RADICAIS

RECORDA

PROPRIEDADE 1

Sejam a, b e c números reais. Se a < b, então a + c < b +c

EXEMPLOS

Sabendo que – 5 < 8, podemos afirmar que

Sabendo que -3 > -7, podemos concluir que

RECORDA

PROPRIEDADE 2

Sejam a, b e c números reais.

2.A Se c > 0 tem-se: se a < b, então

2.B Se c < 0 tem-se: se a < b, então

EXEMPLOS

Se – 3 < 9, podemos concluir que

Se – 5 < 7, podemos concluir que

MONOTONIA DA POTENCIAÇÃO

PROPRIEDADE 3

Dados dois números reais a e b e um número ímpar , se

Exemplo: Se – 5 < -2, podemos concluir que

PROPRIEDADE 4

Dados dois números reais a e b e um número par se:

.

.

Exemplos:

. Sendo 0 podemos concluir que

. Sendo podemos concluir que

Exercício

Demonstra a seguinte propriedade: Sejam a, b, c e d números reaisSe a < b e c < d, então a + c < b + d

Resolução:

De a < b, obtemos que a + c < b + c

De c < d, obtemos que b + c < b +d

Por TRANSITIVIDADE DA RELAÇÃO ORDEM vem que:

a + c < b + d

Pela propriedade 1

EXERCÍCIO

Sendo a e b dois números reais tais que

a) Mostra que

Resolução: Tem-se que:

Caso a = 0Sendo 0 < b devemos provar que 0 <

De , ou seja

Caso a > 0Sendo a < b, obtemos , isto é,

Por outro lado, , isto é,

Por TRANSITIVIDADE vem que:

EXERCÍCIO

Sendo a e b dois números reais tais que

b) Mostra que se para um dado se tem

Tem-se que:

Caso a = 0Como 0 < b, então (o produto de números positivos é positivo)Logo

Caso a > 0

Sendo , podemos dizer

Como 0 < b, resulta 0 e como a < b, vem que :

Por TRANSITIVIDADE vem que: , isto é,

Raízes de índice

Considera as seguintes equações em IR

;

Vamos resolver …

n é par n é ímpar

a > 0 Duas e só duas soluções b e -b Uma e uma só solução b

a = 0 Uma solução: 0 Uma solução: 0

a < 0 Não tem soluções Uma e uma só solução b

Definição

Dado um número real a e um número natural n ímpar, existe um único número real b talque

O número real b designa-se por raiz índice n de a e representa-se por .

Definição

Dado um número real positivo a e um número natural n par, existe um único número realpositivo b tal que .

Verifica-se também que e que não existe, para além de b e de –b, qualquer outrasolução da equação

O número real positivo b designa-se por raiz índice n de a e representa-se por .

Definição

Dado um número natural n, 0 é o único número real cuja potência de expoente n é iguala 0 e, por esta razão, representa-se também por

Definição

diz-se um radical ou uma raiz, em que n é o índice e a é o radicando.

Exercícios (carácter demonstrativo)

Seja n um número natural ímpar e sejam a e b números reais tais que .Mostra que b é único.

Exercícios (carácter demonstrativo)

Seja n um número natural par e a e b números reais positivos, tais que Mostra que e que não existem outras soluções da equação para além de –b e b.

Propriedades algébricas dos radicais

Produto de raízes com o mesmo índice

Quociente de raízes com o mesmo índice

Potência de uma raiz

Potência de uma raiz (continuação)

Composição de raízes

Simplificação de raízesA simplificação da adição de radicais só pode ser feita quando estes tiverem o mesmo índice e o mesmo radicando. Para isso, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, colocando em evidência fatores comuns.

Por vezes, na adição de expressões com radicais parece que não podemos efetuar simplificações, ou porque não têm o mesmo índice ou porque não têm o mesmo radicando. Acontece, porém, que algumas dessas expressões não se encontram na sua forma mais simples. Para radicais com o mesmo índice, pode nalguns casos ser feita uma simplificação passando fatores para fora do radical.

Racionalização de denominadores

Racionalização de denominadores

Por racionalização do denominador de uma fração, entende-se o processo que conduz à obtenção de uma fração equivalente à dada, cujo denominador é um número natural.

Na prática, se o denominador for uma expressão com radicais, o objetivo é transformar a fração noutra equivalente, sem radicais no denominador.

Exemplos

Exemplos

Neste caso, multiplicamos o numerador e o denominador por uma expressão, que se designa por expressão conjugada.Exemplo

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

POTÊNCIAS DE EXPOENTE RACIONAL

Definição (Radicais equivalentes)

Sejam

sendo

Nestas condições,

Exemplo:

Objetivo: Estender o conceito de potência de base não negativa e expoente natural a potênciade base não negativa e expoente racional positivo

Objetivo: Estender o conceito de potência de base não negativa e expoente racional positivo para potência de base não negativa e expoente racional negativo.

Propriedades algébricas das potências de base positiva e expoente racional

Produto de potências com a mesma base

Produto de potências com o mesmo expoente

Quociente de potências com a mesma base

Quociente de potências com o mesmo expoente

Potência de potência

Exercícios resolvidos