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Área de uma Superfície de Revolução Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

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Área de uma Superfície de Revolução

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Área de uma Superfície de Revolução

1.Introdução

2.Resolução de Exemplos

3

1. Introdução

Uma superfície de revolução é formadaquando uma curva é girada ao redor de uma reta.Essa superfície é a fronteira lateral de um sólidode revolução.

Queremos definir a área da superfície derevolução de maneira que ela corresponda à nossaintuição. Se a área da superfície for A, podemospensar que para pintar a superfície serianecessário a mesma quantidade de tinta que parapintar uma região plana com área A.

4

1. Introdução

Vamos começar com algumas superfíciessimples. A área da superfície lateral de um cilindrocircular com raio r e altura h é tomada comoA = 2πrh porque podemos nos imaginar cortando ocilindro e desenrolando-o para obter um retângulocom as dimensões 2πr e h, como na figura abaixo.

5

1. Introdução

Da mesma maneira, podemos tomar um conecircular com a base de raio r e a geratriz l, cortá-lo ao longo da linha pontilhada na figura a seguir eachatá-lo para formar o setor de um círculo comraio l e ângulo central θ = 2πr/l.

6

1. Introdução

Sabemos que, em geral, a área de um setorde um círculo com raio l e ângulo θ é

212

A l= θ

Assim, nesse caso a área é

2 21 1 22 2

rA l l rl

l = = =

πθ π

7

1. Introdução

Que tal superfícies de revolução maiscomplicadas? Se seguirmos a estratégia queusamos com o comprimento de arco, podemosaproximar a curva original por um polígono.

Quando esse polígono é girado ao redor deum eixo, ele cria uma superfície mais simples, cujaárea da superfície se aproxima da área dasuperfície real. Tomando o limite podemosdeterminar a área exata da superfície.

8

1. Introdução

A superfície aproximadora, então, consisteem faixas, cada qual formada pela rotação de umsegmento de reta ao redor de um eixo. Paradeterminar a área da superfície, cada uma dessasfaixas pode ser considerada como uma porção deum cone circular, como mostrado na figura aseguir.

9

1. Introdução

A área da faixa (outronco de um cone), comgeratriz l e raios superior einferior r1 e r2, respectiva-mente, é calculada pela sub-tração das áreas dos doiscones:

( )2 1 1 1A r l l r l= + −π π

( )2 1 1 2A r r l r l = − + π

10

1. Introdução

Pela similaridade de triângulos temos

1 1

1 2

l l lr r

+=

o que resulta em

( )2 1 1 1 1 2 1 1 1 ou r l r l r l r r l r l= + − =

11

1. Introdução

Como

resulta em

( )2 1 1 2A r r l r l = − + π

[ ]1 2 ou 2A r l r l A rl= + =π π

onde

( )1 2 é o raio médio da faixa1

2

r r r= +

12

1. Introdução

Agora aplicamos essa fórmula à nossaestratégia. Considere a superfície mostrada nafigura a seguir, obtida pela rotação da curvay = f(x), a ≤ x ≤ b, ao redor do eixo x, onde f épositiva e tem uma derivada contínua.

13

1. Introdução

(a) Superfície de revolução

(b) Faixa de aproximação

14

1. Introdução

Para definir sua área de superfície,dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos comos extremos x0, x1, …, xn e larguras iguais a ∆x,como fizemos para determinar o comprimento dearco.

Se yi = f(xi), então o ponto Pi (xi, yi) estásobre a curva. A parte da superfície entre xi-1 e xipode ser aproximada tomando-se o segmento dereta Pi-1Pi e girando-o ao redor do eixo x.

15

1. Introdução

O resultado é uma faixa (um tronco de cone)com geratriz

1i il P P−=

e raio médio

( )1 2

12

r r r= +

16

1. Introdução

Portanto, a área da superfície pode serreescrita como

112 2

2i i

i i

y yA rl P P−

−+= =π π

17

1. Introdução

Relembrando a aula anterior

( ) 2*

1 1i i iP P f x x− ′= + ∆

onde xi* é algum número em [xi-1, xi]. Quando ∆x é

pequeno, temos yi = f(xi) ≈ f(xi*) e também

yi-1 = f(xi-1) ≈ f(xi*), uma vez que f é contínua.

18

1. Introdução

Portanto

( ) ( ) 2* *1

12 2 12

i ii i i i

y yP P f x f x x−

−+ ′≈ + ∆ π π

e então uma aproximação para a área da superfíciecompleta de revolução é:

( ) ( ) 2* *

1

lim 2 1n

i ini

f x f x x→∞ =

′+ ∆ ∑ π

19

1. Introdução

Essa aproximação torna-se melhor quandon → ∞ e, reconhecendo a expressão anterior comouma soma de Riemann para a função

[ ]2( ) 2 ( ) 1 ( )g x f x f x′= +π

temos

( ) ( ) [ ]2 2* *

1

lim 2 1 2 ( ) 1 ( )bn

i ini a

f x f x x f x f x dx→∞ =

′ ′+ ∆ = + ∑ ∫π π

20

1. Introdução

Portanto, no caso onde f é positiva e temuma derivada contínua, definimos a área dasuperfície obtida pela rotação da curva y = f(x),a ≤ x ≤ b, ao redor do eixo x como

[ ]22 ( ) 1 ( )

b

a

S f x f x dx′= +∫ π

21

1. Introdução

Com a notação de Leibniz para as derivadas,essa fórmula torna-se

2

2 1b

a

dyS y dx

dx = +

∫ π

22

1. Introdução

Se a curva é descrita como x = g(y), c ≤ y ≤ d,então a fórmula para a área da superfície torna-se

2

2 1b

a

dxS y dy

dy = +

∫ π

23

1. Introdução

Ou, de forma alternativa, as fórmulasanteriores podem ser resumidas simbolicamenteusando-se a notação para o comprimento de arcodada na aula anterior.

2S y ds= ∫ π

Pela rotação ao redor do eixo y, a fórmulada área da superfície se torna

2S x ds= ∫ π

24

1. Introdução

onde, como anteriormente, podemos usar

22

1 ou 1dy dx

ds dx ds dydx dy

= + = +

25

1. Introdução

Essas fórmulas podem ser lembradaspensando-se em 2πy ou 2πx como a circunferênciade um círculo traçada pelo ponto (x, y) na curva egirada ao redor do eixo x ou do eixo y,respectivamente.

(a) Rotação ao redor do eixo x (b) Rotação ao redor do eixo y

2S y ds= ∫ π 2S x ds= ∫ π

26

2. Resolução de exemplos

Exemplo 1: A curva

24 1 1y x x= − − ≤ ≤

é um arco do círculo x2 + y2 = 4. Determine a áreada superfície obtida pela rotação desse arco aoredor do eixo x. (A superfície é uma porção de umaesfera de raio 2, conforme mostra a figura aseguir).

27

2. Resolução de exemplos

28

2. Resolução de exemplos

Temos

( ) ( )1 22

2

14 2

2 4

dy xx x

dx x

−= − − = −

29

2. Resolução de exemplos

Portanto:

21

1

2 1dy

S y dxdx−

= +

∫ π

1 22

21

2 4 14

xS x dx

x−

= − +−∫π

1 2 22

21

42 4

4x x

S x dxx−

− += −−∫π

30

2. Resolução de exemplos

12

21

42 4

4S x dx

x−

= −−∫π

]114S x

−= π

[ ]4 (1) ( 1) 8S = − − =π π

31

2. Resolução de exemplos

Exemplo 2: O arco da parábola y = x2 de (1, 1) para(2, 4) é girado ao redor do eixo y. Determine aárea da superfície resultante.

32

2. Resolução de exemplos

Solução 1:

2 e 2dy

y x xdx

= =

33

2. Resolução de exemplos

Portanto:

22

1

2 1dy

S x dxdx = +

∫ π

22

1

2 1 (2 )S x x dx= +∫π

22

1

2 1 4S x x dx= +∫π

34

2. Resolução de exemplos

Substituindo u = 1 + 4x2, temos du = 8x.

22

1

12 1 4 8

8S x xdx= ⋅ +∫π

1717 173 32 2

555

24 4 3 6

S u du u u = = = ∫

π π π

Quando x = 1, u = 5, e quando x = 2, u = 17.

( )17 17 5 56

S = −π

35

2. Resolução de exemplos

Solução 2:

1 e

2

dxx y

dy y= =

36

2. Resolução de exemplos

Portanto:

24

1

2 1dx

S x dydy = +

∫ π

24

1

12 1

2S y dy

y

= +

∫π

4

1

12 1

4S y dy

y= +∫π

37

2. Resolução de exemplos

4

1

4 12

4y

S y dyy+= ∫π

4

1

12 4 1

2S y y dy

y= ⋅ +∫π

4

1

4 1S y dy= +∫π

38

2. Resolução de exemplos

Substituindo u = 1 + 4y, temos du = 4dy.

Quando y = 1, u = 5, e quando y = 4, u = 17.

4

1

4 1 44

S y dy= + ⋅∫π

4

14S u du= ∫

π

( )17 17 5 56

S = −π

39

2. Resolução de exemplos

Para verificar nossa resposta no Exemplo 2,veja pela figura abaixo que a área da superfíciedeve ser próxima à área de um cilindro circularcom a mesma altura e raio na metade entre o raiosuperior e o inferior da superfície.

( )17 17 5 5 30,856

S = − ≈π

2 (1,5) (3) 28,27S = ⋅ ⋅ ≈π

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2. Resolução de exemplos

Alternativamente, a área da superfície deveser ligeiramente maior que a área de um tronco deum cone com as mesmas bordas superior e inferior

( )17 17 5 5 30,856

S = − ≈π

2 2 (1,5) ( 10) 29,80S rl= = ⋅ ⋅ ≈π π

41

2. Resolução de exemplos

Exemplo 3: Determine a área da superfície geradapela rotação da curva y = ex, 0 ≤ x ≤ 1, ao redor doeixo x.

42

2. Resolução de exemplos

Solução:

e x xdyy e e

dx= =

43

2. Resolução de exemplos

Portanto:

21

0

2 1dy

S y dxdx = +

∫ π

12

0

2 1 ( )x xS e e dx= +∫π

12

0

2 1 x xS e e dx= +∫π

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2. Resolução de exemplos

Substituindo u = ex, temos du = ex dx.

2

1

2 1e

S u du= +∫π

Quando x = 0, u = 1, e quando x = 1, u = e.

Lembrando que:

( )22 2 2 2 2 2ln

2 2u a

a u du a u u a u C+ = + + + + +∫

45

2. Resolução de exemplos

2

1

2 1e

S u du= +∫π

( )1

2 2

0

12 1 ln 1

2 2

xx x xe

S e e e

= + + + +

π

( ) 12 2

01 ln 1x x x xS e e e e = + + + +

π

( ) ( )2 21 ln 1 2 ln 1 2S e e e e = + + + + − − +

π