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Raciocínio Lógico A Lógica é uma ciência com características matemáticas, mas está fortemente ligada à Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar humano. Aristóteles, filósofo grego (384322 a.C) em sua obra "Órganon", distribuída em oito volumes, foi o seu principal organizador. George Boole (18151864), em seu livro "A Análise Matemática da Lógica", estruturou os princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra Booleana. No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores, dando origem aos atuais computadores. Desde 1996, nos editais de concursos já inseriam o "Raciocínio Lógico" em suas provas. Existem muitas definições para a palavra lógica, porém no caso do nosso estudo não é relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois a sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele. "Lógica: Coerência de raciocínio, de idéias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica é a ciência do raciocínio. Assim concluímos que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições. Veremos nas próximas linhas a definição do que venha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissas ou conclusões. Dica: A esmagadora maioria das questões de raciocínio lógico exigidas em concursos públicos necessita de uma forma ou de outra, de conhecimentos básicos de matemática. Este é o motivo para que façam paralelamente à matéria de raciocínio lógico propriamente dito uma revisão dos principais tópicos da matemática de nível secundário. Concomitantemente com a revisão acima mencionada, devem estudar todas as grandes famílias de problemas consideradas de raciocínio lógico, e a maneira mais rápida de resolvê- los. Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido treinamento, mesmo os melhores terão dificuldade em resolvê-las no exíguo tempo disponível nos concursos. Grande parte dos problemas de Raciocínio Lógico, como não poderia deixar de ser, serão do tipo “charada” ou “quebra-cabeças”. Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e sorte, e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa similar, não podem ser resolvidos nos três a cinco minutos disponíveis para cada questão. Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados não terão condições de resolvê-los. Nosso conselho é que não devem se preocupar muito. Esses problemas irrespondíveis no tempo hábil não passam de 20% das questões de Raciocínio Lógico exigidas nos concursos públicos. Uma base sólida de matemática será suficiente para resolver pelo menos 50% dos problemas. Os outros 30% podem ser resolvidos pela aplicação direta dos métodos de raciocínio lógico que estudarão. Portanto veremos alguns conceitos sobre lógica e, posteriormente, alguns testes para avaliação do aprendizado. No mais, já servindo como dica, raciocínio lógico deve ser estudado, principalmente, através da prática, ou seja, resolução de testes.

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Raciocínio Lógico

A Lógica é uma ciência com características matemáticas, mas está fortemente ligada à Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar humano. Aristóteles, filósofo grego (384–322 a.C) em sua obra "Órganon", distribuída em oito volumes, foi o seu principal organizador. George Boole (1815–1864), em seu livro "A Análise Matemática da Lógica", estruturou os princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra Booleana.

No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores, dando origem aos atuais computadores. Desde 1996, nos editais de concursos já inseriam o "Raciocínio Lógico" em suas provas.

Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois a sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele.

"Lógica: Coerência de raciocínio, de idéias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um

grupo. Sequência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica é a ciência do raciocínio. Assim concluímos que a

lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições.

Veremos nas próximas linhas a definição do que venha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissas ou conclusões.

Dica: A esmagadora maioria das questões de raciocínio lógico exigidas em concursos

públicos necessita de uma forma ou de outra, de conhecimentos básicos de matemática. Este é o motivo para que façam paralelamente à matéria de raciocínio lógico propriamente

dito uma revisão dos principais tópicos da matemática de nível secundário. Concomitantemente com a revisão acima mencionada, devem estudar todas as grandes

famílias de problemas consideradas de raciocínio lógico, e a maneira mais rápida de resolvê-los.

Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido treinamento, mesmo os melhores terão dificuldade em resolvê-las no exíguo tempo disponível nos concursos.

Grande parte dos problemas de Raciocínio Lógico, como não poderia deixar de ser, serão do tipo “charada” ou “quebra-cabeças”.

Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e sorte, e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa similar, não podem ser resolvidos nos três a cinco minutos disponíveis para cada questão.

Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados não terão condições de resolvê-los. Nosso conselho é que não devem se preocupar muito. Esses problemas irrespondíveis no tempo hábil não passam de 20% das questões de Raciocínio Lógico exigidas nos concursos públicos.

Uma base sólida de matemática será suficiente para resolver pelo menos 50% dos problemas. Os outros 30% podem ser resolvidos pela aplicação direta dos métodos de raciocínio lógico que estudarão.

Portanto veremos alguns conceitos sobre lógica e, posteriormente, alguns testes para avaliação do aprendizado. No mais, já servindo como dica, raciocínio lógico deve ser estudado, principalmente, através da prática, ou seja, resolução de testes.

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Pode, à primeira vista, parecer complexa a disciplina "Raciocínio Lógico". Entretanto, ela está ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mãos à obra.

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Proposições e seus Valores Lógicos

Sentenças ou Proposições

Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado.

Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição, expressa de modo diferente.

É muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada algo significante.

É possível utilizar a linguística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado.

As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma idéia, mesmo que absurda. Considerar-se-ão as que são bem definidas, isto é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas.

As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s... Considere os exemplos a seguir: p: Mônica é inteligente. q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu. r:7>3.

s: 8+210 Tipos de Proposições Podemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o significado de seu texto, em: - Declarativas ou afirmativas: são as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não

ser verdadeiro. Exemplo: Julio César é o melhor goleiro do Brasil. - Interrogativas: são aquelas sentenças em que se questiona algo. Esse tipo de sentença

não admite valor verdadeiro ou falso. Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra? - Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se ordena alguma coisa. Exemplo: Mude a geladeira de lugar.

Proposições Universais e Particulares

As proposições serão classificadas em: Universais Particulares As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do

conjunto. Exemplo “Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P” Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário. Exemplo

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“O cão é mamífero”. As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte

do conjunto. Exemplo: “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”. Proposições Afirmativas e Negativas As proposições também se classificam em: Afirmativas Negativas No caso de negativa podemos ter: “Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”. “Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não

é P”. No caso de afirmativa consideramos o item anterior. Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e

“nenhum S é P”. Então teremos a tabela:

AFIRMATIVA NEGATIVA

UNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é P (E)

PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não é P (O)

Diagrama de Euler

Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler. - Todo S é P (universal afirmativa – A)

- Nenhum S é P (universal negativa – E)

- Algum S é P (particular afirmativa – I)

P

S ou

P=S

S P

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- Algum S não é P (particular negativa – O)

Princípios - Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa

simultaneamente. - Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é

verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor. a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo”é um proposição verdadeira. b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira. c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa. As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns

operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão representados da seguinte forma:

corresponde a “não”

∧ corresponde a “e”

∨ corresponde a “ou”

⇒ corresponde a “então”

⇔ corresponde a “se somente se”

Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com

a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

• Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b) • Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b)

• Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) • Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b) Exemplo “Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF” Sejam as proposições:

S

P

ou

P

S

ou

P=S

ou

S

P

S

P

ou

S

P ou

S P

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p = “Cacilda é estudiosa” q = “Ela passará no AFRF”

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:

Se p então q (ou p ⇒q)

Exercícios

1. Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim

como o outro está para 9. Quais são os dois números? 2. Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim

como b está para 15. Qual o valor de a e de b? 3. Um número a subtraído de um outro número b resulta em 54. a está para 13, assim

como b está para 7. Qual o valor de a e de b? 4. A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim

como o menor está para 19. Quais são os números? 5. A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos

anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos? 6. O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg,

assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg?

7. A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim como

87 está para 51. Quais são os números? 8. Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim

como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b? 9. Quatro números, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma

proporção. Qual o valor da quarta proporcional x? 10. Quatro números, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma

proporção. Qual o valor da terceira proporcional x?

Respostas

1) Solução: Chamemos o primeiro número de a e o outro número de b. Do enunciado, tiramos que a está para 8, assim como b para 9. Utilizando-nos da terceira propriedade das proporções temos:

Sabemos que a e b somados resultam em 510, assim como a adição de 8 a 9 resulta em 17.

Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto:

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2) Solução: Recorrendo à terceira propriedade das proporções montamos a seguinte

proporção:

Sabemos que a soma de a com b é igual a 216, assim como também sabemos

que 12 mais 15 totaliza 27. Substituindo tais valores teremos:

Portanto:

3) Solução: Recorremos à terceira propriedade das proporções para montarmos a seguinte

proporção:

Sabemos que a diferença entre a e b é igual a 54, e sabemos também que 13 menos 7 dá 6.

Substituindo tais valores teremos:

Portanto:

4) Solução: Vamos chamar o número maior de a e o menor de b. Do enunciado, a está para

23, assim como b está para 19. Ao utilizarmos a terceira propriedade das proporções temos:

Sabemos que a menos b é igual a 52, assim como 23 menos 19 é igual a 4. Ao

substituirmos estes valores na proporção teremos:

Portanto:

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5) Solução: Identifiquemos a idade de Pedro por a e a idade de Paulo por b. A partir do

enunciado, temos que a está para b, assim como 5 está para 6. Utilizando-nos da segunda propriedade das proporções temos:

Sabemos que a soma a e b resulta em 55, assim como 5 mais 6 resulta em 11. Substituindo

estes valores na proporção temos:

Para calcularmos o valor de a temos:

6) Solução: Identifiquemos o peso da primeira sacola por a e o peso da segunda por b.

Como expresso no enunciado, temos que a está para b, assim como 32 está para 28. Da segunda propriedade das proporções temos que:

Temos que a e b somados resultam em 15, assim como 32 mais 28 resulta em60.

Substituindo-os na proporção temos:

Calculemos o valor de b:

7) Solução: Identifiquemos o primeiro deles por a e o segundo por b. Como dito no

enunciado, a está para b, assim como 87está para 51. A segunda propriedade das proporções nos diz que:

Temos que a mais b dá 46, assim como 87 mais 51 resulta em 138. Substituindo-os na

proporção temos:

Calculemos o valor de b:

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8) Solução: Da segunda propriedade das proporções temos:

Sabemos que a diferença entre a e b resulta em 18, assim como 825 menos 627 resulta

em 198. Substituindo tais valores na proporção temos:

Para calcularmos o valor de a temos:

9) Solução: De acordo com a quarta proporcional temos:

10) Solução: De acordo com a terceira proporcional temos:

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Argumentos

Um argumento é “uma série concatenada de afirmações com o fim de estabelecer uma

proposição definida”. É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição. Isto é, o conjunto de proposições p1,...,pn que tem como consequência outra proposição q.

Chamaremos as proposições p1,p2,p3,...,pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento.

Podemos representar por: p1 p2 p3 . . . pn

q Exemplos: 1. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar. Passei no concurso ________________________

Irei trabalhar 2. Se ele me ama então casa comigo. Ele me ama. __________________________

Ele casa comigo. 3. Todos os brasileiro são humanos. Todos os paulistas são brasileiros. __________________________

Todos os paulistas são humanos. 4. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. __________________________

Todos os jogadores receberão o bicho. Observação: No caso geral representamos os argumentos escrevendo as premissas e

separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. Veja exemplo extraído do Irving M. Copi.

Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água. Todos os sabões são sais de sódio. ____________________________________

Conclusão: Todos os sabões são substâncias solúveis em água. Os argumentos, em lógica, possuem dois componentes básicos: suas premissas e sua

conclusão.

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Por exemplo, em: “Todos os times brasileiros são bons e estão entre os melhores times do mundo. O Brasiliense é um time brasileiro. Logo, o Brasiliense está entre os melhores times do mundo”, temos um argumento com duas premissas e a conclusão.

Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de premissas falsas, chegando a conclusões falsas.

O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferência válida e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo:

1. Premissa: Todos os peixes vivem no oceano. 2. Premissa: Lontras são peixes. 3. Conclusão: Logo, focas vivem no oceano. Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras,

inferirem de modo correto e chegar a uma conclusão falsa. Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicação. O símbolo à

denota implicação; A é a premissa, B é a conclusão.

Regras de Implicação

Premissas Conclusão Inferência

A B A à B

Falsas Falsa Verdadeira

Falsas Verdadeira Verdadeira

Verdadeiras Falsa Falsa

Verdadeiras Verdadeira Verdadeira

- Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou

falsa (linhas 1 e 2). - Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência é inválida (linha 3). - Se as premissas e a inferência são válidas, a conclusão é verdadeira (linha 4). Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua

conclusão seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas. Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado de argumento

consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a conclusões verdadeiras.

Premissas: Argumentos dedutíveis sempre requerem certo número de “assunções-base”. São as chamadas premissas. É a partir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo de outro modo, é as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a conclusão de outro, por exemplo.

As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento.

A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras “admitindo que...”, “já que...”, “obviamente se...” e “porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder à argumentação.

Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entenda por que algo é “óbvio”. Não se deve hesitar em questionar afirmações supostamente “óbvias”.

Inferência: Uma vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede a

passo a passo por meio do processo chamado “inferência”. Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a

outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deverá ser aceita. Posteriormente, essa proposição poderá ser empregada em novas inferências.

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Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta.

Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “Conseqüentemente...” ou “isso implica que...”.

Conclusão: Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no

que se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada com conclusão no contexto de um argumento em particular.

A conclusão respalda-se nas premissas e é inferida a partir delas.

Exemplo de argumento A seguir está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”. 1. Premissa: Todo evento tem uma causa. 2. Premissa: O universo teve um começo. 3. Premissa: Começar envolve um evento. 4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um evento. 5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa. 6. Conclusão: O universo teve uma causa. A proposição do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, então, é usado em conjunto

com proposição 4 para inferir uma nova proposição (item 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão.

Validade de um Argumento Conforme citamos anteriormente, uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um

argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade de uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura)

lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:

a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os apartamentos são pequenos. (V) Todos os apartamentos são residências. (V) __________________________________

Algumas residências são pequenas. (V) b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os pássaros são peixes. (F) __________________________________

Todos os pássaros têm asas. (V) c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os cães são peixes. (F) __________________________________

Todos os cães têm asas. (F)

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Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então

as conclusões também as seriam. Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são

verdadeiras, acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa.

Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. Exemplo Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. __________________________

Todas as princesas são bonitas. Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para

concluir que o argumento é válido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos:

Todos os A são B. Todos os C são A. ________________

Todos os C são B. Logo, o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é,

este argumento é válido para quaisquer A, B e C, portanto, a validade é conseqüência da forma do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.

Argumentos Dedutivos e Indutivos O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da

veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas.

Exemplo Todo ser humano tem mãe. Todos os homens são humanos. __________________________

Todos os homens têm mãe. O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para

retificar as conclusões. Exemplo O Flamengo é um bom time de futebol. O Palmeiras é um bom time de futebol. O Vasco é um bom time de futebol. O Cruzeiro é um bom time de futebol. ______________________________

Todos os times brasileiros de futebol são bons.

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Portanto, nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.

Argumentos Dedutivos Válidos Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos

argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.

Afirmação do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos

chama-se “afirmação do antecedente”, também conhecido como modus ponens. Exemplo Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. José foi aprovado no concurso. ___________________________

José será demitido do serviço. Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

ou

Outro argumento dedutivo válido é a “negação do consequente” (também conhecido como modus tollens).

Obs.: qp é equivalente a pq . Esta equivalência é chamada de contra positiva.

Exemplo “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não

me ama”; Então vejamos o exemplo do modus tollens. Exemplo Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá inflação. Não há inflação. ______________________________

Não aumentamos os meios de pagamentos. Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

ou

Se p, então q,

.

.

q

p

p q

q

p

Se p, então q,

.

.

pNão

qNão

p q

p

q

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Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilena. Geralmente este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis.

Exemplo João se inscreve no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus

colegas de trabalho estão torcendo por ele. Eis o dilema de João: Ou João passa ou não passa no concurso. Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo. Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho. _________________________

Ou João vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos colegas de trabalho. Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

ou

Argumentos Dedutivos Não Válidos Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas quando se está construindo

um argumento dedutivo. Elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia-a-dia, nós denominamos muitas crenças equivocadas como falácias, mas, na lógica, o termo possui significado mais específico: falácia é uma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou inválido (além da consistência do argumento, também se podem criticar as intenções por detrás da argumentação).

Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Frequentemente, parecem válidos e convincentes, às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica.

Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido, então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias.

A seguir, examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita frequência. O primeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de

“falácia da afirmação do consequente”. Exemplo Se ele me ama então ele casa comigo. Ele casa comigo. _______________________

Ele me ama. Podemos escrever esse argumento como:

p ou q.

Se p então r

sour

sentãopSe

.

p q

pr

sr

sq

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ou

Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Outra falácia que corre com freqüência é a conhecida por “falácia da negação do

antecedente”. Exemplo Se João parar de fumar ele engordará. João não parou de fumar. ________________________

João não engordará. Observe que temos a forma:

ou

Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão.

Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém, as premissas não sustentam a conclusão.

Exemplo Todos os mamíferos são mortais. (V) Todos os gatos são mortais. (V) ___________________________

Todos os gatos são mamíferos. (V) Este argumento tem a forma: Todos os A são B. Todos os C são B. _____________________

Todos os C são A. Podemos facilmente mostrar que esse argumento é não-válido, pois as premissas não

sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra.

Todos os mamíferos são mortais. (V) Todas as cobras são mortais. (V) __________________________

Se p, então q,

.

.

p

q

p q

p

q

Se p, então q,

.

.

qNão

pNão

p q

q

p

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Todas as cobras são mamíferas. (F) Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se

um argumento é válido ou falso.

Outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3| C é válido ou não, por meio das tabelas-verdade, é construir a condicional associada:

(P1P2P3 ...Pn)| C e reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia. Se essa condicional associada é tautologia, o argumento é válido. Não sendo tautologia, o

argumento dado é um sofisma (ou uma falácia). Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma forma que há argumentos não-

válidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não determinam a validade ou não-validade de um argumento.

O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou da conclusão.

Muitas pessoas abarrotam textos de asserções sem sequer produzirem algo que possa ser chamado de argumento. Às vezes, os argumentos não seguem os padrões descritos acima.

Por exemplo, alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso.

Para complicar, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se a Bíblia é verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus”.

Isso não é um argumento, é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas.

Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein cria em Deus, alguém dissesse: “Einstein afirmou que ‘Deus não joga dados’ porque acreditava em Deus”.

Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é. Trata-se de uma explicação da afirmação de Einstein.

Para perceber isso, deve-se lembrar que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser reescrita na forma “Y logo X”. O que resultaria em: “Einstein acreditava em Deus, por isso afirmou que ‘Deus não joga dados’”.

Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveria estar provando.

Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos.

Exercícios

1. Identificar as premissas e conclusões nos seguintes trechos, cada um dos quais contém apenas um argumento:

Foi assinalado que, embora os ciclos de negócio não sejam períodos, são

adequadamente descritos pelo termo “ciclos” e, portanto, são suscetíveis de medição. (James Arthur Estey, Ciclos de Negócios)

2. Cada um dos seguintes trechos contém mais de um argumento. Distingui-los e

identificar suas premissas e conclusões. A instituição do longo aprendizado não é favorável à formação de jovens para a

indústria. Um jornaleiro, que trabalha por peça, é provavelmente ativo, porque extrai o benefício de todos os esforços resultantes da sua atividade. Um aprendiz é provavelmente preguiçoso, e quase sempre o é, porque não tem qualquer interesse imediato em ser outra coisa.

(Adam Smith, A riqueza das nações)

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3. Apenas alguns dos trechos seguintes contêm argumentos. Indicar os que têm argumentos e identificar suas premissas e conclusões.

Bem-aventurado é aquele que nada espera, pois nunca será decepcionado.

( Alexander Pope, Letter to John Gay)

4. Distinguir os argumentos dedutivos e indutivos contidos nos seguintes trechos: Como os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos, 2,3 segundos para

manobrar a culatra do rifle de Oswald, é óbvio que Oswald não poderia ter disparado três vezes – atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma vez – em 5,6 segundos ou menos.

5. Indicar as premissas e conclusões dos argumentos contidos nos seguintes trechos.

É ilógico raciocinar assim: “Sou mais rico do que tu, portanto sou superior a ti”. “Sou mais eloquente do que tu, portanto sou superior a ti”. É mais lógico raciocinar: “Sou mais rico do que tu, portanto minha propriedade é superior à tua”. “Sou mais eloquente do que tu, portanto meu discurso é superior ao teu”. As pessoas são algo mais do que propriedade ou fala.

(Epicteto, Discursos)

Respostas

1) Solução:

Premissa: Os ciclos de negócio são adequadamente descritos pelo termo “ciclos”.

Conclusão: Os ciclos de negócios são suscetíveis de medição.

2) Solução: Primeiro argumento: Premissa: Um jornaleiro que trabalha por peça extrai um benefício de todos os esforços

resultantes da sua atividade. Conclusão: Um jornaleiro que trabalha por peça é provavelmente ativo. Segundo argumento: Premissa: Um aprendiz não tem interesse imediato em ser outra coisa, senão preguiçoso. Conclusão: É provável que um aprendiz seja preguiçoso, e quase sempre o é. Terceiro argumento: Premissa: É provável que um aprendiz seja preguiçoso, e quase sempre o é. Conclusão: A instituição do longo aprendizado não é propensa à formação de jovens para a

indústria. 3) Solução: Possui um argumento. Premissa: Aquele que nada espera nunca será decepcionado. Conclusão: Bem-aventurado aquele que nada espera. 4) Solução: Argumento dedutivo. Premissa: Os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos, 2,3 segundos para

manobrar a culatra do rifle de Oswald. Conclusão: É óbvio que Oswald não poderia ter disparado três vezes – atingindo Kennedy

duas vezes e Connally uma – em 5,6 segundos.

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Embora a premissa pudesse ter sido estabelecida indutivamente, o presente argumento pretende afirmar que sua conclusão deduz-se “obviamente” da premissa de que Oswald não podia ter disparado três vezes.

5) Solução: Premissa: As pessoas são algo mais do que sua propriedade ou fala. Conclusão: “É ilógico raciocinar assim… meu discurso é superior ao teu”. Também cada frase separada entre aspas formula um argumento cuja premissa precede, e

cujas conclusões se seguem à palavra “portanto”.

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Silogismo

O silogismo é a dedução feita a partir de duas proposições denominadas premissas, de

modo a originar uma terceira proposição logicamente implicada, denominada conclusão.

Exemplo

Tenho um Escort ou tenho um Focus, não tenho um Escort | Tenho um Focus.

Observação: o símbolo é chamado de traço de asserção; É usado entre as premissas e a

conclusão. Esse silogismo também pode ser representado como:

Tenho um Escort ou tenho um Focus.

Não tenho um Escort.

Logo, tenho um Focus.

Chamado de P a proposição: “Tenho um Escort”, escreve-se: P: Tenho um Escort.

Chamado de C a proposição: “Tenho um Focus”, escreve-se: C: Tenho um Focus.

Das proposições P e C resulta a proposição “Tenho um Escort ou tenho um Focus”.

Denotamos: PC: Tenho um Escort ou tenho um Focus.

Com a negativa da proposição P, tem-se a premissa “Não tenho um Escort”. Escreve-se: ~P:

Não tenho um Escort (é o mesmo que dizer: “não possuo um carro denominado Escort”).

Reescrevendo o argumento, obteremos:

PC, ~P|C

Ou

PC

~P

Logo, C Silogismo Categórico de Forma Típica Chamaremos de silogismo categórico de forma típica ao argumento formado por duas

premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica (A, E, I, O).

Teremos também três termos: - Termo menor – sujeito da conclusão. - Termo maior – predicado da conclusão. - Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na

conclusão. Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que

contém o termo menor. Exemplo Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. ________________________

Todas as princesas são bonitas.

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Termo menor: as princesas. Termo maior: bonitas. Termo médio: mulheres. Premissa menor: todas as princesas são mulheres. Premissa maior: Todas as mulheres são bonitas.

Algumas Regras para a Validade de um Silogismo - Todo silogismo deve conter somente três termos; - O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez; - O termo médio não pode constar na conclusão; - Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas é valido; - De duas premissas particulares não poderá haver conclusão; - Se há uma premissa particular, a conclusão será particular; - Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa.

Atenção: Para determinar se um argumento é uma falácia ou silogismo, deve-se analisar o

resultado, ou argumento final: quando se chega a um argumento falso, tem-se uma falácia; quando se chega a um argumento verdadeiro, tem-se um silogismo.

Exercícios

Tendo em conta os Silogismos que se seguem: a) Testa a sua validade (indicando as regras que violam); b) Indica o Modo do Silogismo; c) Indica a sua Figura. 1. Todas as vacas voadoras são lindas Nenhum avião é lindo ______________________________ Algumas vacas voadoras são aviões 2. Nenhum chocolate engorda Alguns doces não engordam ________________________ Todos os doces são chocolates 3. O arroz é branco O gelo é branco _______________ O gelo não é arroz 4. Alguns bancos são mobília Todos os bancos emprestam dinheiro ________________________________ Nenhum dinheiro é emprestado por mobília 5. Touro é um signo do zodíaco O touro pasta ________________________________ Alguns signos do zodíaco não pastam

Respostas

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1) Solução: a) A conclusão não seguiu a parte mais fraca. A conclusão foi construída indevidamente,

pois o termo Maior (voadores) é sujeito, e deveria ser o predicado da conclusão, e o termo Menor (avião/ões) deveria ser sujeito e aparecer como predicado. O Silogismo é inválido

b) A E, I c) 2ª figura 2) Solução: a) O termo em extensão na conclusão (doces), mas não na premissa. De duas premissas

negativas nada se pode concluir. A conclusão não seguiu a parte mais fraca (deveria ser negativa). Silogismo inválido.

b) E O, A c) 2ª figura 3) Solução: a) O termo Médio (branco) não se encontra uma única vez em toda a sua extensão. De duas

premissas afirmativas, não se pode concluir pela negativa. Silogismo inválido. b) A A, E c) 2ª figura 4) Solução: a) existem mais que 3 termos – o termo “branco”, refere-se a conceitos diferentes. O sujeito

e o predicado da oração encontra-se em toda a sua extensão, mas não nas premissas. De duas premissas afirmativas, não se pode tirar uma conclusão negativa. A conclusão não seguiu a parte mais fraca (deveria ser particular). Silogismo inválido.

b) I A, E c) 3ª figura 5) Solução: a) Mais que 3 termos – “touro”ora é signo ora é animal. Termo em extensão na conclusão

(pastam), mas não na premissa. Na conclusão o sujeito e o predicado estão trocados. Silogismo Inválido.

b) A A, O c) 3ª figura

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Sentenças Abertas

Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas.

Exemplos 1. 94:)( xxp

A sentença matemática 94 x é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a

equação. Obviamente, apenas um deles, 5x , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como

.5x

2. 3:)( xxq

Dessa maneira, na sentença 3x , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação.

Porém, alguns são verdadeiros, como 2x , e outros são falsos, como .7x

Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por letras latinas e

podem ser classificadas em abertas ou fechadas. A sentença 522:)( xs é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor

lógico; nesse caso, o valor de )(xs é F, pois a sentença é falsa.

A sentença )(xp “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada,

dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro. Já a sentença )(xe “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se

sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que )(xe seja verdadeiro, ou falso.

Modificadores A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não”

(~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição. Exemplo p: Jacira tem 3 irmãos. ~p: Jacira não tem 3 irmãos. É fácil verificar que: 1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa. 2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira.

V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou F

V N4 N4 F

F 12 é divisível por zero 12 não é divisível por zero. V

Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as

chamadas tabelas-verdade. Para negação, tem-se

p ~p

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V F

F V

Atenção: A sentença negativa é representada por “~”. A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui como negativa de t,

ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.

Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “ O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”.

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Número de Linhas da Tabela Verdade Tabelas de Verdade

Seja “L” uma linguagem que contenha as proposições P, Q e R. O que podemos dizer sobre a proposição P? Para começar, segundo o princípio de

bivalência, ela é ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim:

P

V

F

Agora, o que podemos dizer sobre as proposições P e Q? Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim:

P Q

V V

V F

F V

F F

Como você já deve ter reparado, uma tabela para P, Q e R é assim:

P Q R

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração. Agora, o que dizer sobre fórmulas moleculares, tais como ⌐P, Q˅R, ou (Q˄R) → (P↔Q)?

Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade.

Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em: 1º- Uma linha em que estão contidas todas as subfórmulas de uma fórmula e a própria

fórmula. Por exemplo, a fórmula ⌐(P˄Q) → R tem o seguinte conjunto de subfórmulas: [(P˄Q) → R, P˄Q, P, Q, R]

2º) “L” linhas em que estão todos os possíveis valores que as proposições atômicas podem receber e os valores recebidos pelas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos.

O número de linhas é L = nt, sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e t o número de átomos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos os átomos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois átomos serem verdadeiros (V V

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F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos átomos são falsos (F F F).

Então, para a fórmula ⌐(P˄Q) → R, temos:

P Q R P˄Q (P˄Q) → R ⌐(P˄Q) → R

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos

aproveitar para explicar como interpretá-los. Negação A negação tem o valor inverso da fórmula negada. A saber:

P ¬P

V F

F V

Interpretações: "Não P", "Não é o caso de P", "A proposição 'P' é falsa". Assim, em uma linguagem “L” na qual P significa "Sócrates é mortal", ¬P pode ser

interpretada como "Sócrates não é mortal", e, se o primeiro é verdadeiro, o segundo é falso; e se o primeiro é falso, o segundo é verdadeiro.

Interpretar a negação por meio de antônimos também é uma alternativa, mas deve-se ter cautela, pois nem sempre é aplicável em todos os casos. No exemplo acima a interpretação por meio de antônimos é perfeitamente aplicável, ou seja, se P significa "Sócrates é mortal", ¬P pode ser interpretada como "Sócrates é imortal". Por outro lado, em uma linguagem “L” na qual Q significa "João é bom jogador", a proposição "João é mau jogador" não é a melhor interpretação para ¬Q (João poderia ser apenas um jogador mediano).

Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negação:

P ¬P ¬¬P ¬¬¬P

V F V F

F V F V

“¬¬P” significa “‘¬P’ é falsa”. “¬¬¬P” significa “‘¬¬P’ é falsa”. E assim por diante. Repare que ¬¬P é equivalente a P, assim como ¬¬P é equivalente a ¬P. A negação múltipla traz alguns problemas de interpretação. Interpretando mais uma vez P

por "Sócrates é mortal", podemos perfeitamente interpretar ¬¬¬P de diversar formas: "Não é o caso de que Sócrates não é mortal", "Não é o caso de que Sócrates é imortal", "É falso que Sócrates não é mortal", "É falso que Sócrates é imortal" etc. Contudo, nem sempre na língua portuguesa a dupla negação de uma proposição equivale à afirmação desta. Muitas vezes a dupla negação é apenas uma ênfase na negação.

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Exemplos "Não veio ninguém", "Não fiz nada hoje" etc.

Conjunção A conjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ambas são verdadeiras. A saber:

P Q PΛQ

V V V

V F F

F V F

F F F

Interpretação: "P˄Q" pode ser interpretada como " P e Q", "Tanto P quanto Q", "Ambas

proposições 'P' e 'Q' são verdadeiras" etc. Assim, em uma linguagem “L”na qual P significa "Sou cidadão brasileiro" e Q significa "Sou

estudante de filosofia", P˄Q pode ser interpretada como "Sou cidadão brasileiro e estudante de filosofia"; o que só é verdade se P é verdadeira e Q é verdadeira.

Repare que a conjunção é comutável, ou seja, P˄Q é equivalente a Q˄P, a saber:

P Q P˄Q Q˄P

V V V V

V F F F

F V F F

F F F F

A comutatividade da conjunção traz um problema para formalizar proposições da linguagem

natural no Cálculo Proposicional Clássico, pois a ordem em que as orações aparecem pode sugerir uma sequência temporal. Por exemplo "Isabela se casou e teve um filho" é bem diferente de "Isabela teve um filho e se casou". Repare que o mesmo problema não acomete a proposição "Isabela é casada e tem filhos", que é equivalente a "Isabela tem filhos e é casada". Esta sentença é, portanto, perfeitamente formalizável no Cálculo Proposicional Clássico por meio de uma conjunção.

Proposições que levam a palavra "mas" também podem ser formalizadas pela conjunção. Por exemplo, em uma linguagem “L” na qual R significa "João foi atropelado" e D significa "João sobreviveu ao atropelamento", as sentenças "João foi atropelado e sobreviveu" e "João foi atropelado, mas sobreviveu" podem ambas ser formalizadas assim: R˄D

Afinal, ambas as proposições afirmam os mesmos eventos na mesma sequência: o atropelamento e a sobrevivência de João. A única diferença entre ambas é que aquela que leva "mas" expressa que uma expectativa subjetiva não foi satisfeita o que não importa para a lógica clássica.

Disjunção A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira.

A saber:

P Q PVQ

V V V

V F V

F V V

F F F

Repare que a disjunção também é comutativa:

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P Q P˅Q Q˅P

V V V V

V F V V

F V V V

F F F F

Interpretação: "P˅Q" pode ser interpretada como "P ou Q", "Entre as proposições P e Q, ao

menos uma é verdadeira". Assim, se P significa "Fulano estuda filosofia" e Q significa "Fulano estuda matemática", P˅Q

pode ser interpretada como "Fulano estuda filosofia ou matemática"; o que só é falso se nem P nem Q forem verdadeiras.

Com a disjunção é preciso tomar muito cuidado tanto na interpretação de fórmulas quanto na formalização de proposições, pois na linguagem natural muitas vezes os disjuntos são excludentes. Por exemplo: "Uma moeda ao ser lançada resulta em cara ou coroa", "Nestas férias eu vou viajar ou ficar em casa".

Para estes casos usamos a disjunção exclusiva ou a bi-implicação combinada com a negação.

Implicação A implicação entre duas fórmulas só é falsa se a da esquerda (antecedente) for verdadeira e

da direita (consequente) for falsa. A saber:

P Q P→Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Repare que a implicação não é comutativa:

P Q P→Q Q→P

V V V V

V F F F

F V V V

F F V V

Interpretação: "P→Q" pode ser interpretada como "Se P, então Q", "P implica Q", "Se a

proposição 'P' é verdade, então a proposição 'Q' também é verdade", "A partir de 'P' inferimos 'Q' ", "P satisfaz Q", "P é condição suficiente de Q".

Assim, se, em uma linguagem “L”, P significa "O botão vermelho foi apertado" e Q significa "O lugar inteiro explode", P→Q pode ser interpretada como "Se o botão vermelho foi apertado, o lugar inteiro explode", o que só é falso se o botão vermelho for apertado (verdade de P) e o lugar inteiro não explodir (falsidade de Q):

A interpretação da implicação é uma das mais complicadas. Talvez você tenha estranhado que a implicação seja verdadeira quando o antecedente é falso. Ou ainda, você poderia objetar "mas e se o botão for apertado, o lugar explodir, mas uma coisa não tiver nada a ver com a outra?".

Basicamente, o que se deve observar é que "O botão vermelho ser apertado" é condição suficiente para se deduzir que "O lugar inteiro explodiu", isto é, quando o botão é apertado, o lugar deve explodir. Se o botão for apertado e o lugar não explodir, algo está errado, ou seja, P não implica Q (P→Q é falso).

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Quando temos na linguagem natural uma proposição que afirma que, a partir de um evento, outro segue inexoravelmente (por exemplo: "Se você sair na chuva sem guarda-chuva ou capa de chuva, então você vai se molhar") ou uma proposição que afirma que podemos deduzir um fato de outro (por exemplo: "Se todo número par é divisível por 2, então nenhum número par maior que 2 é primo"), podemos seguramente formalizar estas proposições por meio da implicação.

Mas o contrário, ou seja, interpretar uma implicação na linguagem natural é problemático. Podemos estar lidando com uma implicação cujo antecedente e cujo consequente não têm relação alguma. Basta, contudo que o antecedente seja falso ou o consequente seja verdadeiro para que a implicação seja verdadeira. Nestes casos, é bem difícil dar uma interpretação satisfatória para a implicação.

Bi-implicação A bi-implicação entre duas fórmulas é verdadeira quando ambas são verdadeiras ou

ambas são falsas.

P Q P↔Q

V V V

V F F

F V F

F F V

Repare que a bi-implicação é comutativa:

P Q P↔Q Q↔P

V V V V

V F F F

F V F F

F F V V

Interpretação: "P↔Q" pode ser interpretada como "P se e somente se Q", "P é equivalente

a Q", "P e Q possuem o mesmo valor de verdade". Assim, se P significa "As luzes estão acesas" e Q significa "O interruptor está voltado para

cima", P↔Q pode ser interpretada como "As luzes estão acesas se e somente se o interruptor está voltado para cima", o que só é falso se as luzes estiverem acesas e o interruptor não estiver voltado para cima (verdade de P falsidade de Q), ou se as luzes não estiverem acesas e o interruptor estiver voltado para cima (falsidade de P e verdade de Q)

Números de Linhas de uma Tabela Verdade O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta depende do número de

proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: A tabela-verdade de uma proposição composta, com n proposições simples componentes,

contém 2 elevado a n linhas. Para se construir a tabela-verdade de uma proposição composta dada, procede-se da

seguinte maneira: - Determina-se o número de linhas da tabela- verdade que se quer construir; - Observa-se a precedência entre os conectivos, isto é, determina-se a forma das

proposições que ocorrem no problema; - Aplicam-se as definições das operações lógicas que o problema exigir.

Exemplo

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Construir a tabela-verdade da proposição: P(p,q) = ~ (p || ~ q)

p q ~ q p || ~ q ~ (p || ~ q)

V V F F V

V F V V F

F V F F V

F F V F V

O uso de parênteses É óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições, que devem ser

colocados para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim, por exemplo, a expressão p || q || r dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes proposições:

(i) (p || q) || r (ii) p || (q || r) que não têm o mesmo significado lógico, pois na (i) o conectivo principal é " || ",

e na (ii), o conectivo principal é " || ". Por outro lado, em muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim de simplificar as

proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidade alguma venha a aparecer. A supressão de parênteses nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas

convenções, das quais são particularmente importante as duas seguintes: A "ordem de precedência" para os conectivos é: (1º) ~ ; (2º) || e || ; (3º) || ; (4º) || Portanto o conectivo mais "fraco" é "~" e o conectivo mais "forte" é " || ". Assim, por exemplo, a proposição: P || q || s || r é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la numa

condicional há que usar parêntesis: p || (q || s || r) e para convertê-la em uma conjunção: (p || q || s) || r Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os

parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda. Exemplo: ((~ (~ (p || q))) || (~ p) fica como ~ ~ (p || q ) || ~ p

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Conectivos

Para compor novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se os conectivos.

Os conectivos mais usados são: “e”(), “ou”(), “se... então”() e “se e somente se”(). Exemplos - Mônica é uma mulher bonita e o Brasil é um grande país. - Professor Fábio é esperto ou está doente. - Se eu comprar um carro, então venderei meu carro antigo. - Um número é primo se e somente se for divisível apenas por 1 e por si mesmo.

Conectivo “e” () Sejam os argumentos: p: 3 é um número inteiro.

q: a cobra é um réptil. Com os argumentos acima, podemos compor uma sentença fechada, que expressa os dois

argumentos: “ 3 é um número inteiro e a cobra é um réptil”.

A sentença acima pode ser representada como pq, podemos receber um valor lógico, verdadeiro ou falso.

Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição pq será chamada de conjunção.

Observe que uma conjunção pq só é verdadeira quando p e q são verdadeiras. Para a conjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

Atenção: Os conectivos são usados para interligar duas ou mais sentenças. E toda

sentença interligada por conectivos terá um valor lógico, isto é, será verdadeira ou falsa. Sentenças interligadas pelo conectivo “e” possuirão o valor verdadeiro somente quanto

todas as sentenças, ou argumentos lógicos, tiverem valores verdadeiros.

Conectivo “ou” () O conectivo “ou” pode ter dois significados: 1. “ou” inclusivo: Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. (Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente) 2. “ou” exclusivo: Elisabete é paulista ou Elisabete é carioca. (Se Elisabete é paulista, não será carioca e vice-versa)

Atenção: Estudaremos o “ou” inclusivo, pois o elemento em questão pode possuir duas ou

mais características, como o exemplo do item 1, em que Elisabete poderá possuir duas ou mais qualidades ou características.

Sejam:

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p: 3 é um número inteiro.

q: o Brasil é pentacampeão mundial de futebol. A partir de p e q, podemos compor:

pq: 3 é um número inteiro ou o Brasil é pentacampeão mundial de futebol.

Se p e q são duas proposições, a proposição pq será chamada adjunção ou disjunção.

Observe que uma adjunção pq é verdadeira quando uma das proposições formadoras, p ou q, é verdadeira.

Para a adjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q pq

V V V

V F V

F V V

F F F

Atenção: O conectivo , “ou”, é utilizado para interligar dois ou mais argumentos, resultando na união desses argumentos. O valor resultante da união de dois ou mais argumentos somente será falso quando todos os argumentos ou proposições forem falsos.

Conectivo “Se... então” () Sejam as proposições abaixo: p: 204.5 .

q: 3 é um número primo. A partir de p e q, podemos compor:

pq: se 204.5 , então 3 é um número primo.

Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição pq é chamada subjunção ou condicional. Considere a seguinte subjunção: “Se fizer sol, então irei à praia.”

1. Podem ocorrer as situações: 2. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade) 3. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti) 4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade) 5. Não fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade, pois eu não disse o que faria se não fizesse

sol. Assim, poderia ir ou não ir à praia)

Observe que uma subjunção pq somente será falsa quando a primeira proposição, p, for verdadeira e a segunda, q, for falsa.

Para a subjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q pq

V V V

V F F

F F V

F V V

Existem outras maneiras de ler: pq: “p é condição suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária pra p”. Sejam: p: 18 é divisível por 6. q: 18 é divisível por 2. Podemos compor:

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pq: se 18 é divisível por 6, então 18 é divisível por 2, que se pode ler: - “18 é divisível por 6” é condição suficiente para “18 é divisível por 2” ou, ainda, - “18 é divisível por 2” é condição necessária para “18 é divisível por 6”.

Atenção: Dizemos que “p implica q” (pq) quando estamos considerando uma relação

entre duas proposições, compostas ou não, diferentemente do símbolo , que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa proposição.

Conectivo “Se e somente se” () Sejam: p: .8216

q: 2 é um número primo. A partir de p e q, podemos compor:

pq: 8216 se e somente se 2 é um número primo.

Se p e q são duas proposições, a proposição pq1 é chamada bijunção ou bicondicional, que também pode ser lida como: “p é condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária e suficiente para p”.

Considere, agora, a seguinte bijunção: “Irei à praia se e somente se fizer sol.” Podem ocorrer as situações: 1. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade) 2. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti) 3. Não fez sol e fui à praia. (Eu menti) 4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade) Observe que uma bijunção só é verdadeira quando as proposições formadoras são ambas

falsas ou ambas verdadeiras. Para a bijunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F V

Devemos lembrar que pq é o mesmo que (pq)(qp). Assim, dizer “Hoje é sábado e somente se amanhã é domingo” é o mesmo que dizer: “Se

hoje é sábado, então amanhã é domingo e, se amanhã é domingo, então hoje é sábado”.

Atenção: Dizemos que “p equivale a q” (pq) quando estamos considerando uma relação

entre duas ou mais proposições, diferentemente do símbolo , que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa nova proposição.

Exemplos: 1. Dar os valores lógicos das seguintes proposições compostas:

a) 752:1 p ou 652

Temos que pq, com p(V), q(F); portanto, ).(1 Vp

b) :2p se 842 , então 962

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Temos que pq com p(F), q(F); portanto, ).(2 Vp

2. Estude os valores lógicos das sentenças abertas compostas: “se x²-14x+48=0, então x-2=4”

Como x²-14x+48=0x=6 ou x=8 e x-2=4 x=6, tem-se: a) (VV) substituindo x por 6, temos o valor lógico V. b) (VF) substituindo x por 8, temos o valor lógico F. c) (FV) não se verifica. d) (FF) substituindo x por qualquer número real diferente de 6 e 8, temos o valor

lógico V. 3. Sejam as proposições: p: Joana é graciosa. q: Fátima é tímida. Dar as sentenças verbais para:

a) p~q Se Joana é graciosa, então Fátima não é tímida.

b) ~(~pq) É falso que Joana não é graciosa ou que Fátima é tímida.

Atenção: O conectivo é usado quando se quer mostrar que dois argumentos são equivalentes.

Por exemplo, quando dizemos que “todo número par é da forma 2n, n є N”, não é o mesmo que dizer que “os números pares são divisíveis por 2”.

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Proposições Simples e Composta

Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração.

As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas. Exemplos (1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria é bonita: (3) r: 3 + 4 > 12. Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples.

Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...).

Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.

Exemplos: (4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é

estudioso e q: Maria é bonita. (5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita

e q: Maria é estudiosa. (6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 =

5. (7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b <

a. As proposições simples são aquelas que expressam “uma única idéia”. Constituem a base

da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...).

As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas

pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.

Exemplos São proposições simples: p: A lua é um satélite da terra. q: O número 2 é primo. r: O número 2 é par. s: Roma é a capital da França. t: O Brasil fica na América do Sul. u: 2+5=3.4. São proposições compostas: P(q, r): O número 2 é primo ou é par. Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul. R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

Não são proposições lógicas: - Roma

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- O cão do menino - 7+1 - As pessoas estudam - Quem é? - Que pena!

Tabela Verdade Proposição Simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p,é

verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

p

V

F

Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende

unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados.

É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

Proposição Composta - 02 proposições simples Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples

componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p q

V V

V F

F V

F F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira

proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simples No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r

as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro

para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um

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para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se

que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F. Exemplos p : o sol é verde; q : um hexágono tem nove diagonais; r : 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0 V(p) = F V(q) = V V(r) = F

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Tautologia As proposições que apresentam a tabela-verdade somente com V são chamadas

logicamente de verdadeiras ou de tautológicas. Proposições falsas (contradição): As proposições que apresentam a tabela-verdade somente

com F são chamadas logicamente de falsas ou de contradições. Propriedades de proposições

I – Comutativa: pqqp

pqqp

II – Associativa: p(qr)(pq)r

p(qr)(pq)r

III – Distributiva: p(qr)(pq)(pr)

p(qr)(pq)(pr)

IV – Morgan: ~(pq)~p~q

~(pq)~p~q

V – Dupla negação: ~(~p)p Teorema contra-recíproco Toda proposição composta pelo conectivo “Se... então” pode ser reescrita em seu sentido

contrário, mas com o uso da negação nas duas proposições menores, que a compõem.

pq equivale a ~qp Exemplos 1. “Se um número inteiro é par, então seu quádruplo é par”, que equivale a: “Se o quádruplo

de um número não é par, então o número inteiro não é par”. 2. Consideremos agora a definição de função injetora:

“Uma função f de A em B é injetora se e somente se Axx 21, , sendo

)()( 2121 xfxfxx ”, que equivale a:

“Uma função f de A em B é injetora se e somente se Axx 21, , sendo

)()( 2121 xfxfxx ”, que equivale a:

Observação: O símbolo significa: “para todo” ou “para qualquer que seja”. Atenção: Não podemos aplicar valores lógicos para sentenças abertas. Enquanto as sentenças se apresentam a tabela-verdade com todos os valores V são

chamadas de tautologia, as contradições apresentam, em sua tabela-verdade, todos os valores com resultados iguais a F.

Exercícios

1. A negação da sentença aberta "5" y corresponde a:

a) 5y

b) 5y

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c) 5y

d) 5y

e) 5y

2. A sentença negativa de “Hoje é domingo e amanhã não choverá” é: a) Hoje é domingo ou amanhã não choverá. b) Hoje não é domingo nem amanhã choverá. c) Hoje não é domingo, então amanhã choverá. d) Hoje não é domingo ou amanhã choverá. e) Hoje não é domingo e amanhã choverá. 3. Em uma pequena comunidade, sabe-se que: “nenhum filósofo é rico” e que “alguns

professores são ricos”. Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade: a) Alguns professores não são filósofos. b) Alguns professores são filósofos. c) Nenhum filósofo é professor. d) Alguns filósofos são professores. e) Nenhum professor é filósofo. 4. No final de semana, Chiquita não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi

estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dada vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dada vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque e, sempre que Dada vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana,

a) Dada foi à missa e Didi foi aprovado. b) Didi não foi aprovado e Dada não foi visitar tia Célia. c) Didi não estudou e Didi foi aprovado. d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque. e) Dada não foi à missa e Didi não foi aprovado. 5. Considere a proposição “Pedro é estudioso e trabalhador, ou Pedro é bonito”.

Como Pedro não é bonito, então: a) Pedro é estudioso e trabalhador. b) Pedro é estudioso ou trabalhador. c) Pedro não é estudioso ou não é trabalhador. d) Pedro é estudioso e não é trabalhador. e) Pedro não é estudioso e não é trabalhador.

6. As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de

chegada dos participantes de uma prova de ciclismo: I. Guto chegou antes de Aires e depois de Doda; II. Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires, se e somente se Aires

chegou depois de Doda; III. Cacau não chegou junto com Juba, se e somente se Aires chegou junto com Guto.

Logo: a) Cacau chegou antes de Aires, depois de Doda e junto com Juba. b) Guto chegou antes de Cacau, depois de Doda e junto com Aires. c) Aires chegou antes de Doda, depois de Juba e antes de Guto. d) Aires chegou depois de Juba, depois de Cacau e junto com Doda. e) Juba chegou antes de Doda, depois de Guto e junto com Cacau.

7. Considere a tabela-verdade abaixo, na qual as colunas representam os valores

lógicos para as fórmulas A, B e AB. sendo que o símbolo denota o conector ou, V denota verdadeira e F denota falsa.

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A B AB

V V

V F

F V

F F

Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de cima para baixo, são: a) V – F – V – V b) V – F – F – V c) F – V – F – V d) V – V – V – F e) F – F – V – V

8. A proposição p~q é equivalente a:

a) pq

b) pq

c) ~pp

d) ~qp

e) ~p~q 9. Dizer que” Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é o mesmo que dizer que: a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. b) Se Paulo é paulista, então Pedro é paulista. c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 10. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo e é condição

suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:

a) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. b) se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. c) o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. d) o rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. e) a duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 11. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao

casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:

a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. b) Camile e Carla não foram ao casamento. c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. d) Carla não foi ao casamento e Vanderléia viajou. e) Vera e Vanderléia não viajaram. 12. Considere a seguinte tabela-verdade:

p q pq pq

V V V V

V F F V

F V F V

F F F F

Podemos escrever:

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a) pq é verdade pq é verdade

b) pq é verdade pq é verdade

c) pq é verdade pq é verdade

d) pq é falso pq é falso

e) pq é falso pq é verdade 13. Duas grandezas x e y são tais que: “se x=3, então y=7”. Pode-se concluir que: a) se ,3x então 7y

b) se ,7y então 3x

c) se ,7y então 3x

d) se ,5x então 5y

e) nenhuma das conclusões acima é válida. 14. Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é

careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: a) Maria é magra e Bernard não é barrigudo. b) Bernardo é barrigudo ou César é careca. c) César é careca e Maria é magra. d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo. e) Lúcia e linda e César é careca. 15. Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se

Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro. b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade. 16. Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente

equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 17. Ou Anais será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se

Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:

a) Anais será professora e Anelise não será cantora. b) Anais não será professora e Ana não será atleta. c) Anelise não será cantora e Ana será atleta. d) Anelise será cantora ou Ana será atleta. e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista. 18. Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de

Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Mas acontece que nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Elisa. Com isso, podemos afirmar que:

a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda.

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b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. d) Se Ana é filha de Elisa, Flávia é filha de Fernanda. e) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda. 19. Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será verdade que: a) Todos não-artistas são não-atletas. b) Nenhum atleta é não-artista. c) Nenhum artista é não-atleta. d) Pelo menos um não-atleta é artista. e) Nenhum não-atleta é artista. 20. Se os pais dos filhos morenos sempre são morenos, então podemos afirmar que: a) Os filhos de não-morenos nunca são morenos. b) Os filhos de morenos sempre são loiros. c) Os filhos de morenos nunca são morenos. d) Os filhos de não-morenos sempre são morenos. e) Os pais de filhos morenos nem sempre são morenos.

21. A negação da sentença “Ana não voltou e foi ao cinema” é: a) Ana voltou ou não foi ao cinema. b) Ana voltou e não foi ao cinema. c) Ana não voltou ou não foi ao cinema. d) Ana não voltou e não foi ao cinema. e) Ana não voltou e foi ao cinema. 22. Todos os médicos são magros. Nenhum magro sabe correr. Podemos afirmar que: a) Algum médico não é magro. b) Alguém médico sabe correr. c) Nenhum médico sabe correr. d) Nenhum médico é magro. e) Algum médico sabe correr. 23. A negação da proposição “Se os preços aumentam, então as vendas diminuem” é: a) Se os preços diminuem, então as vendas aumentam. b) Os preços diminuem e as vendas aumentam. c) Se os preços aumentam, então as vendas aumentam. d) As vendas aumentam ou os preços diminuem. e) Se as vendas aumentam, então os preços diminuem. 24. Considere as seguintes premissas: “Cláudia é bonita e inteligente, ou Cláudia é simpática.” “Cláudia não é simpática.” A partir dessas premissas, conclui-se que Cláudia: a) É bonita ou inteligente. b) É bonita e inteligente. c) É bonita e não é inteligente. d) Não é bonita e não é inteligente. e) Não é bonita e é inteligente. 25. Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer jogar. Logo: a) Jair não está machucado nem quer jogar. b) Jair não quer jogar nem está machucado.

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c) Jair não está machucado e quer jogar. d) Jair está machucado e não quer jogar. e) Jair está machucado e quer jogar. 26. Assinale a alternativa que apresenta a negação da seguinte sentença: “Nenhum

pescador é mentiroso”. a) Algum pescador é mentiroso. b) Nenhum mentiroso é pescador. c) Todo pescador não é mentiroso. d) Algum mentiroso não é pescador. e) Algum pescador não é mentiroso. 27. Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de

vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) Pelo menos um economista não é médico. b) Nenhum economista é médico. c) Nenhum médico é economista. d) Pelo menos um médico não é economista. e) Todos os não médicos são não economistas. 28. Se pba , então rza . Se rza , então rwa . Por outro lado, pba , ou

0a . Se 0a , então 5ua . Ora, 5ua . Logo:

a) 0 ra

b) pba

c) rwa

d) rwrz

e) rqpb

Respostas

(01-C) (02-D) (03-A) (04-A) (05-A) (06-A) (07-D) (08-E) (09-A) (10-C) (11-E) (12-D) (13-B)

(14-A) (15-E) (16-E) (17-A) (18-B) (19-D) (20-C) (21-A) (22-C) (23-E) (24-B) (25-E) (26-A) (27-D) (28-C)

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Operação com Conjuntos

Em algumas situações, símbolos matemáticos são usados para facilitar a compreensão e o estudo de temas mais teóricos, inclusive de outras áreas, como a Lógica Matemática.

Os diagramas de Venn, desenvolvidos na Teoria dos Conjuntos, são usados para facilitar o estudo de afirmações ou sentenças lógicas argumentativas.

Ao afirmar, por exemplo, que toda banana é uma fruta, mas nem toda fruta é uma banana, podemos usar a seguinte representação com diagramas de Venn.

Estamos, com isso, mostrando que o conjunto da banana está contido no conjunto das frutas

e que o conjunto das frutas contém o conjunto banana. Podemos, ainda, representar que

banana frutas e que frutas banana. Em termos de Lógica Matemática, podemos afirmar de algumas maneiras, como: “Toda

banana é um fruta” ou “No conjunto das frutas, existe o conjunto das bananas”. Tipos de relação entre Conjuntos Existem, fundamentalmente, três situações possíveis que relacionam dois tipos de conjunto

numérico ou não e relacionam também: I – Um conjunto A contém o conjunto B ou o conjunto B está contido no conjunto

A(AB)(BA).

II – Os conjuntos A e B possuem uma parte de seus elementos em comum (AB).

III – Os conjuntos A e B não possuem uma parte de seus elementos em comum

(AB)=. Observações: 1. Quando estudamos mais de dois conjuntos, podemos considerar os mesmos casos

anteriores: os conjuntos estão contidos em outros conjuntos (ou apenas em um deles), os conjuntos possuem elementos em comum ou todos os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum.

2. Não nos interessa estudar o caso de dois conjuntos serem coincidentes, apesar de serem

descritos de formas diferentes, por exemplo: A = conjunto dos números pares. B = conjunto dos números escritos na forma 2n.

A=B.

Atenção: Os diagramas de Venn servem para auxiliar a visualização de afirmações, em que se pode constatar se um grupo de elementos faz parte do outro, se está contido em outro grupo de elementos ou se não existe nenhuma relação entre os referidos grupos de elementos.

Conjunto contido em outro Conjunto

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O conjunto B está contido no conjunto A completamente. E não podemos dizer o mesmo da

situação inversa: o conjunto A está contido no conjunto B. Exemplos 1. Toda televisão é um eletrodoméstico, mas nem todo eletrodoméstico é uma televisão. 2. O cigarro é uma droga, mas nem toda droga é cigarro. 3. Todo número natural é um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número

natural. Atenção: Existem proposições ou sentenças que indicam elementos em comum. Nos

diagramas de Venn, esses elementos em comum são representados como a intersecção dos conjuntos ou proposições. Por exemplo, na proposição “Conjuntos numéricos é uma disciplina da Matemática cobrada tanto em provas de Raciocínio Lógico quanto em provas de Matemática”, temos que o “elemento” Conjuntos Numéricos é a intersecção dos dois conjuntos – Raciocínio Lógico e Matemática.

Conjuntos que possuem uma parte dos elementos em comum

Os conjuntos A e B possuem alguns e somente alguns elementos em comum. Em termos de Lógica Matemática, podemos dizer que algum elemento de A é elemento do

conjunto B e vice-versa. Exemplo: Motocicletas e automóveis possuem rodas: as primeiras possuem duas rodas e os últimos

possuem quatro rodas. Observação: Existem vários elementos comuns, como as rodas. Atenção: Algumas proposições podem conter informações de dois ou mais conjuntos

numéricos. Essas informações podem ser representadas por meio de diagramas de Venn.

Os conjuntos que não possuem elementos em comum

Os conjuntos A e B não possuem nenhum elemento em comum. Em termos da Lógica,

podemos afirmar que nenhum elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa.

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Exemplo Indicar o diagrama que melhor representa a relação entre os conjuntos citados: Fuscas,

carros, rios

Como todo fusca é um carro e não existe relação nenhuma entre carros e rios, o diagrama

que melhor representa a situação é o primeiro, pois o conjunto de fuças está contido no conjunto de carros.

Atenção: Existem proposições que podem ser consideradas exclusivas, isto é, não possuem elemento nenhum em comum. Por exemplo, na seguinte proposição: “Ronaldo é um grande jogador de futebol e Roberto Carlos é um fantástico cantor nacional”.

Teoria dos Conjuntos Para desenvolvermos o estudo da Teoria dos Conjuntos, é necessário partir de noções

elementares que são admitidas sem definição. Essas noções elementares são chamadas de conceitos primitivos.

Associamos à idéia de conjunto às de grupo, coleção ou classe e, à idéia de elemento, os objetos ou “coisas” que constituem o conjunto.

Exemplos 1. P = Conjunto dos números primos entre 1 e 9. Elementos: 2, 3, 5, 7. 2. N = Conjunto dos algarismos do número 4.123. Elementos: 1, 2, 3, 4. Associamos à idéia de constituir ao conceito de pertencer. Dizemos, então, que o elemento

pertence ao conjunto. Os símbolos e são usados para relacionar elementos com conjuntos.

= pertence.

= não pertence. Exemplos Considerando os conjuntos dos exemplos anteriores:

1. 6 P.

2. 2 N. Representação de Conjuntos Um conjunto de elementos pode ser representado de três formas. Vejamos o caso do conjunto M, formado por janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro,

dezembro.

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a) pela enumeração de seus elementos: M = {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}. b) por meio de uma propriedade característica de seus elementos:

M = {mM|m é um mês do ano que possui 31 dias}. c) graficamente, por meio de diagramas:

Atenção: Quando representamos um conjunto por enumeração, escrevemos seus elementos entre chaves, separando-os por vírgula sem repetição.

Exemplo A = conjunto das vogais do alfabeto. A={i,a,o,e,u}. Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos Um conjunto pode ser caracterizado em função do número de elementos. Denominamos n(A) o número de elementos distinto de um conjunto A qualquer. Com isso, um conjunto pode ser caracterizado conforme a quantidade de elementos

distintos que a ele pertence. I – Se um conjunto não possuir elementos (n(A)=0), será chamado de conjunto vazio. II – Quando o conjunto tiver apenas um elemento (n(A)=1), será chamado de conjunto

unitário. De acordo com n(A), podemos classificar os conjuntos como finitos ou infinitos. Exemplos

1. 27,10,2,10A é um conjunto finito e n(A)=4.

2. 2,8| xxBxB não possui elementos: n(B)=0. B é um conjunto vazio.

3. O conjunto dos números naturais, ,...5,4,3,2,1,0N , é um conjunto infinito. Não há como

determinar seu n(N). Para desenvolvermos um estudo de conjuntos, é necessário admitir a existência de um

conjunto ao qual pertencem os elementos envolvidos nesse estudo. A esse conjunto denominamos conjunto universo.

Esse conjunto pode ser finito ou infinito e é simbolizado por U. Exemplo

Considerando 063 x e ,...5,4,3,2,1U , temos:

23

663 xxx Como ,2 U então S

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Atenção: Conjuntos iguais: dois conjuntos são considerados iguais se e somente se possuem os mesmos elementos.

4,2,1A e 4| dedivisoréxBxB possuem os mesmos elementos: os conjuntos A

e B são iguais A = B. Inclusão de Conjuntos Se todos os elementos de um conjunto A também pertencem a um conjunto B, dizemos que

A está contido em B, ou ainda que A é subconjunto de B.

Notação

BxAxBA

Significa dizer que o conjunto A está contido no conjunto B se e somente e todo elemento do

conjunto A é também elemento do conjunto B. Exemplo Dados os conjuntos:

otgaA ,,,

otagB ,,,

Todo elemento do conjunto A é elemento do conjunto B e todo elemento do conjunto B

pertence ao conjunto A. Logo: AB e BA. Isso ocorre sempre que temos conjuntos iguais e equivale a dizer que todo conjunto será

contido em si mesmo. Atenção: Inclusão de conjuntos: se existir pelo menos um elemento de A que não pertença

a B, dizemos que A não está contido em B, ou que A não é subconjunto de B. Notação: BA .

Operação entre Conjuntos União Chamamos de união de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos

pertencentes a A ou B.

AB={x|xA ou xB}.

A

B

A

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Exemplo

1. 4,3,2,1A e 9,8,7B

9,8,7,4,3,2,1BA

2. paréxxA | e 6,4,2B

ABA Interseção Chamamos de intersecção de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos

pertencentes a A e a B.

AB={x|xA e xB}. Exemplos

1. 9,7,5,3,1A e 8,6,4,2B

BA Atenção: Quando a intersecção entre dois conjuntos é o conjunto vazio, os conjuntos são

disjuntos. Observação: Número de elementos do conjunto União. É possível estabelecer uma relação entre o número de elementos de uma intersecção e o da

união de conjuntos: n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB). Diferença Dados dois conjuntos A e B, chamamos de diferença A – B ao conjunto formado pelos

elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

A-B={x|xA e xB}. Exemplos

1. 5,3,2A e 7,6,4B

ABA

2. dcbaA ,,, e fedcB ,,,

},{ baBA

Complementar

Quando dois conjuntos A e B são tais que A B, dá-se o nome de complementar de A em B à diferença B – A.

No diagrama a seguir, temos:

A B

A

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O conjunto A está contido no conjunto B. Com isso, a região que fica entre o conjunto B e o conjunto A é definida como complementar de A em relação ao conjunto B e é escrita como:

ABCA

B

Exemplo

1. 114,113A e 114,113,112,111B

112,111 ABCA

B

Conjunto Diferença Propriedades:

1) AA

2) A A

3) ABAB

4) ABBABA

Exercícios

1. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes:

futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre: - 20 alunos praticam vôlei e basquete. - 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete. - 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei. - o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número de alunos que

praticam só vôlei. - 17 alunos praticam futebol e vôlei. - 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a: a) 93 b) 110 c) 103 d) 99 e) 114 2. Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam

instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos dessa Filarmônica tocam instrumentos diferentes dos dois citados? a) 340 b) 280 c) 40 d) 160 e) 10

3. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal X,

150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas?

a) 220 b) 240 c) 280 d) 300 e) 340

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4. Em uma entrevista de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C

ou D. O produto D é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C?

a) 1.430 b) 1.450 c) 1.500 d) 1.520 e) 1.600

5. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a

antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antígeno O?

a) 50 b) 52 c) 59 d) 63 e) 65

6. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos

lêem o jornal A e 60% lêem o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual que lêem ambos os jornais.

a) 40% b) 45% c) 50% d) 60% e) 65%

7. Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam

xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Determine o número de homens que não jogam xadrez.

a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40

8. Analisando as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se

que 68 receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas?

a) 30 b) 40 c) 46 d) 53 e) 60 9. Numa escola de apenas 800 alunos, é sabido que 200 deles gostam de pagode, 300

gostam de rock e 130, de pagode e rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock?

a) 430 b) 560 c) 670 d) 730

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e) 800

10. Em um grupo de 160 estudantes, 60% assistem a aulas de francês e 40% assistem a aulas de inglês, mas não às de francês. Dos que assistem a aulas de francês, 25% também assistem a aulas de inglês. O número de estudantes, do grupo de 160, que assistem a aulas de inglês é:

a) 35 b) 55 c) 72 d) 88 e) 95

Respostas

1) Resposta “D”. Solução: n(FeB)=45 e n(FeB -V) = 30 → n(FeBeV)=15 n(FeV)=17 com n(FeBeV)=15 → n(FeV - B)=2 n(F)= n(só F) + n(FeB-V) + n(FeV -B) +n(FeBeV) 60= n(só F) + 30 + 2 + 15 → n(só F)=13 n(sóF)=n(sóV)= 13 n(B)= n(só B) + n(BeV)+ n(BeF-V) --> n(só B)= 65- 20 - 30= 15 n(nem F nem B nem V)= n(nem F nem V) - n(solo B) = 21- 15 =6 Total = n(B) + n(só F)+ n(só V) + n(Fe V - B) + n(nem FnemBnemV) = 65+ 13+ 13+ 2+ 6 =

99. 2) Respostas “D”. Solução: Sopro

Corda

Total de 340 500 – 340 = 160. 3) Respostas “E”. Solução:

A B +

Começamos resolvendo pelo que é comum: 20 alunos gostam lêem os dois. Lêem somente A: 100 – 20 = 80 Lêem somente B: 150 – 20 = 130

80 20 130 110

180 60 100

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Totaliza: 80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas. 4) Respostas “D”. Solução:

A B

Somente B: 800 – 320 = 480 Usam A = total – somente B = 2000 – 480 = 1520. 5) Respostas “C”. Solução:

A B O +

Começa-se resolvendo pelo AB, então somente A = 40 – 14 = 26 e somente B = 35 – 14 = 21.

Somando-se A, B e AB têm-se 61, então o O são 120 – 61 = 59 pessoas. 6) Respostas “A”. Solução: - Jornal A → 0,8 – x - Jornal B → 0,6 – x - Intersecção → x Então fica: (0,8 - x) + (0,6 - x) + x = 1 - x + 1,4 = 1 - x = - 0,4 x = 0,4. - Resposta “40% dos alunos lêem ambos os jornais”. 7) Respostas “C”. Solução: 11 jogam xadrez e 03 são mulheres, então sobram 08 homens que jogam xadrez. Se 31 são homens ou jogam xadrez, menos 11 que jogam xadrez sobram: 20 homens. 8) Respostas “C”. Solução: Imagine como um conjunto:

1200 320 480

59 26 14 21

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dentro disso.. tem 68 que tomou a de sabin.. e 16 que não tomou dentro disso.. tem 50 que tomou a de sarampo.. e 34 que não tomou e 12 não foi vacinada..... e 72 receberam alguma vacina... Então nosso grupo vai para 72. Se 12 não tomou nada sobra 72.. Então dentro de 72 teve, 50 que tomou a de sarampo e sobra 22... e 68 que tomou a sabin e 4 que não tomou a sabin. então o que acontece.. pode ser, que as 4 que não tomou sabin, tenha tomado a sarampo.. Então não podemos simplesmente fazer um menos o outro. então quem realmente tomou? Imagine assim: um número de crianças ordenadas 1 as 2 as 3 as 4 as 5 as 6 as ... as 22 sr as ... sr as 68 sr as 69 sr 70 sr 71 sr 72 sr enxergou a solução? é a intersecção dos grupos são as crianças entre 22 e 68 = 68 - 22 = 46 ou seja, 84 -12 tira as que não tomou nada = 72 72 - 50 = 22 72 - 68 = 4 72 – 22 – 4 = 46. 9) Respostas “A”. Solução: 200 - 30 = 70 deles gostam só de pagode; 300 - 130 = 170 deles gostam só de rock e 130 de pagode e de rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock 800 - 70 - 170 - 130 = 800 - 370 =

430 alunos não gostam nem de pagode nem de rock. 10) Resposta “D”. Solução: Dos 160 estudantes 60% assistem aulas de francês: 96 alunos Dos 160 estudantes 40% assistem a aulas de inglês mas não as de francês: 64 alunos Dos que assistem a aulas de francês, 25% também assistem a aulas de inglês: 24 alunos O número de estudantes, do grupo de 160 estudantes, que assistem a aulas de inglês é 88.

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Cálculos com Porcentagem

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

1. Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria

custa R$120,00, quanto à mercadoria passará a custar? O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108 Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00. 2. Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de

meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será: E a de meninos será: 100 - 40 = 60. Razão centesimal Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100. Exemplos: 10/100 = 0,1 = 10% (lê-se 10 por cento) 150/100 = 1,5 = 150% (lê-se 150 por cento) Definição de taxa porcentual ou porcentagem Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠ 0, à

razão x/100tal que x/100 = a/b Indica-se x/100 por x% Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples: Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado

valor. Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100). Exemplos para compreendermos melhor: Calcule:

a) 10% de 500: A razão centesimal é: b ≠ 0 Portanto, x/100 b) 25% de 200: x/100 = a/b Portanto, x/100 2. Qual a taxa porcentual de: a) 3 sobre 5? x% 5x = 300 x= 60

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A taxa é de 60% b) 10 sobre 20? 10% = 10/100 20x = 1000 x = 50 A taxa é de 50%

Exemplos Resolvidos

1. Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteve-se um desconto de 20%. Qual

foi o valor pago? O desconto será: 500 . 10/100 = 50 Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200. Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco: O valor total da compra é 100%.

Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%). Logo, 25% = 25/100

2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o

seu preço. Quanto ele passou a custar? O acréscimo será de: 200 . 25/100 = 50 Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200 Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer

dizer que ele passará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo: 3/5 = x/100. 3. Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto

por cento foi o lucro sobre o preço de venda? 10/20 = x/100 2000x = 10000 x = 5 Portanto, 5%. 4. Um comerciante que não possuía conhecimentos de matemática comprou uma

mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?

Vamos por etapas: O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor. 20/100 . 1500 = 300 Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00. Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda: 1500 . 80/100 = 1200 Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por

R$180,00, obteve um prejuízo de R$20,00. É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números

ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: - A gasolina teve um aumento de 15%. Significa que em cada R$100 houve um acréscimo

de R$15,00

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- O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

- Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos

ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de

cavalos. 50% de 50 = 50/100 . 50 = 2500/100 = 25 cavalos Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma

taxa percentual a um determinado valor. Exemplos: - Calcular 10% de 300. 10% de 300 = 10/100 . 300 = 30 - Calcular 25% de 200kg. 25% de 200 = 25/100 . 200 = 50 Logo, 50 kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em

gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 8% de 75 = 8/100 . 75 = 600/100 = 6 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa

percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que

aumentou em relação a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. Uma dica importante: o fator de multiplicação. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o

novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Exemplo

Acréscimo ou Lucro

Fator de Multiplicação

10% 1,10

15% 1,15

20% 1,20

47% 1,47

67% 1,67

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Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 1,10 = R$ 11,00. No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação

= 1 - taxa de desconto (na forma decimal). Veja a tabela abaixo:

Exemplo Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 0,90 = R$ 9,00

Exercícios

1. Quanto é 15% de 80? 2. Quanto é 70% de 30? 3. Quanto é 150% de 45? 4. Quanto é 100% de 40? 5. Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem. 6. 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais

337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha? 7. Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número? 8. Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto

equivale a quantos por cento do meu salário? 9. Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da

minha? 10. Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge

até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu carro?

11. Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso.

Quantos por cento eu perdi desta quantia? 12. Dei ao meu irmão 25 das 40 bolinhas de gude que eu possuía. Quantos por cento

das minhas bolinhas de gude eu dei a ele? Com quantos por cento eu fiquei? 13. Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por

quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?

Desconto Fator de

Multiplicação

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10

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14. Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei?

15. Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons

ainda me restam? 16. Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e

consegui vender 60%. Quantas peças de roupa eu vendi? 17. Em uma cesta eu possuía uma certa quantidade de ovos. As galinhas no meu

quintal botaram 10% da quantidade dos ovos que eu tinha na cesta e nela os coloquei, mas por um azar meu, um objeto caiu sobre a dita cuja e 10% dos ovos foram quebrados. Eu tenho mais ovos agora ou inicialmente?

18. O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%,

mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido?

19. Quanto é 60% de 200% de 80%? 20. Quanto é 45% de 90% de 180? 21. Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de

ter escorrido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango?

22. Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é o número de

ratos brancos desta população? 23. Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um

real. Quantas moedas de um real eu possuo em meu bolso? 24. Dos 8 irmãos que possuo, apenas 12,5% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo? 25. Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de

papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel?

26. Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo.

Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?

Respostas 1) Solução:

Multiplique 15 por 80 e divida por 100: Se você achar mais fácil, pode simplesmente multiplicar 15% na sua forma decimal, que é 0,15 por 80: 0,15 . 80 = 12 15% de 80 é igual a 12.

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2) Solução:

Multiplique 70 por 30 e divida por 100: Ou então você pode multiplicar 70% na sua forma decimal, que é 0,70 por 30: 0,70 . 30 = 21 70% de 30 é igual a 21. 3) Solução:

Multiplique 150 por 45 e divida por 100: Você também pode simplesmente multiplicar 150% na sua forma decimal, que é 1,50 por 45: 1,50 . 45 = 67,5 150% de 45 é igual a 67,5. 4) Solução:

Multiplique 100 por 40 e divida por 100: Se você preferir pode multiplicar 100% na sua forma decimal, que é 1,00 por 40: 1,00 . 40 = 40 Na verdade você não precisa fazer conta alguma. Como já sabe 100% representa o todo, por isto 100% de qualquer número será sempre o próprio número. 100% de 40 é igual a 40. 5) Solução: A razão de 19 para 25 pode ser expressa nestas duas formas: 19/25 = 19 : 25 Ao realizarmos a divisão de 19 por 25 iremos obter o valor da razão: 19/25 = 0,76 Tal como procedemos no caso das razões centesimais, devemos multiplicar este valor decimal por cem e acrescentar o símbolo "%" para termos a representação da porcentagem, na verdade o multiplicamos por 100%: 0,76 . 100% = 76% Assim 19 : 25 na forma de porcentagem é igual a 76%. 6) Solução: Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante 100 % - 30%, ou seja, 70% mora no continente. Como 70% correspondem a 337.799 habitantes, podemos montar uma regra de três para calcularmos quantos habitantes correspondem aos 30% que moram na ilha: 337.799 está para 70, assim como x está para 30: Podemos resolver este exercício de outra forma. Se multiplicarmos 337.799 por 100 e dividirmos este produto por 70, iremos encontrar o número total de habitantes da cidade:

Ao calcular 30% de 482.570 iremos encontrar o número de habitantes da ilha:

Portanto a população da cidade que mora na área insular é de 144.771 habitantes 7) Solução: Se dividirmos 15 por 0,04, que é equivalente a 4% na sua forma decimal, iremos obter o número que 4% dele é igual a 15: 15/0,04 = 375 Para calcularmos 20% de 375 basta multiplicá-lo por 0,20: 375 . 20% = 375 . 20/100 = 375 . 0,20 = 75. Em uma única conta faríamos: 15/0,04 . 0,20 = 15 . 5 = 75 Note que concluímos multiplicando 15 por 5, o que fica bastante claro se pensarmos que 20% também é cinco vezes 4%. 20% do referido número é igual a 75 8) Solução:

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Vamos resolver este exercício montando uma regra de três: O percentual que eu procuro (x) está para o desconto (R$ 240,00), assim como 100% está para o meu salário de R$ 1.200,00. Portanto este desconto equivale a 20% por cento do meu salário 9) Solução: Sem utilizarmos uma regra de três, basta que se divida o valor do qual se procura a porcentagem (12), pelo valor que representa os 100% (20) e que se multiplique o valor obtido por 100%: 12/20 . 100% = 60% Portanto a idade de meu irmão é 60% da minha idade 10) Solução: Basta que se dividamos o valor do qual se procura a porcentagem (200), pelo valor que representa os 100% (160) e que se multiplique o valor obtido por 100%: 200/160 . 100% = 125% Portanto a velocidade máxima do carro do meu pai é 125% da velocidade máxima do meu carro. O percentual encontrado (125%) é maior que 100% porque o carro de meu pai é 25% mais veloz que o meu. 11) Solução: R$ 336,00 é 28% de R$ 1.200,00. Obtemos este valor dividindo-se 336 por 1200: 336,00/1.200,00 = 0,28 0,28 está na forma decimal, então o multiplicamos por 100% para colocá-lo na sua forma percentual: 28%. Portanto: Eu perdi 28% desta quantia. 12) Solução: 25 é 62,5% de 40. Obtemos este valor pela divisão de 25 por 40:25/40 = 0,625 0,625 está na sua forma decimal, então o multiplicamos por 100% para colocá-lo na sua forma percentual: 62,5%. Este é o percentual de bolinhas que eu dei. A diferença entre 40 e 25 é 15. Como 40 equivale a 100% e 25 equivale a 62,5%, então 15 equivale à diferença entre 100% e 62,5% que é 37,5%: 40 – 25 = 15 100% - 62,5% = 37,5% Chegaríamos também aos mesmos 37,5% se tivéssemos divido 15 que é a quantidade de bolinhas que ficaram comigo, por 40 que é a quantidade total. Portanto: Eu dei 62,5% das bolinhas de gude que eu possuía e fiquei com 37,5% 13) Solução: 12% de R$ 1.500,00 é R$ 180,00. Chegamos a este valor pela conta: 1.500,00 . 0,12 = 180,00 A diferença entre R$ 1.500,00 e R$ 180,00 é de R$ 1.320,00, conforme calculado a seguir: 1.500,00 – 180,00 = 1.320,00 Portanto: Com o desconto percentual obtido de 12%, em valor obtive R$ 180,00 de desconto e acabei pagando R$ 1.320,00. 14) Solução: 15% de 40 é 6. Chegamos a este valor pela conta: 40. 0,15 = 6 A diferença entre 40 e 6 é de 34, conforme calculado a seguir: 40 – 6 = 34 Portanto: Das 40 garrafas que estavam na mesa, eu quebrei 34 e sobraram apenas 6 15) Solução: 75% de 28 é 21. Chegamos a este valor pela conta: 28 . 0,75 = 21 A diferença entre 28 e 21 é de 7, conforme calculado a seguir: 28 – 21 = 7

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7 é o número de bombons que ainda me restam, mas poderíamos ter chegado a este resultado por outro caminho. Como eu já comi 75% dos 100% dos bombons que eu possuía, ainda tenho 25% deles, basta então calcularmos quanto é 25% de 28: 28 . 0,25 = 7 Portanto: Dos 28 bombons ainda me restam 7 16) Solução: 60% de 30 é 18. Chegamos a este valor pela conta: 30 . 0,6 = 18 Portanto: Eu vendi 18 das 30 peças logo na primeira saída. 17) Solução: Digamos que originalmente eu tivesse x ovos. Como você sabe 10% pode ser escrito como 0,1 já que 10% equivale a 10 divididos por 100. Desde que minhas galinhas botaram uma quantidade equivalente a 10% da que eu possuía, isto equivale a dizer que além dos x ovos originais, agora eu possuo mais 0,1x, ou seja, agora eu tenho 1,1x ovos: Só que quando eu tinha 1,1x ovos eu acabei perdendo 10% deles, ou seja, fiquei com 90% dos ovos, já que dos 100% eu perdi 10%: 0,99x representa 99% dos ovos que eu tinha originalmente e já que eu tinha 100%, ao ficar com 99% fiquei com 1% a menos que a quantidade original. Portanto: Inicialmente eu tinha mais ovos que agora. De forma resumida, a quantidade original de ovos pode ser representada pelo número 1 (100% dos ovos). Como foram acrescentados mais 10%, este acréscimo de 10% equivale a 100% + 10%, ou seja, equivale a 110% que é equivalente a 1,1. Ao perder 10% eu fiquei apenas com 90% dos ovos, ou seja, fiquei com 0,9 deles. Multiplicando-se tais valores teremos: (1 . 1,1) . 0,9 = 0,99 = 99% Estes 99% são os ovos que ainda me restam. 18) Solução: Estamos falando de acréscimo de porcentagem de porcentagem, já que os 6% originais foram aumentados em 120%. Vejamos como vai ficar a resolução: Ou seja, o aumento conseguido foi de 13,2%, mas podemos pensar na resolução do problema de outra forma: O aumento conseguido originalmente era de 6%, este percentual equivale a 100% do aumento conseguido, mas como conseguiu-se mais 120% de aumento, então o passamos a ter 220% ( 100% + 120%) de aumento sobre os 6%, logo o problema consiste em se calcular 220% de 6%. Portanto: O percentual de reajuste conseguido pela categoria foi 13,2%. 19) Solução: Neste tipo de exercício devemos multiplicar todos os percentuais. Todos eles devem ser passados para a sua forma decimal, exceto o último: Portanto: 60% de 200% de 80% é igual a 96%. 20) Solução: Neste tipo de exercício devemos multiplicar todos os percentuais passados para a sua forma decimal, pelo número que se deseja achar o percentual: Portanto: 45% de 90% de 180 é 72,9 21) Solução: Se dividirmos 0,96, que corresponde ao peso do gelo, por 2,4, que corresponde ao peso total, iremos obter 0,4, que se multiplicado por 100, nos dará o percentual procurado:

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Fui lesado em 40% do peso. É este o percentual equivalente aos 960g de gelo que paguei como se fosse frango 22) Solução: Para que você tenha uma melhor compreensão, montemos uma regra de três: Temos 16 ratos brancos para cada 100 ratos, assim como teremos x ratos brancos se tivermos 250 ratos. De forma geral, sem que você tenha que montar sempre a regra de três, basta que você multiplique o valor do qual você quer achar o percentual (250 neste caso) pela porcentagem (16 neste exemplo), dividindo em seguida este produto por 100 (sempre 100 por ser tratar de porcentagem). Portanto o número de ratos brancos desta população é de 40 ratos brancos. 23) Solução:

Resolvendo da forma simplificada temos: Se você quiser simplificar ainda mais o cálculo, basta que você pegue a porcentagem na sua forma decimal, ou seja, 0,15 ao invés de 15% e que a multiplique pelo número em questão (20 neste caso), temos então: 0,15 . 20 = 3 Logo eu possuo em meu bolso 3 moedas de um real. 24) Solução: Resolvendo da forma mais simplificada temos: 0,125 . 8 = 1 Portanto eu possuo apenas uma irmã. 25) Solução: Vamos dizer que originalmente o rolo custasse x, então o preço do metro de papel seria x/40. Depois o rolo ainda custava x, mas o preço do metro de papel seria x/30, que seria obviamente maior que antes, já que temos menos papel ao mesmo custo. Ao dividirmos x/30 por x/40 e subtrairmos 1 iremos obter na forma decimal qual foi o aumento no preço do produto: Como sabemos, aproximadamente 0,3333 na forma decimal equivale a 33,33%. Como você pode ter reparado a variável x utilizada na solução do problema acabou sendo simplificada por ela mesma. De forma mais simples em exercícios deste tipo você pode simplesmente realizar as contas tal como abaixo:

Tal artimanha provocou o aumento de cerca de 33,33% no preço do metro do papel. 26) Solução: Como o guarda-roupa foi comprado com 5% de desconto, isto equivale a dizer que foi comprado por 95% (0,95 na forma decimal) do seu preço: 100% - 5% = 95% = 95/100 = 0,95 Dividindo-se 2204 por 0,95, iremos obter o preço do produto sem qualquer desconto: 2204/0,95 = 2320 Como o preço à vista seria de R$ 1.972,00 e o preço sem nenhum desconto é de R$ 2.320,00, o desconto obtido seria de R$ 348,00: 2320 – 1972 = 348 Resta-nos calcular quantos por cento é 348 de 2320, o que podemos fazer dividindo-se 348 por 2320: 348/2320 = 0,15 0,15 é o resultado procurado, mas na forma decimal, multiplicando-o por 100% iremos obter o resultado na forma percentual: 15% Portanto se o guarda-roupa tivesse sido comprado à vista, o desconto percentual teria sido de 15%.

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Probabilidade Os cálculos hebreus sobre a posição dos astros, realizados Ben Ezra no século XII com a

finalidade de fazer previsões astrológicas podem ser considerados como os primeiros passos rumo à teoria das probabilidades. O Livros dos jogos de azar, de Girolamo Cardano (1501-1576) publicado em torno de 1550 é o primeiro manual organizado que traz algumas noções de probabilidade. Nesse livro, Cardano, que era um jogador, além de matemático, astrólogo e médico desenvolve cálculos de expectativas acerca de jogos dados e também dá conselhos sobre como trapacear no jogo.

No entanto o estudo sistemático das probabilidades começou realmente em 1654 quando um jogador francês, o Chevalier de Méré escreveu a Blaise Pascal (1623-1662) fazendo várias perguntas sobre o jogo de dados ou de azar. Uma das perguntas era: Dois jogadores igualmente hábeis querem interromper sua partida. Sabendo-se que o montante das apostas e situação do jogo (quantas partidas cada um ganhou), como deverá ser repartido o dinheiro?

Pascal extremamente religioso não era jogador escreveu a outro matemático francês Pierre Fermat (1601-1665) sobre as perguntas feitas por Chevalier de Méré. A partir dessa correspondência, Pascal e Fermat aprofundaram estudos conjuntos sobre probabilidade e apesar de não terem publicado seus estudos chegaram a definir conceitos como expectativa, chance e média, além de estabelecer técnicas de contagem e estatísticas de incidência de casos num dado fenômeno. Também no século XVII, mas precisamente em 1657, o holandês Christian Hiygens (1629 – 1695) publicou seu livro O raciocínio nos jogos de dados, onde apresentou importantes contribuições ao estudo das probabilidades.

O suíço Jacques Bernouilli (1654 – 1705) na mesma época deu uma grande contribuição aos estudos das probabilidades ao propor um teorema onde afirmava que a probabilidade de um evento ocorrer tente a um valor constante quando o número de ensaios desse evento tende ao infinito.

Depois de Bernouilli, Abraham De Moivre (1667 – 1751) publicou o livro A doutrina do azar onde também faz análise dos jogos que contribuíram para o estudo das probabilidades.

Foi em 1812 que Pierre Laplace (1749 – 1827) deu forma a uma estrutura de raciocínio e a um conjunto de definições no seu livro Teoria analítica da probabilidade. A teoria moderna das probabilidades hoje constitui a base de um dos ramos de maior aplicação nas ciências, a Estatística.

Experimentos Aleatórios

Os experimentos cujos resultados podem ser previsto, isto é, podem ser determinados antes

mesmo de sua realização, são chamados experimentos determinísticos. Por exemplo, é possível prever a temperatura em que a água entrará em ebulição desde que

conhecidas as condições em que o experimento se realiza. Alguns experimentos, contudo, não são assim previsíveis. Por mais que sejam mantidas as

mesmas condições, não podemos prever qual será o resultado ao lançarmos uma moeda. Esses são chamados experimentos aleatórios (em latim alea = sorte).

Experimentos aleatórios: São aqueles, que repetidos em condições idênticas, não produzem

sem o mesmo resultado. A teoria das probabilidades estuda a forma de estabelecermos as possibilidades de

ocorrência num experimento aleatório. Espaço Amostral e Eventos Vamos estudar experimentos aleatórios com resultados equiprováveis (mesma chance de

ocorrência) e em número determinado, isto é, finito. Desta forma definimos:

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Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por U.

Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplo Lançaremos três moedas e observamos as faces que ficaram voltadas para cima.

Representar: a) O espaço amostral do experimento; b) O evento A: chances de sair faces iguais; c) O evento B: sair exatamente uma face “cara”; d) O evento C: chances de sair, pelo menos, uma face “cara”.

Resolução a) U = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Ca, Co, Co), (Co, Ca, Ca), (Co, Ca, Co),

(Co, Co, Ca), (Co, Co, Co)} b) A = {(Ca, Ca, Ca), (Co, Co, Co)} c) B = {(Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)} d) C = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Co, Ca, Ca), (Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co),

(Co, Co, Ca)} Observação: Os números de elementos do espaço amostral e dos eventos de um

experimento aleatório são calculados com a análise combinatória. Tipos de Eventos

Consideremos o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e observação do

número representado na face voltada para cima. O espaço amostral será: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Analisemos os diversos tipos de eventos que podemos definir neste experimento. Evento Elementar: Qualquer subconjunto unitário de U. Exemplo Ocorrência de um número múltiplo de 5. A = {5} Evento Certo: É o próprio espaço amostral U. Exemplo Ocorrência de um divisor de 60. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento Impossível: É o conjunto vazio (). Exemplo Ocorrência de múltiplo de 8.

C = { } = Evento União: É a reunião de dois eventos.

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Exemplo Evento A: Ocorrência de um número primo A = {2, 3, 5} Evento B: Ocorrência de um número ímpar B = {1, 3, 5}

Evento A B: Ocorrência de um número primo ou ímpar

A B = {1, 2, 3, 5} Evento Intersecção: É a intersecção de dois eventos. Exemplo Evento A: Ocorrência de um número primo A = {2, 3, 5} Evento B: Ocorrência de um número ímpar B = {1, 3, 5}

Evento A B: Ocorrência de um número primo ou ímpar

A B = {3, 5} Evento Mutuamente Exclusivo: Dois eventos E1 e E2 de um espaço amostral U são

chamados mutuamente exclusivos quando E1 E2 = Exemplo Evento A: Ocorrência de um número par A = {2, 4, 6} Evento B: Ocorrência de um número ímpar B = {1, 3, 5}

A e B são eventos mutuamente exclusivos, pois A B = Evento Complementar: É o evento Ē = U – E. Exemplo Evento A: Ocorrência de um número primo A = {2, 3, 5} Evento Ā: Ocorrência de um numero não primo Ā = U – A = {1, 4,6} Observação: No caso do exemplo, podemos dizer que o evento Ā é a não-ocorrência de um

número primo. Probabilidade Estatística e Probabilidade Teórica Imaginamos a seguinte situação: em uma turma do segundo colegial, existem 25 garotas e

10 garotos e um brinde foi sorteado para um dos membros da turma. Temos que adivinhar o sexo do contemplado.

Intuitivamente, “sabemos” que é “mais fácil” ter sido sorteada uma garota que um garoto, no entanto não podemos afirmar com certeza o sexo do contemplado. A “chance” de uma garota ter sido sorteada pode ser traduzida por um numero que chamamos probabilidade.

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Uma observação que pode ser feita é que a teoria das probabilidades é uma maneira matemática de lidar com a incerteza.

O cálculo da probabilidade de um evento acontecer, muitas vezes, é feito experimentalmente, e essa probabilidade é chamada de experimental ou estatística.

Exemplo A probabilidade de uma pessoa morrer aos 25 anos é obtida através do levantamento e do

tratamento adequado de um grande número de casos. No entanto, para calcularmos a probabilidade de ao jogarmos dois dados obtermos, nas

faces voltadas para cima, dois números iguais, não precisamos realizar o experimento, ela pode ser conseguida a partir de uma analise teórica do espaço amostral e do evento, e neste caso chamamos de probabilidade teórica.

No 2º grau, não desenvolvemos estudos da probabilidade estatística, que será estudada na maioria dos cursos de 3º grau.

Probabilidade Teórica de um Evento Se num fenômeno aleatório, o número de elementos do espaço amostral é n(U) e o número

de elementos do evento A é n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número P(A) tal que:

P(A) = n(A)

n(U)

Outra forma de definir a probabilidade de ocorrer o evento A é:

P(A) = Número de casos favoráveis a A

Número de casos possíveis

Exemplos - Retirando-se uma carta de um baralho normal de 52 cartas, qual é a probabilidade de que

a carta retirada seja um rei?

Resolução

P(E) = Número de resultados favoráveis

Número de resultados possíveis

P(E) = 4

= 1

52 13

- Em um lançamento de dois dados, um preto e outro branco, qual é a probabilidade de que

os dois números obtidos sejam iguais?

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Resolução U = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,4), (6,5), (6,6)} n(U) = 6 . 6 = 36 U = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} n(E) = 6

Assim, P(E) = n(E)

= 6

= 1

n(U) 36 6

- Dentre as seis permutações dos números 1, 2, e 3, uma é escolhida ao acaso.

Considerando o número de três algarismos assim escolhido, determine a probabilidade de ele: a) Ser par; b) Ser múltiplo de três; c) Ser múltiplo de cinco. Resolução O espaço amostral é: U = {123, 132, 213, 231, 312, 321} a) Evento A: ocorrer número par. A = {132, 312}

P(A) = n(A)

= 2

= 1

n(U) 6 3 b) Evento B: ocorrer número múltiplo de três. B = {123, 132, 213, 231, 312, 321}

(evento certo)

c) Evento C: ocorrer número múltiplo de cinco. C = { }

(evento impossível)

Observação: Através da teoria determinamos que, em um lançamento de um dado “não viciado”, a probabilidade de que se obtenha o número 3 é 1/6, isto não significa que, sempre que forem feitos seis lançamentos de um dado, certamente ocorrerá em um deles, e apenas um, resultado 2. Na prática, o que se verifica é que, considerado um grande número de lançamentos, a razão entre o número de vezes que ocorre o resultado 2 e o número de lançamentos efetuados se aproxima de 1/6.

P(B) = n(B)

= 6

= 1 n(U) 6

P(C) = n(C)

= 0

= 0 n(U) 6

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Propriedade das Probabilidades

P1) A probabilidade do evento impossível é 0. (P()= 0)

P2) A probabilidade do evento certo é 1. (P(U)= 1)

P3) Sendo A um evento de um espaço amostral U, a probabilidade de A é um número

racional entre 0 e 1, inclusive. (0≤ P(A) ≤ 1).

0≤ P(A) ≤ 1 P4) Sendo A um evento e Ā seu complementar, então P(A) + P(Ā) = 1.

n(U) = n(A) + n(Ā)

n(U) = n(A)

+ n(Ā)

n(U) n(U) n(U) Assim, P(A) + P(Ā) = 1 Observação: É comum expressarmos a probabilidade de um evento na forma de

porcentagem. Assim, se P(A) = 0,82, por exemplo, podemos dizer que P(A) = 82%. Exemplo Os 900 números de três algarismos estão colocados em 900 envelopes iguais. Um dos

envelopes é sorteado. Qual a probabilidade de ele conter um número que tenha, pelo menos, dois algarismos iguais?

Resolução Sendo A o evento: ocorrer um número com pelo menos dois algarismos iguais. É mais fácil

calcular P(Ā), a probabilidade do evento complementar de A. Assim,

P()= n()

= 0

= 0 n(U) n(U)

P(U) = n(U)

= 1 n(U)

0≤ n(A) 0≤ n(U) 0

≤ n(A)

≤ n(U)

n(U) n(U) n(U)

Como P(A) = n(A)

temos: n(U)

A Ā

U

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Propriedade do Evento União

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos que ocorrer o evento A (evento união) é ocorrer pelo menos um dos eventos A ou B.

n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) Assim:

n(AB) = n(A)

+ n(B)

- n(AB)

n(U) n(U) n(U) n(U)

Ou seja: P (AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Podemos enunciar essa conclusão assim: A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento

B é dada pela soma da probabilidade de ocorrer A com a probabilidade de ocorrer B, menos a probabilidade de ocorrer os dois eventos (A e B).

Caso particular: se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, isto é, A B = ,

P(A B) = 0 a formula acima se reduz a: P(A B) = PA + PB Exemplo

A Ā

U

Números com

algarismos distintos Números com

pelo menos dois

algarismos repetidos

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De um baralho comum de 52 cartas, uma carta é retirada aleatoriamente. Qual a probabilidade de sair um valete ou uma carta de paus.

Resolução Sendo: Evento A: “a carta e um valete”

P(A) = 4

52

Evento B: “a carta de paus”

P(B) = 13

52

Evento A B: “a carta é um valete de paus”

P(AB) = 1 52

Evento A B: “a carta é um valete ou é de paus”

P( A B) = P(A) +P(B) – P(A B) Probabilidades num Espaço Amostral não Equiprovável No espaço amostral equiprovável todos os resultados possíveis têm a mesma chance de

ocorrência e por isso que nos problemas com dados e moedas estudados anteriormente sempre tomamos o cuidado de especificar que os dados e moedas eram “honestos” ou “não viciados”.

Como estudar as probabilidades com dados ou moedas “viciados”? A fórmula que usamos até agora

P(E) = Número de resultados favoráveis de E

Número de resultados possíveis

Não é válida, pois não importa apenas a quantidade de resultados favoráveis já que esses

resultados não têm necessariamente a mesma “chance” de ocorrência. Consideramos um experimento, com espaço amostral U = {a1, a2..., a n}. Chamando de

p(a1), p(a2),..., p(an) as probabilidades de ocorrência dos resultados a1, a2,..., na, respectivamente temos que:

- p(a1) + p(a2) +...+ p (an) =1 - 0 ≤ p(a1) ≤ 1, para i = 1, 2, ..., n

P(A B) =

4

+

13 -

1 =

16 =

4

52 52 52 52 13

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Desta forma para calcularmos a probabilidade do evento A = {a1, a2,..., am}(m≤n), fazemos: P(A) = p(a1) + p(a2) +...+ p(am) Exemplo Consideramos um experimento com espaço amostral U = {a, b, c} sendo p(a), p(b), p(c) as

possibilidades dos resultados a, b e c de modo que calcule :

a) p(c) b) a probabilidade do evento A ={a,c} Resolução a) p(a) + p(b) + p(c) = 1

1 + 1

+p(c) = 1 3 2

b) P(A) = p(a) + p(c)

Assim,P(A) = 1

2

Probabilidade Condicional

Consideremos num experimento aleatório de espaço amostral U os eventos A e B, com A

B ≠ , conforme o diagrama abaixo:

Na medida em que conhecemos a informação de que ocorreu o evento B, este passa a

ser o espaço amostral do experimento, pois todos os resultados agora possíveis pertencem a A. assim, a probabilidade de ocorrer o evento A, dado que o evento B já ocorreu, será:

P(A/B) = n(A B)

n(B)

p(a) = 1

ep(b) = 1

3 2

p(c) = 1 - 1

- 1

= 6–2 – 3

= 1

3 2 6 6

P(A) = 1

+ 1

= 2+1

= 3

3 6 6 6

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Exemplo Numa turma de 50 alunos do colégio, 15 são homens e 35 são mulheres. Sabe-se que 10 homens e 15 mulheres foram aprovados num exame de seleção. Uma

pessoa é sorteada ao acaso. Qual a probabilidade de: a) Ela ser do sexo feminino se foi aprovada no exame? b) Ela ter sido aprovada no exame se é do sexo masculino? Resolução O quando abaixo resume os dados do problema:

Foi Aprovado

Não foi Aprovado

Total

Homem 10 5 15

Mulher 15 20 35

Total 25 25 50

a) Sendo: Evento A: “a pessoa sorteada foi aprovada”. Evento B: “a pessoa sorteada é mulher”.

b) Sendo: Evento A: “a pessoa sorteada foi aprovada”. Evento B: “a pessoa sorteada é homem”.

Probabilidade do Evento Intersecção Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos que ocorrer o evento

A B (evento intersecção) é ocorrer simultaneamente os eventos A e B.

Para calcular a probabilidade de ocorrer A B, vamos utilizar a fórmula da probabilidade condicional.

Dividido por n(U), temos:

P(B/A) = n (A B)

= 15

= 3

n (A) 25 5

P(A/C) = n (A C)

= 10

= 2

n (C) 15 3

P(A/B) = n (A B) ,

n (B)

P(A/B) = n (A B)

= P (A B) n (U)

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Assim: P(AB) = P (B) . P (A/B) (I) Podemos também usar a fórmula de P (B/A), assim:

Então: P(AB) = P (A) . P (B/A) (II) A partir das fórmulas (I) e (II), citadas anteriormente, concluímos: Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, a probabilidade de eles ocorrerem

simultaneamente é dada pelo produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado que ocorreu o primeiro.

Exemplo Consideremos uma urna contendo 5 bolas numeradas de 1 a 5. qual a probabilidade de

retirarmos a bola 1 e, sem sua reposição, a bola 2? Resolução A probabilidade de sair a bola 1 na primeira retirada é P (A) = 1/5 Restando 4 bolas na urna, a probabilidade de ocorrer a bola na segunda, tendo ocorrido a

bola 1 na primeira é: P (A/B) = 1/4 Como devem ocorrer os dois eventos, temos:

Eventos Independentes Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos que eles são independentes

se a ocorrência de um deles não modificar a probabilidade de ocorrência do outro.

A e B independentes P (B/A) = P(B) e P (A/B) = PA Quando A e B são eventos independentes.

n (B) P (B)

n (U)

P(B/A) = n (A B)

=

n (A B)

= P (A B) n (U)

n (A) n (A) P (A)

n (U)

P (A B) =P (A) . P(B/A) = 1

= 1

= 1

5 4 20

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P (A B) = P(A) . P(B)

Então se P (A B) ≠ P(A) . P(B), dizemos que os eventos são dependentes. Exemplos de Eventos Independentes - No lançamento simultâneo de dois dados, o resultado de um deles não influi no resultado

do outro. - No lançamento sucessivo de dois dados, o resultado de um deles não influi no resultado do

outro. - Na extração de duas cartas de um baralho se antes de extrair a segunda carta for feita a

reposição da primeira, o resultado da primeira não influi no resultado da segunda. Exemplo de Eventos Dependentes Na extração de duas cartas de um baralho se antes de extrair a segunda carta não for feita a

reposição da segunda, o resultado da primeira influencia o resultado da segunda, pois o espaço amostral passa a ter 51 elementos.

Exemplo Sejam A e B dois eventos independentes tais que:

Calcule P (B). Resolução

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Como A e B são independentes

P (A B) = P(A) . P(B)

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) ou seja:

4 = 3 + 12 P (B) – 3 P (B)

Exercícios

1. Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas.

Qual a probabilidade desta bola ser verde?

P(A) = 1

eP(A B)= 1

4 3

1 = 1

+P(B - 1

P (B) 3 4 4

9 P (B) = 1 P (B) = 1

9

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2. Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?

3. Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher

engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?

4. Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se

ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa? 5. Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos

uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? 6. Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de

aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. 7. Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as

mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.

8. Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de

aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo.

9. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1

a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo. 10. De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a

probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?

Respostas

1) Resposta “ ”.

Solução: Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.

Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente

podemos representar a resolução assim:

Logo, A probabilidade desta bola ser verde é 5/12.

2) Resposta “25%”. Solução: Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total

de agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão

produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.

Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:

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Portanto, a probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4,

ou 0,25, ou ainda 25%. 3) Resposta “10,24%”. Solução: Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na

forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não

engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%. Então, a probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%. 4) Resposta “0,2592”. Solução: Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra como em

cada tentativa estamos tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade, além do fato de a probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton:

n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5. k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1. p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4. q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6. Substituindo tais valores na fórmula temos:

O número binomial é assim resolvido:

Então temos:

Assim, a probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592.

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5) Resposta “ ”.

Solução: Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar .

Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número

total de elementos do espaço amostral. Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente

exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a fórmula:

Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos. O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral

possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/

14:

Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é

igual a 2/14:

Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então 7/

14 passaria a 1/

2 e 2/14 a 1/

7, no entanto isto não foi feito, já que para somarmos as duas probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum:

Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois

eventos para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo resolvido de outra forma, que em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida. Vejamos:

Note que a probabilidade de se obter ficha azul é 5 em 14, ou seja, 5/14. Então a

probabilidade de não se obter ficha azul é 9 em 14, pois:

O 1 que aparece na expressão acima se refere à probabilidade do espaço amostral. Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos uma ficha

azul, só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha amarela, pois não há outra opção. 6) Resposta “25%”. Solução: Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é

igual a 3k. A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1. Logo, k + 3k = 1 \ k = 1/4.

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Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.

7) Resposta “ ”.

Solução: Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado, temos: p(A) = p(B) = 2 . p(C). Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2. Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1. Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer é

igual a 1. (evento certo). Assim, substituindo, vem: k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5. Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5. A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja, 2/5 + 1/5 =

3/5.

8) Resposta “ ”.

Solução: Pelo enunciado, podemos escrever: p(2) = p(4) = p(6) = 2 . p(1) = 2 . p(3) = 2 . p(5). Seja p(2) = k. Poderemos escrever: p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos

elementares é igual a 1. Então, substituindo, vem: k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 \ k = 2/9. Assim, temos: p(2) = p(4) = p(6) = 2/9 p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9. O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.

9) Resposta “

Solução: Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números primos. Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10.

10) Resposta “ ”.

Solução: Vamos representar por E3 o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 3:

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E3 = { 3, 6, 9, 12, 15 } E por E4 vamos representar o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 4: E4 = { 4, 8, 12 } O espaço amostral é: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é:

A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é:

Como estamos interessados em uma ocorrência ou em outra, devemos somar as

probabilidades, mas como explicado no tópico união de dois eventos, devemos subtrair a probabilidade da intersecção, pois tais eventos não são mutuamente exclusivos. Como podemos ver, o número 12 está contido tanto em E3 quanto em E4, ou seja:

A probabilidade da intersecção é:

Portanto:

Logo, a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 é 7/15.

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Análise Combinatória

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (p m) de forma que os p elementos sejam

distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição. Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p

elementos.

Fórmula: As(m,p) =

Cálculo para o exemplo: As(4,2) =

Exemplo: Seja Z = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. Os arranjos simples desses 4 elementos

tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

As = {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC} Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p

elementos. Fórmula: Ar(m,p) = mp. Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16. Exemplo: Seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. Os arranjos com repetição desses 4

elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar = {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas

existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos. Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1) Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72. Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com

duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}? Aqui temos um total de m = 7 letras, a taxa é p = 4, o subconjunto escolhido tem m1 = 3

elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1 = 2. Com as letras A, B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:

PABC = {AB, BA, AC, CA, BC, CB} Com as letras D, E, F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto: PDEFG = {DE, DF, DG, ED, EF, EG, FD, FE, FG, GD, GE, GF}

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Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento

do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos. Fórmula: Ps(m) = m!. Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3! = 6. Exemplo: Seja C = {A, B, C} e m = 3. As permutações simples desses 3 elementos são 6

agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ps = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C = {x1, x2, x3,..., xn},

faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1 + m2 + m3 +... + mn = m.

Fórmula: Se m = m1 + m2 + m3 +... + mn, então Pr(m) = C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn) Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da

palavra original trocadas de posição. Cálculo para o exemplo: m1 = 4, m2 = 2, m3 = 1, m4 = 1 e m = 6, logo: Pr(6) = C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1) = C(6,4).C(2,2).C(1,1) = 15. Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra

A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C = {A, R, T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr= {AAARRT, AAATRR, AAARTR, AARRTA, AARTTA, AATRRA, AARRTA, ARAART,

ARARAT, ARARTA, ARAATR, ARAART, ARAATR, ATAARA, ATARAR} Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos

formando uma circunferência de círculo. Fórmula: Pc(m) = (m-1)! Cálculo para o exemplo: P(4) = 3! = 6 Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K = {A, B, C, D}. De quantos modos distintos

estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc= {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC,

BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA}

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Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que: ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD ACBD=CBDA=BDAC=DACB ACDB=CDBA=DBAC=BACD ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADC Existem somente 6 grupos distintos, dados por: Pc= {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB}

Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p < m) de forma que os p elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p

elementos.

Fórmula: C(m,p) =

Cálculo para o exemplo: C(4,2) =

Exemplo: Seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações simples desses 4 elementos

tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs= {AB, AC, AD, BC, BD, CD} Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo

até p vezes. Fórmula: Cr(m,p) = C(m + p - 1, p)

Cálculo para o exemplo: Cr(4,2) = C(4 + 2 - 1, 2) = C(5,2) =

Exemplo: Seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações com repetição desses 4

elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr= {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} Mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6

grupos que já apareceram antes, pois AB = BA, AC = CA, AD = DA, BC = CB, BD = DB e CD = DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr= {AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD}

Regras gerais sobre a Análise Combinatória

Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis, mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m

formas e outro elemento podem ser escolhidos de n formas, então a escolha de um ou outro

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elemento se realizará de m + n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m

formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H, M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois

ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p < m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor

do elemento para a cor vermelha. Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m

possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C. c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e

constatamos que agora existem apenas m - 1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm Após a segunda retirada, sobraram m - 2 possibilidades para a próxima retirada. Do que

sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na

fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento restará m – p + 1 possibilidades de escolha.

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Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

Retirada Número de possibilidades

1 m

2 m-1

3 m-2

... ...

p m-p+1

Nº.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a

expressão para seu cálculo será dada por: A(m,p) = m(m – 1)(m – 2)...(m – p + 1) Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as

possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:

{AE, AI, AO, AU, EA, EI, EO, EU, IA, IE, IO, IU, OA, OE, OI, OU, UA, UE, UI, UO} A solução numérica é A(5,2) = 5 4 = 20.

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5

vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5 x 5 = 25 possibilidades. O conjunto solução é: Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que

permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final? XYZ-1234 Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a

3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p = m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p = m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

Retirada Número de possibilidades

1 m

2 m-1

... ...

p m-p+1

... ...

m-2 3

m-1 2

m 1

Nº.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1

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Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1 Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever: A(m,m) = P(m) Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral,

costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente: P(m) = m! Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é

um número natural. Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da

natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m = 0 e para isto podemos escrever: 0! = 1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0! = 1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P = P(m) ou com o uso do sinal de exclamação: (m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma

estante? O número de arranjos é P(3) = 6 e o conjunto solução é: P = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de

arranjos é P(4) = 24 e o conjunto solução é: P = {AMOR, AMRO, AROM, ARMO, AORM, AOMR, MARO, MAOR, MROA, MRAO, MORA,

MOAR, OAMR, OARM, ORMA, ORAM, OMAR, OMRA, RAMO, RAOM, RMOA, RMAO, ROAM, ROMA}

Número de Combinações simples

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H, M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H, M) ou (M, H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de

arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja: C(m,p) =

Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)

então: C(m,p) = que pode ser reescrito:

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C(m,p) =

Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por (m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 que

é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará: (m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 e o denominador ficará: p! (m-p)! Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será

uma das seguintes:

Número de arranjos com repetição

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste

conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:

Arep(m,p) = mp

Número de permutações com repetição

Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em

uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10, 3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10 – 3, 2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10 – 3 – 2, 5).

O número total de possibilidades pode ser calculado como:

Tal metodologia pode ser generalizada.

Número de combinações com repetição

Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e

ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.

Seja o conjunto A = (a, b, c, d, e) e p = 6. As coleções (a, a, b, d, d, d), (b, b, b, c, d, e) e (c, c, c, c, c, c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.

Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças

(a, a, b, d, d, d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø (b, b, b, c, d, e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#

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(c, c, c, c, c, c) equivale a ØØ######ØØ Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe

uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são preenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10, 6) modos. Assim:

Crep(5,6) = C(5 + 6 – 1,6) Generalizando isto, podemos mostrar que: Crep(m,p) = C(m + p – 1,p)

Propriedades das combinações

O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a

quantidade de elementos de cada escolha. Taxas complementares C(m,p) = C(m, m – p) Exemplo: C(12,10) = C(12,2) = 66. Relação do triângulo de Pascal C(m,p) = C(m – 1,p) + C(m – 1,p – 1) Exemplo: C(12,10) = C(11,10) + C(11,9) = 605

Exercícios 1. Quantos são os números de 4 algarismos que podemos formar com os algarismos

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 2. Quantos são os números de 4 algarismos DISTINTOS que podemos formar com os

algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

3. Calcule .

4. Calcular o número de arranjos simples de 10 elementos tomados 4 a 4. 5. Quantos números de três algarismos distintos podem formar com os elementos do

conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}? 6. Quantos números naturais de 4 algarismos distintos podemos escrever, usando os

algarismos 1, 3, 5 e 7? Qual a posição ocupada pelo número 7 153? 7. Quantos times de futebol de salão podem formar com 10 jogadores capazes de

jogar em qualquer posição?

8. Calcule

9. Na direção de uma empresa existem 5 brasileiros e 4 alemães. Quantas comissões

de 3 pessoas podemos formar, tendo cada uma delas: a) 2 brasileiros e 1 alemão?

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b) Pelo menos 1 alemão? 10. Quantos números pares podem obter permutando os algarismos do número 83

137 683?

Respostas 1) Resposta “9000”. Solução: Os Algarismos são escritos em 4 posições:

O Algarismo das unidades de milhar não pode ser 0; logo, essa posição só pode ser

preenchida com um dos 9 algarismos restantes, isto é, temos 9 possibilidades para a posição. Com relação à posição das centenas, das dezenas e das unidades, qualquer dos 10 algarismos pode ocupá-la, pois pode haver repetição.

Logo, temos 10 possibilidades para a posição das centenas, 10 para as dezenas e 10 para as unidades. Substituindo teremos:

9 10 10 10 Aplicando a regra do produto: 9 . 10 . 10 . 10 = 9000. Portanto, temos 9000 possibilidades. 2) Resposta “4536”. Solução: O Algarismo das unidades de milhar não pode ser 0; portanto, temos 9

possibilidades para a posição. Para a posição das centenas, pode ser o 0 ou qualquer dos 8 restantes, (não pode haver

repetições), portanto, temos 9 possibilidades para essa posição. Para a posição das dezenas temos 8 possibilidades e para a posição das unidades temos 7 possibilidades. Esquematizando, teremos:

9 9 8 7 Aplicando então a regra do produto, teremos: 9 . 9 . 8 . 7 = 4536. Logo, teremos 4536 possibilidades. 3) Resposta “132”.

Solução: Substituindo 12! Por 10! . 11 . 12, temos:

4) Resposta “5040”. Solução:

A10,4

5) Resposta “120”. Solução: Como 123 ≠ 132, por exemplo, devemos calcular os arranjos de 6 elementos 3 a 3

. A6,3 = 6 . 5. 4 = 120.

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6) Resposta “20ª posição”. Solução: Como queremos o total de números de 4 algarismos e temos exatamente 4

algarismos para formá-los, basta permutá-los e teremos o número procurado. Portanto, a solução é: P4 = 4! = 24. Para saber a posição ocupada por 7 153, basta colocar os números em ordem crescente:

1

Temos P3 = 3! = 6 números que começam com 1.

3

Temos P3 = 3! = 6 números que começam com 3.

5

Temos P3 = 3! = 6 números que começam com 5.

7 1 5 3

É o segundo número da sequência que começa com 71. Como 3 . P3 + 2 = 20, o número 7 153 ocupa a 20ª posição. 7) Resposta “252 times”. Solução: Cada time deve ter 5 jogadores e, mudando a ordem destes, o time continua o

mesmo. Logo, devemos calcular o número de combinações:

C10,5 =

Portanto, podemos formar 252 times. 8) Resposta “16”.

Solução: =

9) a - Resposta “40”. Solução: Podemos ter C5,2 grupos distintos de 2 brasileiros e C4,1 grupos distintos de 1

alemão. Portanto, o numero de comissões com 2 brasileiros e 1 alemão é: C5,2 . C4,1 = 40. b - Resposta “74”. Solução: As possibilidades são: 1 alemão e 2 brasileiros, ou 2 alemães e 1 brasileiros, ou 3

alemães e nenhum brasileiro. Logo, o número de comissões é: C4,1 . C5,2 + C4,2 . C5,1 + C4,3 = 40 + 30 + 4 = 74. 10) Resposta “1 260”. Solução: Só devemos considerar os números que terminem em 8 ou 6. Os terminados em 6

são da forma:

6

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As demais posições deverão ser preenchidas pelos algarismos restantes: 8, 3, 1, 7, 8 e 3. O total das permutações possíveis é:

Os terminados em 8 são da forma:

8

As demais posições deverão ser preenchidas pelos algarismos restantes: 8, 3, 1, 7, 6 e 3. O

total das permutações possíveis é:

Logo, a quantidade total de números pares é 420 + 840 = 1 260.

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Exercícios

1. As letras dispostas no quadro abaixo, composto por 3 linhas e 3 colunas, devem ser substituídas por números inteiros de modo que em cada linha, coluna e diagonal a soma dos três números seja a mesma.

1 x -1

y 2 z

5 t 3

Os valores de x, y, z e t que satisfazem as condições dadas são tais que: a) x+y+z+t>9 b) x+y+z+t<6 c) x+y=z+t d) x-z=t-2y e) x-y=2z-y 2. Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os

algarismos da centena e da unidade, respectivamente. Sabendo que 15.480(X4Y)=24, então X4Y é um número compreendido entre:

a) 800 e 1.000 b) 600 e 800 c) 400 e 600 d) 200 e 400 e) 100 e 200 Instruções para responder às questões de números 3 e 4, você deve observar que, em

cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser colocada no lugar do ponto de interrogação.

3. Arborizado azar

Asteróide dias

Articular ? a) luar b) arar c) lira d) luta e) rara

4. Ardoroso rodo

Dinamizar mina

Maratona ? a) mana b) toma c) tona d) tora e) rato 5. Dispõe-se de uma caixa com 100 palitos de fósforo, todos inteiros, com os quais se

pretende construir quadrados da seguinte forma: no primeiro, o lado deverá medir 1

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palito; no segundo, 2 palitos; no terceiro, 3 palitos; e assim sucessivamente. Seguindo esse padrão, ao construir-se o maior número possível de quadrados:

a) Serão usados exatamente 92 palitos a caixa. b) Sobrarão 8 palitos da caixa. c) Serão usados todos os palitos da caixa. d) Sobrarão 6 palitos da caixa. e) Serão usados exatamente 96 palitos da caixa.

6. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação.

(0,1,3,4,12,123,...) Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa seqüência é um número:

a) Menor que 200. b) Compreendido entre 200 e 400. c) Compreendido entre 500 e 700. d) Compreendido entre 700 e 1.000. e) Maior que 1.000. Instruções: Nas questões 7 e 8, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos

de letras. A mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y.

7. ABCA:DEFD::HIJH:? a) IJLI b) JLMJ c) LMNL d) FGHF e) EFGE 8. CASA:LATA::LOBO:? a) SOCO b) TOCO c) TOMO d) VOLO e) VOTO 9. Uma escola oferece cursos para a aprendizagem de apenas cinco idiomas.

Sabendo que cada professor dessa escola ministra aulas de exatamente dois idiomas e que, para cada dois idiomas, há um único professor que ministra aulas desses dois idiomas, é correto afirmar que o número de professores dessa escola é:

a) 5 b) 7 c) 10 d) 14 e) 20 10. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos

nas linhas da tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal.

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Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder

ordenadamente aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A=1, B=2, C=3,..., Z=23), a soma dos números que correspondem às letras que compõem o nome do nome animal é:

a) 37 b) 39 c) 45 d) 49 e) 51 11. Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de

processos em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-lo sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de:

a) 6 horas b) 6 horas e 10 minutos c) 6 horas e 54 minutos d) 7 horas e 12 minutos e) 8 horas e meia 12. Durante todo o mês de março de 2007, o relógio de um técnico estava adiantando

5 segundos por hora. Se ele só foi acertado às 7h do dia 2 de março, então às 7h do dia 5 de março ele marcava:

a) 7h5min b) 7h6min c) 7h15min d) 7h30min e) 8h 13. Uma pessoa comprou um microcomputador de valor X reais, pagando por ele 85%

do seu valor. Tempos depois, vendeu-o com lucro de 20% sobre o preço pago e nas seguintes condições: 40% do total como entrada e o restante em 4 parcelas iguais de R$ 306,00 cada uma. O número X é igual a:

a) 2.200 b) 2.150 c) 2.100 d) 2.050 e) 2.000 14. No esquema abaixo tem-se o algoritmo da adição de dois números naturais, em

que alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E.

8656

810

614

E

DC

BA

Determinando corretamente o valor dessas letras, então A+B+C+D-E é igual a: a) 25 b) 19 c) 17 d) 10 e) 7

+

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15. Sobre os 55 técnicos e auxiliares judiciários que trabalham em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, é verdade que:

I – 60% dos técnicos são casados; II- 40% dos auxiliares não são casados; III- O número de técnicos não casados é 12. Nessas condições: a) O total de auxiliares casados é 10. b) O total de pessoas não casadas é 30. c) O total de técnicos é 35. d) O total de técnicos casados é 20. e) O total de auxiliares é 25. 16. Certo dia, três técnicos distraídos, André, Bruno e Carlos, saíram do trabalho e

cada um foi a um local antes de voltar para casa. Mais tarde, ao regressarem para casa, cada um percebeu que Haia esquecido um objeto no local em que havia estado. Sabe-se que:

- um deles esqueceu o guarda-chuva no bar e outro, a agenda na pizzaria; - André esqueceu um objeto na casa da namorada; - Bruno não esqueceu a agenda, nem a chave de casa. É verdade que: a) Carlos foi a um bar. b) Bruno foi a uma pizzaria. c) Carlos esqueceu a chave de casa. d) Bruno esqueceu o guarda-chuva. e) André esqueceu a agenda. 17. Certo dia em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judiciário

observou que o número de pessoas atendidas no período da tarde excedera o das atendidas pela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a quantidade de pessoas atendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendidas no período da tarde era 3/5, então é correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas:

a) 130 pessoas b) 48 pessoas pela manhã c) 78 pessoas à tarde d) 46 pessoas pela manhã e) 75 pessoas à tarde 18. Uma máquina, operando ininterruptamente por 2 horas diárias, levou 5 dias para

tirar cento número de cópias de um texto. Pretende-se que essa mesma máquina, no mesmo ritmo, tire a mesma quantidade de cópias de tal texto em 3 dias. Para que isso seja possível, ela deverá operar ininterruptamente por um período diário de:

a) 3 horas b) 3 horas e 10 minutos c) 3 horas e 15 minutos d) 3 horas e 20 minutos e) 3 horas e 45 minutos 19. Calculando 38% de vinte e cinco milésimos, obtém-se: a) 95 décimos de milésimo b) 19 milésimos c) 95 milésimos d) 19 centésimos e) 95 centésimos

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20. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto de um número seguido de uma letra:

A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de

acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é: a) J b) L c) M d) N e) O

21. Considere que os símbolos e que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita.

36 4 5 = 14

48 6 9 = 17

54 9 7 = ?

Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá

ser substituído pelo número: a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12

22. Certo dia, três auxiliares judiciários – Alcebíades, Benevides e Corifeu –

executaram, num dado período, um único tipo de tarefa cada um. Considere que: - As tarefas por eles executadas foram: expedição de correspondências, arquivamento

de documentos e digitação de textos; - Os períodos em que as tarefas foram executadas foram: das 8 às 10 horas, das 10 às

12 horas e das 14 às 16 horas; - Corifeu efetuou a expedição de correspondências; - O auxiliar que arquivou documentos o fez das 8 às 10 horas; - Alcebíades executou sua tarefa das 14 às 16 horas; Nessas condições, é correto afirmar que: a) Alcebíades arquivou documentos. b) Corifeu executou sua tarefa das 8 às 10 horas. c) Benevides arquivou documentos. d) Alcebíades não digitou textos. e) Benevides digitou textos. 23. Um seminário foi constituído de um ciclo de três conferências: uma de manhã,

outra à tarde e a terceira à noite. Do total de inscritos, 144 compareceram de manhã, 168, à tarde e 180, à noite. Dentre os que compareceram de manhã, 54 não voltaram mais para o seminário, 16 compareceram às três conferências e 22 compareceram também à tarde, mas não compareceram à noite. Sabe-se também que 8 pessoas compareceram à tarde e à noite, mas não de manhã. Constatou-se que o número de ausentes no seminário foi de um oitavo do total de inscritos.

Nessas condições, é verdade que: a) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências. b) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferências. c) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências.

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d) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário. e) O número de inscritos no seminário foi menor que 420. 24. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se

criar 4 números de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum com o número procurado.

Número dado Quantidade de números de 2 algarismos em comum

48.765 1

86.547 0

87.465 2

48.675 1

O número procurado é: a) 87456 b) 68745 c) 56874 e) 58746 f) 46875 25. Numa ilha dos mares do Sul convivem três etnias distintas: os zel(s) só mentem,

os Del(s) só falam a verdade e os mel(s) alternadamente falam a verdade e mentiras – ou seja, uma verdade, uma mentira, uma verdade, uma mentira -, mas não se sabe se começaram falando uma ou outra. Encontramo-nos com três nativos, Sr. A, Sr. B, Sr. C, um de cada uma das etnias. Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. C:

Nós: Sr. C, o senhor é da etnia zel, del ou mel? Sr. C: Eu sou mel. (1ª resposta) Nós: Sr. C, e o senhor A, de que etnia é? Sr. C: Ele é zel. (2ª resposta) Nós: Mas então o Sr. B é Del, não é isso, Sr. C? Sr. C: Claro, senhor! (3ª resposta) Nessas condições, é verdade que os senhores A, B e C são, respectivamente: a) del, zel, mel b) del, mel, zel c) mel, del, zel d) zel, del, mel e) zel, mel, del 26. Numa sala de 30 alunos, 17 foram aprovados em Matemática, 10 em História, 9 em

Desenho, 7 em Matemática e História, 5 em Matemática e Desenho, 3 em História e Desenho e 2 em Matemática, História e Desenho. Sejam:

- V o número de aprovados em pelo menos um das três disciplinas; - W o número de aprovados em pelo menos duas das três disciplinas; - X o número de aprovados em uma e uma só das três disciplinas; - Y o número de aprovados em duas e somente duas das três disciplinas; - Z o número dos que não foram aprovados em qualquer uma das três disciplinas. Os valores de V, W, X, Y, Z são, respectivamente: a) 30 – 17 – 9 – 7 – 2

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b) 30 – 12 – 23 – 3 – 2 c) 23 – 12 – 11 – 9 – 7 d) 23 – 11 – 12 – 9 – 7 e) 23 – 11 – 9 – 7 – 2 27. Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 unidades de

um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa, recebeu as seguintes instruções:

I – Todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos.

II – Cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo. Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior

quantidade de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é: a) 8 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48 28. Floriano e Peixoto são funcionários do Ministério Público da União e, certo dia,

cada um deles recebeu um lote de processos para arquivar. Sabe-se que: - Os dois lotes tinham a mesma quantidade de processos; - Ambos iniciaram suas tarefas quando eram decorridos 37/96 do dia e trabalharam

ininterruptamente até concluí-las; - Floriano gastou 1 hora e 45 minutos para arquivar todos os processos de seu lote; - Nas execuções das respectivas tarefas, a capacidade operacional de Peixoto foi 60%

da de Floriano. Nessas condições, Peixoto completou a sua tarefa às: a) 11 horas e 15 minutos b) 11 horas e 20 minutos c) 11 horas e 50 minutos d) 12 horas e 10 minutos e) 12 horas e 25 minutos 29. Mensalmente, um técnico administrativo elabora relatórios estatísticos referentes

à expedição de correspondências internas e externas. Analisando os relatórios por ele elaborados ao final dos meses de setembro, outubro e novembro de 2006, foi observado que:

- do total de correspondências em setembro, 20% eram de âmbito interno; - em cada um dos meses seguintes, o número de correspondências internas

expedidas aumentou 10% em relação às internas expedidas no mês anterior, enquanto que para as externas o aumento mensal foi de 20% em relação ao mês anterior.

Considerando-se os dados dos meses de novembro e setembro, é correto afirmar que o aumento das correspondências expedidas:

a) No total foi de 37,4%. b) Internamente foi de 42,2%. c) Externamente foi de 34,6%. d) Internamente foi de 20%. e) Externamente foi de 40%. 30. O Mini Sudoku é um divertido passatempo de raciocínio lógico. Ele consiste de 36

quadradinhos em uma grade 6X6, subdividida em seis grades menores 2X3. O objetivo do jogo é preencher os espaços em branco – com número de 1 a 6 -, de forma que estes

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não se repitam nas linhas, nem nas colunas, nem nas grades 2X3 e tampouco na grade 6X6, conforme é mostrado no exemplo que segue.

1 5 2 4 3 6

4 3 6 2 1 5

5 6 3 1 4 2

2 1 4 6 5 3

3 2 1 5 6 4

6 4 5 3 2 1

Observe que, no esquema do jogo, três casas em branco aparecem destacadas. Você deve completar o esquema de acordo com as regras do jogo, para descobrir quais números deverão ser colocados nessas casas.

3 2 5

4

6

3 4

3

3 5 1 5

A soma dos números que corretamente deverão preencher as casas em destaque é: a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 31. Três pessoas – Amália, Beatriz e Cássia – aguardam atendimento em uma fila, em

posições sucessivas. Indagadas sobre seus nomes, a que ocupa a primeira posição entre as três diz: “Amália está atrás de mim”; a que está na posição intermediária diz: “Eu sou Beatriz”; a que ocupa a terceira posição diz: “Cássia é aquela que ocupa a posição intermediária”.

Considerando que Amália só fala a verdade, Beatriz mente algumas vezes e Cássia só fala mentiras, então a primeira, a segunda e a terceira posições são ocupadas respectivamente por:

a) Cássia, Amália e Beatriz b) Cássia, Beatriz e Amália c) Amália, Beatriz e Cássia d) Beatriz, Amália e Cássia e) Beatriz, Cássia e Amália 32. Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade operacional, são

capazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, se funcionarem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas condições, o número de aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é:

a) 100 b) 200 c) 400 d) 600

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e) 800 33. Três analistas judiciários – Aurélio, Benício e Custódio – foram incumbidos de

implantar um sistema informatizado de processamento de informações. Sabe-se que, individualmente, Aurélio levaria 3 horas para cumprir tal tarefa, enquanto que, sozinho, Benício levaria 6 horas. Então, considerando que, juntos, os três gastaram 1 horas e 30 minutos para implantar o sistema, quantas horas Custódio, sozinho, levaria para implantá-lo?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 34. Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mesmo tipo e, ao longo

de um mês, vendeu todos eles. Pela venda de 80 desses micros, ele recebeu o que havia pago pelos 94 que havia comprado e cada um dos 14 micros restantes foi vendido pelo mesmo preço de venda de cada um dos outros 80. Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcentagem de lucro do comerciante nessa transação foi de:

a) 17,5% b) 18,25% c) 20% d) 21,5% e) 22% 35. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados

nos dois primeiros triângulos obedecem a um mesmo critério.

Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá

substituir o ponto de interrogação é: a) 32 b) 36 c) 38 e) 42 f) 46 36. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com

determinado padrão.

Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é:

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37. Considere que a seqüência seguinte é formada pela sucessão natural dos

números inteiros e positivos, sem que os algarismos sejam separados. 1234567891011121314151617181920... O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa seqüência é: a) 9 b) 8 c) 6 d) 3 e) 1 38. Durante a perícia feita em uma residência assaltada foram encontrados os

seguintes vestígios que, com certeza, haviam sido deixados pelos assaltantes: - uma lata vazia de refrigerante; - uma lata vazia de cerveja; - um fio de cabelo loiro; - um toco de cigarro. Após a realização da perícia, a Polícia concluiu que os assaltantes eram apenas dois e

que eles se encontraram entre cinco suspeitos – Alceste, Boni, Calunga, Dorival e Eufrásio -, cujas características são as seguintes:

I – Alceste: só bebe refrigerante, tem cabelos loiros e não fuma; II – Boni: bebe cerveja e refrigerante, tem cabelos pretos e não fuma; III – Calunga: não bebe refrigerante e nem cerveja, é ruivo e fuma cigarros; IV – Dorival: só bebe cerveja, tem cabelos loiros e não fuma; V – Eufrásio: só bebe refrigerante, é totalmente careca e fuma cigarros. Com base nas informações dadas, é correto afirmar que os assaltantes eram: a) Alceste e Boni b) Dorival e Eufrásio c) Boni e Calunga d) Calunga e Dorival e) Alceste e Eufrásio 39. Considere que a seguinte seqüência de figuras foi construída segundo certo

critério.

Se tal critério foi mantido para obter as figuras subseqüentes, o total de pontos da

figura de número 15 deverá ser: a) 69 b) 67 c) 65 d) 63 e) 61

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40. Uma pessoa tem R$ 14,00 em sua carteira apenas em cédulas de 1, 2 e 5 reais, sendo pelo menos uma de cada valor. Se X é o total de cédulas que ela possui, quantos são os possíveis valores de X?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

41. A sentença seguinte é seguida de um número entre parênteses, o qual

corresponde ao número de letras de uma palavra que se aplica à definição dada. “Entrada ilegal de mercadorias no país.” (11) A letra inicial da palavra é: a) T b) S c) E d) B e) C 42. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo,

segundo determinado critério.

Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a

letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é: a) P b) O c) N d) M e) L

43. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço de 15 metros de profundidade.

Suponha que durante o dia, ela suba exatamente 3 metros e à noite, quando está dormindo, ela escorregue exatamente 1 metro pela parede do poço. Nessas condições, quantos dias essa lesma levaria para ir do fundo ao topo desse poço?

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 44. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a

uma lei de formação.

Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X+Y é igual a: a) 40 b) 42

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c) 44 d) 46 e) 48 45. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo

determinado padrão.

Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de

interrogação é:

46. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério.

LACRAÇÃO cal

AMOSTRA soma

LAVRAR ? Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de

interrogação é: a) alar b) rala c) ralar d) larva e)arval 47. Caetano, Gilberto e Eudes, soldados da Polícia Militar do Estado da Bahia, foram

designados certo dia para o patrulhamento de trânsito em três bairros – A, B e C – de uma cidade. Indagados sobre seus locais de patrulhamento, forneceram as seguintes informações:

- O soldado que vai patrulhar o bairro A disse que Caetano vai patrulhar B. - O soldado que vai patrulhar B disse chamar-se Gilberto. - O soldado que vai patrulhar C afirmou que Eudes vai patrulhar B. Como era sabido que apenas Caetano não mentiu, então os bairros que Caetano,

Gilberto e Eudes fizeram patrulhamento em tal dia foram, respectivamente: a) A – B – C b) A – C – B c) B – C – A d) C – A – B e) C – B – A 48. (Estruturas Lógicas) Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações

subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica

formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “”, “”, “” e “” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir:

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Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado.

Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica forma, assumindo que:

P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”; Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”; R= “ele sempre leva um guarda-chuva”; S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.

a) P(QR)

b) (PQ)R

c) (PQ)(RS)

d) P(Q(RS)) 49. (Lógica de argumentação) Assinale a opção que apresenta um argumento válido. a) Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo

choveu. b) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem

estudei e não me senti disposto; logo obterei boas notas, mas não me alimentei bem. c) Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje

fez frio. Logo estamos em junho. d) Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo segunda-

feira não será feriado. 50. (Cálculos numéricos) Suponha que, em 2006, em um estado brasileiro, o número

de candidatos à Câmara Federal foi igual a doze vezes o número de candidatos ao Senado Federal, e o número de candidatos à Câmara Estadual foi igual ao triplo do número de candidatos à Câmara Federal. Sabendo-se que, nesse estado, o número de candidatos à Câmara Federal adicionado ao número de candidatos ao Senado Federal era igual a 65, é correto concluir que, nesse estado, o número de candidatos à Câmara Estadual em 2006 foi:

a) inferior a 150 b) superior a 150 e inferior a 160 c) superior a 160 e inferior a 170 d) superior a 170

Respostas

1) Resposta “E”. Solução: a) Considerando as diagonais, têm-se as seguintes somas: 6)1(25321

b) Portanto, na 1ª linha, tem-se: 615)1(5)1(166)1(1 xxxx

c) Na 1ª coluna tem-se: 0156651 yyy

d) Na 2ª linha, tem-se: 426620 zzz

e) E na 3ª linha: 2356635 ttt

f) Para verificar qual das expressões apresentadas nas alternativas atende aos valores obtidos, é necessário substituir os valores em cada expressão.

Letra “a”:

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92109)2(4069tzyx

É uma sentença falsa. Letra “b”:

62106)2(4066tzyx

É uma sentença falsa. Letra “c”:

26)2(406tzyx

É uma sentença falsa. Letra “d”:

422220.2)2(462 ytzx

É uma sentença falsa. Letra “e”:

88082604.2)2(62 yztx

É uma sentença verdadeira. 2) Resposta “B”. Solução:

a) Se 15.480(X4Y)=24, então 15.48024=X4Y.

b) Com isso, 15.48024=645X4Y=645. X4Y é um número compreendido entre 600 e 800. 3) Resposta “A”. Solução: a) Na primeira sequência, a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência, mas

em ordem invertida. Já as letras “a” e “r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. b) A palavra “dias” foi obtida da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência,

mas em ordem invertida. As letras “s” e “s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteróides”. c) Com isso, para a palavras “articular”, considerando as letras “l” e “u”, que estão na ordem

invertida, e as 2 primeiras letras, obtém-se a palavra “luar”. 4) Resposta “D”. Solução: a) Da palavra “ardoroso”, retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem, definindo-

se a palavra “rodo”. b) Da mesma forma, da palavra “dinamizar”, retiram-se as sílabas “na” e “mi”, definindo-se a

palavra “mina”. c) Com isso, da palavra “maratona”. Deve-se retirar as sílabas “Ra” e “to”, criando-se a

palavra “tora”. 5) Resposta “D”. Solução: a) No 1º quadrado serão usados 4 palitos. b) Como no 2º quadrado serão usados 2 palitos em cada lado, o total será de 8 palitos. c) No 3º quadrado, onde serão usados 3 palitos em cada lado, o total será de 12 palitos. d) Sucessivamente, no 4º quadrado serão usados 16 palitos. e) Com isso, forma-se a seqüência: 4, 8, 12, 16, 20, 24, que possui soma igual a:

.842420161284 f) Nesse caso, dos 100 palitos originais, sobrarão 16 palitos. 6. Resposta “E”. Solução: a) Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. b) Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu a multiplicação do termo anterior por 3.

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c) E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 X 3 = 39. d) 8º termo = 39+1=40. e) 9º termo = 40.3=120. f) 10º termo=120+1=121. g) 11º termo=121.3=363. h) 12º termo=363+1=364. i) 13º termo=364.3=1.092. j) O 13º termo da sequência é um número maior que 1.000. 7. Resposta “C”. Solução: a) Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeira letras do alfabeto e, em seguida, volta-

se para a 1ª letra da sequência. b) Na 2ª sequência, continua-se da 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF,

voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. c) Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta

sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L, continuando por M e N, voltando para a letra L.

A 4ª sequência da letra é: LMNL. 8) Resposta “B”. Solução: a) Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. b) Portanto, s vogais da 4ª sequência de letras deverão ser as mesmas da 3ª sequência de

letras: “O”. c) A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência

de letras. d) Portanto, na 4ª seqüência de letras, a 3ª letra é a próxima letra depois de “B”, ou seja, a

letra “C”. e) Em relação à primeira letra, tem-se uma diferença de 7 letras entre a 1ª letra da 1ª

sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato.

f) Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência é a letra “T”. A 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO. 9) Resposta “C”. Solução: a) Na escola que oferece 5 cursos de idiomas, cada professor ministra exatamente dois

cursos. b) Descrevendo os cursos por A, B, C, D e E, têm-se as seguintes possibilidades de

distribuição para os professores: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CE e DE. Como não há um único professor que se encaixa em cada uma das possibilidades acima,

tem-se um total de 10 professores. 10) Resposta “D”. Solução: a) Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO

-, na seguinte ordem: PERU, MARÁ, TATU e URSO, obtém-se na tabela:

P E R U

M A R A

T A T U

U R S O

b) O nome do animal é PATO.

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c) Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P=15, A=1, T=19 e 0=14. d) Somando esses valores, obtém-se: 15+1+19+14=49. 11) Resposta “D”. Solução: Se dois técnicos judiciários realizam o trabalho em 4 horas e um deles realiza o mesmo

trabalho em 9 horas, para determinar em quanto tempo o outro técnico realizaria sozinho o mesmo trabalho é suficiente resolver a seguinte equação:

horasxxxxxx

2,75

36

36

51

36

491

9

1

4

111

9

1

4

1

= 7 horas + 0,2 . 60 minutos = 7 horas + 12 minutos = 7 horas e 12 minutos. 12) Resposta “B”. Solução: a) Se o relógio adiantava 5 segundos por hora, no dia 3 de março, às 7 horas, ele teria

adiantado 5.24, ou seja, 120 segundos. b) No dia 4 de março, às 7 horas, adiantou mais 120 segundos e, então, no dia 5 de março,

às 7 horas, adiantou mais 120 segundos, totalizando 360 segundos, ou seja, 6 minutos. No dia 5 de março, às 7 horas, o relógio marcava 7 horas e 6 minutos. 13) Resposta “E”. Solução: a) A pessoa pagou 0,85x do preço do computador. b) Em seguida, vendeu o microcomputador com lucro de 20% sobre esse valor: 1,2 . 0,85x =

1,02x. c) Se 60% equivalem a R$ 1.224,00 (102% do preço original do microcomputador), tem-se:

60%=1.224; 100%=y

00,040.2$60

400.122400.12260224.1.100.60 Ryyyy

que equivalem a 102% do preço original. e) Com isso, 100%, ou seja, o preço original, é

00,000.2$102

040.2RX

14) Resposta “C”. Solução: a) 956 DD , pois neste caso estamos considerando as unidades.

b) 1B (pois da soma anterior considera-se mais 1 unidade) + .76968 BB

c) .3814 CC

d) .110 E

e) .51661 AAA 1789831219375 EDCBA 15) Resposta “E”. Solução: a) Se 40% dos auxiliares não são casados, tem-se que 60% dos auxiliares são casados. b) Com isso, e como 60% dos técnicos também são casados, deduz-se que 60% do total de

funcionários são casados. Então, 60% de 55=0,60.55=33 funcionários casado. c) Se o número de técnicos não casados é de 12 funcionários, tem-se que esses 12

funcionários equivalem a 40% do total de técnicos: 40%=12; 100%=x

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40

1200200.140100.12.40 xxx

30x , que é o número total de técnicos.

d) Como o número de técnicos é 30, o número de auxiliares é: .253055

16) Resposta “D”. Solução: a) Os objetos esquecidos foram um guarda-chuva, uma agenda e uma chave de casa. b) Como Bruno não esqueceu a agenda, nem a chave de casa, tem-se que Bruno esqueceu

o guarda-chuva. 17) Resposta “E”. Solução: a) O número de pessoas atendidas no período da tarde era 30 unidades maior que o número

de pessoas atendidas no período da manhã. b) Se o número de pessoas atendidas pela manhã é igual a x, o número de pessoas

atendidas pela tarde é igual a x+30. c) Sabe-se, ainda, que a razão entre o número de pessoas atendidas no período da manhã

e o número de pessoas atendidas no período da tarde é igual a :5

3

2

9090290359035)30.(3.5

5

3

30xxxxxxxx

x

x

X=45 pessoas atendidas pela manhã. d) O número de pessoas atendidas no período da tarde foi: 75304530 x pessoas.

18) Resposta “D”. Solução: a) Para que a máquina tire a mesma quantidade de cópias de tal texto em tempo menor,

será necessário que trabalhe um número maior de horas por dia. b) Portanto, trata-se de grandezas inversamente proporcionais:

...333,33

101035.23. xxxx horas, ou seja, 3 horas e 20 minutos.

19) Resposta “A”. Solução:

a) 38% de .0095,0025,0.38,01000

25

b) E esse valor corresponde a 95 décimos de milésimo. 20) Resposta “A”. Solução: a) As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. b) Já a sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra E, e continua de

acordo com a sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra:F, 6ª letra:G, 8ª letra:H, 10ª letra:I e 12ª letra:J.

21) Resposta “D”. Solução: a) O primeiro símbolo represente a divisão e o 2º símbolo representa a soma.

b) Portanto, na 1ª linha, tem-se: 364+5=9+5=14.

c) Na 2ª linha, tem-se: 486+9=8+9=17.

d) Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 549+7=6+7=13.

O ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número 13.

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22) Resposta “C”. Solução: a) Corifeu efetuou a expedição de correspondências das 10 às 12 horas. b) Como Alcebíades executou sua tarefa das 14 às 16 horas e quem arquivou documentos o

fez das 8 às 10 horas, Alcebíades digitou textos. c) Assim, coube a Benevides a outra função, ou seja, arquivar documentos. 23) Resposta “D”. Solução: a) Dos 144 inscritos que compareceram pela manhã, 90 voltaram novamente para o

seminário, 22 inscritos que voltaram para o período da tarde não voltaram à noite: 68 inscritos voltaram também à noite. Com isso, deve-se subtrair do total de 180 inscritos da noite esses 68, resultando 112.

b) Somando todos os inscritos da manhã, tarde e noite, tem-se 144+168+112=424 inscritos. c) 8 pessoas que compareceram à tarde e à noite não compareceram pela manhã. Assim,

essas pessoas devem ser somadas ao valor anterior: 424+8=432 foi o total de pessoas inscritas no seminário.

d) Sabe-se que o número de ausentes corresponde a 8

1do total de inscritos. Portanto,

4328=54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário. 24) Resposta “E”. Solução: a) Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. b) Do número 48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em nenhum dos números

apresentados nas alternativas. Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. c) Como o único número apresentado nas alternativas que possui a seqüência 75 é 46.875,

tem-se, então, o número procurado. 25) Resposta “B”. Solução: a) O senhor C não pode ser del, pois ele afirma na 1ª resposta que é mel. b) Também não pode ser mel, pois ele responderia uma mentira e uma verdade,

alternadamente. Como ele falou uma verdade na 1ª resposta, teria que mentir na 2ª resposta e falar a verdade na 3ª resposta.

c) Como nas 2 últimas respostas ele discriminou os outros 2 senhores, entraria em contradição. Portanto, o Senhor C é zel.

d) Se o senhor C é zel, ele só mente. Com isso, o senhor B (pela 3ª resposta) é mel e o senhor A é del.

Os senhores A, B e C são, respectivamente: del, mel, zel. 26) Resposta “D”. Solução: a) Se 2 alunos foram aprovados nas 3 disciplinas, 1 aluno foi aprovado somente em História

e Desenho, 3 alunos foram aprovados somente em Matemática e Desenho e 5 alunos foram aprovados somente em Matemática e História.

b) Com isso, dos 9 alunos que foram aprovados em Desenho, 3 foram aprovados somente nessa disciplina. Dos 10 alunos que foram aprovados somente em História, 2 foram aprovados somente nessa disciplina. E dos 17 alunos que foram aprovados em Matemática, 7 foram aprovados somente nessa disciplina.

c) Somando esses valores, tem-se: 3+2+7=12 alunos que foram aprovados somente em 1 disciplina e somente nessa disciplina.

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d) Somando todos os alunos aprovados em 1 ou mais disciplinas, tem-se: 7+5+2+3(Matemática)+2+1 (História)+3(Desenho)=23 alunos. Com isso, 7 alunos não foram aprovados em nenhuma dessas disciplinas.

e) Pelos itens anteriores, tem-se que: v=23; x=12; z=7. 27) Resposta “C”. Solução: a) Como todas as caixas deverão conter as mesmas quantidades de documentos e cada

caixa deverá conter documentos de apenas 1 tipo, tem-se que os 192 documentos de um tipo e os outros 168 documentos do outro tipo deverão ser divididos em quantidades iguais.

b) E para determinar essa quantidade, é suficiente encontrar o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de 192 e 168.

c) m.m.c.(192, 168)=24. Com isso, existirão 8 caixas com o 1º tipo de documento (8.24=192) e 7 caixas com o 2º tipo de documento (7.24=168).

28) Resposta “D”. Solução: a) 1 hora e 45 minutos correspondem a 105 minutos, tempo que Peixoto levou para

desempenhar 60% de sua tarefa. Ainda restam 40% da tarefa pra Peixoto completar:

60

500.10

60

105.100105.100.60 xx 175 minutos, que foi o tempo que Peixoto levou pra

completar sua tarefa. c) Um dia possui 24 horas, que correspondem a 1.440 minutos.

d) 96

37de 1.440

96

1440.371440.

96

37555

96

280.53 minutos.

e) 555 minutos +175 minutos = 730 minutos = 12 horas e 10 minutos, que foi a hora em que Peixoto completou sua tarefa.

29) Resposta “A”. Solução: a) Se 20% das correspondências de setembro eram internas, 80% eram correspondências

externas. b) Em outubro, o número de correspondências aumentou 10% em relação ao mês anterior,

correspondendo agora a 22% do total. Já em novembro, o total de correspondências internas passou a 22%+10% de 22%=24,2%.

c) De 80% de correspondências externas de setembro, com o aumento de 20% em outubro, o total passou para 80%+20% de 80%=96%. Em novembro, o número passou para 96%+20% de 96%=115,2%.

d) Totalizando os valores das correspondências internas e externas, obtemos: 24,2%+115,2%= 139,4%.

Esse valor indica um aumento total de 39,4% de setembro para novembro. 30) Resposta “E”. Solução: a) Para esse tipo de quebra-cabeça, existem diversas maneiras de se chegar à solução. b) O objetivo, então, é determinar, em uma linha, coluna ou grade, os elementos que estão

faltando dos números que são mostrados. c) Na última coluna, por exemplo, como estão presentes os elementos 3, 4 e 5, devemos

completar com os elementos 1, 2 e 6. d) O último elemento da 3ª linha deve ser igual a 1, pois já aparecem 2 e 6 nessa linha. O 5º

elemento dessa mesma linha deve ser 3, pois na linha de baixo já aparece o número 3. e) O 5º elemento da 4ª linha deve ser igual a 6, pois já aparece o 5 nessa coluna. Logo, o 4º

elemento dessa mesma linha deve ser 5, para completar essa grade.

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f) Como na 5ª e 6ª colunas já aparecem números 3, na 4ª coluna o número 3 deve estar na 2ª linha, pois na 1ª linha já existe um número 3. O 1º elemento da 5ª linha deve ser igual a 5, pois na 1ª e 4ª linhas já aparece o número 5.

g) O 1º elemento da 1ª linha deve ser o número 1, pois o número 2 já aparece na 1ª linha. Com isso, o 1º elemento da 4ª linha deve ser o número 2. O 2º elemento da 4ª linha deve ser o número 1.

h) O 4º elemento da 1ª linha deve ser o número 6, pois na 5ª coluna já aparece o número 6. Logo, o número 4 na 5ª coluna fecha a 1ª linha.

i) O último elemento da 2ª linha é o número 2, pois faltavam 2 e 6 para completar a última coluna. O último elemento da última linha é o número 6.

j) O 5º elemento da 2ª linha é o número 1, pois é o número que falta para completar essa grade. Com isso, o 5º elemento da 5ª linha é o número 2. Já o 4º elemento da 5ª linha é o número 4, visto que é o elemento que falta para completar a respectiva grade.

l) O 3º elemento da 5ª linha é o número 1, pois na 2ª coluna já existe o número 1. O 2º elemento da 5ª linha é o número 6. O número 2 é o 2º elemento da 6ª linha, porque já existe o número 2 na 3ª coluna. O número 4 é o 3º elemento da 6ª linha.

m) O número 5 é o 3º elemento da 3ª linha, pois faltam nessa linha os números 4 e 5 e já existe o número 4 na 3ª coluna.

n) No Sudoku em questão, estão destacados os seguintes elementos: - 1ª linha e 5ª coluna: 4. - 3ª linha e 3ª coluna: 5. - 6ª linha e 6ª coluna: 6.

A soma desses elementos é: 4+5+6=15. 31) Resposta “D”. Solução: a) A primeira que está na fila diz: “Amália está atrás de mim”. b) A que está na posição intermediária diz: “Eu sou a Beatriz”. c) Já que se posiciona em 3º lugar diz: “Cássia é aquela que ocupa a posição intermediária”. d) Sabe-se que Amália sempre fala a verdade, que Beatriz às vezes mente e que Cássia só

mente. e) Supondo que a 1ª pessoa seja Amália, ter-se-ía uma contradição, pois ela poderia afirmar

que estava atrás de si mesma. Portanto, a 1ª pessoa não é Amália. f) Da mesma forma, se fosse verdade o que foi dito pela 2ª pessoa, que sempre é Amália,

ter-se-ía outra contradição, pois ela afirma que é Beatriz. g) Portanto, Amália é a 3ª pessoa. Como o que ela disse é verdade, Cássia é a 2ª pessoa e

Beatriz é a 1ª pessoa.

A ordem correta é: Beatriz, Cássia e Amália. 32) Resposta “E”. Solução: a) 10 máquinas, de mesma capacidade, montam 100 aparelhos em 10 dias, trabalhando 10

horas por dia. b) Busca-se saber o número de aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas

máquinas, em 20 dias, trabalhando 20 horas por dia. c) Para determinar esse valor, é suficiente montar uma regra de três composta, na qual

todas as outras grandezas são diretamente proporcionais com a grandeza número de aparelhos montados.

d) 2.2.210010

20.

10

20.

10

20

100

xx.8008.1008

100aparelhosx

x

33) Resposta “C”. Solução:

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a) Aurélio levaria 3 horas para implantar o sistema; Benício sozinho, levaria 6 horas; e Custódio, também sozinho levaria x horas para implantar o mesmo sistema.

b) Juntos, os três levariam 1 horas e meia. c) Para determinar quantas horas Custódio levaria para implantar o sistema sozinho, é

suficiente resolver a expressão:

66

11

6

341

1

6

3.

3

21

6

3

3

2

1

6

121

6

1

3

1

2

11

1

xxx

xx

xx

6 x horas é o tempo que Custódio levaria, sozinho, para implantar o sistema

informatizado de processamento. 34) Resposta “A”. Solução: a) O comerciante comprou 94 microcomputadores por um preço x, totalizando 94x. b) Pela venda de 80 desses micros, o comerciante recebeu 94x; recebeu, então:

xx

175,180

94 por micro.

c) Como recebeu o mesmo valor pelos demais, recebeu 1,175x pelos outros 14 micros. d) Com isso, relativamente ao custo de produção, a porcentagem de lucro foi de 0,175x, ou

seja, 17,5%. 35) Resposta “B”. Solução: a) No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está

abaixo é igual à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 81321540

b) A mesma regra acontece no 2º triângulo: 61723742 .

c) Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo: 363.12?123?127193?

36) Resposta “D”. Solução: a) Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no

lado esquerdo e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direito. b) Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de cima e na parte de baixo,

internamente em relação às figuras. c) Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha

que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em baixo. d) Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura

também não terá orelhas externas.

A figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª. 37) Resposta “B”. Solução: a) A seqüência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Mas essa

lista contém todos os algarismos dos números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os números 10, 11 e 12.

b) Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos.

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c) Do número 10 até o número 99 existem:

18090.2 algarismos.

d) Do número 100 até o número 124 existem:

7525.3 algarismos.

e) E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. f) Somando todos os valores, tem-se: 27612751809 algarismos.

O algarismo que ocupa a 276ª posição é o número 8, que aparece no número 128. 38) Resposta “B”. Solução: a) Como os assaltantes, obrigatoriamente, deixaram as 4 pistas em questão, é necessário

levantar 2 suspeitos que deixarão todas essas pistas. b) Com isso, não se pode levantar a suspeita de 2 candidatos que deixam a mesma pista,

como Alceste e Boni, que, juntos, bebem refrigerante, mas não apresentam as 4 pistas. c) Como Dorival bebe cerveja e tem cabelos loiros e Eufrásio bebe refrigerante e fuma

cigarros, juntos eles apresentam as 4 pistas.

Os assaltantes eram Dorival e Eufrásio. 39) Resposta “D”. Solução: a) A 1ª figura possui 5 esferas na vertical e 2 na horizontal (com exceção da central). A 2ª

figura possui 7 esferas na vertical e 4 na horizontal. E assim sucessivamente. b) A quantidade de esferas na vertical é dada por 32 n , com Nn , e a quantidade de

esferas existentes na horizontal é igual a .2n

c) Portanto, na 15ª figura, tem-se: - na vertical: 33130315.2

- na horizontal: 3015.2

d) Logo, o total de pontos da 15ª figura é: 33+30=63. 40) Resposta “B”. Solução: a) Como a pessoa possui notas de R$ 1,00, R$ 2,00 e R$ 5,00, existem as seguintes

possibilidades de obter o valor de R$ 14,00, com pelo menos 1 nota de cada valor:

2 notas de R$ 5,00 + 1 nota de R$ 2,00 + 2 notas de R$ 1,00 = R$ 14,00.

1 nota de R$ 5,00 + 1 nota de R$ 2,00 + 7 notas de R$ 1,00 = 14,00.

1 nota de R$ 5,00 + 2 notas de R$ 2,00 + 5 notas de R$ 1,00 = R$ 14,00.

1 nota de R$ 5,00 + 3 notas de R$ 2,00 + 3 notas de R$ 1,00 = R$ 14,00.

1 nota de R$ 5,00 + 4 notas de R$ 2,00 + 1 nota de R$ 1,00 = R$ 14,00. b) Nos demais casos de distribuição, todas as possibilidades não irão possuir pelo menos 1

nota de cada valor. Portanto, existem 5 possibilidades para o valor de x. 41) Resposta “E”. Solução: A entrada ilegal de mercadorias em um país é denominada de CONTRABANDO, que se

inicia pela letra “C”. 42) Resposta “A”. Solução: a) A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”;

aumenta a direita para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª linha até a 2ª linha.

b) Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”.

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43) Resposta “C”. Solução: a) A lesma encontra-se no fundo do poço de 15 metros de profundidade. b) Durante o dia, sobe 3 metros e à noite desce 1 metro. Com isso, no 1º dia ela realmente

subiu 2 metros. c) E assim sucessivamente até o 7º dia, em que a lesma subiu um total de 7.2 metros, ou

seja, 14 metros. d) Já no 8º dia, ela sobre mais 1 metro e atinge o topo do poço. 44) Resposta “A”. Solução: a) Existem 2 leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte

inferior. b) Na parte superior, tem-se que: do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por

2; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. c) Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X=10. d) Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já

do 2º ermo para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. e) Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y=30.

.403010 yx

45) Resposta “C”. Solução: a) Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. b) Na 3ª linha já há cabeças com círculo e com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que

está faltando é um quadrado. c) As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que

falta deve ter as mãos levantadas (é o que ocorre em todas a alternativas). d) As figuras apresentam as 2 pernas ou abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda

ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda.

A figura tem a cabeça quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda. 46) Resposta “E”. Solução: a) Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas

na ordem invertida. b) Da mesma forma, na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4

primeira letras invertidas. c) Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem invertida,

obtém-se ARVAL. 47) Resposta “D”. Solução: a) Como somente Caetano fala a verdade, a 1ª informação não pode ter sido dada por ele,

pois, nessa informação, tem-se o fato de o soldado que patrulha o bairro A ter dito que Caetano vai patrulhar o bairro B.

b) Supondo que a 2ª afirmação seja verdade, tem-se que Gilberto irá patrulhar o bairro B. Com isso, a 3ª afirmação é falsa, ou seja, o soldado que vai patrulhar o bairro C não afirmou que Eudes vai patrulhar o bairro B.

c) Mas essa última informação nada acrescenta para se determinar quem vai patrulhar cada bairro.

d) Ou seja, a 2ª informação também é falsa e, com isso, Caetano vai patrulhar o bairro C. e) Além disso, Eudes vai patrulhar o bairro B e Gilberto vai patrulhar o bairro A.

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Os bairros que Caetano, Gilberto e Eudes fizeram patrulhamento em tal dia foram, respectivamente: C, A e B.

48) Resposta “C”. Solução: a) A proposição composta original possui uma divisão principal, que é o fato de Paulo

trabalhar de ônibus ou metrô; outro aspecto é o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado.

b) Portanto, o conectivo é o principal, interligando as duas partes da proposição. c) Na primeira parte da proposição, ou Paulo vai ao trabalho de ônibus ou vai de metrô.

Nesse caso, essa proposição é interligada pelo conectivo “ou”: PQ. d) Já na parte final da proposição, como ele sempre leva um guarda-chuva e também

dinheiro trocado, essa parte da proposição é interligada pelo conectivo “e”: RS.

e) Reunindo as duas partes da proposição original, obtém-se (PQ)( RS). 49) Resposta “B”. Solução:

a) Em uma proposição pq, não é correto escrever o sentido oposto da sentença, ou seja,

qp. Portanto, o fato de as árvores estarem verdinhas não vem do fato de ter chovido. b) Se ontem estudei, com certeza obterei boas notas. Como não me senti disposto, com

certeza não me alimentei bem. Portanto, o argumento é válido. c) Mesmo que ontem tenha chovido e hoje fez frio, não se pode garantir que estejamos em

junho. d) Se é garantido que “choveu ontem ou segunda-feira é feriado” e se não choveu ontem,

com certeza segunda-feira será feriado. Portanto, a alternativa “d” está incorreta. 50) Resposta “D”. Solução: a) O número de candidatos à Câmara Federal, y, é 12 vezes maior que o número de

candidatos ao Senado Federal, x: .12xy

b) O número de candidatos à Câmara Estadual, z, foi o triplo do número de candidatos à Câmara Federal: .3612.33 xxyz

c) O número de candidatos à Câmara Federal somado com o número de candidatos ao

Senado é 65: 513

6565136512 xxxx candidatos ao Senado.

d) O número de candidatos à Câmara Estadual foi: .1805.3636 xz E esse número é

superior a 170.