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Radiação de cargas em movimento

Carlos Alexandre WuenscheProcessos Radiativos I

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Roadmap!!!!!!Uma boa discussão das derivações dessa aula podem ser encontradas no cap. 14 do livro “Classical Electrodynamics” (J. D. Jackson)

2

2

IntroduçãoAntes de vermos as cargas em movimento, é necessário discutir os potenciais retardados, pois eles definirão os campos das cargas em movimentoA forma das equações de Maxwell e suas simetrias em relação aos operadores permite que os campos E e B sejam expressos em termos de um potencial escalar e um potencial vetorial.

Um escalar e um vetor é mais fácil de lidar que 2 vetores!Eqs. para ϕ(r, t) e A(r, t) são mais simples de lidar do que

as eqs. de MaxwellA formulação relativística da teoria eletromagnética é mais simples de ser expressa em termos dos potenciais que dos campos

3

3

Os potenciaisA(r,t) → potencial vetorial; ϕ (r, t) → potencial escalar

B pode ser expresso como B = ∇xA; possível pois ∇.B = 0!

A eq. de Maxwell para o campo elétrico, no vácuo, pode ser escrita como:

Daí segue que o termo entre parenteses pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar:

4

∇× ( E +1c

∂ A

∂t) = 0

E +1c

∂ A

∂t= −∇φ E = −∇φ− 1

c

∂ A

∂t

eq. 1

eq. 2

4

Os potenciaisA(r,t) → potencial vetorial; ϕ (r, t) → potencial escalar

B pode ser expresso como B = ∇xA; possível pois ∇.B = 0!

A eq. de Maxwell para o campo elétrico, no vácuo, pode ser escrita como:

Daí segue que o termo entre parenteses pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar:

4

∇× ( E +1c

∂ A

∂t) = 0

E +1c

∂ A

∂t= −∇φ E = −∇φ− 1

c

∂ A

∂t

Eq. Maxwell 1

Eq. Maxwell 2

eq. 1

eq. 2

4

Equação da onda para os potenciaisReescreveremos agora as duas eqs. de Maxwell restantes (para div(E) e rot(H)), em termos das novas definições de E e B:

Se, em 4, somamos e subtraímos uma derivada de 2a. ordem para ϕ, e usamos a identidade vetorial

∇x∇xA=-∇2A+∇(∇.A), vamos obter:

5

∇2φ +1c

∂

∂t(∇ • A) = −4πρ → ρ = ρlivre + ρmat

∇× (∇× A)− 1c

∂

∂t(−∇φ− 1

c

∂ A

∂t) = −4π

cj

eq. 3

eq. 4

5

Equação da onda para os potenciaisReescreveremos agora as duas eqs. de Maxwell restantes (para div(E) e rot(H)), em termos das novas definições de E e B:

Se, em 4, somamos e subtraímos uma derivada de 2a. ordem para ϕ, e usamos a identidade vetorial

∇x∇xA=-∇2A+∇(∇.A), vamos obter:

5

Eq. Maxwell 3

Eq. Maxwell 4

∇2φ +1c

∂

∂t(∇ • A) = −4πρ → ρ = ρlivre + ρmat

∇× (∇× A)− 1c

∂

∂t(−∇φ− 1

c

∂ A

∂t) = −4π

cj

eq. 3

eq. 4

5

Equação da onda para os potenciais

6

∇2 A− 1c2

∂2 A

∂t2−∇(∇ • A +

1c

∂φ

∂t) = −4π

cj

∇2φ− 1c2

∂2φ

∂t2+

1c

∂

∂t(∇ • A +

1c

∂φ

∂t) = −4πρ

eq. 5

eq. 6

6

As transformações de calibre (“gauge”)Os potenciais não são unicamente determinados pelas condições anteriores. Adicionar o gradiente de uma função escalar genérica ao potencial vetor, ou a derivada temporal dessa mesma função ao potencial escalar mantém as eqs. de Maxwell invariantes. Ou seja:

7

A → A +∇ψ, B → B

φ → φ− ∂ψ

∂t, E → E

Liberdade de escolher o potencial... Uma função livre (ψ) implica em uma equação de vínculo escalar

eq. 7

7

As transformações de calibre (“gauge”)

Importante escolher ψ de forma que a condição de Lorentz seja satisfeita!

Dessa forma, as eqs. XX e YY podem ser “transformadas” em eqs. de onda não homogêneas, isto é, com “termos de fonte”, com soluções definidas em termos de integrais sobre as fontes.

8

∇ • A +1c

∂φ

∂t= 0 “gauge” de Lorentz eq. 8

8

As transformações de calibre (“gauge”)

9

∇2φ− 1c2

∂2φ

∂t2= −4πρ

∇2 A− 1c2

∂2 A

∂t2= −4π

cj

φ(r, t) =

[ρ]d3r

|r − r|

A(r, t) =1c

[j]d3r

|r − r|

2

φA

= −4π

ρ

j/c

Ou, de forma geral (notação de quadrivetores):

eqs. 9 eqs. 10

eq. 11

9

As transformações de calibre (“gauge”)

9

∇2φ− 1c2

∂2φ

∂t2= −4πρ

∇2 A− 1c2

∂2 A

∂t2= −4π

cj

φ(r, t) =

[ρ]d3r

|r − r|

A(r, t) =1c

[j]d3r

|r − r|Potenc

iais “re

tardad

os”

2

φA

= −4π

ρ

j/c

Ou, de forma geral (notação de quadrivetores):

eqs. 9 eqs. 10

eq. 11

9

[Q] ≡ Q(r, t− 1c

|r − r|

Potenciais retardados

Calculados num “tempo retardado”, isto é, nas condições que existiam no ponto r’ no instante anterior a t, por EXATAMENTE o intervalo de tempo exigido para a luz viajar de r a r’.A informação em r’ propaga-se com a velocidade da luz, de modo que os potenciais em r somente podem ser afetados pelas condições em r’ após um tempo t “retardado” em relação a r’!

10

eq. 12

10

Receita...Forma direta para encontrar E e B produzidos por uma densidade de carga ρ ou uma densidade de corrente j:

Encontre os potenciais retardados por meio das integrais XXCalcule E e B a partir de suas expressões definidas com os potenciais

11

11

Potenciais de Lienard-WiechartPrincipais diferenças dos potenciais eletrostáticos:

Há um fator de correção devido ao movimento das cargas (k = 1 - (n.u/c)) → concentração do potencial,

esfericamente simétrico quando em repouso, na forma de um cone quando v → c

Todas as quantidades são calculadas no tempo retardado tret.

O retardamento permite a uma partícula emitir radiaçãoA dependência implícita do potencial com a posição (ocorre via definição do tempo retardado) e a diferenciação com respeito a essa dependência leva o fator 1/r presente no potencial para o comportamento dos campos

12

12

O processo...Usamos as funções de Green para ϕ e A para obter

Uma carga em movimento pode ser descrita como

que, ao ser inserida em XX, nos dá os potencials de Lienard-Wiechart, calculado para t = τ + R(τ)/c

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φA

=

V

ρ(x, t)

j(x, t)/c

d3x

|x− x|t = t− |x− x|

c

ρ(t) = qδ(x− r(t))j(t) = qvδ(x− r(t))

φA

=

1R− R • v/c

ρ

qj/c

ret

eq. 15

eq. 16

eq. 17

13

Campos de radiação e velocidadeO campo elétrico é composto de 2 termos:

o campo de velocidades (dependência com 1/R2), que é uma generalização da lei de Coulomb (caso eletrostático ou quando u << c)v ≠ 0, A ≠ 0 → B ≠ 0 → carga em movimento produz campo!

o campo de aceleração (dependência com 1/R) é perpendicular a n e proporcional à aceleração da partícula. Ele é comumente chamado de “campo de radiação”!

E, B e n formam uma tríade de vetores mutuamente perpendiculares cujas propriedades são consistentes com as soluções radiativas das equações de Maxwell livres de carga.

14

14

O cálculo de Erad e Evel

O processo é longo, mas direto. Inserimos ϕ e A nas eqs. 1 e 2 e calculamos a

conexão entre os tempos t e τ

15

∂τ

∂t=

1− R

R• v

c

E =q

(R− R • β)3

(1− β2)(R−Rβ) + R

c × [(R−Rβ)× β]

B =R

R× E

eq. 17

eqs. 18

15

16

Efeito sentido em R, causado pela partícula quando estava em Rret

Posição da partícula em t não vai afetar R em t, mas sim em t’ > t!!!

.t’ > t...

∝ v(t- τ)

E .

16

17Carga oscilando entre duas paredes Carga oscilando num dipolo

Zona de transição

t = 0, carga é parada num ponto x=0

t = 1, as linhas são corrigidas, dentro da zona de transição, para a posição correta e fora dela, apontam para onde a partícula deveria estar se não tivesse parado.

17

dW

dωdΩ=

c

4π|

[R • E(t)eiωt]dt|2

=q

4πc

n×

(n− β)× dβ/dt

(1− RR

• vc )−3

eiωtdt

2

Potência irradiada por uma única partícula

18

eq. 19a

eq. 19b

18

Radiação de partículas não relativísticasCaso não relativístico mais fácil de tratar, inicialmente. β=v/cComparando a magnitude das duas componentes do campo elétrico (Erad e Evel) temos:

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Erad ∼ 1R3

.R

c.R.β =

v

Rc2

Evel ∼ 1R3

.R =1

R2

Erad

Evel∼ Rv

c2

eq. 20

eq. 21

eq. 22

19

Uma componente particular de freqüência f desse campo permite escrever dv/dt ~ v f = v / λ e definir um limite em que cada um dos campos predomina.

R ≤ λ (Evel predomina, por um fator > c/v - “near zone”) - peso dado pelo termo c/vR >> λ c/v (Erad predomina, em função de R - “far zone”)

Objetos astrofísicos encontram-se no regime “far zone” (MUUUUUITO DISTANTES) e o campo de radiação predomina!

20

Radiação de partículas não relativísticas

20

Assim, Erad = Brad = qv’/Rc2senθO vetor de Poynting aponta na direção de n na figura, e possui magnitude dada por S e unidade de (erg.s-1.cm-2).

Movimento NRSupondo “far zone”, teremos que o segundo termo da eq. 23 abaixo predomina:

21

E =q

(R− R • β)3

(1− β2)(R−Rβ) + R

c × [(R−Rβ)× β]

B =R

R× E

S =c

4πE2

rad =c

4π

q2v2

R2c4sen2θ

eq. 23

eq. 24

21

A potência irradiada por unidade de tempo no ângulo sólido dΩ em torno de n é dada por

E a potência total é obtida integrando-se a eq. acima em todo o ângulo sólido Ω

22

dW

dtdΩ= S ∗ dA =

q2v2

4πc3sen2θ

P =dW

dt=

q2v2

4πc3

Ωsen2θdΩ

=q2(v)2

2c3

1

−1(1− cos2θ)d(cosθ)

=q2v2

2c3

1

−1(1− µ2)dµ

P =2q2v2

3c3

Fórmula de Larmor: emissão de uma ÚNICA carga acelerada

eq. 25

eq. 26

eq. 27 eq. 28

22

Detalhes a lembrar sobre a expressão que define a potência emitida

A potência irradiada é proporcional ao quadrado da carga e da aceleraçãoO padrão de dipolo característico da solução aparece no termo sen2θ. O máximo é emitido perpendicular à direção de aceleração (oscilação) e nenhuma radiação é emitida paralela à direção de aceleração (oscilação).A direção instantânea da emissão é determinada por v’ e n. Se a partícula acelera ao longo de uma linha, a radiação emitida será 100% polarizada linearmente no plano definido por v’e n.

23

23

A aproximação de dipoloA radiação emitida por muitas partículas deveria, em princípio, ser somente a superposição da expressão de Larmor (ΣErad...), mas a coisa é mais complicada! Como todo mundo é calculado em um tempo retardado, consideramos que o efeito do tempo é diferente para cada partícula... Como levar em conta as relações de fase entre as diferentes partículas????

COMPLICADO!!!!!!!! Como fazer uma aproximação para tratar esse caso analiticamente?

24

24

A aproximação de dipoloConsideremos um sistema de dimensão L e escala de tempo de emissão típica τ

A diferença entre os tempos retardados do sistema é desprezível se τ >> L/c (tempo de propagação da informação)

Se τ ~ 1/ν (frequencia característica) e τ >> L/c, temos que c/ν = λ >> L!!!Ou seja, se o sistema é menor que o comprimento de onda característico da emissão, podemos ignorar suas dimensões!

Entretanto, devemos levar em conta uma dimensão típica do sistema l, tal que τ ~v/l, em que l << L. Assim, v/c << l/L e v << c, de modo que o tratamento do sistema em questão pode ser NÃO-RELATIVÍSTICO!

25

25

A aproximação de dipoloPara um conjunto de partículas, é fácil imaginar, nesse caso, que o campo de radiação resultante é a soma dos campos de cada partícula

Para um observador distante, Ri ~ R e a eq. 29 pode ser reescrita como:

26

Erad =

i

qi

c2

n× (n× vi)Ri

eq. 29

Erad =

i

1c2

n× (n× qivi)R

Erad =1c2

n× (n×

i qivi)R

Erad =1c2

n× (n× d)R

d =

i

qiriMomento de dipolo

dP

dΩ=

d2

4πc3sen2θ

P =2d2

3c3

Aproximação de dipolo

eq. 30

eq. 31

eq. 32 eq. 33

26

27

Direção de oscilação do dipolo

27

O espectro de radiaçãoUsando o par de Fourier para o momento de dipolo:

Obtemos as relações

28

d(t) = +∞

∞ω2d(ω)dω

E(ω) = − 1c2R0

ω2d(ω)senθ

d(t) = +∞

∞e−iωtd(ω)dω eq. 34

eq. 35a

eq. 35b

28

E, usando as eqs. 35a e 35b e a definição de potência, podemos calcular a energia por unidade de ângulo sólido por intervalo de frequência e a energia total por unidade de frequência

Detalhe: o espectro da radiação emitida está diretamente relacionado com as frequências de oscilação do momento de dipolo, o que não acontece quando as partículas encontram-se no regime relativístico!

O espectro de radiação

29

dW

dωdΩ=

1c3

ω4|d(ω)|2sen2θ

dW

dω=

8πω4

3c3|d(ω)|2

eq. 36

eq. 37

29