FERNÃO COUCEIRO DA COSTA

Equações integrais lineares

SUA APLICAÇÃO A RESOLUÇÃO

PROBLEMA DE DIR1CHLET

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PORTO IMPRENSA P O R T U G U E S A

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1929

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EQUAÇÕES INTEGRAIS LINEARES

SUA APLICAÇÃO A RESOLUÇÃO

DO PROBLEMA DE DIRICHLET

FERNÃO COUCEIRO DA COSTA

Equações integrais lineares

SUA APLICAÇÃO À RESOLUÇÃO

PROBLEMA DE DIRICHLET

PORTO I M P R E N S A P O R T U G U E S A

116, 1'n.i I . . . . . . . . ., 116

1929

Dissertação para o exame de doutoramento em Scicncias Matemáticas, na Faculdade de Scicncias da Universidade do Porto.

r

A MEUS PAIS

E

A MINHA M U L H E R

INDICE

PÃO.

PREPACIO XI INTRODUÇÃO I

CAPÍTULO I

Equação de Volteira de 2." espécie. Sua resolução 3

CAPÍTULO II

Resolução da equação de Volterra de I." espécie 27

CAPÍTULO III

Resolução da equação de Fredholm 33

CAPÍTULO IV

Aplicação da analise de Fredholm A resolução do problema de Dirichlet, num domínio a trfis dimensões 73

CAPÍTULO V

Aplicação da analise de Fredholm à resolução do problema de Dirichlet, num domínio plano 91

PREFÁCIO

Problemas diversos de Análise pura e também de Mecânica e Física, conduzem-nos naturalmente, a equações integrais.

Assim, pareceu-nos interessante, um estudo sobre estas equações. Não poderíamos pensar em realizar um trabalho completo, sobre

um assunto que, embora moderno, é extremamente vasto. Limitamo-nos à resolução de equações lineares, com uma só função desconhecida. Entretanto, procuramos tratar completamente, a resolução de trás tipos de equações integrais, que frequentemente aparecem em problemas de Análise e Física.

Os dois primeiros capítulos desta dissertação dizem respeito à resolução das equações de Volterra de 1." e 2." espécie: —tipos de equações a limites variáveis.

0 terceiro capítulo trata a resolução duma equação, a limites fixos, a equação de Fredholm.

Para mostrar seguidamente, que é útil o estudo destas equações, no quarto e quinto capítulos tratamos em domínios a trás e duas dimensões, os Problemas de Dirichlel e Neumann, problemas de And-lise, que a Física Matemática aplica a variadas questões, dando-lhes forma adequada ao fim que tem em vista.

Certamente, os Ex.mos Professores que teem de julgar este tra­balho, notar-lhe-háo grandes deficiências.

Foi, entretanto, nossa preocupação dar rigor e clareza a todos os assuntos, modificando por vezes, a exposição dos livros empregados no nosso estudo.

Para que naturalmente, apareçam todas as funções necessárias para a resolução das equações, empregamos o método de indução seguido por Volterra, isto é, o método da passagem ao limite, ou da passagem do finito ao infinito.

É és/e método, de largas aplicações, que dá origem á Análise funcional em cujo campo as equações integrais teem o seu lugar, embora o seu estudo possa ser feito com os elementos que a Análise ordinária nos fornece.

É dentro do campo da Análise ordinária, que vamos apresentar a nossa dissertação.

21 de Outubro de 1928.

INTRODUÇÃO

1) Definições. — As equações funcionais, em que as funções desconhecidas aparecem sob o sinal de integral, denominam-se equações integrais.

Consideremos equações integrais, em que apenas existe uma função desconhecida.

Se a função desconhecida não entra na equação senão no 1.° grau, a equação integral diz-se linear.

Uma equação integral linear denomina-se de l.a espécie, se tem a forma:

O a

Uma equação integral linear denomina-se de 2." espécie, se é da forma:

<f(.v) = „(.v)+). f K{x,Z)u(Z)dt v a

u(x) é a função desconhecida, y(x) e K(x, £) funções dadas, e X um parâmetro.

A função A (.v, cj) chama-se núcleo. Se ambos os limites (a, b) são constantes, as equações dizem-se

do tipo de Fredholtn; se, pelo menos, um dos limites, é variável, as equações dizem-se do tipo de Voltcrra.

1

CAPÍTULO I

EQUAÇÃO DE VOLTERRA DE 2 / ESPÉCIE. SUA RESOLUÇÃO

1) Consideremos a equação de Volterra de 2." espécie, quando apenas é variável o limite superior do integral:

(1) f (* ) -«(*)+/**(* S)«(é)<«.

Representamos por u(x) a função desconhecida, por z(x) e K(x, Í ) duas funções dadas, continuas no triângulo limitado pelas rectas •; = o, z = x, x = b, e de modo que, designando por M um número finito positivo I K(x, £) I <M.

Supomos o parâmetro >. = 1, mas o que se segue, verifica-se para qualquer valor de X.

2) Método de indução. — Tomemos a equação funcional:

u

(2) <p (*) = «(*) + 2 *U £/)«($/) A/, < = !

que se obtém dividindo o intervalo (o, x) em n intervalos, de ampli­tude In, e em que £,• representa um valor de Sj do intervalo corres­pondente a hi-

•I

Podemos considerar a equação (1), como o caso limite da equa­ção algébrica (2), quando o número de incógnitas u(x), «(£1), «(£. , ) . . . cresce indefinidamente. A resolução da equação (2), depende da resolução do sistema:

s - [

(3) <p(Ç«) = «(5*) + Yi KCis,-i)i>(li)IH [s= I. 2 . . . ,/]. / = 1

Vamos procurar obter também a solução de (1), partindo da solução do mesmo sistema, e empregando o método da passagem ao limite, para n = <x>.

Mais explicitamente, podemos escrever:

/?(Si)=«(Si) «p(S8) = «(Ç8J + ^(e8.Sa)«(Çi)Ai = û8i«(Si) + «(Ça) <p (S3) = " (Ss) + *(ss. si) " (si) »1 + /f (5s,Ss) » (sa) /'2 =

(3)< =Û31" (S1) + Û 3 2 " ( £ 2 ) + "(S3)

•f(S„) = "(în) + ^(cn ,Si)«(si) / - :+- .+^(^,^. , ) / / (5, , . , ) / / , , -^

= «„ | « ( î l ) + «„2 " (CS.) + ••• + a„,n - 1 " (Sn - I ) + « (ï„ )

pondo: «,/=*(£*,£/) A/.

O determinante do sistema é:

A =

1 0 0 . 0

«21 1 0 . 0

«31 «32 1 . 0

" « 1 ««2 "ni •• 1

O valor das incógnitas tf (Ss)

I

[s­l,2 . . . n ] é:

«(£,) =

Desenvolvendo este determinante, em ordem aos elementos da última coluna, resulta:

s - l

(4) «(6.) —T­(6i) + 2 cii*(W­

designando por Í:S, o menor que se deriva do último determinante, suprimindo a coluna de ordem s e a linha de ordem i, isto é, o determinante seguinte:

1 0 0 .. 0 0 0 . . . 0

"21 1 0 . . 0 0 0 . . . 0

e.H­lJH­* " i ­ l 1 a / ­ ,2 a /—1,3 • .. 1 0 0 . . . 0

B/+l, 1 °/+ , 2 f l / + l , 3 • ..a + !,'' ­\ai­\­ .,■ I ... 0

«S l " s 2 "s3 »»•«# , / ­ ! "í< ° » , / + l " , a # . « ­ I

()

: ( - l ) t + -

"/+!,<' ' 0/+2,/ 0/+2,/+1 I

.. 0

.. 0

asi "s,i+\ as,i+2 ••• as, s-\

Vemos que csi são polinómios do grau s — i, relativamente aos a a. Para se efectuar a passagem ao limite, convém ex­primir csl- por meio duma soma de polinómios homogéneos do 1.°, 2.° . . . (s — i) graus, relativamente aos mesmos aa. Resolva­mos o último determinante, em ordem aos elementos da-última linha:

c s < = — asi + "s, /+1 fl/+1, i — as, 1+2

"i+\,i ' ai+2,i 0/+2,(+1 + ...+

+ ( - | ) s - / a s, s — I

OU

(5)

0/+ i , / I O

°/ + 2,i 0/ + 2,/+1 '

as-\,i "s-l, /+l °Î— I./+2

i - 1

r=/+l

' s - l , s - 2

Designemos por fl,),a^{ . . . fl,'-'1 os polinómios homo­géneos do 1.°, 2.° . . . (s — i) graus relativamente aos aa, corres­pondentes a cs/, e por a{}] , a\\ . . . Û J . ' - ' ' os polinómios homo­géneos que correspondem a cri.

Temos:

(6)

7

Atendendo a (5), podemos escrever:

ac)+ Bw + ... + „(»­') = _ tt _ y B „ < ; ; _ s < ' s / ' ' st

s' CJ

,­ = /+1

V (2) V (*­'­'>

/­=/+1 /­=/+1

Desta identidade, resultam as relações seguintes, que são fór­

ínulas de recorrência para o cálculo dos a s ] :

• ! ! ­ ■ ­ M

«<2' .=-y« «<;>

s/ £j sr ri /•=/ + 1

s - l (3) V (2)

a . = — > a a . s/ £j sr ri

r=i+l

s—l ­ í ­ l ]

/■=/+!

E, destas fórmulas, deduz­se também a fórmula de recorrên­

cia, mais geral:

r=l+\

8

Ponhamos:

As fórmulas (7), (6), (5) e (4) tomam a forma seguinte:

s —I

(8) KO')(lSiii)=YiK(k)^s;rr)KV'-k)^rli),lr [A=| ...-(A-!)) /•=/+1

(9)

(10)

S(M/)=£*W(S,,Ç/) y = i

i - i

5 ( ^ ^ ) + ^ ( ^ ^ ) = - ^ ^ ( = , , ^ ) 5 ( = , ) ^ /•=/+1

s - l

(11 ) " ( î ^ ï l U + ^ ^ c / l ' i U / ) " , - . i = l

O conjunto destas fórmulas resolve completamente o sis­tema (3).

Façamos crescer n indefinidamente, ao mesmo tempo que os h b tendem para zero, de modo que qs tenda para x.

As fórmulas que acabamos de escrever, transformam-se nas seguintes, para n = oo:

(12) /v CO (*,g) WÈ,C* AM*) (* , , ) AM/'-*) (2,g) rf.

•

13) s'(*,Ê) = T KU)(X,C)

J = «

(14.) S(x,i) + KU^)^-j'"K(x,z)S(z,i)liz .

(15) «(*) = ?(*)+ r*SUe)<p(Ç)d£. S/ 0

O conjunto destas formulas resolve a equação de Volterra proposta, se fôr legítima a passagem ao limite operada.

Para provar essa legitimidade, basta demonstrar: 1.° Podemos determinar funções K(J)(x,z), finitas e contí­

nuas, que satisfaçam à fórmula de recorrência (12) e tais que a

série V KU)(x,^) seja uniformemente convergente no campo defi-

nido. É o Principio da convergência. 2.° A soma desta série S (x, £), satisfaz à fórmula (14) —

Principio cia reciprocidade. 3.° A fórmula (15) determina uma função contínua, solução

única di equação (1) —Princípio da inversão. São estes três princípios que vamos estabelecer.

3) Princípio da convergência. — Consideremos as seguintes funções, denominadas núcleos iterados:

AMD (.v,e) = _A ' ( . v , f )

A-12) ( A ) j ) = _ f AAC(.v,2)A'0> (z,£) di

(16) K(3) (*;ej = - J * * / C ( J C , Í ) K < 2 ) (z,=)rfz

KU) (A-,Ï) = — f A'(.v,z) * < / - « ) (*,Ç) í/Z

10

Todas estas funções são limitadas e contínuas.

Os núcleos iterados satisfazem d fórmula de recorrência (12).

Com efeito, esta fórmula é evidentemente satisfeita, paray'=2. Para mostrar que se dá o mesmo, qualquer que seja o grau

■de iteração, basta verificar que, supondo a fórmula verdadeira para o grau n, ela também o é para o grau n + \.

Ora, temos:

AM") (*,£)= f K(*)(jr,*)/C<"^*)(*,S)<fc [«»1,­2 . . . {n—i)].

Portanto, é:

K ("+') (.v,í) = ­ Ç K(x,z)dz(\ K(*)(z,*i) /v'(«­*)(z1,;)(/í l.

O segundo membro é um integral duplo, referido à área do triângulo, limitado pelas rectas zX = Í, Z = X, zt = z, compreendido no triângulo inicialmente considerado.

Invertendo a ordem das integrações (fórmula de Diriclilet), resulta:

A'(" + D(.v,;) = ­ P*/C<"­*>'(*1, ÊM'1 V K(x,z)K^)(z,zi)(lz =

— //*<*+■)(*,*)K(»­*M«,S)<fc [« = 0,1 ,2 . . . (n—1)].

E, também podemos escrever:

A'(«+D(.v, : ) = f Kl*)(x,z) A'(« • >­/.)(*,:) ,/z [ * = 1 . 2 . . . n],

como pretendíamos provar.

11

A série (13) é uniformemente convergente.

Partimos da hipótese de que o núcleo K(x, £) é uma função continua, com limite superior Aí,

Temos portanto:

I K< ">{*,£) | <M

I À - < 2 ) ( . v , t ) | < / l ! 2 ' ^

\KÙi{x,i)'\ < ^ ; H T - Z

Os módulos dos termos da série (13) são, a partir do pri­meiro, inferiores aos da série uniformemente convergente:

, , 1 , + , , ^ + , , ^ ^ + ... + ^ ^ + . . ^ = ^ ^ . - = )

A série (13) é pois, uma série de termos contínuos, uniforme­mente convergente.

A sua soma S(x, Sj) é uma Junção continua, denominada núcleo resolvente da equação integral de Volterra de 2." espécie.

4) Princípio da reciprocidade.

A função S(x,l) satisfaz à fórmula (14).

Designemos por R„ o resto da série (13). Temos:

Rn = £ A-<./> (,, E) « s (x, Z) - £ A;"'» (.v, g).

12

Podemos escrever, como consequência da fórmula (12) e da convergência uniforme da série:

K»=f, Kl*){x,z) Y *«-»)(*,£)& =

= P ^(«)(.r,í)S(í,q)rfí= f S(x,2)/C(")(2,g)<b.

Pondo n = l , vem a fórmula:

(14) S (.v, t ) -|- A' (.v, f) = -JX K (X, z)S{z, Ç) <b =

= — Ç S(x,z)K(z,f),lz.

Para bem justificar o nome de principio cie reciprocidade, dado ao princípio que a fórmula (14) representa, vamos estabelecer, baseando-nos nessa fórmula, o seguinte:

Conhecida a /unção K(x,z), podemos determinar, como vimos, por quadraturas a função S(x, ç).

Reciprocamente, conhecida a função S(x,z ), podemos determinar, do mesmo modo, K ( X, ; ).

Ou, por outras palavras: Se uma função continua S ( x, \ ) é o núcleo resolvente da equa­

ção (1), a função K(x, c|) é o núcleo resolvente da seguinte equação de Volterra:

(i7) u (A) = *(*) + f A s u s ) » m</«. •J o

onde supomos desconhecida a função y(x).

13

Com efeito, consideremos as funções, núcleos iterados, relati­vamente a S (x, :;):

S ( D = — S(.v,:)

S(2) = — P*S(x,*j S <:')(*,£)<**

s</)=—r'sfjt.ijsw-nuç) </Z

Em virtude do princípio da convergência, a função:

r(.v,:) = £ S(y')(.v,:) / = i

é finita e contínua. Vamos demonstrar que é:

7-(.v,:) = * (* ,£ ) .

Com efeito, temos segundo a fórmula (14):

(18) r'(*,Ç) +S{x,t) = -£"s(x,z)T(z,l)dx =

= -j'X T(.x,z)S(z,f)dz.

Designemos por o(x, £) a diferença das duas funções T(x, Ç)

14

e K{x, £). Vem, subtraindo membro a membro as igualdades (18) e (14):

T(x,Í)­K(x,\)­9{x,Í)=z­ÇXS(x,z)c(x,Í)dz = •J ;

= P S (x, z) dlj S(zlzl)3{zul)dz1= ... =■■

= ±rs(x,z)dzj'Zi.S(z,z1),lz1...j''H­2S(z,l_2>zn_^^zll_i,l)'lzn_u

Ora, S(x, Í ) é uma função limitada, o mesmo acontecendo a T(x, £) e portanto a ?(x, £).

Suponhamos no campo considerado:

| S ( - v , : ) l < ' V | 3(.v,--) | < " '

A' e m sendo dois números finitos, convenientemente determina­

dos. Temos: , V » | i ­ t ) «

| g ( « 6 ) l < » „! •

Esta desigualdade deve verificar­se para qualquer valor de «.

Mas, ^"^'"T'— é o termo geral da série, cuja soma é a exponen­

cial eN(x~ 6), e, portanto:

lim. /n S—r-s*- = tf. « !

n = oo

Temos pois:

0 ( .v , f ) = 0 ou A'(.r, ?) = r ( . v , f ) ,

como desejávamos provar.

15

5) Princípio da inversão. — Mostremos que a inversão da equação integral proposta, conduz à equação:

«( . r ) = » ( * ) + ÇXS(x,Z)<í (?)</£ [fórmula (15)]. •J o

Multipliquemos ambos os membros da equação (1) por S(z,x)dx e integremo-los entre os limites (o,z). Temos:

P <p (A) S (Z, X) dx = P u (A) S(Z,X) dx +

+f"s [z, x) dxj" K(x, S) u (£) rfÇ.

Aplicando a fórmula de Dirichlet e atendendo a (14), vem:

J" ' O ( A" ) S ( Z, X ) dX = J ' ' U ( A' ) S ( Z, X ) dX +J ' «(g) rfg J ' K ( A, g ) S ( *, A ) ,/.*

ou

J " «p (A-) S (z, x) dx =j"„ (x)S(z, x) dx -j" a (Ç) [S (*,£J + K(z,ç)] rfg

ou, atendendo à equação (1):

« ( * ) — <í(z)=\ S(z,x)*(x) dx

'J o

• z

ou ainda:

' ' ( 0 = ? (v) - ! - J ' J s (v ,E) - f (E)^

como pretendíamos provar.

16

Do mesmo modo, dada a equação (17), onde-<f (x) é a função desconhecida, a inversão desta equação conduz-nos à fórmula:

(x) = u(.x)+f^K(X,l)"(-J«'z.

A solução (15), finita e contínua, da equação proposta, é única.

Com efeito, suponhamos que existem duas soluções finitas e contínuas Ui(x) e u.,(x).

É finita e contínua a diferença:

"a(*) — "iU) = MO-Temos:

V O

A diferença entre as duas soluções de (1) deve ser uma solu­ção finita e contínua da equação homogénea (19).

Mostremos que esta solução não pode ser diferente de zero. Vem:

u. (jt) = ± ÇX K (x,£) dZ Ç K(i, z) úz ("K (z, ZÍ) úzx ... J o <J O •' O

Seja m um limite superior de I \L(X) I . Para qualquer valor de n:

Mn x"

Como Hm.m .f = o, resulta: ». (x) = o.

17

Concluímos pois: As fórmulas (12), (13), (14) e (15) conduzem-nos à solução única,

.finita e contínua, da proposta equação de Volterra de 2." espécie.

6) Método das aproximações sucessivas.—Consideremos ainda a equação de Volterra de 2." espécie:

(20) n (.v) = 9 (.v) - ï.f*aK(x,%) u (£) rf£.

As funções que entram nesta equação, continuam a satisfazer às condições estabelecidas anteriormente, X é um parâmetro real ou complexo.

Procuremos satisfazer formalmente à equação proposta, su­pondo u (x) a soma duma série ordenada, segundo as potências inteiras e positivas de X.

(21) « (.v) = u0 {.x)+Xuj. (x) + > . 2 « 2 (.v) + . . . +lnun (x) + . . .

Isto equivale a tomar em sucessivas aproximações, para valor de u(x), o primeiro termo da série, a soma dos dois primeiros termos, etc.

Determinemos, seguindo este raciocínio, as funções «, (x). Temos: Numa 1." aproximação:

u(x)*=uQ{x)=.<p (*).

Numa 2." aproximação:

«(*)== "<>(*) +X«i(*) e

2

IS

Numa 3.a aproximação:

«(.v) = «0(.v)+).«1(.v)+X2«2(.v)

•i(*)-f**w(*6)?(6)«. t / 0

Assim, a série (21), escreve-se:

(22) « (.v) = ? (*) + X f * X <»> (.V, s) ? (!) dl + V 0

+ X2 CXRW (x, f ) Ç (Ç) </£+ . . . + X" f'V A-<") (x, I) <f (£) « + . . .

Formemos ainda a série:

(23) S (.(,t; X) = A ' " > (.v,f) + * A'<2) U 5) + • • • +

+ X " - ' A ' < " » ( . Ï , S ) + . . .

É uma série de termos contínuos, uniformemente conver­gente, como se pode verificar, seguindo o caminho estabelecido no parag. 3.°, para qualquer valor de /., de módulo finito.

Define uma função contínua S(x, £;X), núcleo resolvente da equação (20).

Temos pois:

(24) „(.,-) ='?(*)-[ xJ"\s(.v,";;X) f (g) 0¾.

19

Esta fórmula determina a única solução finita e continua da equação de Volterra (20).

Para demonstrar esta proposição, não temos mais que seguir os raciocínios dos parágs. 4.° e 5.°.

São satisfeitos os princípios da convergência, reciprocidade e inversão.

Notemos que o desenvolvimento em série (22), da solução finita e contínua da equação (20), é precisamente o desenvolvi­mento de Mac-Laurin:

(25) « (X,.v) = n lo,x)-j-\u(o,x)+j-,it" (o,x) -\-...

É fácil verificar as igualdades:

«• (« .xj^ 'x^U.gJf (E)<

li" (o, x) = 2 ! Ç K<2> (x, i) <p d) dl

A solução da equação (20) é, para cada valor de x, uma função holouwrfa de X.

Do mesmo modo, é uma função holomorfa de "k o núcleo resolvente S(x, S|;X)-

Supondo, em (20) \ I, temos a solução obtida anterior­mente.

;

20

7) Equação de Volteira de 2.a espécie, com funções de duas variáveis. —Seja a equação de Volterra de 2." espécie:

(26) <t(x,y) = u{x,j/)+'kÇ Ç ff(jt,.j>;g,i))a(ë.i))dgtfi}' O o O o

Supomos que, no campo:

o < £ < -t < a , o <t\<y <i>

/((*,;>; £,r() e <?(x,y) são funções contínuas dadas, e u(x,y) uma função desconhecida. O limite superior de I/C(x,^;S,r,) I é um número finito M, e X representa um parâmetro real ou complexo.

A equação (26) admite uma solução única, para cada valor de X, limitada e continua, dada pela fórmula:

(27) u (x,y) - <? (x,y) + kÇ* Ç S(x,y;l,H | X) <p (£, rj) d£rfí).

S(jt,j;;c;,r( I X) continua a denominar-se «wcteo resolvente da equação.

Os núcleos iterados são as funções contínuas:

K(2)(*,J>;5,T)) = - J " J * ' A'( * j ; z , t ) K ( i ) ( z , l ; Ç . ij) d*dl

21

Princípio da convergência:

Os núcleos iterados satisfazem à fórmula de recorrência:

KkHHx,y;^)=jX^K(kHx,y;z,t)l6h­k)(x,t;%,­i\)dzát [*=­1,2...(/,­1)].

A série:

K(,)(*. j;fci|)+*K(,,(*.P.­& í) + > . . .+ *.""' Kwl*,JHÍH) + ­ ••

é uniformemente convergente, para qualquer valor de X. Define a função contínua:

s (*,M.i l '■) = £ ^- 1 xU) (JW;M)-

y=i

Para fazer as demonstrações, não temos mais que seguir o caminho anteriormente indicado.

Principio da reciprocidade:

Esta função satisfaz às equações funcionais:

= — x T P" S(x,y:z,t\'i­)K(z,t;t,­t\)dzdl =

•XP* Ç* S(*,lii,i\ I >­) K(x,yi*,t)<tuat,

22

Princípio da inversão:

Para verificar que a função definida por (27), satisfaz à equa­ção proposta, multipliquemos ambos os membros desta equação por S(z,t;x,y\'t.)dxdy e integremo-los, relativamente à área do rectângulo limitado pelas rectas:

í x = o í y = o \ x = z Í 0 < * < « J (j> = í [o<l<b].

Temos:

f Ç S(z, t;x,y | X) o (x,y) dx dy =

= Ç Ç H ( v,y ) S (z,t; x,y | >.) dx dy - j-

+ >. Ç* Ç dxdy f" í'} S(z,í;x,y\l)K(x,y;lrl)u{Z,y\)dZdr, O o O o Vovó

Invertendo a ordem das integrações, vem:

'/. Ç* dx f dy (X 4 Ç1 «| I S (z, t;x,y | >.) £(«//&*) « (ÊVT})1 = t / 0 t / o e/o e/o L J

= \ Ç"dx f V ; Ç dy F du I S(z,/;x,y | ).) . . .1 = e/o e/o e/o e/o L

= *J*J<*/**rf.v/o'«ftjj* * [ S(2,/,-.v,^ | ) . ) . . . ] =

"Slfo "{í,ri) I A (*' "MH" ,S' (*' '"'S' "> ' X>] "" *>'

Ï3

Ou, fazendo as substituições:

SI S'"' "( "'r') K ( *'y '' "'7' ' "''dr'=

= ­ J * * f o S (x,y; :, r, | X) <p (£, r, ) «g rfij,

Daqui resulta a formula (27), que pretendíamos verificar. Para demonstrar que a solução finita e contínua dada por (27)

é única, basta seguir o caminho já nosso conhecido.

8) Equação com uma forma mais geral. — Consideremos ainda a seguinte equação de Volterra, onde, para abreviar, supomos X = 1 :

<28) <? (.x,y) = u (x,y) +f* Ki (.v,j,,P) «(&>) dg +

+J Kg (*,.!',• Kj) « (V, Y)) dí] +

+ fA f'1 A'Kl'.■S.r1)«(g1 íl)dgdl). e/ o t/ o

Podemos reduzir a resolução desta equação, à resolução de equa­

ções já estudadas, desde que as funções satisfaçam a todas as con­

dições, que sempre temos estabelecido. Com efeito, ponhamos:

<29) T(x,y) = *(x,y)—\ K%(x,­y;i\).u{x,i)dn — v o

24

A última equação escreve-se:

(30) T(x,y)=u(x,y) + ÇXKi(x,y;Z)u(í,y)cll V o

Se nesta equação, consideramos y como um parâmetro, temos:

" (x,y) = T(x,y)+ Ç'lS(x,y,Z)T(ly)dZ, O o

sendo S(x,y;Z) uma função conhecida. Substituamos T pela sua expressão (29). Vem uma equação*

com a forma:

" (*,y ) = ?1 (*/>) —f A'2 (x,y; í] ) « (,v, r, ) dr, +

em que só é desconhecida a função «( *,>»). Escrevamos esta equação com a forma:

(31 ) « (x,y) = l'(x,^) -J""1 A'2 (x.yrrju (*,T))<ftj.

Consideremos .v como um parâmetro:

«r(*,» = Í ' (v )+/ J ' 0 ( x »-» ' ' l ) ^ 1 ) ^

sendo Q uma função conhecida.

25

Substituamos ainda V pela sua expressão. Vem a equação também já estudada:

(32) u(x,y)= <j- (x,y)-Ç* C* H(x,y;l*))o(S,r))rfS <A].

Assim, vimos que a resolução da equação proposta se reduz h resolução das equações: (30), (31) e (32).

CAPÍTULO II

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE VOLTERRA DE 1/ ESPÉCIE

1) Esta equação é da forma:

(I) 'f(-v)=J\-(.v,;)'<r:K;.

Comecemos por notar que K(x, £) e cf>(*) não podem ser funções contínuas no campo o<c,<x<b, dadas arbitrariamente, como acontecia com a equação de 2." espécie. Com efeito, supo­nhamos que pretendemos achar as soluções finitas e contínuas de (1), quando K(x, q) e 'f(x) são funções contínuas dadas.

A uma 2.° condição deve satisfazer <?(x), que é:

'f ( o ) = o.

Suponhamos que /<.(x,z) admite a derivada contínua T—; -f (.v) também deve ter derivada contínua.

Além disso, é indispensável que procuremos apenas soluções finitas e contínuas, para que o problema da resolução da equa­ção (1) seja determinado. Para o verificar, basta considerar a mais simples das equações daquela forma, obtida pondo K(x, £) = 1, isto é, a equação:

f(*)-J*% («")<.

28

O número de determinações para a função u(£) é infinito, se apenas impomos as condições dela ser limitada e integrável.

Para o reconhecer, basta notar que o valor de um integral definido não muda, se alteramos o valor da função a integrar num número limitado ou ilimitado de pontos do intervalo de integração, contanto que estes possam encerrar-se num número finito de inter­valos, cuja soma seja inferior a um número Í, por mais pequeno que seja.

Suponhamos pois, que procuramos uma solução limitada e contínua de (1), quando no domínio o<z<x<b se realizam as condições:

1.» K ( x, S ) e, portanto, cp ( x ) são finitas e continuas, e<?(o) = o. 2." K(x, ç) e, portanto, <p (x) admitem derivadas finitas e conti­

nuas em ordem a x.

2) Método de indução. —A equação (1) pode considerar-se, como a equação de 2." espécie, o caso limite para « = oo duma equação funcional:

n

<p(*-)=£ *('*J«)«(6/)A/.

Para seguir o método de indução, devemos começar por resolver o sistema:

s

?(?,) = 2 K(e.»S|)*«|)A| [»=1.2 . . . « ! . í = l

O determinante do sistema é:

A= I f AC(Ê„S,)A,. 1 I

29

Portanto, para este ter solução finita e determinada, a função K(x, c.) deve satisfazer a uma nova condição: K(x,x) \-0.

Como veremos, esta condição nem sempre é indispensável, para que (1) admita solução. Por isso, deixemos o método de indução. Aproveitemos trabalho já realizado, reduzindo a resolução da equação de 1." espécie, à resolução duma equação de 2." espécie.

3) Derivando, em ordem a x, ambos os membros de (1), resulta a equação:

(2) <?>(x) = K(X,x)u(x)+C ^ l M l „ ( f j r f :

OU

*J o

Qualquer solução de (1) satisfaz a (2) e reciprocamente. Na verdade, para uma função u (x), que satisfaça a (2), ambos os membros de (1) teem a mesma derivada e, portanto, não podem diferir senão duma constante. Esta é nula, porque ambos os mem­bros se anulam, para x = o.

Assim, podemos enunciar o teorema:

No intervalo (o,li), compreendido em (o,b), em que K(x,x) não é nula, a solução da equação (1) obtem-se, procurando a solução da

ax(*,6) equação de Volterra de 2." espécie (2'), cujo núcleo é òx A equa-

K(x,x) ção (1) tem uma única solução finita e contínua.

Suponhamos K(o,o) — o e K{x,x) identicamente nula, em todo o intervalo de integração, e cp'(0) = 0.

30

Derivando ambos os membros de (1), em ordem a x, vem:

W^'!#(Í)Í.

Se /v(.v, Ej) e, portanto, tp (.v) admitem derivadas segundas, fini­tas e contínuas, em ordem a x, temos:

(3) f"(*) = 2%2)«(*J -J^»' No intervalo (o,k), compreendido em (o,b), no qual se não

anula a derivada — r ^ > a solução de (1) obtem-se, achando a solu­ção da equação de 2." espécie (3).

Mais geralmente: Se K(o,o) = o e K(x,x) é identicamente nula, assim como as suas derivadas até h ordem / ) - 2 , e se a derivada de ordem /; é contínua:

No intervalo (o,h), compreendido em (o,b) em que se não anula ftP— * Kl x \\

a derivada _"'" ; , se !p ( / ; -"(o)=o, a solução finita e contínua de (1) obtem-se, procurando a solução da equação de Volterra de 2." espécie:

(4) ,^{X)=^M^L)UÍX)+ r-sgdUtò*

É claro, o método deixa de ser aplicável no caso K(o,o) = o, sem que K(x,x) seja identicamente nula.

.)1

Se a equação K(x,x) = o admite, no intervalo (o,b), um número finito de raízes x1 x2 ... x„, que supomos ordenadas por ordem crescente, podemos, pela aplicação do método anterior, deter­minar a função contínua u(x), para valores de x compreendidos entre o e xx\ mas não podemos fazer essa determinação para valo­res de .v maiores que xv

4) Suponhamos que a derivada — ^ - ^ seja finita e con­tínua.

Uma integração, por partes, também nos permite transformar a equação (1) numa equação de 2." espécie.

Com efeito, ponhamos:

Vem:

As conclusões a tirar são as já expostas. A equação (5) determina a função 0(x), nula para x = o, cuja

derivada é « ( A ) .

5) Equação de Volterra de 1.» espécie, com funções de duas variáveis.— Suponhamos a equação:

(6) v(x,y)=Ç' ÇyK(x,y;t,7i)u(t,n)cHdti. •J O 'J o

Façamos as seguintes hipóteses: 1." ? (x,y) é uma função contínua dada, nula quando qual-

32

<\uer das variáveis toma o valor o, que admite as derivadas con-des dia t)2(5 tinuas ^ , jX, ^ - ^ no campo: p < * < a

2." AT(JC,^;Í, YJ) é uma função contínua dada, admitindo as ÔK òK ÒÍK derivadas continuas: T - . -S - , -3—3- no campo: o<t<x<a ox ' òy ' oxdy r — — —

Procuremos as soluções finitas e contínuas de (6). Não temos mais que seguir um caminho análogo ao seguido

anteriormente.

No domínio, que se compreende no anteriormente definido, o<x<h, o<y<k, em que K(x,y;x,y) se não anula, a resolução da equação proposta, reduz-se à da equação de 2." espécie:

<)2<f óxdy = K(x,y;x,y)u (x,y)+Ç dJíi^M> „ (g,,) $ +

òK(x,y;x,r)) Ç òK(x,y;. - ) dy

*J o

+f f S2e£3v» ,». í t* que estudamos.

CAPÍTULO III

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE FREDHOLM

1) A equação de Fredholm tem a forma:

<l) <P(.v) = «(.v)+xf* /C(.Y,ç)„(£K. v a

K(x, £) e tp(jr) são funções conhecidas, finitas e contínuas, no domínio D do rectângulo limitado pelas rectas x = a, x = b, £ = a, £ = b; u(x) é uma função desconhecida, e X um parâmetro real ou complexo. Supomos que o limite superior de I K{x, £) I é Aí, e que b>a.

Estamos em presença duma equação integral a limites fixos. E esta equação é mais geral, que a equação de Volterra:

<p(*) = «(*) + x f \ ( * ,0«(SK. w a

porque nesta última, o domínio em que se consideram as funções é o do triângulo limitado pelas rectas x = a, x = b, Ç = * Podemos considerar a equação de Volterra de 2." espécie, como um caso particular da de Fredholm, que se obtém, quando é K(x, £) = o, para valores de £>* .

É natural, que se procure resolver a equação (1), seguindo um 3

34

caminho análogo àquele que seguimos para a resolução da equa­

ção de Volterra. É de prever, porém, que surjam singularidades, em conse­

quência da maior extensão do campo das funções.

2) Método das aproximações sucessivas. — Procuremos uma solução finita e contínua de (1), começando por aplicar o método das aproximações sucessivas.

Para isso, suponhamos essa solução susceptível dum desen­

volvimento em série, ordenada segundo as potências inteiras e positivas de \.

Temos:

(2) „(.v) = «0(.v) + >.«1(.v) + ).2«2(.v)­í­...+X"«„(.v)+...

Calculemos os termos desta série, segundo o raciocínio ex­

posto, a propósito da equação de Volterra de 2." espécie.

Numa 1." aproximação é:

" ( * ) = «<> ( * ) = <?(*)■

Numa 2." aproximação é:

« (v) = "<,(*) + >•" |(V) e

„ |(x)=f\("(.v /?)<p(t)rff. O a

Numa 3." aproximação é:

«(*) = «„(*) .+ \ul(x)fk2u2{x) e

*»(*)= fVa,(*,e)<p«) «?•

3 S

Usamos a no tação já conhecida KU){x, ç ) , para representar as funções denominadas núcleos iterados, que são definidas pelas fórmulas:

K ( , ) (*,£) = - * ( * , 5)

Numa aproximação de ordem n, t emos :

n — I

Se « cresce indefinidamente, vem a série de termos contínuos, que corresponde a (2):

(3) u(x) = <f(x) + \£a Kll>(x,t)<f(Z)dZ+

+ X2 f V 2 > (*,£)<? ( S K + . . . + ^ f A"^ ( .v , a ) ? (S )< /£+ . . .

Esta série definirá uma função continua que satisfaça a (1)?

A resposta a esta pregunta contem-se nos três princípios fundamentais, que p a s s a m o s a expor.

36

3) Princípio da convergência. — Os núcleos iterados satisfazem à fórmula de recorrência:

(4) jr<*>(x,e)= ÇbKW(x,z)K<k-kHz.Z)dz [*=l,2 . . . (*—l)].

Dispensamo-nos de fazer a demonstração, porque basta repe­tir o raciocínio seguido, a propósito da resolução da equação de Volterra de 2.° espécie.

A série (3) é uniformemente convergente, no interior dum círculo

de centro na origem e raio igual a M,b_ay isto é> Para valores

de X, tais que seja I X I < Mib_a\ • Com efeito, suponhamos que F(x) seja uma função domi­

nante (l), com relação a <p(jc), no domínio D. Se à resolução da equação:

(5) U(x) = F{x) + \ \ MU{t)dt ') a

aplicamos o método que estamos seguindo com relação à equação proposta, achamos o seguinte desenvolvimento em série:

(6) U0(x) + lUl(x)+lZU2(x) +

Os termos desta série, como se vê facilmente, são dominan­tes com relação aos termos da série (3). Mas, a equação (5)

(1) Oiz-se que uma função F(x), da variável real x, 6 dominante para uma outra função <p(.v), num intervalo (o, 6), quando /-(.v) 6 positiva e superior nc valor absoluto de tp (v) , paru todo p valor de x do intervalo.

37

admite uma solução da forma U(x) = F(x) + C, em que a cons­

tante se determina directamente, fazendo as substituições:

1— \M(b — a)

A solução de (5): »T MF{Í)dZ

*J a U(x) = F(x) + \—lM(b — a)

é, para cada valor de x, uma Junção meromorfa de \. No interior do círculo de centro na origem e raio—7­ ; , Uix)

0 M (b — a) é susceptível de se desenvolver em série ordenada, segundo as potências inteiras e positivas de X, isto é, esta função é definida por (6), que é uma série uniformemente convergente no campo D.

Se é I >• I < TTTT r, também a série (3) é uniformemente M (b — a) y '

convergente, e define, portanto, uma função contínua u(x;\). Podemos ainda na equação de Fredholm, considerar uma fun­

ção denominada núcleo rcsolvente, que desempenha o mesmo papel do núcleo resolvente da equação de Volterra. Com efeito, consi­

deremos a série:

(7) A'(1 » (.v, g) + X A'<2> (.v, g) + . . . ­ j ­ V­' K(J"> (■*, Ç) + . . . ,

cujos termos se calculam à custa da fórmula de recorrência (4). Temos:

| A ­ ( 1 ) ( . v , Ê ) | < M

| A ' ( 2 ) ( . v , E ) l < M 2 ( f t ­ « )

KU)(X,£) I <MJ'(b — a)J­i

38

A série:

Aï [l -f- | ). \M (b — a) + | X | 2 AI2 (b - a)2 + ...]

é convergente para todo o valor de X, de modo que seja:

A série (7), de termos contínuos, é uniformemente conver­gente no domínio D, para valores de X que satisfaçam à última condição, que é a mesma que foi estabelecida para a conver­gência uniforme de (3).

A série (7) define pois, no mesmo campo, uma função S(x, S;"x) finita e contínua.

E, temos:

(8) u{x)^4{x)4-xJ**S UCiX)f(Ç) rfg.

À função S (x,ç;l) chamamos resolvente, ou núcleo résolvante da equação (1).

Não esqueçamos, entretanto, que o raio de convergência das séries que aqui nos aparecem, é finito, contrariamente ao que sucede na equação de Volterra.

4) Princípio da reciprocidade. — As fórmulas que resumem este princípio:

K(x,t)+ S (x, f ; X) = — X J K(x, z) S (z, g; X) dz

r" K(*,t)+S(x,t;\) = — \\ K(z,t)S(x,z;\)<fz

são verdadeiras, como facilmente se verifica.

5) Princípio da inversão.—/! função definida por (8) ou (3) è a solução única, finita e contínua, da equação de Fredholm, dentro

da hipótese | X | <M(b_a)-

39

Façamos a inversão da equação. Se multiplicamos ambos os membros de (1) por S(z,x;K)dx, e os integramos entre os limi­tes (a,b), resulta:

U (A) S(z,x;l) dx= I <?(x)S.(z, x; I.) dx — a va

-\Ç S (z, x;\) dx Ç " K(x,í) « (S) dg. v a va

OU

Ç u(x) S{z,x;l) dx = Ç y(x)S(z,x;l)dx — va va

— Ç "Ci)tlí.lÇ K(x,Z)S(z,x;l)dx, va va

ou ainda, atendendo a (9):

- f * " (Ç ) *UeK= Ç" f (S) S (x,Z; ).)</;• va va

Fazendo as substituições em (1), resulta:

« ( 0 = <? (A) + l§* S U g;>.)? (g) dg,

como desejávamos provar. Mostremos que a solução é única: Se existissem duas soluções iii(x) e u^ix), a sua diferença

40

finita e contínua, ty(x) = u1(x) — u2(x), deveria satisfazer à equa­ção homogénea:

í-(JC) = - > . J * * ff (* ,?)*(5) «£.

Esta equação, porém, apenas admite a solução ^(x) = or como facilmente se verifica, pelo raciocínio seguido para chegar à mesma consequência, na equação de Volterra, atendendo a

q U e é ' X | < A Í ( * ' - a ) -Está resolvida a equação de Hredholm, mas apenas parcial­

mente, porque a fórmula (8), se o núcleo K(x, £) é uma função contínua qualquer, só nos dá a solução de (1), para valores do parâmetro, que obedeçam à condição | X | < ..

Porém, há núcleos para os quais a fórmula (8) dá a solução da equação, qualquer que seja o valor de \. Por exemplo, se o-núcleo é ortogonal de si mesmo, isto é, se /C(2)(JC, £) é identica­mente nulo, todos os outros núcleos iterados são nulos, e o núcleo resolvente é —K{x, £), qualquer que seja o valor de X.

Passemos a resolver a equação de Fredholm, com maior generalidade.

5) Resolução geral da equação de Fredholm.—Sigamos, em parte, o método da passagem ao limite, fazendo depender a reso­lução da equação (1), da dum sistema de // equações algébricas-lineares a n incógnitas.

A equação (1) pode escrever-se:

?(*) = «(*) +Mim. £ K(*,Íi)u(ti)/it,

supondo o intervalo (a, b) decomposto em n intervalos.

41

O sistema a resolver é:

*'«,) = « ( 6 . ) + * £ A'(£s,f.)«(£,)/'/ [5=1,2. . .«] ,

ou

1 = 1

«(Si)**(Mi>"j­t­«(6B) [I + *­*(58.Sa)*al + . . . +

+ "(Ï„)>­A:(S2 .£, ()/ '„ = <P(Ç2)

u (¾) *.*(£„, Ej) //: + « (£„) X A'(£„ ,S8) ft,+ • ■• +

Este sistema, em que as incógnitas são «( í s ) , tem por deter­

minante:

(10) />().) =

1 + ^ ( ^ , ^ ) / ^ X/c(Sr£2)//2 . . . }K(Ívín)h„

XK{tvït)àt I +>­A'(Ç2.e2)A2 . . . U(£2,f„)A„

XK^iEj)/'! >^'(£„.S2)»2 ••• l+>­ K (fn,Zn)"n

Notemos a diferença, que existe entre este determinante e aquele, que se obtém para a equação de Volterra de 2." espécie.

42

No caso da equação de Volterra é D= 1, qualquer que seja o valor do parâmetro. Aqui, D é uma função de ')..

O núcleo resolvente da equação de Volterra é uma função holomorfa de k, e nós vamos ver que o núcleo resolvente da equa­ção de Fredholm é uma função meromorfa de X.

O determinante (10) é uma função de X, susceptível de se desenvolver em série de Mac-Laurin, pois é um polinómio inteiro em X, do grau n.

\" D(l) = D0 + >.D0+T]D0+... +-^ Dl (n)

Pela aplicação da regra que nos dá a derivada dum determi­nante, acham-se os coeficientes D0, D0, D'0 . . . Teem as seguintes expressões, atendendo a que são nulos os determinantes, com linhas ou colunas iguais:

D0 =\

D'O - J * ( 6 / . 6 / ) A * / = I

«t-ZZ / = i i = i

K (6/,6/) K(6/.6,)

*(6,.6/) AT(6„6,')

D„

n n n

III / = 1 s = l r = l

K(6/.6/) M6/,6,) K(6/.6,) £(6,.6/) *(5,.6,) M=s.Sr) £(6,,6/) £(6,.6,) *(=,.?,)

A r A, A/

4.]

As incógnitas u ( £,) [s = 1, 2 . . . ti], determinar-se-iam pelo quociente de dois determinantes: u(£s)= s . Mas, nds segui­remos o método de indução, apenas parcialmente, como dissemos.

Temos:

' = I / = 1 s = 1

pondo:

Se n cresce indefinidamente, vem o determinante da equação de Fredholm, que é a série seguinte:

(ID =(4 = 1+^/^6.1^ + / ^ ( ^ 1 ) ^ ^ +

+...+^^..^(^---^,-^+-

6) Derivadas de D (>.). — Como veremos, a série (11) é con­vergente. Formemos a série, cujos termos sáo as derivadas da pri­meira, em ordem a X.

/ f U 1 6 8 . . . e P J -

44

Temos:

v a O a O a v í l i ; 2 /

Veremos que esta série é uniformemente convergente; define D'(l).

Como é, ainda, uniformemente convergente a série:

a sua soma é uma função contínua D í l \\ J.

Podemos pois escrever:

E, do mesmo modo, escrevemos:

^)(^)-(^..-.^0.(^-^1-1)-,^,...4,.. i/ a O a \ * l * 2 • • • x " I /

45

Designamos por Dl*1** ' ' *" x) uma função das variáveis v yi)'2 "' y * I /

(*/J>/) [ '= 1,2 ... n] e do parâmetro l, função que é a soma da série uniformemente convergente:

(12) n(xix*-x"\i) = K ( ^ - x » ) +

+-^x:-.f>-(;::::;;j;:::t")^-^-7) Princípio da convergência. — As séries (11) e (12) são uni­

formemente convergentes, em todo o plano da variável X e, portanto, são legítimos os raciocínios feitos.

Atendendo a que é I K(x, É) I < M, e aplicando o teorema do Sr. Hadamard, relativo ao máximo valor dum determinante, pode­mos escrever:

Hy;:;;)|<V^'. Portanto, os termos da série:

\Jr\X\M{b-a) + ^ 2 2 J>12 ( / , - « ) * - [ - . . . _|_

+ LJÏÏP2 M"(b-a)P+ . . .

são dominantes, com relação aos termos da série (11). A última

46

série é convergente, qualquer que seja o valor de X,, como se vê pela aplicação do critério D'Alembert:

ix iA 1 ( 6 _ a )y (i + ±y lim. r ÍLJ­ — 0,

" = 0 ° V P + I

A série (11), de termos contínuos, é uniformemente conver­

gente, define a função inteira DÇK). Do mesmo modo se estabelece a convergência absoluta e uni­

forme de (12).

( .V. .v . . . xn I \ *■ }

y i ­ 2 ■ * ■ y « I satisfaz às duas equações funcionais seguintes, que traduzem o prin­

cipio:

V ^ a ■••yn\ ) 1 x \y2y3­­­yn\ )

+ (­\)>'­>K(*vyn)D{Y*­x; k ) ­

(13)

o(x'x^­­x''U) = K(Xvyí)D(xf^­­x;\x) + ...+

1 ­\f>wK^;:::;:|ò*

47

Para verificar a 1." equação, consideremos o termo geral de (12) e desenvolvamos o determinante, segundo os elementos da 1." linha. Vem:

p ! J a ' J ( , L ( V l , ­ y i ) A V / 2 . . . ^ , 5 ^ ­ ­ ^ ] •'■ +

\ / X •• • /«­1 *1 ••• s/j/J

+ + íf\.,jr*r(­iw«11yz(>:­­^ M*"f) ^'«/'0 J « Lv i , s i ' \­>i..­r«­i>«6a• • • 6,y

X" "a va x ' 1 ­> ffl ­ 1 ­/> /

P I * Ja Ja V ^ i ­ ­ ­ ^ n ­ 1 ?i ••• 5/)/ <V

^ C" r" ri w­fT V2 ­ M l — tp­l \ . ­ ­

48

Como a série (12) é absoluta e uniformemente convergente, podemos escrever:

Li p\J a ,) a \y1y2...yn^1... \p) l " p=\

. ■'«K;::::;;)+

+!^/:­:J;<::::;:t"5;h­"<]+­+

+Y f\­­rX'v*'*n 6 i"tk­«/ |­^ Z j p U f l J a \ Í V > « - 1 Ê 1 ' " ^ ' J

49

•ou

­ + , ­""­ ' A ­" . ­ ­> D ( : : . : ; I , ! I ) ­ I />V^( : , : : : : : : | ' ­ )^

­que é a primeira fórmula (13). Se desenvolvêssemos o determinante que entra no termo de

ordem p de (12), em ordem aos elementos da l.a coluna, e reali­

zássemos cálculos análogos, chegávamos à 2." fórmula.

Consideremos, em particular, a função: D( | X J. Esta função

satisfaz às seguintes equações funcionais:

,(14)

D ( \ Ix)=K(x'E) °{l) ~lSlK{x'x) D ( 11x )rfx

D{l\*)rK(x'lyDM­lf*Kl'c>tiD(xí\x)*

■que, com facilidade, poderíamos deduzir directamente.

9) Princípio da inversão. — No caso de X não ser raiz da equação D (1) = 0, a solução única, finita e continua, da equação de Fredholm é:

r" Dil\l) (15) «.(*)=? (* )+x! ^EpXSXs

50

Com efeito, multipliquemos ambos os membros da equação-fl(Mi)

proposta por *' dx e integremo-los entre os limites (a,b):

r" D(ZV) rb D i z \ A dx —

a

r" r" D{Z\A dx.

Atendendo à 2." fórmula (14), vem:

c" DC\'L) r" DC\l) n" "(x)-lfw-dx=\ » W - T T t r * - | «(6)/C(*,6)</6+

-f^-H °m ou

rb D{'x\x) r" I * ( x ) l){\) dx=\ tt(6)*(*,6)<*,

ou ainda

í «(6)A'UE)rf6= P °Gh), (6)/CU6)rf6= y(6)- 2 ¾ *•

Portanto, é verdadeira a fórmula (15), como pretendíamos mostrar.

51

O núcleo resolveníe de ( I ) é uma função meromorfa de X, pois ê dado pelo quociente de duas funções inteiras de 1.

A solução dada pela fórmula (15) é única, se fôr D(X)z\zo. Com efeito, supondo que existem duas soluções ut(x) e «2 (•*)

e pondo $(x) = uí(x) — u.i(x), esta nova função, finita e contínua, verifica a equação homogénea:

v a

Mostremos que esta equação apenas admite a solução <|i (x) = o D(Z\X)

Multipliquemos ambos os membros por —yH ' dx e inte­

gremo­los entre os limites (a,b)\

C\A r" r» B(*\A Í; J a J a (M

Atendendo ao princípio de reciprocidade, no qual não inter­

vém a função cp (*) da equação com 2.° membro, vem:

, * D Ci1-)

/M; r

* (v) a (1) * = - * K ) * t * 5) * +

«^ a

*i;lo ♦ •"-eftr*

52

ou

Portanto é '}(■?) ou I|J(J:) = O, como desejávamos provar.

A solução obtida para valores de )., tais que seja | X | < ^ ib­.a\ » coincide com a dada pela fórmula (15), /w/s <7«e, neste caso, é:

»<*fe «­ :—sUr­

Para o mostrar, multipliquemos a série absolutamente con­

vergente (11) pela série também, nesta hipótese, absolutamente convergente:

S (.r,S;X) ­ A'(l> (x,Z) + \A(2> (*,£) + . . . + X'~! A > (*,?) + . . .

Obtemos uma série que, ordenada segundo as potências intei­

ras e positivas de X, tem os seus termos formados como se segue:

1.° termo:

A'(I)US) = ­A'U£).

2.° termo:

>■ [ A(2»(­v,£) + / ( / ' ( , ) U6) K(Mi> ^ i ] =

53

3.° termo:

x2 [ A<3> (x, D -f-J*' A',2) U E)/C(g1,g1) a?i +

= ^ / a * J , « [ _ 2 / f ( * , e i , * ( £ i , S 2 , / f ( Ê í , s ) +

= Í T / /fl [~A ' (x ,e )A 'QÍ!)+* (6* ,6 )Ki*ii)K(u*u)-

- Ktt^í) «(s.ll) K^.Zl) - K{Zvt) KUZJ K(Zítí2) +

Termo de ordem p + 1 :

Ï." [ A'"^1 > (.v, f) + J ^ ' A""" (*.£) A (?x, Çj) dÊ! +

+^^^^(^:)^+---+ + --// ^ : --- 1=

54

Comparando a série assim obtida, com a série cuja soma

é / ) [ , H vem como se queria provar:

/ j ( * | > . ) = - S ( . v , £ ; > . ) x / J ( X ) .

Resta­nos fazer o estudo da equação de Fredholm, para valo­

res de \, raízes da equação D(\) = o. Comecemos por fazer o estudo da equação homogénea.

10) Equação homogénea. — Esta equação é da forma:

(16) u:(*) = ­cJ\/C(*,ç) a (g)rfg.

Se c não é raiz da equação D ("/.) = o, sabemos já que a equa­

ção (16) admite como única solução u(x) = o.

Suponhamos que c seja raiz da equação D(\) = o.

Notemos que estamos em presença do caso limite dum sistema de n equações algébricas lineares e homogéneas a n incógnitas, quando o número n cresce infinitamente, e quando o determinante formado pelos coeficientes das incógnitas é nulo.

É de prever a existência de soluções diferentes de zero. Como D('K) é uma função inteira de X, qualquer zero desta

função tem um grau de multiplicidade finito e, portanto, as suas derivadas não podem ser todas nulas. Assim, uma pelo menos,

das funções D[ * ■ " ' J'\c ), em que/ é um número finito, não \ X^X 2 . . . Xj | /

é identicamente nula. A estas funções chamou Fredholm os meno­

res de D(X). Suponhamos identicamente nulos os menores obtidos para j<n, mas não identicamente nulo o menor obtido quando j — n, n podendo ser, evidentemente, igual a 1.

55

Sejam (?,­,>]/■) [r=\, 2 ... n] 2/z números, tomados no domínio D, tais que tenhamos:

Atendendo à 1." das fórmulas (13), vem:

D(* ^■^^lA^ctx^Qdy^­'McU

Comparando esta igualdade com (16), concluímos que

1 V^ilg­­1^1 /

é uma solução da equação homogénea. Da mesma forma, atendendo ao modo como foram estabele­

cidas as equações funcionais (13),

/,0) = ( ^ ­ ^ ­ ^ . ­ ^ 1 0 [/=.,2...,,] \rtX ••■ Ui—\ H, ••• 1„ | /

são soluções de (16). Fredholm designou por ®i(x) as soluções de (16), que se

obteem dividindo as funções/,­ (x) por A.

As funções ©/(#) são linearmente distintas.

56

Com efeito, notemos que é:

\ 1 l1 a - - -1« l ' J a ' V l i1 2 - - -1« l /

e que o primeiro membro é nulo para 1—2, 3 . . . n e se reduz a A para / = 1.

Assim,

V a

é igual a 1 se i=k; é igual a o se idpk. Suponhamos então, que entre as soluções <I>, (x) existe uma

relação da forma:

em que os A A são constantes. Multiplicando ambos os membros da igualdade por K( %i,x) dx

e integrando-os entre os limites (a,b), resulta: Ai —o \i—\,2...n\, A relação escrita só é verdadeira para

/ t j — A2— . . . — A n — o,

como desejávamos provar.

Qualquer solução de (16) é uma combinação linear das solu­ções ^i(x).

57

Na verdade, seja «I(JC) uma solução. Temos:

u 1 ( í ) = — c \ K(s, z)ux(z)dz.

Multipliquemos ambos os membros desta igualdade por

\s rn ... 7j„ | ; A

e integremo-los entre os limites (a,b):

Atendendo ao princípio da reciprocidade é:

-^,^-)Hs,;...,„|c)rfs=H^...,jc)-

-%2)^ i£ 'r ' 'Hc)+A'MH;'ír"!1c)-

_ , - | ) » A - ( f „ , ^ f 6ï-.--. V-i'fe\.

• 58

Portanto, fazendo as substituições, vem:

J K(x,z)Ul(z)clz= ^ 2 - ^ 1 i A K(ívz)ui(t)dz +

Kl£a.z) u*{z)dz+...-\ c\ K(i2,z)Uí\

V ^ - W l ^ . l - - ; / K(^,z)ai{z)dz,

•o que mostra que ul(x), solução da equação (16), é da forma:

H (x) =A1d>1 (*)••+ /12<1»2 (.v) + . . . + An <!>„ (.v),

os A A sendo constantes, como pretendíamos provar. Os valores de X raízes de equação D(X) = o chamam-se:

valores característicos, valores singulares ou números fundamentais. As soluções da equação homogénea que lhes corresponde são as funções características, funções singulares ou funções fundamentais.

11) Equação homogénea associada. — Chamamos equação ho­mogénea associada de (16) à equação:

(17) »(•<) = -c j ^ 'A ' (S , *)>-(£) <e

O núcleo desta equação difere do núcleo da primeira, pela permutação das variáveis x, £.

59

Se c é um zero de D(l), esta equação admite também n solu-

ções ll'/ (x) linearmente distintas, que se deduzem de D[ l * c l

substituindo r(/ por x.

12) Passemos a resolver a equação com segundo membro, para valores de \ que anulem D (X).

Suponhamos que, ainda neste caso, a equação de Fredholm admite uma solução uí{x).

A condição para que u2(x) seja também solução da equa­ção é que:

<I8) *(*) = ->• r6À-UÊ)<r(S)tí$ •J a

admita soluções diferentes de zero. Portanto, se (1) admite uma solução, admite um número infi­

nito, as quais se obteem adicionando a uma delas, qualquer solu­ção da equação homogénea (18), isto é, são soluções da referida equação todas as expressões da forma:

u ( A ) = H (A) +Al*í (*) + A2 <D2 (.v) + . . . + A n <!>„ (x).

Mas, no caso que estamos estudando [£>(X) = o], admitirá aquela equação uma solução?

Para que isto se dê, deve a função <p(jc) satisfazer a condi­ções, que vamos determinar.

Continuemos a supor que (1) admite a solução a% (x), repre­sentemos por <D/(JC) [< = 1, 2 . . . n] as soluções linearmente dis­tintas de (18) e por M:/(jt) as soluções também linearmente distin­tas da equação homogénea associada.

60

Se multiplicamos ambos os membros de (1) por x\'i(x)dx e os integramos entre os limites (a,b), resulta:

fa <?(*)T« (v)d*=§a "i (-<)l''í (*)* +

+ xf*«1(£)dSr6A'(x,$)T1.(^rf.v, « / a e/ a

ou, permutando no integral duplo as letras x, Sj:

Concluímos pois: «Se ( 1 ) admite uma solução, a função <p (*) satisfaz a a con­

dições :

(19) f ?(*)¥, (*)<& = <> [/=1,2. . . / ;]». O a

Reciprocamente, vamos mostrar que se as condições (19) são satisfeitas, a equação (1) admite uma solução e, portanto, uma infinidade.

Demonstremos primeiro o seguinte lema: tSe u (x) é solução da equação de Fredholm

<?(x) = u(x) + \ÇbK{x,Z)u^)a^ u a

satisfaz a uma infinidade de equações do mesmo tipo*. Com efeito, seja H{x, £) uma função contínua, no campo que

consideramos. Se na equação proposta substituímos x por Ej, multiplicamos

(»1

ambos os membros por KH(x, z)d!c, e os integramos entre os limi­tes (a, b), resulta:

tf a tf a

+ i2Ç" Ç K{z,t)mx,z)u(t)dtdz. tf a tf a

Ponhamos:

F( x,.g) = K ( .v, S ) + // ( x, í ) + XJ* ' A' ( Í, g ) li ( .r, / ) dl,

depois de termos somado, membro a membro, a última igual­dade e (1).

Qualquer solução de (1) satisfaz à equação:

(20) v(x) + \f ? (?)//(.<,$) d£ = « ( * ) + x f F(x,l)u($)t%. tf a tf a

Está demonstrado o lema, visto ser fi(x, cj) uma função con­tínua qualquer.

Ponhamos:

a \ í i j j • • • Tin | y

e resolvamos a equação de núcleo F(x, £), neste caso particular. Atendendo ao princípio da reciprocidade, vem:

.f^-Hx)

l> ,E-£ ,"d:::tlx)+---'-"""•'-^»(;„£;:::t"t)]-

(.2

Portanto, temos para solução de (20):

+ /!_•, (-v) + /t2 <I>2 (*)+••• + An *„ (*),

designando os A A constantes. Esta função u(x) satisfaz também à equação (1),-quaisquer

que sejam os valores das constantes, desde que se verifiquem as condições (19). É a sua solução geral, quando os A A representam constantes arbitrárias.

Para o justificar completamente, basta realizar a verificação, quando pomos A± = A2= ••• =An = o.

Fazendo as substituições, vem:

Ou, atendendo a (13):

\K(x, rií)f% (0 yi\ O d(+...+ >.A-(.v,Yi;l) §o <? (/) W„(l) dt = o,

igualdade que é verdadeira, em vista das hipóteses.

«(*) = ? ( * ) -> " /

63

Podemos, pois, enunciar o teorema de Fredholm:

tPara que a equação (1) admita solução, sendo D{\) = o, é necessário e suficiente que seja:

Ç œ(.v)M-(. (.V)Í/.V = O [ i = l , 2 . . . « ] » . w a

13) Resumindo o que fica dito, podemos enunciar as seguintes propriedades da equação de Fredholm e suas soluções:

1.° A equação de Fredholm

O a

tem para cada valor de X uma solução única, dada pela fór­mula:

r" °('l\'K) (15) „(v) = ?(.v) + x I 1 L L Z 9 ( 5 ) < < £ .

D(\) e D í >. j são as somas de duas séries, ordenadas

segundo as potências inteiras e positivas de \, uniformemente con­vergentes em todo o plano da variável >., isto é, duas funções inteiras de \.

<"' ew-,+Zvr/.'---./;*(fcS:::í;)w-^

P=I

64

2.° Para os polos c, raízes da equação J9(X) = °» a equação não tem, em geral, solução. Para que exista solução, a função <p (x) deve obedecer a determinadas condições.

3.° A equação homogénea:

(21) «(*) = ­ / . J**/ir(x,e)ii(5)rf!

admite em geral uma solução única, u{x) — o. Se X é raiz da equa­

ção D('K) = O, a equação homogénea tem um número finito de soluções, não identicamente nulas, e linearmente independentes.

4.° A condição necessária e suficiente, para que a equa­

ção com 2.° membro (1), admita uma solução, quando X anula D (X), é que considerando as n soluções linearmente distintas da equação

(22) „(*) = ­ X Ç K{lx)v{i)dt, tf a

associada de (21), tenhamos:

Ç <?(x)ni(x)dx = o [ /=I ,2 . . .«J .

A solução geral de (1) é então:

^¾...¾ I /

­ M j * Í (X) + /t2 ©g (.X) + ­ • ■ H" '«» '"Vi (*)•

65

■em que ( ,­,7) / ) são números que não anulam D ( * *2 "' *" ). \ , ¢,­ (x)

as soluções linearmente distintas de (21) e A,­ constantes arbi­trárias.

14) O nosso estudo foi feito, supondo o núcleo /\(x, £) uma função contínua.

Notemos, contudo, que se o núcleo é uma função simples­mente limitada e integrável, o método a empregar na resolução da equação de Fredholm não sofre alteração. As conclusões são as mesmas.

O núcleo pode até tornar­se infinito, em alguns pontos e, ainda, o mesmo método tem aplicação, embora necessitemos de transformar a equação proposta, desde que um número finito de iterações nos conduza a uma equação de núcleo limitado.

Com efeito, atendendo à equação (1), podemos escrever:

«(S)=<p(£)­Xj' /T(g,z)u(z)dz,

E, fazendo as substituições, resulta a nova equação:

i I') tf (,) ­lf"a K(x,f) ? (g) < = u(x) ­ l2 J"u *<•>(»,ç,u ( E ) „ : .

A resolução da equação (1) reduz­se à da equação (V). É claro que as iterações podem repetir­se um número finito de vezes.

15) Equação de Fredholm, com funções de duas variáveis.— Consideremos uma equação da forma:

X l> nu

66

Suponhamos que se realizam as condições: 'f(x,y) é uma função contínua. K(x,y; Ê,vj) é uma função contínua, ou simplesmente limitada

e integrável.

Todos os raciocínios, empregados com funções duma só variá­vel, podem repetir-se.

Notemos apenas, que cada uma das variáveis x e ç, deve ser substituída pelos pares de variáveis (x,y) e (£,?i).

Assim, supondo

diferente de zero, a única solução de (23) é dada pela fórmula:

v u J a

16) Nas aplicações é frequente o aparecimento de equações de Fredholm com uma forma diferente de (23), da qual nós também faremos uso. Por isso a vamos considerar.

Seja S uma superfície fechada regular, admitindo um plano tangente único, em cada um dos seus pontos, definida pelas equa­ções:

x=fv{u,v)

y=f2(".v)

Suponhamos duas funções ?(AÍ) e K{M,M'), que tomam valores determinados, quando Aí e Aí' são pontos da superfície,

67

funções que satisfazem ainda às condições estabelecidas no último parágrafo. Representemos por u (M) uma função desconhecida, do ponto Aí.

A equação:

(24) tf(M) = u(M) +1 Ç K(M,M')u(M')doM, V(S)

é do tipo de Fredholm. O que dissemos com relação à equação (23) é aplicável, com

relação a (24).

17) Núcleos não limitados. — Na resolução do problema de Dirichlet, e na de muitos outros, temos de considerar núcleos não limitados. O exposto no número (14) é então aplicável.

Para tratarmos o problema de Dirichlet, sem dificuldades, vamos considerar, em especial, núcleos não limitados, da forma: FlM M1) -===—, em que F(M,M') é uma função limitada e integrável, com relação a S, onde estão representados o ponto fixo M e o ponto corrente Aí'.

« Se a fôr um número positivo, inferior a 2, é possível, empre­gando iterações sucessivas, reduzir a resolução duma equação da forma:

9(M) = U(M) + X | l_La'„(M/)rf33f< (E)

C F(M,M<) \ I — u |

á duma equação de núcleo limitado e integrável*.

68

Com efeito, substituindo sob o sinal de integral u(M') pela sua expressão deduzida da equação escrita, resulta:

C r(M,M') , „ (26) f ( * ) - X - ^ - f í M ' ) * *

J P F(M, P) F{P,M') 1 ' -v J MP* PM"1 1 = u(M)—l

(E) " <E>

M 'Up .

que é uma equação de núcleo:

,,, „ Ç F(M,P)F(P,A * W ' 'MP* PM'*

**<E)

SÊ a <? p /ore/w rfo/s números positivos inferiores a 2,

(27) fiW)^.*)«,p

é infinito como [ =J=;1 , quando MM' tende para zero. L M Al J

É evidente, que podemos substituir nos nossos raciocínios o integral (27) por

(28) f l T T p ' P ° n d 0 : P = MP,PI = PM<.

()')

Suponhamos, então, uma curva C traçada sobre £, que de­

componha a superfície em duas regiões, uma 2J' contendo os pon­

tos M, M' e outra S". Temos:

J da _ Ç do Ç ds

p«p'P " J p«p'P p«p'P' <£') <£")

O último destes integrais é finito e, portanto, (28) ou (27) será

infinito como ( ——=■.

J PVP

•(SI Consideremos o plano tangente no ponto M de i2, e neste

plano tomemos dois eixos ortogonais Mx e My. A curva C pro­

jecta­se neste plano segundo uma curva C, e um elemento de su­

perfície d? segundo o elemento plano dxdy, de modo que seja: d<3 — —^­, (p representando o ângulo do plano tangente num ponto de cfa com o plano xy.

Como nos interessa considerar o caso de Aí' visinho de Aí, podemos sempre supor a curva C tal que, representando por m um número finito dado, seja: </;/.

' COS 'f

Assim, (28) é comparável, para o fim que temos em vista, a um integral da mesma forma estendido a uma área plana. Consi­deremos então:

J do

77' (29)

representando S uma área plana, limitada por C. Tomando Aí como centro, descrevamos um círculo de raio

70

2 M M', de área S', e representemos por S" a parte da área S exterior ao círculo.

Na região exterior S", o integral (29) é comparável a

f- p«+P-r

se representarmos por R o raio de outro círculo de centro Aí, sufi­cientemente grande para que C nele fique contida, e atendermos a que — está compreendida entre j - e j . Assim, (29) torna-se

infinito como [ = = J

Para o cálculo do integral correspondente à região do círculo de raio 2MM', façamos a transformação homotética deste cír­culo noutro Ci, de centro M e raio /.

Temos:

J' da _ [_i_"|«+P-2p_íí£i_ ««p/p== L2FÃFJ p^p;?-'

em que o último integral é finito.

Como desejávamos demonstrar, (27) é infinito como

1 1«+p-2 JTM'Ï

quando MM' tende para zero.

71

Assim, concluímos, com relação à equação (25):

Se a < 1, o primeiro núcleo iterado é finito. Se a= 1, o primeiro núcleo iterado é infinito como log. (MM')

quando MM' tende para zero, mas é finito o 2.° núcleo iterado. Se 1 < a < 2 , um número finito de iterações, conduz-nos a um

núcleo limitado.

'

CAPÍTULO IV

APLICAÇÃO DA ANÁLISE DE FREDHOLM À RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE D1RICHLET,

NUM DOMÍNIO A TRÊS DIMENSÕES

1) Como aplicação da teoria exposta, vamos tratar o pro­blema de Dirichlet.

Compreende este problema as duas partes seguintes:

/." — O problema interior—

tDada uma superfície fechada S, determinar uma função harmó­nica no interior de -, e que tome à superficie valores dados por uma função continua ».

2." — O problema exterior —

< Dada uma superfície fechada S, determinar uma função har­mónica no exterior da superficie, regular e nula no infinito, e que â superfície tome valores dados por uma função contínua*.

O método de Neumann, para a resolução de qualquer dos problemas, consiste em determinar uma dupla camada de agente newtoniano, cobrindo 2, cujo potencial seja a função procurada.

Suponhamos que a superfície fechada 2 seja uma superfície regular, que em cada um dos seus pontos admite um plano tan­gente único, cuja posição varia continuamente, quando o ponto de contacto descreve a superfície.

»

74

O potencial de dupla camada, num ponto P(x,y, z), interior ou exterior a S, é a função:

«"tf -

se |).(J/) representa uma função contínua do ponto corrente M (densidade), r a distância MP e tf o ângulo da sua direcção com a normal interior em M.

Esta função gosa das propriedades seguintes: l.a é uma função harmónica no domínio interior e no exte­

rior, regular e nula no infinito; 2." é descontínua quando P atravessa a superfície; 3." o limite de (1) quando o ponto P, do interior de Ï , se

aproxima infinitamente dum ponto M0 da superfície é:

(2) /0 = 2 ^ ( ^ ) + j v-(M)—r^-d,M , J(E)

representando r a distância do ponto fixo M0 ao ponto corrente Aí, € <f o ângulo de M M0 com a normal interior em M;

4." o limite de (1) quando P é exterior e se aproxima infi­nitamente de M0, é:

<3) 1 ^ = - 2 ^ ( ^ ) + j f ( í l ) ^ * , .

Posto isto, procuremos resolver os problemas enunciados. Seja dada a função contínua/(M,,) e representemos por ;i. (M)

a função desconhecida, — densidade da dupla camada.

75

A resolução tanto do problema interior, como a do problema exterior, fica dependente da resolução duma equação de Fredholm da forma:

(4) f1(M0) = V.(M0) + l ÇK(M0,M)ifi{M)(tau ,

cujo núcleo é: cos tp K(M0,M)=-^.

O valor X = 1 conduz-nos à equação:

'<>) + j t t l cosw (5) f(M0) = 2*V.(M0) H | v.(M)-^-dau (E)

que corresponde ao problema interior.

O valor X = — 1 conduz-nos à equação:

(6) -f[M0) = 2xV.[M0)- I ^ J f J - S J l * , J <£)

que corresponde ao problema exterior. Notemos que o núcleo da equação (4) não é limitado. Torna-se

infinito como —, mas bastam duas iterações, para sermos conduzi­dos a uma equação de núcleo limitado e integrável. Estas itera­ções alteram a função do primeiro membro, mas conduzem-nos a uma nova função conhecida, finita e contínua.

2) Problema de Neumann. — Para facilitar a discussão das soluções, procuremos ainda resolver este problema, que H. Poin-caré denomina problema análogo ao de Dirichlet.

76

Suponhamos que il seja uma superfície, obedecendo às con­dições anteriormente expostas, limitando, portanto, um domínio interior D, e representemos por D' o espaço exterior.

O problema interior enuncia-se : Dada uma superfície fechada il e a função contínua f(M0),

determinar uma função V, tal que seja:

AK=o em D. dV_

=/(iV„)sôbreS.

O problema exterior enuncia-se: Dada uma superfície fechada ï e uma função contínua f(M0)r

determinar uma função V, tal que seja:

AF=o em D'. 4L = -f(Mo) sobre S.

Para resolver os novos problemas, procuremos determinar uma simples camada de agente newtoniano, estendida sobre S, cujo potencial V seja a função que satisfaz às condições impostas. A incógnita continua sendo a densidade \>-(M).

Representemos por -— e —— os limites das derivadas em

ordem à normal exterior e interior, respectivamente, deste poten­cial, em dois pontos Pe e Pi, situados sobre a normal em M0, quando o ponto exterior Pe ou o ponto interior Pi se aproximam infinitamente de M0.

Da teoria do potencial sabemos que é:

d V _L d V A ,» \ dne dtii

(7) dV dV . C costy , ,M ,

-7-*7 = 2J -Tt*M**>

77

r representa a distância do ponto corrente M ao ponto M0 da superfície, e <|> o ângulo da normal interior em M0 com a di­recção M0M.

De (7) deduz-se que a função desconhecida n(Jlf) deve satis­fazer às equações:

Para o problema interior:

<8) - / (M 0 ) = 2*n(AÍ0)- | __i^(«)rf0j

(S)

y°ara o problema exterior:

(9) /(^)=2^(^)+ r.-^^í*).*»*-

Comparando os resultados aqui obtidos, com aqueles a que chegamos no problema de Dirichlet, vemos que a equação (8) é a associada de (6) e a equação (9) a associada de (5).

Das equações (5) e (6) passa-se, respectivamente, para (9) e (8), pela permutação em K{M0, M) dos dois pontos, de que este núcleo é função.

O problema interior de Diriclilet corresponde ao problema exterior de Neumann; o problema exterior de Dirichlet corresponde ao interior de Neumann.

Assim, os problemas de Neumann resolvem-se por equações da forma:

<£> (10) fi(M0) = v.(M0)+X§K(M,M0)V.(M)dau ,

associadas de (4).

7,S

3) Discussão.—Os resultados obtidos pela análise de Fredholm serão legítimos?

Haverá contradições? Comecemos por discutir a solução do problema interior de

Dirichlet e simultaneamente a do problema exterior de Neumann.

X = 1 não é raiz da equação D('h) = o.

Com efeito, se X = 1 fosse pólo da resolvente, a equação homogénea:

^(M0)+J^ ( I I ) 2«VL(Af0)4 ^­^(M)dt,3l=o

(B)

teria uma solução m ( i ¥ ) , diferente de zero. Admitamos que assim é. Atendendo às relações (7), temos:

■?—«■ Então, o potencial de simples camada correspondente

V(x,y,z) Ir7" *• que deve satisfazer à fórmula:

<* j^--j"[(îj:.+(ïy+(fy]*-(S) (D')

é constante em todo o campo D', exterior a S. Como esta função é nula no infinito, V é constantemente nula, no exterior e sobre 2.

79

Mas, como também é harmónica no interior e nula à superfície, é nula no interior.

Portanto, atendendo a (7): \L1(M0) = O. (11) não admite solução diferente de zero, e X = l não é um

valor característico.

Cada uma das equações (5) e (9) admite uma única solução, que satisfaz, respectivamente, ao problema interior de Dirichlet e exterior de Neumann.

Façamos a discussão, relativa ao problema exterior de Dirichlet e, conjuntamente ao problema interior de Neumann.

\= — 1 é raiz da equação D(\) = o.

Com efeito, a equação homogénea:

(13) 2*M*J- f^M*)*»-*

admite a solução \L(M0) = 1. DO mesmo modo, a sua associada:

(14) Í*M*.)- Ç^V.(M)d*3l = o (S)

admite uma solução |<-i (.¥<,), que não é nula. X = — 1 é pois, um valor característico, como queríamos provar. Notemos que a solução \LI(M0) de (14) corresponde a um

caso real, pois que o potencial de simples camada respectivo:

'(x,y,z)= _ ! _ _ rf0j/>

J ( E )

80

satisfazendo à condição —-- = o, é constante no interior e, por-dn i

tanto, à superfície. É o potencial devido a uma massa eléctrica, de densidade

V-iiM), distribuída sobre um condutor isolado, em equilíbrio. Por­tanto, (13) e (14) admitem uma infinidade de soluções.

Estas soluções não são linearmente independentes.

Com efeito, consideremos duas soluções de (14) \i1(M0) e ]L2(N0), e representemos por \\ e K3 os potenciais respectivos. Vx e K2 são potenciais de simples camada, constantes no domínio interior D.

É pois possível determinar duas novas constantes a e [J, tais que seja:

Mas, « l^ -f- p K2 representa o potencial devido a uma simples camada, de densidade 0 (^+p> 8 , e como este potencial é nulo no interior e à superfície e, portanto, no exterior, é:

Duas soluções de (13) ou (14) não podem ser linearmente

independentes, como pretendíamos provar.

Podemos então afirmar:

É condição necessária e suficiente, para que a equação (8) tenha solução, que seja:

(15) Çf(M0)dvM =o. «ME)

81

É condição necessária e suficiente para que a equação (6) tenha solução, que seja;

<I6) f M A U / W *»*„ = <>■ •ME)

Se/(Aio) satisfaz a estas condições, qualquer dos problemas terá uma infinidade de soluções, que diferem duma constante?

Aparentemente, estamos em contradição com o princípio de Dirichlet.

Mostremos que essa contradição não existe e que, pelo con­

trário, estes resultados constituem uma confirmação da teoria feita.

Temos, com efeito, com relação ao problema interior de Neumann:

Em primeiro lugar é evidente que, se o problema tem uma solução, tem uma infinidade, diferindo todas as soluções duma constante e, como vimos, o potencial correspondente a \>i(M) é constante no interior.

E, também é sabido, que se U e V representam duas funções regulares no domínio D, limitado por i2, a fórmula de Qreen:

(D) ° <£)

aplicada ao caso em que U= 1 e V é harmónica, conduz à fór­

mula

S. d V w — í/3 = 0. (In i <£>

Portanto, (15) traduz apenas a condição a que deve satisfa­zer, à superfície, qualquer função V, harmónica no domínio D, limitado por essa superfície.

o

82

Passemos à discussão dos resultados obtidos para o problema exterior de Dirichlet:

Suponhamos que a solução única do problema exterior de Dirichlet seja uma função harmónica, susceptível do seguinte desen­volvimento em série, no exterior duma esfera de raio R:

em que p representa a distância do ponto (x,y,z) ao centro da esfera e X', X"... são funções esféricas. Para que Vrepresente um potencial nevvtoniano é necessário que se realize a condição:

Hm. pV= X1. p = 0 0

E se este potencial é de dupla camada, devemos ter: X' = o. Portanto, para que a solução do problema exterior de Diri­

chlet possa exprimir-se por meio dum potencial de dupla camada, a função contínua f{M„) não pode ser completamente arbitrária.

No exercício, que apresentamos, da aplicação do método à esfera, poremos em evidência a identidade desta condição, e da (16).

Temos mais: Se a condição (16) se verifica, a equação (6) tem uma infinidade de soluções, que diferem duma constante.

Então o problema de Dirichlet tem uma infinidade de soluções ?

Para desfazer esta contradição, basta notar que o potencial de dupla camada num ponto exterior não muda, quando se aumenta duma quantidade constante a densidade da dupla camada, puis­que | -^^(/3 = 0, para um ponto exterior.

»

83

4) Resolução geral do problema exterior de Dirichlet. —A aná­lise de Fredholm permite-nos ainda resolver o problema exterior de Dirichlet, quando a condição (16) não é verificada.

Seja [i-iiMo) uma solução de (14), que nos dá a densidade superficial, correspondente a uma massa eléctrica igual a /, lan­çada sobre um condutor isolado, limitado por H, quando há equi­líbrio.

Representemos por \\ o potencial correspondente e por C uma constante, determinada de modo que seja:

Œ)

O potencial de dupla camada que à superficie, tome valores dados pela função coniínaaf(M0)-CV1{M0), pode determinar-se, porque esta função satisfaz à condição (16). E, então, a solução do problema exterior de Dirichlet é:

W(x,y,z)-\-CVi(x,y,z).

Na verdade, esta função é harmónica no exterior, regular e nula no infinito, e à superfície toma valores dados por f(M0).

Podemos pois enunciar o teorema:

A solução do problema exterior de Dirichlet pode exprimir-se pela soma dum potencial de simples camada e dum potencial de dupla camada. Reduz-se essa solução a um potencial de dupla camada, se a condição (16) é satisfeita.

5) Exercícios. — 1° — Determinemos uma função harmónica no interior duma esfera de raio R, que à superficie tome valores dados pela função continua f ( M0 ).

S 4

Seja:

W(x,y,z). (*{*)*&*» ^ ( B )

o potencial de dupla camada, solução do problema. A densidade deve satisfazer à equação:

(17) / (^ ) = 2 ^ ( ^ ) + ^ M*)7*jr

Ponhamos:

(is) l i(<1f)=4í^- , , ( ;1 ' )•

vem:

(19) 2-t / ^ ^ (r;i (E) (21

nova equação de Fredholm, em que a função desconhecida é V. Consideremos o potencial de dupla camada, num ponto P{x,y,z),

interior à esfera:

(20) "\ " (E) J COS <P

Se o ponto P se aproxima infinitamente dum ponto M0 da superfície, o limite de (20) é o primeiro membro de (19), isto é, a função harmónica Wx toma num ponto qualquer M0 da super­fície o mesmo valor, que o potencial de simples camada:

(2D -JTÏÏ P<">>-

85

As duas funções harmónicas (20) e (21) são idênticas em todo o domínio (principio de Dirichlet).

Como (21) é uma função conhecida, também o é a função (20). Atendendo a (18), concluimos que a solução do problema de

Dirichlet, para a esfera, é:

U Œ) ° (£) J (2D

É precisamente a solução do problema obtida por outros métodos, e a que pode dar-se a forma:

i f'^'rf do, 4xJ.i *' . .8 (S)

se p e r representam, respectivamente, as distâncias do ponto (x,y,z) ao centro da esfera, e ao ponto corrente sobre a esfera.

2.0 — Determinemos uma função harmónica no exterior duma esfera de raio R, regular e nula no infinito, e que à superfície tome valores dados por uma função continua f{M0).

Procuremos obter a solução do problema, por meio dum potencial de dupla camada.

A densidade da dupla camada deve satisfazer à equação:

(23) -f(Mo) = 2r^(Mo)-J- K(JM)Irf9jf. J ( E )

86

Ponhamos:

(24) \<.(M) = -f-^ + V(M),

v e m :

(25) -ZKV(M0)+~ \v(M)\d=u=-^ \/(M^dàM. J (E) J <E)

Consideremos o potencial de dupla camada num ponto ex­terior:

J. (S)

A relação (25) mostra que este potencial é idêntico ao poten­cial de simples camada:

—— i /(M)-toir

em todo o ponto exterior, desde que as duas funções se anulem do mesmo modo, sobre uma esfera de raio infinito, isto é, se fôr realizada a condição:

(26) Çf(M0)dau=o.

Notemos que esta é precisamente a condição necessária e suficiente, para que (23) admita uma solução.

87

Com efeito, a equação homogénea associada daquela que se obtém, pondo em (23) f(M0) = o, isto é, a equação:

<27) 2*V(M0)~ \*(MJ^<tou J ( E )

admite a solução \i1(M0) = \. Atendendo a (24), temos pois para solução do problema exte­

rior de Dirichlet, na hipótese ( f(M)dav=o, a seguinte função:

1 f , , „ . cos? . , 1 C/(AÍ) J

^ (S) ^ <E>

ou ainda:

<28) '/{*.**)-J? \ - ) J RrS

A solução (28) 6 geral, embora só represente um potencial de dupla camada, quando se verificar a condição (26).

Podemos, com efeito, aplicar o método geral do parág. 4.°, para achar a solução do problema exterior de Dirichlet, chegando,

do mesmo modo à fórmula (28), quando a função contínuaf(M0}> é dada arbitrariamente.

Para isso tomemos a solução de (27):

H(M) = s­4­tf2

O potencial de simples camada correspondente é:

i C <K ■5­4ÏFJ ­

^ (E)

que à superfície, toma o valor —. Determinemos uma constante C, de modo que se verifique a igualdade:

Vem:

j * [/('«,)—£] "*„ = '•

-M: 7Õ \fWtox. (E)

A função contínua

é conhecida à superfície.

89

E qualquer solução da equação:

- ^ ( ^ ) = 2 ^ ( ^ ) - ^ U(M)Irf3j/ J ( E )

representa a densidade duma dupla camada, estendida sobre 2, cujo potencial newtoniano é a solução do problema exterior de Dirichlet, quando os valores à superfície são dados por g (M0).

Então, a solução do problema de Dirichlet, que foi pro­posto, é:

t o * 2 F J ^ J / ( M , < / 0 * = (E) <E>

<E) ' *ME) *-'(B)

+^/^-.-^/^>-*+ ' (E) ^ ( E > ^ ( E )

-2*3J ' J , 16 (E) v (E)

/(Af)rfSjf ,

90

ou

U (S) ^ (S)

que é precisamente a solução (28).

CAPÍTULO V

APLICAÇÃO DA ANÁLISE DE FREDHOLM À RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE DIRICHLET,

NUM DOMÍNIO PLANO

1) A análise de Fredholm também se aplica à resolução dos problemas de Dirichlet e Neumann, referidos a um domínio plano.

O caminho a seguir é análogo ao indicado no último capí­tulo, embora a discussão das soluções tenha de ser modificada.

Por isso vamos fazer a exposição respectiva, resumindo as nossas considerações, quando não haja diferenças sensíveis entre o que diz respeito ao domínio plano e o que já foi tratado.

Procuramos satisfazer ao problema de Dirichlet, determinando uma dupla camada de agente, cujo potencial logarítmico seja a função procurada. (Método de Neumann).

Suponhamos que C seja uma curva plana fechada regular, isto é, uma curva plana fechada, descrita por um ponto il/, cujas coordenadas x=fY{s), y=fi(s) sejam funções analíticas de s, e sem pontos singulares.

A função:

chama-se potencial logarítmico de dupla camada no ponto P(x,y), se \>.(s) representar uma função contínua sobre C (densidade), r a

92

distância de P a um ponto il/ que descreve C, e <p o ângulo que faz a direcção I / P com a normal interior à curva no ponto cor­rente.

Esta função goza das propriedades seguintes: 1." é uma função harmónica em todo o domínio interior ou

exterior a C, nula no infinito; 2." é discontinua quando P atravessa a curva; 3.» o limite para que tende o valor de \V num ponto Pi,

interior a C, que se aproxima infinitamente do ponto M0 da curva, de abcissa curvilínea x, é:

(2) wi (O

',„(*)= Líi^^+^w

r representando então, a distância M0 M e ? o ângulo da recta MMo com a normal interior no ponto corrente M;

4." o limite para que tende o valor da função num ponto Pe, exterior a C, quando este ponto se aproxima infinitamente do ponto M0 da curva é:

(3) wco= I \^(s)-f-ds--V.(x).

O problema interior de Dirichlet enuncia-se:

Determinar uma função harmónica, no interior da curva plana fechada C, que sobre esta curva tome valores dados por uma função contínua.

Se a solução do problema fôr um potencial logarítmico duma dupla camada, e f{x) a função contínua dada, a densidade \>.{x)

93

da dupla camada, satisfaz à seguinte equação de Fredholm, de núcleo limitado e integrável:

(4) f(x) BC|L(JC)+ f | i (« .)££lÀ.

O problema exterior de Dirichlet eniincia-se :

Achar uma função harmónica, no domínio exterior à curva plana fechada C, regular no infinito, e que sobre C tome valores dados por uma função contínua.

Se um potencial logarítmico de dupla camada fôr solução do problema, e / ( * ) a função contínua dada, a densidade de dupla camada deve satisfazer à equação de Fredholm:

COS Vf (5) - / ( . v ) = * | x ( . v ) - h(s)ZyLds.

2) Discussão da solução para o problema interior. — A equa­ção (4) admite uma única solução finita e continua, á qual corresponde um potencial logarítmico de dupla camada, que satisfaz ao problema.

Isto equivale a afirmar que:

1= 1 não é valor característico da equação homogénea:

(6) «ft(*)+X \ v(s)^-ds = o (l),

(') I|I representa o Angulo da direcção M0M com a normal interior à curva C, em M0.

94

associada da equação, também homogénea:

(7) r^(x)+\ j v.(s)^Las = o.

un É o que vamos provar. Suponhamos que (6), para \=l, admite a solução, não

nula, |Cj(x). O potencial logarítmico de simples camada correspondente,

V{x,J>)— l V­íls) log.­ds, (8) (0)

é uma função harmónica no interior e no exterior que, quando o ponto (x,y) se afasta infinitamente dum ponto fixo do plano, se torna infinito como Mlog. — , representando p a distância do ponto (x,y) ao ponto fixo, e M a massa total distribuída sobre C.

Esta função é, porém, nula no infinito, se fôr verificada a con­

dição:

r = f n 1 ( * ) , V Ifti

Representemos por ­— e — os limites em ordem à normal

exterior e interior, de (8), respectivamente em dois pontos Pe e Pi, situados sobre a normal em M0, quando o ponto exterior Pe, ou o ponto interior P, se aproximam infinitamente de M0.

Temos:

■««£(*)+ J M * ) ^ 2 ^ (9)

rff _ _ >_v , I „ ,.v cos«y

(O

95

Como suposemos \>-l(x) solução da equação (6), para 1 = 1,. temos:

Mostremos que é V— o em qualquer ponto exterior, e portanto, também nulo sobre C.

No capítulo anterior, para fazer a demonstração correspon­dente, estabelecemos a fórmula (12).

Porém, essa fórmula, legítima para o potencial newtoniano, que é nulo no infinito, não pode aplicar-se ao potencial logarítmico, senão quando a massa atraente fôr nula.

Assim, representando por D' a porção de plano exterior a C, só* podemos escrever:

^ (o) y (7/)

se fôr:

(i2) C M * > * - -

Vejamos que \>-1(x) satisfaz à relação (12) e, portanto, que é verdadeira a fórmula (11), para o caso que estamos tratando.

Temos, com efeito:

4M- - Ï fM')--5? ds L • • r

(0)

96

Permutemos, no integral duplo, as variáveis de integração x •e s, vem:

J (O " J (tO J (CO «>

e é evidente que esta igualdade tem como consequência (12). O potencial logarítmico (8), que satisfaz a (12) e (11) é nulo

no exterior e sobre C. É pois também nulo no interior. Portanto é:

4— = o e V-i(x) = °-dn,

1 = 1 não é valor característico de (6) e, portanto, a equação <4) admite uma única solução contínua, a que corresponde um potencial logarítmico de dupla camada, única solução do problema interior de Dirichlet.

3) Discussão da solução para o problema exterior. "K = — 1 é um valor característico para a equação (6).

Para o notar, basta atender a que / é, neste caso, solução da equação (7). Então a equação (6) admite uma solução |fi.(x), que não é nula.

As soluções de (6) e (7), para \ = - 1 , não são linearmente inde­pendentes.

Com efeito, à solução |4\(*) de (6) corresponde um potencial logarítmico de simples camada Vv que satisfaz à condição:

dn i

97

Suponhamos que existe uma segunda solução <i2(x), linear­mente independente de HI(JK). O potencial logarítmico correspon­dente V., também satisfaz à relação:

ÍÍ8

Vi e K, são pois constantes no interior de C. Sejam a e p duas constantes, não nulas, determinadas de modo

que tenhamos:

([*Pi-(«),+ PM*)]A~Á «Mo)

O potencial logarítmico, correspondente à densidade:

é constante no interior e, portanto, sobre C. Como é nulo no infi­nito, concluímos que é nulo em todo o plano.

Portanto, a expressão (13) também é nula, e isto equivale a afirmar que as soluções de (6) ou (7), não são linearmente inde­pendentes.

Temos então:

tSe a função continua dada f(x) saiísfizer â condição:

(14) CH(x)f(x)dx=*o,

a equação (5) admite uma infinidade de soluções continuas, que dife­rem duma constante.

1

98

A tôdas estas soluções corresponde um potencial logarítmico de dupla camada, que é a solução única do problema exterior de Dirichlet*.

O facto da função contínua f(x) não poder ser dada arbitra­riamente, é perfeitamente legítimo. O potencial logarítmico de dupla camada é nulo no infinito, e o principio de Dirichlet é estabelecido, para uma função harmónica, que no infinito se reduz a uma cons­tante, em geral diferente de zero.

4) Resolução geral do problema exterior de Dirichlet. — Se a condição (14) não fôr verificada, a solução única do problema exterior de Dirichlet é um potencial logarítmico de dupla camada, adicionado duma constante.

Com efeito, determinemos uma constante K, tal que se veri­fique a igualdade:

Ç{/{x)—K)dx-o.

É possível determinar um potencial logarítmico de dupla camada Wu solução do problema exterior de Dirichlet, quando a função dada à superfície é:f(x) — K-

Então, a solução do problema exterior, inicialmente proposto ét

como queríamos provar:

(15) «Ï+*

5) Problema interior de Neumann. — Dada a curva C e a fun­ção continua f(x), pretende-se determinar uma função V, tal que seja:

o em D (interior de C).

--f(x) sobre C.

LV--

99

Como a função procurada deve ser harmónica em D,f(x) tem de satisfazer à condição :

Ç/(x)dx = o.

A equação associada de (5) admite então uma infinidade de soluções, que não são linearmente independentes. As funções poten­

ciais logarítmicos de simples camada correspondentes, satisfazem ao problema proposto e diferem de constantes.

6) Problema exterior de Neumann. —Dada a curva C e a/un­■fão contínua f(x), pretende­se determinar uma função V, tal que seja:

A V= o em D' (porção do plano exterior a C).

~ = ­f(x) sobre C.

A equação associada de (4) admite sempre uma única solução, ­à qual corresponde um potencial logarítmico de simples camada que satisfaz ao problema.

Como o potencial logarítmico não é, em geral, regular no infinito, dá­se o mesmo com a solução do problema exterior de Neumann.

Podemos achar a condição a que deve satisfazer a função / ( .v) , para que a solução do problema de Neumann seja re­

gular. Temos, com efeito, representando por |J.J(.K) a solução da

associada de (4):

**i(*) = / ( * ) ­ \<­í(s)~^­ds

100

ou

■ çv.i(X)dx=­ r \H(s)^^^+ f/(.v)^ ^ (0

J (Q J (C)

J (0)

2x r ( l ] l(x)^= f/(.t)</.t. J (c) ** (e)

Como o potencial logarítmico é regular no infinito, se fôr

\ dx = o.

a condição procurada, a que deve satisfazer a função contínua

fy(xjdc>­«.

É precisamente a condição a que deve satisfazer a mesma função, para que o problema interior tenha solução.

7) Exercícios. — 1.° — Problema interior de Dirichlet, com rela­

ção ao circulo. A equação de Fredholm a resolver, representando por R o

raio do círculo, é:

(i6) i/uHn(*)+ Í T S ­ ^ J (O

Temos:

/)(1) = 2 , 0 ( ^ 1 ) = ­ 2 ­

101

Portanto, a solução única de (16) é:

Mv)=^/(.v) (C)

E a solução do problema interior de Dirichlet é, portanto:

OU

(O)

£ o integral de Poisson.

Este integral tem por forma habitual:

que se deduz da anterior, tomando para origem o centro do cír­culo, representando por (p, 0) as coordenadas polares do ponto interior e por (R,ty) as coordenadas dum ponto da circunferência.

2.° — Problema exterior de Dirichlet, com relação ao círculo.

a) A função continua dada, satisfaz à condição:

Ç/(x)dx = o.

102

A equação de Fredholm a resolver é:

(17) -1/(,) = ,(-)- f$g-*. U(.<tl

Vem:

»(5K')>ra • -C51-) As soluções de (17) são da forma:

,,(,) = - - 1 / ( , ) + /1.

A solução para o problema exterior de Dirichlet é pois:

J ( 0 )

b) A //wfâo continua dada é tal que:

(* / ( , ) rf,rj=0. " ( d

Procuremos achar o potencial logarítmico duma dupla camada, cuja densidade satisfaça à equação:

2 *Jm

Jm

103

Esta equação tem soluções da forma:

A solução do problema exterior de Dirichlet é pois:

/(.,„ = - 1 Çs£í3./(s)ds + 1L_ C/{s)!ls =

(O

Podemos dar a esta solução a forma conhecida:

2 " J R2 + p*~-2Recos(<

FIM.

I

T

. mil in.