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PROJETO GEOMÉTRICO DE

RODOVIAS

Curso: 7º Período - Engenharia de Agrimensura e Cartográfica

Prof. Paulo Augusto F. Borges

O traçado de uma rodovia é constituído por trechos retos

e trechos curvos alternadamente. Os trechos retos recebem o

nome de tangentes e os trechos curvos de curvas horizontais.

As tangentes devem ser melhor concordadas através de curvas,

de forma a dar suavidade ao traçado. Normalmente há a

necessidade de utilizar inúmeras curvas em um projeto, devido

às características geológicas, geotécnicas, à topografia da

região atravessada, problemas de desapropriações e outros.

Sempre deve-se atentar em projetar curvas com raios

superiores ao mínimo estabelecido sem se preocupar com a

quantidade excessiva de curvas.

CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES

1. Introdução

Assim, o raio adotado para cada curva circular deve ser

aquele que melhor se adapte ao traçado do terreno,

respeitando-se valores mínimos que garantam a segurança dos

veículos que percorrem a estrada na velocidade do projeto. A

equação para o cálculo do raio mínimo é dada por:

𝑅𝑚í𝑛 =𝑉𝐷2

127 ∙ (𝑒𝑚á𝑥 + 𝑓𝑚á𝑥)


2. Raio Mínimo de Curvatura

Tabela 1: Raios mínimos de Curvatura



Tabela 2: Coeficientes de atrito transversal máximos admissíveis

A recomendação da AASHTO é utilizar a equação abaixo para o cálculo do

fator de atrito transversal:

𝑓𝑇 = 0,19 −𝑉

1600



A Figura 1 abaixo, mostra a concordância das curvas horizontais

circulares simples com as tangentes do traçado e a

nomenclatura adotada:

Figura 1: Parâmetros Geométricos da curva


3. Parâmetros Geométricos

A notação convencionalmente utilizada para os elementos

característicos das concordâncias com curvas circulares

simples e suas respectivas denominações, são as

seguintes:

PI: Ponto de Interseção;

PC: Ponto de Curva;

PT: Ponto de Tangente;

Δ: Ângulo de deflexão;

AC: Ângulo Central;

T: Tangente Externa ou Exterior (m);



D: Desenvolvimento (ou comprimento) da curva

circular (m);

R: Raio da curva circular (m);

O: Centro da curva circular.

Relação entre os parâmetros:

No triângulo retângulo O-PC-PI, temos:

𝑡𝑔𝐴𝐶

2=𝑇

𝑅 𝑇 = 𝑅 ∙ 𝑡𝑔

𝐴𝐶

2



𝐷

2∙𝜋∙𝑅=

𝐴𝐶

360 𝐷 =

𝜋∙𝑅∙𝐴𝐶

180 para AC em graus

ou 𝐷 = 𝐴𝐶 ∙ 𝑅 para AC em radianos

𝐺

20=

360

2∙𝜋∙𝑅 𝐺 =

1145,9156

𝑅 para G em graus

Em que G é o grau da curva ou o ângulo central

correspondente a um arco de 20 metros.




3. Desenho do Eixo Projetado

LOCAÇÃO DE CURVAS HORIZONTAIS

CIRCULARES

Após a elaboração do projeto geométrico da rodovia,

deve-se realizar a locação para materializar a posição da

estrada em campo. Para este processo devem-se seguir os

seguintes passos:

Locação dos PI’s (pontos de Interseção);

Cálculo dos ângulos de deflexão das tangentes;

Locação em campo das curvas e demais elementos

geométricos. A locação das curvas será realizada pelo

processo das deflexões e cordas.


CIRCULARES

Figura 3: Deflexões e cordas.


CIRCULARES

Para locar o ponto B, distante 𝐿1 metros de um ponto

A, é necessário que se calcule inicialmente a deflexão 𝑑1.

Chamando de 𝛼1 o ângulo central que corresponde ao arco

de comprimento 𝐿1, temos:

𝐺

20=𝛼1

𝐿1 𝛼1 =

𝐺∙𝐿1

20

Sendo 𝐴𝑂 perpendicular a 𝐼𝐴 e o triângulo ∆𝐴𝐼𝐵 isósceles,

temos:

𝑑1 =𝛼1

2 𝑑1 =

𝐺∙𝐿1

40


CIRCULARES

Analogamente, para calcular a deflexão 𝑑2.para a

locação do ponto C distante 𝐿2 metros do ponto A:

𝑑2 =𝛼2

2 𝑑2 =

𝐺∙𝐿2

40

Conclui-se que a deflexão é proporcional ao comprimento do

arco e a constante 𝐺∙

40 corresponde à deflexão para um arco

de 1 metro de comprimento, concluindo que para calcular a

deflexão para locar um arco de comprimento L qualquer

será:

𝑑 = 𝐿 ∗𝐺

40


CIRCULARES

Para locar uma curva a partir do PC, supondo que a

estaca do PC seja 𝑁𝑃𝐶 + 𝑓𝑃𝐶 , em que 𝑁𝑃𝐶 é o número

de estacas inteiras e 𝑓𝑃𝐶 a fração da estaca, a deflexão

para locar a primeira estaca inteira da curva será dada por:

𝑑1 = 20 − 𝑓𝑃𝐶 ∗𝐺

40

Para locar as demais estacas inteiras, basta somar ao valor

da deflexão inicial 𝑑1 , valores 𝐺

2 (lembre-se que o

estaqueamento é de 20 em 20 metros).


CIRCULARES

TABELA DE LOCAÇÃO DE CURVAS

GMS Grau Decimal

AC = 22º,36' 00,0'' 22,6000000

R = 600,000 m

d para o PT = 11º,18' 00,0'' 11,3000000

D = 236,667 m

dm = 0,04774648293 °

Est [PI] = 148 + 5,60 m

Exemplo:


CIRCULARES

TABELA DE LOCAÇÃO DE CURVAS

Estaca Corda (m) Distância (m) Deflexão (graus) Deflexão (GMS)

142 + 5,708 0 0 0 0º,00' 00,0''

143 14,292 14,292 0,682392734 0º,40' 56,6''

144 20 34,292 1,637322393 1º,38' 14,4''

145 20 54,292 2,592252051 2º,35' 32,1''

146 20 74,292 3,547181710 3º,32' 49,9''

147 20 94,292 4,502111368 4º,30' 07,6''

148 20 114,292 5,457041027 5º,27' 25,3''

149 20 134,292 6,411970685 6º,24' 43,1''

150 20 154,292 7,366900344 7º,22' 00,8''

151 20 174,292 8,321830002 8º,19' 18,6''

152 20 194,292 9,276759661 9º,16' 36,3''

153 20 214,292 10,231689320 10º,13' 54,1''

154 20 234,292 11,186618978 11º,11' 11,8''

154 + 2,375 2,375 236,667 11,300016875 11º,18' 00,1''

Curva Horizontal Circular Simples


CIRCULARES

LOCAÇÃO DE CURVAS POR OFFSETS

CURVAS HORIZONTAIS COMPOSTAS

CURVA COMPOSTA COM 2 CENTROS

CURVA HORIZONTAL COM TRANSIÇÃO

A utilização de curvas horizontais circulares na

concordância horizontal de traçados de uma estrada cria

problemas nos pontos de concordância, devido à

descontinuidade da curvatura no ponto de passagem da

tangente para circular (PC) e no ponto de passagem da circular

para a tangente (PT). Em um traçado racional estas

descontinuidades não devem ser aceitas.

Para solucionar este problema, utiliza-se das curvas

horizontais com transição, as quais permitem utilizar um trecho

com curvatura progressiva.

CURVAS HORIZONTAIS COM

TRANSIÇÃO

1. Introdução

Estes trechos visam cumprir as seguintes funções:

a) Permitir a variação contínua da superelevação.

No trecho reto, a superelevação é nula.

No circular, há necessidade de uma superelevação, a qual

depende da velocidade diretriz e do raio da curva.

A inclinação poderá atingir valores de 10% ou até 12% em

alguns casos.


TRANSIÇÃO

1. Introdução

Segundo Pimenta (2001), Se fosse feita a variação da

inclinação anterior dentro da curva, se o desenvolvimento fosse

suficiente, ainda assim teríamos a inconveniente condição de

necessitarmos da inclinação total logo após o PC, quando o

valor da superelevação ainda é praticamente zero. Essa

situação se agrava se a força centrípeta necessária for maior

que a força de atrito máxima. O veículo não conseguirá seguir

na curva, saindo da estrada.

Se fizermos a variação antes da curva, teremos uma

condição inconveniente que é criar a força transversal na reta,

obrigando ao motorista a forçar o volante no sentido contrário ao

da curva que se aproxima.


TRANSIÇÃO

1. Introdução

b) Criar uma variação contínua de aceleração

centrífuga na passagem do trecho reto para o trecho

circular. Sendo a força centrífuga (FC):

𝐹𝐶 = 𝑚 ∙ 𝑉2

𝑅

onde 𝑚 é a massa do veículo, 𝑉 a velocidade e 𝑅 o raio da

curva. O valor da forca centrífuga é nulo na reta, e em função do

raio, pode assumir um valor significativo logo após o PC.

Consequência: Desconforto para os passageiros e falta de

estabilidade para o veículo.


TRANSIÇÃO

1. Introdução

c) Gerar um traçado que possibilite ao veículo manter-

se no centro da faixa de rolamento. Inviável o veículo sair do trecho reto e entrar no curvo

instantaneamente.

Na prática isso provocaria desconforto e insegurança pelo

motorista.

O giro é feito num intervalo de tempo no qual o veículo

percorre uma trajetória de raio variável.

Uma curva de raio variável possibilita que a trajetória do

veículo coincida com o traçado ou, pelo menos, aproxime-se

dele.


TRANSIÇÃO

1. Introdução

d) Proporcionar um trecho fluente, sem

descontinuidade da curvatura e esteticamente

agradável. Isso ocorre devido a suave variação do raio de curvatura

existente.

A variação da curvatura do raio da estrada é chamada de

CURVAS DE TRANSIÇÃO.

Possuem raio instantâneo variando de ponto para ponto

desde o valor do 𝑅𝑐 (em concordância com o trecho circular

𝑅𝑐) até o valor infinito (em concordância com o trecho reto).


TRANSIÇÃO

1. Introdução


TRANSIÇÃO

1. Introdução

Perspectiva de Curva Horizontal


TRANSIÇÃO

a) Clotóide ou Espiral 𝑅 ∗ 𝐿 = 𝑘2 (R é o raio, L o comprimento percorrido e

K, uma constante).

b) Lemniscata 𝑅 ∗ 𝑃 = 𝐾 (em que P é o raio do vetor).

b) Parábola Cúbica 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥3 (onde a é uma constante).

2. Tipos de Curvas com Transição


TRANSIÇÃO

a) Clotóide ou Espiral 𝑅 ∗ 𝐿 = 𝑘2

b) Lemniscata 𝑅 ∗ 𝑃 = 𝐾

b) Parábola Cúbica 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥3



TRANSIÇÃO



TRANSIÇÃO

Quando o ângulo de transição 𝜃𝑠 é pequeno, as três

curvas apresentam resultados semelhantes.

Entre as diversas curvas de transição possíveis de serem

utilizadas, a clotóide é a mais vantajosa do ponto de vista

técnico, sendo a mais indicada porque:

É a curva descrita por um veículo, em velocidade constante,

quando o volante é girado com velocidade angular

constante;

O grau G, proporcional à curvatura, varia linearmente com o

comprimento percorrido.

𝑅 ∗ 𝐿 = 𝑘2 → 𝐺 = 𝑘′2 ∗ 𝐿



TRANSIÇÃO

Como a aceleração centrífuga varia inversamente

proporcional ao raio, varia também linearmente com o grau

da curva, e portanto, com o comprimento percorrido:

𝑎𝑐 =𝑉2

𝑅

𝑎𝑐 = 𝑉2 ∗ 𝐺 ∗ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒



TRANSIÇÃO


As normas do DNIT somente dispensam o uso de

curvas de transição nas concordâncias horizontais com curvas

circulares de raios superiores aos valores indicados na tabela

abaixo, para as diferentes velocidades diretrizes:


TRANSIÇÃO


TRANSIÇÃO

p p

qq

AC

AC

R

T

O1

O2

Ts

PI

TS

ST

SC CS

I

t

O1 = Centro original da Curva Circular

O2 = Centro deslocado da Curva Circular

t = Distância de deslocamento do centro

q = Complemento da Tangente "T"

p = Complemento do Raio "R"

AC = Ângulo Central da Curva

I = Ângulo de deflexão das Tangentes

T = Tangente externa da Curva Circular

Ts = Tangente externa da Curva de Transição

PI = Ponto de interseção das tangentes

TS = Ponto de Início da Curva.

SC = Ponto de início do ramo circular

CS = Ponto do término do ramo circular

ST = Ponto de término da curva


TRANSIÇÃO


TRANSIÇÃO

3. Características Geométricas da Espiral

Sendo 𝐿𝑠 o comprimento de transição e 𝑅𝑐 o raio do

trecho circular temos:


TRANSIÇÃO


𝑑𝐿 = 𝑅 ∙ 𝑑𝜃

𝑑𝜃 =𝑑𝐿

𝑅=𝑑𝐿

𝑘2𝐿 =𝐿 ∙ 𝑑𝐿

𝑘2

𝜃 = 𝐿

𝑘2∙ 𝑑𝐿

𝐿

0

𝜃 =1

𝑘2∙𝐿2

2=

𝐿2

2∙𝐿𝑠∙𝑅𝑐 (em radianos)


TRANSIÇÃO


𝑑𝑋 = 𝑑𝐿 ∙ cos 𝜃

𝑋 = cos 𝜃 ∙ 𝑑𝐿𝐿

0

Desenvolvendo cos 𝜃 em série e

integrando, tem-se:

𝑋 = 𝐿 ∙ 1 −𝜃2

10+𝜃4

216−⋯+


TRANSIÇÃO


𝑑𝑌 = 𝑑𝐿 ∙ sen 𝜃

𝑌 = sen𝜃 ∙ 𝑑𝐿𝐿

0

Desenvolvendo sen 𝜃 em série e

integrando, tem-se:

𝑌 = 𝐿 ∙𝜃

3−𝜃3

42+𝜃5

1320−⋯+


TRANSIÇÃO


Em particular, no ponto SC da curva, onde R assume o valor 𝑅𝑐 e

L é o comprimento da espiral 𝐿𝑠, temos:

𝜃 =𝐿𝑠2

2 ∙ 𝐿𝑠 ∙ 𝑅𝑐=

𝐿𝑠2 ∙ 𝑅𝑐

𝑋𝑠 = 𝐿𝑠 ∙ 1 −𝜃2

10+𝜃4

216−𝜃6

9360+⋯

𝑌𝑠 = 𝐿𝑠 ∙𝜃

3−𝜃3

42+𝜃5

1320−

𝜃7

75600+⋯


TRANSIÇÃO


TRANSIÇÃO


𝑄 = 𝑋𝑠 − 𝑅𝑐 ∙ sen 𝜃𝑠

𝑝 = 𝑌𝑠 − 𝑅𝑐 ∙ 1 − cos 𝜃𝑠

𝑇𝑇 = 𝑄 + 𝑅𝑐 + 𝑝 ∙ 𝑡𝑔𝐴𝐶

2

𝐷𝑐 = 𝐴𝐶 − 2 ∙ 𝜃𝑠 ∙ 𝑅𝑐

𝐸 =𝑅𝑐 + 𝑝

cos𝐴𝐶2

− 𝑅𝑐

𝑇𝐿 = 𝑋𝑠 − 𝑌𝑠 ∙ cotg 𝜃𝑠

𝑇𝐶 =𝑌𝑠

sen 𝜃𝑠


TRANSIÇÃO


As estacas dos pontos notáveis da curva de transição serão

calculadas pelas expressões:

𝐸 𝑇𝑆 = 𝐸 𝑃𝐼 − 𝑇𝑇

𝐸 𝑆𝐶 = 𝐸 𝑇𝑆 + 𝐿𝑠

𝐸 𝐶𝑆 = 𝐸 𝑆𝐶 + 𝐷𝑐

𝐸 𝑆𝑇 = 𝐸 𝐶𝑆 + 𝐿𝑠


TRANSIÇÃO

4. Compatibilidade entre Raio e Deflexão

Nos casos de deflexões pequenas, menores que 55º, existe

a possibilidade de, conforme o raio adotado, o arco circular

desaparecer entre os dois ramos da espiral, ou formando um

cotovelo ou o cruzamento destes ramos, ao invés da

desejada concordância. Para evitar sucessivas tentativas de

correção, deve-se verificar se a deflexão medida (real) é

maior que a deflexão calculada, utilizando a seguinte

expressão:

∆𝑐𝑎𝑙𝑐=342 ∙ 𝑅 + 290

𝑅


TRANSIÇÃO

4. Compatibilidade entre Raio e Deflexão

Se ∆𝒎𝒆𝒅 > ∆𝒄𝒂𝒍𝒄 significa que há compatibilidade entre raio

e deflexão; caso contrário (∆𝒎𝒆𝒅 < ∆𝒄𝒂𝒍𝒄 ), deve ser feita

uma reavaliação a partir da alteração do valor do raio, no

caso aumentando-o por ser a única variável, pois a deflexão

medida é inalterável.


TRANSIÇÃO

5. Comprimento Mínimo de Transição

Critério dinâmico (𝑳𝒔 conforto) Estabelece uma taxa máxima de variação da aceleração

centrífuga por unidade de tempo, representado por J.

Trecho em tangente: 𝑎𝑐 = 0

Trecho circular: 𝑎𝑐 =𝑉2

𝑅

Sendo o comprimento de transição 𝑳𝒔 igual ao produto

da velocidade uniforme do veículo pelo tempo que o mesmo

necessita para percorrer a clotóide (𝑳𝒔 = 𝑉 ∙ 𝑡), temos:

𝐽 =𝑎𝑐𝑡=𝑉2 𝑅𝑐

𝐿𝑠 𝑉 =𝑉3

𝑅𝑐𝐿𝑠


TRANSIÇÃO

Critério dinâmico (𝑳𝒔 conforto)

Logo tem-se que:

𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛 =𝑉3

𝐽 ∙ 𝑅𝑐

Na condição mais desfavorável, quando 𝐽 = 𝐽𝑚á𝑥 e 𝑉 = 𝑉𝑃

tem-se:

𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛 =𝑉𝑝3

𝐽𝑚á𝑥 ∙ 𝑅𝑐



TRANSIÇÃO

Critério dinâmico (𝑳𝒔 conforto) Experiências comprovaram que os valores ideais para J estão

entre 0,3 𝑎 0,8 𝑚/𝑠3. Com fundamento em experiências do

Engº Joseph Barnett, da “Public Road Administration/USA”, e em

conformidade com as normas técnicas do D.N.E.R, adotaremos a

chamada fórmula de Barnett, que adota para J o valor de

0,6 𝑚/𝑠3. Assim o comprimento mínimo do trecho em transição

será:

𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛 =𝑉𝑝3

𝐽𝑚á𝑥 ∙ 𝑅𝑐=

𝑉𝑝3,6

3

0,6 ∙ 𝑅𝑐= 0,036 ∙

𝑉𝑝3

𝑅𝑐



TRANSIÇÃO

Critério Segurança (Tempo )



TRANSIÇÃO

Critério Estético (proposto pela AASHTO)



TRANSIÇÃO

Critério Estético (proposto pela AASHTO)

Velocidade de

Projeto em km/h 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Inclinação

Relativa em % 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,48 0,45 0,42 0,40



TRANSIÇÃO

6. Comprimento Máximo de Transição


TRANSIÇÃO



TRANSIÇÃO

Exemplo Concordância Horizontal com Transição

LOCAÇÃO CURVAS HORIZONTAIS

COM TRANSIÇÃO

A locação da curva de transição é iniciada pela

localização do ponto TS sobre a primeira tangente a uma

distância TT do ponto de interseção PI, quando este for

acessível, conforme indica a figura abaixo.


COM TRANSIÇÃO

Depois disso, pode-se iniciar a locação do primeiro

ramo da espiral. Para R<100 m, a locação da espiral deve

ser feita de 5 em 5 m. Para R≥100 m, a locação deve ser

feita de 10 em 10 m. A locação da curva de transição

poderá ser feita de duas formas:

a) Com o uso das coordenadas X e Y, utilizando-se a

origem no TS (ou ST), o eixo x na direção da respectiva

tangente e o sentido do TS (ou ST) para o PI.

b) Pelas deflexões d em cada ponto.


COM TRANSIÇÃO

Os valores 𝐿, 𝜃, 𝑋, 𝑌, 𝑐 𝑒 𝑑 são calculados

pelas equações:

L = Distância do TS (ou ST) ao ponto considerado, ao

longo da cruva

𝜃 =𝐿2

2∙𝐿𝑠∙𝑅𝑐 𝑑 = arctg

𝑌

𝑋 𝑐 =

𝑋

cos 𝑖

𝑋 = 𝐿 ∙ 1 −𝜃2

10+𝜃4

216−𝜃6

9360+⋯

𝑌 = 𝐿 ∙𝜃

3−𝜃3

42+𝜃5

1320−

𝜃7

75600+⋯


COM TRANSIÇÃO

Para facilitar a locação constrói-se uma tabela como

a mostrada abaixo:

Rc Ls Cs Js (Graus) Js (GMS) is (Graus) is (GMS)

500,000 120,000 119,923 4,58394184 4º,35' 02,2'' 2,2915517 2º,17' 29,6''

Inteira Fracionada

217 19,000 - - - - - - -

218 10,000 11,000 0,00100833 11,000 0,004 0,019257748 0º,01' 09,3'' 11,000

219 0,000 21,000 0,00367500 21,000 0,026 0,070187322 0º,04' 12,7'' 21,000

219 10,000 31,000 0,00800833 31,000 0,083 0,152947817 0º,09' 10,6'' 31,000

220 0,000 41,000 0,01400833 40,999 0,191 0,267539015 0º,16' 03,1'' 41,000

220 10,000 51,000 0,02167500 50,998 0,368 0,413960361 0º,24' 50,3'' 50,999

221 0,000 61,000 0,03100833 60,994 0,630 0,592210723 0º,35' 32,0'' 60,997

221 10,000 71,000 0,04200833 70,987 0,994 0,802288082 0º,48' 08,2'' 70,994

222 0,000 81,000 0,05467500 80,976 1,476 1,044189154 1º,02' 39,1'' 80,989

222 10,000 91,000 0,06900833 90,957 2,093 1,317908945 1º,19' 04,5'' 90,981

223 0,000 101,000 0,08500833 100,927 2,860 1,623440235 1º,37' 24,4'' 100,968

223 10,000 111,000 0,10267500 110,883 3,796 1,960773003 1º,57' 38,8'' 110,948

223 19,000 120,000 0,12000000 119,827 4,795 2,291551697 2º,17' 29,6'' 119,923

Estaca

Curva Horizontal com Transição

𝑳 (Graus) 𝒄 (GMS) =𝑳

∙ 𝒄 ∙ 𝑳𝒔


COM TRANSIÇÃO

Para locar pelas coordenadas basta medir X ao

longo da tangente e Y na perpendicular, determinando-se o

ponto.

Para locar pelas deflexões visamos cada ponto com

a deflexão calculada na tabela, estacionando-se o teodolito

no ponto TS (ou ST) e zerando-o no ponto PI. Se for o

primeiro ponto a ser locado, a corda deve ser a fração que

falta para atingir a próxima estaca inteira, ou a estaca + 10

m ou ainda a estaca + 5 m conforme o raio do trecho

circular. A segunda espiral é locada no sentido inverso a

partir do ST em direção ao CS.


TRANSIÇÃO ASSIMÉTRICA

São curvas que possuem transições com os comprimentos

de entrada e de saída diferentes. Com exceção de 𝑇𝑇1 e

𝑇𝑇2, os demais elementos são calculados de forma análoga

às espirais simétricas.

Conhecida a posição das tangentes (deflexão AC), a

posição do PI, o raio da curva circular (Rc) e escolhido os

valores 𝐿𝑠1 e 𝐿𝑠2 dos comprimentos de transições, podemos

calcular os elementos 𝜃𝑠, 𝑋𝑠, 𝑌𝑠, 𝑄 e 𝑝 para cada uma das

transições:



𝜃𝑆1 =𝐿𝑆12∙𝑅𝑐

𝑄1 = 𝑋𝑆1 − 𝑅𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑆1

𝑝1 = 𝑌𝑆1 − 𝑅𝑐 ∙ 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑆1

𝑋𝑆1 = 𝐿𝑆1 ∙ 1 −𝜃𝑆1

2

10+𝜃𝑆1

4

216−⋯

𝑌𝑆1 = 𝐿𝑆1 ∙𝜃𝑆13−𝜃𝑆1

3

42+𝜃𝑆1

5

1320−⋯

𝜃𝑆2 =𝐿𝑆22∙𝑅𝑐

𝑄2 = 𝑋𝑆2 − 𝑅𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑆2 𝑝2 = 𝑌𝑆2 − 𝑅𝑐 ∙ 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑆2

𝑋𝑆2 = 𝐿𝑆2 ∙ 1 −𝜃𝑆2

2

10+𝜃𝑆2

4

216−⋯

𝑌𝑆2 = 𝐿𝑆2 ∙𝜃𝑆23−𝜃𝑆2

3

42+𝜃𝑆2

5

1320−⋯



Sendo 𝐿𝑆1 ≠ 𝐿𝑆2 consequentemente, 𝑝1 ≠ 𝑝2 ,

isto é, a circular terá afastamentos diferentes em relação

às tangentes.

Chamando de ∆𝑝 a diferença entre os

afastamentos: ∆𝑝 = 𝑝2 − 𝑝1 têm-se as tangentes totais:

𝑇𝑇1 = 𝑄1 + 𝑅𝑐 + 𝑝1 ∙ 𝑡𝑔𝐴𝐶

2+

∆𝑝

𝑠𝑒𝑛 𝐴𝐶

𝑇𝑇2 = 𝑄2 + 𝑅𝑐 + 𝑝2 ∙ 𝑡𝑔𝐴𝐶

2−

∆𝑝

𝑠𝑒𝑛 𝐴𝐶

𝐷𝑐 = 𝑅𝑐 ∙ 𝐴𝐶 − 𝜃𝑆1 − 𝜃𝑆2



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