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FACULDADE ALFREDO NASSER INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO
CURSO DE MATEMÁTICA
RAZÃO ÁUREA: Suas aplicações e importância no Ensino de Matemática
Cristiano Barreto de Oliveira
APARECIDADA DE GOIÂNIA
2010
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CRISTIANO BARRETO DE OLIVEIRA
RAZÃO ÁUREA: Suas aplicações e importância no Ensino de Matemática
Monografia apresentado ao Instituto Superior de Educação da faculdade Alfredo Nasser, sob orientação do Profº. Ms. Ronan Santana dos Santos como parte dos requisitos para a conclusão do curso de Matemática.
APARECIDADA DE GOIÂNIA
2010
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RAZÃO ÁUREA: Suas aplicações e importância no Ensino de Matemática
Aparecida de Goiânia, 26 Novembro de 2010.
EXAMINADORES
Orientador – Prof.(a) Ms. Ronan Santana dos Santos - Nota: _____ / 70
Primeiro examinador – Prof.(a) __________________________________ - Nota: _____ / 70
Segundo examinador – Prof.(a) __________________________________ - Nota: _____ / 70
Média parcial – Avaliação da produção do Trabalho: _____ / 70
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Dedico este trabalho a Deus, aos meus pais José Rui (in memorian) e Maria de Lourdes Barreto de Oliveira, aos meus irmãos e principalmente a minha esposa Elayne Di Silva que soube compreender cotidianamente minha ausência, mas acima de tudo nunca deixou de me apoiar e incentivar.
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AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiro a Deus que me proporcionou saúde e sabedoria durante esse
período muito importante para a minha vida.
Aos meus pais e familiares, pelo apoio e confiança que sempre depositaram na
minha formação.
A minha esposa e a sua família que estiveram ao meu lado incentivando nos
momento de preocupação durante o meu curso.
Ao meu irmão Marlon, pela confiança e incentivo nos meus estudos desde a
ausência de meu pai.
Aos meus colegas da faculdade Emerson, Lucas, Rosana, Marcio e Reginaldo,
que no momento de minhas dificuldades, estiveram sempre ao meu lado.
Aos professores da Faculdade Alfredo Nasser que nunca mediram esforços no
sentido de auxiliar o crescimento da minha vida acadêmica.
Ao meu orientador e responsável pelo meu projeto e pelo auxilio durante a
realização desse trabalho.
5
A ousadia do fazer é que abre o campo do possível.
Pedro Garcia
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................8
I A RELEVÂNCIA DO TEMA RAZÃO ÁUREA ...........................................................12
II A HISTÓRIA DE PITÁGORAS E SUAS DESCOBERTAS ......................................14
III A RAZÃO ÁUREA E O NÚMERO DE OURO ..........................................................22 3.1. Relações associadas ao número de ouro................................................................23 3.2. O número de ouro..................................................................................................26
IV A RAZÃO ÁUREA E O NÚMERO DE OURO RELACIONADOS A O MODULOR, OBRAS RENASCENTISTAS, FOCANDO LEONARDO DA VINCI, A NATUREZA, OS ANIMAIS E A MÚSICA ................................................................................................30
4.1. O modulor............................................................................................................30 4.2. Leonardo da Vinci...............................................................................................32 4.3. O número de ouro na natureza.............................................................................34 4.4. Aspiral Logarítimica.............................................................................................36 4.5. Amúsica e a razão áurea.......................................................................................37
V CAMINHOS PERCORRIDOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO ...........................................................................................................................39
5.1. Atividade desenvolvida........................................................................................39 5.2. Sugestões produzidas para o desenvolvimento da aprendizagem na sala de
aula............................................................................................................................................40 5.2.1 O triângulo áureo.................................................................................................40 5.2.2 O retângulo áureo e sua construção ...................................................................43 5.3. Análise dos dados................................................................................................45
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................46
REFERÊNCIAS.....................................................................................................................48
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LISTA DE FIGURAS
Figura 01 – Sólidos Convexos regulares ................................................................................ 16 Figura 02 – Pentágono .............................................................................................................16 Figura 03 – Pentágono Regular ............................................................................................... 17 Figura 04 – Pirâmide de Quéops, em Gizé ............................................................................. 27 Figura 05 – Papiro de Rhind (Egipcio) ou Ahmas (museu Britânico) ................................... 28 Figura 06 – Parthenon ............................................................................................................. 28 Figura 07 – Taj Mahal ............................................................................................................. 29 Figura 08 – Modulor 1 ............................................................................................................ 31 Figura 09 – Modulor 2 ............................................................................................................ 31 Figura 10 – Homem Vitruviano .............................................................................................. 32 Figura 11 – Mona Lisa ............................................................................................................ 33 Figura 12 – Ultima ceia de salvador Dali ............................................................................... 33 Figura 13 – Galho de Folha.................................................................................................... 34 Figura 14 – Girassol ................................................................................................................ 34 Figura 15 – Caule .................................................................................................................... 34 Figura 16 – Concha do Natilus ............................................................................................... 35 Figura 17 – Rabo de um camaleão .......................................................................................... 35 Figura 18 – Razão Áurea ........................................................................................................ 35 Figura 19 – Espiral Logarítmica ............................................................................................. 36 Figura 20 – Violino ................................................................................................................ .38 Figura 21 – Teclado ................................................................................................................ 38 Figura 22 – Triângulo Áureo .................................................................................................. 40 Figura 23 – Retângulo Áureo e Triângulo Áureo, respectivamente ....................................... 41 Figura 24 – Figura 24 .............................................................................................................. 43 Figura 25 – O retângulo AHCG é .áureo ................................................................................ 44 Figura 26 – Quadrados Perfeitos ............................................................................................45
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INTRODUÇÃO
A realidade do ensino da Matemática no contexto escolar mostra uma dificuldade
significativa para que os conteúdos de ensino sejam executados, com isso muitos aspectos
importantes da Matemática, muitas vezes, não chegam ao conhecimento dos alunos. Essa ação
passa a ser evidenciada quando nas séries consecutivas de sua formação, o mesmo precisa de
conhecimentos não adquiridos, prejudicando o seu processo de ensino e aprendizagem da
Matemática.
A Matemática é uma área do conhecimento que se relaciona com as demais sejam elas
exatas ou humanas. Está presente no cotidiano, na natureza, nas artes, o que lhe atribui
características de um conhecimento social. Seu ensino, quando associado à possibilidade de
leitura da realidade, à história da humanidade, à tecnologia, a uma linguagem universal, toma
uma dimensão interdisciplinar.
É preciso que os professores de Matemática estejam convencidos da função social da
escola e atribuam à sua ação pedagógica, objetivos amplos que possibilitem a alunos a
aplicação de suas aprendizagens em contextos diferentes daqueles que foram aprendidos, na
expectativa de que o trabalho escolar extrapole a sala de aula.
Diante deste cenário sobre o ensino da matemática, propomos o estudo da Razão
Áurea no Ensino Médio para auxiliar a aprendizagem em alguns aspectos da matemática. A
intencionalidade deste trabalho parte de aspectos históricos da Razão Áurea e envolve
conseqüentemente o número Phi ou Número de Ouro, procurando motivar os alunos a se
interessarem pelo estudo de matemática por meio da curiosidade que estes números
apresentam.
Durante nosso estudo desenvolveremos um algoritmo para mostrar como chegar ao
número de ouro, assim como fez Euclides de Alexandria, todo processo para chegarmos a
uma equação onde encontraremos duas raízes, uma será o número � (número de ouro) e a
outra, será um número denominado � (razão áurea), passaremos por curiosidades calculando
matematicamente com essas duas raízes.
O Número de Ouro, presente na natureza, que desde os tempos mais remotos é
aplicado na arte, traduz a proporção geométrica conhecida como razão áurea, usada na
pintura, escultura, na arquitetura. O retângulo de ouro, uma forma visualmente glamorosa, que
expressa movimento e beleza, foi utilizada por vários artistas entre eles Leonardo da Vinci e
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mais recentemente por Lê Corbusier. Tendo como tema a Razão Áurea, o presente trabalho,
aborda aspectos da Matemática, da arte, da natureza e do cotidiano, numa perspectiva sócio-
histórica e interdisciplinar, visando a proporcionar uma reflexão sobre o ensino de geometria
na escola e sua relação com outras áreas de conhecimento.
Com base nos autores estudados têm-se os seguintes objetivos:
Como objetivo geral do estudo do tema em questão:
� Problematizar a proposta de ensino aprendizagem da educação escolar e como
esta concepção está sendo aplicada na sala de aula;
E os objetivos específicos:
� Neste trabalho monográfico feito a partir de pesquisas bibliográficas chegamos
ao número irracional 1,6180339..., que é o número de ouro, hoje conhecido como número Phi
�, tendo como um dos objetivos de levantar os conhecimentos existentes sobre Razão Áurea
para auxiliar o ensino de alguns conteúdos matemáticos.
� Pesquisar alguns dos aspectos que envolvem a Razão Áurea;
� Compreender a análise que os matemáticos realizaram para chegar à Razão
Áurea envolvendo algumas situações geométricas e fenômenos da natureza;
� Realizar as conexões existentes entre conteúdos matemáticos que utilizam a
Razão Áurea;
� Sugerir situações que utilize a Razão Áurea no ensino da Matemática.
Assim temos a pretensão de estimular o prazer de estudar conteúdos estudados por
muitos estudiosos matemáticos, desde antes de Cristo.
� Trabalharemos o número de ouro em cada elemento em que ele existe para
mostrar que esse número irracional, além de misterioso, pode nos ajudar.
� Mostraremos que o número de ouro pode ser encontrado matematicamente e
que está contido em muitas outras coisas que nem podíamos imaginar, como na arquitetura,
plantas, pessoas, etc.
� Exibiremos o processo histórico, sobre o surgimento da razão áurea, sua
importância em nosso meio, o seu desenvolvimento, alguns exemplos em que encontramos e
onde pode ser usada, a sua influência na ciência, como foi estudado e como foi conhecida
pelos grandes estudiosos, sua presença em nosso contexto a partir de um segmento, o estudo
sobre a estrela pitagórica, os grandes estudiosos da época e suas contribuições para o
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desenvolvimento da humanidade e do número Phi. Nesse estudo, veremos algumas
demonstrações e ilustrações e como chegar ao número de ouro.
� Na história do número de ouro, passaremos desde o Egito antigo, as pirâmides
como a de Quéops e as relações nas construções da época. Alguns artefatos do Egito antigo
relatam se as pirâmides haviam sido construídas ou não a partir do número de ouro.
� Uma das construções que possuem muitas relações com o número de ouro está
em Atenas na Grécia, o Parthenon construído pelo engenheiro Fidas. Outra construída no
século XVI está na Índia em Agra, o Taj Mahal que nos mostrará muitas relações com o
número Phi.
� Um sistema de medição padronizada do homem foi desenvolvido por Lê
Corbusier (suíço que desenvolveu todo seu trabalho na França) e ficou conhecido como
Modulor. O sistema traz relações de medidas ideais do homem.
� Fibonacci publicou o livro “Líber Abaci” que era voltado principalmente para
o comércio e continha o sistema numérico Indo-arábico o método de operações aritméticas e
principalmente a famosa sequência de Fibonacci.
� Mostraremos o retângulo áureo que foi muito discutido entre os estudiosos
matemáticos da era renascentista. A base de todo o trabalho artístico foi inspirado através do
retângulo áureo e até hoje muitos o usam para relacionar os trabalhos artísticos. Alguns desses
trabalhos renascentistas são a Monalisa de Leonardo Da Vicci e a Santa Ceia de Salvador
Dali, sendo o que mais nos fascinou nesse trabalho foi à construção desse retângulo, que pode
ser construído de várias formas. Em nosso estudo destacamos esboços e curiosidades sobre o
retângulo. Mostraremos em cálculos numéricos a construção desses retângulos, mostraremos
que quando se constroem um retângulo sobrepondo o outro esse irá para o infinito, acharemos
também a espiral logarítmica e “O olho de Deus” como disse Pickover que seria o encontro
das diagonais nos retângulos áureos.
� O pentagrama é uma figura fascinante, a partir dele, os pitagóricos encontraram
a estrela pitagórica, símbolo que foi do céu ao inferno na era renascentista, mas hoje, temos
outros olhares quando se trata da estrela pitagórica. Leonardo Da Vicci, um dos pitagóricos,
pintou o homem vitruviano, o símbolo da perfeição e mostrou às relações que divide o
homem, alguma dessas divisões tem relações muito importantes e é usada pelo homem para a
estética corporal do humano.
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� O estudo das plantas e a razão áurea nos mostrarão fatos curiosos da própria
natureza. Com interdisciplinaridade entre botânica e matemática geométrica, o homem
conseguiu provar que o nascimento de uma folha após a outra ou um galho após o outro,
segue a seqüência de Fibonacci, as pétalas de rosa, para que uma possa nascer existe sempre
uma distância da outra que virá posteriormente. A espiral logarítmica é outro estudo que vai
nos mostrar a razão áurea. Mostraremos aqui alguns exemplos da espiral logarítmica.
� Mostraremos como a música e a razão áurea está ligada diretamente. Desde a
invenção das notas musicais, que foram criadas pelos pitágoricos até a construção de
instrumentos musicais.
Levantarei os conhecimentos existentes em relação à Razão Áurea para auxiliar o
ensino da matemática. No desenvolver da pesquisa foi realizada a revisão de literatura dos
seguintes aspectos: segmento em média e extrema razão; as expressões que definem a Razão
Áurea; a construção do Retângulo Áureo e suas propriedades; sobre a Espiral Logarítmica;
sobre Lê Corbusier e o “Homem vitruviano”; A Pirâmide Áurea; Triângulo Áureo;
Pentagrama; e a Razão Áurea na proporção do corpo humano. A metodologia utilizada foi de
levantamento bibliográfico. O trabalho mostra que é possível partindo da Razão Áurea
trabalhar no dia a dia de sala de aula com diversos aspectos da Matemática e com isso
estimular um maior interesse do discente e auxiliá-lo no processo ensino e aprendizagem da
mesma. As divisões dos capítulos seguirão a seguinte ordem: No primeiro capítulo falarei dos
caminhos percorridos para o desenvolvimento do trabalho, no segundo capítulo falarei da
minha justificativa para fazer este trabalho.
� No capítulo III falarei sobre a história de Pitágoras e os pitágoricos e suas
descobertas.
� No capítulo IV falarei sobre o número de ouro e suas relações.
� No caítulo V falarei a respeito da razão áurea e o número de ouro relacionados
ao modulor, obras renascentistas, focando Leonardo da Vinci, na natureza, nos animais e na
música.
� No capítulo VI encerrarei o trabalho com as minhas considerações finais.
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CAPÍTULO I
A RELEVÂNCIA DO TEMA RAZÃO ÁUREA
A Razão Áurea nos permite fazer mudanças de cunho pedagógico para uma nova
postura educacional, que vise adotar novos métodos de trabalho envolvendo toda a escola,
redimensionando o sentido da sua existência e importância na vida do professor, do aluno e da
sociedade.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998) afirma que “a Matemática é
componente importante na construção da cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza,
cada vez mais, de conhecimentos e recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se
apropriar” (PCNs, 1998, pág. 19). Mas sabemos que a sociedade está em contínua
transformação cultural, social e econômica. Todos os dias surgem novas tendências e com a
mesma rapidez que surgem elas também desaparecem.
Estas constantes transformações fazem com que as pessoas se capacitem para conviver
e dominar as muitas novas informações que aparecem quase que diariamente. Tendo acesso à
informação e educação, as pessoas saberão utilizar de todos os seus conhecimentos de forma
adequada, possibilitando a sua adaptação na sociedade.
Cada vez fica mais necessário direcionar a educação para mudanças de consciências,
demonstrando que ela está presente na vida de todas as pessoas.
É de fundamental importância toda e qualquer forma de mudança da Educação
Matemática, pois muitos alunos não gostam de matemática por não entendê-la ou não foram
motivados a isso.
A Razão Áurea é um tema que chamou a minha atenção não apenas por sua perfeição,
beleza e uma grande harmonia, mas, sobretudo, por favorecer uma interligação de várias áreas
da matemática com outras disciplinas e o aperfeiçoamento de noções consideradas
fundamentais no ensino da matemática possibilitando contribuir para um novo currículo
escolar.
A respeito do papel da história da matemática no currículo escolar, os PCN (1998)
defendem que se o professor conhecer as resistências e as dificuldades enfrentadas pelo
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homem no passado quando foi produzido e sistematizado um conhecimento, terá condições de
compreender melhor e aceitar as dificuldades apresentadas por seus alunos na construção
desse conhecimento. Assim, na operacionalização dessa proposta, professores e alunos se
deparam com uma nova maneira de ensinar e aprender, e de se relacionarem entre si. Fatos
estes que exigem compromisso da escola e dos educadores em busca de melhores condições
para desenvolver práticas que possibilitem uma ampla formação do educando.
Mostrarei que desde o antigo Egito até os dias atuais, a Razão Áurea vem mostrando
alguns aspectos que influenciam no desenvolvimento do mundo, desde um simples girassol na
natureza, até a estética corporal humana, passando por uma infinidade de elementos que o
homem vem estudando e que muitos de nós não conhecemos e não compreendemos.
Acredito que o trabalho com a Razão Áurea pode ser bastante rico, pois permite ao
professor rever, ampliar e aprofundar diversos conceitos e procedimentos ligados a números
irracionais, razão, proporção, semelhança de figuras planas, construções geométricas e
demonstrações.
Em síntese, o propósito é contribuir para uma melhor formação dos alunos,
apresentando uma seqüência de atividades, cujo desenvolvimento pode favorecer na sua
aprendizagem.
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CAPÍTULO II
A HISTÓRIA DE PITÁGORAS E SUAS DESCOBERTAS
O filosofo e matemático grego Pitágoras nascido por volta de 570 a.C. na Ásia Menor,
na ilha de Samos, no mar Egeu, viajou ao Egito, Babilônia e outros países onde acumulou
conhecimentos em Astronomia, Matemática e Filosofia. Pitágoras aparentemente saiu de
Samos para escapar da tirania sufocante de Polícrates (morto por volta de 522 a.C.), que
estabeleceu uma supremacia naval sâmia no mar Egeu.
Seguindo ao conselho de seu professor, o matemático Tales de Mileto, Pitágoras tenha
vivido durante vinte e dois anos (segundo alguns relatos) no Egito, onde ele teria aprendido
Matemática, Filosofia e temas religiosos com os sacerdotes egípcios. Após o Egito ser
esmagado pelas forças persas, Pitágoras pode ter sido levado para a Babilônia junto com
alguns membros do clero. Lá ele teria entrado em contato com o conhecimento matemático
mesopotâmico. A matemática egípcia e babilônica se mostrou fraca para a inteligência de
Pitágoras. Para esses dois povos, a matemática fornecia ferramentas práticas destinada a
cálculos específicos, (como se fosse receitas de bolo). Já Pitágoras, compreendia os números
como entidades abstratas que existem por si mesmo.
Ao retornar à Grécia, na ilha de Crotona, costa sudeste, hoje Itália, Pitágoras começou
a dar aulas de Filosofia e Matemática, atraindo uma multidão de seguidores, que podemos
incluir a esta multidão de seguidores a jovem e bela Theano, (filha de seu anfitrião Milo), com
quem mais tarde ele se casou.
Pitágoras de Samos pertence mais ao mundo da lenda que à realidade. Conta uma
lenda que Pitágoras tinha uma marca de nascença dourada na coxa, que seus seguidores
consideravam uma indicação de que ele era um filho do deus Apolo.
Nenhuma das biografias de Pitágoras escritas na antiguidade foi preservada, dizem que
Pitágoras, aparentemente, não escreveu nada. Mesmo assim, sua influência era tão grande que
seus seguidores formaram uma sociedade secreta, ou irmandade, e eram conhecidos como
Pitagóricos.
Pitágoras fundou a Escola Pitagórica, uma espécie de associação de caráter mais
religioso que filosófico, cujas doutrinas eram mantidas em segredo. Os pitagóricos faziam
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uma tatuagem, o pentagrama na mão. Segundo alguns historiadores, a razão disto é que, além
de aparecer a “razão áurea”, dentro de um pentagrama tem um pentágono e neste é possível
inscrever outro pentagrama, dentro deste pentagrama outro pentágono, depois outro..., ou seja,
aparece a noção de infinito.
Os ensinamentos não eram escritos, mas transmitidos oralmente e guardados em
segredo entre seus seguidores. O descumprimento desta norma ocorria à excomunhão do
seguidor de Pitágoras.
Os fatos a respeito da morte de Pitágoras são tão imprecisos quanto os fatos sobre sua
vida. De acordo com uma história, a casa na qual ele ficava em Crotona foi incendiada por
uma multidão invejosa da elite pitagórica, e Pitágoras foi assassinado durante a fuga, ao
chegar a um lugar cheio de grãos no qual ele não iria pisar. Uma versão diferente é dada pelo
cientista e filósofo grego Dicaearco de Messana (cerca de 355-280 a.C.), que afirma que
Pitágoras conseguiu fugir até o Templo das Musas em Metaponto, onde ele morreu depois de
quarenta dias de fome. Uma história completamente diferente é contada por Hermipo.
Segundo ele, Pitágoras foi morto pelos siracusanos em sua guerra contra o exercito de
Agrigento, ao qual Pitágoras fez parte.
Embora seja quase impossível atribuir com certeza qualquer feito matemático ao
próprio Pitágoras ou aos seus seguidores, não há dúvida de que eles foram responsáveis por
uma mistura de matemática, filosofia de vida e religião sem paralelo na história. A esse
respeito, é interessante observar a coincidência de Pitágoras ter sido contemporâneo de Buda
e de Confúcio.
Atribui-se a Pitágoras a invenção das palavras “filosofia” (“amor pela verdade”) e
“matemática” (“aquilo que é aprendido”). Para Pitágoras, um filósofo era alguém que se
dedicava a descobrir o significado e o objetivo da vida, a revelar os segredos da natureza.
Segundo seus ensinamentos, o sagrado mistério da ciência tem o seu centro na
matemática, no estudo do número, cuja lei domina todas as coisas: nos astros, cujas
distâncias, grandezas e movimentos são regulados por meio de relações matemáticas,
geométricas e numéricas; nos sons, cujas relações de harmonia obedecem a leis numéricas
fixas; na vida e na saúde, que são proporções numéricas e harmônicas de elementos;
Eles entediam que o “número dirige o universo”, essência de todas as coisas que existe
na natureza pode ser explicada através dos números.
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Apesar do misticismo que os envolvia, fizeram descobertas importantes sobre os
números. Embora haja contradições, devido à falta de documentos da época. “Não é possível
precisar aquilo que é próprio de Pitágoras e o que é contribuição de seus discípulos, mas
provavelmente os pitagóricos descobriram três dos cinco sólidos convexos regulares.”
(BOYER, 1996, p. 59). O que se conhece do pensamento pitagórico é baseado em fontes
posteriores e não se tem uma precisão do que é verdade e do que é falso em relação a
Pitágoras.
Figura 01: Sólidos convexos regulares
Estes cinco sólidos convexos regulares podem cada um, ser circunscrito por uma
esfera: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro. Um gosto pelos
“mistérios” levou os gregos antigos a atribuir um significado especial ao dodecaedro: suas
doze facetas regulares correspondiam aos doze signos do zodíaco. “Cada face pentagonal,
associada à divisão áurea, era de um interesse especial para os pitagóricos. O ponto de
intersecção P divide cada uma delas na proporção áurea. P divide AQ e AB internamente e
QB externamente nessa proporção.” (HUNTLEY, 1985, p. 36). O pentágono era considerado
como símbolo do universo pelos pitagóricos.
Figura 02: Pentágono
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Os pitagóricos tentavam explicar a estrutura da matéria usando os cinco sólidos
regulares. O ultimo sólido convexo regular descoberto pelos pitagóricos, o dodecaedro, tem
suas faces pentagonais que se relacionam fortemente com a Razão Áurea. Talvez por isto, os
pitagóricos o consideravam muito especial.
Platão que viveu (428/427 a.C - 348/347 a.C.) uma das mentes mais influentes da
Grécia antiga e da civilização ocidental em geral considerou o dodecaedro como “um símbolo
do universo” (BOYER, 1996, p. 58).
Dizem que Platão estudou matemática com o pitagórico Teodoro de Cirene, que foi o
primeiro a provar que, além da raiz quadrada de dois, números como raiz quadrada de três,
raiz quadrada de cinco, até a raiz quadrada de dezessete também eram irracionais.
Considerando o papel de Platão na matemática em geral, e em relação à Razão Áurea, em
particular, temos que analisar não só suas contribuições puramente matemática, mas o efeito
de sua influência e de seu estímulo para a matemática de outras pessoas da sua e das gerações
seguintes. Até certo ponto Platão pode ser considerado um dos primeiros teóricos autênticos.
Platão tinha um grande interesse pelas propriedades dos números e das figuras geométricas.
Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais do pentágono regular
ABCDE, como na figura 8 abaixo. O pentágono menor (hachurado), formado pelas
intersecções das diagonais, está em proporção com ABCDE. A razão entre as medidas dos
lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado do número de ouro. A razão entre a área do
pentágono maior e a do pentágono menor é igual à quarta potência do número de ouro. No
triângulo isóscele ABD seus lados maiores estão em média e extrema razão com sua base.
Isto é:
Figura 03: Pentágono Regular
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No pentagrama, as medidas das diagonais estão em razão áurea com as medidas dos
lados do pentágono. Pode-se observar na figura acima que a razão entre a medida da diagonal
DA e a medida do lado AB do pentágono é fi, a razão entre a medida da diagonal DB e a
medida do lado BC também é fi e a razão entre a medida da diagonal CA e a medida do lado
AE também é fi.
Ou seja:
Quando Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea,
tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos
motivos que levava Pitágoras a dizer que tudo é número, ou seja, que a natureza segue
padrões matemáticos.
Outro importante membro da escola pitagórica foi Filolau de Crotona (meados do séc.
V a.C.), que dizia que todas as coisas têm um número e que sem os números nada se pode
conceber ou compreender, ou seja, Filolau de Crotona e os pitagóricos diziam e acreditavam
que os números eram a essência de todas as coisas. E realmente tudo que é conhecido tem
número; pois nada é possível pensar ou conhecer sem ele.
Com natureza e harmonia, dá-se o seguinte: a essência das coisas, que é eterna, e a
própria natureza seguem conhecimento divino e não humano, e seria absolutamente
impossível que alguma das coisas existentes se tornasse conhecida por nós, se não existisse a
essência das coisas das quais se constitui o cosmos.
O conhecimento desenvolvido pelos pitagóricos no estudo da acústica mantém-se
válido até hoje. Eles descobriram que a altura de um som tem relação com o comprimento da
corda que, ao vibrar, o produz. Por exemplo, se dobrarmos o tamanho de uma corda que
produz uma nota ‘‘dó’’, obteremos a mesma nota, mas uma oitava mais grave. Eles ainda
identificaram as subdivisões para obter as demais notas.
Crê-se que o estudo dos sons tenha auxiliado Pitágoras a desenvolver a idéia de que o
próprio universo estivesse organizado sobre os números e as relações entre eles.
Na matemática, o nome de Pitágoras permanece associado a uma importante relação
numérica que demonstrou haver no triângulo retângulo, conhecido como teorema de
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Pitágoras. O teorema de Pitágoras estabelece que a área do quadrado relativo à hipotenusa é
igual à soma das áreas dos quadrados relativos aos catetos.
Os pitagóricos deixaram também um fracasso na teoria da medida de grandezas
geométricas, ao atribuírem uma dimensão e uma unidade de medida chamada mônada, a qual
eles consideravam ser o “menor” segmento, originando um paradoxo quanto ao movimento
entre os extremos, fato já detectado por Zenão de Eléia.
Por mais de 500 anos antes de Cristo, os gregos (pitagóricos), vem estudando as
relações entre os segmentos de um pentagrama. Determinaram um número que desempenha
um importante papel na geometria, na estética, nas artes, na arquitetura e na biologia.
Este número é chamado de número áureo (número de ouro) ou razão (secção) áurea. A
razão áurea, além de um conceito matemático, é uma expressão de harmonia e beleza. Os
antigos gregos avaliavam essa harmonia nos seres vivos e não-vivos, buscando em suas
dimensões uma proporção que se aproximasse da razão áurea.
Um segmento de reta ou linha dividida na Razão Áurea é uma das primeiras situações
que aparece quando se pesquisa sobre a Razão Áurea.
O estudo da Razão Áurea pode se começar por um segmento de reta qualquer, que
podemos imaginar que esteja dividido de tal forma que resulte em um segmento maior e outro
segmento menor. A Razão Áurea ocorre quando o segmento menor dividido pelo maior é
igual ao maior dividido pelo segmento todo.
Na Figura abaixo podemos mostrar como isso ocorre.
Segmento em media e extrema razão
O segmento maior da Figura acima, possui o valor 1 e o menor o valor X.
Temos que:
1 X
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Ou então,
Para esclarecermos como o segmento da Figura 1 está dividido em uma Razão Áurea,
pode se resolver equação:
Utilizando a fórmula de Báskara temos:
Ou seja,
e o
Portanto o valor encontrado no X’ é conhecido como o valor da Razão Áurea, que é
representada pela letra grega fi minúscula (� = 0, 6180339...), resultado da razão do menor
pelo maior. Como X > 0, e trata-se de um segmento, podemos desconsiderar o resultado
encontrado do X”= -1,6180339... por ser negativo.
O fi letra grega, inicial do nome de Fídeas foi adotado para determinar a Razão Áurea.
Que despertou o interesse de muitos matemáticos na Idade Média e durante a Renascença. Em
1509 foi publicado um tratado de Luca Pacioli, De Divina Proportione, ilustrado por
Leonardo da Vinci. Reproduzido em 1956, é um “compêndido fascinante da aparição do fi em
várias figuras planas e sólidas”.
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Há cerca de 2,5 mil anos esta questão já intrigava os gregos. Euclides (323-285 a. C.),
o matemático grego autor de Os elementos, obra fundamental da geometria, descreveu em sua
proposição VI uma maneira de buscar o modo mais harmonioso de “[...] dividir um segmento
de reta em média e extrema razão [...] (EUCLIDES, apud EVES, 1992, p. 42), e isso foi o que
provamos logo a cima.
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CAPÍTULO III
A RAZÃO ÁUREA E O NÚMERO DE OURO
De uma maneira mais simplificada podemos chegar ao número de ouro e para isso
utilizaremos o seguinte processo:
Considere o segmento de reta, cujas duas extremidades se denominarão A e B, e
colocando um ponto D entre A e B (neste caso o ponto D estará mais perto de B), de maneira
que a razão do segmento de reta menor (DB) para o maior (AD) seja igual à razão do maior
segmento (AD) para o segmento todo (AB):
A razão entre os comprimentos destes segmentos designa-se habitualmente por seção
áurea.
Então, tem-se que:
(DB) / (AD) = (AD) / (AB)
Pode-se então definir o número de ouro se considerar:
DB = y
AD = x
AB = x + y
O número de ouro vai ser a razão entre x e y:
y / x = x / (x + y)
Se ainda substituir y por 1 (que corresponde a unidade de comprimento 1), temos que:
1 / x = x / (x + 1)
Multiplicando ambos os lados por x (x + 1), obtém-se: x² - x - 1 = 0
Resolvendo esta equação quadrática:
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Obtemos as seguintes soluções:
Não se irá considerar o segundo valor (x’’), tendo em conta que o comprimento de um
polígono, nunca poderá ser negativo.
Chegamos então, ao que pretendemos, isto é, encontramos o tão esperado número de
ouro Ф (Fi) “maiúsculo”:
= 1,6180339
3.1. RELAÇÕES ASSOCIADAS AO NÚMERO DE OURO
O fhi também está relacionado com qualquer seqüência de inteiros formada de acordo
com a lei segundo a qual cada termo é a soma dos dois termos anteriores, quaisquer que sejam
os dois primeiros termos: 11 −+ += nnn uuu . A razão de termos sucessivos,
1+nu / nu , aproxima-se cada vez mais de fi à medida que n aumenta. Podemos tomar, como
exemplo aleatório, 5 e 2 como termos iniciais, 1u e 2u .
24
Dando a seqüência 5, 2, 7, 9, 16, 25,..., 280, 453, 733,..., 13153, 21282,..., a partir da
qual podemos determinar aproximações do fi:
16/9 = 1,7777...
453/280 = 1,6178...
733/453 = 1,6181...
21282/13153 = 1,61803...
Este processo nos leva cada vez mais próximos do valor de fi, que até a sétima casa
decimal é 1,6180339.
Alguns cálculos demonstrarão que as aproximações oscilam, sendo alternadamente
maiores e menores que fi: 453/280 = 1,6178... < Φ, 733/453 = 1,6181... > Φ. Na ausência de
qualquer restrição aos dois termos iniciais da série, podemos começar com os mais simples, o
que resulta na série de Fibonacci, assim chamada por Edward Lucas em 1877.
É surpreendente que a razão áurea esteja intimamente relacionada com a chamada
seqüência de Fibonacci.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... .
Conforme Boyer (1974), tal seqüência recebe o nome “Fibonacci” devido ao apelido
dado a Leonardo Pisano (ou Leonardo de Pisa) (1170-1250) que significava filho de Bonaccio
ou Leonardo de Bigollo, Leonardo Bigollo Pisani, esses são os pseudônimos de Leonardo
Fibonacci nascido em Pisa (Toscânia). Filho de um, chefe de entrepostos onde os navios se
ancoravam no norte da África, onde hoje é conhecido como Bejaia na Argélia. Adquiriu o
conhecimento matemático islâmico viajando pelo Mediterrâneo, conhecendo vários países:
Egito, Síria, Grécia, Sicília, Provença. Quando regressou a sua terra natal, utilizou os
conhecimentos adquiridos com vários estudiosos matemáticos em suas viagens,
principalmente os islâmicos e com isso aprendeu, principalmente a matemática do mundo
árabe com várias maneiras de fazer cálculos e isso só acrescentou ao seu conhecimento para
escrever trabalhos, dentre os quais se destacam três grandes obras: Liber Abbaci (1202)
Pratica Geometrae (1220) e Liber Quadratorum (1225). O Liber Abbaci (Livro do Ábaco)
refere-se ao estudo do cálculo aritmético e é considerado o melhor tratado sobre Aritmética e
Álgebra da época por Baldassare Boncompagni, seu editor de trabalhos no século XIX, o qual
significa “Filho de Bonaccio”. Esse livro foi voltado principalmente ao comércio.
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Com os estudos sobre o sistema numérico e os métodos de operações aritméticas,
desenvolveu a seqüência de Fibonacci, onde a soma dos números antecessores gera a
seqüência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... . Com essa seqüência ficou famoso e
teve vários reconhecimentos, inclusive do imperador romano Frederico II, que o convidou
para solucionar alguns problemas que muitos matemáticos não conseguiam resolvê-los, então
pelo reinado ficou conhecido como Maravilha do Mundo.
A seqüência de Fibonacci aparece num dos problemas tratados no Liber Abbaci e que
consiste no seguinte:
Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida e, a partir de então,
produz um novo casal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos recém-
nascidos, quantos casais existirão ao final de um ano?
Então:
• No primeiro mês teria um par de coelhos juvenil;
• No segundo mês um par de adulto;
• No terceiro mês, um par de coelhos adulto e um recém nascido;
• No quarto mês, um par de coelhos adulto, um com um mês e um par recém nascido;
• No quinto mês, dois pares de coelhos adultos, um com um mês e dois recém nascidos;
• No sexto mês três pares de coelhos adultos, dois com um mês e três recém nascidos;
• No sétimo mês, cinco pares de coelhos adultos, três com um mês e cinco recém
nascidos;
• No oitavo mês, oito pares de coelhos adultos, cinco com um mês e oito recém
nascidos;
• No nono mês, treze pares de coelhos adultos, oito com um mês e treze recém nascidos;
• No décimo mês, vinte e um par de coelhos adulto, treze pares com um mês e vinte e
um recém nascidos;
• No décimo primeiro mês, trinta e quatro adultos, vinte e um com um mês e trinta e
quatro recém nascidos;
• No décimo segundo mês, e com isso ao final de um ano de procriação descobriu que
essa pessoa teria o total de oitenta e nove pares de coelhos.
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Vamos verificar que Fibonacci conseguiu provar que um número dividido pelo
anterior aproximava do número de ouro, mas esse cálculo não serviu apenas para os pares de
coelho, existem vários outros problemas que foram resolvidos usando essa teoria, as árvores
genealógicas, o índice de refração de luz, e vários outros problemas.
Designaremos com fn o número de casais de coelhos existentes após n meses.
Evidentemente, f 0 = f 1 = 1. Por outro lado, o número de casais existentes no n-ésimo mês,
fn, é igual ao numero existente um mês antes, fn − 1, mais o número de nascimentos novos.
Ora, esse número é precisamente o número de casais existentes há dois meses, fn − 2, que têm
pelo menos dois meses de vida, portanto em condições de reproduzir.
Então, cada elemento da seqüência de Fibonacci é a soma dos dois precedentes. Como
já sabemos que f 0 = f 1 = 1, podemos construir toda a seqüência:
f 0 = 1, f 1 = 1, f 2 = f 0 + f 1 = 2,
f 3 = f 1 + f 2 = 3, f 4 = f 2 + f 3 = 5,
f 5 = f 3 + f 4 = 8, f 6 = f 4 + f 5 = 13,...
Ou seja,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.
Com esta seqüência ao final de um ano de procriação descobriu que essa pessoa teria o
total de oitenta e nove pares de coelhos.
Podemos verificar também que quanto maior é a seqüência mais o resultado do
quociente de um numero pelo seu antecessor converge para o número de ouro �, ou seja,
1,6180339...
Por exemplo:
11
1 = , 21
2 = , 5,12
3= , .....6666,1
3
5= ., 6,15
8 = , 625,18
13 = , ...
3.2. O NÚMERO DE OURO
O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é
1,6180339... . Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia. A
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escola grega de Pitágoras estudou e observaram muitas relações e modelos numéricos que
apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais
importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina. Se quiséssemos dividir um
segmento AB em duas partes, teríamos uma infinidade de maneiras de fazê-lo. Como vimos
posteriormente. Existe uma, no entanto, que parece ser mais agradável à vista, como se
traduzisse uma operação harmoniosa para os nossos sentidos.
Relativamente a esta divisão, o matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o
seguinte princípio: “Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto
de vista da forma, deve apresentar à parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o
todo."
A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egito as pirâmides de
Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão entre a altura de uma face e a
metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro, conforme pode ser
observado na Figura 04.
Figura 04: Pirâmide de Quéops, em Gizé.
A construção da pirâmide de Quéops, faraó da quarta dinastia cujo reinado se estendeu
de 2551 a.C.a 2528 a.C. e tem a maior das três pirâmides de Gizé. Usou 100 mil homens
durante 20 anos. Bastante polemizada devido ao seu desgaste pelo tempo, esta pirâmide tem
as seguintes dimensões: Base: 230 metros. Altura original: 146,6 metros. Altura atual: 137
metros aproximadamente, devido à falta de seu topo, acreditam que foi construída baseando
no numero Phi, mas, por falta de evidencia, os egípcios acreditam que não usaram a razão
áurea, mas existem relações, pois, o quociente entre os lados possui a razão áurea, também as
relações em seus blocos, o bloco de baixo, era 1,6180339..., maior que o bloco de cima.
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Outro exemplo da proporção áurea na antiguidade é o Papiro de Rhind (Egípcio) ou
Ahmes que mede 5,5 metros de comprimento por 0,32 metros de largura, datado
aproximadamente no ano 1650 a.C. onde encontramos um texto matemático na forma de
manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de
um trabalho mais antigo. Refere-se a uma razão sagrada que se crê ser o número de ouro. Esta
razão ou seção áurea também aparece em muitas estátuas da antiguidade.
O Papiro de Rhind pode ser observado na Figura 05.
Figura 05: Papiro de Rhind (Egípcio) ou Ahmes (Museu Britânico)
Construído há muitas centenas de anos depois, por volta de 447 a.C. e 433 a.C., o
Parthenon Grego, templo representativo do século de Péricles contém a razão de ouro no
retângulo que contem a fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e
harmoniosa, o qual pode ser observado na Figura 06.
Figura 06: Parthenon
“O Parthenon, em Atenas, construído no século V a.C. uma das estruturas mais famosas do mundo. Quando seu frontão triangular ainda estava intacto, suas dimensões podiam se encaixadas quase exatamente em um retângulo áureo, conforme demonstrado acima. Ele representa, portanto, outro exemplo de valor estético desse formato especifico.” (HUNTLEY, 1970, p. 69).
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Assim como o Parthenon, também podemos citar como uma maravilha que possua a
razão áurea, o Taj Mahal. Construído pelo imperador Shah Jahan, entre 1630 e 1652 todo em
mármore branco sobre o tumulo de Aryumand Banu Began, a quem chamava de Muntaz
Mahal “A jóia do palácio” que faleceu após o parto do se 14º filho, ele ofereceu a ela como
prova de amor por ser a esposa mais preferida. Localizado em Agra na Índia, e o maior
mausoléu do mundo, foi reconhecido como patrimônio da humanidade pela UNESCO e
recentemente reconhecido como uma das sete maravilhas do mundo. Edificação maravilhosa,
construída baseada na razão áurea, objeto de estudo de vários cientistas, matemáticos,
arquitetos, em toda parte frontal podemos localizar a razão áurea como no desenho da figura
07.
Figura 07: Taj Mahal
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CAPÍTULO IV
A RAZÃO ÁUREA E O NÚMERO DE OURO RELACIONADO AO
MODULOR, OBRAS RENASCENTISTAS, FOCANDO LEONARDO DA VINCI, A
NATUREZA, OS ANIMAIS E A MÚSICA
4.1. O MODULOR
Durante o caminho percorrido pelo homem tentando encontrar explicações para as
coisas da natureza e da arte na matemática, questionavam se existia algo na própria
matemática que tornava essas coisas agradáveis ao sentido humano.
“Uma das propriedades que contribuem para essa efetividade é a proporção – a relação de tamanho das partes entre si e com o todo. A história da arte mostra que, na longa busca pelo elusivo cânone da proporção „perfeita‟ a que poderia de algum modo conferir automaticamente qualidades estéticas agradáveis a todas as obras artísticas, a Razão Áurea provou ser a mais duradoura. Mas por quê?” (LÍVIO, 2008, p. 69).
Diversos pesquisadores estudaram as aplicações da Razão Áurea, mas os escultores e
arquitetos representam o maior número. “Um dos defensores mais vigorosos da aplicação da
Razão Áurea na arte e na Arquitetura foi o famoso arquiteto e pintor-suíço Le Corbusier
(Charles-Édouard Jeanneret, 1887-1965)” (LÍVIO, 2008, p. 69).
O estudo das proporções perfeitas na história da arte trouxe desenvolvimento em
outras áreas, sendo os próprios estudos de Lê Corbusier um referencial. “A busca de Lê
Corbusier por uma proporção padronizada culminou na introdução de um novo sistema
proporcional chamado Modulor. Suponha-se que o Modulor forneceria uma medida
harmônica para a escala humana, universalmente aplicável na arquitetura e na mecânica.”
(LÍVIO, 2008, p. 69).
O Modulor foi baseado nas proporções humanas, Lê Corbusier sugeriu que ele
proporcionava harmonia a tudo, como por exemplo, de tamanhos de gabinetes e maçanetas a
edifícios e espaços urbanos. O Modulor é conhecido por despertar o interesse dos arquitetos
da época e por ser objeto de discussão quando se fala sobre proporção.
31
Lívio (2008, p. 199) ainda apresenta que até mesmo Einstein deu seu parecer sobre o
assunto, dizendo: “É uma escala de proporções que torna o ruim difícil e o bom fácil.”
Explicação dada por Lívio: “A razão entre a altura do homem (183 cm) e a altura de
seu umbigo (no ponto médio de 113) foi escolhida precisamente em uma Razão Áurea (...).
Os dois quocientes (113/70) e (140/86) foram subdivididos em dimensões ainda menores de
acordo com a série de Fibonacci.” (LÍVIO, 2008, p. 198).
Este é apenas um, de vários exemplos, da ligação entre a Seqüência de Fibonacci com a
Razão Áurea.
Pennick (1980, p. 139), fez um comentário sobre o Modulor apresentado na figura 08.
“As posições diferentes do corpo humano durante várias atividades ajustam-se aos quadros do
Modulor, alinhando-se à metrologia antiga de todas as nações.
Figura 08: Modulor 1 Figura 09: Modulor 2
Talvez isso justifique o fato dele servir de estudo para arquitetos ainda hoje.
32
4.2. LEONARDO DA VINCI (1452-1519)
A perfeição dos desenhos de Leonardo da Vinci nos mostra os seus conhecimentos
matemáticos, como a utilização da razão áurea para uma garantia de uma perfeição, beleza e
harmonia única de suas obras. É lembrado como matemático apesar de não se concentrar na
aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa.
Representa bem o homem da renascença, que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada.
Leonardo era um gênio de pensamento original que usou exaustivamente os seus
conhecimentos de matemática, principalmente o número de ouro em suas obras de arte. Um
exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de
Leonardo, a qual foi inspirada no pentágono regular e estrelado inscrita na circunferência,
conforme podemos observar na Figura 10.
Figura 10: O Homem Vitruviano
Na pintura do renascimento destaca-se um dos quadros mais célebres de Leonardo da
Vinci. A Mona Lisa, que apresenta o Retângulo de Ouro em múltiplos locais.
33
Podemos verificar o Retângulo de Ouro quando:
� Desenharmos um retângulo à volta da face o retângulo resultante é um
Retângulo de Ouro;
� Dividirmos este retângulo por uma linha que passe nos olhos, o novo retângulo
obtido também é de Ouro;
� As dimensões do quadro também representam a razão de Ouro.
Isto pode ser verificado na Figura 11.
Figura 11: Mona Lisa
Podemos verificar que na era renascentista, a perfeição e a beleza eram bastante
exploradas em pinturas, a razão áurea pode ser encontrada em diversas obras, Salvador Dali,
pintou O Sacramento da Ultima Ceia em um quadro com dimensões áureas, 270 cm x 167 cm,
o quociente entre eles gera 1,6180339..., e o foco da foto está em João Batista, o discípulo
preferido de Jesus. Vamos verificar na Figura12.
Figura 12: Ultima Ceia de Salvador Dali
34
4.3. O NÚMERO DE OURO NA NATUREZA
Podemos observar também algumas aplicações do número de ouro na natureza. Os
números de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas propriedades na natureza.
O modo como as sementes estão em certa ordem no centro de diversas flores é um
desses exemplos. A Natureza "arrumou" as sementes do girassol sem intervalos, na forma
mais eficiente possível, formando espirais logarítmicas que tanto curvam para a esquerda
como para a direita. O curioso é que os números de espirais em cada direção são (quase
sempre) números vizinhos na seqüência de Fibonacci. Os raios destas espirais variam de
espécie para espécie, conforme indicamos nas Figuras abaixo.
Figura 13: Galho de folhas Figura 14: Girassol
Figura 15: Caule
35
Esse fenômeno é descrito por Lívio (2008, p. 129): “as folhas ao longo do galho de
uma planta ou talos ao longo de um ramo tendem a crescer em posições que criam condições
mais favoráveis a sua exposição ao sol, à chuva e ao ar. (...) Este fenômeno é chamado de
phyllotaxis (“ arranjo de folhas”, em grego)”.
Como podemos verificar, encontramos o número de ouro em diversos lugares da
natureza, nos animais, nas plantas e até mesmo em nossos corpos.
O retângulo de ouro pode ser encontrado na concha do Nautilus, veja o esquema
abaixo, que mostra o espiral da concha limitado pelo retângulo áureo. Também encontramos a
espiral no rabo do camaleão. A seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., correspondente aos lados dos
quadrados que montam essa espiral.
Figura 16: Concha do Natilus
Figura 17: Rabo de um Camaleão
Figura 18: Razão Áurea
36
4.4. A ESPIRAL LOGARÍTMICA
A Razão Áurea está presente em várias situações, neste trabalho poderia abordar
inúmeros exemplos de sua existência nas artes, no corpo humano, na arquitetura, na natureza,
entre outros exemplos envolvendo estas situações, pois é muito abrangente.
A Espiral Dourada ou Espiral Áurea é um desses exemplos da Razão Áurea na
natureza, conhecida também com espiral logarítmica, Jacques Bernoulli associou-a com a
Razão Áurea, o nome vem do princípio que o raio da espiral aumenta entre os rolamentos
conforme nos afastamos do centro sem alterar sua forma, característica conhecida como auto-
similaridade.
No mínimo essa espiral nos deixa com um sentimento de curiosidade em saber como
as coisas da natureza se forma dessa maneira.
A Figura representa a Espiral Logarítmica.
Figura 19: Espiral Logarítmica
Essa Espiral Logarítmica também é conhecida como Espiral Equiangular, nome dado
pelo matemático e filósofo René Descartes (1596-1650) em 1638. Ao traçar uma reta do foco
(ponto inicial da espiral) até qualquer ponto da curva teremos sempre o mesmo ângulo, essa
propriedade só pode ser obtida na Espiral Logarítmica.
37
4.5. A MÚSICA E A RAZÃO ÁUREA
Pitágoras é considerado o fundador da geometria teórica. Em seus pensamentos sobre
a estrutura do universo, razões e proporções, ele elaborou uma teoria que vinculava a música,
o espaço e os números. Em duas cordas, de mesmo material, sob mesma tensão e sendo a
primeira o dobro do comprimento da segunda, quando tocadas, a corda mais curta irá emitir
um tom uma oitava acima da corda mais longa, devido a sua freqüência ter o dobro do valor.
Ou seja, a relação de 1:2 compreende a relação sonora de uma oitava. Se dividirmos a corda
mais curta pela metade, obtendo a relação de 2:4, o tom será de duas oitavas acima da corda
inicial. Por outro lado, a relação de 3:4 nos dá um tom uma quarta acima do tom inicial, e a
relação de 2:3 apresenta um tom uma quinta acima.
Desta maneira, Pitágoras elaborou relações entre sons, o tamanho das cordas e as
razões de 1:2:3:4. Ainda sobre os pensamentos pitagóricos, podemos obter três tipos de
proporções:
� A proporção geométrica se estabelece entre oitavas de um tom, ou seja, 1:2:4 o tom
uma oitava acima e duas oitavas acima;
� A proporção aritmética, ao se apropriar da relação de 2:3:4, se estabelece ao trabalhar
o som de uma oitava em uma quinta e uma quarta;
� A proporção harmônica envolve a diferença dos valores das frações medianas, isto é,
na relação de 6:8:12, 8 excede 6 em um terço da mesma maneira que 12 excede 8 também em
um terço.
A proporção harmônica pode ser considerada um principio estabelecido da proporção
aritmética, trabalhando o som de uma oitava em uma quarta e uma quinta.
Na música, existem artigos que relacionam as composições de Mozart, Bethoveen
(Quinta Sinfonia), Schubert e outros com a razão áurea. Pode-se verificar na figura que até
mesmo a construção de instrumentos, como exemplo o violino, está relacionado com a
proporção áurea. “É a música que provê a sustentação mais forte à nossa tese de que a
experiência estética consiste na interação entre as imagens primordiais universais inumadas
no inconsistente e o elemento externo ou objeto natural que chamamos de belo”. (HUNTEY,
1970, p.30).
38
Observe a figura 20.
Figura 20: Violino
A escala musical é composta por doze notas, a relação entre duas notas consecutivas
recebe o nome de semitom e de dodecafônica, que tem a mesma relação matemática, ou seja,
( ) 121
2...159463,1 ==r , que é a raiz duodécimo de 2. “Encontra-se o efeito da música quanto
à alternância, por exemplo, na melodia de um hino, da dominante e da tônica – tensão e
relaxamento – contribui para a beleza da melodia”. (HUNTLEY, 1970, p.84).
Para se formar um acorde maior, necessitamos de uma nota fundamental, no caso o
Dó, uma terça Mi e uma quinta Sol, a freqüência dessas notas são quase iguais.
Quando uma nota é tocada será muito difícil entender que há a proporção áurea
visualmente, mas os nossos ouvidos conseguem perceber através as freqüências emitidas pela
notas, embora seja muito pequeno o percentual de notas sonora, apenas 1%. Fazendo
referência aos instrumentos, podemos citar primeiramente o teclado como um dos
instrumentos onde mais conseguimos ver a razão áurea. A quantidade de teclas de uma oitava
é igual a 13, sendo 8 teclas brancas e 5 teclas pretas e mais a divisão entre teclas brancas e
pretas e de grupos de 3 e 2, coincidência ou não podemos visualizar que ali tem a seqüência
de Fibonacci ( 2, 3, 5, 8, 13).
Figura 21: Teclado
39
CAPÍTULO V
CAMINHOS PERCORRIDOS PARA O DESENVOLVIMENTO DO TRAB ALHO
Segundo (FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sergio, 2009, p. 9) o objeto de estudo
da Educação Matemática consiste nas múltiplas relações e determinações entre ensino,
aprendizagem e conhecimento matemático. Isso não significa que uma determinada
investigação não possa priorizar o estudo de uma dessas relações. Mas, ao mesmo tempo em
que isso acontece, o ensino, aprendizagem e conhecimento matemático jamais podem ser
totalmente ignorados. O objetivo da pesquisa em Educação Matemática varia de acordo com
cada problema ou questão de pesquisa, assim, podemos afirmar que a pesquisa em Educação
Matemática visa à melhoria da qualidade do ensino e da aprendizagem da Matemática.
É com este intuito que o trabalho foi desenvolvido, com o intuito de promover a
investigação utilizando a aplicação da Razão Áurea na sala de aula. Supõe, principalmente, o
pensar, o sentir, a descoberta e a cooperação. Caracteriza-se pela participação, pela tarefa
comum, pelo trabalho interdisciplinar, globalizante e integrador. Em um mesmo processo
permite a integração do ensino e da investigação.
Será possível transformar o saber científico em saber de ensino, a partir de atividades
manipulativas realizadas individualmente pelos participantes, que são compartilhadas com os
colegas.
Tal atividade culmina na discussão no grande grupo, etapa conclusiva do trabalho, a
qual pressupõe a sistematização do conhecimento produzido pelos participantes. Esta
atividade teve como finalidade permitir ao aluno o reconhecimento da importância da Razão
Áurea com as áreas do conhecimento.
5.1. ATIVIDADE DESENVOLVIDA
O trabalho foi desenvolvido pelos alunos do 2º ano do Ensino Médio do Colégio Estadual
Cruzeiro do Sul, em Aparecida de Goiânia. Utilizando textos relacionados à razão áurea, os
alunos puderam constatar a relação da Matemática com outras áreas, em especial com o
Corpo Humano. Fizeram uma atividade com o material escolhido, procurando estabelecer
relação entre o assunto tratado no mesmo, com seus conhecimentos prévios de matemática.
Tomaram ciência da presença do número de ouro em outras áreas do conhecimento e suas
40
aplicações na natureza. Através de exemplos sobre o famoso retrato da Monalisa, obra de
Leonardo da Vinci e por meio de um trabalho cooperativo efetuaram medições e utilizaram
esses dados para a construção de uma tabela. Mediante operações adequadas entre os dados da
tabela construída, os alunos observaram a ocorrência de valores próximos ao número de ouro.
Com a organização dos dados coletados, em grupo, os alunos desenvolveram a parte
Estatística e fizeram uma análise crítica das tabelas e gráficos construídos.
5.2. SUGESTÕES PRODUZIDAS PARA O DESENVOLVIMENTO DA
APRENDIZAGEM EM SALA DE AULA
5.2.1. O TRIÂNGULO ÁUREO
Neste trabalho já se explicou sobre o Retângulo Áureo, sobre o segmento dividido em média e
extrema razão e comentou sobre o pentágono-pentagrama. Reforçando a idéia, Lívio (2008, p.
97) complementa: “A construção do pentágono foi o principal motivo do interesse dos gregos
pela Razão Áurea”.
Antes de partir para a análise do pentágono-pentagrama, analisou-se a figura 22.
Figura 22: Triângulo Áureo
O triângulo ABD trata-se de um Triângulo Áureo, assim como o Retângulo Áureo ele possui
algumas propriedades especiais parecidas, como, por exemplo: O lado maior em relação com
o lado está numa Razão Áurea, tais como os triângulos menores formados infinitamente no
seu interior simplesmente dividindo seu ângulo de 72°. A figura formada por estes Triângulos
Áureos cada vez menores formam da mesma forma que o Retângulo Áureo, uma espiral
logarítmica (figura 23).
41
Figura 23: Retângulo Áureo e Triângulo Áureo, respectivamente
É possível demonstrar como os lados AB e DB do triângulo ABD da figura 22 estão numa
Razão Áurea:
A principal característica deste Triângulo Áureo está nos seus ângulos, dois de 72° e um de
36°. Como afirma Lívio (2008, p. 97, grifo do autor): “O triângulo (...), com uma razão de �,
entre o lado e base, é conhecido como um Triângulo Áureo.”
Estes ângulos têm ligação com a Razão Áurea:
Os triângulos ABD e DBC são semelhantes, pois seus ângulos são iguais. Portanto, a razão AB
/ DB é igual a DB / BC, por se tratar de triângulos semelhantes. Sabendo que ambos são
triângulos isósceles, então DB = DC = AC. Com essa relação temos:
AB / AC = AC / BC.
Recapitulando a explicação do segmento dividido em média e extrema razão: o lado do
triângulo AB está dividido no ponto C, justamente nessa média e extrema razão porque temos
a igualdade AB / AC = AC / BC, onde o segmento todo AB dividido pelo segmento maior AC
é igual ao maior AC dividido pelo menor BC ou igual a �.
Analisando-se a figura 22 por outro ângulo e traçando-se a altura H, pode-se perceber a
relação existente entre o cos 72° e a Razão Áurea.
42
Considerando as medidas dos lados DB = 1 e BC = 2x do triângulo ABD acima tem se:
Se DB = 1, então DC = CA =1.
Se BC = 2x, então BH = HC = x.
Logo DA = BA =1 + 2x.
Considerando a raiz positiva dessa equação de 2º grau:
Logo o valor de X é a metade da Razão Áurea:
E tendo em vista que cos72° equivale a X, o mesmo equivale, também, a metade da Razão
Áurea.
36
72
B
D
C
1 1
2X
72
36º
72º
D B
1 + 2X 1 + 2X
1
72º
A
D
36º
36º
36º 72º
72º 36º B
C A
H
1
x x 1
1+2x
43
Então o valor equivale ao cos144° que reduzindo ao primeiro quadrante é equivalente ao -
cos36°.
Para desenvolver outra forma de atividades utilizando a régua e compasso, a geometria
trabalhada na Educação Básica, já que foram apresentados alguns conceitos como razão
áurea, número de ouro, retângulo áureo, seqüência de Fibonacci, espiral logarítmica e outros
no decorrer do trabalho, promoveremos atividades que através de sua análise serão explorados
os conceitos anteriormente apresentados e identificados em obras de arte, na arquitetura, no
corpo humano, em objetos construídos pelo homem e na natureza.
5.2.2. O RETÂNGULO ÁUREO E SUA CONSTRUÇÃO
Material necessário:
Cartolina, caneta, lápis, borracha, compasso, régua, transferidor, tesoura e cola.
Encaminhamento Metodológico:
A sua simplicidade facilitara ao professor ensinar a construção em sala de aula, utilizando a
relação do seu lado pela sua base, para mostrar a existência da Razão Áurea, justificando o
porquê do Retângulo Áureo.
Esse assunto pode ser tanto uma proposta de ensino como uma explicação a mais para o
professor perceber a relação entre o Retângulo Áureo e a Razão Áurea no pentagrama obtido
a partir do pentágono regular. A Figura nos ajudara o entendimento da construção do
Retângulo Áureo.
Vamos ver um retângulo que tem uma propriedade interessante. Ele é chamado de retângulo
áureo e é o preferido dos artistas e dos arquitetos.
O retângulo áureo tem uma propriedade interessante. Considere um retângulo áureo ABCD de
onde foi retirado um quadrado ABEF.
Como mostra a figura 24:
Figura 24
44
O retângulo que sobra, EFCD, é semelhante ao retângulo ABCD. Seja x a medida do lado
e y a medida do lado . Então, vale a proporção:
De onde se deduz que , ou seja, . Resolvendo a equação em x,
tem-se:
Se y= 1, então x = 0, 618
Se x=1, então y = 1, 618
Como foi demonstrado anteriormente.
O número irracional 1, 618..., é chamado de razão áurea.
A construção do retângulo áureo é simples. Basta seguir o esquema abaixo:
� Construa um quadrado de lado unitário;
� Divida um dos lados do quadrado ao meio;
� Trace uma diagonal do vértice F do último retângulo ao vértice oposto B e estenda a
base do quadrado;
� Usando a diagonal como raio, trace um arco do vértice direito superior do retângulo à
base que foi estendida;
� Pelo ponto de interseção do arco com o segmento da base trace um segmento
perpendicular à base. Estenda o lado superior do quadrado até encontrar este último segmento
para formar o retângulo;
� Este último é o retângulo Áureo.
Figura 25: O retângulo AHCG é áureo.
Sucessivamente repetindo este processo infinitamente, como afirma Lívio (2008, p.103, grifo
do autor): “Continuando este processo ad infinitum, produziremos Retângulos Áureos cada
vez menores (cada vez com dimensões “deflacionadas” por um fator �).”
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Simplesmente tem-se uma espiral logarítmica formada ao longo da continuidade dos arcos
formados nos quadrados perfeitos como mostra a figura 26.
Figura 26: Quadrados Perfeitos
Para finalizar a aula, serão reapresentados os slides, identificando os conceitos trabalhados,
abordando aspectos históricos e conceituais a respeito do Número de Ouro, explorando a sua
beleza e suas aplicações em diferentes áreas do conhecimento e nas principais atividades do
homem. Nas discussões, os participantes terão a oportunidade de apresentar suas experiências
e trocar ideias.
5.3. ANÁLISE DOS DADOS
Durante a apresentação do texto da razão áurea para os alunos, eles ficaram interessados no
assunto e começaram a fazer perguntas e discutir o assunto. Quando passei a atividade, na
parte onde eles tinham que fazer as medições e anotar os dados coletados, também foi
interessante. Na atividade que envolvia a divisão para achar o número de ouro, eles tinham
um pouco de dúvidas, alguns alunos não sabiam quais dos números achados serviria para
calcular a razão. Quando passamos para a parte de estatística, o resultado não satisfatório.
Eles já tinham visto esta matéria só que não sabiam fazer nada. Tive que ajudá-los a
desenvolver esta parte da atividade.
No final da aula muitos alunos vieram me perguntar mais coisas sobre a razão áurea e o
número de ouro, então pude perceber que este conteúdo é válido para promover uma
investigação caracterizando-se pelo trabalho interdisciplinar que permite a integração do
ensino.
46
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O estudo da Razão Áurea apesar de ser um assunto aparentemente simples, pelo fato
de existir aplicabilidade em diversos lugares a tornam, ao mesmo tempo é interessante e
curiosamente complexo.
Este trabalho visou buscar alguns aspectos e fundamentos da Razão Áurea para ser
desenvolvido, tanto por professores quanto por alunos, tendo como meta auxiliarem o
desenvolvimento de atividades com a utilização da Razão Áurea, para que os alunos situem-se
nos acontecimentos e entenda a importância destes para a matemática.
Outro aspecto aparece logo no início do trabalho apresentando as principais
propriedades da Razão Áurea e do segmento dividido em média e extrema razão, pois
considera fundamental que o aluno entenda, primeiramente, esse contexto da Razão Áurea
presente na relação de segmentos especiais, onde o menor está para o maior, assim como o
maior está para o todo e entender a ligação entre o Número de Ouro e a Razão Áurea.
As raízes da equação equivalem, respectivamente, à Razão Áurea e
ao Número de Ouro, pois X = 1,6180339... � é o Número de ouro, X = 0,6180339... � é a
Razão Áurea. Estes resultados mostram que ambos dependem de , sendo a = 1.
Quanto ao Retângulo Áureo e suas propriedades, e admitindo que ele seja uma figura
importante no estudo de Razão Áurea, procurou-se colocar o máximo de informação, mesmo
assim, alguns assuntos ficaram de fora, pois a sua utilização nas artes e na arquitetura é muito
vasta.
A pesquisa abordou um pouco da Razão Áurea na arquitetura, através da apresentação
de Lê Corbusier e do “homem vitruviano”. O primeiro por seu trabalho sobre o Modulor,
sistema de medidas baseadas nas relações do corpo humano que se adaptam a objetos de
forma harmônica, talvez se deixasse de falar um pouco mais sobre essas medidas harmônicas
ligadas a Razão Áurea, mas procurou deixar subentendido que as relações do corpo humano
estão diretamente ligadas a Razão Áurea, como foi citada no trabalho com a figura detalhada
do “homem vitruviano”.
Sobre a Razão Áurea na natureza, procurou abordar os temas de maneira sucinta,
passando pela Espiral Logarítmica e alguns fenômenos da natureza que trazem a Razão Áurea
na sua formação e também algumas situações onde a sequência de Fibonacci está presente. É
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claro que não se conseguiu detalhar todos os fenômenos citados, mas o objetivo principal
neste momento era buscar argumentos científicos para a existência da Razão Áurea e mostrar
sua relação com a sequência de Fibonacci.
Depois de vários exemplos que já poderiam ser utilizados pelos professores como
atividades para a explicação da Razão Áurea, fez-se um paralelo sobre o Retângulo Áureo e o
Triângulo Áureo deixando uma proposta também trabalhar Razão Áurea com a utilização da
relação entre as medidas no corpo humano.
Espera-se que este trabalho contribua para despertar novas pesquisas sobre o assunto e
que os exemplos utilizados sejam uma referência para a aplicação no Ensino Médio.
Além disso, considera-se que a história do número Fi é realmente motivadora,
conforme se aprofunda nas pesquisas, começa-se a encontrar situações matemáticas curiosas
que levam para uma exploração muito interessante. Estudar a Razão Áurea nos possibilita
aprender sobre outros assuntos. Apesar das dificuldades encontradas, espera-se que este
trabalho auxilie o professor a estimular as suas aulas, ou simplesmente para um aluno, seja
uma fonte agradável para adquirir e aprimorar o conhecimento sobre Razão Áurea e outros
assuntos abordados ao longo deste trabalho.
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REFERÊNCIAS
BRASIL, Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PCN: Ensino Médio – orientações
educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasília: MEC,1998.
BRASIL, Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares para o
Ensino Médio, Brasília: MEC,1998.
BOYER, Carl B. Historia da matemática, São Paulo: Edgard Blücher Ltda. 1996.
FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sergio, Investigação em educação matemática:
percursos teóricos e metodológicos, Campinas – SP: Autores Associados,2009 3ª edição
revista.
HUNTLEY, H. E. A Divina Proporção: um ensaio sobre a beleza da Matemática. Trad.
De Luiz Carlos Ascêncio Nunes. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1985.
LIVIO, Mario, 1945 – Razão Áurea: a história de Fi, um número surpreendente.Trad.
Marco Shinobu Matsumura 2ª Edição Rio de Janeiro: Record, 2007.
Consultas no Google: RPM 6, Número de Ouro, Razão Áurea, Sequencia de Fibonacci.
http://www.mat.uel.br/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf - Acesso em 23/08/2010.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1urea – Acesso em
22/08/2010.
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf - Acesso 22/08/2010.