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Razões e Proporções

RANILDO LOPES

https://ranildolopes.wordpress.com-

Prof. Ranildo Lopes - FACET

1

1- RazãoEm nossa vida diária, estamos sempre fazendo comparações, e

quando fazemos comparações, estamos relacionando dois

números.

Na linguagem matemática, todas essas comparações são

expressas por um quociente chamado razão. A palavra razão

vem do latim “ratio”, e significa divisão. Temos, então:

5 1

20 4

1

2

2 1

10 5

De cada 10 alunos, 2 gostam de

Matemática

Um dia de sol, para cada dois de

chuva

De cada 20 habitantes, 5 são

analfabetos

RazãoComparação

Uma razão é uma divisão entre dois números.

São exemplos de razões:3

ou 3:55

4,5 ou 4,5:2

2



2

1- Razão

Usa-se uma razão quando queremos

comparar unidades, entre si.

Por exemplo:

Para fazer uma bebida usaram-se 3 litros de

sumo de laranja e 2 litros de água.

O sumo de laranja está para a água na

razão de 3:2 ou na razão 3/2.



3

1- Razão

A Maria e o João dividiram uma pizza entre

si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o

João ficou com 5 fatias.

Qual é a razão entre o número fatias da

Maria e o número de fatias do João?

Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).



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1- Razão

Numa razão, os termos (números) têm

um nome próprio, tendo em conta o sítio

onde se escrevem.

Por exemplo:

Na razão 3/5 ou 3:5 o número 3 chama-se

antecedente e o número 5 chama-se

consequente.



5

1- Razão

Num mapa, a escala é a

razão entre a distância no

mapa e a distância real

correspondente.

No mapa da figura, a distância entre

Cascais e Estoril é de 1,6 cm. A distância

real entre as duas localidades é de 3,2 km.

Qual é a escala do mapa?



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1- Razão Na escala de um mapa o antecedente da razão

costuma ser 1 e as unidades utilizadas são as

mesmas, nos dois termos da razão.

1,6 cm (distância no mapa entre Cascais e Estoril)

3,2 km = 320000 cm (distância real entre Cascais e

Estoril)

A razão é 1,6:320000. Mas como o antecedente

deve ser 1, temos de dividir os termos da razão por

1,6.

(1,6 : 1,6 = 1 e 320000 : 1,6 = 200000)

A escala do mapa é 1:200000.



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Se as grandezas são da mesma espécie (comprimento e largura,

ou área e área), suas medidas devem ser expressas na mesma

unidade e nesse caso, a razão é um número puro.

Ex: Se temos que determinar a razão entre as áreas das

superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a

quadra de vôlei possui uma área de 180 m2 e a de basquete

possui uma área de 240 m2, vamos escrever:

Razão entre as áreas da quadra de vôlei e de basquete:2

2

180 3

240 4

m

m

Se as grandezas não são da mesma espécie (quilômetros

percorridos e o tempo transcorrido), a razão é um número cuja

unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais

se determina a razão. Para irmos de uma cidade A para uma

cidade B, percorremos 240 km. Se fazemos este percurso em 3

horas, a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em

percorrê-la é igual à divisão entre as medidas das duas

grandezas. Não podemos esquecer a unidade resultante desta

divisão: 24080 /

3

kmkm h

h



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Exercícios

2) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11

jogadores de um dos times era de 1,72 m. Ainda no primeiro

tempo, um desses jogadores, com 1,77m de altura foi

substituído. Em seu lugar, entrou um outro que media 1,68m de

altura. No segundo tempo, outro jogador, com 1,73m de altura

foi expulso. Ao terminar a partida qual era a média de altura dos

jogadores desse time?

1) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na

razão de 4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno

seja 66 m, determine a largura (em metros).

3) Um grupo de 12 amigos deveria dividir igualmente o valor da

conta em um bar. Na hora de pagar, três pessoas não tinham

dinheiro e, por isso, cada uma das outras teve que pagar R$

5,00 a mais do que o previsto. Qual foi o valor da conta?



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2- ProporçãoEm uma pesquisa curta, foi obtido o seguinte resultado: de 30

alunos entrevistados na Faculdade Pitágoras, 10 gostam de

Matemática, portanto também poderíamos supor que, se forem

entrevistados 120 alunos da mesma faculdade, 40 deverão

gostar de Matemática. Na verdade, ao falar de 40 alunos dos

120 alunos estamos afirmando que 10 estão representando em

30 o mesmo que 40 em 120.

Escrevemos: 10 40

30 120

Uma propriedade fundamental das proporções é a seguinte:

em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto

dos extremos.

2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 362 9

4 18



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2- Proporção

Considera a razão .

Se multiplicares ambos os termos da razão pelo

mesmo número, por exemplo, por 3, obtemos uma

nova razão:

Quando escrevemos a igualdade temos uma

proporção.

Uma PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas

razões.

2

7

3

3

2 6

7 21

2 6

7 21



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2- Proporção

A proporção deve ler-se:

“2 está para 7 assim como 6 está para 21”.

Numa proporção, os números (termos) que lá

aparecem têm um determinado nome de acordo

com o sítio onde se encontram escritos.

Os números 2 e 21 são chamados os extremos.

Os números 7 e 6 são chamados os meios.

2

7 1

6

2



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2- Proporção

Multiplica os extremos da proporção

Produto dos extremos: 2 x 21 = 42

Multiplica os meios da proporção

Produto dos meios: 7 x 6 = 42

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Chama-se à igualdade anterior a PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES.

2

7 1

6

2

2

7 1

6

2



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2- Proporção

Exercício

Numa escola, a razão do número de professores

para o número de auxiliares é de 16:2.

Que conclusão podemos tirar da informação dada?

RESPOSTA

Como a razão entre o número de professores e o

número de auxiliares é de 16:2, podemos concluir

que para cada 16 professores existem 2 auxiliares.



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2- Proporção

• Se o número total de professores e auxiliares forigual a 108, quantos professores e quantosauxiliares têm a escola?

18 108 16 108 172896

16 18 18x x x

x

RESPOSTA:

Por cada 18 trabalhadores existem 16 professores.

Então, para 108 trabalhadores haverá x professores.

A escola tem 96 professores e

108 – 96 = 12 auxiliares.



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Uma propriedade fundamental para série de razões

iguais (ou proporção múltipla) é a seguinte: em uma

série de razões iguais, a soma dos numeradores está

para a soma dos denominadores assim como qualquer

numerador está para o seu respectivo denominador.

6 10 12 8 6 10 12 8 6 10 12 8

3 5 6 4 3 5 6 4 3 5 6 4

Divisão ProporcionalDivisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número em partes diretamente proporcionais a

outros números dados significa encontrar parcelas desse

número que são diretamente proporcionais aos números

dados e que, somadas, reproduzam esse número.



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Divisão ProporcionalDivisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros

números dados significa encontrar parcelas desse número que

são diretamente proporcionais aos números dados e que,

somadas, reproduzam esse número.

1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema

hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como

João trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles

deverão dividir com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa

tarefa?

2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu

30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano

de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro

for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja

diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um

recebeu.https://ranildolopes.wordpress.com-


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Divisão ProporcionalDivisão em partes inversamente proporcionais

Dividir um número em partes inversamente

proporcionais a outros números dados é encontrar

parcelas desse número que sejam diretamente

proporcionais aos inversos desses números dados.

Exercício:

João e Pedro vão trabalhar por um mesmo período

de tempo para fabricar e vender por R$ 1.600,00 um

certo artigo. Se João chegou atrasado por 3 dias e

Pedro 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça?



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Grandezas ProporcionaisA proporcionalidade entre grandezas pode ser

direta ou inversa. Esquematicamente, se duas

grandezas são diretamente proporcionais podemos

representá-las como:

x y ou x y

Duas grandezas variáveis são diretamente

proporcionais quando, aumentando ou diminuindo

uma delas numa determinada razão, a outra

aumenta ou diminui nessa mesma razão.



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Proporção Inversa ou Grandezas

Inversamente Proporcionais

Se duas grandezas forem inversamente proporcionais

podemos representá-las como:

x y ou x y

Duas grandezas são inversamente proporcionais

quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas

numa determinada razão, a outra diminui (ou

aumenta) na mesma razão.



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3- Regra de Três

Exercícios 2

Dois ciclistas se deslocam com velocidades constantes de

30km/h e 27km/h, respectivamente, percorrendo uma mesma

distância. Se um gasta 18 minutos a mais que o outro,

determine o tempo gasto pelo ciclista mais lento.

Regra de três simples

Exercícios 1

Se para tomar um banho de 12 minutos uma pessoa gasta 0,45

kWh, quanto consumirá se aumentar o tempo de seu banho

para 20 minutos?W = P.T, onde:

W - energia consumida;

P - potência do eletrodoméstico considerado;

T - tempo de utilização do eletrodoméstico.

V = E/T, onde:

V - velocidade;

E - espaço;

T - tempo.https://ranildolopes.wordpress.com-


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3- Regra de Três

Exercícios 2

Se 45 máquinas realizam uma obra em 16 dias,

funcionando 7 horas por dia, quantas máquinas seriam

necessárias para realizar esta obra em 12 dias,

funcionando 10 horas por dia?

Regra de três composta

Exercícios 1

Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem

400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo

produzirão 7 operários, trabalhando 9 dias?



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VALEU!

PESSOAL



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