razões e proporções amintas paiva afonso. 1- razão em nossa vida diária, estamos sempre fazendo...

Razões e Proporções

Amintas Paiva Afonso

1- RazãoEm nossa vida diária, estamos sempre fazendo comparações, e quando fazemos comparações, estamos relacionando dois números.Na linguagem matemática, todas essas comparações são expressas por um quociente chamado razão. A palavra razão vem do latim “ratio”, e significa divisão. Temos, então:

5 120 4

12

2 110 5

De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática

Um dia de sol, para cada dois de chuva

De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos

RazãoComparação

Uma razão é uma divisão entre dois números.

São exemplos de razões: 3 ou 3:55

4,5 ou 4,5:22

1- Razão

Usa-se uma razão quando queremos comparar unidades, entre si.

Por exemplo:Para fazer uma bebida usaram-se 3 litros de sumo de laranja e 2 litros de água.O sumo de laranja está para a água na razão de 3:2 ou na razão 3/2.

1- Razão

A Maria e o João dividiram uma pizza entre si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o João ficou com 5 fatias.Qual é a razão entre o número fatias da Maria e o número de fatias do João?

Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).

1- Razão

Numa razão, os termos (números) têm um nome próprio, tendo em conta o sítio onde se escrevem.Por exemplo:Na razão 3/5 ou 3:5 o número 3 chama-se antecedente e o número 5 chama-se consequente.

1- Razão

Num mapa, a escala é a razão entre a distância no mapa e a distância real correspondente.

No mapa da figura, a distância entre Cascais e Estoril é de 1,6 cm. A distância real entre as duas localidades é de 3,2 km.Qual é a escala do mapa?

1- Razão

Na escala de um mapa o antecedente da razão costuma ser 1 e as unidades utilizadas são as mesmas, nos dois termos da razão.

1,6 cm (distância no mapa entre Cascais e Estoril)3,2 km = 320000 cm (distância real entre Cascais e Estoril)A razão é 1,6:320000. Mas como o antecedente deve ser 1, temos de dividir os termos da razão por 1,6.

(1,6 : 1,6 = 1 e 320000 : 1,6 = 200000)A escala do mapa é 1:200000.

1- Razão

Se as grandezas são da mesma espécie (comprimento e largura, ou área e área), suas medidas devem ser expressas na mesma unidade e nesse caso, a razão é um número puro. Ex: Se temos que determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 180 m2 e a de basquete possui uma área de 240 m2, vamos escrever:Razão entre as áreas da quadra de vôlei e de basquete:

2

2

180 3240 4mm

1- RazãoSe as grandezas não são da mesma espécie (quilômetros percorridos e o tempo transcorrido), a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Para irmos de uma cidade A para uma cidade B, percorremos 240 km. Se fazemos este percurso em 3 horas, a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é igual à divisão entre as medidas das duas grandezas. Não podemos esquecer a unidade resultante desta divisão:240 80 /

3km km hh

Exercícios

2) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores de um dos times era de 1,72 m. Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com 1,77m de altura foi substituído. Em seu lugar, entrou um outro que media 1,68m de altura. No segundo tempo, outro jogador, com 1,73m de altura foi expulso. Ao terminar a partida qual era a média de altura dos jogadores desse time?

1) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão de 4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m, determine a largura (em metros).

3) Um grupo de 12 amigos deveria dividir igualmente o valor da conta em um bar. Na hora de pagar, três pessoas não tinham dinheiro e, por isso, cada uma das outras teve que pagar R$ 5,00 a mais do que o previsto. Qual foi o valor da conta?

2- ProporçãoEm uma pesquisa curta, foi obtido o seguinte resultado: de 30 alunos entrevistados na Faculdade Pitágoras, 10 gostam de Matemática, portanto também poderíamos supor que, se forem entrevistados 120 alunos da mesma faculdade, 40 deverão gostar de Matemática. Na verdade, ao falar de 40 alunos dos 120 alunos estamos afirmando que 10 estão representando em 30 o mesmo que 40 em 120.Escrevemos:

10 4030 120

Uma propriedade fundamental das proporções é a seguinte: em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 362 94 18

2- Proporção

Considera a razão .

Se multiplicares ambos os termos da razão pelo mesmo número, por exemplo, por 3, obtemos uma nova razão:

Quando escrevemos a igualdade temos uma

proporção.

Uma PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas razões.

27

33

2 67 21

2 67 21

2- Proporção

A proporção deve ler-se:

“2 está para 7 assim como 6 está para 21”.

Numa proporção, os números (termos) que lá aparecem têm um determinado nome de acordo com o sítio onde se encontram escritos.

Os números 2 e 21 são chamados os extremos. Os números 7 e 6 são chamados os meios.

27 1

62

2- Proporção

Multiplica os extremos da proporção

Produto dos extremos: 2 x 21 = 42

Multiplica os meios da proporção

Produto dos meios: 7 x 6 = 42

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Chama-se à igualdade anterior a PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES.

27 1

62

27 1

62

2- Proporção

ExercícioNuma escola, a razão do número de professores para o número de auxiliares é de 16:2.

Que conclusão podemos tirar da informação dada?

RESPOSTAComo a razão entre o número de professores e o número de auxiliares é de 16:2, podemos concluir que para cada 16 professores existem 2 auxiliares.

2- Proporção

• Se o número total de professores e auxiliares for igual a 108, quantos professores e quantos auxiliares têm a escola?

18 108 16 108 1728 9616 18 18

x x xx

RESPOSTA:Por cada 18 trabalhadores existem 16 professores. Então, para 108 trabalhadores haverá x professores.

A escola tem 96 professores e 108 – 96 = 12 auxiliares.

2- Proporção

Uma propriedade fundamental para série de razões iguais (ou proporção múltipla) é a seguinte: em uma série de razões iguais, a soma dos numeradores está para a soma dos denominadores assim como qualquer numerador está para o seu respectivo denominador.

6 10 12 8 6 10 12 8 6 10 12 83 5 6 4 3 5 6 4 3 5 6 4

Divisão ProporcionalDivisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número.

Divisão ProporcionalDivisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número.

1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa?

2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu.

Divisão ProporcionalDivisão em partes inversamente proporcionais

Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos desses números dados.

Exercício:João e Pedro vão trabalhar por um mesmo período de tempo para fabricar e vender por R$ 1.600,00 um certo artigo. Se João chegou atrasado por 3 dias e Pedro 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça?

Grandezas ProporcionaisA proporcionalidade entre grandezas pode ser direta ou inversa. Esquematicamente, se duas grandezas são diretamente proporcionais podemos representá-las como:

x y ou x y

Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão.

Grandezas Diretamente Proporcionais

• Quando vais ao bar comprar um sumo, por exemplo, verificas o seguinte:

1 embalagem custa 0,5 euros;2 embalagens custam 1 euro;3 embalagens custam 1,5 euros;4 embalagens custam 2 euros;5 embalagens custam 2,5 euros;6 embalagens custam 3 euros;...


• As duas grandezas (custo e número de embalagens) variam sempre na mesma razão:

Se uma das grandezas duplica a outra também duplica Se uma das grandezas triplica a outra também triplica ...

• Quando isto acontece dizemos que as grandezas são diretamente proporcionais.


Número de embalagens (x) 1 2 3 4 5 6Custo em euros (y) 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Podes escrever os dados anteriores numa tabela.Como o valor das grandezas varia, podes usar uma letra (variável) para representar cada uma delas.

Neste caso, a letra x representa o número de embalagens e a letra y representa o custo.

Divide cada um dos valores de y pelo correspondente valor de x.

O que observas?


Dividindo os valores correspondentes de y e x, temos o seguinte:

O número que obténs não varia. É sempre igual e, por isso, chama-se constante. Neste caso o seu valor é 0,5.

Como as grandezas são directamente proporcionais diz-se que essa constante (neste caso, 0,5) é a constante de proporcionalidade directa.

0,5 0,5 0,5 00,5 1 ,51,5 2 2,5 3; ; ; ; 0, ;1 2

5 05

53 6

,4


• RESUMODadas duas grandezas X e Y, Y é diretamente proporcional a X se:

Para X = 0 também Y = 0; Para X ≠ 0 e Y ≠ 0, o quociente entre dois

quaisquer valores correspondentes é um número constante (k).

O número k é a constante de proporcionalidade direta.

YX


Num papelaria, um cliente pagou por 7 cadernos iguais a quantia de 8,75 euros.Quanto teria pago se tivesse comprado 9 daqueles cadernos?

RESOLUÇÃO:Podemos usar uma proporção. Sabemos que 7 cadernos estão para 8,75 euros, pelo que 9 cadernos estarão para x euros. Assim:

Resposta: Por 9 cadernos o cliente teria pago 11,25 euros.7 9 8,75 9 78,75 11,258,75 7 7

x x xx


Para fazer um determinado bolo, a razão entre o peso (em grama) do açucar e o peso da farinha é de 5:2.Se usares 160 g de açucar, quantos gramas de farinha deves usar?

RESOLUÇÃO:Podemos usar uma proporção. Sabemos que 5 g de açucar estão para 2 g de farinha, pelo que 160 g de açucar estarão para x g de farinha. Assim:

Resposta: Deveremos usar 64 g de farinha.5 160 2 160 320 642 5 5

x x xx


Uma torneira deita uniformemente, para um tanque que de inicio estava vazio, 4 litros de água por minuto.Ao fim de meia hora quantos litros de água deitou a torneira ?

RESOLUÇÃO:Podemos também usar uma proporção. Sabemos que 4 litros de água estão para 1 minuto, pelo que x litros de água estarão para 30 minutos (meia hora). Assim:

Resposta: Ao fim de meia hora a torneira deitou 120 litros de água.

4 4 30 120 1201 30 1 1

x x x x


A mãe da Teresa comprou 1232 dólares americanos por 1000 euros.À mesma taxa de câmbio, quantos dólares americanos poderia comprar com 50 euros?

RESOLUÇÃO:Podemos também usar uma proporção. Sabemos que 1232 dólares americanos estão para 1000 euros, pelo que x dólares americanos estarão para 50 euros. Assim:

Resposta: Com 50 euros, a mãe da Teresa poderia ter comprado 61,6 dólares americanos.

1232 1232 50 61600 61,61000 50 1000 1000

x x x x


1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)

PREÇO (P)

500 1 000 1 500 2 000 3 000

Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando ao aumentar uma, a outra também

aumenta na mesma proporção.

x 2 X 3 x 4 x 6

x 2X 3 x 4 x 6


1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)

PREÇO (P)

500 1 000 1 500 2 000 3 000

500

3 0002 500

1 000

1 500

2 000

1 65432

Duas grandezas são diretamente proporcionais, se ao representa-las graficamente obtemos uma linha

reta que passa pela origem.


1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)

PREÇO (P)

500 1 000 1 500 2 000 3 000

PN =

5001 =

1 0002 =

1 5003 =

2 0004 =

3 0006 = 500 = k

PN = k P = k N

Duas grandezas são diretamente proporcionais, se estão ligadas por um

quociente constante.

Proporção Inversa ou Grandezas Inversamente Proporcionais

Se duas grandezas forem inversamente proporcionais podemos representá-las como:

x y ou x y

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão.

3- Regra de Três

Exercícios 2Dois ciclistas se deslocam com velocidades constantes de 30km/h e 27km/h, respectivamente, percorrendo uma mesma distância. Se um gasta 18 minutos a mais que o outro, determine o tempo gasto pelo ciclista mais lento.

Regra de três simplesExercícios 1Se para tomar um banho de 12 minutos uma pessoa gasta 0,45 kWh, quanto consumirá se aumentar o tempo de seu banho para 20 minutos?W = P.T, onde:W - energia consumida;P - potência do eletrodoméstico considerado;T - tempo de utilização do eletrodoméstico.

V = E/T, onde:V - velocidade;E - espaço;T - tempo.

3- Regra de Três

Exercícios 2Se 45 máquinas realizam uma obra em 16 dias, funcionando 7 horas por dia, quantas máquinas seriam necessárias para realizar esta obra em 12 dias, funcionando 10 horas por dia?

Regra de três compostaExercícios 1Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão 7 operários, trabalhando 9 dias?

Grandezas Inversamente Proporcionais

120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)

TEMPO (t)

1 2 3 4 6

Duas grandezas são inversamente proporcionais, quando ao aumentar uma, a outra diminui na

mesma proporção, e vice-versa.

÷ 2 ÷ 3 ÷ 4 ÷ 6

x 2X 3 x 4 x 6

X = 120 km


20

120

100

40

60

80

1 65432

Duas grandezas são inversamente proporcionais, se ao representar-as graficamente obtemos uma

curva chamada hipérbola.

120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)

TEMPO (t)

1 2 3 4 6


= k

kt=VV · t = k

Duas grandezas são inversamente proporcionais, se estiverem ligadas por um produto constante.

120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)

TEMPO (t)

1 2 3 4 6

V · t = (120)(1) = (60)(2) = (40)(3) = (30)(4) = (20)(6) = 120

razões e proporções amintas paiva afonso. 1- razão em nossa vida diária, estamos sempre fazendo...

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