Bizu para construir qualquer grco

Roney Duarte da Silva

February 3, 2016

Part I

Ideia central

Para construir grco podemos criar duas tabelas, um com os valores dos domnio x e outra com os valores

da funo nos respectivos domnios, tambm conhecido como imagem f(x). com posse do conjunto do para

(x, f(x)) facilmente tem-se a curva.

Caso estivermos trabalhando com funes bem conhecidas como sen(x) e cos(x), facilita o aprendizado, a

1

posse de trs conceitos importantes:

Translao, Homotetia e Reexo.Com posse desses conceitos podemos facilmente manipular alguns tipos de funes e prever sua forma.

2 UFABC-SBC

1 TRANSLAO

1 Translao

A translao ocorre quando o grco deslocado para baixo ou deslocado para cima ou para os lados como

na gura (1.1). Podemos ver que a curva mantm o mesmo padro mas pode ser deslocada com auxilio de

artifcios matemticos.

fundamental entender o que ocorre na translao, isto , o que de fato alterado. E de incio importante

notar que observar as mudanas com estgios, ou seja, como apenas uma translao por vez, facilita muito.

Por exemplo, caso o grco

3 UFABC-SBC

1 TRANSLAO

Figure 1.1: Translao

4 UFABC-SBC

1.1 Translao vertical 1 TRANSLAO

1.1 Translao vertical

Ao transladar verticalmente apenas alteramos os valores da imagem, i. e., os valores de y. Ou seja se queremos,

ou notamos, que o grco est deslocado positivamente, ou negativamente, basta que somemos ou subtramos

esse valor. Tomemos como exemplo a funof(x) = sen(x), essa funo descolada uma unidade positivamente

ao somar uma unidade na imagem da mesma, na gura (1.2) temos a representao de f(x) = sen(x) e a

funo transladada verticalmente p(x) = sen(x) + 1, assim a translao vertical obtida com

f(x) + constante

5 UFABC-SBC

1.1 Translao vertical 1 TRANSLAO

Figure 1.2: Translao vertical

6 UFABC-SBC

1.2 Translao Horizontal 1 TRANSLAO

1.2 Translao Horizontal

A translao horizontal envolve um procedimento com o domnio, deferente da translao vertical que tem a

imagem incrementada ou subtrada de um valor. Podemos tomar a funo sen(x) novamente e ver o que

acontece quando somamos aos valores da imagem e calculamos aps a soma no mais sen(x), mais sim

sen(x+ constante)

f(x+ constante)

. Na gura (1.3) pode-se repara que se a constante for positiva, o grco deslocado para a esquerda, e se a

constante for positiva o grco deslocado para a direita.

7 UFABC-SBC

1.2 Translao Horizontal 1 TRANSLAO

Figure 1.3: Translao horizontal

Observao 1. Como vimos a translao no altera o jeito da curva, mas altera suas razes na maioria das

vezes.

8 UFABC-SBC

2 HOMOTETIA

2 Homotetia

Ocorre quando temos uma compresso ou esticamento de uma determinada curva. Podemos ver a funo

f(x) = sen(x) plotada na gura (2.1).

2.1 Homotetia vertical

Ocorre quando alteramos a imagem com um produto, representada pela curva azul da gura (2.1). Esse tipo

de homotetia mantm a posio dos pontos mximos e mnimos, alm das razes se manterem iguais. Isso ocorre

quando aumentamos o volume sonoro de um aparelho de som, ou televisor. A curva ampliada se zermos

constante f(x)

Caso a constante multiplicadora for maior que 1 amplicamos a funo, se for menor que 1 diminumos a

amplicao.

9 UFABC-SBC

2.1 Homotetia vertical 2 HOMOTETIA

Figure 2.1: Homotetia vertical

10 UFABC-SBC

3 REFLEXO

2.1.1 Homotetia horizontal

Agora chegou a hora de achatar ou esticar a funo. Como esse procedimento est na direo x o que voc

meu caro amigo sugere que deveria mudar? Acredito que pensou no x pois este est na direo horizontal. A

curva vermelha realizou uma homotetia horizontal

f(constante x)

como a constante > 1, os valores foram adiantados na funo, por isso o encurtamento ocorreu.

3 Reexo

A reexo bem intuitiva, essa reexo se d ao redor dos eixos, mudando de quadrantes.

11 UFABC-SBC

3 REFLEXO

Fonte: http://migre.me/sSGo5

Figure 3.1: Quadrantes cartesianos

Para mudar simplesmente dos quadrantes que a imagem positiva (quadrantes 1 e 2 para quadrantes 3 e

4) podemos multiplicar a funo inteira por 1

12 UFABC-SBC

3 REFLEXO

Figure 3.2: Reexo ao redor do eixo x

Caso queiramos reetir ao redor do eixo y basta multiplicadora o domnio por 1.

13 UFABC-SBC

3 REFLEXO

Figure 3.3: Reexo ao redor do eixo y

14 UFABC-SBC

4 APLICAES

4 Aplicaes

Para aplicar o que foi meio jogado para voc meu amiguinho, vamos usar a sua dvida.

1. f(x) = sen(2x+ pi

3

)Ora, pelo que vimos, podemos pensar que essa funo ser dada por uma multiplicao do domnio por

uma constante homotetia horizontal , e logo aps, uma translao horizontal.

sen(x) Hom. hor.

sen(2x) Trans.Hor.

sen(2x+

pi

3

)O grco da funo

15 UFABC-SBC

4 APLICAES

Figure 4.1: sen(2x+ pi

3

)pode-se notar que a funo tem conjunto Im = [1, 1], o que confere com a funo seno que limitadade 1 a 1 .16 UFABC-SBC

4 APLICAES

2. g(x) = 1 + 2sen(x2 pi

6

)Esse caso podemos perceber que alm das alteraes feitas acima, foi somado uma unidade, logo esper-

amos tambm uma translao vertical.

sen(x) Homhor

sen(x

2

)

Transhor

sen(x

2 pi

6

)

Homvert

2sen(x

2 pi

6

)

Transvert

1+ 2sen(x2 pi6

)

17 UFABC-SBC

4 APLICAES

Figure 4.2: sen(x) Homhor

sen(x2

) Transhor

sen(x2 pi

6

)

18 UFABC-SBC

4 APLICAES

Figure 4.3: sen(x2 pi

6

) Homvert

2sen(x2 pi

6

) Transvert

1+ 2sen(x2 pi

6

)19 UFABC-SBC

4 APLICAES

Assim chegamos a curva.

20 UFABC-SBC

4 APLICAES

Figure 4.4: 1+ 2sen(x2 pi

6

)

21 UFABC-SBC

5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS

5 Mtodo encontrando alguns pontos

Vale lembrar que esse mtodo serve como guia, as funes trigonomtricas, polinomiais, exponenciais, logartmi-

cas entre outras tem uma curva padro, a partir dessas podemos ter uma ideia da cara da bixa. Mas temos que

ser malandros o suciente para saber onde essa curva vai tocar. Por exemplo, na funo g(x) = 1+2sen(x2 pi

6

)podemos facilmente encontrar onde g(x) = 0

g(x) = 0 1 + 2sen(x

2 pi

6

)= 0

1 + 2sen(x

2 pi

6

)= 0

2sen(x

2 pi

6

)= 1

sen(x

2 pi

6

)= 1

2

Basta lembrar do crculo trigonomtrico (gura (5.1)) , vericar para quais valores de x, sen(x) = 12, vimos

que em 7pi/6 ou 11pi/6 sen(x) assume valores de 12. Assim quando

x

2 pi

6=

7pi

6 x = 8pi

3

22 UFABC-SBC

5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS

e

x

2 pi

6=

11pi

6 x = 4pi

Com esse resultado sabemos onde a funo cruza o eixo x, agora basta saber o mnimos da funo e o mximo.

Como g(x) = 1+2sen(x2 pi

6

)a parcela 2sen

(x2 pi

6

)vai variar, lembrando que 1 sen(qualquer merda)

1 ,vemos que quando

sen(x

2 pi

6

)= maximo = 1 g(x) = 1 + 2 1 = 3

e quando

sen(x

2 pi

6

)= mnimo = 1 g(x) = 1 + 2 (1) = 1

O ponto xdo mximo

sen(x

2 pi

6

)= maximo = 1

x

2 pi

6=

pi

2

x =4pi

3

23 UFABC-SBC

5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS

esse valor indica que a primeira para cima do sen(x) estudado est antes da curva para baixo. Colocando os

pontos no grco temos

Figure 5.2: Montagem do grco

24 UFABC-SBC

5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS

A funo sen(x) oscila de uma forma padro, assim como no temos razes entre zero e o ponto B,

lembre-se que o ponto B representa a raiz da funo. basta traar a curva suavemente e manter o padro de

distncias.

Figure 5.3: Resultado

25 UFABC-SBC

5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS

Fonte: http://migre.me/sSJrd

Figure 5.1: Crculo trigonomtrico

26 UFABC-SBC

I Ideia centralTranslaoTranslao verticalTranslao Horizontal

HomotetiaHomotetia verticalHomotetia horizontal

ReflexoAplicaesMtodo encontrando alguns pontos