4.1 - Gráficos Média e Amplitude

Os gráficos   e   (média e amplitude) devem ser implementados

simultaneamente, pois as funções se complementam.

Objetivo: controlar a variabilidade do processo e detectar qualquer

mudança que aconteça.

Um processo pode sair de controle por alterações no seu nível ou na

sua dispersão. As mudanças no nível (média) e  dispersão

(variabilidade) do processo podem ser consequências de causas

especiais, gerando defeitos.

 

Cálculo dos limites de controle

Para as médias:

Limite Superior de Controle:

Linha Central:

Limite Inferior de Controle:

Para as amplitudes:

Limite Superior de controle:

Linha Central:

Limite Inferior de Controle:

Disposição dos pontos nos gráficos   e 

Tendo calculado as Linhas Centrais e os Limites Inferiores e

Superiores de Controle para os gráficos   e  , estamos em condições

de dispor os pontos que representam as médias amostrais (no

gráfico  ) e as amplitudes amostrais (no gráfico  ), respectivamente.

Para facilitar a análise dos resultados é também recomendável

colocar os gráficos um abaixo do outro e marcar os pontos

correspondentes a uma mesma amostra na mesma reta vertical.

 

Fase I: Aplicação dos gráficos   e 

Na Fase I, quando amostras preliminares são usadas para construir os

gráficos   e   é de costume tratar os limites de controle

obtidos como limites de controle teste. Eles permitem determinar se o

processo estava sob controle quando as m amostras preliminares

foram selecionadas. Para determinar se o processo estava sob

controle quando amostras preliminares foram coletadas podemos

plotar os valores de   e   de cada amostra nos gráficos e analisar o

resultado obtido. Se todos os pontos plotados estão dentro dos limites

e nenhum comportamento sistemático é evidenciado, então

concluimos que o processo estava sob controle no passado e os

limites de controle teste são adequados para controlar a produção

atual ou futura. É altamente desejável ter de 20 a 25 amostras ou

subgrupos de tamanho n (tipicamente n está entre 3 e 5) para

calcular os limites de controle teste. Podemos, é claro, trabalhar com

menos dados, porém os limites de controle não são tão confiáveis.

Suponha que um ou mais valores de   ou de   estejam fora de

controle quando comparados com os limites de controle teste.

Claramente, se os limites de controle para a produção atual ou futura

são significativos eles devem ser baseados em dados de um processo

que está sob controle. Entretanto, quando a hipótese de controle

passada é rejeitada é necessário revisar os limites de controle teste.

Isso é feito examinando cada um dos pontos fora de controle,

procurando por uma causa assinalável. Se uma causa assinalável é

encontrada, o ponto é descartado e os limites de controle teste são

recalculados usando somente os pontos remanescentes. Então, esses

pontos remanescentes são reexaminados para controle. (Note que os

pontos que estavam sob controle inicialmente podem agora estar fora

de controle, pois os limites de controle teste são geralmente mais

severos do que os antigos.) Esse processo continua até que todos os

pontos estejam sob controle, pontos para os quais os limites de

controle teste são adotados para uso atual.

Em alguns casos, pode não ser possível encontrar uma causa

assinalável para um ponto que caia fora de controle. Dessa forma, há

dois caminhos a tomar. O primeiro deles é eliminar o ponto caso uma

causa assinalável tenha sido encontrada. Não há nenhuma

justificativa analítica para escolher essa ação, a não ser a de que os

pontos que estejam fora dos limites de controle foram extraídos da

distribuição de probabilidade de uma característica de um estado fora

de controle. A alternativa então é manter o ponto (ou pontos)

considerando os limites de controle teste como apropriados para o

controle atual. É claro, se o ponto realmente não representa uma

condição de fora de controle, os limites de controle resultantes serão

muito largos. No entanto, se existe um ou dois desses pontos isso não

distorcerá o gráfico de controle significamente. Se amostras futuras

ainda indicarem controle então os pontos inexplicados podem

provavelmente ser retirados seguramente.

Ocasionalmente, os valores amostrais iniciais de   e   são plotados

contra os limites de controle teste e muitos pontos cairão fora de

controle. Claramente, se retirarmos arbitrariamente pontos fora de

controle teremos uma situação insatisfatória, com poucos dados

remanescentes para recalcular limites de controle confiáveis.

Suspeitamos que esse tipo de abordagem ignoraria muita informação

útil nos dados. Porém, procurar por uma causa assinalável para cada

ponto fora de controle é improvável obter sucesso. Achamos que

quando muitas amostras iniciais caem fora de controle contra os

limites teste, é melhor concentrar sobre um padrão formado por

esses pontos. Tais padrões quase sempre existirão. Geralmente, a

causa assinalável associada com o padrão de pontos fora de controle

é fácil de identificar. A remoção desse problema geralmente resulta

em uma melhoria no processo (principal).

Revisão dos Limites de Controle e Linhas Centrais

O uso eficaz de um gráfico de controle requer revisão periódica dos

limites de controle e das linhas centrais. Alguns práticos estabelecem

períodos regulares para rever e fazer revisões dos limites dos gráficos

de controle tais como toda semana, todo mês ou a cada 25, 50 ou

100 amostras. Ao revisar limites de controle devemos lembrar que é

altamente desejável usar pelo menos 25 amostras ou subgrupos

(algumas autoridades recomendam de 200 a 300 observações

individuais) no cálculo dos limites de controle.

Algumas vezes o usuário substitui a linha central do gráfico   

pelo valor alvo, digamos  . Se o gráfico   exibe controle pode ser

útil deslocar a média do processo para o valor desejado,

particularmente em processos onde a média pode ser mudada por

um simples ajuste de uma variável manipulável do processo. Se a

média não é facilmente influenciada por um simples ajuste do

processo, então é provável ser uma função desconhecida e complexa

de várias variáveis do processo e um valor alvo   pode não ser útil,

assim como o uso daquele valor poderia resultar em muitos pontos

fora dos limites de controle. Nesses casos, não saberíamos

necessariamente se o ponto estava realmente associado à uma causa

assinalável ou se foi plotado fora dos limites por causa de uma má

escolha para a linha central.

Quando o gráfico   está fora de controle, eliminamos os pontos fora

de controle e recalculamos um valor revisado de  . Esse valor é

então usado para determinar novos limites e linha central do

gráfico   e novos limites no gráfico  . Temos assim limites mais

severos (apertados) em ambos os gráficos, tornando-os consistentes

(com um desvio padrão   consistente) com o uso do   revisado na

relação  . Essa estimativa de  poderia ser usada como base das

análises preliminares da capacidade do processo.

Exemplo 4.1.1: Para aplicação dos gráficos   e   consideremos

dados correspondentes ao comprimento de peças em subgrupos de

tamanho 5.

Tabela 4.1.1: Dados amostrais de comprimentos de peças.

X1 X2 X3 X4 X5 R

0,65 0,7 0,65 0,65 0,85 0,7 0,2

0,75 0,85 0,75 0,85 0,65 0,77 0,2

0,75 0,8 0,8 0,7 0,75 0,76 0,1

0,6 0,7 0,7 0,75 0,65 0,68 0,15

0,7 0,75 0,65 0,85 0,8 0,75 0,2

0,6 0,75 0,75 0,85 0,7 0,73 0,25

0,75 0,8 0,65 0,75 0,7 0,73 0,15

0,6 0,7 0,8 0,75 0,75 0,72 0,2

0,65 0,8 0,85 0,85 0,75 0,78 0,2

0,6 0,7 0,6 0,8 0,65 0,67 0,2

0,8 0,75 0,7 0,8 0,7 0,75 0,1

0,85 0,75 0,85 0,65 0,7 0,76 0,2

0,7 0,7 0,75 0,75 0,7 0,72 0,05

0,65 0,7 0,85 0,75 0,6 0,71 0,25

0,9 0,8 0,8 0,75 0,85 0,82 0,15

0,75 0,8 0,75 0,8 0,65 0,75 0,15

0,75 0,7 0,85 0,7 0,8 0,76 0,15

0,75 0,7 0,6 0,7 0,6 0,67 0,15

0,65 0,65 0,85 0,65 0,7 0,7 0,2

0,6 0,6 0,65 0,6 0,65 0,62 0,05

0,5 0,55 0,65 0,8 0,8 0,66 0,3

0,6 0,8 0,65 0,65 0,75 0,69 0,2

0,8 0,65 0,75 0,65 0,65 0,7 0,15

0,65 0,6 0,6 0,6 0,7 0,63 0,1

0,65 0,7 0,7 0,6 0,65 0,66 0,1

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Etapas para a coleta das amostras e análise dos dados:

1. Seleção da característica de qualidade do processo, focada no

cliente.

2. Registro das observações obtidas seguindo os critérios de

amostragem racional. No exemplo foram escolhidos 5 itens por

hora, durante m = 25 horas.

3. Cálculo da média amostral   e da amplitude amostral  , para

cada i = 1, 2, …, m. Os valores de   e de   acompanham os

valores em cada coluna.

4. Cálculo da média das médias amostrais e da média das

amplitudes amostrais, os quais são indicados, respectivamente,

por   e  .

 

Para os dados do nosso exemplo temos:

m = Número de amostras = 25

n = Tamanho das amostras = 5

Vamos agora calcular os limites de controle. No Apêndice se

encontram os valores tabelados das constantes necessárias para o

cálculo, assim para n = 5 temos, A2 = 0,577;  D3 = 0 e D4 = 2,114.

Aplicando as fórmulas, obtemos:

Para a média:

Para a amplitude:

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse

exemplo.

Figura 4.1.1: Gráficos   e  .

O gráfico das amplitudes ( ) se encontra sob controle estatístico. No

entanto, o gráfico  apresenta um ponto a mais de 3 desvios padrão

da linha central, indicando uma possível causa especial de variação.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Fase II: Operação dos gráficos   e 

Uma vez que limites de controle confiáveis são estabelecidos, usamos

o gráfico de controle para monitorar a produção futura. Esta é a

chamada Fase II do uso do gráfico de controle.

Observando a Figura 4.1.1 notamos que os gráficos de controle

indicam que o processo está sob controle, até o valor   da amostra

15 ser plotado. Uma vez que esse ponto cai acima do limite superior

de controle, poderíamos suspeitar que uma causa assinalável tenha

ocorrido naquele instante ou antes. O padrão geral de pontos no

gráfico   de cerca de 38 subgrupos subsequentes é um indicativo de

um deslocamento na média do processo.

Uma vez que o gráfico de controle é estabelecido e está sendo usado

no monitoramentoonline do processo, muitas vezes tentaríamos usar

as regras de sensibilidade (oito testes de não aleatoriedade ou as

regras da Western Electric) para acelerar a detecção de mudanças.

Entretanto, desencorajamos o uso rotineiro dessas regras de

sensibilidade para o monitoramento online de um processo estável

porque elas fazem aumentar fortemente a ocorrência de falsos

alarmes.

Ao examinarmos os dados de um gráfico de controle é algumas vezes

útil construir um gráfico de corridas (run chart) das observações

individuais de cada amostra. Esse gráfico é algumas vezes chamado

de tolerance chart ou tier diagram e pode revelar algum padrão

nos dados ou mesmo mostrar que um valor particular de   ou   foi

produzido por uma ou duas observações incomuns na amostra. Um

boxplot é geralmente uma maneira muito simples de construir o tier

diagram.

 

Objetivos e interpretação dos gráficos   e 

A função dos gráficos é a de identificar/detectar qualquer evidência

de que a média do processo e sua dispersão não estejam operando a

níveis estáveis.

Se um ou mais pontos estão fora dos limites de controle (seja no

gráfico   ou  ) ou outro padrão de não aleatoriedade, existe um sinal

de alerta (ou indicador) de que o processo não está sob controle

estatístico.

Um dos objetivos da aplicação dos gráficos de controle é testar se um

processo, não conhecido, está sob controle estatístico ou não e, caso

o processo seja diagnosticado "fora de controle", orientar as ações

para levar o processo ao estado de controle. Para atingir tais

objetivos se procede da seguinte maneira:

1. Dispostos todos os pontos correspondentes às médias

amostrais e às amplitudes amostrais nos respectivos gráficos e

não existindo nenhum padrão de não aleatoriedade, o processo

é considerado "sob controle".

2. Se algum ponto fora dos limites de controle ou qualquer outro

padrão de não aleatoriedade é encontrado, consideramos que

causas especiais de variação estão presentes. Estas causas

deverão ser procuradas e corrigidas. Depois de corrigidas as

causas que determinam o padrão de não aleatoriedade, novos

limites e novas linhas centrais são calculadas, eliminando para

este cálculo os elementos da amostra que determinam o

padrão de não aleatoriedade. Este processo deverá ser

repetido, interativamente, até que nenhum padrão de não

aleatoriedade seja encontrado. Neste momento consideramos

que o processo atingiu o estado de controle. Com o processo

em estado de controle podemos aplicar os gráficos como

instrumento para monitorar o processo e realizar melhorias

contínuas.

Definindo Sinais "fora de controle"

A presença de um ou mais pontos além dos limites de controle é a

primeira evidência de uma causa especial de variação no processo.

Um ponto fora dos limites de controle em muitos casos significa que

um ou mais dos pontos seguintes ocorreram:

O limite de controle ou o ponto no gráfico pode ter sido calculado

errado ou plotado de maneira duvidosa;

O sistema de medição foi alterado, isto é, um avaliador diferente ou

instrumento;

O sistema de medição não discrimina de maneira apropriada.

Existem muitos critérios para identificar causas especiais. Os mais

usados serão discutidos a seguir. A decisão de qual critério usar

depende do processo que está sendo estudado/controlado. Em geral,

começamos de forma simples, apenas avaliamos pontos fora das

linhas de controle. Conforme ganhamos experiência sobre o processo

podemos aumentar os critérios para determinar mais causas

especiais de variação

Nota 1: Com exceção feita ao primeiro critério, os números

associados com os critérios não estabelecem uma ordem de uso. A

determinação de qual critério usar depende das características do

processo e das causas especiais e prioridades com o processo.

Nota 2: Devemos ter cuidado ao se aplicar muitos critérios, exceto

naqueles em que fez sentido o uso de determinado critério.

Portanto, concluiremos que um processo está fora de controle se um

ou mais dos critérios listados abaixo forem encontrados nos gráficos

de controle. Os critérios são:

1 ponto mais do que 3 desvios padrão a partir da linha central;

7 pontos consecutivos no mesmo lado da linha central;

6 pontos consecutivos, todos aumentando ou diminuindo;

14 pontos consecutivos, alternando acima e abaixo;

2 de 3 pontos consecutivos maior que 2 desvios padrão a partir da

linha central (mesmo lado);

4 de 5 pontos consecutivos maior que 1 desvio padrão a partir da

linha central (mesmo lado);

15 pontos consecutivos dentro de 1 desvio padrão da linha central

(qualquer lado);

8 pontos consecutivos maior que 1 desvio padrão a partir da linha

central (qualquer lado).

A seguir serão ilustrados alguns exemplos dos testes.

Figura 4.1.2: Exemplo de 1 ponto mais do que 3 desvios padrão da

linha central.

Figura 4.1.3: Exemplo de 7 pontos em sequência a partir da linha

central.

Figura 4.1.4: Exemplo de 14 pontos em sequência alternando-se ao

longo da linha central.

Figura 4.1.5: Exemplo de 2 de 3 pontos consecutivos, do mesmo lado

da LC, maiores que 2 desvios

padrão.

Figura 4.1.6: Exemplo de 7 pontos, em linha, crescentes.

 

A Função Característica de Operação

A habilidade dos gráficos   e   de detectar deslocamentos na

qualidade do processo é descrita por suas curvas características de

operação (CCO). A seguir apresentamos as CCO para gráficos usados

para monitorar a fase II de um processo.

Considere a CCO para um gráfico   com o desvio padrão   conhecido

e constante. Se a média desloca-se do valor sob controle, digamos   

para outro valor   a probabilidade de não detectar esse

deslocamento na primeira amostra subsequente ou risco   é dada por

Uma vez que   e os limites superior e inferior de controle

são

podemos reescrever a equação 4.1.1 como

em que   denota a função distribuição acumulada normal padrão.

Com isso, temos

Para ilustrar a equação 4.1.2 vamos supor um gráfico   com L = 3

(os limites usuais três sigma) e tamanho de amostra n=5. Queremos

determinar a probabilidade de detectar um deslocamento

para   na primeira amostra seguinte ao deslocamento.

Então, desde que L=3, k=2 e n=5 temos

Este é o risco   ou a probabilidade de não detectar o deslocamento.

Dessa forma, a probabilidade que esse deslocamento seja detectado

na primeira amostra subsequente é dada por

Para construir a CCO para o gráfico   devemos plotar o risco   contra

a magnitude do deslocamento que queremos detectar, expresso em

unidades (k) do desvio padrão, para vários tamanhos de amostra n.

Essas probabilidades podem ser calculadas diretamente da

equação 4.1.2.

Exemplo 4.1.2: Consideremos L=3, n variando de 2 a 10 e

diferentes valores para k obtemos as CCO apresentadas na Figura

4.1.7.

Figura 4.1.7: CCO para o gráfico   com limites 3-sigma.

Tabela 4.1.2: Valores de   para diferentes valores de k e n.

A Figura 4.1.7 indica que para tamanhos de amostras típicos de

quatro, cinco e seis o gráfico   não é particularmente eficiente em

detectar um deslocamento pequeno (da ordem de   ou menos) na

primeira amostra após deslocamento. Por exemplo, se o

deslocamento é de   e n=5, então da Figura 4.1.7 temos

que   aproximadamente. Assim, a probabilidade de que o

deslocamento seja detectado na primeira amostra é   

Entretanto, a probabilidade de que o deslocamento seja detectado na

segunda amostra é   enquanto que a

probabilidade de que ele seja detectado na terceira amostra

é  . Assim, a probabilidade de que o

deslocamento seja detectado na  -ésima amostra subsequente é

simplesmente ( ) vezes a probabilidade de não se detectar o

deslocamento em cada uma das   amostras iniciais, ou

Em geral, o número esperado de amostras tomadas antes que o

deslocamento seja detectado é simplesmente o average run

length (comprimento médio das corridas) ou 

Portanto, no nosso exemplo temos

Em outras palavras, o número esperado de amostras tomadas para

detectar o deslocamento de   com n=5 é 4.

A discussão acima fornece um argumento que dá suporte para o uso

de amostras de tamanhos pequenos para o gráfico  . Muito embora

tamanhos pequenos de amostras sempre resultam em um risco   

relativamente grande, uma vez que as amostras são coletadas e

testadas periodicamente existe uma boa chance de que o

deslocamento seja detectado razoavelmente rápido, talvez não na

primeira amostra seguinte ao deslocamento.

CCO para o gráfico   com limites 

Para construir a CCO para o gráfico   utilizamos a distribuição da

amplitude relativa   Suponhamos que o valor do desvio

padrão do processo original seja   Então, a CCO descreve a

probabilidade de não detectar um deslocamento para um novo valor

de  digamos   na primeira amostra subsequente ao

deslocamento. Contudo, para determinarmos a chance de que tal

deslocamento seja apanhado pelo gráfico   em uma única amostra,

devemos calcular a probabilidade de que uma amostra (por exemplo

de cinco itens) venha a ter uma amplitude menor ou igual ao LSC

(limite superior de controle). Assim, basta calcular

em que   e   uma constante tabelada no Apêndice.

A probabilidade de que   seja menor ou igual ao LSC é a mesma de

que   seja menor ou igual a   ou seja,

Podemos notar que para   as CCO apresentam probabilidades

muito próximas de 1 para   uma vez que nesses casos não há

limite inferior. Dessa forma, a probabilidade de não detectar um

deslocamento é dada pela equação 4.1.3. Para   o gráfico   com

limites   tem um limite inferior e então   é calculado como

Portanto, com os cálculos apresentados acima obtemos as CCO's para

o gráfico   para n variando de 2 a 10, como mostra a Figura 4.1.8.

Figura 4.1.8: CCO para o gráfico   com limites 3-sigma.

Tabela 4.1.3: Valores de   para diferentes valores de k e n.

Observando a Figura 4.1.8 podemos notar que o gráfico   não é

muito eficiente para detectar deslocamentos do processo para

tamanhos pequenos de amostras. Por exemplo, se o desvio padrão do

processo dobra (isto é,  ), que é um deslocamento

razoavelmente grande, então amostras de tamanho 5 têm somente

cerca de 40% de chance de detectar esse deslocamento em cada

uma das amostras subsequentes. Muitos engenheiros da qualidade

dizem que o gráfico   é insensível para deslocamentos pequenos ou

moderados para os usuais subgrupos de tamanhos n=4, 5 ou 6. Se n

> 10 ou 12, o gráfico   deveria ser usado ao invés do gráfico 

As CCO's das Figuras 4.1.7 e 4.1.8 assumem que os gráficos   e   

são usados para monitorar processos online, isto é, monitorar

processo na fase II. É ocasionalmente útil estudar a performance

estatística de um gráfico usado para analisar dados do passado (fase

I). Isto pode dar alguma indicação de como o número de subgrupos

preliminares usados para estabelecer o gráfico de controle afeta a

habilidade do gráfico em detectar condições de fora de controle que

pudesse existir quando os dados foram coletados. É de tais estudos

analíticos, assim como da experiência prática que a recomendação

para usar cerca de 20 a 25 subgrupos preliminares para estabelecer

os gráficos   e   faz sentido. 

 

Average Run Length (ARL) para o gráfico 

O Average Run Length é uma medida de equilíbrio do erro de Tipo I,

que representa o controle excessivo ou alarme falso ou então do erro

de Tipo II, que é o controle inadequado. É representado pelo número

de amostras esperada de subgrupos entre os sinais "fora de

controle". O Average Run Length pode ser expresso como

ou

para o ARL "sob controle", e

para o ARL "fora de controle".

Esses resultados são realmente intuitivos. Se as observações plotadas

no gráfico de controle são independentes, então o número de pontos

que devem ser plotados até o primeiro ponto exceder os limites de

controle é uma variável aleatória geométrica com parâmetro p. A

média dessa distribuição é simplesmente 1/p, que é o comprimento

médio das corridas (average run length).

Uma vez que é relativamente fácil desenvolver uma expressão geral

de   para o gráfico  detectar um deslocamento na média de   

(equação 4.1.2), então não é difícil construir um conjunto de curvas

ARL para o gráfico   A Figura 4.1.9 apresenta as curvas ARL para

amostras de tamanhos n=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 para o gráfico   

sendo o ARL dado em termos do número esperado de amostras

tomadas para detectar o deslocamento. Para ilustrar o uso da Figura

4.1.9 suponha que queremos detectar um deslocamento de 

usando uma amostra de tamanho n=3, então o número médio de

amostras requeridas será   Note também que se

quiséssemos reduzir o   para aproximadamente 1 deveríamos

aumentar o tamanho da amostra para n=16.

 

Figura 4.1.9: Average Run Length (amostras) para o gráfico   com

limites 3-sigma quando a média do processo desloca-se em 

Tabela 4.1.4: Valores de ARL para diferentes valores de k e n.

Os ARL's são objetos de algum criticismo como medidas de

performance para gráficos de controle. Notamos que a distribuição do

comprimento de corrida para um gráfico de controle de Shewhart é

geométrica e que ela pode ser uma distribuição muito assimétrica, tal

que a média (isto é, o ARL) pode não ser a melhor medida de um

típico comprimento de corrida. Há outra questão referente ao ARL

relacionada ao fato de que os cálculos para um gráfico de controle

específico são geralmente baseados em estimativas dos parâmetros

do processo. Isto resulta em inflação de ambos   e   Por

exemplo, suponha que a linha central do gráfico seja estimada

perfeitamente mas o desvio padrão do processo seja superestimado

em 10%. Isto resultaria em   consideravelmente mais

afastado do valor "teórico" ou nominal de 370. Agora, com um

processo normalmente distribuído, de maneira análoga vamos

subestimar o desvio padrão do processo em 10%, o que resulta em

um   um valor consideravelmente menor do que 370. A

média é então (268+517)/2=392,5 , sugerindo que erros ao estimar o

desvio padrão do processo resulta em ARL's superestimados.

Duas outras medidas de performance baseadas no ARL são algumas

vezes de interesse. Uma delas é o tempo médio até o sinal, dado pelo

número de períodos de tempo que ocorre até que um sinal seja

gerado no gráfico de controle. Se amostras são tomadas em

intervalos de tempo h (em horas), então o tempo médio até o

sinal ou ATS (average time to signal) é  dado por

Pode também ser útil expressar o ARL em termos do número

esperado de unidades individuais amostradas - digamos I - ao invés

do número de amostras tomadas para detectar um deslocamento. Se

o tamanho da amostra é n, a relação entre I e ARL é dada por

A Figura 4.1.10 apresenta um conjunto de curvas que descrevem o

número esperado de unidades individuais (I) que devem ser

amostradas para o gráfico   para detectar um deslocamento de   

Note que para detectar um deslocamento de   por exemplo, um

gráfico   com n=16 requer que aproximadamente 16 unidades sejam

amostradas, sendo que se o tamanho da amostra fosse n=3 ,

somente cerca de 9 unidades seria requerida, em média. 

Figura 4.1.10: Average Run Length (unidades individuais) para o

gráfico   com limites 3-sigma quando a média do processo desloca-

se em 

Tabela 4.1.5: Valores de I (unidades individuais) para diferentes

valores de k e n.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário

http://www.portalaction.com.br/content/41-gr%C3%A1ficos-m%C3%A9dia-e-amplitude