdadeira para todo natural n ≥ n1.

Exemplo 2.3.1 (AULA TEÓRICA) Usando o Princípio de Indução Matemática, mostre que paratodo o natural n a igualdade seguinte é verificada:

1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n − 1 = n2 .

2.4 Exemplos

Exemplo 2.4.1 (Progressão aritmética) Uma progressão aritmética é uma sucessão cujafórmula para o seu termo geral é

un = u1 + (n − 1)r, n ∈ N,

onde r 6= 0 é uma constante conhecida que se denomina razão.

Este tipo de sucessões caracteriza-se por a diferença de quaisquer dois dos seus termos sucessivosser constante:

un+1 − un = r ∀ n ∈ N (r = constante 6= 0).

Deste modo, podemos definir tal sucessão por recorrência:{

u1 = aun+1 = un + r;

sendo a e r 6= 0 reais conhecidos.

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

Proposição 2.4.1 A soma Sn dos n primeiros termos de uma progressão aritmética un é dadapor

Sn =u1 + un

2× n.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Exemplo 2.4.2 (AULA TEÓRICA) Calcule a soma, S100, dos 100 primeiros termos da progres-são aritmética un = n, com n ∈ N.

Exemplo 2.4.3 (Progressão geométrica) Uma progressão geométrica é uma sucessão cujafórmula para o seu termos geral é

un = u1rn−1, n ∈ N,

onde r 6= 1 é uma constante conhecida que se denomina razão.

Esta sucessão caracteriza-se por o quociente entre quaisquer dois dos seus termos sucessivos serconstante:

un+1

un

= r ∀ n ∈ N (r = constante 6= 1).

Podemos, assim, definir tal sucessão também por recorrência:{

u1 = aun+1 = unr;

sendo a e r 6= 1 reais conhecidos.

Proposição 2.4.2 A soma Sn dos n primeiros termos de uma progressão geométrica un derazão r 6= 1 é dada por

Sn = u1

1 − rn

1 − r.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Exemplo 2.4.4 (AULA TEÓRICA) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão ge-ométrica

un =

(

1

2

)n

, n ∈ N.

2.5 Sucessão limitada

Uma sucessão diz-se majorada, se o conjunto dos seus termos for majorado, isto é, se existirum real maior ou igual do que todos os termos da sucessão. Ou seja, un é uma sucessãomajorada, se

∃ L ∈ R : un ≤ L ∀ n ∈ N.

Uma sucessão diz-se minorada, se o conjunto dos seus termos for minorado, isto é, se existirum real menor ou igual do que todos os termos da sucessão. Ou seja, un é uma sucessãominorada, se

∃ l ∈ R : un ≥ l ∀ n ∈ N.

Uma sucessão diz-se limitada, se for majorada e minorada.

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

Definição 2.5.1 (Sucessão limitada) Uma sucessão un é limitada, se

∃ L, l ∈ R : l ≤ un ≤ L ∀ n ∈ N.

Exemplo 2.5.1 (AULA TEÓRICA) Verifique se as seguintes sucessões são limitadas:

un = n, n ∈ N, e vn =1

n, n ∈ N.

Proposição 2.5.1 Uma sucessão un é limitada se e só se

∃ C ∈ R+ : |un| ≤ C ∀ n ∈ N.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

2.6 Monotonia

Uma sucessão diz-se monótona crescente, se qualquer dos seus termos for menor ou igual doque o seu sucessor. Diz-se que uma sucessão é monótona decrescente, se qualquer dos seustermos for maior ou igual do que o seu sucessor. Uma sucessão diz-se, apenas, monótona, sefor monótona crescente ou decrescente.

Definição 2.6.1 Uma sucessão un diz-se monótona crescente, se

un ≤ un+1 ∀ n ∈ N.

A sucessão un diz-se monótona decrescente, se

un ≥ un+1 ∀ n ∈ N.

No caso de termosun < un+1 ∀ n ∈ N,

dizemos que un é uma sucessão monótona estritamente crescente. Se

un > un+1 ∀ n ∈ N,

diz-se que un é uma sucessão monótona estritamente decrescente. Quando houver ne-cessidade de fazer distinção, referiremo-nos à monotonia da definição anterior com sendo emsentido lato. As sucessões que não são monótonas, podem ser constantes ou oscilantes. Con-vém referir que, por vezes, a monotonia ou não de uma sucessão só se descortina após umnúmero finito de termos. Neste caso, diremos que a sucessão é monótona a partir do termoda ordem (número natural, digamos p) em que se verifica a condição da definição. Em termospráticos, para se estudar a monotonia de uma dada sucessão, determinamos a diferença

un+1 − un

e comparamo-la com 0. Se for maior do que 0, é monótona crescente, caso contrário é monótonadecrescente. Existem casos em que se torna mais fácil determinar o quociente

un+1

un

e compará-lo com 1. Obviamente, aqui, este quociente só é possível se un 6= 0 para todo n ∈ N.Nesses casos, a sucessão é crescente se for maior do que 1 e decrescente se for menor.

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

Exemplo 2.6.1 (AULA TEÓRICA) Estude as seguintes sucessões quanto à monotonia:

un = 2n − 1, n ∈ N, e vn =1

n2, n ∈ N.

2.7 Subsucessão

Uma subsucessão é uma sucessão cujo conjunto dos seus termos é um subconjunto do conjuntodos termos de dada sucessão. Para a definição de subsucessão, necessitamos de introduzir oconceito de composição de sucessões, que é um caso particular da composição de funções. Sejamun e vn duas sucessões, a última das quais de termos naturais. Define-se a composição dassucessões un e vn como sendo a sucessão (u ◦ v)n que tem por termo de ordem k o termo deordem k = vk da sucessão un. Ou seja,

(u ◦ v)k = uvk.

Definição 2.7.1 (Subsucessão) Sejam un uma sucessão de termos reais e kn uma sucessão determos naturais estritamente crescente. A sucessão composta (u◦k)n designa-se por subsucessãoda sucessão un e o seu termo geral é denotado por ukn

.

Dada uma sucessão qualquer un de termos reais, podemos considerar sempre as seguintes sub-sucessões.

• Fazendo kn = n para todo n ∈ N, obtemos a sucessão vn de termo geral

vn = un.

Isto é, toda a sucessão é subsucessão de si própria.

• Fazendo kn = 2n para todo n ∈ N, obtemos a sucessão vn de termo geral

vn = u2n

Portanto, podemos sempre considerar a subsucessão dos termos de ordem par.

• Fazendo kn = 2n − 1 para todo n ∈ N, obtemos a subsucessão vn de termo geral

vn = u2n−1.

Ou seja, podemos também sempre considerar a subsucessão dos termos de ordem ímpar.

Exemplo 2.7.1 (AULA TEÓRICA) Determine duas subsucessões da seguinte sucessão

−1,1

2,−1

3,1

4,−1

5, . . . .

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

2.8 Sucessão convergente

Dizemos que uma sucessão un de termos reais tende para determinada quantidade A, finitaou não, se, a partir de determinada ordem (número natural), os termos da sucessão vão estartão próximos de A quanto se queira. Convém ressalvar aqui o caso em que A é infinito e aproximidade de infinito ser sempre um abuso de linguagem. Abreviadamente, podemos escrever

un −→ A.

No caso de A ser finito, isto é, um número real, dizemos que a sucessão un converge.

Definição 2.8.1 (sucessão convergente) Uma sucessão un converge para a ∈ R, se

∀ ε > 0 ∃ p = p(ε) ∈ N : ( ∀ n ∈ N e n > p ) ⇒ |un − a| < ε.

O real a da definição anterior chama-se limite da sucessão e, habitualmente, escrevemos

limn→+∞

un = a.

A definição de sucessão convergente anterior, pode ser traduzida do modo seguinte: a partirde certa ordem (n > p) os termos da sucessão vão estar tão próximos do limite (|un − a| < ε)quanto se queira (∀ ε). Para percebermos melhor este conceito, consideremos, por exemplo, asucessão de números racionais seguinte que aproxima o irracional

√2:

u0 = 1u1 = 1.4u2 = 1.41u3 = 1.414u4 = 1.4142u5 = 1.41421u6 = 1.414213u7 = 1.4142135u8 = 1.41421356u9 = 1.414213562· · ·

Escolhamos, agora, ε = 10−4 e vejamos, para este ε, a partir de que ordem p a definição anteriorse verifica. Resolvendo,

|un −√

2| < 10−4 ⇔ un > 1.414113562 ⇒ n ≥ 4 .

Deste modo, para o valor de ε = 10−4, a definição anterior verifica-se a partir da ordem p = 4(n ≥ 4). Apesar de ser um indicativo, isto não prova nada. O importante é que para cadaε > 0 que se escolha, consigamos sempre encontrar uma ordem p a partir da qual a definiçãoanterior seja verificada.

Exemplo 2.8.1 (AULA TEÓRICA) Usando a definição, mostre que

limn→+∞

1

n= 0.

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

As sucessões que não são convergentes dizem-se divergentes. Caso particularmente impor-tante das sucessões divergentes são aquelas que tendem para +∞ ou −∞. Uma sucessão tendepara +∞, se, a partir de certa ordem, os seus termos são tão grandes quanto se queira. Demodo análogo, uma sucessão tende para −∞, se, a partir de certa ordem, os seus termos sãotão pequenos quanto se queira.

Definição 2.8.2 Uma sucessão un tende para +∞, se

∀ ε > 0 ∃ p = p(ε) ∈ N : ( ∀ n ∈ N e n > p ) ⇒ un >1

ε.

Uma sucessão un tende para −∞, se

∀ ε > 0 ∃ p = p(ε) ∈ N : ( ∀ n ∈ N e n > p ) ⇒ un < −1

ε.

Por extensão da noção de limite a +∞ e −∞, podemos escrever também

limn→+∞

un = +∞ e limn→+∞

un = −∞,

no caso da sucessão un tender para +∞ ou −∞, respectivamente.

Exemplo 2.8.2 (AULA TEÓRICA) Usando a definição, mostre que

limn→+∞

2(n + 1) = +∞ e limn→+∞

1 − n

2= −∞.

Uma sucessão un designa-se por um infinitamente grande positivo, se tender para +∞:

un −→ +∞.

Diz-se que é um infinitamente grande negativo, se tender para −∞:

un −→ −∞.

Chama-se infinitésimo, ou infinitamente pequeno, a uma sucessão un que tenda para 0:

un −→ 0.

O limite de uma subsucessão de uma sucessão é designado por sublimite dessa sucessão.

Definição 2.8.3 O maior dos sublimites de uma sucessão un denomina-se limite superior edefinimo-lo por:

lim supn−→+∞

un = sup{a : a é sublimite de un}.

O menor dos sublimites de uma sucessão un denomina-se limite inferior e definimo-lo por:

lim infn−→+∞

un = inf{a : a é sublimite de un}.

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

Resulta da definição anterior que, para qualquer sucessão un, no caso de existirem sublimites,

lim infn−→+∞

un ≤ lim supn−→+∞

un.

Tal como para o limite de uma sucessão, podemos, também, estender as noções de limitesuperior e inferior a +∞ e −∞. Isto acontece no caso em que o conjunto dos sublimites dasucessão não é majorado ou não é minorado, respectivamente.

Exemplo 2.8.3 (AULA TEÓRICA) Determine os limites superior e inferior da sucessão

un =n + (−1)nn

n.

2.9 Propriedades

A afirmação da proposição seguinte diz-nos que o limite de uma sucessão, a existir, é único.

Proposição 2.9.1 Sejam un uma sucessão e a, b ∈ R. Se

limn−→+∞

un = a e limn−→+∞

un = b,

então a = b.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Proposição 2.9.2 Se un é uma sucessão convergente, então un é limitada.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

A afirmação recíproca da proposição anterior é falsa como mostra o contra-exemplo da sucessãoun = (−1)n que é limitada, mas divergente. No entanto, se além de limitada, a sucessão formonótona, a recíproca já é válida.

Proposição 2.9.3 Se un é uma sucessão monótona e limitada, então un é convergente. Mais:

• se un é crescente, entãolim

n→+∞un = sup{un : n ∈ N};

• se un é decrescente, então

limn→+∞

un = inf{un : n ∈ N}.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Exemplo 2.9.1 (AULA TEÓRICA) Usando a proposição anterior, mostre que a sucessão se-guinte é convergente e calcule o seu limite:

{

u1 = 1un+1 =

√2 + un

.

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Page 11: sucessoes numerica

ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

A afirmação recíproca da proposição anterior é falsa, pois existem sucessões convergentes quenão são monótonas.

Exemplo 2.9.2 (AULA TEÓRICA) Mostre que a sucessão seguinte é convergente, mas não émonótona:

un =(−1)n

n.

Proposição 2.9.4 Uma sucessão un é convergente se e só se qualquer sua subsucessão unk

converge para o mesmo limite.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Observe-se que, pela proposição anterior, se uma sucessão tem, pelo menos, duas subsucessõescom limites diferentes, então é divergente. Depois do resultado anterior, levanta-se a questãode saber em que condições uma sucessão tem subsucessões convergentes.

Proposição 2.9.5 Seja un uma sucessão (de termos reais). Então existe, pelo menos, umasubsucessão unk

monótona.

SEM DEMONSTRAÇÃO: ver, por exemplo, J. Campos Ferreira p. 90.

Proposição 2.9.6 Seja un uma sucessão limitada. Então un tem, pelo menos, uma subsuces-são unk

convergente.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

O resultado da proposição anterior é, por vezes, denominado Teorema de Bolzano2-Weierstrass3.Daqui, resulta que é condição necessária e suficiente para uma sucessão limitada un convergirque

lim infn−→+∞

un = lim supn−→+∞

un.

Exemplo 2.9.3 (AULA TEÓRICA) A sucessão un = (−1)n é divergente.

2.10 Sucessão de Cauchy

Por vezes, torna-se muito difícil provar, pela Definição 2.8.1, que uma sucessão é convergente,apesar de verificarmos que converge, usando técnicas de cálculo de limites de que iremos escrevermais adiante. Torna-se, portanto, útil encontrar formas equivalentes de provar que uma sucessãoé convergente. Nesse intuito, introduzimos de seguida o conceito de sucessão de Cauchy4

Definição 2.10.1 (Sucessão de Cauchy) Diz-se que uma sucessão un é de Cauchy, se

∀ ε > 0 ∃ p = p(ε) ∈ N : ( ∀ m, n ∈ N e m, n ≥ p ) ⇒ |um − un| < ε.

2Bernhard Bolzano (1781-1848), matemático checo natural de Praga.3Karl Weierstrass (1815-1897), matemático alemão natural de Ostenfelde.4Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), matemático francês natural de Paris.

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

O significado desta definição é o de que a partir de certa ordem, digamos p (m, n ≥ p), ostermos correspondentes da sucessão (um e un) estarão tão próximos (|um − un| < ε) quanto sequeira (∀ε > 0). Observe-se que nada se diz sobre a relação de ordem entre m e n.

Exemplo 2.10.1 (AULA TEÓRICA) Mostre que a sucessão un = 1

né de Cauchy.

A grande utilidade da noção de sucessão de Cauchy, é provar, de um modo mais simples, queuma dada sucessão é convergente. O resultado estabelecido na proposição seguinte é, pois,esperado.

Proposição 2.10.1 Uma sucessão é convergente se e só se for sucessão de Cauchy.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Dada a equivalência entre as noções de sucessão convergente e de sucessão de Cauchy, porvezes a definição de sucessão de Cauchy é designada por Princípio Geral de Convergência deCauchy. Existem mesmo muitos autores que falam de definição de sucessão convergente nosentido de Cauchy. Neste sentido, e para a distinguir, a primeira (Definição 2.8.1) é designadapor noção de sucessão convergente no sentido de Heine5. O exemplo seguinte mostra-nos agrande utilidade da noção de sucessão de Cauchy.

Exemplo 2.10.2 (AULA TEÓRICA) Usando a noção de sucessão de Cauchy, mostre que as su-cessões seguintes são, respectivamente, convergente e divergente:

a)

u1 = 1

un+1 = 1 +1

un

;b) sn = 1 +

1

2+ · · · + 1

n.

2.11 Critérios de convergência

As proposições seguintes estabelecem relações de ordem entre os limites de sucessões a partirdos seus termos gerais.

Proposição 2.11.1 Sejam un e vn duas sucessões convergentes para a e b, respectivamente.Se, a partir de certa ordem, un ≤ vn, então a ≤ b.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Esta proposição tem uma grande aplicação prática no cálculo de limites. Essa aplicação é maisvisível na utilização da seguinte proposição também conhecida por Princípio do Encaixe.

Proposição 2.11.2 (Critério da Sucessão Enquadrada) Sejam un, vn, xn sucessões taisque, a partir de certa ordem, un ≤ vn ≤ xn, un e xn são convergentes e

limn−→+∞

un = a = limn−→+∞

xn, a ∈ R.

Então vn é convergente elim

n−→+∞vn = a.

5Heinrich Eduard Heine (1821-1881), matemático alemão natural de Berlim.

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Exemplo 2.11.1 (AULA TEÓRICA) Usando o critério anterior, mostre que a sucessão seguinteé convergente e calcule o seu limite:

un =1

n2 + 1+ · · · + 1

n2 + n.

O resultado da Proposição 2.11.1 pode-se estender, em determinadas condições, ao caso em queos limites são infinitos

Proposição 2.11.3 (Critério de Comparação) Sejam un e vn sucessões tais que, a partirde certa ordem, un ≤ vn.

1. Se vn tende para −∞, então un tende para −∞.

2. Se un tende para +∞, então vn tende para +∞.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Exemplo 2.11.2 (AULA TEÓRICA) Usando o critério anterior, mostre que a sucessão un =2(n + 1)2 tende para +∞.

O resultado seguinte diz-nos que a afirmação recíproca da Proposição 2.11.1 também é válida.

Proposição 2.11.4 Sejam un e vn duas sucessões convergentes e suponhamos que

limn→+∞

un ≤ limn→+∞

vn.

Então, a partir de certa ordem, un ≤ vn.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

A proposição seguinte diz-nos que o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é,ainda, um infinitésimo.

Proposição 2.11.5 Sejam un uma sucessão limitada e vn uma sucessão convergente tal que

limn→+∞

vn = 0.

Então (u v)n = un vn é uma sucessão convergente e

limn→+∞

un vn = 0.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Exemplo 2.11.3 (AULA TEÓRICA) Usando a proposição anterior, mostre que a sucessão se-guinte é um infinitésimo:

un =cos n

n.

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Page 14: sucessoes numerica

ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

2.12 A recta acabada

A recta acabada surge da necessidade de estender as operações algébricas habituais do conjuntodos números reais de modo a poder-se operar com os elementos +∞ e −∞. Estes elementossatisfazem a relação de ordem seguinte:

−∞ < x < +∞ ∀ x ∈ R.

Definição 2.12.1 (Recta acabada) Define-se a recta acabada e denota-se por R como sendoo conjunto seguinte:

R = R ∪ {−∞, +∞}.Com a introdução da recta acabada R, torna-se necessário definir as operações algébricas entreos elementos desse conjunto. Se os elementos de R forem ainda reais, isto é elementos de R, asoperações são como habitualmente.

Definição 2.12.2 (operações com +∞ e −∞) Para a adição tem-se:

a + (+∞) = +∞, a + (−∞) = −∞ ∀ a ∈ R;

(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞.

Para a multiplicação tem-se:

a × (+∞) = +∞, a × (−∞) = −∞ ∀ a > 0;

a × (+∞) = −∞, a × (−∞) = +∞ ∀ a < 0;

(+∞) × (+∞) = +∞, (+∞) × (−∞) = −∞, (−∞) × (−∞) = +∞.

As operações de subtracção e divisão são operações inversas da adição e multiplicação, respec-tivamente. Assim, tem-se para a subtracção:

a − (+∞) = a + (−∞) = −∞, a − (−∞) = a + (+∞) = +∞ ∀ a ∈ R;

(+∞) − (−∞) = (+∞) + (+∞) = +∞.

E para a divisão tem-se:+∞a

= +∞,−∞a

= −∞ ∀ a ≥ 0;

+∞a

= −∞,−∞a

= +∞ ∀ a ≤ 0;

Pela sua importância, também consideramos a operação de potenciação:

ab, a ≥ 0.

Nos casos em que o expoente b é um natural, a potenciação não é mais do que uma multiplicaçãorepetida. As potências entre números reais definem-se como habitualmente. No caso em queintervêm os elementos +∞ e −∞, temos:

a+∞ =

{

0 se 0 ≤ a < 1+∞ se a > 1

; a−∞ =1

a+∞=

{

+∞ se 0 ≤ a < 10 se a > 1

;

(+∞)b =

{

0 se b < 0+∞ se b > 0.

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2.13 Indeterminações

Pelo exposto acima, verifica-se a existência de omissões na definição das operações algébricasentre alguns elementos de R. Em R já conhecemos as seguintes situações em que as operaçõesnão estão definidas:

0

0e 00.

Em R, quando não for possível determinar uma operação, diremos que estamos perante umaindeterminação.

Definição 2.13.1 (Indeterminações) As indeterminações em R são dos tipos:

• ∞−∞+∞ + (−∞) = +∞−∞, +∞− (+∞) = +∞−∞;

• 0 ×∞0 × (+∞), 0 × (−∞);

• 1∞

1+∞, 1−∞ =1

1+∞;

• ∞0

(+∞)0.

Existem outras indeterminações, mas que poderão ser analisadas como casos particulares dosdados na definição anterior. Esses casos, são as indeterminações dos tipos:

• ∞∞ ∞

∞ =1

∞ ×∞ = 0 ×∞;

• 0

0- já existente em R

0

0= 0 × 1

0= 0 ×∞;

• 00 - já existente em R

00 =

(

1

+∞

)0

=1

(+∞)0.

Convém referir que, como sai da parte final da secção anterior, não são indeterminações oscasos particulares seguintes:

0+∞ = 0, 0−∞ =1

0+∞=

1

0= +∞;

(+∞)+∞ = +∞; (+∞)−∞ =1

(+∞)+∞=

1

+∞ = 0.

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2.14 Cálculo de limites

Nesta altura podemos, então, definir as operações algébricas entre os limites de sucessões,limites esses que poderão ser infinitos.

Proposição 2.14.1 Sejam un e vn sucessões e a, b ∈ R tais que

limn−→+∞

un = a e limn−→+∞

vn = b.

Então, salvo os casos em que se obtêm indeterminações, temos:

1.lim

n−→+∞(un ± vn) = a ± b;

2.lim

n−→∞(un × vn) = a × b;

3. se b 6= 0 e vn 6= 0 para todo n ∈ N,

limn−→∞

(

un

vn

)

=a

b;

4. se un é uma sucessão de termos positivos,

limn−→∞

(unvn) = ab.

SEM DEMONSTRAÇÃO: Ver Campos Ferreira, Capítulo II.1.

No cálculo de limites podemos usar a Proposição 2.14.1 sempre que não obtenhamos indetermi-nações. Mas, em muitas situações de cálculo de limites, surgem indeterminações. Ao processode resolver determinada indeterminação, vamos designar por levantamento da indetermi-nação.

Regra 1 (levantamento de indeterminações do tipo ∞−∞) As indeterminações dos ti-pos

∞−∞,

podem, normalmente, ser levantadas pondo em evidência o termo de maior grau, ou, no casoem que envolvem raízes, multiplicando pelo conjugado.

Exemplo 2.14.1 (AULA TEÓRICA) Calcule os limites seguintes:

limn−→+∞

(n2 − 2n) e limn−→+∞

(√n + 1 −

√n)

.

Regra 2 (levantamento de indeterminações do tipo 0 ×∞) As indeterminações dos ti-pos

0 ×∞,∞∞ ,

0

0,

podem, normalmente, ser levantadas pondo em evidência os termos de maior grau.

Exemplo 2.14.2 (AULA TEÓRICA) Calcule os limites seguintes:

limn−→+∞

3√

n3 + 2

n − 1e lim

n−→+∞

32n − 5n+1

4n+1 + 22n.

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2.15 Limites importantes

Para o levantamento de indeterminações do tipo 1∞, temos de introduzir um resultado impor-tante.

Definição 2.15.1 (Número de Neper) Define-se o número de Neper e como sendo o limitefinito seguinte:

limn−→+∞

(

1 +1

n

)n

= e.

A existência do limite anterior resulta da proposição seguinte.

Proposição 2.15.1 A sucessão

un =

(

1 +1

n

)n

é estritamente crescente e 2 ≤ un < 3 para todo n ∈ N.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

O valor do número de Neper que habitualmente se utiliza é obtido à custa do resultado expressona proposição seguinte.

Proposição 2.15.2 Para a sucessão da Definição 2.15.1, tem-se:

limn−→+∞

(

1 +1

n

)n

= limn−→+∞

(

1 + 1 +1

2+

1

6+ · · · + 1

n!

)

≡ limn−→+∞

n∑

k=1

1

k!.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Somando os cinco primeiros termos da sucessão do segundo membro da proposição anterior,obtemos uma aproximação às casas das centésimas do número de Neper:

e ≃ 2, 71 ;

valor este que é o que habitualmente se usa em cálculos numéricos. O número e, apesar de jáaparecer implícito nos trabalhos do matemático escocês Jonh Napier [ou Neper] (1550-1617)sobre logaritmos, só se tornou conhecido nos trabalhos do matemático suíço Leonhard Euler(1707-1783) sobre a função exponencial. É por isso que denotamos este número com a letrainicial de Euler, apesar de o designarmos por número de Neper (ou de Napier).

Proposição 2.15.3 Sejam a ∈ R e un uma sucessão tal que

limn−→+∞

|un| = +∞.

Então

limn−→+∞

(

1 +a

un

)un

= ea.

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Page 18: sucessoes numerica

ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Regra 3 (Levantamento de indeterminações do tipo 1∞) As indeterminações do tipo

1∞

podem, normalmente, ser levantadas usando a Definição 2.15.1 ou a Proposição 2.15.3.

Exemplo 2.15.1 Calcule o limite seguinte:

limn−→+∞

(

1 −√

2

n3

)4n3

.

Para o levantamento de grande parte das indeterminações do tipo ∞0, introduzimos o resultadoseguinte.

Proposição 2.15.4 Sejam a ∈ R+

0 ∪ {+∞} e un uma sucessão de termos positivos tal que

limn−→+∞

un+1

un

= a.

Entãolim

n−→+∞

n√

un = a.

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Regra 4 (Levantamento de indeterminações do tipo (+∞)0) As indeterminações do tipo

(+∞)0

podem, normalmente, ser levantadas usando a Proposição 2.15.4.

Exemplo 2.15.2 (AULA TEÓRICA) Calcule o limite seguinte:

limn−→+∞

n√

n2 + 1.

Existem muitas outras possibilidades de levantar indeterminações. Por exemplo, para levantarindeterminações do tipo ∞× 0, ∞/∞ ou 0/0, por vezes, temos de conjugar os resultados doCritério da Sucessão Enquadrada (Proposição 2.11.2) e da Proposição 2.15.4.

Proposição 2.15.5 Sejam a > 1 um real e p ∈ N arbitrários. Temos:

limn−→+∞

np

an= 0, lim

n−→+∞

an

n!= 0, lim

n−→+∞

n!

nn= 0.

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.

Observe-se que, da proposição anterior, podemos tirar o limite seguinte:

limn−→+∞

np

n!= 0 ∀ p ∈ N.

Outro exemplo para levantar indeterminações do tipo ∞× 0, ∞/∞ ou 0/0, consiste em usaro conhecimento de limites notáveis de funções. Alguns exemplos são os seguintes:

limn−→+∞

n(

n√

e − 1)

= 1;

limn−→+∞

n ln

(

1 +1

n

)

= 1;

limn−→+∞

n sen

(

1

n

)

= 1;

limn−→+∞

(ln n)a

nb= 0 para todos a > 0, b > 0.

2.16 Exercícios

1. Calcule o primeiro termo, assim como os termos de ordem n−1, 2n e 2n−1 das sucessõesseguintes:

un =n + (−1)n

n; vn = 1 +

1

2+ · · ·+ 1

2n; xn = (−1)n+1

n2 + 2

2n + 3;

yn =1

n!; wn =

1

n2+

2

n2+

3

n2+ · · ·+ 1

n; zn =

{

z1 = 1zn+1 =

√2 + zn

.

2. Faça a representação gráfica dos cinco primeiros termos das sucessões un, xn e yn indicadasno exercício anterior.

3. Escreva o termo geral das sucessões cujos termos das primeiras ordens são os seguintes:

a) 2, 5, 8, 11, . . . ; b) 1,1

2,1

4,1

8, . . . ; c) 1, −1

4,

1

9, − 1

16,

1

25, . . . ;

d)3

7,

8

11,13

15,18

19, . . . ; e) 1, 2, 3, 5, 8, 13 . . . ; f) 0,

3

2,

2

3,

5

4,

4

5, . . . .

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Page 20: sucessoes numerica

ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

4. Usando o Princípio de Indução Matemática, prove as afirmações seguintes:

a) 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)

2;

b)1

1.3+

1

3.5+

1

5.7+ · · · + 1

(2n − 1)(2n + 1)=

n

2n + 1;

c) 12 + 22 + 32 + · · ·+ (n − 1)2 <n3

3∀ n ∈ N ;

d) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = (1 + 2 + 3 + · · · + n)2 [Usar a)] ;

e) 2n > n2 ∀ n ≥ 5 ;

f) Binómio de Newton: Para quaisquer a , b ∈ R

(a + b)n =an + nan−1b +n(n − 1)

2an−2b2 + · · · + n!

k!(n − k)!an−kbk

+ · · ·+ n(n − 1)

2a2bn−2 + nabn−1 + bn ≡

n∑

k=1

n!

k!(n − k)!an−kbk .

5. Calcule a soma dos 10 primeiros termos das seguintes progressões

un = 2n − 1 ; vn =2

3n−1; xn = (−1)n ; yn =

2

3(n + 1) .

6. Indique quais das sucessões dos exercícios 1 e 3 são majoradas, minoradas e limitadas.

7. Estude as sucessões seguintes quanto à monotonia:

sn =n + 1

2n + 4; tn =

√n + 1 −

√n ; un =

n

2n;

vn =n!

nn; yn = 1 + 1 +

1

2+

1

3!+ · · ·+ 1

n!.

8. Indique duas subsucessões para cada sucessão dos exercícios 1, 3, 4 e 7.

9. Usando a definição, mostre que as seguintes sucessões são convergentes para os limitesindicados:

a) limn→+∞

1

2n= 0 ; b) lim

n→+∞

n

n + 1= 1 ; c) lim

n→+∞

2n − 1

n + 1= 2 ;

d) limn→+∞

(−1)n+1

n= 0 ; e) lim

n→+∞

n2 + 1

2n2 − 1=

1

2; f) lim

n→+∞

√n + 1 −

√n = 0 .

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ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

10. Usando a definição, mostre que as seguintes sucessões são divergentes e, na recta acabada,têm os limites indicados:

a) limn→+∞

√n3 − 1 = +∞ ; b) lim

n→+∞(1 − n2) = −∞ .

11. Calcule os limites seguintes:

a) limn→+∞

2n + 3

3n − 1; b) lim

n→+∞

n2 − 1

n4 + 3; c) lim

n→+∞

√n2 + 7n − 1

n + 2;

d) limn→+∞

(

n(n + 1) −√

n(n − 1))

; e) limn→+∞

2n + 1

2n − 1; f) lim

n→+∞

32n + 4n+1

5n − 22n.

12. Calcule os limites seguintes:

a) limn→+∞

n√

2n + 3n ; b) limn→+∞

n

n2 + n − 1

n − 3; c) lim

n→+∞

n

(n + 1)! − n! .

13. Calcule os limites seguintes:

a) limn→+∞

(

1 +1

n2

)n3

; b) limn→+∞

(

2n + 1

2n + 3

)4n

; c) limn→+∞

(

2n2 − 5n + 2

2n2 + 3n + 1

)2n

.

14. Usando o Princípio das Sucessões Enquadradas, calcule os limites seguintes:

a) limn→+∞

(

1

n2+

1

(n + 1)2+ · · ·+ 1

(2n)2

)

;

b) limn→+∞

(

1√n2 + 1

+1√

n2 + 2+ · · ·+ 1√

n2 + n

)

;

c) limn→+∞

1 +√

2 + · · · + √n

n2 + 1;

d) limn→+∞

n!

nn; e) lim

n→+∞

n + sen n

n; f) lim

n→+∞

n√

3n + 5n .

15. Calcule os limites superior e inferior das sucessões seguintes:

un =(−1)nn2 + 1

n2 + 2; vn = 1 + cos ((n + 1)π) ; xn =

n + sen(

nπ2

)

n.

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Page 22: sucessoes numerica

ANÁLISE MATEMÁTICA I 2. SUCESSÕES NUMÉRICAS

16. Estude a natureza das sucessões seguintes indicando o limite das que são convergentes:

an =1 + n3

n2 + 2n − 1; bn =

2n − en+1

en − 2n+1cn =

(n + 1)! −√

n! ;

dn =sen n

n; en =

22n − 3n

2n − 32n; fn = n ln

(

1 +1

n

)

;

gn = n sen

(

1

n

)

; hn = nn2

(1 + n2)−n2

2 ; in =1

nn

n!

n + 1;

jn =n2

2n; kn =

n!

3n; ln =

(

n2 + cos(nπ)

n2

)n+1

;

mn =n2

√n4 + n2

+n2

n4 + (n + 1)2+ · · ·+ n2

n4 + (2n)2;

nn =1√n

+1√

n + 1+ · · ·+ 1√

2n;

{

o1 = 1on+1 =

√2 + on

;

{

p1 = 1pn+1 = 1 + 1

pn

;

q0 = 1q1 = 1qn+2 = qn+qn+1

2

.

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