atividade 1. - iffmauricio.pbworks.comiffmauricio.pbworks.com/w/file/fetch/67898988/atividades...
TRANSCRIPT
Atividade 1.
Complete a tabela e responda as questões abaixo:
a b a2 b2 2ab (a + b)2 a2 + b2 a2 + 2ab + b2
0 1
1 2
-1 1
2 3
4 2
a) Podemos dizer que (a + b)2 é igual a a2 + b2? Justifique sua resposta.
b) Podemos dizer que (a + b)2 é igual a a2 + 2ab + b2? Justifique sua resposta.
c) Mostre algebricamente que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 para qualquer valor de a e b real.
Dica: use a propriedade distributiva.
d) Justifique geometricamente que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Atividade 2.
Complete a tabela e responda as questões abaixo:
a b a2 – 2ab b2 (a – b)2 a2 – b2 a2 – 2ab – b2 a2 – 2ab + b2
0 0
1 2
-1 1
2 3
1 0
0 1
a) Podemos dizer que (a – b)2 é igual a a2 – b2? Justifique sua resposta.
b) Podemos dizer que (a – b)2 é igual a a2 – 2ab – b2? Justifique sua resposta.
c) Podemos dizer que (a – b)2 é igual a a2 – 2ab + b2? Justifique sua resposta.
d) Mostre algebricamente que (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 para qualquer valor de a e b real.
e) Justifique geometricamente que (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Atividade 3.
Complete a tabela e responda as questões abaixo:
a b (a + b).(a – b) a2 – b2 a2 + b2 a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab – b2 a2 – 2ab + b2
0 0
1 2
-1 1
2 3
1 0
0 1
a) Podemos dizer que (a + b).(a – b) é igual a a2 – b2? Justifique sua resposta.
b) Podemos dizer que (a + b).(a – b) é igual a a2 + b2? Justifique sua resposta.
c) Podemos dizer que (a + b).(a – b) é igual a a2 + 2ab + b2? Justifique sua resposta.
d) Podemos dizer que (a + b).(a – b) é igual a a2 – 2ab – b2? Justifique sua resposta.
e) Podemos dizer que (a + b).(a – b) é igual a a2 – 2ab + b2? Justifique sua resposta.
f) Mostre algebricamente que (a + b).(a – b) = a2 – b2 para qualquer valor de a e b real.
g) Mostre geometricamente que (a + b).(a – b) = a2 – b2.
Resolvendo algumas equações do segundo grau por geometria.
1) x2 + 10x = 39.
2) x2 + 9x = 22
3) 3x2 + 15x = 108
4) – 2x2 – 24x + 26 = 0
5) x2 – 4x = 5
6) – x2 + 8x = 15
7) 2x2 + 10x = – 12
8) x2 +
x + 3 = 0
9) x2 + 4x + 4 = 0
10) x2 + 6x + 25 = 0
11) 5x2 + 4x – 105 = 0
12) ax2 + bx + c = 0, com a 0.
Bháskara e os problemas do segundo grau (problemas propostos por Bháskara).
1) De um enxame de abelhas, tome a metade, depois a raiz. Este grupo extrai o pólen de
um campo de jasmins. Oito nonos do todo flutuam pelo céu. Uma abelha solitária escuta
seu macho zumbir sobre uma flor de lótus. Atraído pela fragrância, ele tinha se deixado
aprisionar na noite anterior. Quantas abelhas havia no enxame?
2) De um bando de gansos, quando apareceu uma nuvem, dez vezes a raiz quadrada (do
total) foram para o lago de Manasa, um oitavo foi para a floresta coberta de hibiscos, e
três pares foram vistos brincando na água. Diz-me, donzela, o número de gansos no
bando.
3) Enraivecido numa batalha, Arjuna disparou uma quantidade de setas para matar Karna.
Com metade das setas desviou as setas do seu adversário; com quatro vezes a raiz
quadrada do total, matou o seu cavalo; com seis setas, matou o seu cocheiro Salya;
depois com três setas destruiu a proteção, o estandarte e o arco do seu inimigo; e com
uma seta, cortou a sua cabeça. Quantas setas Arjuna disparou?
4) Um bando barulhento de macacos se divertia. Um oitavo ao quadrado brincava no
bosque. Doze, os que sobraram, gritavam ao mesmo tempo, no alto da colina verdejante.
Quantos eram os macacos no total?
Dada a figura abaixo, mostre que a área do semicírculo 3 (de diâmetro AC) é igual a soma
das áreas dos semicírculos 1 e 2 (de diâmetros AB e BC, respectivamente), sabendo que
o triângulo ABC é retângulo em B.
Compare a área do triângulo ABC retângulo em B com a soma das áreas das lúnulas 1 e
2.
Pergunta 1. Qual é a chance de que pelo menos duas pessoas num ônibus com 44
passageiros façam aniversário no mesmo dia do ano?
Solução: Podemos reescrever isso do seguinte modo: num saco existem bolas
enumeradas com os números 1, 2, . . . , 365 (correspondentes aos dias do ano).
Retiramos a bola b1 e anotamos o número que apareceu. Devolvemos a bola ao saco e
efetuamos uma nova retirada, anotando novamente o número que aparece. Repetindo
este processo 44 vezes, obtemos uma lista com 44 números. Assim, a pergunta se
transforma em: de quantos modos diferentes podemos escolher 44 bolas enumeradas
com os números 1, 2, 3, . . . , 365 com reposição, tal que existam pelo menos duas bolas
com o mesmo número?
A primeira coisa que devemos fazer é calcular o espaço amostral, de todas as
possibilidades possíveis de resultado. Como escolhemos 44 bolas enumeradas num saco,
cada resultado possível é uma lista (n1, n2, . . . , n44) com 44 números. Observe que, pelo
princípio multiplicativo, o espaço amostral é 36544, pois temos 365 opções para escolher
n1, 365 opções para escolher n2, etc.
A segunda pergunta trata-se de saber quantos resultados são favoráveis, ou seja,
quantas são as escolhas tais que existam pelo menos duas bolas com o mesmo número.
Para isso é mais fácil contar quantas escolhas existem tais que os 44 números são
diferentes. Neste caso, devemos escolher uma ordenação de 44 números distintos entre
365. Isso corresponde à quantidade de arranjos de classe 44 num grupo de 365
elementos. Assim, concluímos que a probabilidade de que este evento ocorra é
( )
Pergunta 2. Num campeonato de futebol onde cada time joga a mesma quantidade de
jogos, cada vitória vale três pontos, o empate vale um ponto e a derrota nenhum ponto.
Em caso de empate, o critério de desempate entre as equipes era a seguinte:
A melhor equipe é aquela que tem mais vitórias.
Os organizadores decidiram passar a adotar o critério a seguir:
A melhor equipe é aquela que tem mais derrotas.
Você acha que este último critério adotado é justo?
Pergunta 3. Ao encontrar uma velha amiga ( A ), durante uma viagem de trem, um
matemático ( M ) tem a seguinte conversa:
(M) – Como vão os três filhos da senhora?
(A) – Vão bem, obrigada!
(M) – Qual a idade deles mesmo?
(A) – Vou lhe dar uma dica. O produto da idade deles é 36.
(M) – Só com essa dica é impossível!
(A) – A soma das idades deles é igual ao número de janelas deste vagão.
(M) – Ainda não sei!
(A) – O mais velho toca piano!
(M) – Agora eu sei!
Você é capaz de descobrir as idades dos três filhos da senhora?
Pergunta 4. Numa cesta encontram-se 9 moedas idênticas, sendo que oito delas têm o
mesmo peso e uma é mais leve que as demais. Usando duas vezes uma balança de dois
pratos, encontrar a moeda mais leve.
Pergunta 5. Numa mesa há 5 cartas:
R T 3 4 6
Cada carta tem de um lado um número natural e do outro lado uma letra. João afirma:
“Qualquer carta que tenha uma vogal tem um número par do outro lado”. Pedro provou
que João mente virando somente uma das cartas. Qual das cartas foi a que Pedro virou?
Pergunta 6. Quantas vezes precisamos dobrar um papel de 1mm de espessura para que
a altura da pilha chegue da Terra à Lua? E da Terra ao Sol?
Dados: distância da Terra à Lua é de 380.000 km e a distância da Terra ao Sol é de
150.000.000 km, aproximadamente.
Pergunta 7. Numa cidade existe uma pessoa X que sempre mente terças, quintas e
sábados e é completamente sincera o resto dos dias da semana. Felipe chega um certo
dia na cidade e mantém o seguinte diálogo com a pessoa X:
- Felipe: Que dia é hoje?
- X: Sábado.
- Felipe: Que dia será amanhã?
- X: Quarta-feira.
Em qual dia da semana foi mantido este diálogo?
Pergunta 8. Determine se é possível completar o preenchimento do tabuleiro abaixo com
os números naturais de 1 a 9, sem repetição, de modo que a soma de qualquer linha seja
igual a de qualquer coluna ou diagonal.
1 6
9
Pergunta 9. Descubra os valores de x de modo que seja possível completar o
preenchimento do quadrado mágico abaixo:
Pergunta 10. Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10 horas, uma torneira B
enche o mesmo tanque sozinha em 15 horas. Em quantas horas as duas torneiras juntas
encherão o tanque?
x
Pergunta 11. Imagine que você possui um fio de cobre extremamente longo, mas tão
longo que você consegue dar a volta na Terra com ele. Para simplificar a nossa vida e
nossas contas, vamos supor que a Terra é uma bola redonda (o que não é exatamente
verdade) sem nenhuma montanha ou depressão e que seu raio é de exatamente
6.378.000 metros. O fio com seus milhões de metros está ajustado à Terra, ficando bem
colado ao chão ao longo do equador. Digamos agora que você acrescente 1 metro ao fio
e o molde de modo que ele forme um círculo enorme, cujo raio é um pouco maior que o
raio da Terra e tenha o mesmo centro. Você acha que essa folga será de que tamanho?
Faça o mesmo para a Lua, sabendo que a Lua possui um raio de 1.738.000 metros. Qual
a conclusão que podemos obter?
Pergunta 12. Um viajante deseja se hospedar durante 31 dias num hotel. Entretanto,
percebe que está sem dinheiro e que a única coisa que possui é uma corrente com 31
elos de ouro. Para pagar sua conta, ele acertou com o gerente pagar um elo por dia, sem
atrasar ou adiantar o pagamento, durante os 31 dias. O gerente pode dar troco em elos.
Depois ele deseja recuperar a corrente e por isso ele quer pagar a conta cortando a
corrente no menor número de pedaços. Quantos cortes você conseguiria dar e pagar a
conta?
Pergunta 13. Passarinhos brincam em volta de uma velha árvore. Se dois passarinhos
pousam em cada galho, um passarinho fica voando. Se todos os passarinhos pousam,
com três em cada galho, um galho fica vazio. Quantos são os passarinhos?
Pergunta 14. Quanto medem as áreas A1 e A2 na figura abaixo, sabendo que o
quadrado tem lado 1 e as curvas são arcos de círculos com centros nos vértices V1 e V2
do quadrado, respectivamente.
Pergunta 15. Carlos e Cláudio são dois irmãos temperamentais que trabalham
carregando e descarregando caminhões de cimento. Para Carlos e Cláudio tanto faz
carregar ou descarregar o caminhão, o trabalho realizado por eles é o mesmo. Quando
estão bem, trabalham juntos e conseguem carregar um caminhão em 15 minutos. Cláudio
é mais forte e trabalha mais rápido conseguindo carregar sozinho um caminhão em 20
minutos.
a) Um dia Cláudio adoeceu e Carlos teve que carregar os caminhões sozinho. Quanto
tempo ele leva para carregar cada um?
b) Quando os dois brigam, Carlos costuma se vingar descarregando o caminhão,
enquanto Cláudio o carrega com sacos de cimento. Quanto tempo Cláudio levaria
para carregar o caminhão com Carlos descarregando?
DESAFIO DOS CINCO DÍGITOS
Existe um número de cinco dígitos no qual o quinto dígito é a metade do quarto e um
quarto do terceiro dígito. O terceiro dígito é a metade do primeiro e o dobro do quarto. O
segundo dígito é três vezes o quarto e tem cinco unidades a mais que o quinto. Qual é
esse número?
DESAFIO DO OVO
Você quer cozinhar um ovo em 2 minutos. Entretanto você só possui de dois relógios de
areia, um de cinco minutos e outro de três minutos. Como você poderia colocar o ovo
para cozinhar e tirá-lo dentro de dois minutos exatos?
DESAFIO DA CALCULADORA
Uma calculadora tem duas teclas: D, que duplica o número, e T, que apaga o algarismo
das unidades. Se uma pessoa escrever 1999 e apertar em sequência D,T, D e T, o
resultado será qual número?
DESAFIO DA BALANÇA
1. Uma bolsa tem 27 bolas de bilhar que parecem idênticas. É certo que há uma bola
defeituosa que pesa mais que as outras. Dispomos de uma balança com 2 pratos.
Demonstre que se pode localizar a bola defeituosa com somente três pesagens.
2. Você tem em suas mãos 12 moedas aparentemente idênticas, mas sabe que uma
delas, falsificada, tem massa ligeiramente diferente das demais e é mais leve! Usando
apenas uma balança de dois pratos, você conseguiria descobrir em três medições, qual
a moeda diferente?
DESAFIO DOS BÊBADOS
Dois amigos bêbados compraram 8 litros de vinho. Eles estavam caminhando, e na
metade do caminho, decidem separar-se, repartindo antes o vinho igualmente. Para
realizar as medidas há um barril de 8 litros (onde está o vinho), uma vasilha de 5 e outra
de 3 litros. Como eles podem fazer para repartir igualmente o vinho?
DESAFIO DO CHEQUE
Uma pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das
centenas. Por isso, pagou a mais a importância de R$270,00. Sabendo que os dois
algarismos estão entre si como 1 está para 2, calcule o algarismo, no cheque, que foi
escrito na casa das dezenas.
DESAFIO DOS TRIÂNGULOS
Existem n triângulos distintos com os vértices nos pontos da figura. Qual é o valor de n?
DESAFIO DO AUTOMÓVEL
Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco de trás.
calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel utilizando 7 pessoas, de
modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente.
DESAFIO DO AVÔ
Meu pai me contou que, em 1938, conversava com o avô dele e observaram que a idade
de cada um era expressa pelo número formado pelos dois últimos algarismos dos anos
em que haviam nascido. Assim, quando meu pai nasceu, qual era a idade do meu bisavô?
OS DADOS DE WHODUNNI
Grumpelina, a bela assistente do Grande Whodunni, colocou uma venda nos olhos
do famoso ilusionista. Uma pessoa da plateia jogou então três dados.
– Multiplique o número do primeiro dado por dois e adicione cinco – disse
Whodunni. – Então multiplique o resultado por cinco e some o número do segundo dado.
Finalmente, multiplique o resultado por dez e some o número do terceiro dado.
Enquanto ele falava, Grumpelina anotava os cálculos num quadro negro virado
para a plateia, de modo que Whodunni não conseguisse vê-lo, mesmo que a venda fosse
transparente.
– Quanto deu? – perguntou Whogunni.
– Setecentos e sessenta e três – disse Grampelina.
Whodunni fez estranhos passes no ar.
– Então os dados foram . . .
Quais? Como ele conseguiu?
DESAFIO DO 24
Forme o número 24 usando apenas os números 3, 3, 7, 7, uma vez cada. Você pode usar
as operações: adição, subtração, multiplicação e divisão, e também os parênteses, se
achar necessário.
O CURIOSO INCIDENTE DO CACHORRO
No conto “Silver Blase”, de Sherlock Holmes, escrito por sir Arthur Conan Doyle,
encontramos:
– Existe algum outro ponto para o qual você deseje chamar minha atenção?
– O cachorro não fez nada durante a noite.
– Esse foi o incidente curioso – comentou Sherlock Holmes.
Eis uma sequência:
1, 2, 4, 7, 8, 11, 14, 16, 17, 19, 22, 26, 28, 29, 41, 44
Levando em conta o comentário de Sherlock Holmes, qual é o próximo número da
sequência?
DESAFIO DO DINHEIRO
Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou 1 real a
mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na
primeira loja?
SOBRE O TEMPO
O jogo de números cruzados é igual ao de palavras cruzadas, só que usa números
em vez de palavras. Todas as instruções para o jogo estão ligadas ao tempo, sendo
precedidas pela frase “ o número de ...”.
HORIZONTAL
1. Dias em um ano normal
3. Minutos em um quarto de hora
4. Segundos em 1 hora, 24 minutos e 3
segundos
6. Segundos em 5 minutos
7. Horas em um ano normal
8. Horas em 4 dias
10. Dias em um ano bissexto.
VERTICAL
1. Dias no mês de outubro
2. Segundos em 1 hora e meia
3. Horas em uma semana
4. Horas em 20 dias e 20 horas
5. Horas em duas semanas
6. Segundos em 1 hora e 3 segundos
9. Horas em um dia e meio.
O PROBLEMA DE EUCLÍDES
Diz a lenda que o grande geômetra Euclides compôs o seguinte problema.
Uma mula e um burro estavam cambaleando pela estrada, cada qual carregando
vários sacos pesados idênticos. O burro começou a reclamar, soltando um terrível
grunhido, até que a mula se encheu.
– Do que você está reclamando? Se me der um saco, vou carregar o dobro de
sacos que você! E se eu lhe der um saco, carregaremos a mesma carga.
Quantos sacos o burro e a mula carregavam?
TRUQUE COM FÓSFOROS:
1. Remova exatamente dois fósforos, deixando dois triângulos equiláteros.
2. Dezesseis fósforos estão dispostos formando cinco quadrados congruentes. Movendo
exatamente dois fósforos, reduza o número de quadrados para quatro. Todos os fósforos
devem ser usados, e cada fósforo deve fazer parte de um dos quadrados.
3. Mude o sentido do peixe movendo exatamente 3 palitos.
4. Mude apenas 1 palito e torne a igualdade verdadeira.
5. Forme 5 triângulos equiláteros movendo exatamente 3 palitos.
6. Mova três palitos da composição abaixo para obter apenas três quadrados.
7. Retire somente três palitos da composição abaixo para obter apenas três quadrados.
8. Mova somente cinco palitos da composição abaixo para obter apenas três quadrados.
9. Mova somente dois palitos da composição abaixo para obter apenas cinco quadrados.
10. Mova apenas dois palitos para retirar o lixo da pazinha.
CÍRCULO MÁGICO
Na figura, temos três círculos grandes, e cada um deles passa por quatro círculos
menores. Coloque os números 1, 2, 3, 4, 5, e 6 nos círculos pequenos de modo que os
números de cada círculo grande somem 14.
TRIÂNGULO MÁGICO
Distribua os números de 1 a 6, de modo que a soma em todos os lados do triângulo seja
sempre 9. E sempre 10? E sempre 11? E sempre 12?
1. Seja √ √
√ √
. Mostre que x é um número natural.
2. Mostre que √ √
√ √
.
3. Mostre que √ √
√ √
√ √
√ √
.
4. Mostre que √ √
√ √
√ √
√ √
.
1) A figura abaixo mostra 11 circunferências iguais com raio 1 e a circunferência
circunscrita.
a) Calcule o raio da circunferência circunscrita a esse conjunto de circunferências.
b) A figura abaixo cabe dentro de um quadrado de lado 9?
2) Um fazendeiro, na safra passada, usou 12 camponeses para cortar sua plantação de
cana de 120 hectares. Os trabalhadores concluíram o serviço em 7 dias, trabalhando 6
horas por dia. Este ano, o fazendeiro plantou 180 hectares e precisa fazer o corte de
plantação em 5 dias. Com este objetivo, já fez um acordo com os trabalhadores para que
eles trabalhem 8 horas por dia. A equipe de 12 homens usada no anterior é suficiente?
Senão, quantas pessoas a mais devem ser contratadas?
3. Uma empresa realiza uma pesquisa para decidir as cores de seu novo logotipo,
formado por um triângulo equilátero dividido em outros 7 triângulos também equiláteros,
conforme a figura.
Cada um desses 7 triângulos deve ser pintado com uma cor, de modo que triângulos
adjacentes tenham cores diferentes, mas que o total de cores utilizadas seja no máximo
3. Caso sejam utilizadas 3 cores, uma delas deve ser usada exclusivamente no triângulo
central. (Para serem considerados adjacentes, dois triângulos devem ter mais de um
ponto em comum). Suponha que o total de cores disponíveis seja 5.
(a) De quantas maneiras distintas o logotipo pode ser pintado?
(b) Suponha que a pesquisa seja realizada da seguinte maneira: Começando em uma
segunda-feira, todo dia, exceto domingo, uma das opções fica exposta nas paredes da
empresa para apreciação. Que dia da semana terminará a exposição de todas as
opções?
4) Um pai deixou uma herança para seus filhos A, B e C, mas determinou que, distribuída
a herança:
i) A desse uma parte do que recebera a B e C, de modo que os legados de B e C
dobrassem;
ii) depois disso, B desse uma parte do que recebera a A e a C, de modo que os legados
de A e C dobrassem;
iii) finalmente, C fizesse o mesmo, de modo que os legados de A e B dobrassem.
Cumpridas as determinações do pai, os filhos verificaram que cada um ficara com 160 mil
reais. Qual fora o legado original de cada um?