aplicaÇao de equaÇÕes integrais a conduÇÃo do · aplicaÇÃo de equaÇÕes integrais a...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

APLICAÇAO DE EQUAÇÕES INTEGRAIS A CONDUÇÃO DO

CALOR TRANSIENTE COM RADIAÇAO E

CONVECÇÃO COMBINADAS

Dissertaçao submetida ã Universidade

Federal de Santa Catarina para a obtenção

do Grau de Mestre em Engenharia.

MANOEL LUIZ GONZÃLEZ

Dezembro, 1978

- 11 -

APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES INTEGRAIS A CONPUÇAO DO

CALOR TRANSIENTE COM RADIAÇAO E CONVECÇÃO COMBINADAS

MANOEL LUIZ GONZÃLEZ

Esta dissertação foi julgada para a obtenção

do titulo de MESTRE EM ENGENHARIA

na especialidade: Engenharia Mecânica, na área de Con

centração: Termotécnica, e aprovada em sua forma f^

nal pelo Curso de Pós-Graduação.

Pro£. Sérgio Colle, D"! Sc. - Orientador

í^rof. Arno Blass , Ph. D . - Coordenador

Apresentada perante a banca examinadora composta por:

Prof. Hyppolito do Valle Pereira F’ , Ph.D.

Prof. Rogério Tadeu da Silva Ferreira, Ph.D,

Pro£. Narciso Angel Ramos Arroyo, M. Sc.

- 11A p l i c a ç ã o d e Eq u a ç õ e s I n t e g r a i s Â Co n d u ç ã o do

Ca l o r T r a n s i e n t e com Ra d i a ç ã o e Co n v e c ç ã o Co m b i n a d a s

MAWOEL LUIZ GOhlIÂLEI

Esta dissertação foi julgada para a obtenção

do titulo de

MESTRE EM ENGENHARIA

na Especialidade: Engenharia Mecânica, na área de

concentração: Termotécnica , e aprovada em sua for

ma final pelo Curso de PÓs-Graduação.

/Apresentada perante^ banca exjjn-i-na^õTã eroTnppsta por:

Prof. Rtígerio Tadeu da Silva Ferreira, Ph.D

Prof. Narciso An/el Ramos Arroyo, M. Sc.

- 111 -

Ofe r e c i m e n t o :

A m in ha esposa,

a minhas filhas,

a meus pais.

- IV -

AGRADECIMENTOS:

- a Universidade Federal de Santa Catarina na

pessoa do Prof. Arno Blass, pela oportunidade proporcionada.

- ao Prof. Sérgio Colle, pela orientaçao.

- a Pontifícia Universidade Católica do Rio

Grande do Sul pelo apoio financeiro parcial.

- ao Centro de Processamento de Dados da Un£

veraidade Federal do Rio Grande do Sul, pela disponibilidade de

computador} sem a qual teria sido impossível concluir este urab^

lho.

- a todos os amigos e colegas, em especial os

da Ãrea de Termotécnica, que contribuíram, de alguma forma, para

a realização deste trabalho.

- a meus pais, pelo apoio.

- a minha esposa e filhas, pela paciência e re

signaçao.

- V -

S U M Á R I O

1 - INDRODUÇÃO - 1

2 - FORMULAÇÃO DOS PROBLEMAS - 7

3 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA DA CONDUÇÃO DO CALOR TRANSIENTE COM 0 AUXÍLIO

DO TEOREMA DE GREEN E DA FUNÇÃO DE GREEN FUNDAMENTAL - 20

4 - ESQUEMA NUMÉRICO PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS - 35

5 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA DO CILINDRO - 41

6 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA DO PRISMA - 61

7 - ANÃLISE DOS RESULTADOS - 79

8 - CONCLUSÃO E SUGESTÕES - 92

9 - BILBIOGRAFIA - 94

APÊNDICE I - 96

LISTA DE FIGUMS E TABELAS

- VI -

FIGURA 2-1 ; Geometria para o problema do cilindro

FIGURA 2-2 ; Geometria para o problema do prisma

FIGURA 2-3 : Geometria para o fator de forma F

FIGURA 3-1 : Região regular no espaço-tempo

FIGURA 5-1 : Ângulos para o cálculo do fator de forma

FIGURA 5-2 : Comparaçao das soluções (Bi=0.1;r=0.0)

FIGURA 5-3 : Comparação das soluções (Bi=0.1;r=1.0)


FIGURA 5-5 ; Comparação das soluções (Bi=*1.0;r=1.0)


FIGURA 5-7 : Comparação das soluções (Bi=4.0;r=l.0)

FIGURA 5-8 : Energia dissipada Q/Qq para o cilindro com Bi=0.1

FIGURA 5-9 : Taxa de calor/taxa de calor inicial para o cilindro com Bi=0.1

FIGURA 5-10: Energia dissipada Q/Qq para o cilindro com Bi=1.0

FIGURA 5-11: Taxa de calor/taxa de calor inicial para o cilindro com Bi»=1.0

FIGURA 5-12: Energia dissipada Q/Qq para o cilindro com Bi=4.0

FIGURA 5-13: Taxa de calor/taxa de calor inicial para o cilindro com Bi«4.0

FIGURA 5-14: Isotermas para o cilindro (Fo=0.02)



9

11

24

42

49

49

50

50

51

51

52

52

53

53

54

54

58

59

60

8

- vil -

FIGURA 6-1 :

FIGURA 6-2 :

FIGURA 6-3 :

FIGURA 6-4 :

FIGURA 6-5 :

FIGURA 6-6 :

FIGURA 6-7 :

FIGURA 6-8 :

FIGURA, 6-9 :

FIGURA 6-10:

FIGURA 6-11:

FIGURA 6-12:

FIGURA 6-13 :

FIGURA 6-14:

FIGURA 6-15:

FIGURA 6-16:

FIGURA A-l :

FIGURA A-2 :

FIGURA A-3 ;

LISTA DE FIGURAS E TABELAS - CONTINUAÇÃO

Concordância dos lados da seção do prisma-

Comparaçao das soluções (próximo ao centro;Bi=0.1)

Comparaçao das soluções (próximo ao canto;Bi=0.1)

Comparaçao das soluções (próximo ao centro;Bi=l.0)

Comparaçao das soluçoes (próximo ao canto;Bi=1.0)

Comparação das soluções (próximo ao centro;Bi=10.0)

Comparação das soluções (próximo ao canto;Bi=10.0)

Energia dissipada Q/Q^ para o prisma com Bi=0.1

Taxa de calor/taxa de calor inicial para o prisma com Bi=0.1


Taxa de calor/taxa de calor inicial para o prisma cora Bi“1.0


Taxa de calor/taxa de calor inicial para o prisma com Bi»10.0

Isotermas para o prisma (Fo=0.01)

Isotermas para o prisma (Fo=0.05)

Isotermas para o prisma (Fo= 0.3)

Geometria com o invólucro

Balanço térmico no elemento A^

Geometria sem o invólucro

TABELA 5-1 : Resultados para o cilindro (Fo=0.02)

TABELA 5-II : Resultados para o cilindro (Fo=0.2)

TABELA 5-III: Resultados para o cilindro (Fo=0.7)

TABELA 6-1 : Resultados para o prisma (Fo=0.01)

TABELA 6-II : Resultados para o prisma (Fo=0.05)

TABELA 6-III: Resultados para o prisma (Fo=0.3)

62

67

67

68

68 69

69

70

70

71

71

72

72

76

77

78

97

97

97

55

56

57

73

74

75

- V I J 1 -

S I M B O L O G I A

Bi ■ --- numero de Biot

C - calor específico

div - o perador divergente

{ E } - vetor dos erros para o método de Newton-Raphson

Ej^(z) - integral exponencial de z

- vetor unitário na direção dos tempos

F - fator de forma

F - taxa de troca de calor

Fo - número de Fourier

g(x,t|x^,t^) - funçao de Green com polo em (x^,t^)

grad - operador gradiente

h - coeficiente de troca de calor por convecção

h* - distância da placa ao plano central do c^

lindro ou prisma

- funções de Bessel de ordem zero e um

k - condutividade térmica

L - operador condução de calor

- IX -

L* - operador adjunto formal do operador condu

çao do calor

<L,u> - ação de L sobre u

í* - semi-largura da placa

n - vetor unitário normal exterior

Q - c a l o r dissipado

q(x,t) - geraçao interna de calor

Ri “ —— -— — ”-- - número de radiaçao

E. - região adimensional correspondente a R*

R* - região regular

r “ r*/r * - coordenada radial adimensional o

r* - coordenada radial

r * - raio do cilindro o

R“ - todo o espaço n-dimensional

S - fronteira de R

S* - fronteira de R*

T “ T*/Too* - temperatura adimensional

- temperatura inicial, adimensional

Tp - temperatura da p 1aca ,adimensional

T* - temperatura

- temperatura inicial

Tp* - temperatura da placa

Too* - temperatura do meio ambiente

t " t*a/r^*^ - tempo adimensional, ou número de Fourier

t* - tempo

V - volume

- X -

j w I - matriz das derivadas para o metodo de Newton-

Raphson

X - abcissa, adimensional

X* - abcissa

x^* - largura do prisma

X - vetor n-dimensional

y - ordenada, adimensional

y* - ordenada

y^* - altura do prisma

a -difusi v i d a d e t i r m i c a

ASj - elemento de ordem j da fronteira

6 (x - x^) - distribuição Delta de Dirac, com polo em x^

L - emissividade hemisférica total

0 - coordenada angular

Ô - diferença de temperatura adimensional

X - autovaloresnp - massa específica

a - constante de Stefan-Boltzmann

0 - coordenada angular

- operador Laplaciano sobre as coordenadas esp^

ciais

ST ~- derivada parcial da temperatura em relaçao a

normal exterior ã superfície

- XI -

R E S U M O

0 presente trabalho trata da aplicaçao de equ£

çoes integrais à solução de problemas bidimensionais de condução

do calor transiente, em meios homogêneos e isotrópicos, sob cond^

ções de contorno de radiaçao e convecção. Ê apresentado o proced^

mento de obtenção da equação integral a partir da equaçao diferen

ciai da condução do calor, com o auxílio do teorema de Green e da

função de Green fundamental. É mostrado o desenvolvimento de um

esquema numérico de solução que resulta em um sistema de equações

não lineares, definidas no contorno da região em análise. 0 sist£

ma de equações é resolvido pelo método de Newton - Raphson. 0 m£

todo i testado pela comparaçao com as soluçoes analíticas para £

ma região circular e para uma região retangular, sujeitas a con

vecção com coeficiente de troca de calor constante. Sao obtidos

resultados para as mesmas regiões sujeitas a troca de calor por

convecção com o ambiente e por radiação com uma placa isotérmica,

para vários valores do numero de Biot e do numero de radiação.

- Xll -

A B S T R A C T

This work deals with the application of integral

equations to the solution of transient heat conduction problems

in homojgeneous and isotropic media with radiative and convective

boundary conditions.

It is presented the procedure to obtain an integral

equation from the heat conduction differential equation, using the

Green's theorem and the fundamental Green's function.

It is shown the development of a numerical method

to solve the integral equation, which gives rise to a non-linear

equation system. This system is solved by the method of Newton-

Raphson .

The method is applied to an infinite circular cilinder

and to an infinite rectangular prism, both subjected to a constant

convective heat transfer coefficient. The results are compared

with exact solutions, showing good agreement.

Results are obtained to the same solids subjected

also to radiative heat exchange with an infinite isothermal strip

and with the surroundings.

- 1 -

INTRODUÇÃO

0 problema nao linear em condução do calor foi abo_r

dado sob o ponto de vista de equações integrais jã em 1959, por

Chambre, conforme Ozisik^. 0 problema resolvido foi o da condução

do calor em uma região semi-inf inita, definida por 0 < x < oo , ^

nicialmente a temperatura zeró, e, para tempos maiores que zero,

submetida a uma condição de fronteira em x = 0, dada pela lei da

radiação de Stefan-Boltzmann. Chambre transformou a equação dif£

rencial da condução do calor em uma equaçao integral nao linear ,

singular, do tipo de Volterra, por meio da transformada de Laplace,

usando a integral de convoluçao para a inversão do produto da tran£

formada de Laplace de duas funções. Para remover a singularidade.

Chambre efetuou uma mudança de variáveis de integraçao, e escre^

vendo a equação integral sob a forma de uma relaçao de recorren.

cia, aplicou o método das substituições sucessivas para a obten

ção do resultado numérico.

0 uso prático da funçao de Green fundamental em con

junto com a segunda formula de Green para a solução de problemas

de condução do calor foi provavelmente introduzido por Jawson em

- 2 -

1963, e bons resultados numéricos foram obtidos por Symm, porém £

penas para a equação de Laplace, para vários problemas bidimensio^

nais, conforme Chang, Kang e Chen^.

Em 1964, Tolubinskiy^ formalizou um método de solu

ção para problemas transientes de transferência de calor e massa

sob a hipótese do conhecimento da funçao de Green fundamental. A

presentou um estudo de diversos problemas a valores no contorno

para uma classe compreensiva de regiões, construindo uma equaçao

integral. Mostrou também que esta equaçao integral pode ser reso^

vida pelo método das aproximaçoes sucessivas e examinou sua cori

vergência, porém sem apresentar resultados numéricos.

Em 1967 , Crosbie e Viskanta** resolveram o problema

da condução do calor transiente unidimensional em uma placa subme^

tida a aquecimento ou esfriamento por convecção e radiação comb^

nadas. A equação diferencial da condução do calor foi transform^

da em uma equação integral nao-linear do tipo de Volterra pelo

so da transformada de Laplace e do teorema da convoluçao. 0 nét£

do adotado para a solução da equaçao integral foi o método das ^

proximações sucessivas. As dificuldades encontradas com singulari^

dades no decorrer das integrações numéricas foram resolvidas pelo

uso da fórmula da soma de Poisson e pela aplicaçao da fórmula de

integração de Gauss modificada. Os valores iniciais para o método

das aproximações sucessivas foram obtidos pelo método das inte£

secções, e foi ressaltado que a convergência das aproximaçoes d^

pende fortemente desses valores iniciais. Diversos resultados n^

miricos mostrando boa concordância com resultados de soluçoes ex£

- 3 -

tas foram apresentados.

Em 1973, Chang, Kang e Chen^ apresentaram um estudo

de aplicação da função de Green fundamental a problemas de condu

ção do calor em meios isotrõpicos e anisotropicos. A função de Green

fundamental foi definida (sic) de acordo com a teoria clássica do

potencial e com a teoria das equações diferenciais parciais. Com

o auxilio da formula de Green, a equaçao diferencial da condução

do calor foi transformada em uma equação integral. As singularida

des surgidas nessa equação integral foram isoladas com o auxílio

de propriedades da funçao de Green fundamental. A equação inte

gral foi particularizada para duas dimensões e problemas com tem

peratura prescrita na fronteira foram resolvidos para tres geome

trias: cilindro, prisma de seçao quadrada e cilindro oco. Os re

sultados foram comparados, em casos cuja solução analítica é co

nhecida, mostrando boa concordância, exceto para intervalos de tem

po muito pequenos.

Ainda em 1973, Shaw^ apresentou um mitodo de solu

ção de problemas de condução do calor em meios homogêneos e iso

trópicos, com fontes de calor internas e condições de contorno ar

bitririas, incluindo não-1ineares. A equação diferencial da condu

ção do calor foi transformada em uma equação integral pelo uso

de soluções fundamentais e com o auxílio da fórmula de Green. Foi

resolvido um problema específico, para um cilindro seccionado por

um plano paralelo ao eixo longitudinal, submetido a fluxo de ca

lor constante ou linear na face curva e a temperatura prescrita

na face plana. Os resultados foram comparados com soluçoes anal^

- 4 -

ticas para ujn solido semi-inf inito e para a parede infinita.

Em todos 0 8 trabalhos analisados a equaçao diferen

ciai da condução do calor é transformada em uma equaçao integral.

A vantagem obtida dessa transformaçao, reside no fato do problema

ficar reduzido a determinaçao de valores desconhecidos apenas na

fronteira da região em questão. Como pode ser visto na sequencia

deste trabalho, a equaçao integral incorpora em si todas as cond^

ções de contorno e inicial, e i resolvida, por um processo itera^

tivo, apenas para pontos da fronteira. Os valores de temperatura

para os pontos internos, pertencentes à região, sao obtidos por

integração numérica, fazendo uso da solução explícita obtida pela

fórmula de Green.

Em relação aos métodos numéricos usuais de solução

de problemas de condüçao do calor, por exemplo: diferenças fin^

tas, o método integral apresenta a vantagem de ser resolvido em

um número de pontos bem menor. Tome-se, como exemplo, o problema

bidimensional de um prisma longo de seçao quadrada. A divisão dos

lados do quadrado em duas partes, gera uma malha de nove pontos

na região, onde atuam os métodos usuais, mas gera oito pontos na

fronteira, onde se aplica o método integral. A divisão dos lados

do quadrado em quatro partes gera vinte e cinco pontos na região,

mas apenas dezesseis pontos na fronteira. A divisão dos lados em

oito partes gera oitenta e um pontos na região, mas apenas trinta

e dois pontos na fronteira. Isto indica que quanto mais fina for

a malha de pontos, maior será a diferança entre o número de equa_

çoes necessárias aos métodos usuais e ao presente metodo. Este

- 5 -

fato i particularmente influente em geometrias complicadas^.

Sob o ponto de vista de precisão, o método integral

só apresenta discrepâncias para intervalos de tempo muito pequ£

nos, requerendo, nesses casos, soluçoes assintóticas. Porém, ne£

sas condiçoes, a solução pelos métodos numéricos usuais também é

difícil^. Outras discrepâncias sao também introduzidas quando a

fronteira da região em análise contiver cantos vivos, ou se a con

dição de contorno apresentar descontinuidades. Estas discrepancy^

as podem ser reduzidas pelo "arredondamento" dos cantos® ou pelo*uso da funçao de Green incompleta, quando a mesma for disponível .

Embora a teoria do uso da funçao de Green fundamen^

tal na solução de problemas de condução do calor tenha sido bem

desenvolvida nos trabalhos analisados, a aplicaçao prática da me£

ma restringiu-se a problemas simples, unidimensionais ou bidime_n

sionais, com condições de contorno lineares. Apenas no trabalho

de Chang^ foi analisada uma geometria com presença de cantos(prÍ£

ma longo de seçao quadrada), porém sob condiçoes de temperatura

prescrita na fronteira.

No presente trabalho, o método de equações integrais

é aplicado a problemas de condução do calor em duas geometrias

- um cilindro de seçao circular e um prisma de seçao retangular-

sob condições de contorno de convecção e radiaçao combinadas.E£

sa aplicaçao tem por objetivos verificar a convergencia do método

de equações integrais para problemas nao-1ineares, preconizada

mas não testada por Chang^ e Shaw^, e verificar a influência da

- 6 -

troca de calor por radiação com corpos vizinhos e com o meio enIvolvente com grandes diferenças de temperatura, caso em que a hi

pótese da linearizaçao da radiaçao através de um coeficiente de

convecção equivalente não e aceita.

As geometrias analisadas foram escolhidas por serem

usuais na pratica. Alem disso, praticamente qualquer geometria po

de ser obtida pela combinaçao de seçoes circulares com seções re

tas, com ou sem a presença de cantos vivos.

0 mitodo de equações integrais i aplicado também ao

problema da condução do calor com condiçoes de contorno lineares,

mais exatamente, convecção com coeficiente de transferência de ca

lor constante. Tal aplicação permite uma boa avaliaçao dos resul

tados do mitodo de equações integrais, pois a solução analítica

para esse tipo de problema é disponível, tanto para o caso do ci

lindro de seçao circular^ como para o caso do prisma de seçao re

tangular ' °.

- 7 -

FORMULAÇÃO DOS PROBLEMAS

Neste trabalho, são resolvidos problemas de condu

ção do calor transiente em um cilindro longo de seçao circular e

em um prisma longo de seçao retangular submetidos a troca de ca

lor por convecção com o meio ambiente e por radiação com uma pia

ca isotérmica e com o meio ambiente. As geometrias dos dois pro

blemas sao mostradas na figura 2~1 e 2~2.

Ambos os problemas sao resolvidos sob as seguintes

hipõte ses:

a) o material que constitui os solidos e isotropico

e homogêneo;b) os sólidos são suficientmente longos para que a

influência das extremidades possa ser desprezada, bem como a co^

dução axial; com isto, o problema se torna bidimensional;

c) as propriedades físicas do material sao consta^

tes;d) os sólidos nao possuem fontes internas de calor;

e) a troca de calor por convecção com o meio ambie^

te se dã com coeficiente de troca de calor por convecção constante ;

- 8 -

OItOz□üoo<2UJ-Jmooca.

<oc<a<5 ►- lAl 2 Ò UJ6

<K3e

- 9 -

<

109(Taoo<2UJ_JODoQCa

<ac

í<£HUi2OID0

Òj1(V

s3O

- 10 -

f) a troca de calor por radiaçao com a placa isote£

mica se dã de acordo com a lei de Stefan-Bo1tzmann, com o fator

de forma F entre a placa e um elemento da superfície do sólido,

ASj ;

g) a troca de calor por radiaçao com o ambiente se

da tambim de acordo com a lei de Stefan-Bo1tzmann, mas com fator

de forma (1-F) (ver Apendice 1).

A figura 2-3 mostra a geometria para o cálculo do

fator de forma.

A equação diferencial da condução de calor para o

cilindro, sob as hipóteses consideradas, escrita em coordenadas

polares, é dada por*'.

1 3 3T* \ 1 1 9T*r* ^ 9r* r*2 302 a 3t* (2-la)

definida em

R*0 r* $ r *

, t* > 0 (2-lb)0 ^ 0 2it

onde

T* E T*(r*, 0, t*) . (2-lc)

A condição inicial para o problema i dada por

T*(r*, e, 0) = T^* (2-2)

- 11 -

FteURA 2-5 : 6E0METRIA PARA 0 FATOR DE FORMA F

- 12 -

constante em toda a região R* , para t* = 0

A troca de calor por radiaçao e convecção na super^

fície do cilindro fornece a condição de contorno (ver Apend^

ce I) :

0

3T*9r* -h(T* - Too*) - aefT*'’- F T *‘*-(l-F) Toc*“*P (2-3a)

-•k — r *o

onde h é 0 coeficiente de troca de calor por convecção. 0 termo

(1-F) Too*** representa o calor trocado por radiaçao com o meio am

biente. A condição de contorno é definida em:

r *oS * == ' , t*>0 (2-3b)

0 í: 0' s: 2 TT

Assim, as expressões (2-1), (2-2) e (2-3) definem o

problema a valores no contorno para a condução do calor transien

te no cilindro. E necessário ressaltar que e i obrigatoriamente £

gual a unidade (ver Apêndice I).

Para fácil generalizaçao de resultados, é convenien

te colocar o problema em uma forma adimensional. Para tanto, defj^

ne-se as variáveis adimensionais :

, coordenada radial adimensional (2-4)

t*g■ * 2 , tempo adimensional, ou modulo de Fourier (2-5)

- 13 -

T*Too* , temperatura adimensional (2-6 )

A temperatura adimensional e definida dessa forma

por conveniência na adimensionalizaçao da condição de contorno,co

mo esta mostrado adiante.

Para a troca de variáveis na equação e na condição

de contorno, calcula-se:

r r * — (T Tc»*)_ o 9r dr*dr _ 1 9 9T. Tco*

1 9^T* 1 9 T Too*(2- 8 )

1 3T* _ 1 3 .T, T, *'> dt ^ 1 3t Too*a 9T Tqq* a It^ " a 3t ~ dt* a 3t r„*^ gt r * (2-9)

3r* 3r dr 3r r(2-10)

Substituindo (2-7) a (2-9) em (2-la) e (2-4) a (2-6 )

em (2-lb), obtêm-se a equaçao diferencial da condução do calor

transiente escrita em variáveis adimensionais:

(2-lia)

definida em

0 $ 0 í: 2ttt > 0 (2-llb)

- 14 -

ondeT S T(r, 0, t) (2-llc)

-se ;

Substituindo (2-6) na condiçao inicial (2-2), obtem

T (r, 0, 0) = T, (2 - 1 2 )

constante em toda regiao R em t = 0.

Substituindo (2-10) na condiçao de contorno (2-3a)

e (2-4) a (2-6) em (2-3b) obtém-se:

= - Bi (T-1) - Ri [t “* - F Tp** - (1-F) (2-13a)

definida em

S = <r = 1

,t > 0 (2-13b)

e onde

Bi (2-14)

é numero de Biot e

Ri (2-15)

é o número de radiação para esfriamento“*, e onde e e igual a un^

dade. A definição desse parâmetro adimensional e possível graças

a adimensionalização adotada para a temperatura, equaçao (2-6).

- 15 -

Âinda:

é a temperatura adimensional da placa.

Assim, o problema a valores no contorno da condução

do calor transiente no cilindro, escrito em variáveis adimensio^

nais e definido pelas expressões (2-11), (2-12) e (2-13).

A equaçao diferencial da condução do calor para o

prisma sob as hipóteses consideradas, escrita em coordenadas ca£

tesianas, é dada por'^:

3^T* ^ I 3T*3x*^ 3y*^ a 3t* (2-17a)

definida em

R* = <- x */2 < x < X */2o o

- y */2 < y < y */2v. O o

, t* > 0 (2-17b)

onde

T* E T* (x*, y*, t*) (2-17c)

A condição inicial para o problema é dada por:

T* (x*. y*, 0) = T^* (2-18)

constante em toda a região R* para t* = 0.

- 16 -

A troca de calor por radiaçao e convecção na supe_r

fîcie do prisma da a condiçao de contorno:

3T*3n* - h (T* - Too*) - ae

S*T*“* - F Tp*“ - (1-F) Too*“'; (2-19a)

onde 3T*/3n* é a derivada Ja temperatura na direção da normal ex

terior a superfície, em cada ponto. Essa derivada pode ser identi^

ficada ao longo das superfícies do prisma por:

3T* 3T* 3n* ° 3y*

3T*3n*

3T*375-

3T*3n*

3T*3y*

3T* 3T* 3n* " " 3x*

em Si* = <

em S2

em S3A =s <

em Si,* = <

- Xq*/2 < X* < Xq*/2

y* = - yo*/2

X* = Xo*/2

- yo*/2< y* '< yo*/2

- Xo*/2 í; x *^ Xq*/2

y* = yo*/2

x* = - x^ * / 2

- yo*/2 y* < yo*/2

(2-19b)

(2-19c)

(2-19d)

(2-19e)

Assim, as expressões (2-17), (2-18) e (2-19) defj^

nem o problema a valores no contorno para a condução do calor tran

siente no prisma. Aqui também é obrigatório que e seja igual a u

nidade.

Para fãcil generalizaçao dos resultados, e conven^

ente colocar o problema era uma forraa adimensional. Para tanto, de

fine-se as variáveis adimensionais:

- 17 -

X’x.

X.

= abcissa adimensional

= ordenada adimensional

(2-20a)

(2-20b)

t*a

T*Too*

tempo adimensional, ou módulo de Fourier

temperatura adimensional

(2-21)

(2-22)

Para a troca de Variáveis na equaçao e na condição

de contorno, calcula-se:

9^T* 99x*2 9x L9x dx'

dx _ 9^T Too* dx* 9x'

(2-23)

9^T* 99y*^ 9y L9y dy

dy ^ Too* dy* 9y' xo*'

(2-24)

a 9t* a 9t dt* a 9t x^*^ 9t x^*^ (2-25)

^ (T Too*)9n* dn9T Tco*

dn* 9n x ,*(2-26)

Substituindo (2-23) a (2-25) em (2-17a) e (2-20) a

(2-22) em (2-17b) obtém-se a equaçao diferencial da condução do C£

lor transiente adimensional, escrita em coordenadas cartesianas:

- 18 -

9T (2-27a)

definida em(2-27b)

onde = yQ*/x^*, e:

(2-27c)

tem-se;

Substituindo (2-22) na condição inicial (2-18), ob

T(x,y,0) =

constante em toda a região R em t = 0'

Substituindo (2-26) na condição de contorno (2-19a)

obtém-se:

^ - Bi ( T - D - Ri T “ -. FT “ - (l-F) l dn p (2-29a)

onde 9T/9n é a derivada da temperatura adimensional na direção

normal a superfície em cada ponto. Fazendo uso de (2-20) a (2-22)

em (2-19b) a (2-19e), pode-se identificar essa derivada ao longo

das superfícies do prisma por:

9T 9T3n 3y em Si

- 1/2 <c X < 1/2

(2-29b)

- 19 -

9n 3x

3T3n 3y

3n3T

em S2

em S.

em Si* =

X = 1/2

- Yo /2 < y < y^/2

- 1/2 < X 1/2

y = yo/2

X = - 1/2

- yo/2 < y < yo/2

(2-29c)

(2-29d)

(2-29e)

Nos cantos do prisma, a derivada normal da temperat^

ra apresenta uma descontinuidade. Tal fato é examinado adiante.

Na condição de contorno (2-29a),

Bi h xo* k (2-30)

ê o numero de Biot e

Ri O e (2-31)

i c número de Radiação para o esf r iamen to ** , e onde e i igual a unj^

dade. Ainda:

Tp - K (2-32)

é a temperatura adimensional da placa.

Assim, o problema a valores no contorno para a cond^

ção do calor transiente no prisma, escrito em variáveis adimensi£

nais, e definido pelas expressões (2-27), (2-28) e (2-29).

- 20 -

SOLUÇÃO DO PROBLEMA DA CONDUÇÃO DO CALOR TRANSIENTE

COM 0 AUXÍLIO DO TEOREMA DE GREEN E DA FUNÇAO

DE GREEN FUNDAMENTAL

A solução de problemas a valores no contorno para a

condução do calor transiente pode scr obtida por diversos mctodos,

analíticos e numéricos. Entre os métodos de solução analíticos p^

de-se citar a separaçao de variáveis, o uso de integrais particii

lares, a transformada de Laplace, as soluçoes combinadas por s^

perposiçao ou de Duhamel, a transformaçao de variáveis^^, e a

transformação integral^. Entre os métodos numéricos pode-se citar

o das diferenças finitas, em suas diversas formulações^^ e o mét£

do mais recente dos elementos finitos.

Porém, todos os métodos citados sofrem grandes limi

taçoes quando as condiçoes de contorno sao do tipo de (2-3a) ou

(2-19a), isto é, não lineares. Nesse caso, os métodos analíticos

citados nao podem ser usados e os métodos numéricos são limitados

pela generalizaçao da geometria.

Como esta mostrado neste capítulo, o método integral

não sofre limitações devido a nao-linearidade das condiçoes de con

torno. Porém, essa não-linearidade provoca o aparecimento de ejc

pressões complicadas, que só podem ser integradas numericamente'.

Para a obtenção da solução dos problemas de cond^

ção do calor propostos, necessita-se do teorema de Green para o £

perador da condução do calor e da solução fundamental, ou funçao

de Green fundamental, para a equaçao diferencial da condução do

calor.

0 operádor da condução do calor é definido por^:

L - (3-1)

- 21 -

onde

para duas dimensões em coordenadas cartesianas, ou

= — — (r — ) + — __ (3-3)r 3r 3r r^ 302

para duas dimensões em coordenadas polares.

0 adjunto formal do operador condução do calor é d£

do por^

L* = - - V' (3-4)

Este operador é auto-adjunto, segundo o produto in

- 22 -

terno:

<' Lu,v >‘ (Lu)v dxR

isto e :< Lu,v > = < u, L*v > (3-5)

onde u e V sao duas funções com derivadas continuas até a segunda

ordem em e com derivada contínua em t.

Pode-se provar que^:

v Lu - u L*v = div j (3-6)

ondej = u V - (v g ra d u - u gra d v) (3-7)

0 operador grad atua somente nas variáveis espaciais

e é um vetor unitário na direção do eixo do tempo.

0 teorema de Green é a forma integral de (3-7)^:

(v Lu - u L*v) dR =

n . [e^ u V + u grad v - v grad u] dS (3-8)

onde R é uma região no espaço-tempo, S sua fronteira, dR é um ele^

mento de volume no espaço-tempo e dS um elemento de sua fronteira;

n é o vetor unitário normal exterior a S.

- 23 -

Para os problemas propostos, îl é uma regiao no espa

ço-tempo, corn forma de um cilindro semi-inf inito, formado pela r£

giào IR no piano, definida por (2-llb) ou (2-27b), e pelo eixo dos

tempos, para t > 0, como mostra a figura (3-1). Ainda, iR é uma r_e

giao regular - regiao aberta cujo bordo i constituído de segmen

tos de superficies regulares, isto i, segmentos contínuos onde em

cada ponto está definida a normal.

Porem, para a aplicaçao do Teorema de Green, neces

sita-se do cilindro finito: x £ R , 0 < t < x onde T i um númeio

positivo qualquer, que desaparecerá ao final da análise. A iron

teira do cilindro consiste de três partes[vide figura (3-1) :a b^

se x G R, t = 0; a base x £ R , t = T e a superfície lateral

X G S, 0 < t < T. Na base t = 0, a normal ao cilindro i na dir£

çao - e^ enquanto que na base t = T, ë na direção e ,. Na superf^

cie lateral do cilindro, a normal ao cilindro coincide com a no£

mal a S, fronteira de R. Nessas condiçoes, pode-se escrever:

V Lu - V^udt

u L*v =! u

n . e ^ u v = ± u v

, 8vn . u grad v = 3n

3un . V grad u = v —d n

- 24 -

R

S

FI0ÜRA 3-1: REOIÄO REGULAR NO E8PAC0-TEMPO

- 25 -

Substituindo os resultados acima na fórmula de Green,

equaçao (3-8), vem:

dt0 R 3t

dt , 9v 3u V 3Í-'' 3S> (3-9)

que e a forma do teorema de Green para o operador condução do ca_

lor definido no cilindro da figura (3-1).

Para a utilizaçao dessa expressão na solução do pro^

blema da condução do calor transiente u i feita igual a distribuj^

ção de temperatura, solução procurada para os problemas definidos

por (2-11), (2-12), (2-13) e (2-27), (2-28), (2-29). Os dois pro

blemas podem ser colocados sob a forma geral^:

= q(x,t), X em R, t > 0 (3-10)

onde q(x,t) representa a geração interna de calor adimensional. A

condição inicial e dada por

u(x,0) = f(x),x em R , (3-11)

onde f e uma funçao conhecida e continua em R e a condição de con

torno e dada por

9u

- 26 -

= h(u,up), X em S, t>0, (3-12)S

sendo h uma funçao conhecida e u^ uma temperatura fixa, por exem

pio, a temperatura do meio ambiente.

Ainda na expressão do teorema de Green, v será fei^

ta igual a uma função de Green apropriada. Tal funçao e a função

de Green fundamental, ou solução fundamental, para o adjunto f°X

mal do operador condução do calor. Por definição^, essa solução

fundamental i a solução g*(x,t | ,t^) do problema:

3t - V g*(x,t!Íq ,to) = ô (x -Xq ) 6(t-to),

para todo x, x^ em R = ~ ^ (3-13)

g*(x,t |x^,to) = 0, t > tg, X, Xq em R = (3-14)

onde

6 é a distribuição Delta de Dirac^

(xQ,tp) é chamado polo da solução g*

Rjj é todo o espaço de n dimensões, e

X = (x^, .... Xj )

- 27 -

No presente trabalho, n = 2, mas o desenvolvimento

i valido para o espaço n-dimensional.

Por outro lado, seja g(x,t|xQ,tQ) a solução funda

mental para o operador condução do calor, isto ê, a solução do

problema:

3t - V g(x,t|ÍQ,to) = <S(x-Xo) 6(t-to),

x ,Xq em R = Rjj < t, t„ < (3-15)

g(x,t|xo,to) = 0, t<to , x ,X q em R = R^ (3-16)

Aplicando o teorema de Green a g e g* de maneira

conveniente encontra-se que:

g* (x,tlxo,to) = g (xo,to|x,t) (3-17)

Além disso pode-se provar^ que a solução fundamen

tal de (3-15), (3-16) coincide, para t>t^, com a solução do pro^

blema de valor inicial:

91 - V' g (x,t |x^, t^) = 0 , t>t, (3-18)

lim g(x,t[xo,to) = 6(x - X ) (3-19)t->-t

- 28 -

Aplicando agora o teorema de Green, expressão (3-9)

a u, solução de (3-10), (3-11) e a g(í^ , t^jí,t), solução de(3-13).

(3-14), c o m t^ < T, o b t é m - s e :

d tR

9u „2.3t - V^u

- u

U g ( x , t I X ,t ) dx + t=0 R

u g ( x ^ , t ^ x,t) dx +t=T

rT+ dt dS u

0 Sa g ( X o > t o |x,t) _ í t)g(.Xo,to X,t;3 n (3-20)

mas :,T

d t d X0 R

g(Xo.to|í,t) 9u9t -

rt,dt

Rdx q ( x , t ) g ( x ^ , t ^ x,t) (3-21)

e :

■Td t dx < - u

0 RX, t)

- 29 -

ftodt dx <

0 R- u [5(x-x^) ô(t-t^)

pelas propriedades da distribuição Delta de Dirac. Ainda:

- [u g(í ,t |x,t)j dí = - R t = 0

u(x,0) g(x^,t^ x,0)dx (3-23)

e :

u g(x ,t |x,t)] dx = 0 R ° ° t=T

(3-24)

pois, de (3-14):

g(5o,to i.t) E 0 , t > t^

Lembrando que, de (3-12) e (3-11)

3u3n h (u,u^) e u (x,0) = f (x)

e substituindo nò teorema de Green, expressão (3-20), vem:

dtR

dx q(x,t) g(x^,t^lx,t) - u(x^,t^) =

•Rf(x) g(x^,t^ x,0) dx +

■ o u(x,t)+ dt dS0 S 3n o o (3-25)

- 30 -

Rearranjando essa expressão, e lembrando que o ter

mo de geraçao de calor q(x,t) é ausente nos problemas aqui aborda

dos , obtém-se:

g(x^,t^|í,0) di + R

dt dS h(u,u^) - u(x,t) (3-26)

Este resultado nao mais contém x e é valido para to

do x^ em R e todo t^>0. Para colocar a solução em uma forma pa

drao^ intercambiam-se os índices (x,t), (x^,t^), obtendo-se:

t) = ) g(x,R

rt+ dt 1 dS g(x,t

0 J S9g(x,t|xo.to)

o’ o o’ o 3n (3-27)

que é a forma integral correspondente ao problema de condução do

calor dado por (3-10), (3-11), (3-12) com geraçao de calor nula,

isto é, q(x,t) = 0.

Para a aplicaçao dessa equaçao, necessita-se conhe^

cer a funçao de Green fundamental g (x ,t|x^,t^). Aplicando a tran^

formada de Fourier em (3-13), (3-14) sobre as coordenadas espac^

ais, obtém-se ’ :

- 31 -

(3-28)4n(t-to)

onde n é o número de coordenadas espaciais e

R" = (x - x„)2 (3-29)

Para duas dimensões, em coordenadas cartesianas ob

tem-se :

e(x V t X V t ) = exp[- R V 4(t-to), g(x,y,t Xo,Yo,to; ATT t-to) (3-30)

ondeR^ = (x-x„)" + (y-Yo) (3-31)

Para duas dimensões, era coordenadas polares obtem-se;

f c A \ exp [-R^/4(t-1o)] „»Vg (r , 6 , t I r Q , 0Q , t^ ) - 47T(t-to)

onder 2 = + ro' -2r r„ cos(0-e„) (3-33)

Para verificar se essas soluçoes satisfazem (3-18),

sao calculadas :

g(x y t X v t ) = ^o)l9t S^x,y,t Xo,yo,to) 4Tr(t-to) 4(t-to)^(3-34)

g(x,y,t|xo,y to) =exp[-R^/4(t~to)]

0*^0.>-0^ 47r(t-to)(x-xo)'

>(t-to) 2 2(t-to)(3-35)

- 32 -

_/- *.1 exp[-R^/A(t to)g^^’y ’^'l^o.yo.to) = 4ïï(t-to)

(y-yp)^ -

A(t-t„) 2 2(t-to) (3-36)

Por substituição direta, vê-se que a solução (3-30)

satisfaz (3-18), e o mesmo pode ser constatado para (3-32).

E ficil ver que g(x,t]xQ,tQ) se torna singular em

X = X q e t = tg. Devido a isto, os polos deverão ser isolados em

determinados cálculos. Para tanto, sao examinadas algumas proprj^

edades da funçao de Green fundamental.

Para x->x pode ser mostrado^, tomando o limite,que:

1 imx-^

g(5,t|5Q,to) dto = g(i,x^) (3-37)

onde g(x,x^) i dada por

g(x,Xo) = - 2 ttInR (3-38)

para duas dimensões, onde R é dado por (3-31) ou (3-36).

Seja e o raio de uma pequena superfície esférica p^

ra três dimensões, ou o raio de um pequeno círculo para duas di

mensões, envolvendo o ponto x na região R e seja S^ essa pequena

superfície (ou linha). Pode ser facilmente mostrado^ que:

■ 33 -

1 ime^O S,

g(x,t |xQ,to) dSg = Ü' (3-39)

e que

1 im£-►0 0

dt. 3n gCx.tlx^.t^) dSg. = 1 (3-40)

Se o polo surge na fronteira S da regiao R, pode-se

isolá-lo por uma pequena superfície hemisférica para três dimen

soes, ou um semi-círculo para duas dimensões, com raio c e centro

no polo, dado por x„ , e obter^:

1 ime->0 0

dt. 8n g(Xj,,t XQ jtp) dS l2

(3-41)

Assim, na solução u(x,t) dada por (3-27), quando

x-+x„ , com o auxílio de (3-41), pode-se escrever:

f(x q ) g (Xg,tIXog,to) dx +R

dt, dS g(xg,tIxo„,to) h ( u , U o ) -

- u(xo^,to) 9g(^s>*^ xog.to)3n (3-42)

que é a solução para os pontos que pertencem a fronteira S de

A solução (3-42) para os pontos da fronteira, junta.

- 34 -

mente com a equaçao de condição de contorno (3-12) sao suficien

tes para determinar os valores desconhecidos na fronteirs,u(x ,t)se 3 u ( x , t ) / 9 n .s

Note-se que as integrais na região em (3-42) e (3-27)

sao funções conhecidas. Assim, o conhecimento de u(x ,t) e 9u(x ,t)/3n nas sfronteira possibilita o cálculo de u(x,t) para toda região por sim

pies integraçao.

Portanto, o problema fica reduzido a fronteira S de

ÇR, e sua solução i obtida sobre um numero bem menor de pontos do

que a solução obtida por métodos numéricos usuais, como está c£

mentado.no capítulo 1 deste trabalho.

- 35 -

4 - ESQUEMA NUMERICO PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS

A transformação da equaçao diferencial da condução

transiente do calor em equaçao integral reduz o trabalho de solu

ção apenas aos pontos da fronteira da região em análise.

Todavia, a complexidade das funções a serem integr^

das em (3-42) obriga o uso’ de métodos numéricos de integraçao.

Este fato sugere a utilizaçao de um esquema numérj^

co de solução da equaçao (3-42) para a fronteira S de R.

Para tanto a fronteira é dividida em N elementos.

ça-se i=l,2..... N denotar os pontos nodais primários, resultan

tes dessa divisão, e j=l,2,..., N denotar os pontos nodais secun

dários.

Ainda, em funçao das propriedades da funçao de Green

fundamental examinadas anteriormente, pode-se admitir que (3T/9n)g

e (T), variem muito lentamente em comparaçao com (g) e (9g/3n) resS b -pectivamente. Tal hipótese permite a aplicaçao do Teorema da Médj^

- 36 -

a para Integrais Múltiplas . Assim, pode-se admitir que (dT/dn)^

e (T) sejam constantes em cada elemento da fronteira e remove- slos para fora da integral no contorno.

Para poupar espaço em memória de computador a inte

graçao no tempo pode ser efetuada passo a passo', isto e,

T(x .,y .,t ) pode ser calculada a partir de T(x -,y .,t _^),ohde s X SI m s 1. s 1. m j,m=l,2,3,... denota os pontos nodais no tempo. Assim,ainda de aco£

do com o Teorema da Media, pode-se retirar (3T/3n) e (T) paras sfora da integral no tempo.

Nessas condiçoes, a equaçao dos valores na frontei

ra (3-42), pode ser escrita na forma algébrica':

, N /9T^ j=l\3n AS.J

A. .

- 2 1, (T),, B. . + 2 F. j=l 'ASj ij 1 (4-1)

onde :

F . - (4-2)

A. .iji-m

dt'm-1 AS.

B. . = J-J tm-1

- 37 -

onde g i dada por (3-30) ou (3-32). Note-se que'para m = 0 , a temp^

ratura é a temperatura inicial dada por (3-11).

A integraçao de A^j e em relaçao ao tempo pode

ser efetuada^ obtendo-se:

4ttAS

R<dS(x’s, y’,) (4-5)

Bij1 Í Dg2¥j

ASj ^dS(x's, y-3 ) (4-6)

onde E] (z) é a integral exponencial, dada por

E^(z) . - Vdv (4-7)

' N 2R 2 = (x . - x ’ )" + (y y’ ) s ^ S 1 s '■'sx -'s (4-8)

Dg = c o s ( n , x ’ ) (Xg^-x'^)+ cos (n, y'^) (y^^- y'g) (4-9)

Usando notaçao matricial, a equaçao (4-1) pode ser

escrita como:

r ' > ''<T = 2 A <3T - 2

1B <T + 2 ^ (4-10)

representando um sistema de N equaçoes para os N pontos nodais e^

- 38 -

pacificados.

Essas equações sao, porém, nao-1ineares, devido ao

fato de OT/8n) , dado por (2-13) e (2-29), ser nao-linear.s

Para a solução deste sistema, utiliza-se o metodo

de Newton-Raphson®, reescrevendo a equaçao (4-10) na forma:

<f> = < T W 2 3n > - 2 (4-11)

I.onde e )9T/3nf sao obtidos com valores aproximados da

temperatura em cada ponto,

Em cada iteraçao novos valores da temperatura são

obtidos por :

T". = T ' . - e ' . 1 1 1 (4-12)

onde sao as componentes do vetor erro, que devem ser feitas

guais a zero, isto é, menores que uma certa tolerância. Os valo^

res são calculados, a cada iteraçao,pe1 a solução de®:

< f / + w <e . = <0 ■ (4-12)1L J1

onde

- 39 -

W

3 f 8f9Ti I t 7

9f2 9f29 Tl" Í tJ

9fN 9fN■5T 7 St 2

9f 2

9f,9TN

(3-13)

isto ê, a matriz jacobiana das funções em rclaçao as teraperatia

ras T . calculadas Jseja não-singular.

ras Tj calculadas para os valores aproximados suposto que [W

0 processo iterativo é terminado quando, para todo

i, for satisfeito o critério de tolerância:

T .s 1(4-14)

onde as barras indicam valor absoluto e Ç e um valor especificado.

Após ter sido atingida a tolerância desejada, os v_a

lores da temperatura e de sua derivada normal em cada ponto da

fronteira são usados para calcular a temperatura na região, com

o auxilio de (3-27). Como a temperatura i conhecida apenas em pon

tos discretos da fronteira, as integrais sao calculadas numeric^

ment e .

A escolha do método de Newton-Raphson para a comple^

mentaçao do esquema numérico de solução das equações integrais,em

- 40 -

detrimento do método das substituições sucessivas usado em ( M ,

(^) e ("*), por exemplo, foi motivada pelo fato do método das subs

tituições sucessivas nao apresentar boa convergência quando as e

quaçoes sao nao-1ineares.

Ainda, Colle e Abreu^^ concluíram que o método das

substituições sucessivas aplicado a problemas bidimensionais de

condução do calor em regime permanente com radiaçao e convecção

combinadas torna-se instável com o aumento da influencia da radia

çao, mesmo que na obtenção da equaçao integral se faça uso de fun

çao de Green completa.

- 41 -

5 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA DO CILINDRO

A solução do problema do cilindro, dado por (2-11),

(2-12) e (2-13) é colocada sob a forma de um programa de comput_a

dor, para a rápida obtenção de resultados.

Inicialmente, sao calculadas as coordenadas dos pon_

tos nodais da fronteira e da região, bem como o fator de forma de

elementos da superfície do cilindro para a placa, de acordo com a

f igura 2-1.

0 fator de forma é dado por'^:

sen ())„ - sen (j)- -------- h ---------- ^

onde e < 2 ângulos mostrados na fig. 5-1 e onde dA é um

elemento de área na superfície do cilindro e A 2 a área da placa.

A seguir, sao calculados os coeficientes A^j e

para os pontos da fronteira. Para o cálculo das integrais das ex

pressões (4-5) e (4-6), cada elemento ASj da fronteira é dividido

- 42 -

FieURA 5<l: ÂNGULOS PARA 0 CÁLCULO 00 FATOR DE FORMA

- 43 -

em dez partes.

Para o cálculo da integral exponencial do coeficien

te A^j é utilizada a subrotina EXPl’**. Porém quando j=i , o pólo

coincide com o ponto nodal, isto é, r=r' e 9=0', e o argumento da

integral em (4-5) torna-se singular. Nesse caso, a integral é caj^

culada pela integração da série que representa a integral exponen

cial^^ para valores de x entre zero e ura;

(x) = - £n(x) - 0,57721566 + 0,99993193 x -

- 0,24991055 + 0,05519968 x 3 _

- 0,00976004 x** + 0,00107857 x^ (5-2)

Assim quando j=i, o valor do coeficiente Aj £ é dado

por :

11 2 tt

A0/2Ej^(x)dx (5-3)

onde A0/2 ê a metade do ângulo que compreende uma divisão da fro_n

teira e x é:

4(t-t'T

onde

= 2 - 2 cos (A0/2) (5-5)

- 44 -

uma vez que tanto o pólo como o ponto nodal estão sobre a fronte^

r a . Logo:

r ' = 1

r = 1

Para o cálculo de , a relaçao Dg/Rs^» em (4-6)

deve ser calculada. Assim, de (4-9), calcula-se:

D = COS 0' (cos 6- - cos 0') + sen 0' (sen 0- - sen 0') s L 1

cos 0' cos 0!1 - cos^ 0' + sen 0' sen 0. - sen"" 0

cos (0^ - 0 ’) - 1

E de (4-8) calcula-sc

= 2 1 - cos ( 0 - 0 ')

assim:

l2 (5-6)

para quaisquer pontos na fronteira.

A seguir, sao calculados os coeficientes F^, atra

vis de (4-2). A integração e realizada numericamente através da

regra de Simpson para integrais duplas®, sendo a região dividida

- 45 -

por uma malha de dez divisões nb raio e trinta e seis divisões

no ângulo (vide figura 2-1).

Após o cálculo dos coeficientes F^, sao calculados

0 8 termos da equaçao matricial (4-11). Os valores da primeira £

proximaçao da temperatura sao calculados pela linearizaçao da ra

diação, e sua soma com a convecção'^, dada por

r (T ‘;-l)/(T -l)]At> (5-7)m m-i 1 1 m-1 m-i

Naturalmente, essa expressão nao dá valores precisos para a tempe^

ratura, mas seus resultados são suficientemente aproximados para

favorecer a convergência do mitodo de Newton-Raphson.

Em seguida a equaçao (4-11) é resolvida pelo metodo

de Newton-Raphson. Os valores da temperatura na fronteira sao 1Í£

tados a cada iteraçao. Após a convergência, sao listados os valo^

res do fluxo de calor na fronteira, da taxa de calor instantânea

dissipada, dada por:

F/F T(r,t) dS 9n T(r,0) dS (5-8)

e da quantidade total de calor dissipada desde o tempo zero até o

instante calculado, dada por

Q/Qo =V

pC(T^ - T)dV pC(T^ - 1) dV (5-9)

- 46 -

Feito isso a temperatura na região é calculada pela

expressão (3-27). 0 cálculo dessa expressão apresenta um problema

de precisão numérica para pontos próximos ã fronteira. A derivada

da função de Green em relaçao a normal, em (3-27), torna-se cada

vez maior ao aproximar-se o ponto nodal da fronteira. Este fato

provoca erros intoleráveis para raios maiores que 0-85. Assim, os

valores da temperatura para o raio igual a 0.9 sao obtidos pelo £

juste de uma parábola aos valores da temperatura para o raio igual

a 0.7, 0.8 e 1-0. Este ajuste, no entanto, nao provoca erros seri

síveis, quer no tempo considerado, quer nos subseqüentes.

Finalmente, após a listagem dos valores da temper^

tura para a região, sao calculadas as coordenadas de isotermas,pa

ra a visualizaçao dos resultados.

Para o cálculo da distribuição de temperatura no in

cremento de tempo seguinte, o programa é recomeçado a partir do

cálculo de F^, inclusive.

0 programa é rodado, inicialmente, com número de r£

diaçao igual a zero, isto é, somente com convecção. Isto permite

a comparaçao com a solução analítica para o cilindro com troca de

calor por convecção com coeficiente constante. Essa solução e d£

da em (®) por:

0 T-1 ^ 2 z Jq (An^) exp (-Xn^Fo) (5-10)

- 47 -

onde os X sao as raizes de n

A J,(X )/J (X ) = Bi (5-11)n 1 n o n

e onde e sao as funções de Bessel de primeira espécie de or

dem zero e um.

A quantidade de calor dissipada é também dada em ( )

Dor ;

= r -A_ BiQq n=l ^n^ Bi^ +

1 - exp(-X^^ Fo) (5-12)

Os resultados estao apresentados nas próximas

nas da seguinte maneira:

- Figuras 5-2 a 5~7 - comparaçao da solução integral com a

solução analítica, com Ri = O,isto i,

apenas com convecção.

- Figuras 5~8, 5“10, 5~12 - valores da energia dissipada Q/Q^

ra virios valores de Bi e de Ri em

funçao de t , ou F o .

- Figuras 5~9, 5-11, 5-13 - valores da taxa de calor instantânea

F/F^ para vários valores de Bi e de

Ri, em funçao de t, ou Fo.

- Tabelas 5~I, 5-XI, 5-III - distribuição de temperatura, produzi^

da pelo programa de computador para

alguns valores de Bi, Ri e t, cu Fo.

- 48 -

- Figuras 5~14 a 5~16 isotermas correspondentes às distri^

buiçoes de temperatura apresentadas

nas tabelas 5-1, 5 -II e 5-III.

A analise desses resultados i apresentada no capitu

lo 7.

e1:00.90.80.7

0.6

0.5

0.4

03

0.2

- 49 -

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- ANAUTICA

- INTEGRA L

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0

FieURA 5-3: COMPARAÇAO DAS SOLUÇÕES

e - 50 -

FIOURA 5-4: COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.0 1.0


R)

@ - 51 -

FI6URÂ 5-6; COMPARAÇÃO DAS SOLUÇOES

0

0.0 0.1 0,2 0.3 FO

FiQURA 5-7: COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES

- 52 -Q/Oq

as

0.8

07

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os

0.4

0.3

0.2

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PiüRA O CILINDRO COM Bi>0.ly

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FIGURA S-82.0 3.0 Fo

FIOURA 5-9

- 53 -

FIGURA 5-iO

FIGURA 3-11

- 54 -

FIGURA 5-12

FIGURA 5-13

- 55 -

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- 56 -

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6 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA DO PRISMA

A solução do problema do prisma, dado por (2-27),

(2-28) e (2-29) é também, como a solução do problema do cilindro,

colocada sob a forma de um programa de computador, para a rãpida

obtenção dos resultados.

Inicialmente, sao calculadas as coordenadas dos po_n

tos nodais da fronteira e da região, bem como o fator de forma dos

elementos da superfície do prisma para a placa, de acordo com a

figura 2-2.

A seguir sao calculados os valores dos co-senos dj

retores da normal exterior às faces do prisma. Esses valores apa_

recem no cálculo de D , expressão (4-9), e influenciam o coeficisente j • Devido a presença dos cantos na seçao retangular, os va_

lores dos co-senos diretores da normal apresentam descontinuida.

des nesses cantos. Algumas hipóteses foram testadas numericamente,

mas os melhores resultados, em comparaçao com a solução analítica,

foram obtidos admitindo-se a normal fazendo um ângulo de 133° com

ambos os lados do retângulo. Esta hipótese pode ser justificada

- 62 -

FIOURA 6-i: CONCORDÂNCIA DOS LADOS DA SECXO DO PRISMA

- 63 -

se se imaginar que um arco de circunferência de raio pequeno re^

liza a concordância dos lados, como mostra a figura 6-1.

A seguir sao calculados os coeficientes A . . e B . .^ ij iJpara os pontos da fronteira. Para o cálculo das integrais das esc

pressões (4-5) e (4-6), cada elemento AS^ da fronteira é dividido,

nesse caso, em trinta e duas partes. Chegou-se a esse número após

diversos testes com números menores. Também foram realizados te^

tes para um número maior de divisões, mas o aumento obtido na pre^

cisão dos resultados não foi significativo, enquanto que o tempo

de computador necessário aumentou grandemente.

Em comparaçao com o número de divisões dos elemen

tos de fronteira utilizado no caso do cilindro, apenas dez, pode-

se dizer que essa diferença é causada pela maior "suavidade" do

contorno da seçao circular do cilindro.

Para o cálculo da integral exponencial do coeficien

te A^j é utilizada a mesma subrotina usada no problema do ciliri

dro. A singularidade que ocorre quando i=j é evitada, de maneira

análoga ã anterior, pela integral:

A. . =i L 2 tt E (z) dz (6-1)0

onde AÍ./2 é a metade do comprimento de cada elemento AS^ da fron

teira e:

- 64 -

onde

onde tanto o pólo (x' ,y' ) como o ponto nodal (x ,y ) consideras s s sdo estão sobre a fronteira.

Para o calculo de B . ., a relaçao D /R em (4-6) i1. J s s

calculada para cada ponto no decorrer do programa. Quando, porém,

i=j, o valor de R é nulo, tornando a expressão singular. Nessescaso, utilizando as propriedades da funçao de Green fundamental,

encontra-se:

ASjexp 4(t -t ) m m l

dS(x' ,y' ) = 0 (6-4)s s

Para o cálculo de F^, através de (4-2) com o uso da

regra de Simpson dupla®, a região é dividida em uma malha de dez

divisões na abcissa e seis divisões na ordenada. Foram realizados

cálculos com numero de divisões maior, mas o tempo de computador

consumido tornou-se proibitivo, enquanto a precisão em relaçao à

solução analítica nao aumentou sensivelmente.

0 restante do programa segue, de forma análoga, a

lógica do programa do cilindro.

0 problema de precisão nos valores da temperatura

- 65 -

dos pontos próximos ã fronteira v o 1tou a ocorrer, como no caso do

cilindro, pelos mesmos motivos. Assim, os pontos próximos ã fron

teira sao obtidos pelo ajuste de parábolas aos valores da tempera^

tura dos pontos adjacentes. Esse procedimento, no entanto, nao

provoca erros sensíveis em relaçao ã solução analítica, quer no

tempo considerado, quer nos subseqüentes.

0 programa é rodado inicialmente com o número de r a

diaçao igual a zero, isto i, somente com convecção, e admitindo

constante o coeficiente de troca de calor por convecção. Isto pe£^

mite a comparação dos resultados com os da solução analítica para

o prisma, que é obtida pelo produto de duas soluçoes para a placa

plana infinita^’'“ . A distribuição de temperatura para uma placa

plana infinita, tendo uma face isolada e a outra exposta ã conve£

ção com coeficiente de troca de calor constante é dada por:

g . Tfa.t)-! . 2 “ senA„ cos(>n «) ,X T -1 n=l X + senX cosX no n n n

já sob forma adimensiona 1, e onde os X sao as raízes den

X tanX = Bi (6-6)n n

De forma análoga, i obtido o valor de 0^. Finalmen

te, pelo produto das duas soluçoes, obtêm-se:

0(x,y,t) = 0^(x,t) 0^(y,t) (6-7)

- 66 -

Esse valor é usado para a comparaçao com os resultados obtidos pe

la solução integral, calculando-se os valores:

T(x,y,t) = 1 + 0(x,y,t) (T^-1) (6-8)

são calculadas também a energia dissipada e a taxa

de calor instantânea, de acordo com (5-8) e (5-9).

Os resultados estao apresentados nas próximas pagi

nas da seguinte forma:

- Figuras 6-2 a 6-7 - comparaçao da solução integral com

a solução analítica, com Ri=0, isto

é, apenas com convecção.

- Figuras 6-8, 6-10 e 6-12 - valores da energia dissipada Q/Qq

para vários valores de Bi e de Ri

em funçao de t, ou Fo.

- Figuras 6-9, 6-11 e 6-13 - valores da taxa de calor instantâne^

a para vários valores de Bi e

Ri, em funçao de t, ou Fo.

- Tabelas 6-1, 6-II e 6-III - Distribuição de temperatura, prodja

zida pelo programa de computador p£

ra alguns valores de Bi, Ri e t.

- Figuras 6-14 a 6-16 - Isotermas correspondentes ãs distrí^

buiçoes de temperatura apresentadas

nas tabelas 6-1, 6-II e 6-III.

A análise desses resultados é apresentada no capítulo 7.

0 - 67 -

FIGURA 6*2: COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES

0


- 68 -

FIGURA 6-4 ; COMPARACÂO DAS SOLUÇÕES

0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 03 0.4 Fo

FieURA 6-5: COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES

e - 69 -

FIGURA 6-6: COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES

0.0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 Fo

FIGURA 6-7: COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES

- 70 -

FieURA 6-8

FI6URA 6-9

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0.01 0.02 004 0.06 0.08 01FIGURA 6-10

0.2 0.3 0.4 0.6 Fo

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- 79 -

7 - ANALISE d o s RESULTADOS

0 problema proposto para o cilindro foi resolvido de

acordo com a metodologia apresentada no capítulo 5, com os seguin

tes dados numéricos:

- número de divisões na fronteira: trinta e seis

sendo cada divisão ASj subdividida era dez partes, para a realiza-

çao das integrais"numéricas correspondentes.

- numero de divisões na região: trezentos e sessen

ta, sendo trinta e seis divisões nò angulo e dez divisões no raio.

- tamanho de intervalo de tempo: entre 0.02 e 0.1 ,

em tempo adimensiona 1.

- número de Biot: 0.1, 1.0 e 4.0

- número de radiaçao: 0.1, 1.0 e 4.0, sendo utiliz^

das combinações destes valores, Bi e Ri, para o cálculo de diver_

sas situações.

- 80 -

- temperatura inicial do cilindro: = 4.0 em to

dos os cálculos. Tal escolha baseia-se no fato deista temperatura

ser comum em processos de têmpera, por exemplo. Considerando a tem

peratura ambiente como 27°C, esta temperatura inicial será de

927°C.

- temperatura da placa isotérmica: T^ = 2.0 em todos

os cálculos.

- semi-largura da placa: £ = 1.5

- distância da placa ao plano central: h = 1.5

Inicialmente o programa foi rodado com Ri = 0, fo_r

necendo resultados para comparaçao com a solução analítica. Ambas

as soluções estao plotadas nas figuras 5-2 a 5-7.

Nas figuras 5-2 e 5-3 pode-se examinar os valores

da diferença de temperatura adimensional dados pela solução analí

tica (5-10) e os calculados pela solução integral, transformados

em diferença de temperatura adimensional por:

para Bi = 0.1 no centro e na superfície do cilindro. Pode-se n£

tar que com o aumento do tempo (ou número de Fourier) os valores

calculados pelo método integral se afastam cada vez mais dos.valo^

res calculados pela solução analítica. Isso se deve ao fato do m£

todo ser seqüencial, isto é, calculado passo a passo. Assim, ca

- 81 -

da novo passo calculado incorpora em si o erro do passo anterior,

gerando um erro acumulativo. Pode-se observar que a discrepancia

entre os valores de diferença adimensional de temperatura é da o£

dem de -27% para Fo = 10.0, mas, transformando esses valores em

temperatura adimensional, essa diferença cai para valores da o£

dem de -8%, diferença que se mantém para valores dimensionais r£

ais.

Nas figuras 5-4 e 5-5 pode-se observar valores da

diferença de temperatura adimensional para Bi = 1.0 no centro e

na superfície do cilindro. Pode-se notar que a diferença entre os

valores calculados pelo método integral e pela solução analítica

é sensivelmente menor que para Bi = 0.1. Para Fo = 1.5, na super^

fície do cilindro, figura 5-4, pode-se calcular uma diferença da

ordem de -11%, que cai para valores da ordem de - 3% para tempera,

turas adimensionais e para temperaturas dimensionais reais. Para

Fo = 1.2 no centro do cilindro, figura 5-5, pode-se calcular uma

diferença da ordem de - 8%, que cai para valores da ordem de -1.5%

para temperaturas adimensionais e para temperaturas dimensionais

reais.

Os valores para diferença de temperatura adimensio^

nal para Bi » 4.0, no centro e na superfície do cilindro estao a

presentados nas figuras 5-6 e 5-7, respectivamente. Pode-se obse^

var que a diferença entre o resultado da solução integral e o da

solução analítica no centro do cilindro para Fo = 0.7 (Fig.5~6)f^

ca reduzida a valores da ordem de + 5% para diferença de tempera

tura adimensional, o que corresponde a valores da ordem de +1.5 %

- 82 -

para temperatura adimensional e temperatura dimensional real.

Valores da energia dissipada Q/Qq calculados pela

solução integral e pela solução analítica estao apresentados nas

figuras 5“8, 5~10 e 5~12 para Bi = 0.1, Bi = 1.0 e Bi = 4.0, re£

pectivamente. Na figura 5-8 pode-se observar que para Fo = 4.0 a

diferença entre os valores da solução integral e os da analítica

é da ordem de + 7.5%, notando-se a mesma tendência ao aumento da

diferença, como nas figuras 5-2 e 5-3. Porém, para Bi = 1.0, vê-se

que a diferença entre os valores da solução integral e os da ana

lítica para Fo = 1.5 cai para valores da ordem de + 2.5%, desap^

recendo a tendência ao aumento dessa diferença. E, para Bi = 4.0,

praticamente nao existe diferença entre os valores calculados pe

la solução integral e os calculados pela solução analítica, para

Q/Qo-

Este fato interessante é devido ao uso de um grande

número de passos no cálculo da solução com Bi = 0.1, enquanto que

com Bi = 1.0 e Bi = 4.0, o número de passos utilizados é menor.

turalmente, com maior número de Biot, o cilindro esfria em um tem

po menor, requerendo o cálculo um número de passos menor para a_

tingir o regime permanente. Assim, o erro acumulado e menor.

Valores da taxa de calor instantânea F /Fq calcula

dos com resultados da solução integral e da solução analítica sao

apresentados nas figuras 5-9,5-11 e 5-13 para Bi = 0.1,Bi = 1.0 e

Bi “ 4.0, respectivamente. Porém, esses valores sao funções linea^

res da temperatura da superfície apresentando, assim, o mesmo com

- 83 -

portamento daquela.

Visando reduzir as diferenças mais sensíveis encon

tradas nesses resultados, foi aumentado o numero de pontos na fron

teira e na região. Como conseqüência, obteve-se um tempo de proce£

samento em computador proibitivamente longo e uma pequena diminu^

ção nas diferenças. Todavia, um aumento no numero de divisões im

plica em uma diminuição de valores de distâncias (R^) que influem

no calculo da funçao de Green. Isto pode provocar problemas de pre

cisão numérica pelo uso de valores muito pequenos (ou muito gran

des ) .1

A influência da troca de calor por radiaçao com a

placa isotérmica e com o meio ambiente pode ser observada nas fi

guras 5-8 a 5-13.

Na figura 5-8 esta apresentada a energia dissipada

Q/Q^ para Bi = 1.0 e com Ri = 0.0, Ri = 0.1, Ri = 1.0 e Ri = 4.0.

Pode-se observar que o regime permanente é atingido para Fo = 3.0

com Ri = 0.1, para Fo = 1.2 com Ri = 1.0 e para Fo = 1.0 com

Ri “ 4.0. A energia dissipada Q/Q^ 1 3° atinge o valor 1.0 pois a

distribuição de temperatura em regime permanente nunca serâ unj^

forme. Isto se deve ã presença da placa ã temperatura , que tr£

ca calor por radiação com o cilindro, fazendo com que sua parte

inferior permaneça a uma temperatura mais alta do que a do meio

amb ient e .

Na figura 5-9 está apresentada a taxa instantânea

- 84 -

de calor F/F para Bi = 0.1 coin o mesmo conjunto de numéros de ra o —diação. É necessário notar que a taxa de troca de calor cai consj^

deravelmente com o aumento de Ri; naturalmente, isto é provocado

por um rápido esfriamento da superfície. Porim, valores de temp^

ratura na superfície e de taxa de calor para tempos menores que o

apresentado, Fo = 0.05, nao podem ser calculados diretamente pela

solução integral. Isto se deve ao aparecimento de "underflow" no

computador, para tempos menores que 0.02, e posterior divisão por

zero, interrompendo o processamento do programa. Esta dificuldade

já havia sido notada por Changé.

Nas figuras seguintes, 5-10 a 5-13, os comportamen

tos observados para a energia dissipada Q/Q^ e para a taxa de tro

ca de calor sao análogos aos observados nas figuras 5-8 e

5-9. É digna de nota, porém, a influência do alto numero de Biot

na figura 5-12, que faz com que a influência da radiaçao na ene_r

gia dissipada seja pequena. 0 mesmo nao acontece com a taxa de

troca de calor, figura 5-13, que continua caindo consideraveImen

te com o aumento do número de radiaçao.

Para complementaçao, sao apresentados nas tabelas

5-1, 5-II e 5-III alguns resultados extraídos das listagens do

computador e nas figuras 5-14 a 5-16, as isotermas corresponderi

tes.

Na tabela 5-1 está apresentada a distribuição de

temperatura no cilindro submetido a convecção com Bi = 1.0 e a r^

diaçao com Ri = 0.1, para Fo = 0.02. Cada valor corresponde a um

- 85 -

ponto nodal da malha apresentada na figura 2-1. E mostrada,ainda,

a relaçao entre o fluxo de calor local era cada elemento AS^ da

fronteira e o fluxo máximo na fronteira. Isto permite observar a

assimetria provocada pela presença da placa. Além da taxa de tro

ca de calor PIPq e da energia dissipada Q/Qq apresentado o nume^

ro de iterações utilizado no metodo de Newton-Raphson. A conve_r

gência, nesse caso, foi obtida com cinco iterações, para uma to

lerância Ç = 0.001 entre o valor de temperatura calculado e o an

terior, para cada ponto nodal da fronteira.

Na tabela 5-II o valor de Fo é 0.2 e na tabela 5-III

é Fo = 0.7, mostrando a evolução da temperatura com o tempo. Nos

dois casos o numero de iterações reduziu-se a quatro. Em todos os

cálculos realizados, o número de iterações nao superou a sete, pa

ra a mesma tolerância.

As isotermas apresentadas nas figuras 5-14 a 5~16

mostram a tendência ao deslocamento do ponto mais quente para o

local mais próximo da placa, bem corao a tendencia i uniformização

da temperatura.

Durante a realizaçao dos cálculos, alguns problemas

foram encontrados. 0 primeiro deles foi o tempo de processamento

grande em relaçao a outros métodos, no caso, a solução analítica

para a convecção. Outro problema surgido foi o da precisão dos v^

lores da temperatura em pontos nodais próximos a fronteira, bem

como a oscilaçao desses valores com a variaçao do angulo. Verif^

cou-se que ambos eram causados pela singularidade da funçao de

- 86 -

Green e pelo metodo de integraçao utilizados. Ainda para valores

grandes do modulo de Fourier, a solução integral apresentou uma

instabilidade para problemas com radiaçao, traduzidas pelo apar£

cimento de temperaturas na fronteira maiores que no interior do

cilindro. Acredita-se que tal instabilidade seja ainda causada p^

lo mitodo de integraçao utilizado e pelas características da fu£

ção de Green fundamental.

0 problema proposto para o prisma foi resolvido de

acordo com a metodologia apresentada no capítulo 6, com os seguin

tes dados numéricos:

- largura do prisma: = 1.0

- altura do prisma: = 0.6

- numero de divisões na fronteira: trinta e dois,

sendo cada divisão ASj subdividida novamente em trinta e duas pa£

tes, para o cálculo das integrais correspondentes.

- número de divisões na região: sessenta, sendo dez

na abcissa e seis na ordenada.

- intervalos de tempo: entre 0.005 e 0.1, era tempo

adimensional.

- números de Biot: 0.1, 1.0 e 10.0

- número de radiaçao: 0.1, 1.0 e 1-0.0, sendo utili^

zadas combinaçoes destes valores, Bi e Ri, para o cálculo das di

versas situações.

- temperatura inicial do prisma: Tq = 4.0 em todos

- 87 -

os cálculos. A justificativa da escolha é a mesma do cilindro.

- temperatura da placa isotérmica: = 2.0

- semi-largura da placa: Z = 1.0

- distância ao plano central: h = 1.0

Inicialmente, o programa foi rodado com Ri = 0.0,

fornecendo resultados para comparaçao com a solução analítica

(6-5). Ambas as soluçoes estao plotadas nas figuras 6-2 a 6-7.

Nas figuras 6-2 e 6-3 pode-se examinar os valores

da diferença de temperatura adimensional dados pela solução anal^

tica e os calculados pela solução integral para Bi = 0.1. Os pon

tos cujas temperaturas foram plotadas sao: o ponto mais proximo

ao centro da seçao retangular do prisma e o ponto mais proximo do

canto da mesma seçao. Nao sao apresentadas as temperaturas no ce^

tro e no canto do prisma devido ao fato da malha ter sido escolhi^

da de forma que os cantos não fossem pontos nodais, conforme a f^

gura 2-2. Assim foi evitada a singularidade da equação integral

que existe nos cantos da seçao^. Em ambas as figuras nota-se uma

tendência ao aumento da diferença entre os valores da solução in

tegral e os da solução analítica com o aumento do número de Fourier,

embora até Fo = 2.0 praticamente nao exista diferença entre eles.

Isto se deve ao fato do método ser seqüencial, como

foi frisado no caso do cilindro. Esse erro acumulado poderia ser

evitado pela solução simultânea de todos os pontos nodais no tem

po; porém a quantidade de memória de computador utilizada seria

- 88 -

2excessivamente grande .

Jâ nas figuras 6-4 e 6-5, para Bi = 1.0, nota-se que

a diferença entre os valores da solução integral e os da solução

analítica são menores que para Bi = 0.1 e a tendência ao aumento

dessa diferença com o passar do tempo e amenizada.

Este comportamento pode ser explicado de forma ana

Ioga ao caso do cilindro. Com menores números de Biot, o tempo re

querido para o esfriamento do prisma e maior, obrigando ao uso de

um grande número de passos no cálculo, e causando maior acúmulo

de erro. Com números de Biot maiores o esfriamento i mais rápido,

o número de passos é menor e, conseqüentemente, o acúmulo de erro

e menor.

Porém, nas figuras 6-6 e 6-7, para Bi = 10.0, nota-

se o aparecimento de diferenças grandes entre os valores da sol_u

çao integral e os da solução analítica. Essas diferenças indicam

a necessidade de um número maior de divisões na fronteira e na r£

giao, e de uma diminuição no intervalo de tempo utilizado. Ambas

as providências, porém, causam um crescimento excessivo do tempo

de processamento, como no caso do cilindro.

Valores da energia dissipada Q/Qq calculados com v^

lores de temperatura obtidos da solução integral e da solução an£

lítica são apresentados nas figuras 6-8, 6-10 e 6-12 para Bi=0.1,

Bi “ 1.0 e Bi = 10.0, respectivamente. Pode-se notar que a conco£

dância dos valores das duas soluçoes é boa, embora os valores de

- 39 -

temperatura apresentem as diferenças ja mencionadas.

0 mesmo jâ não ocorre com os valores da taxa de c£

lor instantâneo plotados nas figuras 6-9, 6-11 e 6-13 para

Bi = 0.1, Bi = 1.0 e Bi = 10.0, respectivamente. Embora para

Bi “ 0.1, figura 6-13, os valores de F/F^ apresentem boa concordâri

cia com os da solução analítica, as diferenças que aparecem para

Bi = 1.0 e Bi = 10.0 indicam a necessidade de um aumento no núm£

ro de divisões,- quer na região, quer na fronteira.

A influência da troca de calor por radiaçao com a

placa isotérmica e com o meio ambiente pode ser observada nas f^

guras 6-8 a 6-13. Como no caso do cilindro, pode-se observar que

o regime permanente é atingido em tempos menores e que a energia

dissipada nao atinge o valor 1.0, pois em regime permanente o C£

lor trocado por radiação com a placa mantem a parte inferior do

prisma a uma temperatura maior que a do ambiente. A taxa de calor

instantânea F/F também cai consideravaImente com o aumento do núo —^ é

mero de radiaçao, indicando que, quando Ri é grande, a temperat^

ra cai rapidamente nos primeiros tempos do processo. No caso do

prisma conseguiu-se reduzir os valores do intervalo de tempo até

0.005 sem o surgimento dos problemas ocorridos com o cilindro.

Ë digna de nota a influência de um número de Biot

grande sobre a energia dissipada. Pode ser visto na figura 6-12

para Bi * 10.0, que a radiação tem uma influência relativamente

pequena na energia dissipada, devido a grande parcela correspon

dente a convecção.

- 90 -

Para complementação, sao apresentados nas tabelas

6-1, 6-II e 6-IIX alguns resultados extraídos das listagens do com

putador e nas figuras 6-14 a 6-16, as isotermas correspondentes.

Os valores apresentados nessas figuras foram calculados para

Fo = 0.01, Fo = 0.05 e Fo = 0.3, com Bi = 1.0 e Ri = 1.0. Sao apre

sentados, além dos valores de Q/Q e F/F , os números de itera ’ o o —ções utilizadas no método de Newton-Raphson. Nos casos apresent^a

dos, esses números foram de seis, cinco e cinco iterações, respe£

tivamente, com uma tolerância Ç = 0.001, a mesma do caso do cilin

dro. Em todos os cálculos realizados, o número de iterações nao

foi superior a sete.

As isotermas apresentadas nas figuras 6-14 a 6-16

mostram claramente o deslocamento da maior temperatura da seçao

do prisma para o ponto mais próximo da placa. As isotermas tendem

a "abrir-se", aumentando o seu raio de curvatura, até próximo do

regime permanente, como é visto na figura 6-16.

Durante a realizaçao dos cálculos foram notados aj

guns problemas. 0 primeiro deles foi o longo tempo de processamen

to, como no caso do cilindro. Novamente, a temperatura dos pontos

nodais próximos i fronteira apresentou problemas de precisão, cau

sados pelo método de integraçao utilizado e pelas características

da funçao de Green fundamental. Entretanto, nao foram notados os

problemas de oscilaçao e de instabilidade da solução na fronteira,

ocorridos com o cilindro.

Comparando a resolução dos dois problemas pode-se

- 91 -

notar que* o número de subdivisões dos elementos AS^ da fronteira

utilizado para o prisma (trinta e dois) ê bem maior que o utiliz_a

do para o cilindro (dez). Chegou-se a esse número após vários te^

tes com valores menores, que apresentaram grandes diferenças em

relação à solução analítica. A necessidade deste número maior de

divisões no problema do prisma encontra explicaçao na presença de

cantos vivos na seçao retangular, enquanto que a seçao circular

do cilindro é bem mais "suave".

- 92 -

8 - CONCLUSÃO E SUGESTÕES

Como conclusão, pode-se dizer que o método integral,

.com a funçao de Green fundamental, pode ser usado para a solução

de problemas de condução de calor transiente com radiaçao e con

vecçao combinadas, desde que o número de pontos nodais escolhidos

sej a suf iciente.

Todavia, o número dè pontos nodais representa um com

promisso entre a precisão desejada e o tempo de processamento ne_

cessãrio.

Como sugestões para o aperfeiçoamento do método p£

de-se citar:

- o uso de outros métodos de integraçao, como o uti^

lizado por Crosbie e Viskanta“*.

- o aproveitamento da simetria dos problemas na for

muiação da solução.

- o exame da convergência do arredondamento dos can

tos, partindo de grandes raios de arredondamento e progredindo p^

- 93 -

ra raios pequenos.

- o uso da funçao de Green incompleta, sugerido e £

plicado por Changé.

Como continuação da pesquisa pode-se sugerir a sol_u

ção dos problemas aqui apresentados, para regime permanente com

auxílio do metodo apresentado em ( ' ) . Isto permitira uma compara_

çao mais acurada dos resultados, visto que nao foram encontrados,

na literatura disponível, dados para a comparaçao com os aqui ^

presentados.

- 94 -

9 - BIBLIOGRAFIA

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McGraw-Hill Book Co., 1972.

- 96 -

A P Ê N D I C E 1i

ESTABELECIMENTO DA CONDIÇAO DE CONTORNO

Considere-se um involucro de comprimento infinito

que contém diversas superfícies discretas, como mostrado na fig^

ra A - 1 ,distribuídas da seguinte maneira:

- superfície interna de um invólucro de forma c_i

líndrica;Aj - superfície de uma placa plana;

Aj - onde 2 k ^ N , elementos discretos da superf_í

cie de um cilindro interior ao invólucro.

Considere-se que tais superfícies estejam sujeitas

às seguintes restrições:

1) a temperatura em cada superfície é uniforme;

2) as emissividades espectrais direcionais as

absortividades espectrais direcionais a ' e as refletividades e^

pectrais direcionais p s ã o independentes da temperatura, de fo£

ma que: '

- 97 -

FIGURA A-l: GEOMETRIA COM 0 INVÓLUCRO

%

\

FIGURA A-2: BALANÇO léRMICO NO ELEMENTO A

O

FIGURA A>3: GEOMETRIA SEM 0 INVÓLUCRO

- 98 -

e(T^) = a(T^) = 1 - p(T^) ;

3) toda a energia é emitida e refletida de forma di

fusa;A) o fluxo de energia incidente e, por conseqüência,

o fluxo de enegia refletido sao uniformes sobre cada área indivi

dual.

Essas restrições implicam em considerar todas as s^

perfícies em jogo como cinza-difusas.

Para o estabelecimento da condição de contorno usa£

se-ã o metodo da radiaçao global (net radiation method) de aco£

do com (^®), que consiste em realizar 'um balanço de energia para

a superficie de um elemento do cilindro interior, conforme mo£

tra a figura A-2. Nessa figura ve-se que:’

q^ ^ = fluxo de energia incidente no elemento A

proveniente de todas as outras superficies em jogo;

q^ = fluxo de energia emergente da superfície Aj ;

qj = fluxo de energia fornecido pelo interior do

cilindro por condução.

0 balanço de energia em cada superfície fornece, se18 • ~ gundo ( ), a seguinte relaçao:

- 99 -

onde 6, . e o delta de Kronecker, definido como k j

1 quando k = j

0 quando k ^ j

Variando-se k de 0 a N obtém-se um sistema de N + 1

equações que deve ser resolvido para estabelecer a condição de con

torno de cada elemento Aj da superfície do cilindro interno.

Todavia, se = 1 para todo e qualquer j, vem:

Qk Nl (5, . - F, .) oT." (A-2)

Lembrando que os elementos de superfície sobre o ci

lindro externo nao se "vêem", resta para k 2:

^ = OT, “ - F, „ OT “ - F, ,cfT/ (A-3)A, k k-0 o k-1 1

Da condução do calor tem-se a relaçao

9Ti,

e da geometria do problema conclui-se facilmente que

- 100 -

Fazendo-se

e substituindo-se essas relações em (A-3), tem-se:

- k 3x

que i a condição de contorno para os elementos Aj^, 2 k $ N, se

Ej “ 1 para todo e qualquer j .

Para os problemas da presente dissertaçao, e

são conhecidas mas vê-se que os valores de devem ser obrigato^

riamente iguais a unidade. Caso contrário, a determinaçao da con

dição de contorno obrigaria ã solução de um sistema de equações

para cada ponto, como foi mostrado acima.

Por outro lado, considere-se uma geometria semelhan

te à da figura A-l, porem sem a presença do invólucro, como mos^

trado na figura A-3. Considere-se válidas as mesmas restrições do

caso anterior, admitindo-se ainda que o meio em que estao coloca^

dos o cilindro e a placa seja infinito e que nao participe das tro

cas de calor por radiação.

Para tal caso, o balanço de energia em cada superf^

cie fornece, segundo (^®), a seguinte relaçao:

Nc. k-j

NAj j=l kj k-j'

Variando k de 1 a N obtém-se um sistema de N equ£

çoes que deve ser resolvido para estabelecer as condiçoes de co^

torno de cada elemento da superfície do cilindro.

- 101 -

Todavia,, se = 1 para todo e qualquer j, vem:

Qk N■^ = .E, (5, . - F, . ) ai. “ (A-9)J = 1 " k j k j " j

Lembrando-se que os elementos da superfície do cj

lindro não se "vêem", resta para k 2:

Usando-se as relações (A-4) e (A-6), obtém-se:

- k - F T ■*] (A-11)

que é a condição de contorno para os elementos de superfície A ^ ,

2 $ k N, se = 1 para todo e qualquer j.

Comparando as relações (A-7) e (A-11) com as rel£

çoes (2-13) e (2-29), vê-se que os problemas resolvidos na presen

te dissertaçao sao do tipo esquematizado na figura A-1 acrescidos

da troca de calor por convecção, embora nas figuras 2-1, 2-2 e

correlatas não apareça o involucro externo. Todavia, a troca de

calor com o meio, referida no início do capítulo 2, foi consider^

da como se fosse a troca de calor com um invólucro externo, como

o da figura A-1.

aplicaÇao de equaÇÕes integrais a conduÇÃo do · aplicaÇÃo de equaÇÕes integrais a...

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