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Raciocínio Lógico

Matérias para Concursos Públicos

Raciocínio Lógico

ÍNDICE

Estruturas lógicas. ......................................................................................................................................... 36

Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões................................................... 19

Lógica sentencial (ou proposicional): proposições simples e compostas; tabelas�verdade; equivalências;

leis de De Morgan; diagramas lógicos............................................................................................................ 22

Lógica de primeira ordem............................................................................................................................... 82

Princípios de contagem e probabilidade......................................................................................................... 85

Operações com conjuntos.............................................................................................................................. 87

Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais.......................................... 109

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Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 1

RACIOCÍNIO LÓGICO

Introdução

O raciocínio lógico é uma ferramenta indispensável para a realização de muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas, pois é fundamental para a estruturação do pensamento na resolução de problemas. Assim, é im-prescindível selecionar atividades que incentivem os alunos a resolver problemas, tomar decisões, perceber regularidades, analisar dados, discutir e aplicar idéias.

Para desenvolver o raciocínio é fundamental deixar o alu-no escolher livremente o método que vai utilizar. De nada adianta ensinar-lhes a resolver um problema, porque, se eles não pensam por si mesmos, os próximos já não saberão fazer. O raciocínio necessário para resolvê-los precisa ser exigido em situações novas e variadas, para que seja exerci-tado e se desenvolva.

As atividades propostas devem estar sempre relaciona-das com situações que tragam desafios e levantem proble-mas que precisam ser resolvidos, ou que dêem margem à criação e devem permitir que os alunos se sintam capazes de vencer as dificuldades com as quais se defrontam e de tomar a iniciativa para resolvê-las de modo independente.

Nesse tipo de atividade, os alunos são tratados como in-divíduos capazes de construir, modificar e integrar idéias. Para tanto, precisam ter a oportunidade de interagir com outras pessoas, com objetos e situações que exijam envol-vimento, dispondo de tempo para pensar e refletir acerca de seus procedimentos. Percebendo o próprio progresso, eles se sentem mais estimulados a participar ativamente das atividades propostas.

Objetivos __Ensinar Matemática através de desafios; __Motivar o interesse e a curiosidade; __Ampliar o raciocínio lógico; __Desenvolver a criatividade; __Melhorar a interpretação de texto; __Propor ideias criativas; __Observar e perceber coisas que não são percebidas

pelos demais; __Aumentar a atenção e a concentração; __Desenvolver antecipação e estratégia; __Trabalhar a ansiedade; __Praticar as habilidades; __Melhorar o relacionamento aluno-aluno e aluno-

professor; __Estimular a discussão e o uso de estratégias matemá-

ticas; __Reduzir a descrença na autocapacidade de realização.

Justificativa

O ensino de Matemática vem se tornando cada vez mais defasado em propostas que motivem o crescimento intelec-tual do aluno. E cada vez mais é exigido dele que pense e apresente soluções para os mais variados problemas do cotidiano.

Em decorrência disso, faz-se necessário propor atividades periódicas que permitam que o aluno aprenda a pensar, desenvolvendo e ampliando, assim, a sua habilidade de raciocínio. Michele Pereira Reis

-o0o-

Antes de aprender sobre raciocínio lógico, vamos conferir o significado das palavras em separado. Veja a seguir o que é lógica.

O que é a lógica?

A palavra vem do grego “logos” e significa razão, pensa-mento. Há muitas definições para a lógica, sendo que a con-siderada mais adequada para nosso estudo é a de Irving Copi: “A lógica é uma ciência do raciocínio”. A lógica estuda as formas ou estruturas necessárias para um raciocínio per-feito. É aplicada em diversas áreas, como matemática, filoso-fia, informática e linguística.

O que é raciocínio lógico?

Raciocínio lógico é a ligação de proposições, ou seja, é o processo pelo qual o pensamento de duas ou mais relações conhecidas infere uma outra relação, decorrente lógica das anteriores. O raciocínio lógico serve para analisar, argumen-tar, justificar ou provar hipóteses. É exato, baseia-se em dados que se podem confirmar. É um tipo de pensamento que segue regras, divide os objetos de análise em partes e é linear para chegar à conclusão.

Nosso aprendizado sobre raciocínio lógico é baseado na lógica clássica ou lógica aristotélica, a mesma usada por filósofos e matemáticos. A metodologia adotada é adaptada de forma diferente para cada área de conhecimento que se utiliza do raciocínio lógico.

Princípios do raciocínio lógico

Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.

Princípio da não-contradição: Uma proposição não poderá ser ao mesmo tempo falsa e verdadeira.

Princípio do Terceiro excluído: Dadas duas proposi-ções contraditórias, uma delas é verdadeira.

Conceitos do raciocínio lógico

Proposição

Proposição é o conjunto de palavras ou símbolos que re-presentam um pensamento completo. Quando palavras, devem ser sentenças declarativas fechadas. Não são inter-rogações, exclamações ou frases no imperativo. As proposi-ções transmitem pensamentos que poderão ser considera-dos verdadeiros ou falsos. Das proposições com palavras, podem-se extrair símbolos.

As proposições podem ser simples ou compostas:

Proposição simples: menor parcela que pode ser es-tudada dentro da lógica. Não tem nenhuma outra proposi-ção como parte integrante. Geralmente é representada por uma letra minúscula.

Proposição composta: combinação de duas ou mais proposições interligadas por meio de conectivos.

Regra (ou condicional): É a constante lógica que conec-ta duas proposições.

Valor lógico: Um dos dois possíveis juízos a ser atribuí-do às proposições: ou são verdadeiras, ou são falsas.



Premissa: Cada uma das duas proposições de um silo-gismo. Uma proposição só é premissa quando faz parte de um argumento.

Argumento: Todo argumento é formado por premissas e proposições. É um conjunto com uma estrutura lógica, origi-nando consequentemente uma outra proposição (conclusão). É a expressão verbal do raciocínio.

Conclusão: É a proposição final do silogismo, resultado das premissas.

Silogismo: Tipo de argumento formado de três proposi-ções: a maior, a menor e a conclusão deduzida da maior, por intermédio da menor (silogismo regular).

Inferência: É o ato de extrair conclusões com base nas premissas que compõe o argumento.

Métodos de raciocínio lógico

Existem três métodos de raciocínio lógico através de infe-rência:

Dedução: A conclusão é totalmente derivada das pre-missas. Exemplo: Roger é engenheiro. Todo engenheiro é bom em cálculo. Logo, Roger é bom em cálculo.

Indução: A conclusão tem abrangência maior que as premissas. Exemplo: Roger é engenheiro. Roger é bom em cálculo. Logo, todo engenheiro é bom em cálculo.

Abdução: A conclusão e a regra são usadas para de-terminar as premissas.

Exemplo: Roger é bom em cálculo. Todo engenheiro é bom em cálculo. Logo, Roger é engenheiro.

Conectivos lógicos

Conectivos são palavras usadas para ligar proposições simples, criando novas proposições. Vamos aprender três formas pelas quais os conectivos podem ser expressos: a forma como aparece nas proposições (ou a ideia implícita), seu nome e a forma como é simbolizado.

E = conjunção (^). Uma conjunção só será verdadeira se todas as proposições componentes forem verdadeiras, ou seja, se uma proposição for falsa, todas são falsas.

OU = disjunção (v). Uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõe forem falsas, nos demais casos a disjunção é verdadeira, ou seja, basta que uma das proposi-ções componentes seja verdadeira para que toda a proposi-ção seja verdadeira.

OU…OU = disjunção exclusiva (v). Uma disjunção ex-clusiva só será verdadeira se houver a mútua exclusão das sentenças, ou seja, só será verdadeira se uma das senten-ças for verdadeira e outra falsa. Nos demais casos, a disjun-ção exclusiva será falsa.

SE…ENTÃO = condicional (->). Uma proposição condi-cional somente terá valor falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa. Nos outros casos, será verdadeira. Há várias formas de representação da condicio-nal: Se A, B; B, se A; Quando A, B; A implica B; A é condição

suficiente para B; B é condição necessária para A; A somen-te se B; Todo A é B.

SE E SOMENTE SE = bicondicional (<->). A bicondicio-nal será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições forem diferentes. Ou seja, só será verdadeira se o valor das duas proposições for igual (as duas verdadeiras ou falsas). Se forem diferentes, a bicondicional será falsa. As formas de representação podem ser: A se e somente se B; se A então B e se B então A; A somente se B e B somente se A; A é condição suficiente para B e B é condição suficien-te para A. Todo A é B e todo B é A.

NEGAÇÃO = (~). Representa a negação de uma propo-sição. Se a sentença negativa já contiver a palavra “não”, então é afirmativa.

http://idealgratis.com/curso/introducao-raciocinio-logico/

Conceito de raciocínio lógico

Raciocínio Lógico

Ao procurarmos a solução de um problema quando dis-pomos de dados como um ponto de partida e temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema. Se soubéssemos não haveria problema.

É necessário, portanto, que comece por explorar as pos-sibilidades, por experimentar hipóteses, voltar atrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se con-formem à natureza do problema, rejeitar aqueles que não se ajustam a estrutura total da questão e organizar-se.

Mesmo assim, é impossível ter certeza de que escolheu o melhor caminho. O pensamento tende a ir e vir quando se trata de resolver problemas difíceis.

Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certa concluímos que estivemos raciocinando.

Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito ló-gico.

Nova teoria científica

A ciência é bàsicamente a combinação do raciocínio lógi-co bom com o conhecimento prático bom de fenômenos naturais reais. Todos os seres humanos fazem algum racio-cínio lógico e têm algum conhecimento prático de alguns fenômenos naturais reais, mas na maior parte têm que com-binar ciência com sobrevivência. Alguns povos puderam devotar muito de seu tempo ao raciocínio e/ou a ganhar o conhecimento melhor da natureza e com isso nos legaram contribuições pequenas ou grandes ao desenvolvimento da ciência. http://wwwracimate.blogspot.com.br/

Em lógica, pode-se distinguir três tipos de raciocínio ló-gico: dedução, indução e abdução. Dada uma premissa, uma conclusão, e uma regra segundo a qual apremis-sa implica a conclusão, eles podem ser explicados da se-guinte forma:

Dedução corresponde a determinar a conclusão. Utiliza-se da regra e sua premissa para chegar a uma conclusão. Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. Choveu hoje. Portanto, a grama está molhada." É comum associar os matemáticos com este tipo de raciocínio.



Indução é determinar a regra. É aprender a regra a partir de diversos exemplos de como a conclusão segue da premissa. Exemplo: "A grama ficou molhada todas as vezes em que choveu. Então, se chover amanhã, a grama ficará molhada." É comum associar os cientistas com este estilo de raciocínio.

Abdução significa determinar a premissa. Usa-se a conclusão e a regra para defender que a premissa poderia explicar a conclusão. Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. A grama está molhada, então pode ter chovido." Associa-se este tipo de raciocínio aos diagnosticistas e detetives.

Lógica Matemática

Imagine que você foi convocado a participar de um júri em um processo criminal e o advogado de defesa apresenta os seguintes argumentos:

“Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou José da Silva viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que José da Silva não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente.

Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Co-mo você deveria votar o destino do réu?

E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o argumento com a notação de lógica formal, que retira todo o palavrório que causa confusão e permite que nos concen-tremos na argumentação subjacente.

A lógica formal fornece as bases para o método de pen-sar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer ativida-de racional.

"Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de ra-ciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequencia coe-rente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica e a ciência do raciocínio.

1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATE-MÁTICA

1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES

Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciên-cia do raciocínio pode ser subdividida em duas grandes cor-rentes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal.

Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em pro-cessos não matemáticos, processos não analíticos, sendo que suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer que a Lógica Clássica tem um caráter intuitivo.

Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras tendências a Lógica Matemática, esta baseada em métodos e técnicas matemáticas.

A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbo-lismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na ins-tância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segun-do operações e ralações de cálculo específico.

1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS:

A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo propo-sicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) como elementos geradores. No cálculo dos predicados os

elementos de análise correspondem às chamadas funções proposicionais.

No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto no segundo caso.

Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo proposicional.

1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO

É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo para a qual se associa apenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso.

São exemplos de proposições:

��Quatro e maior que cinco.

��Ana e inteligente.

��São Paulo e uma cidade da região sudeste.

��Existe vida humana em Marte.

��A lua é um satélite da Terra

��Recife é capital de Pernambuco

Exemplos de não proposições:

��Como vai você?

��Como isso pode acontecer!

1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS:

A Lógica Matemática constitui um sistema científico regi-do por três leis principais, consideradas princípios fundamen-tais:

� Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

� Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão so-mente dois “estados de verdade”, isto é, a “verdade” e a “não verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema biva-lente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade ser-vem para caracterizar todas as situações possíveis sendo mutuamente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a existência da segunda).

Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer entidade (proposição ou enunciado) em Lógica Matemática apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será corres-pondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente.

2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMEN-TAÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL

2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔ-MICO OU BIVALENTE:

A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sis-tema científico de raciocínio, que se baseia em estados biva-lentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de suas entidades pode-se predicar a “verdade” ou a “falsi-dade”, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalen-te estabelecido desenvolver-se-á um método analítico de raciocínio que objetiva analisar a validade do processo infor-mal a partir das denominadas primeiras verdades, “primí-cias”.

2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL:



Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fun-damentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, de sentido completo e não elípticas (não ambíguas).

Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sen-tido completo que expressão um determinado pensamento são denominado predicados ou enunciados, as quais de acordo com o universo relacional onde se encontram é sem-pre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”.

São exemplos de proposições em lógica:

“A filosofia é a lógica dos contrários”

“Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um logaritmo vermelho é um abacate feliz”.

“Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racio-nais são homens solitários”.

No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a forma do enunciado e não o significado que esta alcança no mundo real.

Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o nú-mero de nomes e/ou predicados que constituem as senten-ças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem às denominadas proposições simples ou proposições com-postas.

2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES:

Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma pro-posição atômica, constituem a unidade mínima de análise do cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que não existe nenhuma outra proposição como parte integrante de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras latinas minúsculas tais como:

p, q, r, s, u, v, w, p1, p2. . . ¸pn...

As quais são denominadas letras proposicionais ou variá-veis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra proposicional p designa a sentença: “A Matemática é atributo da lógica”, adota-se a seguinte notação:

p: A matemática é atributo da lógica.

Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da lógica” não corresponde a uma proposição simples, pois possui como parte integrante de si outra proposição.

2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS:

Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo consti-tuída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possu-em como parte integrante de si própria pelo menos uma outra proposição.

As proposições compostas serão designadas pelas letras latinas maiúsculas tais como:

P, Q, R, S, U, V, W, P1, P2. . . Pn...

Considere as proposições simples:

p: A filosofia é arte

q: A dialética é ciência.

Seja, portanto, a proposição composta “A filosofia é arte embora a dialética é a ciência”.

Para se indicar que a dada sentença é designada pela le-tra proposicional P, sendo constituída de p e q componentes

adota-se a notação P (p, q): A filosofia é arte embora a dialé-tica é a ciência.

Observe que uma fórmula proposicional pode ser consti-tuída de outras fórmulas proposicionais. Além do mais uma letra proposicional pode designar uma única proposição, quer seja simples ou composta, contudo uma dada proposição pode ser qualificada por quaisquer das letras proposicionais num dado universo.

Sejam as proposições:

p: A lógica condiciona a Matemática

q: A dialética fundamenta o pensamento ambíguo.

P (p, q): A lógica condiciona a Matemática, mas a dialéti-ca fundamenta o pensamento ambíguo.

Q (p, q): A lógica condiciona a Matemática e/ou a dialéti-ca fundamenta o pensamento ambíguo.

Sejam ainda proposições compostas:

S (P, Q): Se a lógica condiciona a Matemática mas a dia-lética fundamente o pensamento ambíguo, então a Lógica condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pen-samento ambíguo.

De forma simbólica tem-se que;

P (p, q): p mas q

Q (p, q): p e/ou q

S (P, Q):Se p mas q, então p e/ou q

Observe que: S (P, Q) é análoga a S (p, q).

2.5 VERDADE E VALIDADE:

(Valor lógico ou valor verdade das proposições)

Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sis-tema científico de raciocínios, bivalentes e dicotômicos, em que existem apenas dois “estados de verdade” capazes de gerar todos os resultados possíveis, a “verdade” corresponde a afirmações do fato enquanto tal, sendo a “falsidade” a con-tradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade ou a falsidade, corresponde respectivamente ao “verdadeiro” ou “falso”, segundo o referencial teórico que institui as de-terminadas entidades “proposições” ou “enunciados”, de um dado universo relacional.

Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade é a negação do fato estabelecido.

Dada uma proposição simples qualquer, designar, por exemplo, pela letra proposicional p, tem-se pelos princípios fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a falsidade (F) não se admitindo outra hipótese, e, nem tão pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente, por-tanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simboliza-ção:

V ( p ) = V (valor lógico de p é igual à verdade) ou V ( p ) = F .

Considere uma proposição composta P, constituída das proposições simples p, q, r,...., p1,...., pn componentes. Para indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula pro-posicional adotar-se-á as notações:

V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = V ou V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = F

É oportuno salientar-se que a lógica matemática não ca-be a obrigação de decidir se uma dada proposição é verdade ou falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas das correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a lógica tem por obrigação estruturar métodos ou procedimen-tos de decisão que permita, num tempo finito, a decisão sobre os valores lógicos de fórmulas proposicionais constitu-ídas de n proposições e m raciocínios (sobre o ponto de vista



da analiticidade de tais processos). A de se observar tam-bém, que validade em lógica matemática corresponde, tão somente a avaliação de argumentos dedutivos ou de inferên-cia de argumentos, não tendo sentido associar validade ou legitimidade a proposições ou enunciados.

De forma resumida, a validade esta associada à coerên-cia ou a consistência do raciocínio analítico.

2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS:

(ou conectivos proposicionais)

Vejam os exemplos:

“A matemática é a juventude da lógica e a lógica é a ma-turidade da matemática”

“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática”

“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática e não ambos”

“Se a matemática é a juventude da lógica, então a lógica é a maturidade da matemática”.

“A matemática é a juventude da lógica se, e somente se, a lógica é a maturidade da matemática”.

“Não é fato que a matemática é a juventude da lógica”

Designamos as proposições simples:

p: A matemática é a juventude da lógica

q: A lógica é a maturidade da matemática

Tem-se que:

P (p, q): p e q.

Q (p, q): p ou q.

R (p, q): p ou q, e não ambos.

S (p, q): Se p, então q.

W (p, q): p se, e somente se q.

P1 (p): não p

Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições compostas anteriormente apresentadas foram obtidas a partir de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto de palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão entre duas ou mais proposições (simples ou compostas), são denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicio-nais, os quais definem classes de fórmulas proposicionais específicas.

Prof.a Paula Francis Benevides Símbolos

∼∼∼∼ não

∧ e

∨ ou

→ se ... então

↔↔↔↔ se e somente se

| tal que

⇒⇒⇒⇒ implica

⇔⇔⇔⇔ equivalente

∃∃∃∃ existe

∃ |∃ |∃ |∃ | existe um e somente

um

∀∀∀∀ qualquer que seja

Valor lógi-co

Símbolo Expressão

Negação , ¬ , ~ ou '

não, é falso, não é verdade que

Conjunção e, mas , também, além disso

Disjunção ou

Condicional se...então, implica, logo, somente se

Bi-condicional

...se, e somente se...; ...é condição necessária que ...

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Os problemas seguintes requerem raciocínio para sua solu-ção. A fim de provar que uma resposta é correta, uma vez encontrada, necessita-se de um raciocínio cujas premissas estejam contidas no enunciado do problema, e cuja conclu-são seja a resposta ao mesmo. Se a resposta é correta, poder-se-á construir um raciocínio válido. 0 leitor é solicitado, ao trabalhar com estes problemas, a preocupar-se não só em encontrar as respostas corretas, mas em formular também os raciocínios que provem a correção das respostas. Daremos, a seguir, alguns exercícios resolvidos para que o candidato possa inteirar-se do funcionamento do assunto.

Exercício 1 Assinale a alternativa que não faz parte do con-junto dado: a) São Paulo b) Campinas c) Porto Alegre d) Santos e) Franca

Resposta: C – São Paulo, Campinas, Santos e Franca são cidades do Estado de São Paulo, ao passo que Porto Alegre não é cidade do nosso Estado. Exercício 2 Assinale o número que completa a seqüência apresentada: 1, 3, 5, 7, 9, ... a) 13 b) 11 c) 15 d) 17 e) 19

Resposta: b – Os números 1, 3, 5, 7, 9 formam uma seqüência, ou seja, a seqüência dos números ímpares. Portanto, o próximo número é 11. Exercício 3 REAL está para BRASIL assim como DÓLAR es-



tá para ................. a) Estados Unidos b) França c) Canadá d) Austrália e) Alemanha Resposta – A - Real é a moeda brasileira e dólar é a moeda dos Estados Unidos. Exercício 4 O carro amarelo anda mais rapidamente do que o vermelho e este mais rapidamente que o azul. Qual o carro que está se movimentando com maior velo-cidade? a) o amarelo b) o azul c) o vermelho d) o vermelho e o azul e) impossível responder Resposta – A – Lendo direitinho o enunciado ve-mos claramente que o carro amarelo anda mais depres-sa. Exercício 5 Um tijolo pesa 1 quilo mais meio tijolo. Quanto pesam três tijolos? a) 5 kg b) 4 kg c) 4,5 kg d) 5,5 kg e) 3,5 kg Resposta C – Pelo enunciado, um tijolo pesa um quilo e meio. Portanto, três tijolos deverão pesar 3 x 1,5 = 4,5 kg.

Enunciado para as próximas questões: Cinco moças estão sentadas na primeira fila da sala de aula: são Maria, Mariana, Marina, Marisa e Matilde. Marisa está numa extremidade e Marina na outra. Maria-na senta-se ao lado de Marina e Matilde, ao lado de Mari-sa.

Responda as perguntas: 6 – Quantas estão entre Marina e Marisa? 7 – Quem está no meio? 8 – Quem está entre Matilde e Mariana? 9 – Quem está entre Marina e Maria? 10 –Quantas estão entre Marisa e Mariana?

Se lermos direitinho o enunciado podemos concluir e fazer um desenho para ilustrar e assim responder a todas as per-guntas:

MA-RISA

MA-TIL-DE

MA-RIA

MA-RIA-NA

MA-RINA

Respostas: 6 – três 7 – Maria 8 – Maria 9 – Mariana 10 – duas Exercício 11 Qual o número que falta no quadro a seguir? 5 10 5

6 14 8 3 10 ...... Resposta: 7 – A soma dos extremos é o número central. 5 + 5 = 10 6 + 8 = 14 3 + 7 = 10 Exercício 12 Qual a palavra que não faz parte do grupo? a) LIVRO b) REVISTA c) JORNAL d) ENCICLOPÉDIA e) CARNE Resposta E – Os quatro primeiros são vendidos em livrarias e carne não. Exercício 13 ALTO está para BAIXO, assim como GRANDE está para ................. a) nanico b) baixinho c) pequeno d) gabiru e) mínimo Resposta: C – O contrário de grande é pequeno. Exercício 14 Assinale a alternativa que não tem as mesmas características das demais, quanto às patas: a) formiga b) aranha c) abelha d) traça e) borboleta Resposta – b – Aranha tem oito patas. As outras têm seis. Exercício 15 Assinale qual destes animais, cujos nomes estão ocultos entre as letras, é o menor: a) OSÃBI b) TOGA c) LIVAJA d) ATOR e) RAFAGI Resposta: D – RATO (as outras: bisão, gato, javali, girafa) Exercício 16 Escreva o número que falta: 20 17 14 ...... 8 5 Resposta: 11 20 – 3 = 17; 17 – 3 = 14; 14 – 3 = 11; 11 – 3 = 8; 8 – 3 = 5 Exercício 17 O vaqueiro está tocando as vacas numa estrada. Uma delas anda na frente de duas outras, uma anda entre duas e uma anda atrás de duas. Quantas eram as vacas? Resposta: 3

VACA VACA VACA



Exercício 18 Como dispor oito oitos de forma que a soma seja 1.000? Resposta: 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1.000 Exercício 19 A mãe de Takada tem cinco filhos: Tanaco, Ta-neco, Tanico, Tanoco. Qual é o quinto filho? a) Tanuco b) Takuda c) Tanuka d) Takada Resposta: D – Takada. É claro que é Takada, que também é sua filha, de acordo com o enunciado do pro-blema. Exercício 20 Sabendo-se que seis raposas, em seis minutos, comem seis galinhas, pergunta-se: Quantas raposas, em sessenta minutos, comem sessenta galinhas? Resposta: 6 raposas (é só fazer o cálculo). Exercício 21 Coloque a sílaba que completa a primeira pala-vra e começa a segunda e com ambas forma uma terceira. RE (........) TA Resposta: GA – REGA – GATA – REGATA Exercício 22 Assinale qual das marcas a seguir não é de car-ro: a) ROFD b) OLWVGASKNE c) VROCHETEL d) TONREMING e) TAIF Resposta: REMINGTON – é máquina de escrever e as outras marcas de automóvel (Ford, Volkswagen, Chevrolet, Fiat). Exercício 23 Complete o número que falta: 10 20 30 12 15 ....... 15 20 35 a) 27 b) 31 c) 33 d) 29

Resposta: a (12 + 15 = 27) Exercício 24 Ao medir uma vara verificou-se que ela tem 5 metros mais a metade de seu próprio comprimento. Qual o real comprimento da vara? a) 12 metros b) 10 metros c) 8 metros d) 16 metros

Resposta: B Exercício 25 O pai do meu neto é o neto de meu pai. Quantas pessoas estão envolvidas nesse relacionamento de

parentesco? Resposta: 4 Exercício 26 Um macaco caiu no fundo de um poço de 30 me-tros de profundidade. Em cada hora ele sobe 5 m e escorrega 4 m. Depois de quantas horas sairá do po-ço? a) 30 horas b) 24 horas c) 28 horas d) 26 horas

Resposta: D – 26 horas Exercício 27 A sala tem quatro cantos. Cada canto tem um ga-to. Cada gato vê três gatos. Quantos gatos estão na sala: Resposta: 4 gatos. Exercício 28 Porque prefere o barbeiro carioca cortar o cabe-lo de dois capixabas a cortar o cabelo de um paulis-ta? a) porque ganha o dobro do dinheiro b) porque paulista gosta de pedir desconto c) porque paulista gosta de dar o calote d) porque paulista não corta cabelo com carioca

Resposta: A Exercício 29 Assinale o número que falta: 10 20 30 11 13 17 .... 33 47 Resposta: 21 (21 é a soma dos dois números su-periores: 10 + 11 = 21). Exercício 30 Coloque a letra que falta: A C E G I ....... A resposta é K, pois as letras pulam de duas em duas. Sempre que aparecerem problemas com letras, de-ve-se levar em conta a letra K. Exercício 31 Escreva o número que falta: 50 45 40 35 .... 25 20 Resposta: 30 (os números decrescem de cinco em cinco). Exercício 32 Assinale o número que continua a seqüência: 12 34 56 ...... a) 78 b) 76 c) 62 d) 98 Resposta: A (os números “pulam” de 22 cada vez: 12 + 22 = 34 etc.) Exercício 33 Para que haja uma representação teatral não po-



de faltar: a) palco b) bilheteria c) ator (ou atriz) d) auditório e) texto Resposta C – (é impossível uma representação tea-tral sem ator ou atriz). A SEGUIR, RESOLVA AS QUESTÕES DE 34 A 46: 34. Se você não vive para comer, mas come para vi-ver, então: a. você é guloso b. você pode passar um dia sem comer c. ninguém vive para comer d. comer não faz bem e. ninguém vive sem comer 35. Se para quem ama o feio, bonito lhe parece, en-tão: a) o amor só surge entre pessoas feias b) o amor só surge quando a moça é bonita c) quando há amor, não importa se a pessoa é feia ou bonita d) o amor só é possível entre feios e) os feios nunca se amam 36. Se você não vive para servir, então não serve pa-ra viver. Logo:

a) todos os que são servis devem morrer b) só deve viver quem é preguiçoso c) esta frase é realmente um absurdo d) os servos são todos reais e) neste pais somente tem servos

37. Se o ar é vital e o fogo é mortal, então:

a) ninguém vive sem fogo b) a vida sem ar desaparece c) o fogo é vital para a vida d) o ar é fogo e) fogo e bom, somente quando queima

38. Se todo homem é bruto e toda a mulher é meiga, então:

a) há homens meigos e mulheres brutas b) alguns homens são bons c) só as mulheres podem ser meigas d) algumas mulheres podem ser brutas e) poucos homens são meigos

39. Há homens que são bons e homens que são ruins neste mundo. Mas os grandes homens são poucos. Então: a) todos os homens do mundo são bons b) todos os homens do inundo são ruins c) todos os homens são grandes d) a sua altura tem grande importância e) não são muitos os grandes homens 40. Todo rapaz é bagunceiro e todas as moças são comportadas. Portanto: a) todas as moças são bagunceiras também b) há jovens rapazes que são comportados c) não é possível termos moças bagunceiras e rapazes comportados d) não há rapaz bagunceiro na terra e) alguns rapazes apenas são bagunceiros 41. Se um bebê pode andar por volta dos 12 meses de vida, então:

a) há bebês que já nascem andando b) há bebês que podem andar antes dos 12 meses de vida c) não é possível um bebê andar antes dos 12 meses d) só é possível andar após 12 meses de vida e) os bebês não andarão nunca 42. Para que duas pessoas se casem, quase sempre é necessário existir entre elas o amor e o respeito. Então: a) o amor e respeito são condições imperativas para o casamento b) se amor e sem respeito é impossível casar c) é impossível termos casos de casamento sem amor d) somente o amor é fundamental para o casamento e) basta termos respeito um pelo outro, que é possível casarmos 43. A riqueza dos milionários depende da explora-ção do trabalho dos seus empregados. Logo: a) para ser rico é preciso necessariamente ser explora-dor b) é possível ser rico sem explorar seus empregados c) todos os patrões são bons para seus empregados d) não há patrões ruins no mundo e) a riquesa é uma grande virtude na terra 44. Há algumas crianças que são muito boas e ou-tras uns verdadeiros capetinhas em pessoa. Portan-to: a) todas as crianças são capetas b) todas as crianças são boas c) é impossível termos algumas crianças terríveis e ou-tras boas d) não é possível termos crianças boas e) todas as crianças são capetas

45. Todo político burguês é corrupto. Logo: a) é possível termos políticos não burgueses que não se-jam corruptos b) todos os políticos não prestam c) todos os políticos burgueses são bons d) a política não serve ao povo e) sempre que se faz política, só burguês é que ganha 46. Na terra, há homens e peixes que sabem nadar. Portanto: a. todos os homens sabem nadar b. não há homens que não sejam peixes c. todos os homens são peixes d. há homens que sabem nadar como peixes e. nenhum homem sabe nadar

RESPOSTAS

34-E 35-C 36-C 37-B 38-C 39-E 40-C 41-B 42-C 43-A 44-C 45-A

46-D

PROVA SIMULADA I

01. Imagine que seu relógio adiante exatamente 4 minutos em 24 horas. Quando eram 7,30 da manhã, ele marca-va 7 horas e 30 minutos e meio. Que horas estará mar-cando quando forem 12 horas do mesmo dia?:

a) 12 horas, 1 minuto e 15 segundos; b) 12 horas e 1 minuto; c) 12 horas e 45 segundos; d) 12 horas e 30 segundos; e) 12 horas e 30 minutos.



02. Quantas dezenas há no número 469?: a) nenhuma b) 4,6; c) 6; d) 6,9; e) 46. 03. Quantos quartos de quilo existem em meia tonelada?: a) 500; b) 1000; c) 1500; d) 2000; e) 2500. 04. O carro azul é maior do que o vermelho e o vermelho é

menor do que o amarelo. Qual o maior dos carros?: a) o vermelho; b) o amarelo; c) o azul; d) o azul e o amarelo; e) impossível responder. 05. O carro amarelo anda mais rapidamente do que o ver-

melho e este mais rapidamente do que o azul. Qual o carro que está se movimentando com maior velocida-de?:

a) o amarelo; b) o azul; c) o vermelho; d) o vermelho e o azul; e) impossível responder. 06. Para que haja uma representação teatral não pode fal-

tar: a) palco: b) bilheteria; c) ator; d) auditório; e) texto. 07. João e José têm, juntos, 125 anos. João tem 11 anos

menos que Júlio e 7 mais que José. Quantos anos tem Júlio?:

a) 83; b) 77; c) 71: d) 66: e) 59. 08. Na série de números colocada a seguir, sempre que dois

algarismos vizinhos somados proporcionem o total de 10, faça a soma. E indique o total geral desta forma en-contrado.

35546322881374511246678791829: a) 45: b) 50: c) 60: d) 70: e) 80. 09 Qual o número que colocado no lugar do traço deixará o

conjunto coerente?: 57 19 38 - 19 38 57 - 38 57 a) 19; b) 35: c) 38; d) 57; e) 85; 10. O time azul, jogando uma partida de futebol com o time

verde, tem 70% de possibilidade de ganhar, atuando du-rante o dia; mas sob a luz dos refletores, sua possibili-

dade (por motivos ignorados) desce para 20%, Qual sua possibilidade ganhar num jogo que terá, dos 90 minutos regulamentares, 18 jogados ainda de dia e 72 disputa-dos já com os refletores acesos :

a) 80%; b) 60%; c) 50%; d) 45%; e) 30%. 11. Qual o menor número de carros que nos permite armar o

seguinte conjunto de afirmações: Nesta rua vimos pas-sar 2 carros na frente de 2, 2 atrás de 2 e 2 entre 2?:

a) 12; b) 8; c) 6; d) 4; e) 3. 12. Qual o número que, acrescido da 3, dá metade de 9

vezes um oitavo de 32?: a) 15; b) 16; c) 21; d) 27; e) 34; 13. Esta a situação: Cinco moças estão sentadas na primei-

ra fila da sala de aula: são Maria, Mariana, Marina, Mari-sa e Matilde. Marisa está numa extremidade e Marina na outra. Mariana senta-se ao lado de Marina e Matilde, ao lado de Marisa. .

Este o esquema para responder: Para quantidades Para nomes a) = 1 a) = Mariana b) =2 b) = Maria c) = 3 c) = Matilde d) = 4 d) = Marina e) = 5 e) = Marisa E estas as perguntas: Quantas estão entre Marina e Marisa?: 14. Quem está no meio?: 15. Quem está entre Matilde e Mariana?: 16 Quem está entre Marina e Maria?: 17 Quantas estão entre Marisa e Mariana? 18 Imagine dois recipientes opacos, com a forma de garrafa

de boca estreita, que vamos chamar A e B. E bolas brancas e pretas, que podem ser colocadas nos recipi-entes e que irão ser retiradas como se fosse um sorteio. O problema é este: de qual recipiente você terá mais chance de retirar uma bola preta numa. primeira e única tentativa, havendo, em A 2 bolas pretas e 4 brancas em B 3 bolas pretas e 7 brancas? Opções:

a) do A; b) do B; c) é indiferente; d) impossível responder por falta de dados; e) impossível responder por estarem os dados mal coloca-

dos. 19. O mesmo problema, com as mesmas opções anteriores:

havendo, em A 4 bolas pretas e 8 brancas em B 6 bolas pretas e 12 brancas.

20. ldem, havendo, em 1 bola preta e 3 brancas em B 2

bolas pretas e 5 brancas.



21. ldem, havendo, em A 6 bolas pretas e 10 brancas em B 3 bolas pretas e 6 brancas.

22. Considere, agora, três recipientes, permanecendo o

mesmo problema: havendo, em A 5 bolas pretas e 10 brancas em B 4 bolas pretas e 7 brancas em C 2 bolas pretas e 5 brancas. As opções, para este caso 22, são as seguintes:

a) do A; b) do B; c) do C; d) é indiferente; e) é impossível responder. 23. Indique entre as opções o melhor sinônimo: Para "pecú-

lio": a) roubo; b) porção; c) bens; d) herança; e) criação. 24. Para "misantropia": a) religiosidade; b) sociabilidade; c) aversão; d) ira; e) caridade. 25. Para "exasperação": a) alisamento; b) espera; c) evocação; d) exatidão; e) irritação. 26. está para assim como está para a) b) c) d) e) 27 Uma família gastou 1/4 de seu salário mensal em ali-

mentação e 1/3 do restante em pagamento de presta-ções. Que porcentagem de salário lhe restou?:

a) 15% b) 25%; c) 35%; d) 45%; e) 50%. 28. 32 42 52...21 31 41.....40 50 _ a) 24; b) 30; c) 33; d) 60; e) 63. 29. Sendo este quadro um código - linhas e colunas -, o que

está representando a fórmula 45551142? a) Ele; b) Fae; c) lNRl; d) Deus; e) Jesus.

30. Descobriu-se num código, até então secreto, que o nú-

mero 12=8=4 realmente significava 9=5=1. Daí, como se espera que esteja escrito "revolução" :

a) vibapegia; b) tgyqnxebq; c) obslirzxl; d) sfxpmvdbp; e) uhzroyfdr. 31. 14 64 24 11 61 21 15 65 - a) 45; b) 26; c) 25; d) 22; e) 16. 32. Afirmando que o fogo é "frio" e que o açúcar é "salgado",

poderíamos dizer que o perito é alguém: a) inábil b) experimentado; c) sábio; d) prático; e) culto. 33. Seguem-se alguns raciocínios (duas premissas e uma

conclusão) que você deve julgar como verdadeiros ou falsos, isto é, se a conclusão é correta ou não, dadas como verdadeiras as premissas:

1. A não é B B não é C logo, A não é C. 2. Algum B é C algum C é A logo, algum A é B. 3. Nenhum D é A todo A é C logo, nenhum D é C. 4. Todo C é B algum B é A logo, todo A é C, 5. Algum D é B nenhum B é A logo, algum D é A. E assinale conforme as seguintes opções: a) Todos os raciocínios são falsos; b) Todos os raciocínios são verdadeiros; c) Apenas o terceiro é verdadeiro; d) Apenas os raciocínios 2 e 4 são falsos; e) Nenhum dos casos anteriores. 34. Confira os raciocínios seguintes: 1. Todo P é O ora, R é P logo, R é O. 2. Todo R é S ora, P não é S logo, P não é R, 3. Todo S é P



todo S é O logo, algum P é O. 4. Todo P é O todo O é R logo, P é R. 5. Nenhum S é T .....ora, R é T .....logo, R não é S. E assinale conforme as seguintes opções a) Todos os raciocínios são verdadeiros; b) São falsos os raciocínios 4 e 5; c) São verdadeiros apenas os de números 1 e 3; d) São falsos todos os raciocínios; e) Nenhum dos casos anteriores. 35. O contrário do contrário de exato é: a) duvidoso; b) provável; c) inexato; d) errado; e) certo. 36. Quantos cubos você necessária para reproduzir a cons-

trução apresentada a seguir a) 60; b) 40; c) 32; d) 24; e) 16. 37. E esta outra a) 10; b) 16; c) 17; d) 20; e) 24. 38. Medo está para coragem assim como esperança está

para: a) fé; b) cólera; c) desespero; d) tristeza; e) melancolia. 39. Admitindo que cada quadra é percorrida em 5 minutos e

que para atravessar uma rua sempre pelas faixas situa-das junto às esquinas -,você dispenderá 50 segundos, permanecendo 10 minutos em cada local, qual a se-qüência que você seguirá para ir, o mais rapidamente possível, de sua casa até a livraria, e voltar, passando, na ida ou na volta, pelo correio, pela panificadora, pela casa de lanches e pelo banco? CO = correio CL = casa de lanches

L = livraria P = panificadora C = casa B = banco

a) é indiferente; b) livraria - correio - casa de lanches - panificadora - banco; c) banco - panificadora - casa de lanches - livraria - correio; d) livraria - casa de lanches - panificadora - correio - banco: e) correio - panificadora - casa de lanches - livraria - banco. 40. Fogo está para fumaça assim como velhice está para: a) mocidade; b) imaturidade; c) cansaço d) cãs; e) morte. 41. Precoce está para cedo assim como tardio está para: a) inverno; b) manhã; c) serôdio; d) inoportuno; e) inicial. 42. Direita está para esquerda assim como destro está para: a) ágil; b) esperto; c) sinistro; d) inábil; e) reto. 43. Franco está para a França assim como Lira está para: a) Música; b) Mentiroso; c) Bulgária; d) Itália; e) Espanha. 44. Há uma lesma que pretende subir um muro de 8 metros

de altura - e ela sabe percorrer um caminho exatamente perpendicular.

Das 6 ás 18 horas, ela sobe 3 metros. Dai, descansa, e das 18 ás 6 horas, desce, deslizando, 2 metros.

Tendo iniciado a subida ás 6 horas de uma segunda feira, quando atingirá os 8 metros?

a) às 18 horas de sábado; b) às 6 horas de domingo; c) ás 18 horas de domingo; d) às 6 horas da segunda feira seguinte; e) ás 18 horas da segunda feira seguinte. 45. O número que continua a seqüência 12 34 56 a) 65; b) 68; c) 75; d) 76; e) 78.



46. São apresentados cinco raciocínios, isto é, algumas premissas, seguidas de uma conclusão. Aceitando como verdadeiras as premissas, verifique se a conclusão é verdadeira ou não.

1. Quadrados são figuras que têm ângulos. Esta figura não tem nenhum ângulo. Logo, esta figura é necessariamen-te um círculo.

2. Se o mar é pequeno, a ilha é grande. Se o lago é médio, também a ponte é média. Mas, ou o mar é pequeno ou a ilha é média, nunca os dois juntos. Então, tanto a ponte como a ilha são médios.

3. Eu moro entre o estádio e o centro da cidade. O estádio fica entre a rodoviária e o centro da cidade. Logo, eu moro mais perto do estádio do que da rodoviária.

4. Somente quando domingo é lua cheia. Segunda é lua nova. Terça é lua cheia ou lua nova somente quando segunda não é lua nova. Logo, quando domingo é lua cheia, Terça não é nem lua cheia nem lua nova.

5. Enquanto rabanete for vermelho, alface será verde. Alface não sendo verde, o repolho será amarelo. Porém o repolho nunca será amarelo enquanto o rabanete for vermelho. Logo, desde que o repolho seja amarelo, a al-face será verde.

Assinale conforme as seguintes hipóteses. a) todas as conclusões são falsas; b) são falsas as conclusões 2, 3 e 5: c) são verdadeiras as conclusões 1 e 2; d) são verdadeiras as conclusões 3 e 4; e) nenhum dos casos anteriores. 47. O diretor de um presídio resolve dar uma chance a um

condenado á morte e lhe propõe o seguinte: “Vá até o fim desse corredor e lá você encontrará duas portas, ca-da uma com um guarda. Uma delas conduz á câmara de gás e a outra á liberdade. Os guardas sabem onde vai dar cada uma das portas. Você tem o direito de fazer somente um pedido a um deles. Mas um dos guardas sempre faz o contrário do que lhe pedem e o outro sem-pre obedece cegamente. Que pedido deve fazer o prisi-oneiro para sair pela porta da liberdade?”.

48. Quatro irmãs dividem uma herança de 70 milhões de

maneira que cada uma recebe 3 milhões a mais que a irmã imediatamente mais velha. Quanto recebe exata-mente cada uma das quatro?:

49. Um rei, na iminência de contratar um cobrador de impos-

tos, propõe a ele o seguinte problema: "Você tem aqui dez sacos cheios de moedas, todos iguais, mas um de-les só contém moedas falsas. As verdadeiras pesam 10 gramas cada uma e as falsas, 9 gramas. Você tem que descobrir qual é o saco que contém moedas falsas, usando uma balança de um prato só e fazendo apenas uma pesagem". O cobrador de impostos conseguiu pas-sar no teste. Como?

50. Polycrato pergunta a Pitágoras quantos alunos ele tem

em sua escola. Pitágoras lhe responde o seguinte: - a metade estuda matemática - um quarto estuda ciências - um sétimo estuda filosofia - e há mais três mulheres. Quantos são os discípulos de Pitágoras

RESPOSTAS

01. Se o relógio adianta 4 minutos em 24 horas, ou seja, em

1.440 minutos, então ele adianta 10s por hora. Entre 7h30 e 12h temos 4h30, ou seja, um adiantamento de 45s. Acrescendo estes 45s aos 30s que o relógio já marcava às 7h30 teremos às 12h a marcação 12 h/min e 15 segundos.

02. No número 469 temos mais exatamente 46,9 dezenas, mas se considerarmos apenas os inteiros, temos então 46 dezenas.

03. Para sabermos quantos quartos de kilo temos em meia tonelada basta dividirmos os 500 kg que equivalem a uma tonelada por 0.25kg, que é um quarto de kilo. As-sim sendo, temos 2.000 quartos de kilo em meia tonela-da.

04. É impossível responder qual é o maior dos carros, sabe-se apenas que o vermelho é o menor entre eles.

05. O carro que dentre os três está se movimentando com maior rapidez é o amarelo.

06. Para que haja uma representação teatral aquilo que absolutamente imprescindível é que exista um ator ou uma atriz.

07. Chamando de x a idade de João, y a de José e z a de Júlio, teremos o seguinte sistema de equações: x + y = 125. Resolvendo por x = y + 7 substituição encontrare-mos que João tem 66 anos. Portanto Júlio, que é 11 anos mais velho tem 77 anos.

08. Teste fácil, cuja resposta correta é a letra D. 09. Questão sobre lei de formação, que neste caso é come-

çar a linha pelo segundo termo da linha anterior e termi-ná-la com o primeiro termo da anterior. Desta maneira o número a ser colocado no espaço em branco é 19.

10. Para resolvermos este problema basta fazermos uma média ponderada: durante 4/5 de jogo, ou seja, 80% é dia durante 20% de jogo à noite, ou seja, há o uso dos refletores. Basta multiplicarmos cada fração do jogo pela chance do time azul, ou seja, fazermos: 80% x 70% + 20% x 20%, o que resulta em 60% de chance de vitória.

11. O menor número de carros que nos permite armar o conjunto proposto é 6. Suponhamos que à frente dos 6 tenhamos os carros azuis; atrás destes os vermelhos e por último dois amarelos. Conseqüentemente teremos duas possibilidades para vermos passarem 2 na frente de 2. Teremos 3 possibilidades de vermos 2 atrás de 2 e uma possibilidade de termos 2 entre 2.

12. Um oitavo de 32 é 4. 9 vezes isto é 36. A metade de 36 é 18. Portanto o número que acrescido de 3 dá metade de 9 vezes um oitavo de 32 é15.

13. Devemos responder com a letra C pois há 3 moças entre Marina e Marisa.

14. No meio das 5 encontra-se sentada Maria. 15. Quem está entre Matilde e Marina é Maria, a que está

no meio-de todas. 16. Entre Marina e Maria está sentada Mariana. 17. Duas estão entre Marisa e Mariana: Matilde e Maria. 18. No recipiente A a possibilidade de tirarmos uma bola

preta é maior que no recipiente B, pois a fração 2/6 é maior que 3/10, pois em decimais temos respectivamen-te 0,333... e 0,30.

19. Neste caso é diferente porque a proporção de bolas pretas para o total é a mesma: 1 para 3.

20. É maior agora a possibilidade de tirarmos uma bola preta do recipiente B, pois a fração 2/7 é maior que 1/4, em decimais, respectivamente 0,285 e 0,25.

21. A fração 6/16 é maior que 3/9, portanto no recipiente A a possibilidade de tirarmos primeiro uma bola preta é mai-or.

22. A maior probabilidade de tirarmos uma bola preta em primeiro lugar é a do recipiente B, pois a fração 4/7 é a maior de todas e corresponde a uma chance de 57,14%.

23. A definição mais exata de pecúlio é soma ou quantidade de dinheiro que alguém conseguiu acumular pelo seu trabalho e economia, porém o sinônimo bens não é in-correto.

24. Misantropia é um tipo de aversão, mais especificamente aversão social, aversão ao contato com pessoas.

25. O sinônimo mais correto para exasperação é o contido na alternativa E: irritação.

26. A figura que corresponde ao par de figuras anteriores se



encontra na letra B, pois o que foi feito foi uma repetição do mesmo desenho original dobrado.

27. Se a família gastou 1/4, então lhe restam 3/4. Gastando 1/3 do que restou, isso significa mais um quarto, pois 1/3 de 3/4 é 1/4. Desta maneira a família ainda dispõe de 50% do salário total.

28. Pela lei de formação deste problema, repete-se o se-gundo número e substitui-se o primeiro pelo seu conse-cutivo. Assim sendo, o número que deve ser colocado no espaço é 60.

29. Se é um quadro de linhas e colunas, então devemos analisar cada par de números, sendo o primeiro número do paro que designa a linha e o segundo o que designa a coluna. Desta maneira a fórmula dada corresponde a Deus.

30. Pelo código apresentado, cada termo deve ser substitu-ído por outras três unidades inferiores. Assim as letras devem ser substituídas por outras que as precedem 3 vezes. Por exemplo d corresponde à letra a. Transcre-vendo então resolução obteremos uma palavra análoga à contida na alternativa C.

31. O número que deve ser colocado no espaço em branco é 25, de acordo com o estabelecido nas linhas anterio-res à incompleta.

32. Se as afirmações são ao contrário; então podemos dizer que o perito é alguém inábil.

33. De acordo com o nosso raciocínio apenas a terceira afirmação é perfeitamente condizente.

34. De acordo com nossa opinião todos os raciocínios apre-sentados estão corretos.

35. O contrário do contrário de algo é o próprio algo. Portan-to o contrário do contrário do exato é certo.

36. São precisos 40 cubos para erguermos uma construção igual à apresentada.

37. São precisos 20 cubos para fazermos uma construção análoga à desenhada no enunciado.

38. As coisas estão com valor inverso, portanto esperança está para desespero, assim como medo está para cora-gem.

39. Cremos que o itinerário contido na alternativa C é o que despende menor quantidade de tempo.

40. Fogo está para fumaça assim como velhice está para cãs, ou seja, fumaça é um sinal de fogo assim como cãs o é de velhice.

41. Precoce está para cedo assim como tardio está para serôdio.

42. Destro é sinônimo de direito, que usa a mão direita. Portanto de acordo com a proposição feita devemos as-sociá-lo a sinistro, que é a pessoa que usa a mão es-querda.

43. Franco é a moeda da França, assim como a libra o é da ltália.

44. se a lesma subir neste ritmo chegará ao topo do muro às 18 horas de sábado, quando deixará de escorregar porque já chegou ao topo.

45. A seqüência apresentada é uma P.A. de razão 22, por-tanto o quarto termo é 78.

46. Acreditamos que apenas as posições lll e lV são verda-deiras, o que nos leva a assinalar a letra D.

47. O condenado deve pedir a qualquer dos guardas que mande o outro mostrar a porta que conduz à morte e poderá, com toda a segurança, sair pela porta que o guarda indicar. Se ele se dirigir ao guarda do contra, ele >mandará o outro mostrar a porta da liberdade. E. na hipótese de ele se dirigir ao guarda obediente, ele man-dará o outro mostrar a porta da morte, mas a porta mos-trada será a da liberdade.

48. Da mais velha à mais moça: 13, 16, 19 e 22 milhões. 49. Ele numerou as sacolas de 1 a 10 e tirou de cada uma

delas tantas moedas quanto fosse o número da sacola. Pesou então todas as moedas. Se fosse verdadeiras, o resultado seria 550 gramas. A diferença a menos desse

peso indica quantas moedas falsas foram pesadas. E o número de moedas é igual ao número da sacola de on-de elas foram tiradas.

50. Com efeito os homens reunidos fazem

28

25

28

4714

7

1

4

1

2

1=

++=++ de toda a escola. Os

38

3

restantes são compostos por três mulheres, donde - é igual a 1 estudante. Portanto, a escola ter 28 alunos.

ALGUMAS NOÇÕES DE LÓGICA

António Aníbal Padrão Introdução

Todas as disciplinas têm um objeto de estudo. O objeto de estudo de uma disciplina é aquilo que essa disciplina estuda. Então, qual é o objecto de estudo da lógica? O que é que a lógica estuda? A lógica estuda e sistematiza a validade ou invalidade da argumentação. Também se diz que estuda inferências ou raciocínios. Podes considerar que argumen-tos, inferências e raciocínios são termos equivalentes.

Muito bem, a lógica estuda argumentos. Mas qual é o in-teresse disso para a filosofia? Bem, tenho de te lembrar que a argumentação é o coração da filosofia. Em filosofia temos a liberdade de defender as nossas ideias, mas temos de sus-tentar o que defendemos com bons argumentos e, é claro, também temos de aceitar discutir os nossos argumentos.

Os argumentos constituem um dos três elementos cen-trais da filosofia. Os outros dois são os problemas e as teori-as. Com efeito, ao longo dos séculos, os filósofos têm procu-rado resolver problemas, criando teorias que se apoiam em argumentos.

Estás a ver por que é que o estudo dos argumentos é im-portante, isto é, por que é que a lógica é importante. É impor-tante, porque nos ajuda a distinguir os argumentos válidos dos inválidos, permite-nos compreender por que razão uns são válidos e outros não e ensina-nos a argumentar correc-tamente. E isto é fundamental para a filosofia.

O que é um argumento?

Um argumento é um conjunto de proposições que utili-zamos para justificar (provar, dar razão, suportar) algo. A proposição que queremos justificar tem o nome de conclu-são; as proposições que pretendem apoiar a conclusão ou a justificam têm o nome de premissas.

Supõe que queres pedir aos teus pais um aumento da "mesada". Como justificas este aumento? Recorrendo a razões, não é? Dirás qualquer coisa como:

Os preços no bar da escola subiram; como eu lancho no bar da escola, o lanche fica me mais caro. Portanto, preciso de um aumento da "mesada".

Temos aqui um argumento, cuja conclusão é: "preciso de um aumento da 'mesada'". E como justificas esta conclusão? Com a subida dos preços no bar da escola e com o facto de lanchares no bar. Então, estas são as premissas do teu ar-gumento, são as razões que utilizas para defender a conclu-são.

Este exemplo permite-nos esclarecer outro aspecto dos argumentos, que é o seguinte: embora um argumento seja um conjunto de proposições, nem todos os conjuntos de proposições são argumentos. Por exemplo, o seguinte con-junto de proposições não é um argumento:



Eu lancho no bar da escola, mas o João não. A Joana come pipocas no cinema. O Rui foi ao museu.

Neste caso, não temos um argumento, porque não há nenhuma pretensão de justificar uma proposição com base nas outras. Nem há nenhuma pretensão de apresentar um conjunto de proposições com alguma relação entre si. Há apenas uma sequência de afirmações. E um argumento é, como já vimos, um conjunto de proposições em que se pre-tende que uma delas seja sustentada ou justificada pelas outras — o que não acontece no exemplo anterior.

Um argumento pode ter uma ou mais premissas, mas só pode ter uma conclusão.

Exemplos de argumentos com uma só premissa:

Exemplo 1

Premissa: Todos os portugueses são europeus. Conclusão: Logo, alguns europeus são portugueses.

Exemplo 2

Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano. Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano.

Exemplos de argumentos com duas premissas:

Exemplo 1

Premissa 1: Se o João é um aluno do 11.º ano, então es-tuda filosofia. Premissa 2: O João é um aluno do 11.º ano. Conclusão: Logo, o João estuda filosofia.

Exemplo 2

Premissa 1: Se não houvesse vida para além da morte, então a vida não faria sentido. Premissa 2: Mas a vida faz sentido. Conclusão: Logo, há vida para além da morte.

Exemplo 3:

Premissa 1: Todos os minhotos são portugueses. Premissa 2: Todos os portugueses são europeus. Conclusão: Todos os minhotos são europeus.

É claro que a maior parte das vezes os argumentos não se apresentam nesta forma. Repara, por exemplo, no argumento de Kant a favor do valor objectivo da felicida-de, tal como é apresentado por Aires Almeida et al. (2003b) no site de apoio ao manual A Arte de Pensar:

"De um ponto de vista imparcial, cada pessoa é um fim em si. Mas se cada pessoa é um fim em si, a felicida-de de cada pessoa tem valor de um ponto de vista impar-cial e não apenas do ponto de vista de cada pessoa. Da-do que cada pessoa é realmente um fim em si, podemos concluir que a felicidade tem valor de um ponto de vista imparcial."

Neste argumento, a conclusão está claramente identifica-da ("podemos concluir que..."), mas nem sempre isto aconte-ce. Contudo, há certas expressões que nos ajudam a perce-ber qual é a conclusão do argumento e quais são as premis-sas. Repara, no argumento anterior, na expressão "dado

que". Esta expressão é um indicador de premissa: ficamos a saber que o que se segue a esta expressão é uma premissa do argumento. Também há indicadores de conclusão: dois dos mais utilizados são "logo" e "portanto".

Um indicador é um articulador do discurso, é uma palavra ou expressão que utilizamos para introduzir uma razão (uma premissa) ou uma conclusão. O quadro seguinte apresenta alguns indicadores de premissa e de conclusão:

Indicadores de premissa Indicadores de conclusão

pois porque dado que como foi dito visto que devido a a razão é que admitindo que sabendo-se que assumindo que

por isso por conseguinte implica que logo portanto então daí que segue-se que pode-se inferir que consequentemente

É claro que nem sempre as premissas e a conclusão são precedidas por indicadores. Por exemplo, no argumento:

O Mourinho é treinador de futebol e ganha mais de 100000 euros por mês. Portanto, há treinadores de futebol que ga-nham mais de 100000 euros por mês.

A conclusão é precedida do indicador "Portanto", mas as premissas não têm nenhum indicador.

Por outro lado, aqueles indicadores (palavras e expres-sões) podem aparecer em frases sem que essas frases se-jam premissas ou conclusões de argumentos. Por exemplo, se eu disser:

Depois de se separar do dono, o cão nunca mais foi o mesmo. Então, um dia ele partiu e nunca mais foi visto. Admitindo que não morreu, onde estará?

O que se segue à palavra "Então" não é conclusão de nenhum argumento, e o que segue a "Admitindo que" não é premissa, pois nem sequer tenho aqui um argumento. Por isso, embora seja útil, deves usar a informação do quadro de indicadores de premissa e de conclusão criticamente e não de forma automática.

Proposições e frases

Um argumento é um conjunto de proposições. Quer as premissas quer a conclusão de um argumento são proposi-ções. Mas o que é uma proposição?

Uma proposição é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente.

Não deves confundir proposições com frases. Uma frase é uma entidade linguística, é a unidade gramatical mínima de sentido. Por exemplo, o conjunto de palavras "Braga é uma" não é uma frase. Mas o conjunto de palavras "Braga é uma cidade" é uma frase, pois já se apresenta com sentido gra-matical.

Há vários tipos de frases: declarativas, interrogativas, im-perativas e exclamativas. Mas só as frases declarativas ex-



primem proposições. Uma frase só exprime uma proposição quando o que ela afirma tem valor de verdade.

Por exemplo, as seguintes frases não exprimem proposi-ções, porque não têm valor de verdade, isto é, não são ver-dadeiras nem falsas:

1. Que horas são? 2. Traz o livro. 3. Prometo ir contigo ao cinema. 4. Quem me dera gostar de Matemática.

Mas as frases seguintes exprimem proposições, porque têm valor de verdade, isto é, são verdadeiras ou falsas, ainda que, acerca de algumas, não saibamos, neste momento, se são verdadeiras ou falsas:

1. Braga é a capital de Portugal. 2. Braga é uma cidade minhota. 3. A neve é branca. 4. Há seres extraterrestres inteligentes.

A frase 1 é falsa, a 2 e a 3 são verdadeiras. E a 4? Bem, não sabemos qual é o seu valor de verdade, não sabemos se é verdadeira ou falsa, mas sabemos que tem de ser verda-deira ou falsa. Por isso, também exprime uma proposição.

Uma proposição é uma entidade abstracta, é o pensa-mento que uma frase declarativa exprime literalmente. Ora, um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentes frases. Por isso, a mesma proposição pode ser expressa por diferentes frases. Por exemplo, as frases "O governo demitiu o presidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitido pelo governo" exprimem a mesma proposição. As frases seguintes também exprimem a mesma proposição: "A neve é branca" e "Snow is white".

Ambiguidade e vagueza

Para além de podermos ter a mesma proposição expres-sa por diferentes frases, também pode acontecer que a mesma frase exprima mais do que uma proposição. Neste caso dizemos que a frase é ambígua. A frase "Em cada dez minutos, um homem português pega numa mulher ao colo" é ambígua, porque exprime mais do que uma proposição: tanto pode querer dizer que existe um homem português (sempre o mesmo) que, em cada dez minutos, pega numa mulher ao colo, como pode querer dizer que, em cada dez minutos, um homem português (diferente) pega numa mulher ao colo (a sua).

Por vezes, deparamo-nos com frases que não sabemos com exactidão o que significam. São as frases vagas. Uma frase vaga é uma frase que dá origem a casos de fronteira indecidíveis. Por exemplo, "O professor de Filosofia é calvo" é uma frase vaga, porque não sabemos a partir de quantos cabelos é que podemos considerar que alguém é calvo. Quinhentos? Cem? Dez? Outro exemplo de frase vaga é o seguinte: "Muitos alunos tiveram negativa no teste de Filoso-fia". Muitos, mas quantos? Dez? Vinte? Em filosofia devemos evitar as frases vagas, pois, se não comunicarmos com exac-tidão o nosso pensamento, como é que podemos esperar que os outros nos compreendam?

Validade e verdade

A verdade é uma propriedade das proposições. A valida-de é uma propriedade dos argumentos. É incorrecto falar em proposições válidas. As proposições não são válidas nem inválidas. As proposições só podem ser verdadeiras ou fal-sas. Também é incorrecto dizer que os argumentos são ver-dadeiros ou que são falsos. Os argumentos não são verda-

deiros nem falsos. Os argumentos dizem-se válidos ou invá-lidos.

Quando é que um argumento é válido? Por agora, referi-rei apenas a validade dedutiva. Diz-se que um argumento dedutivo é válido quando é impossível que as suas premis-sas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Repara que, para um argumento ser válido, não basta que as premissas e a conclusão sejam verdadeiras. É preciso que seja impossível que sendo as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa.

Considera o seguinte argumento:

Premissa 1: Alguns treinadores de futebol ganham mais de 100000 euros por mês. Premissa 2: O Mourinho é um treinador de futebol. Conclusão: Logo, o Mourinho ganha mais de 100000 euros por mês.

Neste momento (Julho de 2004), em que o Mourinho é treinador do Chelsea e os jornais nos informam que ganha muito acima de 100000 euros por mês, este argumento tem premissas verdadeiras e conclusão verdadeira e, contudo, não é válido. Não é válido, porque não é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Podemos perfeitamente imaginar uma circunstância em que o Mouri-nho ganhasse menos de 100000 euros por mês (por exem-plo, o Mourinho como treinador de um clube do campeonato regional de futebol, a ganhar 1000 euros por mês), e, neste caso, a conclusão já seria falsa, apesar de as premissas serem verdadeiras. Portanto, o argumento é inválido.

Considera, agora, o seguinte argumento, anteriormente apresentado:

Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano. Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano.

Este argumento é válido, pois é impossível que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Ao contrá-rio do argumento que envolve o Mourinho, neste não po-demos imaginar nenhuma circunstância em que a premis-sa seja verdadeira e a conclusão falsa. Podes imaginar o caso em que o João não é aluno do 11.º ano. Bem, isto significa que a conclusão é falsa, mas a premissa também é falsa.

Repara, agora, no seguinte argumento:

Premissa 1: Todos os números primos são pares. Premissa 2: Nove é um número primo. Conclusão: Logo, nove é um número par.

Este argumento é válido, apesar de quer as premissas quer a conclusão serem falsas. Continua a aplicar-se a no-ção de validade dedutiva anteriormente apresentada: é im-possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. A validade de um argumento dedutivo depende da conexão lógica entre as premissas e a conclusão do argu-mento e não do valor de verdade das proposições que cons-tituem o argumento. Como vês, a validade é uma proprieda-de diferente da verdade. A verdade é uma propriedade das proposições que constituem os argumentos (mas não dos argumentos) e a validade é uma propriedade dos argumen-tos (mas não das proposições).

Então, repara que podemos ter:

Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu-são verdadeira;



Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão falsa;

Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira;

Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con-clusão verdadeira;

Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con-clusão falsa;

Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão falsa; e

Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira.

Mas não podemos ter:

Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu-são falsa.

Como podes determinar se um argumento dedutivo é vá-lido? Podes seguir esta regra:

Mesmo que as premissas do argumento não sejam verda-deiras, imagina que são verdadeiras. Consegues imaginar alguma circunstância em que, considerando as premissas verdadeiras, a conclusão é falsa? Se sim, então o argumento não é válido. Se não, então o argumento é válido.

Lembra-te: num argumento válido, se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não pode ser falsa.

Argumentos sólidos e argumentos bons

Em filosofia não é suficiente termos argumentos válidos, pois, como viste, podemos ter argumentos válidos com con-clusão falsa (se pelo menos uma das premissas for falsa). Em filosofia pretendemos chegar a conclusões verdadeiras. Por isso, precisamos de argumentos sólidos.

Um argumento sólido é um argumento válido com premissas verdadeiras.

Um argumento sólido não pode ter conclusão falsa, pois, por definição, é válido e tem premissas verdadeiras; ora, a validade exclui a possibilidade de se ter premissas verdadei-ras e conclusão falsa.

O seguinte argumento é válido, mas não é sólido:

Todos os minhotos são alentejanos. Todos os bracarenses são minhotos. Logo, todos os bracarenses são alenteja-nos.

Este argumento não é sólido, porque a primeira premissa é falsa (os minhotos não são alentejanos). E é porque tem uma premissa falsa que a conclusão é falsa, apesar de o argumento ser válido.

O seguinte argumento é sólido (é válido e tem premissas verdadeiras):

Todos os minhotos são portugueses. Todos os bracarenses são minhotos. Logo, todos os bracarenses são portugue-ses.

Também podemos ter argumentos sólidos deste tipo:

Sócrates era grego. Logo, Sócrates era grego.

(É claro que me estou a referir ao Sócrates, filósofo grego e mestre de Platão, e não ao Sócrates, candidato a secretá-rio geral do Partido Socialista. Por isso, a premissa e a con-clusão são verdadeiras.)

Este argumento é sólido, porque tem premissa verdadeira e é impossível que, sendo a premissa verdadeira, a conclu-são seja falsa. É sólido, mas não é um bom argumento, por-que a conclusão se limita a repetir a premissa.

Um argumento bom (ou forte) é um argumento válido per-suasivo (persuasivo, do ponto de vista racional).

Fica agora claro por que é que o argumento "Sócrates era grego; logo, Sócrates era grego", apesar de sólido, não é um bom argumento: a razão que apresentamos a favor da con-clusão não é mais plausível do que a conclusão e, por isso, o argumento não é persuasivo.

Talvez recorras a argumentos deste tipo, isto é, argumen-tos que não são bons (apesar de sólidos), mais vezes do que imaginas. Com certeza, já viveste situações semelhantes a esta:

— Pai, preciso de um aumento da "mesa-da". — Porquê? — Porque sim.

O que temos aqui? O seguinte argumento:

Preciso de um aumento da "mesada". Logo, preciso de um aumento da "mesa-da".

Afinal, querias justificar o aumento da "mesada" (conclu-são) e não conseguiste dar nenhuma razão plausível para esse aumento. Limitaste-te a dizer "Porque sim", ou seja, "Preciso de um aumento da 'mesada', porque preciso de um aumento da 'mesada'". Como vês, trata-se de um argumento muito mau, pois com um argumento deste tipo não conse-gues persuadir ninguém.

Mas não penses que só os argumentos em que a conclu-são repete a premissa é que são maus. Um argumento é mau (ou fraco) se as premissas não forem mais plausíveis do que a conclusão. É o que acontece com o seguinte argumen-to:

Se a vida não faz sentido, então Deus não existe. Mas Deus existe. Logo, a vida faz sentido.

Este argumento é válido, mas não é um bom argumento, porque as premissas não são menos discutíveis do que a conclusão.

Para que um argumento seja bom (ou forte), as premis-sas têm de ser mais plausíveis do que a conclusão, como acontece no seguinte exemplo:

Se não se aumentarem os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico, então os alunos conti-



nuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário.

Ora, não se aumentaram os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico.

Logo, os alunos continuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário.

Este argumento pode ser considerado bom (ou forte), porque, além de ser válido, tem premissas menos discutíveis do que a conclusão.

As noções de lógica que acabei de apresentar são ele-mentares, é certo, mas, se as dominares, ajudar-te-ão a fazer um melhor trabalho na disciplina de Filosofia e, porven-tura, noutras.

Proposições simples e compostas

As proposições simples ou atômicas são assim caracteri-zadas por apresentarem apenas uma idéia. São indicadas pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t...

As proposições compostas ou moleculares são assim ca-racterizadas por apresentarem mais de uma proposição conectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras maiúsculas: P, Q, R, S, T...

Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposições simples r, s e t.

Exemplo: Proposições simples: p: O número 24 é múltiplo de 3. q: Brasília é a capital do Brasil. r: 8 + 1 = 3 . 3 s: O número 7 é ímpar t: O número 17 é primo Proposições compostas P: O número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24. Q: A raiz quadrada de 16 é 4 e 24 é múltiplo de 3. R(s, t): O número 7 é ímpar e o número 17 é primo. Noções de Lógica Sérgio Biagi Gregório 1. CONCEITO DE LÓGICA Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a arte

de aplicá-los à pesquisa e à demonstração da verdade. Diz-se que a lógica é uma ciência porque constitui um

sistema de conhecimentos certos, baseados em princípios universais. Formulando as leis ideais do bem pensar, a lógica se apresenta como ciência normativa, uma vez que seu obje-to não é definir o que é, mas o que deve ser, isto é, as normas do pensamento correto.

A lógica é também uma arte porque, ao mesmo tempo

que define os princípios universais do pensamento, estabele-ce as regras práticas para o conhecimento da verdade (1).

2. EXTENSÃO E COMPREENSÃO DOS CONCEITOS Ao examinarmos um conceito, em termos lógicos, deve-

mos considerar a sua extensão e a sua compreensão. Vejamos, por exemplo, o conceito homem.

A extensão desse conceito refere-se a todo o conjunto de indivíduos aos quais se possa aplicar a designação ho-mem.

A compreensão do conceito homem refere-se ao conjun-

to de qualidades que um indivíduo deve possuir para ser designado pelo termo homem: animal, vertebrado, mamífero, bípede, racional.

Esta última qualidade é aquela que efetivamente distin-

gue o homem dentre os demais seres vivos (2). 3. JUÍZO E O RACIOCÍNIO Entende-se por juízo qualquer tipo de afirmação ou ne-

gação entre duas idéias ou dois conceitos. Ao afirmarmos, por exemplo, que “este livro é de filosofia”, acabamos de formular um juízo.

O enunciado verbal de um juízo é denomina-

do proposição ou premissa. Raciocínio - é o processo mental que consiste em coor-

denar dois ou mais juízos antecedentes, em busca de um juízo novo, denominado conclusão ou inferência.

Vejamos um exemplo típico de raciocínio:

1ª) premissa - o ser humano é racional; 2ª) premissa - você é um ser humano; conclusão - logo, você é racional.

O enunciado de um raciocínio através da linguagem fala-

da ou escrita é chamado de argumento. Argumentar signifi-ca, portanto, expressar verbalmente um raciocínio (2).

4. SILOGISMO Silogismo é o raciocínio composto de três proposições,

dispostas de tal maneira que a terceira, chamada conclusão, deriva logicamente das duas primeiras, chamadas premis-sas.

Todo silogismo regular contém, portanto, três proposi-

ções nas quais três termos são comparados, dois a dois. Exemplo: toda a virtude é louvável; ora, a caridade é uma virtude; logo, a caridade é louvável (1).

5. SOFISMA Sofisma é um raciocínio falso que se apresenta com apa-

rência de verdadeiro. Todo erro provém de um raciocínio ilegítimo, portanto, de um sofisma.

O erro pode derivar de duas espécies de causas:

das palavras que o exprimem ou das idéias que o constitu-em. No primeiro, os sofismas de palavras ou verbais; no segundo, os sofismas de idéias ou intelectuais.

Exemplo de sofisma verbal: usar mesma palavra com

duplo sentido; tomar a figura pela realidade. Exemplo de sofisma intelectual: tomar por essencial o

que é apenas acidental; tomar por causa um simples ante-cedente ou mera circunstância acidental (3).

LÓGICA Lógica - do grego logos significa “palavra”, “expressão”,

“pensamento”, “conceito”, “discurso”, “razão”. Para Aristóte-les, a lógica é a “ciência da demonstração”; Maritain a define como a “arte que nos faz proceder, com ordem, facilmente e



sem erro, no ato próprio da razão”; para Liard é “a ciência das formas do pensamento”. Poderíamos ainda acrescentar: “É a ciência das leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na procura e demonstração da verdade.

A filosofia, no correr dos séculos, sempre se preocupou

com o conhecimento, formulando a esse respeito várias questões: Qual a origem do conhecimento? Qual a sua es-sência? Quais os tipos de conhecimentos? Qual o critério da verdade? É possível o conhecimento? À lógica não interessa nenhuma dessas perguntas, mas apenas dar as regrasdo pensamento correto. A lógica é, portanto, uma disciplina propedêutica.

Aristóteles é considerado, com razão, o fundador da lógi-

ca. Foi ele, realmente, o primeiro a investigar, cientificamen-te, as leis do pensamento. Suas pesquisas lógicas foram reunidas, sob o nome de Organon, por Diógenes Laércio. As leis do pensamento formuladas por Aristóteles se caracteri-zam pelo rigor e pela exatidão. Por isso, foram adotadas pelos pensadores antigos e medievais e, ainda hoje, são admitidas por muitos filósofos.

O objetivo primacial da lógica é, portanto, o estudo da in-

teligência sob o ponto de vista de seu uso no conhecimento. É ela que fornece ao filósofo o instrumento e a técnica ne-cessária para a investigação segura da verdade. Mas, para atingir a verdade, precisamos partir de dados exatos e racio-cinar corretamente, a fim de que o espírito não caia em con-tradição consigo mesmo ou com os objetos, afirmando-os diferentes do que, na realidade, são. Daí as várias divisões da lógica.

Assim sendo, a extensão e compreensão do conceito, o

juízo e o raciocínio, o argumento, o silogismo e o sofisma são estudados dentro do tema lógica. O silogismo, que é um raciocínio composto de três proposições, dispostos de tal maneira que a terceira, chamada conclusão, deriva logica-mente das duas primeiras chamadas premissas, tem lugar de destaque. É que todos os argumentos começam com uma afirmação caminhando depois por etapas até chegar à con-

clusão. Sérgio Biagi Gregório PROPOSIÇÃO Denomina-se proposição a toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: A capital do Brasil é Brasília. 23 > 10 Existe um número ímpar menor que dois. João foi ao cinema ou ao teatro. Não são proposições: 1) frases interrogativas: “Qual é o seu nome?” 2) frases exclamativas: “Que linda é essa mulher!” 3) frases imperativas: “Estude mais.” 4) frases optativas: “Deus te acompanhe.” 5) frases sem verbo: “O caderno de Maria.” 6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do

valor (do nome) atribuído a variável): “x é maior que 2”; “x+y = 10”; “Z é a capital do Chile”.

PROPOSIÇÃO CATEGÓRICA Proposição categórica faz uma afirmação da qual não fi-

caremos com duvidas.

Por exemplo: “O produto será entregue hoje”. Temos certeza de que o produto será entregue hoje.

Mas, se a frase fosse: “Talvez o produto seja entregue hoje” ou “O produto poderá ser entregue hoje”, toda a certeza se esvai.

Essas não são proposições categóricas, e somos deixa-

dos na dúvida sobre quando o produto realmente será entre-gue.

Um argumento categórico (formado por proposições ca-tegóricas) é, então, o mais efetivo dos argumentos porque nos fornece certo conhecimento.

- PROPOSIÇÃO HIPOTÉTICA. A Hipótese (do gr. Hypóthesis) é uma proposição que se

admite de modo provisório como verdadeira e como ponto de partida a partir do qual se pode deduzir, pelas regras da lógica, um conjunto secundário de proposições, que têm por objetivo elucidar o mecanismo associado às evidências e dados experimentais a se explicar.

Literalmente pode ser compreendida como uma suposi-

ção ou proposição na forma de pergunta, uma conjetura que orienta uma investigação por antecipar características prová-veis do objeto investigado e que vale quer pela concordância com os fatos conhecidos quer pela confirmação através de deduções lógicas dessas características, quer pelo confronto com os resultados obtidos via novos caminhos de investiga-ção (novas hipóteses e novos experimentos). Não é possível provar ou refutar uma hipótese, mas confir-má-la ou invalidá-la: provar e confirmar são coisas diferentes embora divisadas por uma linha tênue. Entretanto, para as questões mais complexas, lembre-se, podem existir muitas explicações possíveis, uma ou duas experiências talvez não provem ou refutar uma hipótese.

- TAUTOLOGIA A origem do termo vem de do grego tautó, que significa "o

mesmo", mais logos, que significa "assunto".Portanto, tauto-logia é dizer sempre a mesma coisa em termos diferentes.

Em filosofia diz-se que um argumento é tautológico quan-

do se explica por ele próprio, às vezes redundante ou falaciosamente.

Por exemplo, dizer que "o mar é azul porque reflete a

cor do céu e o céu é azul por causa do mar" é uma afirma-tiva tautológica.

Um exemplo de dito popular tautológico é "tudo o que é demais sobra".

Ela é uma palavra usada na terminologia própria da Lógica e da Retórica.

Tautologia é uma proposição dada como explicação ou como prova, mas que, na realidade, apenas repete o que foi dito.

Exemplo clássico é o famoso 'subir para cima' ou

o 'descer para baixo' (dizem que devemos evitar uso das repetições desnecessárias).

ARGUMENTO

Um argumento pode ser definido como uma afirmação acompanhada de justificativa (argumento retórico) ou como uma justaposição de duas afirmações opostas, argumento e contra-argumento (argumento dialógico)1 .



Na lógica, um argumento é um conjunto de uma ou mais sentenças declarativas, também conhecidas como proposições, ou ainda, premissas, acompanhadas de uma outra frase declarativa conhecida comoconclusão.

Um argumento dedutivo afirma que a verdade de uma conclusão é uma consequência lógica daspremissas que a antecedem.

Um argumento indutivo afirma que a verdade da conclusão é apenas apoiada pelas premissas.

Toda premissa, assim como toda conclusão, pode ser apenas verdadeira ou falsa; nunca pode ser ambígua.

Em funçao disso, as frases que apresentam um argumento são referidas como sendo verdadeiras ou falsas, e em consequência, são válidas ou são inválidas.

Alguns autores referem-se à conclusão das premissas usando os termos declaração, frase, afirmação ou proposição.

A razão para a preocupação com a verdade é ontológica quanto ao significado dos termos (proposições) em particular. Seja qual termo for utilizado, toda premissa, bem como a conclusão, deve ser capaz de ser apenas verdadeira ou falsa e nada mais: elas devem ser truthbearers ("portadores de verdade", em português).

Argumentos formais e argumentos informais

Argumentos informais são estudados na lógica informal. São apresentados em linguagem comum e se destinam a ser o nosso discurso diário. Argumentos Formais são estudados na lógica formal (historicamente chamada lógica simbólica, mais comumente referida como lógica matemática) e são expressos em uma linguagem formal. Lógica informal pode chamar a atenção para o estudo da argumentação, que enfatiza implicação, lógica formal e de inferência.

Argumentos dedutivos

O argumento dedutivo é uma forma de raciocínio que geralmente parte de uma verdade universal e chega a uma verdade menos universal ou singular. Esta forma de raciocínio é válida quando suas premissas, sendo verdadeiras, fornecem provas evidentes para sua conclusão. Sua característica principal é a necessidade, uma vez que nós admitimos como verdadeira as premissas teremos que admitir a conclusão como verdadeira, pois a conclusão decorre necessariamente das premissas. Dessa forma, o argumento deve ser considerado válido. “Um raciocínio dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão, isto é, quando as premissas e a conclusão estão de tal modo relacionados que é absolutamente impossível as premissas serem verdadeiras se a conclusão tampouco for verdadeira” (COPI, 1978, p.35). Geralmente os argumentos dedutivos são estéreis, uma vez que eles não apresentam nenhum conhecimento novo. Como dissemos, a conclusão já está contida nas premissas. A conclusão nunca vai além das premissas. Mesmo que a ciência não faça tanto uso da dedução em suas descobertas, exceto a matemática, ela continua sendo o modelo de rigor dentro da lógica. Note que em todos os argumentos dedutivos a conclusão já está contida nas premissas.

1) Só há movimento no carro se houver combustível. O carro está em movimento. Logo, há combustível no carro. 2) Tudo que respira é um ser vivo. A planta respira. Logo, a planta é um ser vivo. 3) O som não se propaga no vácuo. Na lua tem vácuo. Logo, não há som na lua. 4) Só há fogo se houver oxigênio Na lua não há oxigênio. Logo, na lua não pode haver fogo. 5) P=Q Q=R Logo, P=R

Validade

Argumentos tanto podem ser válidos ou inválidos. Se um argumento é válido, e a sua premissa é verdadeira, a conclusão deve ser verdadeira: um argumento válido não pode ter premissa verdadeira e uma conclusão falsa.

A validade de um argumento depende, porém, da real veracidade ou falsidade das suas premissas e e de sua conclusões. No entanto, apenas o argumento possui uma forma lógica. A validade de um argumento não é uma garantia da verdade da sua conclusão. Um argumento válido pode ter premissas falsas e uma conclusão falsa.

A Lógica visa descobrir as formas válidas, ou seja, as formas que fazer argumentos válidos. Uma Forma de Argumento é válida se e somente se todos os seus argumentos são válidos. Uma vez que a validade de um argumento depende da sua forma, um argumento pode ser demonstrado como inválido, mostrando que a sua forma é inválida, e isso pode ser feito, dando um outro argumento da mesma forma que tenha premissas verdadeiras mas uma falsa conclusão. Na lógica informal este argumento é chamado de contador.

A forma de argumento pode ser demonstrada através da utilização de símbolos. Para cada forma de argumento, existe um forma de declaração correspondente, chamado de Correspondente Condicional. Uma forma de argumento é válida Se e somente se o seu correspondente condicional é uma verdade lógica. A declaração é uma forma lógica de verdade, se é verdade sob todas as interpretações. Uma forma de declaração pode ser mostrada como sendo uma lógica de verdade por um ou outro argumento, que mostra se tratar de uma tautologia por meio de uma prova.

O correspondente condicional de um argumento válido é necessariamente uma verdade (verdadeiro em todos os mundos possíveis) e, por isso, se poderia dizer que a conclusão decorre necessariamente das premissas, ou resulta de uma necessidade lógica. A conclusão de um argumento válido não precisa ser verdadeira, pois depende de saber se suas premissas são verdadeiras.Tal conclusão não precisa ser uma verdade: se fosse assim, seria independente das premissas. Exemplo: Todos os gregos são humanos e todos os seres humanos são mortais, portanto, todos os gregos são mortais. Argumento válido, pois se as premissas são verdadeiras a conclusão deve ser verdadeira.



Exemplos

Alguns gregos são lógicos e alguns lógicos são chatos, por isso, alguns gregos são chatos. Este argumento é inválido porque todos os chatos lógicos poderiam ser romanos!

Ou estamos todos condenados ou todos nós somos salvos, não somos todos salvos por isso estamos todos condenados. Argumento válido,pois as premissas implicam a conclusão. (Lembre-se que não significa que a conclusão tem de ser verdadeira, apenas se as premissas são verdadeiras e, talvez, eles não são, talvez algumas pessoas são salvas e algumas pessoas são condenadas, e talvez alguns nem salvos nem condenados!)

Argumentos podem ser invalidados por uma variedade de razões. Existem padrões bem estabelecidos de raciocínio que tornam argumentos que os seguem inválidos; esses padrões são conhecidos como falácias lógicas.

Solidez de um argumento

Um argumento sólido é um argumento válido com as premissas verdadeiras. Um argumento sólido pode ser válido e, tendo ambas as premissas verdadeiras, deve seguir uma conclusão verdadeira.

Argumentos indutivos

Lógica indutiva é o processo de raciocínio em que as premissas de um argumento se baseiam na conclusão, mas não implicam nela. Indução é uma forma de raciocínio que faz generalizações baseadas em casos individuais.

Indução matemática não deve ser incorretamente interpretada como uma forma de raciocínio indutivo, que é considerado não-rigoroso em matemática. Apesar do nome, a indução matemática é uma forma de raciocínio dedutivo e é totalmente rigorosa.

Nos argumentos indutivos as premissas dão alguma evidência para a conclusão. Um bom argumento indutivo terá uma conclusão altamente provável. Neste caso, é bem provável que a conclusão realizar-se-á ou será válida. Diz-se então que as premissas poderão ser falsas ou verdadeiras e as conclusões poderão ser válidas ou não válidas. Segundo John Stuart Mill, existem algumas regras que se aplicam aos argumentos indutivos, que são: O método da concordância, o método da diferença, e o método das variações concomitantes.

Argumentação convincente

Um argumento é convincente se e somente se a veracidade das premissas tornar verdade a provável conclusão (isto é, o argumento é forte), e as premissas do argumento são, de fato, verdadeiras. Exemplo:

Nada Saberei se nada tentar.

Falácias e não argumentos

Uma falácia é um argumento inválido que parece válido, ou um argumento válido com premissas "disfarçadas". Em primeiro Lugar, as conclusões devem ser declarações, capazes de serem verdadeiras ou falsas. Em segundo lugar

não é necessário afirmar que a conclusão resulta das premissas. As palavras, “por isso”, “porque”, “normalmente” e “consequentemente” separam as premissas a partir da conclusão de um argumento, mas isto não é necessariamente assim. Exemplo: “Sócrates é um homem e todos os homens são mortais, logo, Sócrates é mortal”. Isso é claramente um argumento, já que é evidente que a afirmação de que Sócrates é mortal decorre das declarações anteriores. No entanto: “eu estava com sede e, por isso, eu bebi” não é um argumento, apesar de sua aparência. Ele não está reivindicando que eu bebi por causa da sede, eu poderia ter bebido por algum outro motivo.

Argumentos elípticos

Muitas vezes um argumento não é válido, porque existe uma premissa que necessita de algo mais para torná-lo válido. Alguns escritores, muitas vezes, deixam de fora uma premissa estritamente necessária no seu conjunto de premissas se ela é amplamente aceita e o escritor não pretende indicar o óbvio. Exemplo: Ferro é um metal, por isso, ele irá expandir quando aquecido. (premissa descartada: todos os metais se expandem quando aquecidos). Por outro lado, um argumento aparentemente válido pode ser encontrado pela falta de uma premissa - um "pressuposto oculto" - o que se descartou pode mostrar uma falha no raciocínio. Exemplo: Uma testemunha fundamentada diz “Ninguém saiu pela porta da frente, exceto o pastor, por isso, o assassino deve ter saído pela porta dos fundos”. (hipótese que o pastor não era o assassino).

Retórica, dialética e diálogos argumentativos

Considerando que os argumentos são formais (como se encontram em um livro ou em um artigo de investigação), os diálogos argumentativos são dinâmicos. Servem como um registro publicado de justificação para uma afirmação. Argumentos podem também ser interativos tendo como interlocutor a relação simétrica. As premissas são discutidas, bem como a validade das inferências intermediárias.

A retórica é a técnica de convencer o interlocutor através da oratória, ou outros meios de comunicação. Classicamente, o discurso no qual se aplica a retórica é verbal, mas há também — e com muita relevância — o discurso escrito e o discurso visual.

Dialética significa controvérsia, ou seja, a troca de argumentos e contra-argumentos defendendo proposições. O resultado do exercício poderá não ser pura e simplesmente a refutação de um dos tópicos relevantes do ponto de vista, mas uma síntese ou combinação das afirmações opostas ou, pelo menos, uma transformação qualitativa na direção do diálogo.

Argumentos em várias disciplinas

As declarações são apresentadas como argumentos em todas as disciplinas e em todas as esferas da vida. A Lógica está preocupada com o que consititui um argumento e quais são as formas de argumentos válidos em todas as interpretações e, portanto, em todas as disciplinas. Não existem diferentes formas válidas de argumento, em disciplinas diferentes.

Argumentos matemáticos

A base de verdade matemática tem sido objeto de um longo debate. Frege procurou demonstrar, em particular, que as verdades aritméticas podem ser obtidas a partir de lógicas



puramente axiomáticas e, por conseguinte, são, no final, lógicas de verdades. Se um argumento pode ser expresso sob a forma de frases em Lógica Simbólica, então ele pode ser testado através da aplicação de provas. Este tem sido realizado usando Axioma de Peano. Seja como for, um argumento em Matemática, como em qualquer outra disciplina, pode ser considerado válido apenas no caso de poder ser demonstrado que é de uma forma tal que não possa ter verdadeiras premissas e uma falsa conclusão.

Argumentos políticos

Um argumento político é um exemplo de uma argumentação lógica aplicada a política. Argumentos Políticos são utilizados por acadêmicos, meios de comunicação social, candidatos a cargos políticos e funcionários públicos. Argumentos políticos também são utilizados por cidadãos comuns em interações de comentar e compreender sobre os acontecimentos políticos.

FORMA DE UM ARGUMENTO

Os argumentos lógicos, em geral, possuem uma certa forma (estrutura). Uma estrutura pode ser criada a partir da substituição de palavras diferentes ou sentenças, que geram uma substituição de letras (variáveis lógicas) ao logo das linhas da álgebra.

Um exemplo de um argumento:

(1) Todos os humanos são mentirosos. João é humano. Logo, João é mentiroso.

Podemos reescrever o argumento separando cada sentença em sua determinada linha:

(2) Todo humano é mentiroso.

(3) João é humano.

(4) Logo, João é mentiroso.

Substituimos os termos similares de (2-4) por letras, para mostrar a importância da noção de forma de argumento a seguir:

(5) Todo H é M.

(6) J é H.

(7) Logo, J é M.

O que fizemos em C foi substituir "humano" por "H", "João" por "J" e "mentiroso" por "M", como resultado dessas alterações temos que (5-7) é uma forma do argumento original (1), ou seja (5-7) é a forma de argumento de (1). Além disso, cada sentença individual de (5-7) é a forma de sentença de uma respectiva sentença em (1).

Vale enfatizar que quando dois ou mais argumentos têm a mesma forma, se um deles é válido, todos os outros também são, e se um deles é inválido, todos os outros também são.

A CONTRARIO

A contrario (ou a contrario sensu1 ) é uma locução latina que qualifica um processo de argumentação em que a

forma é idêntica a outro processo de argumentação, mas em que a hipótese e, por consequência, a conclusão são as inversas deste último.2 Tal como na locução "a pari", usava-se originalmente, em linguagem jurídica, para se referir a um argumento que, usado a respeito de uma dada espécie, poderia ser aplicado a outra espécie do mesmo género. Tornou-se posteriormente um tipo de raciocínio aplicável a outros campos do conhecimento em que a oposição existente numa hipótese se reencontra também como oposição nas consequências dessa hipótese.3

Muito utilizado em Direito, o argumento "a contrario" tem de ser fundamentado nas leis lógicas de oposição por contrários, para que não se caia num argumentofalacioso.4 Assim, se duas proposições contrárias não podem ser simultaneamente verdadeiras, podem ser simultaneamente falsas, já que podem admitir a particular intermédia. Por exemplo, à proposição verdadeira "todos os portugueses têm direito à segurança social" opõe-se a proposição falsa "nenhum português tem direito à segurança social"; contudo, o contrário da proposição falsa "todos os portugueses têm direito de voto" continua a ser falsa a proposição "nenhum português tem direito de voto", já que existe um meio termo verdadeiro: "alguns portugueses têm direito de voto". Da mesma forma, ao estar consignado na Constituição Portuguesa que "a lei estabelecerá garantias efectivas contra a obtenção e utilização abusivas, ou contrárias à dignidade humana, de informações relativas às pessoas e famílias", pode-se inferir que "A lei poderá não estabelecerá garantias efectivas contra a obtenção e utilização abusivas, ou contrárias à dignidade humana, de informações relativas às pessoas e famílias".

Inferência

Inferência, em Lógica, é o ato ou processo de derivar conclusões lógicas de premissas conhecidas ou decididamente verdadeiras. A conclusão também é chamada de idiomática.

Definição

O processo pelo qual uma conclusão é inferida a partir de múltiplas observações é chamado processo dedutivo ou indutivo, dependendo do contexto. A conclusão pode ser correta , incorreta, correta dentro de um certo grau de precisão, ou correta em certas situações. Conclusões inferidas a partir de observações múltiplas podem ser testadas por observações adicionais.

Exemplos de Inferência

Filósofos gregos definiram uma série de silogismos, corrigir três inferências de peças, que podem ser usados como blocos de construção para o raciocínio mais complexo. Começamos com o mais famoso de todos eles:

Todos os homens são mortais

Sócrates é um homem

Portanto, Sócrates é mortal.

Processo acima é chamado de dedutivo.

O leitor pode verificar que as premissas e a conclusão são verdadeiras, mas a lógica segue junto com inferência: a verdade da conclusão segue da verdade das premissas? A validade de uma inferência depende da forma da inferência. Isto é, a palavra "válido" não se refere à verdade das premissas ou a conclusão, mas sim a forma da inferência.



Uma inferência pode ser válida, mesmo se as partes são falsos, e pode ser nulo, mesmo se as peças são verdadeiras. Mas uma forma válida e com premissas verdadeiras sempre terá uma conclusão verdadeira.

considere o seguinte exemplo: Todos os frutos são doces. A banana é uma fruta. Portanto, a banana é doce.

Para a conclusão ser necessariamente verdadeira, as premissas precisam ser verdadeiras.

Agora nos voltamos para um forma inválida.

Todo A é B. C é um B. Portanto, C é um A.

Para mostrar que esta forma é inválida, buscamos demonstrar como ela pode levar a partir de premissas verdadeiras para uma conclusão falsa.

Todas as maçãs são frutas. (Correto) Bananas são frutas. (Correto) Portanto, as bananas são maçãs. (Errado)

Um argumento válido com premissas falsas podem levar a uma falsa conclusão:

Todas as pessoas gordas são gregas. John Lennon era gordo. Portanto, John Lennon era grego.

Quando um argumento válido é usado para derivar uma conclusão falsa de premissas falsas, a inferência é válida, pois segue a forma de uma inferência correta. Um argumento válido pode também ser usado para derivar uma conclusão verdadeira a partir de premissas falsas:

Todas as pessoas gordas são músicos John Lennon era gordo Portanto, John Lennon era um músico

Neste caso, temos duas falsas premissas que implicam uma conclusão verdadeira.

Inferência incorreta

Uma inferência incorreta é conhecida como uma falácia. Os filósofos que estudam lógica informal compilaram grandes listas deles, e os psicólogos cognitivos têm documentado muitas vieses de raciocínio humano que favorecem o raciocínio incorreto.

Inferência logica automática

Os sistemas de IA primeiro providenciaram "inferência logica automática". Uma vez que estes já foram temas de investigação extremamente popular, levaram a aplicações industriais sob a forma de sistemas especialistas e depois "business rule engines".

O trabalho de um sistema de inferência é a de estender uma base de conhecimento automaticamente. A base de conhecimento (KB) é um conjunto de proposições que representam o que o sistema sabe sobre o mundo. Várias técnicas podem ser utilizadas pelo sistema para estender KB por meio de inferências válidas.

RACIOCÍNIO

O Raciocínio (ou raciocinar) é uma operação lógica discursiva e mental. Neste, o intelecto

humano utiliza uma ou mais proposições, para concluir, através de mecanismos de comparações e abstrações, quais são os dados que levam às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. Das premissas chegamos a conclusões.

Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este considerado instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos.

Através da aplicação do raciocínio, as ciências como um todo evoluíram para uma crescente capacidade do intelecto em alavancar o conhecimento. Este é utilizado para isolar questões e desenvolver métodos e resoluções nas mais diversas questões relacionadas à existência e sobrevivência humana.

O raciocínio, um mecanismo da inteligência, gerou a convicção nos humanos de que a razão unida à imaginação constituem os instrumentos fundamentais para a compreensão do universo, cuja ordem interna, aliás, tem um caráter racional, portanto, segundo alguns, este processo é a base do racionalismo.

Logo, resumidamente, o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento.

Lógica De Predicados Gottlob Frege, em sua Conceitografia (Begriffsschrift),

descobriu uma maneira de reordenar várias sentenças para tornar sua forma lógica clara, com a intenção de mostrar como as sentenças se relacionam em certos aspectos. Antes de Frege, a lógica formal não obteve sucesso além do nível da lógica de sentenças: ela podia representar a estrutura de sentenças compostas de outras sentenças, usando palavras como "e", "ou" e "não", mas não podia quebrar sentenças em partes menores. Não era possível mostrar como "Vacas são animais" leva a concluir que "Partes de vacas são partes de animais".

A lógica sentencial explica como funcionam palavras

como "e", "mas", "ou", "não", "se-então", "se e somente se", e "nem-ou". Frege expandiu a lógica para incluir palavras como "todos", "alguns", e "nenhum". Ele mostrou como podemos introduzir variáveis e quantificadores para reorganizar sentenças.

• "Todos os humanos são mortais" se torna "Para todo x, se x é humano, então x é mortal.".

• "Alguns humanos são vegetarianos" se torna "Existe

algum (ao menos um) x tal que x é humano e x é vegetariano".

Frege trata sentenças simples sem substantivos como

predicados e aplica a eles to "dummy objects" (x). A estrutura lógica na discussão sobre objetos pode ser operada de acordo com as regras da lógica sentencial, com alguns detalhes adicionais para adicionar e remover quantificadores. O trabalho de Frege foi um dos que deu início à lógica formal contemporânea.

Frege adiciona à lógica sentencial:

• o vocabulário de quantificadores (o A de ponta-cabeça, e o E invertido) e variáveis;



• e uma semântica que explica que as variáveis denotam objetos individuais e que os quantificadores têm algo como a força de "todos" ou "alguns" em relação a esse objetos;

• métodos para usá-los numa linguagem. Para introduzir um quantificador "todos", você assume

uma variável arbitrária, prova algo que deva ser verdadeira, e então prova que não importa que variável você escolha, que aquilo deve ser sempre verdade. Um quantificador "todos" pode ser removido aplicando-se a sentença para um objeto em particular. Um quantificador "algum" (existe) pode ser adicionado a uma sentença verdadeira de qualquer objeto; pode ser removida em favor de um temo sobre o qual você ainda não esteja pressupondo qualquer informação.

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Lógica De Primeira Ordem

A linguagem da lógica proposicional não é adequada para representar relações entre objetos. Por exemplo, se fôsse-mos usar uma linguagem proposicional para representar "João é pai de Maria e José é pai de João" usaríamos duas letras sentenciais diferentes para expressar idéias semelhan-tes (por exemplo, P para simbolizar "João é pai de Maria "e Q para simbolizar "José é pai de João" ) e não estaríamos captando com esta representação o fato de que as duas frases falam sobre a mesma relação de parentesco entre João e Maria e entre José e João. Outro exemplo do limite do poder de expressão da linguagem proposicional, é sua inca-pacidade de representar instâncias de um propriedade geral. Por exemplo, se quiséssemos representar em linguagem proposicional "Qualquer objeto é igual a si mesmo " e "3 é igual a 3", usaríamos letras sentenciais distintas para repre-sentar cada uma das frases, sem captar que a segunda frase é uma instância particular da primeira. Da mesma forma, se por algum processo de dedução chegássemos à conclusão que um indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa propriedade, seria razoável querermos concluir que esta propriedade vale para qualquer indivíduo do universo. Po-rém, usando uma linguagem proposicional para expressar "um indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa pro-priedade " e "esta propriedade vale para qualquer indivíduo do universo" usaríamos dois símbolos proposicionais distin-tos e não teríamos como concluir o segundo do primeiro.

A linguagem de primeira ordem vai captar relações entre

indivíduos de um mesmo universo de discurso e a lógica de primeira ordem vai permitir concluir particularizações de uma propriedade geral dos indivíduos de um universo de discurso, assim como derivar generalizações a partir de fatos que valem para um indivíduo arbitrário do universo de discurso. Para ter tal poder de expressão, a linguagem de primeira ordem vai usar um arsenal de símbolos mais sofisticado do que o da linguagem proposicional.

Considere a sentença "Todo objeto é igual a si mesmo". Esta sentença fala de uma propriedade (a de ser igual a

si mesmo) que vale para todos os indivíduos de um universo de discurso, sem identificar os objetos deste universo.

Considere agora a sentença "Existem números naturais

que são pares". Esta sentença fala de um propriedade (a de ser par) que

vale para alguns (pelo menos um dos) indivíduos do universo dos números naturais, sem, no entanto, falar no número" 0" ou "2" ou "4",etc em particular.

Para expressar propriedades gerais (que valem para to-

dos os indivíduos) ou existenciais (que valem para alguns

indivíduos) de um universo são utilizados os quantificadores

∀ (universal) e ∃ (existencial), respectivamente. Estes quanti-ficadores virão sempre seguidos de um símbolo de variável, captando, desta forma, a idéia de estarem simbolizando as palavras "para qualquer" e "para algum".

Considere as sentenças:

"Sócrates é homem" "Todo aluno do departamento de Ciência da Computação

estuda lógica" A primeira frase fala de uma propriedade (ser homem) de

um indivíduo distinguido ("Sócrates") de um domínio de dis-curso. A segunda frase fala sobre objetos distiguidos "depar-tamento de Ciência da Computação" e "lógica". Tais objetos poderão ser representados usando os símbolos , soc para "Sócrates", cc para "departamento de Ciência da Computa-ção", lg para "lógica".Tais símbolos são chamados de símbo-los de constantes.

As propriedades "ser aluno de ", "estuda" relacionam ob-

jetos do universo de discurso considerado, isto é, "ser aluno de " relaciona os indivíduos de uma universidade com os seus departamentos, "estuda" relaciona os indivíduos de uma universidade com as matérias. Para representar tais relações serão usados símbolos de predicados (ou relações). Nos exemplos citados podemos usar Estuda e Aluno que são símbolos de relação binária. As relações unárias expres-sam propriedades dos indivíduos do universo (por exemplo "ser par","ser homem"). A relação "ser igual a" é tratata de forma especial, sendo representada pelo símbolo de igualda-

de ≈. Desta forma podemos simbolizar as sentenças conside-

radas nos exemplos da seguinte forma:

- "Todo mundo é igual a si mesmo " por ∀x x≈x; - "Existem números naturais que são pares" por

∃xPar(x); - "Sócrates é homem" por Homem(soc); - "Todo aluno do departamento de Ciência da Compu-

tação estuda lógica" por∀x(Aluno(x,cc) →Estuda (x,lg)).

Já vimos como representar objetos do domínio através de

constantes.Uma outra maneira de representá-los é atravez do uso de símbolos de função.

Por exemplo podemos representar os números naturais

"1", "2", "3", etc através do uso de símbolo de função, diga-mos, suc, que vai gerar nomes para os números naturais "1", "2", "3", etc. a partir da constante 0, e. g., "1" vai ser denota-do por suc(0), "3" vai ser denotado por suc(suc(suc(0))), etc. Seqüências de símbolos tais como suc(0) e suc(suc(suc(0))) são chamadas termos.

Assim, a frase "Todo número natural diferente de zero é

sucessor de um número natural" pode ser simbolizada por

∀x(¬x≈0 →∃ysuc(y)≈x). Fonte: UFRJ

Lógica De Vários Valores Sistemas que vão além dessas duas distinções

(verdadeiro e falso) são conhecidos como lógicas não-aristotélicas, ou lógica de vários valores (ou então lógicas polivaluadas, ou ainda polivalentes).

No início do século 20, Jan Łukasiewicz investigou a

extensão dos tradicionais valores verdadeiro/falso para incluir um terceiro valor, "possível".

Lógicas como a lógica difusa foram então desenvolvidas



com um número infinito de "graus de verdade", representados, por exemplo, por um número real entre 0 e 1. Probabilidade bayesiana pode ser interpretada como um sistema de lógica onde probabilidade é o valor verdade subjetivo.

O principal objetivo será a investigação da validade de

ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTI-VOS.

ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas pre-

missas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira. Premissa : "Todo homem é mortal." Premissa : "João é homem." Conclusão : "João é mortal."

ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não

basta para assegurar a verdade da conclusão. Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." Premissa : "Está chovendo." Conclusão: "Ficará nublado."

As premissas e a conclusão de um argumento, formula-

das em uma linguagem estruturada, permitem que o argu-mento possa ter uma análise lógica apropriada para a verifi-cação de sua validade. Tais técnicas de análise serão trata-das no decorrer deste roteiro.

OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PRO-

POSICIONAL • VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minús-

culas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) .

Exemplos: A lua é quadrada: p A neve é branca : q

• CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas po-dem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos:

∧∧∧∧: e , ∨∨∨∨: ou , →→→→ : se...então , ↔↔↔↔ : se e somente se , ∼∼∼∼: não Exemplos:

• A lua é quadrada e a neve é branca. : p ∧∧∧∧ q (p e q são cha-

mados conjuntos)

• A lua é quadrada ou a neve é branca. : p ∨∨∨∨ q ( p e q são

chamados disjuntos)

• Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p →→→→ q (p é o

antecedente e q o conseqüente)

• A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : p ↔↔↔↔ q

• A lua não é quadrada. : ∼∼∼∼p

• SÍMBOLOS AUXILIARES: ( ), parênteses que servem

para denotar o "alcance" dos conectivos; Exemplos: • Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua

não é quadrada.: ((p ∧∧∧∧ q) →→→→ ∼∼∼∼ p)

• A lua não é quadrada se e somente se a neve é

branca.: ((∼∼∼∼ p) ↔↔↔↔q))

• DEFINIÇÃO DE FÓRMULA : 1. Toda fórmula atômica é uma fórmula.

2. Se A e B são fórmulas então (A ∨∨∨∨ B), (A ∧∧∧∧ B), (A →→→→ B),

(A ↔↔↔↔ B) e (∼∼∼∼ A) também são fórmulas.

3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. .

Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela

direita.

Exemplo: a fórmula p ∨∨∨∨ q ∧∧∧∧ ∼∼∼∼ r →→→→ p →→→→ ∼∼∼∼ q deve ser entendida

como (((p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ (∼∼∼∼ r)) →→→→ ( p →→→→ (∼∼∼∼ q)))

Paradoxo O frasco com auto-fluxo de Robert Boyle preenche a si

próprio neste diagrama, mas máquinas de moto contínuo não existem.

Um paradoxo é uma declaração aparentemente

verdadeira que leva a uma contradição lógica, ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Em termos simples, um paradoxo é "o oposto do que alguém pensa ser a verdade". A identificação de um paradoxo baseado em conceitos aparentemente simples e racionais tem, por vezes, auxiliado significativamente o progresso da ciência, filosofia e matemática.

A etimologia da palavra paradoxo pode ser traçada a

textos que remontam à aurora da Renascença, um período de acelerado pensamento científico na Europa e Ásia que começou por volta do ano de 1500. As primeiras formas da palavra tiveram por base a palavra latina paradoxum, mas também são encontradas em textos em grego como paradoxon (entretanto, o Latim é fortemente derivado do alfabeto grego e, além do mais, o Português é também derivado do Latim romano, com a adição das letras "J" e "U"). A palavra é composta do prefixo para-, que quer dizer "contrário a", "alterado" ou "oposto de", conjungada com o sufixo nominal doxa, que quer dizer "opinião". Compare com ortodoxia e heterodoxo.

Na filosofia moral, o paradoxo tem um papel central nos

debates sobre ética. Por exemplo, a admoestação ética para "amar o seu próximo" não apenas contrasta, mas está em contradição com um "próximo" armado tentando ativamente matar você: se ele é bem sucedido, você não será capaz de amá-lo. Mas atacá-lo preemptivamente ou restringi-lo não é usualmente entendido como algo amoroso. Isso pode ser considerado um dilema ético. Outro exemplo é o conflito entre a injunção contra roubar e o cuidado para com a família que depende do roubo para sobreviver.

Deve ser notado que muitos paradoxos dependem de

uma suposição essencial: que a linguagem (falada, visual ou matemática) modela de forma acurada a realidade que descreve. Em física quântica, muitos comportamentos paradoxais podem ser observados (o princípio da incerteza de Heisenberg, por exemplo) e alguns já foram atribuídos ocasionalmente às limitações inerentes da linguagem e dos modelos científicos. Alfred Korzybski, que fundou o estudo da Semântica Geral, resume o conceito simplesmente declarando que, "O mapa não é o território". Um exemplo comum das limitações da linguagem são algumas formas do verbo "ser". "Ser" não é definido claramente (a área de estudos filosóficos chamada ontologia ainda não produziu um significado concreto) e assim se uma declaração incluir "ser" com um elemento essencial, ela pode estar sujeita a paradoxos.

Tipos de paradoxos Temas comuns em paradoxos incluem auto-referências

diretas e indiretas, infinitudes, definições circulares e confusão nos níveis de raciocínio.

W. V. Quine (1962) distingüe três classes de paradoxos: Os paradoxos verídicos produzem um resultado que

parece absurdo embora seja demonstravelmente verdadeiro. Assim, o paradoxo do aniversário de Frederic na opereta The Pirates of Penzance estabelece o fato surpreendente de que uma pessoa pode ter mais do que N anos em seu N-ésimo



aniversário. Da mesma forma, o teorema da impossibilidade de Arrow envolve o comportamento de sistemas de votação que é surpreendente mas, ainda assim, verdadeiro.

Os paradoxos falsídicos estabelecem um resultado que não somente parece falso como também o é demonstravelmente – há uma falácia da demonstração pretendida. As várias provas inválidas (e.g., que 1 = 2) são exemplos clássicos, geralmente dependendo de uma divisão por zero despercebida. Outro exemplo é o paradoxo do cavalo.

Um paradoxo que não pertence a nenhuma das classes acima pode ser uma antinomia, uma declaração que chega a um resultado auto-contraditório aplicando apropriadamente meios aceitáveis de raciocínio. Por exemplo, o paradoxo de Grelling-Nelson aponta problemas genuínos na nossa compreensão das idéias de verdade e descrição.

Proposição Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem

toda frase é uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos:

1. Frases que não são proposições o Pare! o Quer uma xícara de café? o Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 2. Frases que são proposições o A lua é o único satélite do planeta terra (V) o A cidade de Salvador é a capital do estado do Ama-

zonas (F) o O numero 712 é ímpar (F) o Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) Composição de Proposições É possível construir proposições a partir de proposições

já existentes. Este processo é conhecido por Composição de Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições,

1. A = "Maria tem 23 anos" 2. B = "Maria é menor" Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa

é considerada de menor idade caso tenha menos que 18 anos, o que faz com que a proposição B seja F, na interpre-tação da proposição A ser V. Vamos a alguns exemplos: 1. "Maria não tem 23 anos" (nãoA) 2. "Maria não é menor"(não(B)) 3. "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B) 4. "Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B) 5. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) 6. "Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B) 7. "Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B)) 8. "Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B)) 9. Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B) 10. Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) => B) 11. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) 12. "Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor" (C <=> não(B))

Note que, para compor proposições usou-se os símbolos

não (negação), e (conjunção), ou (disjunção), => (impli-cação) e, finalmente, <=> (equivalência). São os chamados conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo

para representar uma proposição: C representa a proposição Maria tem 18 anos. Assim, não(B) representa Maria não é menor, uma vez que B representa Maria é menor.

Algumas Leis Fundamentais

Lei do Meio Excluido Um proposição é falsa (F) ou verdadeira (V): não há meio termo.

Lei da Contradição Uma proposição não pode ser, simultaneamente, V e F.

Lei da Funcionalidade

O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unica-mente determinada pelos valo-res lógicos de suas proposições constituintes.

PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos

que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes.

Exemplo: a) a lua é um satélite da Terra; b) O sol é amarelo; c) Brasília é a capital do Brasil. Princípios Adotados como Regras Fundamentais do

Pensamento, na Lógica Matemática • Princípio da não contradição - uma proposição não

pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. • Princípio do terceiro excluído - toda proposição ou

é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

Valores Lógicos das Proposições Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a

proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa.

Valor Lógico Símbolo de Designação

Verdade V

Falsidade F

Toda proposição tem um e um só dos valores V, F (de

acordo os dois princípios supracitados). Exemplo: a) o mercúrio é mais pesado que a água; valor lógico da

proposição: verdade (V) b) o sol gira em torno da Terra; valor lógico da proposi-

ção: falsidade (F) TIPOS DE PROPOSIÇÃO Simples ou Atômicas - é a proposição que não contém

nenhuma outra proposição como parte integrante de si mes-ma. As proposições simples são geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r, s ..., chamadas letras proposicio-nais.

Observação: Pode ser usada qualquer letra do alfabeto

minúsculo para representar uma proposição simples. Exemplo: p: Oscar é prudente; q: Mário é engenheiro; r: Maria é morena. Composta ou Molecular - é a proposição formada pela

combinação de duas ou mais proposições. São habitualmen-



te designadas por letras maiúsculas P, Q, R, S ..., também denominadas letras proposicionais.

Exemplo: p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante; q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador; r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado. Observação: As proposições compostas são também

denominadas fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Quando interessa destacar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposições simples, escre-ve-se: P ( p, q, r ...);

Conectivos - são palavras que se usam para formar no-

vas proposições a partir de outras. Exemplo: P: 6 é par E 8 é cubo perfeito; Q: NÃO vai chover; R: SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia; S: o triângulo ABC é isósceles OU equilátero; T: o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é

equilátero. São conectivos usuais em lógica Matemática as palavras

que estão grifadas, isto é "e", "ou", "não", "se ... então", "... se e somente se ..."

VERDADES E MENTIRAS Este item trata de questões em que algumas personagens mentem e outras falam a verdade. Trata-se de descobrir qual é o fato correto a partir das afirmações que forem feitas por eles, evidentemente, sem conhecer quem fala verdade ou quem fala mentira. Também não há uma teoria a respeito. A aprendizagem das soluções de questões desse tipo depende apenas de treina-mento. Um dos métodos para resolver questões desse tipo consiste em considerar uma das afirmações verdadeira e, em segui-da, verificar se as demais são ou não consistentes com ela. Isto significa verificar se há ou não contradição nas demais afirmações. Exemplo 1 - (Fiscal Trabalho 98 ESAF) - Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Per-guntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso Vamos considerar que Armando foi quem mentiu. Neste caso ele é o culpado. Isto contradiz às palavras de Celso, pois se Armando mente, Celso teria dito uma verdade. Teríamos então dois culpados: Armando e Tarso. Portanto, Armando não mente. Passemos agora a considerar Celso o mentiroso. Isto é consistente. Pois, como já foi dito, Armando diz a ver-dade . Edu é inocente (Celso mente). Edu diz a verdade. Juarez também disse uma verdade. Tarso também foi verda-deiro. Portanto, o culpado é Tarso. Resposta: letra (e) Exemplo 2 - (CVM 2000 ESAF) - Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanha-

dos por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, ao serem interpelados: – “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. – “Foi a Mara”, disse Manuel. – “O Mário está mentindo”, disse Mara. – “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas men-tiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria Façamos como no item anterior. Hipótese 1: Marcos é o mentiroso. Se Marcos é o mentiro-so, então um dos dois entrou sem pagar. Mas como Manuel deve dizer a verdade (só um mente), Mara entrou sem pagar. Assim, seriam dois a entrar sem pagar Mara e Marcos ou Mara e Manuel. Conclusão Marcos fala a verdade. Hipótese 2: Mário é o mentiroso. Nesse caso, nem Maria e nem Manuel teria entrado sem pagar. Pois quando se usa o ou, será verdade desde que um deles seja verdadeiro. Estão eliminados Marcos, Manuel e Maria, de acordo com a verda-de de Marcos. Seria então Mara pois Manuel não seria men-tiroso. Mara teria dito a verdade pois, de acordo com a hipó-tese somente Mário é o mentiroso. Como Maria também não seria a mentirosa, nem Mara nem Marcos teria entrado sem pagar. Portanto: Marcos, Manuel, Mario e Maria são os que paga-ram a entrada e Mara a que não pagou. Mas e se houver outra possibilidade? Devemos então tentar outras hipóteses. Hipótese 3: Manuel é o mentiroso. Como Marcos fala a verdade, não foi ele (Marcos) e nem o Manuel. Como Mário também fala a verdade, um dos dois Manuel ou Maria entrou sem pagar. Mas Marcos pagou. Então Maria entrou sem pagar. Maria também diz a verdade, Não teria pago a entra-da, Marcos ou Mara. Mas, outra vez, Marcos pagou. Então Mara não pagou a entrada. Temos duas pessoas que entraram sem pagar: Maria e Ma-ra. Isto é falso, pois somente uma pessoa não pagou a en-trada. Hipótese 4: Mara é a mentirosa. Não foi Marcos e nem Manuel, segundo a afirmação de Marcos que é verdadeiro. Como não pode ter sido o Manuel, pela fala de Mário, teria sido Maria. Mas segundo Manuel, teria sido Mara. Novamen-te dois mentirosos. Hipótese que não pode ser aceita pois teriam duas pessoas entrado sem pagar. Hipótese 5: Maria é a mentirosa. Se Maria é mentirosa, Mário não poderia estar mentido. Então Mara estaria falando mentira. Seriam então, pelo menos, duas mentirosas. Maria e Mara. A única hipótese que satisfaz as condições do problema é a de número dois, da qual se conclui que Mara é a pessoa que não pagou a entrada. Assim, a resposta é: letra (c). Exemplo 3 - (Fiscal Trabalho 98) Três amigos – Luís, Mar-cos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a) Sandra, Teresa, Regina. b) Sandra, Regina, Teresa. c) Regina, Sandra, Teresa. d) Teresa, Regina, Sandra. e) Teresa, Sandra, Regina.



Solução: Temos dois fatos a considerar: 1 – O marido de Teresa disse a verdade. 2 – O marido de Sandra mentiu. Todos os três fazem afirmações sobre a esposa de Marcos. Ora, somente um estará dizendo a verdade. Temos então: 1ª hipótese: Nestor fala a verdade. A esposa de Marcos é Teresa. Mas como o único a falar a verdade é Nestor, sua esposa deveria ser Tereza. Portanto, Nestor não fala a verdade.

2ª hipótese: Luís fala a verdade. A esposa dele seria a Teresa, pois o marido de Teresa fala a verdade. Marcos estando mentindo, a esposa de Marcos, não é Sandra e nem Teresa. É Regina. O que confirma a veracidade da afirmação de Luís. A esposa de Nestor será então Sandra. A esposa de Luís é Teresa. A esposa de Marcos é Regina. A esposa de Nestor é Sandra. Isto permite afirmar que a opção (d) está correta.

Mas, vejamos se existe outra possibilidade, tentando a tercei-ra hipótese. 3ª hipótese: Marcos fala a verdade. Isto é impossível, pois, se ele estivesse falando a verdade, sua esposa seria Teresa e não Sandra. A única hipótese possível é a segunda. O que confirma a resposta. Letra (d). Exemplo 4 - (MPU 2004/ESAF) Uma empresa produz an-dróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a ver-dade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para deter-minar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declara-ções: Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. Solução: Vejamos as informações: (1) Os andróides do tipo M sempre mentem. (2) Os andróides do tipo V sempre falam a verdade. Sendo feita a pergunta, “você mente”, a resposta só poderia ser uma: NÃO. Pois, o mentiroso iria negar dizendo NÃO e o verdadeiro também iria negar dizendo NÃO. Como a resposta tinha que ser NÃO e Beta disse que alfa respondeu SIM, Beta está mentindo. Como Gama disse Beta está mentindo, então Gama disse a verdade. Como Delta disse que Gama está mentindo, Delta é um mentiroso. Restam agora Alfa e Épsilon. Épsilon disse que Alfa é do tipo M. Isto é Alfa é mentiroso. Das duas uma: (1) se Épsilon fala a verdade, ele é do tipo V e Alfa é do tipo M; (2) se Épsilon é do tipo M ele mente. En-tão Alfa é do tipo V. Assim, um dos dois é do tipo V. Portanto, além do andróide Gama tem mais um andróide do tipo V. São então, dois andróides do tipo V. Resposta: letra (b) Aula 8 - internet

CONTINGÊNCIA

Em filosofia e lógica, contingência é o status de proposições que não são necessariamente verdadeiras nem necessariamente falsas. Há quatro classes de proposições, algumas das quais se sobrepõem:

proposições necessariamente verdadeiras ou Tautologias, que devem ser verdadeiras, não importa quais são ou poderiam ser as circunstâncias (exemplos: 2 + 2 = 4; Nenhum solteiro é casado).Geralmente o que se entende por "proposição necessária" é a proposição necessariamente verdadeira.

proposições necessariamente falsas ou Contradições, que devem ser falsas, não importa quais são ou poderiam ser as circunstâncias (exemplos: 2 + 2 = 5; Ana é mais alta e é mais baixa que Beto).

proposições contingentes, que não são necessariamente verdadeiras nem necessariamente falsas (exemplos: Há apenas três planetas; Há mais que três planetas).

proposições possíveis, que são verdadeiras ou poderiam ter sido verdadeiras sob certas circunstâncias (exemplos: 2 + 2 = 4; Há apenas três planetas; Há mais que três planetas).

Todas as proposições necessariamente verdadeiras e todas as proposições contingentes também são proposições possíveis.

LÓGICA MODAL

Lógica modal se refere a qualquer sistema de lógica formal que procure lidar com modalidades (tratar de modos quanto a tempo, possibilidade, probabilidade, etc.). Tradicionalmente, as modalidades mais comuns são possibilidade e necessidade. Lógicas para lidar com outros termos relacionados, como probabilidade,eventualidade, padronização, poder, poderia, deve, são por extensão também chamadas de lógicas modais, já que elas podem ser tratadas de maneira similar.

Uma lógica modal formal representa modalidades usando operadores modais. Por exemplo, "Era possível o assassinato de Arnaldo" e "Arnaldo foi possivelmente assassinado" são exemplos que contêm a noção de possibilidade. Formalmente, essa noção é tratada como o operador modal Possível, aplicado à sentença "Arnaldo foi assassinado".

Normalmente os operadores modais básicos unários são

escritos como (ou L) para Necessário e (ou M) para Possível. Nas lógicas modais clássicas, cada um pode ser expresso em função do outro e da negação:

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

SENTENÇAS ABERTAS

Sentenças Abertas



No capítulo um, comentamos sobre as sentenças aber-tas, que são sentenças do tipo:

a) x + 3 = 10 b) x > 5 c) (x+1)2 – 5 = x2 d) x – y = 20 e) Em 2004 foram registradas 800+z acidentes de

trânsito em São Paulo. f) Ele é o juiz do TRT da 5ª Região.

Tais sentenças não são consideradas proposições por-que seu valor lógico (V ou F) depende do valor atribuído à variável (x, y, z,...). O pronome ele que aparece na última sentença acima, funciona como uma variável, a qual se pode atribuir nomes de pessoas.

Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições:

1ª) atribuir valor às variáveis;

2ª) utilizar quantificadores.

A primeira maneira foi mostrada no capítulo um, mas ve-jamos outros exemplos:

Ao atribuir a x o valor 5 na sentença aberta x + 3 = 10, esta transforma-se na proposição 5 + 3 = 10, cujo valor lógi-co é F.

Ao atribuir a x o valor 2 na sentença aberta (x+1)2 – 5 = x2, esta transforma-se na proposição (2+1)2 – 5 = 22, que resulta em 4 = 4, tendo, portanto, valor lógico V.

A seguir, veremos a transformação de uma sentença aberta numa proposição por meio de quantificadores.

Quantificadores

Consideremos as afirmações:

a) Todo sangue é vermelho. b) Cada um dos alunos participará da excursão. c) Algum animal é selvagem. d) Pelo menos um professor não é rico. e) Existe uma pessoa que é poliglota. f) Nenhum crime é perfeito.

Expressões como “todo”, “cada um”, "algum", "pelo me-nos um", “existe”, “nenhum” são quantificadores.

Há fundamentalmente dois tipos de quantificadores: Uni-versal e Existencial.

São quantificadores:

outro(s) pouco(s) quantos

tanto(s) qualquer / quaisquer

certo(s) todo(s) ambos

algum / alguns

vário(s) / vária(s)

Na lógica de predicados, a quantificação universal é uma formalização da noção de que algumas coisas são ver-dadeiras para todas as coisas, ou para todas as coisas rele-vantes. O resultado é uma afirmação universalmente quanti-ficada. Em símbolos lógicos, o quantificador universal (usu-

almente ∀) é o símbolo usado para denotar o universo de quantificação, informalmente lido como "para todo".

Na lógica de predicados, um quantificador existencial é a predicação de uma propriedade ou relação para, pelo me-nos, umel emento do domínio.

QUESTÕES RACIOCÍNIO LÓGICO 1) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) De seu salário de R$ 408,00 você gastou 2/6 com alimentação, 1/6 com a farmácia e 1/6 com material escolar dos filhos. Nesse mês sobraram __________ para as demais despesas. a) R$ 166,00 b) R$ 146,00 c) R$ 156,00 d) R$ 136,00 2) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; C) o mordomo não é inocente. Logo: a) o cozinheiro e o mordomo são os culpados b) somente o cozinheiro é inocente c) somente a governanta é culpada d) somente o mordomo é culpado 3) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Um professor de lógica encontra-se em viajem em um país distante, habitado pelos verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é. Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes respostas: Alfa: "Beta é mentimano" Beta: "Gama é mentimano" Gama: "Delta é verdamano" Delta: "Épsilon é verdamano" Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica con-clui corretamente que o verdamano é: a) Delta b) Alfa c) Gama d) Beta 4) Três amigos têm o hábito de almoçar em um certo restau-rante no período de segunda à sexta-feira e, em cada um destes dias, pelo menos um deles almoça nesse local. Con-sultados sobre tal hábito, eles fizeram as seguintes afirma-ções: - Antônio: "Não é verdade que vou às terças, quartas ou quintas-feiras." - Bento: "Não é verdade que vou às quartas ou sextas-feiras." - Carlos: "Não é verdade que vou às segundas ou terças-feiras." Se somente um deles está mentindo, então o dia da semana em que os três costumam almoçar nesse restaurante é: a) sexta-feira. b) quinta-feira. c) quarta-feira. d) terça-feira.



5) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Há cinco objetos alinhados numa estante: um violino, um grampeador, um vaso, um relógio e um tinteiro. Conhecemos as seguintes informações quanto à ordem dos objetos: - O grampeador está entre o tinteiro e o relógio. - O violino não é o primeiro objeto e o relógio não é o último. - O vaso está separado do relógio por dois outros objetos. Qual é a posição do violino? a) Segunda posição. b) Terceira posição. c) Quarta posição. d) Quinta posição. 6) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. 7) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Considere ver-dadeira a declaração: “Se x é par, então y é ímpar”. Com base na declaração, é correto concluir que, se: a) x é ímpar, então y é par. b) x é ímpar, então y é ímpar. c) y é ímpar, então x é par. d) y é par, então x é ímpar. 8) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmen-tos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pon-tos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu pe-rímetro será igual a: a) 40 cm b) 35 cm c) 23 cm d) 42 cm 9) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Para cada pes-soa x, sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. A esse respei-to, assinale a afirmativa FALSA. a) f[f(x)] = avô paterno de x b) g[g(x)] = avó materna de x c) f[g(x)] = avô materno de x d) f[g(x)] = g[f(x)] 10) Numa avenida reta há cinco pontos comerciais, todos do mesmo lado da rua. A farmácia fica entre a padaria e o res-taurante, a padaria fica entre o supermercado e a lotérica e o supermercado fica entre o restaurante e a farmácia. Nessas condições, qual das proposições abaixo é verdadeira? a) O supermercado fica entre a padaria e a lotérica. b) A lotérica fica entre a padaria e o supermercado. c) Para ir do supermercado à lotérica, passa-se em frente ao restaurante. d) A farmácia fica entre o supermercado e a padaria. 11) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dê-nis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo: a) Caio e Beto são inocentes b) André e Caio são inocentes c) André e Beto são inocentes d) Caio e Dênis são culpados 12) Qual das alternativas a seguir melhor representa a afir-mação: “Para todo fato é necessário um ato gerador”? a) É possível que algum fato não tenha ato gerador. b) Não é possível que algum fato não tenha ato gerador. c) É necessário que algum fato não tenha ato gerador.

d) Não é necessário que todo fato tenha um ato gerador. 13) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Marcos que pesar três maçãs numa balança de dois pratos, mas ele dispões apenas de um bloco de 200 gramas. Observando o equilíbrio na balança, ele percebe que a maçã maior tem o mesmo peso que as outras duas maçãs; o bloco e a maçã menor pesam tanto quanto as outras duas maçãs; a maçã maior junto com a menor pesam tanto quanto o bloco. Qual é o peso total das três maçãs? a) 300 gramas. b) 150 gramas. c) 100 gramas. d) 50 gramas. 14) Se João toca piano, então Lucas acorda cedo e Cristina não consegue estudar. Mas Cristina consegue estudar. Se-gue-se logicamente que: a) Lucas acorda cedo. b) Lucas não acorda cedo. c) João toca piano. d) João não toca piano. 15) Alice entra em uma sala onde há apenas duas saídas, uma que fica a Leste e outra a Oeste. Uma das saídas leva ao Paraíso, a outra ao Inferno. Na sala, também há dois homens, um alto e outro baixo. Um dos homens apenas fala a verdade, o outro apenas diz o falso. Então, Alice mantém o seguinte diálogo com um deles: - O homem baixo diria que é a saída do Leste que leva ao Paraíso? - questiona Alice. - Sim, o homem baixo diria que é a saída do Leste que leva-ria ao Paraíso - diz o homem alto. Considerando essa situação, pode-se afirmar que: a) o homem alto necessariamente disse algo falso, mas a porta Leste leva ao Paraíso. b) o homem alto necessariamente disse a verdade e a porta Leste leva ao Inferno. c) a porta Leste necessariamente leva ao Paraíso, mas não se pode dizer se o homem alto disse a verdade ou não. d) a porta Leste necessariamente leva ao Inferno, mas não se pode dizer se o homem alto disse a verdade ou não. 16) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) As irmãs Ilda, Ilma, Isabela e Isadora iriam ser fotografadas juntas por Flá-vio. O fotógrafo pediu para que elas se posicionassem lado a lado da seguinte maneira: - do ponto de vista do fotógrafo, Ilda deveria estar mais à direita do que Isabela; - Isadora não deveria ficar entre duas irmãs; - Ilda não deveria ficar imediatamente ao lado de Isabela, isto é, pelo menos uma irmã deveria estar entre Ilda e Isabela; - Isabela não deveria ficar imediatamente ao lado de Isadora, isto é, pelo menos uma irmã deveria estar entre Isabela e Isadora. As irmãs se posicionaram conforme as orientações de Flávio, a fotografia foi batida e revelada com sucesso. Assim, na foto, é possível ver que: a) Isabela está entre duas irmãs. b) Ilda não está entre duas irmãs. c) Ilma não está entre duas irmãs. d) Ilma está imediatamente ao lado de Ilda. 17) Se 0,036³ , 0 m de óleo tem a massa de 28,8 Kg, pode-mos concluir que 1 litro desse mesmo óleo tem a massa no valor de: a) 4,0 Kg b) 9,0 Kg c) 8,0 Kg d) 1,1 Kg 18) A negação de "Se A é par e B é ímpar, então A + B é ímpar" é:



a) Se A é ímpar e B é par, então A + B é par. b) Se A é par e B é ímpar, então A + B é par. c) Se A + B é par, então A é ímpar ou B é par. d) A é par, B é ímpar e A + B é par. 19) Hoje, a diferença entre as idades de Roberto Carlos e Carlos Roberto é de 15 anos. Qual será a diferença entre as idades quando Roberto Carlos tiver o dobro da idade de Carlos Roberto? a) 15 anos; b) 30 anos; c) 45 anos; d) 20 anos; 20) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Bea-triz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são, respecti-vamente: a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela. b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela. c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela. d) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela. 21) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista 22) A negação lógica da proposição "O pai de Marcos é per-nambucano, e a mãe de Marcos é gaúcha" é: a) "O pai de Marcos não é pernambucano, e a mãe de Mar-cos não é gaúcha". b) "O pai de Marcos não é pernambucano, ou a mãe de Mar-cos não é gaúcha". c) "O pai de Marcos não é pernambucano, ou a mãe de Mar-cos é gaúcha". d) "O pai de Marcos é pernambucano, e a mãe de Marcos não é gaúcha". 23) Em um orçamento foram acrescidos juros no valor de R$ 73,80 a fim de que o mesmo pudesse ser financiado em 5 prestações de R$ 278,50. O valor real (inicial) do serviço é de: a) R$ 1.318,70 b) R$ 1.329,70 c) R$ 976,70 d) R$ 1.087,70 24) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) De uma chapa que mede 2 m por 1,5 m o serralheiro separou 2/6 dela para cortar quadrados que medem 0,25 m de lado. Com esse pedaço de chapa ele cortou exatamente: a) 12 quadrados b) 10 quadrados c) 20 quadrados d) 16 quadrados 25) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Esta sequência de palavras segue uma lógica: - Pá - Xale

- Japeri Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à sequên-cia poderia ser: a) Casa. b) Anseio. c) Urubu. d) Café. 26) A negação da sentença “Todas as mulheres são elegan-tes” está na alternativa: a) Nenhuma mulher é elegante. b) Todas as mulheres são deselegantes. c) Algumas mulheres são deselegantes. d) Nenhuma mulher é deselegante. 27) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a: a) 80 b) 72 c) 90 d) 18 28) MMMNVVNM está para 936 assim como MMNNVMNV está para: a) 369 b) 693 c) 963 d) 639 29) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Uma colher de sopa corresponde a três colheres de chá. Uma pessoa que está doente tem que tomar três colheres de sopa de um remédio por dia. No final de uma semana, a quantidade de colheres de chá desse remédio que ela terá tomado é de: a) 63; b) 56; c) 28; d) 21; 30) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Para cada pessoa x, sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. A esse respeito, assinale a afirmativa FALSA. a) f[f(x)] = avô paterno de x b) g[g(x)] = avó materna de x c) f[g(x)] = avô materno de x d) f[g(x)] = g[f(x)] Gabarito 1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 9.D 10.D 11.B 12.B 13.A 14.D 15.D 16.D 17.C 18.B 19.D 20.D 21.A 22.B 23.A 24.D 25.B 26.C 27.B 28.D 29.A 30.D Postado por cleiton silva

LÓGICA SENTENCIAL E DE PRIMEIRA ORDEM

Elementos de Lógica sentencial 1. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de pre-

dicados A lógica divide-se em lógica sentencial e lógica de predi-

cados. A lógica sentencial estuda argumentos que não de-pendem da estrutura interna das sentenças. Por exemplo:

(1) Se Deus existe, então a felicidade eterna é possível. Deus existe. Logo, a felicidade eterna é possível.



A validade do argumento (1) depende do modo pelo qual as sentenças são conectadas, mas não depende da estrutura interna das sentenças. A forma lógica de (1) deixa isso claro:

(1a) Se A, então B. A. Logo, B. Diferentemente, a lógica de predicados estuda argumen-

tos cuja validade depende da estrutura interna das senten-ças. Por exemplo:

(2) Todos os cariocas são brasileiros. Alguns cariocas são flamenguistas. Logo, alguns brasileiros são flamenguistas. A forma lógica de (2) é a seguinte: (2a) Todo A é B. Algum A é C. Logo, algum B é A. A primeira premissa do argumento (2) diz que o conjunto

dos indivíduos que são cariocas está contido no conjunto dos brasileiros. A segunda, diz que ‘dentro’ do conjunto dos cari-ocas, há alguns indivíduos que são flamenguistas. É fácil concluir então que existem alguns brasileiros que são fla-menguistas, pois esses flamenguistas que são cariocas se-rão também brasileiros. Essa conclusão se segue das pre-missas.

Note, entretanto, que as sentenças ‘todos os cariocas são

brasileiros’ e ‘alguns cariocas são flamenguistas’ têm uma estrutura diferente da sentença ‘se Deus existe, a felicidade eterna é possível’. Esta última é formada a partir de duas outras sentenças ‘Deus existe’ e ‘a felicidade eterna é possí-vel’, conectadas pelo operador lógico se...então. Já para analisar o argumento (2) precisamos analisar a estrutura interna das sentenças, e não apenas o modo pelo qual sen-tenças são conectadas umas às outras. O que caracteriza a lógica de predicados é o uso dos quantificadores todo, algum e nenhum. É por esse motivo que a validade de um argu-mento como o (2) depende da estrutura interna das senten-ças. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predi-cados ficará mais clara no decorrer desta e da próxima uni-dade.

Usualmente o estudo da lógica começa pela lógica sen-

tencial, e seguiremos esse caminho aqui. Nesta unidade vamos estudar alguns elementos da lógica sentencial. Na próxima unidade, estudaremos elementos da lógica de predi-cados.

2. Sentenças atômicas e moleculares Considere-se a sentença (1) Lula é brasileiro. A sentença (1) é composta por um nome próprio, ‘Lula’, e

um predicado, ‘... é brasileiro’. Em lógica, para evitar o uso de ‘...’, usamos uma variável para marcar o(s) lugar(es) em que podemos completar um predicado. Aqui, expressões do tipo x é brasileiro designam predicados. Considere agora a sentença (2) Xuxa é mãe de Sasha.

A sentença (2) pode ser analisada de três maneiras dife-

rentes, que correspondem a três predicados diferentes que podem ser formados a partir de (2):

(2a) x é mãe de Sasha; (2b) Xuxa é mãe de x; (2c) x é mãe de y. Do ponto de vista lógico, em (2c) temos o que é chamado

de um predicado binário, isto é, um predicado que, diferen-

temente de x é brasileiro, deve completado por dois nomes próprios para formar uma sentença.

As sentenças (1) e (2) acima são denominadas sentenças

atômicas. Uma sentença atômica é uma sentença formada por um predicado com um ou mais espaços vazios, sendo todos os espaços vazios completados por nomes próprios. Sentenças atômicas não contêm nenhum dos operadores lógicos e, ou, se...então etc., nem os quantificadores todo, nenhum, algum etc.

Sentenças moleculares são sentenças formadas com o

auxílio dos operadores sentenciais. Exemplos de sentenças moleculares são

(3) Lula é brasileiro e Zidane é francês, (4) Se você beber, não dirija, (5) João vai à praia ou vai ao clube. 3. A interpretação vero-funcional dos operadores senten-

ciais Os operadores sentenciais que estudaremos aqui são as

partículas do português não, ou, e, se...então, se, e somente se. A lógica sentencial interpreta esses operadores como funções de verdade ou vero-funcionalmente. Isso significa que eles operam apenas com os valores de verdade dos seus operandos, ou em outras palavras, o valor de verdade de uma sentença formada com um dos operadores é deter-minado somente pelos valores de verdade das sentenças que a constituem.

Os operadores sentenciais se comportam de uma manei-

ra análoga às funções matemáticas. Estas recebem números como argumentos e produzem números como valores. Os operadores sentenciais são funções porque recebem valores de verdade como argumentos e produzem valores de verda-de. Considere-se a seguinte função matemática:

(4) y =�x + 1.

Dizemos que y =�f(x), isto é, ‘y é função de x’, o que sig-nifica que o valor de y depende do valor atribuído a x.

Quando x =�1, y =�2;

x =�2, y =�3;

x = 3, y =�4, e assim por diante. Analogamente a uma função matemá-

tica, uma função de verdade recebe valores de verdade co-mo argumentos e produz valores de verdade como valores.

As chamadas tabelas de verdade mostram como os ope-

radores da lógica sentencial funcionam. No lado esquerdo da tabela de verdade temos as senten-

ças a partir das quais a sentença composta foi formada – no caso da negação, uma única sentença. O valor produzido pela função de verdade está na coluna da direita. As letras V e F representam os valores de verdade verdadeiro e falso.

4. A negação Comecemos pelo operador sentencial mais simples, a

negação. A tabela de verdade da negação de uma sentença A é

A não A V F F V A negação simplesmente troca o valor de verdade da

sentença. Uma sentença verdadeira, quando negada, produz uma sentença falsa, e vice-versa.

Há diferentes maneiras de negar uma sentença atômica

em português. Considere a sentença verdadeira (5) Lula é brasileiro.



As sentenças (6) Não é o caso que Lula é brasileiro, (7) Não é verdade que Lula é brasileiro e (8) É falso que Lula é brasileiro são diferentes maneiras de negar (5). Como (5) é uma

sentença atômica, podemos também negar (5) por meio da sentença

(9) Lula não é brasileiro. A negação em (9) é denominada negação predicativa,

pois nega o predicado, ao passo que em (6) há uma negação sentencial porque toda a sentença é negada. No caso de sentenças atômicas, a negação predicativa é equivalente à negação sentencial, mas veremos que isso não ocorre com sentenças moleculares e sentenças com quantificadores.

Note que negar duas vezes uma sentença equivale a afirmar a própria sentença. A negação de

(5) Lula é brasileiro é (9) Lula não é brasileiro, e a negação de (9), (10) Não é o caso que Lula não é brasileiro, é a negação

da negação de (5), que é equivalente à própria sentença (5). 5. A conjunção Uma sentença do tipo A e B é denominada uma conjun-

ção. Considere-se a sentença (11) João foi à praia e Pedro foi ao futebol. A sentença (1) é composta por duas sentenças, (12) João foi à praia e (13) Pedro foi ao futebol conectadas pelo operador lógico e. Na interpretação vero-

funcional do operador e, o valor de verdade de (11) depende apenas dos valores de verdade das sentenças (12) e (13). É fácil perceber que (11) é verdadeira somente em uma situa-ção: quando (12) e (13) são ambas verdadeiras. A tabela de verdade de uma conjunção A e B é a seguinte:

A B A e B V V V V F F F V F F F F Note que, na interpretação vero-funcional da conjunção,

A e B é equivalente a B e A. Não faz diferença alguma afir-marmos (11) ou (14) Pedro foi ao futebol e João foi à praia.

É importante observar que a interpretação vero-funcional

da conjunção não expressa todos os usos da partícula e em português. A sentença

(15) Maria e Pedro tiveram um filho e casaram não é equivalente a

(16) Maria e Pedro casaram e tiveram um filho. Em outras palavras, o e que ocorre em (15) e (16) não é

uma função de verdade. 6. A disjunção Uma sentença do tipo A ou B é denominada uma disjun-

ção. Há dois tipos de disjunção, a inclusiva e a exclusiva. Ambas tomam dois valores de verdade como argumentos e produzem um valor de verdade como resultado. Começarei pela disjunção inclusiva. Considere-se a sentença

(17) Ou João vai à praia ou João vai ao clube, que é for-mada pela sentenças

(18) João vai à praia e (19) João vai ao clube combinadas pelo operador ou. A

sentença (17) é verdadeira em três situações: (i) João vai à praia e também vai ao clube;

(ii) João vai à praia mas não vai ao clube e (iii) João não vai à praia mas vai ao clube. A tabela de verdade da disjunção inclusiva é a seguinte: A B A ou B V V V V F V F V V F F F No sentido inclusivo do ou, uma sentença A ou B é ver-

dadeira quando uma das sentenças A e B é verdadeira ou quando são ambas verdadeiras, isto é, a disjunção inclusiva admite a possibilidade de A e B serem simultaneamente verdadeiras.

No sentido exclusivo do ou, uma sentença A ou B é ver-

dadeira apenas em duas situações: (i) A é verdadeira e B é falsa; (ii) B é verdadeira e A e falsa. Não há, na disjunção exclusiva, a possibilidade de serem

ambas as sentenças verdadeiras. A tabela de verdade da disjunção exclusiva é

A B A ou B V V F V F V F V V F F F Um exemplo de disjunção exnclusiva é (20) Ou o PMDB ou o PP receberá o ministério da saúde,

que é formada a partir das sentenças: (21) o PMDB receberá o ministério da saúde; (22) o PP receberá o ministério da saúde. Quando se diz que um determinado partido receberá um

ministério, isso significa que um membro de tal partido será nomeado ministro. Posto que há somente um ministro da saúde, não é possível que (21) e (22) sejam simultaneamen-te verdadeiras. O ou da sentença (20), portanto, é exclusivo.

Na lógica simbólica, são usados símbolos diferentes para

designar o ou inclusivo e o exclusivo. No latim, há duas pala-vras diferentes, vel para a disjunção inclusiva e aut para a exclusiva. No português isso não ocorre. Na maioria das vezes é apenas o contexto que deixa claro se se trata de uma disjunção inclusiva ou exclusiva.

Assim como ocorre com a conjunção, sentenças A ou B e

B ou A são equivalentes. Isso vale tanto para o ou inclusivo quanto para o exclusivo.

7. A condicional Uma condicional é uma sentença da forma se A, então B.

A é denominado o antecedente e B o conseqüente da condi-cional.

Em primeiro lugar, é importante deixar clara a diferença

entre um argumento (23) A, logo B e uma condicional (24) se A, então B.

Em (23) a verdade tanto de A quanto de B é afirmada.

Note que o que vem depois do ‘logo’ é afirmado como verda-deiro e é a conclusão do argumento. Já em (24), nada se diz acerca da verdade de A, nem de B. (24) diz apenas que se A é verdadeira, B também será verdadeira. Note que apesar de uma condicional e um argumento serem coisas diferentes usamos uma terminologia similar para falar de ambos. Em (23) dizemos que A é o antecedente do argumento, e B é o conseqüente do argumento. Em (24), dizemos que A é o antecedente da condicional, e B é o conseqüente da condici-



onal. Da mesma forma que analisamos o e e o ou como fun-

ções de verdade, faremos o mesmo com a condicional. Ana-lisada vero-funcionalmente, a condicional é denominada condicional material.

Quando analisamos a conjunção, vimos que a interpreta-

ção vero-funcional do operador sentencial e não corresponde exatamente ao uso que dela fazemos na linguagem natural. Isso ocorre de modo até mais acentuado com o operador se...então. Na linguagem natural, geralmente usamos se...então para expressar uma relação entre os conteúdos de A e B, isto é, queremos dizer que A é uma causa ou uma explicação de B. Isso não ocorre na interpretação do se...então como uma função de verdade. A tabela de verda-de da condicional material é a seguinte:

A B se A, então B V V V V F F F V V F F V Uma condicional material é falsa apenas em um caso:

quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso. A terceira e a quarta linhas da tabela de verdade da con-

dicional material costumam causar problemas para estudan-tes iniciantes de lógica. Parece estranho que uma condicio-nal seja verdadeira sempre que o antecedente é falso, mas veremos que isso é menos estranho do que parece.

Suponha que você não conhece Victor, mas sabe que

Victor é um parente do seu vizinho que acabou de chegar da França. Você não sabe mais nada sobre Victor. Agora consi-dere a sentença:

(25) Se Victor é carioca, então Victor é brasileiro. O antecedente de (25) é (26) Victor é carioca e o conse-

qüente é (27) Victor é brasileiro. A sentença (25) é verdadeira, pois sabemos que todo ca-

rioca é brasileiro. Em outras palavras, é impossível que al-guém simultaneamente seja carioca e não seja brasileiro. Por esse motivo, a terceira linha da tabela de verdade, que torna-ria a condicional falsa, nunca ocorre.

Descartada a terceira linha, ainda há três possibilidades,

que correspondem às seguintes situações: (a) Victor é carioca. (b) Victor é paulista. (c) Victor é francês. Suponha que Victor é carioca. Nesse caso, o antecedente

e o conseqüente da condicional são verdadeiros. Temos a primeira linha da tabela de verdade. Até aqui

não há problema algum. Suponha agora que Victor é paulista. Nesse caso, o ante-

cedente da condicional (26) Victor é carioca é falso, mas o conseqüente (27) Victor é brasileiro é verdadeiro.

Temos nesse caso a terceira linha da tabela de verdade

da condicional. Note que a condicional (25) continua sendo verdadeira mesmo que Victor seja paulista, isto é, quando o antecedente é falso.

Por fim, suponha que Victor é francês. Nesse caso, tanto

(26) Victor é carioca quanto (27) Victor é brasileiro são fal-sas. Temos aqui a quarta linha da tabela de verdade da con-dicional material. Mas, ainda assim, a sentença (25) é verda-

deira. Vejamos outro exemplo. Considere a condicional (28) Se Pedro não jogar na loteria, não ganhará o prêmio. Essa é uma condicional verdadeira. Por quê? Porque é

impossível (em uma situação normal) o antecedente ser verdadeiro e o conseqüente falso. Isto é, não é possível Pedro não jogar e ganhar na loteria. Fica como exercício para o leitor a construção da tabela de verdade de (28).

Não é difícil perceber, em casos como (25) e (28) acima,

por que uma condicional é verdadeira quando o antecedente é falso. O problema é que, sendo a condicional material uma função de verdade, coisas como (29) se 2 + 2 = 5, então a Lua é de queijo são verdadeiras. Sem dúvida, esse é um resultado contra-intuitivo. Note que toda condicional material com antecedente falso será verdadeira. Mas no uso corrente da linguagem normalmente não formulamos condicionais com o antecedente falso.

Mas cabe perguntar: se a condicional material de fato não

expressa todos os usos do se...então em português e, além disso, produz resultados contra-intuitivos como a sentença (29), por que ela é útil para o estudo de argumentos constru-ídos com a linguagem natural? A resposta é muito simples. O caso em que a condicional material é falsa, a segunda linha da tabela de verdade, corresponde exatamente ao caso em que, no uso corrente da linguagem, uma sentença se A, então B é falsa. Considere-se a sentença (30) Se Lula con-seguir o apoio do PMDB, então fará um bom governo.

Em (30), o ponto é que Lula fará um bom governo porque

tem o apoio do PMDB. Há um suposto nexo explicativo e causal entre o antecedente e o conseqüente. Suponha, en-tretanto, que Lula obtém o apoio do PMDB durante todo o seu mandato, mas ainda assim faz um mau governo. Nesse caso, em que o antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso, (30) é falsa.

Abaixo, você encontra diferentes maneiras de expressar,

na linguagem natural, uma condicional se A, então B, todas equivalentes.

Se A, B B, se A Caso A, B B, caso A As expressões abaixo também são equivalentes a se A,

então B: A, somente se B Somente se B, A A é condição suficiente para B B é condição necessária para A,mas elas serão vistas

com mais atenção na seção sobre condições necessárias e suficientes.

8. Variantes da condicional material Partindo de uma condicional (31) Se A, então B podemos construir sua conversa, (32) Se B, então A sua inversa (33) Se não A, então não B e sua contrapositiva (34) Se

não B, então não A. Há dois pontos importantes sobre as sentenças acima

que precisam ser observados. Vimos que A e B e B e A, assim como A ou B e B ou A são equivalentes. Entretanto, se A, então B e se B então A NÃO SÃO EQUIVALENTES!!!

Isso pode ser constatado facilmente pela construção das



respectivas tabelas de verdade, que fica como exercício para o leitor. Mas pode ser também intuitivamente percebido. Considere as sentenças: (35) Se João é carioca, João é brasileiro e

(36) Se João é brasileiro, João é carioca. Enquanto a sentença (35) é verdadeira, é evidente que

(36) pode ser falsa, pois João pode perfeitamente ser brasi-leiro sem ser carioca.

Uma condicional se A, então B e sua contrapositiva se

não B, então não A são equivalentes. Isso pode ser consta-tado pela construção da tabela de verdade, que fica como um exercício para o leitor. Mas note que a contrapositiva de (35), (37) Se João não é brasileiro, não é carioca, é verdadei-ra nas mesmas circunstâncias em que (35) é verdadeira. A diferença entre (35) e (37) é que (35) enfatiza que ser carioca é condição suficiente para ser brasileiro, enquanto (37) enfa-tiza que ser brasileiro é condição necessária para ser cario-ca. Isso ficará mais claro na seção sobre condições necessá-rias e suficientes.

9. Negações Agora nós vamos aprender a negar sentenças construí-

das com os operadores sentenciais. Negar uma sentença é o mesmo afirmar que a sentença

é falsa. Por esse motivo, para negar uma sentença construí-da com os operadores sentenciais e, ou e se...então, basta afirmar a(s) linha(s) da tabela de verdade em que a sentença é falsa.

9a. Negação da disjunção Comecemos pelos caso mais simples, a disjunção (inclu-

siva). Como vimos, uma disjunção A ou B é falsa no caso em que tanto A quanto B são falsas. Logo, para negar uma dis-junção, nós precisamos dizer que A é falsa e também que B é falsa, isto é, não A e não B. Fica como exercício para o leitor a construção das tabelas de verdade de A ou B e não A e não B para constatar que são idênticas.

(1) João comprou um carro ou uma moto. A negação de (1) é: (2) João não comprou um carro e não comprou uma moto, ou (3) João nem comprou um carro, nem comprou uma moto. Na linguagem natural, freqüentemente formulamos a ne-

gação de uma disjunção com a expressão nem...nem. Nem A, nem B significa o mesmo que não A e não B.

(4) O PMDB receberá o ministério da saúde ou o PP re-ceberá o ministério da cultura.

A negação de (4) é: (5) Nem o PMDB receberá o ministério da saúde, nem o

PP receberá o ministério da cultura. 9b. Negação da conjunção Por um raciocínio análogo ao utilizado na negação da dis-

junção, para negar uma conjunção precisamos afirmar os casos em que a conjunção é falsa. Esses casos são a se-gunda, a terceira e a quarta linhas da tabela de verdade. Isto é, A e B é falsa quando:

(i) A é falsa, (ii) B é falsa ou (iii) A e B são ambas falsas. É fácil perceber que basta uma das sentenças ligadas pe-

lo e ser falsa para a conjunção ser falsa. A negação de A e B, portanto, é não A ou não B. Fica como exercício para o leitor a construção das tabelas de verdade de A e B e não A ou não B para constatar que são idênticas.

Exemplos de negações de conjunções: (6) O PMDB receberá o ministério da saúde e o ministério

da cultura. A negação de (6) é (6a) Ou PMDB não receberá o ministério da saúde, ou

não receberá o ministério da cultura. (7) Beba e dirija. A negação de (7) é (7a) não beba ou não dirija.

Fonte: http://abilioazambuja.sites.uol.com.br/1d.pdf

QUESTÕES I 01. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~q b) p ^ q c) p v q d) p " q e) p " (~q) 02. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposi-ção Ricardo fala italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano. b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano. c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês. d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano. 03. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então: a) p ^ q é verdadeira, qualquer que seja q; b) p v q é verdadeira, qualquer que seja q; c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa; d) p =>q é falsa, qualquer que seja q e) n.d.a. 04. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 então y = 7". Pode-se concluir que: a) se x 3 antão y 7 b) se y = 7 então x = 3 c) se y 7 então x 3 d) se x = 5 então y = 5 e) se x = 7 então y = 3 05. (ABC) Assinale a proposição composta logicamente ver-dadeira: a) (2 = 3) => (2 . 3 = 5) b) (2 = 2) => (2 . 3 = 5) c) (2 = 3) e (2 . 3 = 5) d) (2 = 3) ou (2 . 3 = 5) e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2)) 06. (UGF) A negação de x > -2 é: a) x > 2 b) x #-2 c) x < -2 d) x < 2 e) x #2 07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é: a) nenhum gato é pardo; b) existe gato pardo; c) existe gato não pardo; d) existe um e um só gato pardo; e) nenhum gato não é pardo. 08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é: a) o gato não mia e o rato não chia; b) o gato mia ou o rato chia; c) o gato não mia ou o rato não chia; d) o gato e o rato não chiam nem miam; e) o gato chia e o rato mia.



09. Duas grandezas A e B são tais que "se A = 2 então B = 5". Pode-se concluir que: a) se A 2 antão B 5 b) se A = 5 então B = 2 c) se B 5 então A 2 d) se A = 2 então B = 2 e) se A = 5 então B 2 10. (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. Das afirmações a seguir, referentes às pessoas reu-nidas, a única necessariamente verdadeira é: a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m; b) pelo menos duas delas são do sexo feminino; c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês; d) pelo menos uma delas nasceu num dia par; e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro. Resolução: 01. a) Paulo não é paulista. b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca. c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca. d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca. e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca.

02. a) p ^ q

b) (~p) v p

c) q " p

d) (~p) ^ (~q)

03. B 04. C 05. A 06. C

07. C 08. C 09. C 10. C

http://www.coladaweb.com/matematica/logica

JULGUE SE É PROPOSIÇÃO E JUSTIFIQUE: 1. Paulo é alto. 2. Ele foi o melhor jogador da copa. 3. x > y 4. Rossana é mais velha que Marcela? 5. Mário é pintor 6. x + 2 = 5 7. 3 + 4 = 9 8. É um péssimo livro de geografia 9. Se x é um número primo então x é um número real 10. x é um número primo. GABARITO 1.proposição 2. vaga ou sentença aberta 3.sentença aberta 4. interrogativa 5. proposição 6. sentença aberta 7. proposição 8. proposição 9. proposição ( variável não livre ) 10. sentença aberta ou imperativa

TESTES 1. Julgue se a afirmação a seguir é CERTA ou ERRADA. Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: I – O BB foi criado em 1980. II – Faça seu trabalho corretamente. III – Manuela tem mais de 40 anos de idade. 2. Julgue com CERTO ou ERRADO: Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. “a frase dentro destas aspas é uma mentira” A expressão x + y é positiva

O valor de + 3 = 7 Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? 3. Agente Fiscal de Rendas – Nível I / SP 2006 – FCC Considere as seguintes frases: I – Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. II – (x + y) / 5 é um número inteiro III – João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. É verdade que APENAS a) I e II são sentenças abertas b) I e III são sentenças abertas c) II e III são sentenças abertas d) I é uma sentença aberta e) II é uma sentença aberta 4. Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I – Que belo dia! II – Um excelente livro de raciocínio lógico. III – O jogo terminou empatado? IV – Existe vida em outros planetas do universo. V – Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a a) I b) II c) III d) IV e) V 5. CESPE (Adaptado) – JULGUE COM CERTO OU ERRADO: Das cinco (5) afirmações abaixo, três delas são proposições. I – Mariana mora em Piúma. II – Em Vila Velha, visite o Convento da Penha. III – A expressão algébrica x + y é positiva. IV – Se Joana é economista, então ela não entende de políticas públicas. V – A SEGER oferece 220 vagas em concurso público. GABARITO 1. certa 2. errada 3.A 4.D 5. certa

ESTRUTURAS LÓGICAS

As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser com-postas por proposições que provam, dão suporte, dão razão a algo, ou seja, são afirmações que expressam um pensa-mento de sentindo completo. Essas proposições podem ter um sentindo positivo ou negativo.

Exemplo 1: João anda de bicicleta.

Exemplo 2: Maria não gosta de banana.

Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afirma-ção/proposição.



A base das estruturas lógicas é saber o que é verda-de ou mentira (verdadeiro/falso).

Os resultados das proposições SEMPRE tem que dar verdadeiro.

Há alguns princípios básicos:

Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Terceiro Excluído: Dadas duas proposições lógicas con-traditórias somente uma delas é verdadeira. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não há um terceiro valor lógico (“mais ou menos”, meio verdade ou meio mentira).

Ex. Estudar é fácil. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. Não existe meio termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil).

Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se os Conectivos Lógicos, que são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as proposições uma a outra ou as transformam numa terceira proposição.

Veja abaixo: (~) “não”: negação (Λ) “e”: conjunção (V) “ou”: disjunção (→) “se...então”: condicional (↔) “se e somente se”: bicondicional Agora, vejamos na prática como funcionam estes conec-

tivos: Temos as seguintes proposições: O Pão é barato. O Queijo não é bom. A letra P, representa a primeira proposição e a letra Q, a

segunda. Assim, temos: P: O Pão é barato. Q: O Queijo não é bom. NEGAÇÃO (símbolo ~):

Quando usamos a negação de uma proposição inverte-mos a afirmação que está sendo dada. Veja os exemplos:

Ex1. : ~P (não P): O Pão não é barato. (É a negação lógi-ca de P)

~Q (não Q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de Q)

Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a ne-gação vira falsa.

Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vi-ra verdadeira.

Regrinha para o conectivo de negação (~):

P ~P

V F

F V

CONJUNÇÃO (símbolo Λ):

Este conectivo é utilizado para unir duas proposições formando uma terceira. O resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições (P e Q) forem ver-dadeiras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será FALSO.

Ex.2: P Λ Q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom.) Λ = “e”

Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ):

P Q PΛQ

V V V

V F F

F V F

F F F

DISJUNÇÃO (símbolo V):

Este conectivo também serve para unir duas proposições. O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposi-ções for verdadeira.

Ex3.: P V Q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) V = “ou”

Regrinha para o conectivo de disjunção (V):

P Q PVQ

V V V

V F V

F V V

F F F

CONDICIONAL (símbolo →)

Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista. “P” será condição suficiente para “Q” e “Q” é condição necessária para “P”.

Ex4.: P → Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é bom.) → = “se...então”

Regrinha para o conectivo condicional (→):

P Q P→Q

V V V

V F F

F V V

F F V

BICONDICIONAL (símbolo ↔)

O resultado dessas proposições será verdadeiro se e somen-te se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as duas falsas). “P” será condição suficiente e necessária para “Q”

Ex5.: P ↔ Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo não é bom.) ↔ = “se e somente se”

Regrinha para o conectivo bicondicional (↔):

P Q P↔Q

V V V

V F F

F V F

F F V

Fonte: http://www.concursospublicosonline.com/



TABELA VERDADE

Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto.

As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce e outros da década de 1880, e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatus Logico-Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. A vasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas-verdade.

Como construir uma Tabela Verdade

Uma tabela de verdade consiste em:

1º) Uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjuntos de subfórmulas:

{ ¬((A∋B) ∧ ∧→C) , (A B)→C , A B , A , B , C}

2º) l linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas as fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos.

O número destas linhas é l = nt , sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do Cálculo Proposicional Clássico) e t o número de termos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).

Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional Dei

Negação

A ~A

V F

F V

A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e vice-versa.

Conjunção (E)

A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são verdadeiros

A B A^B

V V V

V F F

F V F

F F F

Disjunção (OU)

A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos

A B AvB

V V V

V F V

F V V

F F F

Condicional (Se... Então) [Implicação]

A conjunção é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso

A B A→B

V V V

V F F

F V V

F F V

Bicondicional (Se e somente se) [Equivalência]

A conjunção é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros

A B A↔B

V V V

V F F

F V F

F F V

DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU... OU XOR)

A conjunção é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro

A B A((((B

V V F

V F V

F V V

F F F

Adaga de Quine (NOR)

A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são falsos

A B A((((B A↓B

V V V F

V F V F

F V V F

F F F V

Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos

Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiros. Em caso positivo, o argumento é válido. Em caso negativo, é inválido.



Alguns argumentos válidos

Modus ponens

A B A→B

V V V

V F F

F V V

F F V

Modus tollens

A B ¬A ¬B A→B

V V F F V

V F F V F

F V V F V

F F V V V

Silogismo Hipotético

A B C A→B B→C A→C

V V V V V V

V V F V F F

V F V F V V

V F F F V F

F V V V V V

F V F V F V

F F V V V V

F F F V V V

Algumas falácias

Afirmação do conseqüente

Se A, então B. (A→B)

B.

Logo, A.

A B A→B

V V V

V F F

F V V

F F V

Comutação dos Condicionais

A implica B. (A→B)

Logo, B implica A. (B→A)

A B A→B B→A

V V V V

V F F V

F V V F

F F V V

Fonte: Wikipédia

DIAGRAMAS LÓGICOS

História

Para entender os diagramas lógicos vamos dar uma rápi-

da passada em sua origem. O suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) por volta de 1770,

ao escrever cartas a uma princesa da Alemanha, usou os diagramas ao explicar o significado das quatro proposições categóricas:

Todo A é B. Algum A é B. Nenhum A é B. Algum A não é B. Mais de 100 anos depois de Euler, o logicista inglês John

Venn (1834 – 1923) aperfeiçoou o emprego dos diagramas, utilizando sempre círculos. Desta forma, hoje conhecemos como diagramas de Euler/Venn.

Tipos

Existem três possíveis tipos de relacionamento entre dois

diferentes conjuntos:

Indica que um con-junto está ompleta-mente contido no outro, mas o inverso não é verdadeiro.

Indica que os dois conjuntos tem alguns elementos em co-mum, mas não todos.

Indica que não exis-tem elementos co-muns entre os con-juntos.

OBS: CONSIDERE QUE O TAMANHO DOS CÍRCULOS NÃO INDICA O TAMANHO RELATIVO DOS CONJUNTOS.

EXERCÍCIOS RESOLIVOS

PROVA RACIOCINIO VERBAL .... http://www.mundosimples.com.br/ Analise cada questão e dê a resposta que achar mais adequada. Questão 1: Um dos elementos relacionados abaixo não está de acordo com os demais do grupo.



a) Manga

b) Pitomba

c) Maracujá

d) Ameixa

e) Abacate Maracujá Explicação: O Maracujá possui mais de uma semente

Questão 2: Dentre os itens abaixo, qual aquele que pode ser considera-do um intruso?

a) Hiena

b) Vaca

c) Leão

d) Piranha

e) Gato

Vaca Explicação: A Vaca não é um animal carnívoro

Questão 3: "Amigo" está para "Inimigo" assim como "Alegria" está para:

a) Risos

b) Tristeza

c) Felicidade

d) Sonho

e) Triste

Tristeza Explicação: O antônimo de "Alegria" é "Tristeza"

Questão 4: "Cabeça" está para "Pé" assim como "Teto" está para:

a) Janela

b) Telhado

c) Parede

d) Porta

e) Chão

Chão

Questão 5: Coloque as Frutas na ordem Correta: Jaca(1) - Cereja(2) - Laranja(3) - Abacate(4)

a) 1 - 4 - 3 - 2

b) 2 - 1 - 3 - 4

c) 1 - 2 - 3 - 4

d) 3 - 2 - 1 - 4

e) 2 - 3 - 4 - 1

1 - 4 - 3 - 2 Explicação: Nesse caso a relação entre elas é de tamanho

Questão 6: Coloque as Palavras na Ordem Correta: Neném(1) - Ve-lho(2) - Adolescente(3) - Adulto(4)

a) 1 - 2 - 3 - 4

b) 1 - 4 - 3 - 2

c) 1 - 2 - 4 - 3

d) 1 - 3 - 4 - 2

e) 4 - 3 - 2 - 1

Explicação: Nesse caso a relação entre elas é de idade Neném(1)-Adolescente(3)-Adulto(4)-Velho(2)

Questão 7: Brilhante está para Obscuro assim como Hesitação está para:

a) Indecisão

b) Indecisão

c) Êxito

d) Dúvida

e) Firmeza

Firmeza Explicação: O oposto de "Hesitação" é "Firmeza"

Questão 8: "Abaixar" está para "Curvar" assim como "Continuidade" está para:

a) Suspensão

b) Intermitência

c) Frequência

d) Intervalo

e) Interrupção



Explicação: O sinônimo de "Continuidade" é "Frequência" 9. A sequência de palavras abaixo segue uma determinada regra: Camiseta, acetona, macaco, abacaxi, mágico Qual é a próxima palavra da seqüência? a) cavalo b) azeite c) maionese d) basquete e) publicação A regra que determina a seqüência é a posição da letra c. A resposta correta é a alternativa e, publicação, pois é a única palavra na qual c é a sexta letra. 10. Descubra o nome de um rei famoso por meio desta cha-rada: “Com quinhentos começa. No meio está o cinco; O primeiro número, a primeira letra Ocupam as demais posições. Junte tudo e o nome do grande rei Na sua frente surgirá” – Em algarismos romanos 500 é D; – A primeira de todas as letras é A; – O primeiro número romano é I; – No meio está o cinco, que em algarismo romanos é V. Juntando tudo, encontramos o nome do rei DAVI. 11. Em um certo verão, uma fábrica de sorvetes realizou uma promoção que previa a troca de dez palitos de sorvete por um sorvete de palito. Nessa promoção, um palito de sorvete corresponde a que fração do preço de um sorvete? Devemos lembrar que, ao receber um sorvete, recebemos também um palito. Logo o sorvete “custa” 9 palitos. Portanto, um palito vale 1/9 do preço do sorvete. 12. Na época em que os bichos falavam, em uma floresta viviam Dona Onça e Dona Hiena, comadres inseparáveis, com características peculiares. Dona Hiena mente às segun-das, terças e quartas-feiras. Dona Onça mente às quintas, sextas e sábados. Nos dias que não mentem, elas dizem a verdade. Certa vez, em um encontro, Dona Hiena e Dona Onça con-versaram: – Olá, Dona Onça! Ontem eu menti – disse a Dona Hiena. – Olá, Dona Hiena! Eu também menti ontem – retrucou Dona Onça. Em que dia aconteceu esse encontro? O encontro aconteceu na quinta-feira. Já que era dia da Dona Onça mentir, ela estava mentindo que havia mentido no dia anterior e Dona Hiena falava a verdade. 13. Você é o comandante de um navio. Cinco marinheiros colocam-se a sua frente para receber suas ordens. Tente nomeá-los, da esquerda para a direita, de acordo com as informações: – Anderson está entre Jorge e Cláudio; – Humberto está à esquerda de Claúdio; – Jorge não está ao lado de Humberto; – Humberto não está ao lado de Rafael. A sequência correta é: Humberto, Cláudio, Anderson, Jorge e Rafael 14. O casal Silva tem vários filhos. Cada filha tem o mesmo número de irmãos e irmãs, e cada filho tem duas vezes mais

irmãs do que irmãos. Quantos filhos e filhas existem na famí-lia? Resposta Considere “M” o número de mulheres e “H” o número de homens. Se cada filha tem o mesmo número de irmãos e irmãs, te-mos: M-1 = H E, se cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos, temos: M = 2(H-1) => M = 2H-2 Substituindo o valor de H na segunda equação: M = 2(M-1)-2 M = 2M-2-2 M = 4 Então, basta substituir o valor de M na primeira equação para encontrar o H: M-1 = H 4-1 = H H = 3 Resposta: O casal tem 4 filhas e 3 filhos. 15. Uma mulher vai visitar suas 3 filhas e leva uma cesta de maçãs. Para a primeira, dá a metade das maçãs e mais meia maçã. Para a segunda, dá a metade das maçãs que sobra-ram e mais meia maçã. Para a terceira, novamente dá a metade das maçãs que sobraram e mais meia maçã, ficando sem nenhuma maçã. Quantas maçãs haviam na cesta? Resposta Devemos resolver este problema de trás para a frente. Ao presentear a terceira filha, acabaram as maçãs. Portanto, nesse momento a mãe só tinha 1 maçã, ou seja: metade das maçãs (0,5) + meia maçã (0,5) = 1 maçã Antes de presentear a segunda filha: (1+0,5) * 2 = 3 maçãs na cesta Antes de presentear a primeira filha: (3+0,5) * 2 = 7 maçãs na cesta Resposta: A cesta continha 7 maçãs. 16. Em uma estante há 10 livros, cada um com 100 folhas. Uma traça faminta come desde a primeira folha do primeiro livro até a última folha do último livro. Quantas folhas a traça faminta comeu? Resposta Note que sempre que um livro é colocado em uma prateleira, a primeira folha fica do lado direito e a última do lado esquer-do. Logo, a traça comeu os 8 livros intermediários (800 folhas) e mais a primeira folha do primeiro livro e a última folha do último livro: 800+2 = 802 A resposta é 802 folhas! 17. Dois pais e dois filhos foram pescar. Cada um pescou um peixe, sendo que ao todo foram pescados 3 peixes. Como isso é possível? Três pessoas estavam pescando: filho, pai e avô. O pai é filho e pai ao mesmo tempo. Há dois filhos (filho e pai) e dois pais (pai e avô). http://www.oqueeoquee.com/jogos-de-logica/ 18. Uma garrafa com sua rolha custa R$1,10. Sabendo que a garrafa custa R$1,00 a mais que a rolha, qual é o preço da rolha? E qual é o preço da garrafa? Sendo G a garrafa, e R a rolha, basta resolver o sistema com as duas equações:



1) G + R = 1,10 2) G = R+1 Resolvendo esse sistema, obtemos R=0,05 e G=1,05. Resposta: A garrafa custa R$1,05 e a rolha custa R$0,05. 19. Buscando água, uma rã caiu em um poço de 30 metros de profundidade. Na sua busca por sobrevivência, a obstina-da rã conseguia subir 3 metros cada dia, sendo que a noite resbalava e descia 2 metros. Quantos dias a rã demorou para sair do poço? Quando a rã chegar ao 27º dia, já terá subido 27m. No 28º dia, ela sobe mais 3m, e alcança os 30m, antes que desça os 2m. 20. Uma aranha tece sua teia no marco de uma janela. Cada dia duplica a superfície feita anteriormente. Dessa forma tarda 30 dias para cobrir o vazio da janela. Se em vez de uma aranha, fossem duas, quanto tempo demoraria para cobrir o vazio.

Cada dia a superfície duplica. Então quando uma aranha tiver coberto meio vão no 29º dia, a outra aranha também o terá feito, e o vazio será preenchido. http://www.oqueeoquee.com/jogos-de-logica/ 21) Meu pai tem 42 anos de idade. Meu cachorro tem 8. Se fosse um ser humano, a idade de meu cachorro seria 56 anos. Quantos anos teria meu pai se ele fosse um cachorro? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 b Feedback: 56 dividido por 8 = 7 (cada ano do cachorro cor-responde a 7 anos no ser humano). 42 dividido por 7 = 6 (sendo assim, meu pai teria 6 anos) 22) Um senhor, olhando para um retrato, diz: - O pai deste homem é o pai de meu filho. Ele está olhando para: a) Seu próprio retrato. b) Retrato de seu pai. c) Retrato de seu filho. d) Retrato de seu avô. e) Retrato de seu neto. c Feedback : explicação de cada alternativa: a) Não se encaixa, pois nesse caso, o pai deste homem seria o pai dele, que seria avô do seu filho. b) Não se encaixa, pois o pai deste homem seria o avô dele, o qual seria bisavô de seu filho. c) Encaixa, pois nesse caso o pai deste homem, é ele mes-mo, que é pai de seu filho. d) Não se encaixa, pois nesse caso o pai deste homem seria o bisavô dele, que seria o tataravô de seu filho. e) Não se encaixa, pois nesse caso o pai deste homem seria o filho dele e ele o avô. Dica: Nesta questão precisamos ir por eliminatórias, ressal-tando que em cada alternativa vamos imaginar na foto uma pessoa. 23) Você precisa cozinhar um ovo por dois minutos exatos, mas tem somente uma ampulheta que marca 5 minutos e outra que marca 3 minutos. Como fazer?

Você deve colocar para funcionar as duas ampulhetas ao mesmo tempo. Quando a de 3 minutos acabar significa que faltam dois minutos exatos na de 5 minutos. 24. A negação da proposição “Maria não foi ao cinema e Paulo foi ao teatro” é: A) “Maria foi ao cinema ou Paulo não foi ao teatro.” B) “Maria foi ao cinema e Paulo não foi ao teatro.” C) “Maria foi ao cinema ou Paulo foi ao teatro.” D) “Maria foi ao cinema e Paulo foi ao teatro.” E) “Maria não foi ao cinema e Paulo não foi ao teatro.” Resposta Devemos observar que temos uma proposição composta por outras duas, onde o conectivo ou operador lógico “e” faz a ligação e é representado por ˄. As sentenças “Maria não foi ao cinema” e “Paulo foi ao teatro” representamos respecti-vamente por p e q. p: Maria não foi ao cinema. q: Paulo foi ao teatro. Colocando o conectivo ˄ entre p e q, obtemos uma nova proposição, p ˄ q, denominada conjunção das sentenças p e q. E é justamente a negação dessa proposição que quere-mos. Negamos a conjunção do seguinte modo: ~ (p ˄ q) = ~p v ~q. Onde o “~” representa a negação. O símbolo v (lê-se: ou) representa a disjunção que é a negação da conjunção. Te-mos que negar cada uma das sentenças p e q e o conectivo ˄. p ˄ q: Maria não foi ao cinema e Paulo foi ao teatro. Negando as sentenças obtemos: ~p: Maria foi ao cinema. ~q: Paulo não foi ao teatro. Agora, negando a proposição p ˄ q, obtemos: ~p v ~q: Maria foi ao cinema ou Paulo não foi ao teatro. 25 A afirmação “se estudo então passo” é logicamente equi-valente a: A) se passo então estudo; B) se não estudo então não passo; C) se não passo então não estudo; D) só se estudo então passo; E) estudo ou não passo; Resposta Nesta questão procuramos uma relação de equivalência. Para responder a este problema devemos nos perguntar quando que duas proposições são equivalentes. Equivalência lógica: dadas as proposições p e q, dizemos

que “p é equivalente a q” quando p e q têm tabelas-verdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógi-co. Aqui chamamos a atenção que p e q podem ser proposi-ções compostas também. No problema, temos a proposição composta “se estudo então passo”. p: estudo q: passo O conectivo “então” representado por conhecido como condicional. p q: se estudo então passo. Poderíamos fazer a tabela-verdade para cada uma das alter-nativas procurando encontrar a solução, mas para algumas equivalêcias já temos a resposta, isto é, com a prática e verificação já saberemos exatamente de algumas implica-ções tão facilmente que não precisaremos fazer uso da tabe-la. Esta questão é um desses casos, pois temos o condicional p q que é equivalente a ~q ~p, uma equivalência que aparece em diversos exercícios e questões de concursos. Como símbolo de equivalência utilizaremos . (p q) (~q ~p)



p q p q ~q ~p ~q ~p

V V V F F V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Observe as duas colunas em vermelho acima na tabela-verdade, elas mostram a equivalência lógica entre as propo-sições. Portanto, “se estudo então passo” é logicamente equivalente a “se não passo então não estudo”. 26. Qual das afirmações abaixo é falsa? A) Se Marte é um planeta então 3 = 7 – 4; B) A soma de dois números pares é um número par e 72 = 49; C) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado; D) Se 102 = 100 então todo número inteiro é natural; E) 2 = 32 – 7 ou a Terra é plana.

Resposta Ora, para responder a esta questão temos que estar por dentro das tabelas-verdades de cada um dos conectivos lógicos. Não vamos expor aqui estas tabelas, pois nossa solução ficará longa demais. Analisamos as afirmações. A) Se Marte é um planeta então 3 = 7 – 4. Temos aqui o condicional “então”. Façamos p: Marte é um planeta. Valor lógico: verdade (V). q: 3 = 7 – 4. Valor lógico: verdade (V). p q …… “V V = V”, isto é, se p tem valor lógico verda-deiro e q também, logo o condicional “se p então q” terá valor lógico verdadeiro (tabela-verdade do condicional), portanto a afirmação (proposição) é verdadeira. B) A soma de dois números pares é um número par e 72 = 49. Para este caso, temos conjunção “e”. p: A soma de dois números pares é um número par. Valor lógico: verdadeiro (V). q: 72 = 49. Valor lógico: verdadeiro (V). p ˄ q …… “V ˄ V = V”, isto é, se p tem valor lógico verdadei-ro e q também, logo a conjunção “p e q” terá valor lógico verdadeiro, logo a afirmação é verdadeira. C) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado. Neste caso, temos o bicondicional (lê-se: se e somente se). p: 3 = 5. Valor lógico: falso (F) (“3 não é igual a 5”). q: o urso é um animal invertebrado. Valor lógico: falso (F). p q …… “F F = V”, isto é, se p tem valor lógico falso e q também o bicondicional “p se, e somente se, q” é verdadeiro, logo a afirmação é verdadeira. Observação: no bicondicional p q, quer dizer que “p é condição necessária e suficiente para q”, “q é condição ne-cessária e suficiente para p” ou “se p, então q e reciproca-mente”. D) Se 102 = 100 então todo número inteiro é natural. Temos novamente o condicional “então”. p: 102 = 100. Valor lógico: verdadeiro (V). q: todo número inteiro é natural. Valor lógico: falso (F), pois nem todo número inteiro é natural. Exemplo: –5 é inteiro mas não natural. p q …… “V F = F”, como p é verdadeira e q é falsa, o condicional “se p então q” é falso. Portanto, a afirmação é falsa. E) 2 = 32 – 7 ou a Terra é plana. Agora, temos a disjunção v (lê-se: ou). p: 2 = 32 – 7. Valor lógico: verdadeiro (V). q: a Terra é plana. Valor lógico: falso (F).

p v q …… “V v F = V”, como p é verdadeiro e q é falso, a disjunção “p ou q” é verdadeira, logo a afirmação é verdadei-ra. 27. Observe a proposição abaixo: x ≠ 3 e y < 2 A sua negação é: A) x = 3 e y ≥ 2 B) x = 3 e y > 2 C) x = 3 ou y ≥ 2 D) x ≠ 3 e y < 2 E) x ≠ 3 ou y < 2 Agora temos que negar uma proposição da forma p ˄ q, isto é, temos que negar uma conjunção, já fizemos isto na ques-tão 1. Devemos ter atenção na desigualdade y < 2 ( y menor do que 2), como negá-la? Se um número y é menor do que 2 quer dizer que só pode assumir valores menores do que dois, não poderá assumir valor igual ou maior do que 2, desse modo a negação da sentença y < 2 é y ≥ 2 (y maior ou igual a 2). Façamos p: x ≠ 3 q: y < 2 Negando … ~p: x = 3 ~q: y ≥ 2 Já sabemos como negar a conjunção, então ~(p ˄ q) = ~p v ~q: x é igual a 3 ou y é maior ou igual a 2. x = 3 ou y ≥ 2. 28. Os quatro cartões abaixo têm uma letra numa face e um número inteiro na outra.

Considere a afirmação: “Se há uma vogal em uma face, então há um número par na outra face.” Quais dos cartões acima devem ser necessariamente, virados para que se determine se a afirmação acima é verdadeira ou falsa? A) I e II B) II e IV C) II, III e IV D) I e III E) I, II e III Resposta Nesta questão, vamos resolvê-la sem uso direto dos conecti-vos lógicos, tendo atenção a afirmação e ao que se é pedido. Vejamos: Afirmação: “Se há uma vogal em uma face, então há um número par na outra face.” O que é pedido: “Quais dos cartões acima devem ser necessariamente, vira-dos para que se determine se a afirmação acima é verdadei-ra ou falsa?” Cartão I – na face do cartão há o número 5 que é ímpar, neste caso, há a necessidade de virar o cartão, pois preci-samos verificar se tem uma vogal do outro lado de acordo com a afirmação, isto é, sendo 5 não par na outra face deve ter não vogal. Lembre-se da equivalência lógica. Cartão II – neste caso temos C, uma consoante, não há a necessidade de virar, pois o que nos interessa é a vogal. Tanto faz o que terá na outra face. Cartão III – observe que temos uma vogal na face, então há a necessidade de acordo com a afirmação de virar o cartão para que seja verificada sua veracidade, se há um número par na outra face. Cartão IV – neste caso é que muitos estudantes caem em confusão! Veja que temos um número par na face. A afirma-ção ou melhor a ordem da afirmação é que “se há uma vogal



numa face, então tem um número par na outra” e não o con-trário “se há um número par na face, então há uma vogal na outra face”, logo não há a necessidade de virar o cartão já que do outro lado pode ter não vogal. Novamente, a ordem é “vogal então nº. par”. Também, neste caso, lembramos da tabela-verdade do con-dicional, onde p tem valor lógico V e q valor lógico F (ou não), o condicional p → q terá valor lógico F. Percebeu que p faz o “papel” do 6 e q o da não vogal? Mas se ambas as sentenças p e q forem verdadeiras o con-dicional também será. Logo não há a necessidade de virar o cartão. Muitos estudantes questionam o fato de ter que virar o cartão I e não o cartão IV, veja que no cartão I, temos um número não par, precisamos virar para verificar se na outra face não tem uma vogal, de acordo com a afirmação. http://www.calculobasico.com.br/exercicios-de-raciocinio-logico-para-concursos/ 29) (Concurso Escrevente-TJ-SP 2011 – Campinas – Gua-rulhos – VUNESP) Uma empresa comprou 30 panetones iguais da marca K e 40 panetones iguais da marca Y, pagan-do um total de R$ 1.800,00. Sabendo-se que a razão entre os preços unitários dos panetones K e Y é de 2 para 3, nessa ordem, pode-se afirmar que se essa empresa tivesse com-prado todos os 70 panetones somente da marca Y, ela teria gasto, a mais, (A) R$ 600,00. (B) R$ 500,00. (C) R$ 400,00. (D) R$ 300,00. (E) R$ 200,00. SOLUÇÃO:

Logo

Se comprasse tudo da marca y gastaria 70 X 30 = 2100, isto representa 2100 – 1800 = R$ 300,00 a mais Resposta: D 30) (Concurso Escrevente-TJ-SP 2011 – Campinas – Gua-rulhos – VUNESP) Na transmissão de um evento esportivo, comerciais dos produtos A, B e C, todos de uma mesma empresa, foram veiculados durante um tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes números de inserções para cada produto. Sabe-se que a duração de cada inserção, para todos os produtos, foi sempre a mesma, e a maior possível. Assim, o número total de comerciais dessa empresa veicula-dos durante a transmissão foi igual a (A) 32. (B) 30. (C) 24. (D) 18. (E) 16.

SOLUÇÃO Seja t o tempo máximo de cada propaganda. O tempo de cada núncio tem que ser um divisor de 80, 100 e 140 segun-dos. O maior tempo possível será o máximo divisor comum de 80, 100 e 140 segundos. Portanto teremos:

O menor número de anúncios será:

Resposta: E 31) (Concurso Escrevente-TJ-SP 2011 – Campinas – Gua-rulhos – VUNESP) A figura compara as alturas, medidas em metros, de dois painéis decorativos triangulares, fixados em uma perede, que simulam árvores de Natal. Sabendo-se que a soma das me-didas das alturas dos dois painéis é igual a 4 m, e que em cada painel foram instaladas 200 lampadazinhas coloridas por metro quadrado, pode-se concluir que o número de lâm-padas instaladas no painel de maior altura foi igual a

(A) 200. (B) 250. (C) 275. (D) 300. (E) 325. SOLUÇÃO:

Logo

A área do triângulo maior é:

O número de lâmpadas instaladas no painel de maior altura será: 1,25 X 200 = 250 lâmpadas. Resposta: B



32) (Concurso Escrevente-TJ-SP 2011 – Campinas – Gua-rulhos–VUNESP) Uma pessoa pagou 30% do valor total de uma dívida e o restante dela irá pagar em 30 dias, sem acréscimo. Se R$ 3.500,00 correspondem a 20% do valor restante a ser pago, então é correto afirmar que, ao pagar 30% do valor da dívida, a pessoa desembolsou (A) R$ 5.200,00. (B) R$ 6.800,00. (C) R$ 7.500,00. (D) R$ 7.850,00. (E) R$ 8.200,00. SOLUÇÃO Seja x o valor total da dívida.

Logo 30% do valor da dívida corresponde a: 35%x25000 = R$ 7.500,00 Resposta: C

http://blog.iobconcursos.com/prova-resolvida-raciocinio-

logico/

33. “Em um grupo de 100 atletas, 17 são corredores e nada-dores; 13 são nadadores e ciclistas; 21 são corredores e ciclistas. Apenas um atleta pratica essas três modalidades. Os demais estão distribuídos igualmente na prática de ape-nas uma dessas modalidades. Ao todo, o número de ciclistas desse grupo é igual a a) 47 b) 51 c) 52 d) 55″ Resposta Para resolver a questão, convidamos o professor de raciocí-nio lógico para concursos Paulo Henrique (mais conhecido como “PH”). Confira sua resposta: “Quando temos uma questão de conjuntos, devemos buscar primeiro a intersecção entre os conjuntos. Pela leitura da questão, temos 3 conjuntos: corredores, nadadores e ciclis-tas. E mais: Apenas um atleta pratica essas três modalida-des. É por aqui que iremos começar…

Próximo passo: intersecção entre 2 conjuntos. Lembrando que precisamos diminuir de cada valor a intersecção dos 3 que já colocamos, ok? Fica assim:

Para acabar, faltam os atletas para apenas uma modalidade (que é o que a questão pede):

=> a + b + c + 16 + 20 + 12 + 1 = 100 => a + b + c + 49 = 100 => a + b + c = 100 – 49 = 51 Resposta: letra B.

http://aloconcurseiro.jornaldaparaiba.com.br/

34. Três pessoas, Ana, Bia e Carla, têm idades (em nú-mero de anos) tais que a soma de quaisquer duas delas é igual ao número obtido invertendo-se os algarismos que formam a terceira. Sabe-se, ainda, que a idade de cada uma delas é inferior a 100 anos (cada idade, portanto, sendo indicada por um algarismo da dezena e um da unidade). Indicando o algarismo da unidade das idades de Ana, Bia e Carla, respectivamente, por A1, B1 e C1; e indicando o algarismo da dezena das idades de Ana, Bia e Carla, respectivamente, por A2, B2 e C2, a soma das idades destas três pessoas é igual a: a) 3 (A2+B2+C2) b) 10 (A2+B2+C2) c) 99 – (A1+B1+C1) d) 11 (B2+B1) e) 3 (A1+B1+C1) RESOLUÇÃO: Vamos representar as idades de Ana, Bia e Carla através do seguinte artifício: Idade de Ana (A2A1) onde A2 é o algarismo das dezenas e A1 é o algarismo das unidades. Idade de Bia (B2B1) onde B2 é o algarismo das dezenas e B1 é o algarismo das unidades. Idade de Carla (C2C1) onde C2 é o algarismo das dezenas e C1 é o algarismo das unidades. Logo a soma das idades das três será dada por: Soma (S) = A2A1 + B2B1 + C2C2 Mas lembrando que: Se A2 é o algarismo das dezenas e A1 representa o algaris-mo das unidades, posso representar o número por: A2A1 = 10A2 + A1 e S = A2A1 + B2B1 + C2C2 = 10A2 + A1 + 10B2 + B1 + 10 C2 + C1 (equação I)



Sabe-se também que a soma de quaisquer duas delas é igual ao número obtido invertendo-se os algarismos que formam a terceira, ou seja: A2A1 + B2B1 = C1C2 (equação II) A2A1 + C2C1 = B1B2 (equação III) B2B1 + C2C1 = A1A2 (equação IV) Da equação III, tem-se A2A1 + C2C1 = B1B2 10A2 + A1 + 10C2 + C1 = 10B1 + B2 logo: 10A2 + 10C2 + A1 + C1 = 10B1 + B2 (equação V) Substituindo a equação V na equação I, tem-se: Soma = 10A2 + 10C2 + A1 + C1 + 10 B2 + B1 = 10B1 + B2 + 10B2 + B1 = 11B1 + 11B2 = 11(B1+B2) Resposta: ALTERNATIVA D 35. Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que: a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas; b) marido e esposa não jogam entre si. Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o mari-do de Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são, respectiva-mente: a) Celina e Alberto b) Ana e Carlos c) Júlia e Gustavo d) Ana e Alberto e) Celina e Gustavo RESOLUÇÃO: Sabe-se que neste torneio especial de xadrez algumas re-gras devem ser seguidas, a saber: Regra 1) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas segui-das; Regra 2) marido e esposa não jogam entre si. Agora, vamos visualizar a sequência de partidas: 1ª partida: Celina joga contra Alberto 2ª partida: Ana joga contra o marido de Júlia 3ª partida: A esposa de Alberto joga contra o marido de Ana 4ª partida: Celina joga contra Carlos 5ª partida: Esposa de Gustavo joga contra Alberto Inicialmente vamos imaginar quem é a esposa de Tiago: I) Já que marido e esposa não jogam entre si, sabe-se que Celina não é esposa nem de Alberto nem de Carlos. (ver 1ª e 4ª partidas). II) Já que nenhuma pessoa pode jogar duas partidas segui-das, Celina não é esposa de Gustavo. (ver 5ª partida). III) Só sobrou para Celina ser esposa de Tiago (e as repostas possíveis no gabarito são as alternativas A e E). Agora vamos analisar quem é o marido de Helena IV) Já que nenhuma pessoa pode jogar duas partidas segui-das Alberto não é marido de Júlia e nem pode ser marido de Ana (ver 1ª e 2ª partidas) V) Sabemos também que Alberto não é marido de Celina (Celina é esposa de Tiago). VI) Desse modo, só nos resta deduzir que Alberto é marido de Helena. Resposta: ALTERNATIVA A 36- Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sen-tados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é

carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. RESOLUÇÃO: Dados do problema: I) São quatro sindicalistas sentados em torno de uma mesa quadrada II) Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro III) Há também um paulista, um carioca e um baiano IV) Paulo está sentado à direita de Oliveira V) Norton, à direita do paulista VI) Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Analisando os dados do problema chega-se aos seguintes conceitos: Vasconcelos (baiano) Oliveira (mineiro) Norton (carioca) Paulo (paulista) Resposta: ALTERNATIVA A 37. Paulo, João, Beto, Márcio e Alfredo estão numa festa. Sabendo-se que cada um deles possui diferentes profis-sões: advogado, administrador, psicólogo, físico e médi-co. Temos: I) O advogado gosta de conversar com Beto, Márcio e João, mas odeia conversar com o médico II) Beto joga futebol com o físico III) Paulo, Beto e Márcio jogam vôlei com o administrador IV) Alfredo move uma ação trabalhista contra o médico. Podemos afirmar que Paulo é.... RESOLUÇÃO: No 1º item: 'O advogado gosta de conversar com Beto, Már-cio e João, mas odeia conversar com o médico' --> o advo-gado e o médico podem ser Alfredo e Paulo No 4º item: 'Alfredo move uma ação trabalhista contra o médico' ----> Alfredo não é o médico Então, compare com o 4º com o 1º item: Alfredo é o advoga-do e Paulo é o médico. Resposta: Paulo é o médico Cleciana Alves de Oliveira Rangel 38) Carlos Eduardo passa pelo quarto de seu filho Cadu e percebe que ele está jogando um punhado de dados cúbicos e comuns sobre a mesa, ou seja, um punhado de dados com as faces numeradas de 1 a 6. Ele pergunta o que Cadu pre-tende lançando aquela quantidade de dados e Cadu respon-de que pretende lançá-los até que a soma de todos os núme-ros que aparecem nas faces voltadas para cima se repita. Carlos Eduardo diz a seu filho que, para ter certeza de que isso ocorrerá, ele deverá lançar, no mínimo, 101 vezes os dados. Cadu retira, então, alguns dados e começa a lançar apenas os restantes. Seu pai diz que, agora, ele deverá lançar, no mínimo, 21 vezes para garantir que a soma se repita. Quantos dados Cadu retirou da quantidade que tinha inicialmente? A) 20 B) 16 C) 14 D) 8 E) 4 Comentários do Prof. Leandro S. Vieira:Ao se lançar dados, a quantidade de somas possíveis para as faces voltadas para cima é dada por [(N° de faces x N° de dados) - (N° de dados - 1)]. Como os dados possuem 6 faces, tem-se que a quantidade de somas possíveis para as faces voltadas para cima é [(6 × N° de dados) - (N° de dados - 1)]. Com 20 dados tem-se que [(6 × 20) - (20 - 1)] = 101 somas possíveis. Com



4 dados tem-se que [(6 × 4) - (4 - 1)] = 21 somas possíveis. A diferença entre os dados antes e depois de Cadu retirar será 20 - 4 = 16 dados.Gabarito: OPÇÃO B 39) Dezoito pessoas saíram de uma sala. Com isso, apenas 60% do número de pessoas inicialmente presentes perma-neceram na sala. Quantas pessoas havia na sala inicialmen-te? A) 63 B) 54 C) 48 D) 45 E) 30 Comentários do Prof. Leandro S. Vieira:Se com 18 pessoas fora da sala há apenas 60% do total inicial na sala, tem-se que 18 pessoas representam 40% do total inicial na sala. Portanto, 18 pessoas estão para 40% assim como X pessoas estão para 100%. X = 18 × 100% ÷ 40% = 18 × 5 ÷ 2 = 9 × 5 = 45 pessoas.Gabarito: OPÇÃO D! 40) Um bazar de títulos de videogames troca três jogos de ação por 4 jogos de tiro em primeira pessoa ou 5 jogos de tiro em primeira pessoa por 3 jogos de esportes. O mesmo bazar vende um jogo de esporte por 40 reais. Mantendo as proporções observadas nas trocas para determinar o preço de cada tipo de jogo, por quantos reais o bazar deveria ven-der um jogo de ação? A) 32 B) 28 C) 25 D) 24 E) 20 Comentários do Prof. Leandro S. Vieira:Cada jogo de esporte custa R$ 40,00. Se cada 3 jogos de esportes custam o mes-mo que 5 jogos de tiro em primeira pessoa, tem-se que cada jogo de tiro em primeira pessoa custa 3 × R$ 40,00 ÷ 5 = 3 × R$ 8.00 = R$ 24,00. Se cada 3 jogos de ação custam o mesmo que 4 jogos de tiro em primeira pessoa, tem-se que cada jogo de ação custa 4 × R$ 24,00 ÷ 3 = 4 × R$ 8,00 = R$ 32,00.Gabarito: OPÇÃO A! 41. Em uma caixa há 12 bolas de mesmo tamanho: 3 bran-cas, 4 vermelhas e 5 pretas. Uma pessoa, no escuro, deve retirar n bolas da caixa e ter a certeza de que, entre elas, existem três da mesma cor. O menor valor de n para que se tenha essa certeza é: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 RESOLUÇÃO: Antes de resolver especificamente, vamos explicar de forma a abranger outras questões do tipo. Trata a questão, do prin-cípio do pombal ou princípio da casa dos pó bos, que afirma que se n pombos são colocados em m casas de pombos, e n > m, pelo menos uma das casas contém mais de um pombo. Suponha 12 pombos presos e 12 casas de pombos. Se sol-tarmos todos os pombos, não podemos garantir que 2 pom-bos entrarão na mesma casa. Pode ser que cada um entre em uma única casa. Mas se tivermos 13 pombos, com certe-za uma das casas conterá 2 pombos. Trazendo para um exemplo de questão comum de ser cobrada: Sabendo que existem n pessoas em uma sala, qual o número mínimo de pessoas para garantir que 2 nasceram no mesmo mês? Resposta: Temos 12 meses no ano e pelo princípio da casa dos pombos: (12*1) + 1 = 13 pessoas. E, se a pergunta fosse: qual o número mínimo de pessoas para garantir que 3 nasceram no mesmo mês? Resposta: pelo princípio da casa dos pombos: (12*2) + 1 = 25 pessoas. Se pegássemos 24 pessoas, poderíamos ter 2 nascidas em cada mês do ano. Adicionan-do mais uma pessoa, teremos a certeza de que ela nasceu no mesmo mês que, pelo menos (na pior hipóte-se), outras 2 pessoas presentes na sala e assim, teríamos garantido 3 pessoas com o mesmo mês de nasci-mento. E, se a pergunta fosse: qual o número mínimo de pessoas para garantir que 4 nasceram no mesmo mês?

Resposta: pelo princípio da casa dos pombos: (12*3) + 1 = 37 pessoas. Mais um exemplo: Quantas jogadas de dado teremos que fazer para ter certeza que um mesmo número será sorteado 2 vezes? Resposta: Pensando na pior hipótese, pode acontecer de, jogando 6 vezes o dado, serem diferentes os 6 números sorteados. E se jogarmos o dado novamente? Com certeza o resultado será igual a um dos números anteriormente sorteados. Então, com 7 jogadas, garantiremos 2 resultados iguais. Pelo princípio da casa dos pombos: (6*1) + 1 = 7 jogadas. Agora vamos para a questão dada, especificamente nesta prova, que pede o número mínimo de bolas a retirar da caixa de forma a que se tenha a certeza de que 3 bolas serão da mesma cor. Temos 3 cores para as bolas (brancas, vermelhas e pretas). É como se fossem as casas; Bolas a retirar: n (é como se fossem os pombos); Número de coincidências desejado: 3. Pelo princípio da casa dos pombos: (3*2) + 1 = 7 bolas. Se quiséssemos apenas 2 bolas iguais, a resposta seria: (3*1) + 1 = 4 bolas. Gabarito: Letra C. 42. A negação de “Nenhum atleta é gordo” é: A) Há pelo menos um atleta gordo. B) Alguns gordos são atletas. C) Todos os atletas são gordos. D) Todos os gordos são atletas. E) Todos os atletas são magros. RESOLUÇÃO: A sentença “Nenhum atleta é gordo” equivale à sentença: “Não existe atleta gordo”, que poderíamos escrever na linguagem lógica como: �/ x p(x). Para negá-la, basta negar o quantificador existencial (�). Como ele já está sendo negado e a negação da negação passa a ser uma afirmação, teremos: �x p(x), ou seja, “Existe atleta gordo”, que equivale a “Algum atleta é gordo”, ou ainda: “Há pelo menos um atleta gordo”. Gabarito: Letra A. https://www.editoraferreira.com.br/Medias/1/Media/Professores/ToqueDeMestre/PedroBello/Toq_33_Pedro_Bello.pdf 43. Devido à proximidade das eleições, foi decidido que os tribunais eleitorais deveriam funcionar, em regime de plantão, durante um determinado domingo do ano. Em relação a esse plantão, foi divulgada a seguinte orienta-ção: “Se todos os processos forem analisados até às 11 ho-ras, então o plantão será finalizado nesse horário.” Considere que a orientação foi cumprida e que o plantão só foi finalizado às 18 horas. Então, pode-se concluir que, necessariamente, (A) nenhum processo foi analisado até às 11 horas. (B) todos os processos foram analisados até às 11 horas. (C) pelo menos um processo terminou de ser analisado às 18 horas. (D) todos os processos foram analisados até às 18 horas. (E) pelo menos um processo não foi analisado até às 11 horas. Resolução: “Se todos os processos forem analisados até às 11 horas, então o plantão será finalizado nesse horário.” Comentário: Se todos os processos forem analisados até as 11 horas, então podemos garantir que o plantão será finali-zado nesse horário. Resposta letra E Comentário: Se o plantão foi finalizado depois das 11 horas, então podemos afirmar que pelo menos um processo não foi analisado nesse horário.



44. Um ano bissexto possui 366 dias, o que significa que ele é composto por 52 semanas completas mais 2 dias. Se em um determinado ano bissexto o dia 1ª de janeiro caiu em um sábado, então o dia 31 de dezembro cairá em (A) um sábado. (B) um domingo. (C) uma 2ª feira. (D) uma 3ª feira. (E) uma 4ª feira. Resolução: Comentário: Os dias da semana representam uma sequência cíclica, ou seja, chegando ao último dia da semana então retornamos para o primeiro dia. 336: 7 – temos resto 2 1ª dia: Sábado ( 1ª dia da sequência, pois começamos no sábado) 2ª dia: Domingo Resposta letra B. 45. Os amigos André, Felipe e Pedro estão disputando um jogo composto por 10 rodadas. Ao final de cada ro-dada do jogo, que não admite empates, o vencedor da rodada recebe R$ 30,00 do 3º colocado e R$ 20,00 do 2º colocado. Cada um dos amigos começou o jogo com R$ 300,00 e, ao final da oitava rodada, André estava com R$ 410,00, Felipe com R$ 240,00 e Pedro com R$ 250,00. Nessas condições, pode-se concluir que necessariamente, ao final da décima rodada, (A) Felipe será o jogador com menos dinheiro dentre os três. (B) André e Pedro terão quantidades diferentes de di-nheiro. (C) cada um dos três jogadores terá, no mínimo, R$ 200,00. (D) André ainda terá mais dinheiro do que Felipe. (E) Felipe terá uma quantia menor ou igual a R$ 300,00. Resolução: (A) Felipe será o jogador com menos dinheiro dentre os três. Item errado, pois existe a possibilidade André ter menos dinheiro de todos. (B) André e Pedro terão quantidades diferentes de dinheiro. Item errado, não podemos garantir essa possibilidade. (C) Cada um dos três jogadores terá, no mínimo, R$ 200,00. Item Errado, existe a possibilidade de Felipe ou Pedro termi-narem com um valor inferior a R$ 200. (D) André ainda terá mais dinheiro do que Felipe. Item Correto. Comentário: André perdendo as duas rodas (na 3ª coloca-ção) vai ficar com R$ 360 ( 410 -50). Felipe ganhando as duas vai ficar com R$ 340 ( 240 + 100) Resposta letra D

www.brunovillar.com.br 46. Uma lanchonete oferece aos seus clientes as seguintes opções para montar um sanduíche: 2 tipos de patês, 3 tipos de queijos, 4 tipos de frios e 3 tipos de folhas de saladas. Se uma pessoa quiser montar um sanduíche com apenas um ingrediente de cada tipo, o número de maneiras diferentes que ela poderá montar esse sanduíche será (A) 80. (B) 72. (C) 63. (D) 50. (E) 44. Solução

Temos: 2 tipos de patês 3 tipos de queijos 4 tipos de frios 3 tipos de folhas de saladas Logo pelo princípio fundamental da contagem temos 2 x 3 x 4 x 3 = 72 maneiras diferentes de montar o sanduíche. Opção correta: B. 47. Um executivo querendo se organizar, precisa agrupar uma série de pastas que estão em seu poder.Percebe-se que se montar grupos de 3 pastas, 1 fica sobrando, caso agrupe de 4 em 4 pastas, sobram 2.Montando grupos de 5 pastas, restam 3 e,caso agrupe e 6 em 6 pastas, restam 4. Quantas pastas tem o executivo, sabendo-se que são menos de 100? A) 56 B) 57 C) 58 D) 59 E) 60 Solução: Se montar grupos de 3 pastas, 1 fica sobrando. Logo x +2 é múltiplo de 3. Caso agrupe de 4 em 4 pastas, sobram 2. Logo x +2 é múltiplo de 4. Montando grupos de 5 pastas, restam 3 . Logo x +2 é múltiplo de 5. Caso agrupe e 6 em 6 pastas, restam 4. Logo x +2 é múltiplo de 6. Como o MMC(3,4,5,6) = 60, temos que os valores possíveis para (x+2) são 60, 120, 180,.... Logo a resposta será x + 2 = 60. Isto é x = 58. Opção correta: C http://professorjoselias.blogspot.com.br/ 48. Em um jogo, uma ficha preta vale o mesmo que 02 fichas azuis. Uma ficha azul equivale a 12 fichas amare-las, 6 verdes equivalem a uma preta e 10 brancas, a uma verde. Dessa forma, uma ficha azul equivale a: a) 1 verde e 1 amarela b) 1 verde e 2 amarelas c) 1 verde, 1 amarela e 5 brancas d) 2 verdes e 2 amarelas e) 2 verdes, 2 amarelas e 5 brancas RESOLUÇÃO Para simplificar, vamos identificar uma variável para cada cor da ficha, logo temos: x= azul ; y=amarela ; w= verde ; z=preta ; i=brancas então: z=2x ; x=12y ; 6w= z ; 10i=w, como a questão quer saber quanto uma ficha azul equivale, vamos focar no resul-tado do x que deve ser igual a soma de w+y+i (verde, amare-la e branco). Supondo que y=1 e substituir nas equações acima, temos: y=1 ; x=12 ; z=24 ; w=4 ; i=0,4 Então, necessariamente, a soma da quantidade de cada cor deve ser igual a 12 , que é a ficha azul que procuramos. Substituindo cada valor nas opções das respostas, temos: a) w + y = 5 b) w+2y= 4 +2.1 = 6 c) w + y + 5i = 4 + 1 +5.0,4 = 7 d) 2w + 2y = 4.2 + 2.1 = 10 e) 2w + 2y + 5i = 4.2 + 2.1 + 5.0,4 = 12 = x Portanto, uma ficha azul equivale a 2 verdes, 2 amarelas e 5 brancas. 49. Se é verdade que alguns adultos são felizes e que ne-nhum aluno de matemática é feliz, então é necessariamente verdade que: a) algum adulto é aluno de matemática. b) nenhum adulto é aluno de matemática. c) algum adulto não é aluno de matemática.



d) algum aluno de matemática é adulto. e) nenhum aluno de matemática é adulto. GABARITO C. Comentários: Há adultos felizes e não há aluno de matemática feliz. Então há adultos que não são alunos de matemática. Quais adul-tos? Aqueles que são felizes. 50. Um polígono regular possui 48 diagonais que não pas-sam pelo seu centro. A partir desta informação, pode-se concluir que o número de lados desse polígono é igual a: a) 12 b) 36 c) 24 d) 48 e) 22 GABARITO A. Comentários: As diagonais são formadas pela união de dois vértices. Mas a ligação de vértices AB é a mesma de vértices BA. Um triângulo, por exemplo, possui 3 lados e 3 vértices Um quadrado, por exemplo, possui 4 lados e 4 vértices Um hexágono, por exemplo, possui 6 lados e 6 vértices. Logo, o número de lados é o mesmo número de vértices. Mas, quando um vértice está ao lado do outro, teremos um lado e não uma diagonal. Assim, um triângulo não possui diagonal. Um quadrado possui duas diagonais Assim, cada vértice poderá formar (n-3) diagonais com ou-tros vértices. Mas como são n vértices, então teremos n x (n-3) diagonais que saem dos vértices. Mas como a diagonal AB é idêntica a BA, então teremos que o número de diagonais de um polígono será n x (n-3) / 2 Mas diz que devemos excluir as diagonais que passam pelo centro. No quadrado, são 4 lados e há 2 diagonais que passam pelo centro. No hexágono, são 6 lados e há 3 diagonais que passam pelo centro. No octógono, são 8 lados e há 4 diagonais que passam pelo centro. Logo, o número de diagonais que passam pelo centro (e devem ser excluídas) é a metade do número de lados. Então teremos Alternativa A) 12 lados, ou seja, 12 vértices. Com 12 vértices teremos 12 x (12-3) / 2 = 54 diagonais, das quais 6 não passam pelo centro. Desta forma, serão 48 diagonais que não passam pelo cen-tro. ALTERNATIVA A) 51. Ana está realizando um teste e precisa resolver uma questão de raciocínio lógico. No enunciado da questão, é afirmado que: “todo X1 é Y. Todo X2, se não for X3, ou é X1 ou é X4. Após, sem sucesso, tentar encontrar a alternativa correta, ela escuta alguém, acertadamente, afirmar que: não há X3 e não há X4 que não seja Y. A partir disso, Ana con-clui, corretamente, que: a) todo Y é X2. b) todo Y é X3 ou X4. c) algum X3 é X4. d) algum X1 é X3. e) todo X2 é Y.

Comentários:

O enunciado final diz, em resumo, que todo X3 e todo X4 são Y.

52. Duas estudantes de química, Sara e Renata, estão traba-lhando com uma mistura de amônia e água. Renata está trabalhando com a mistura de amônia e água, na proporção de 5:9, ou seja: 5 partes de amônia para 9 partes de água. Sabe-se que Sara está trabalhando com a mistura de amônia e água na proporção de 8:7, ou seja: 8 partes de amônia para 7 partes de água. Desse modo, para se obter uma mis-tura de amônia e água na proporção de 1:1, as misturas de Sara e Renata devem ser misturas, respectivamente, na proporção: a) 8:15 b) 7:35 c) 30:7 d) 35:7 e) 32:5. GABARITO C. Comentário: Proporção de Amônia para água Sara: 8/7 Renata: 5/9 Água e amônia para 1:1, então terão a mesma quantidade Água de Sara 7/15 e água de Renata 9/14 Amônia de Sara 8/15 e amônia de Renata 5/14 Total de água = total de amônia 7s/15 + 9r/14 = 8s/15 + 5r/14 14 x 7s + 15 x 9r = 14 x 8s + 15 x 5r 98s + 135r = 112s + 75r 135r – 75r = 112s – 98s 60r = 14s s/r = 60/14 s/r = 30/7 https://www.aprovaconcursos.com.br/ 53. Certo dia, João afirmou: Se eu tivesse ido ao banco ontem, eu não precisaria ir ao banco amanhã. No dia seguinte, não tendo ido ao banco ainda, João di-ria algo logicamente equivalente ao que dissera no dia ante-rior, se tivesse dito: (A) Como não fui ao banco hoje, fui ao banco anteontem. (B) Como não fui ao banco ontem, irei ao banco hoje. (C) Como não fui ao banco hoje, fui ao banco ontem. (D) Como preciso ir ao banco hoje, não fui ao banco anteon-tem. (E) Como preciso ir ao banco hoje, eu fui ao banco ontem. Resposta correta: D



Comentário: No dia seguinte o “ontem” virou “anteontem” e o “amanhã” virou “hoje”. Se A à ~B O equivalente poderá ser Se B à ~A Se preciso ir ao banco hoje, então não fui ao banco anteon-tem 54. Sabe-se que: Se João anda de navio ou não anda de trem, então João se perde. Se João anda de trem, então João é paulista. Se João não poupa, então João anda de navio. Assim, se João não se perde, então João A: João anda de navio B: João anda de trem C: João se perde D: João é paulista E: João poupa P1: (A ou ~B) à C (V) P2: B à D (V) P3: ~E à A (V) P4: ~C (V) Comentário: P4 é verdadeira, então ~C é verdadeiro, C é falso. Com C falso, em P1 teremos (A ou ~B) falso. Para isto, am-bos serão falsos, assim teremos A falso e ~B falso, ou seja, A falso e B verdadeiro. Com B verdadeiro, na P2, teremos D verdadeiro Com A falso, na P3 teremos ~E falso, ou seja, E verdadeiro. Desta forma A: João anda de navio (F) – João não anda de navio B: João anda de trem (V) – João anda de trem C: João se perde (F) – João não se perde D: João é paulista (V) – João é Paulista E: João poupa (V) – João poupa. Vendo as alternativas (A) é paulista e poupa. = V e V = V – alternativa correta (B) é paulista, mas não poupa. V e F = F (C) não é paulista e não poupa. F e… = F (D) não é paulista, mas poupa. F e … = F (E) ou não é paulista, ou não poupa. Ou F ou F = F Resposta correta: A 55. Considere a afirmação feita sobre o setor de uma empre-sa no qual há funcionários lotados: “No setor de uma empresa, há algum funcionário com, no mínimo, 32 anos de idade.” A fim de se negar logicamente essa afirmação, argumenta-se que Comentário Quando negamos que existe algum, recaimos no todo não Todo funcionário não possui no mínimo 32 anos de idade Como dizer no mínimo 32 anos significa 32 anos ou mais, então negar isto que dizer que é menos de 32 anos. Assim: Todo funcionário possui menos de 32 anos de idade. Isto corresponde à letra E. (A) nenhum funcionário do setor tem 32 anos. (B) há apenas um funcionário do setor com 32 anos. (C) todos os funcionários do setor têm, no mínimo, 33 anos. (D) todos os funcionários do setor têm, no máximo, 32 anos. (E) todos os funcionários do setor têm, no máximo, 31 anos. Resposta correta: E 56. Um professor escolheu três alunos de sua turma para fazerem seminários sobre medidas de tendência central: João, Carlos e Maria. A média aritmética, a mediana e a moda foram as medidas escolhidas pelo professor para se-rem os temas dos seminários. Cada um dos alunos abordou

apenas uma das três medidas de tendência central, sendo que, ao final, cada uma delas foi tema de algum seminário. Sabe-se que: • Sobre a mediana, falou João ou Maria; • Sobre a moda, falou Maria ou Carlos; • Sobre a média aritmética, falou Carlos ou Maria; • Ou João falou sobre a média aritmética, ou Carlos falou sobre a moda. A média aritmética, a mediana e a moda foram, respectiva-mente, os temas dos seminários de Comentário: Como cada um dos alunos abordou apenas um tema, assim teremos que, tendo João abordado sobre mediana, por exemplo, não abordou outros assuntos. Esta é a única forma que o “ou” possui a forma de “ou…ou”, pois é exclusivo. Vejamos que Carlos e Maria se repetem na segunda e na terceira frases, logo se um falou sobre moda, o outro falou sobre média. Assim Maria tem de ter falado sobre moda ou média, não falando sobre mediana. Assim quem falou sobre mediana, pela primeira afirmação, foi João. Com isto, pela última, Carlos falou sobre moda, pois João não falou sobre moda Desta forma resta somente Maria ter falado sobre média aritmética João: mediana Carlos: moda Maria: média aritmética A média aritmética, a mediana e a moda foram, respecti-vamente, os temas dos seminários de (A) Carlos, João e Maria (B) Carlos, Maria e João (C) Maria, João e Carlos (D) Maria, Carlos e João (E) João, Maria e Carlos Resposta correta: C 57. Considere verdadeiras as seguintes premissas: Todas as pessoas que andam de trem moram longe do cen-tro. Todas as pessoas que andam de carro não andam de ôni-bus. Algumas pessoas andam de ônibus e de trem. Comentário:

Os conjuntos de “carro” acima são as possibilidades de loca-lização desse grupo, sendo que todos ficam afastados do conjunto ônibus e não podemos garantir quaisquer destes com certeza. O conjunto de “carro” só não pode se misturar com ônibus e, como há pessoas que andam de trem e ônibus, então pode-mos concluir que há pessoas que andam de trem que não andam de carro. Quais? Aquelas que andam de ônibus, pois se anda de ônibus não anda de carro. Como todos os que andam de trem moram longe, então também podemos concluir que algumas pessoas que moram longe não andam de carro. Quais? Aquelas que andam de trem e ônibus, pois todos os que andam de ônibus não an-dam de carro.



Portanto, (A) algumas pessoas que moram próximo do centro andam de carro ou de ônibus. (B) algumas pessoas que moram longe do centro não andam de carro. (C) todas as pessoas que moram próximo do centro andam de trem. (D) algumas pessoas que andam de carro moram longe do centro. (E) todas as pessoas que andam de carro moram longe do centro. Resposta correta: B 58. O carpinteiro José teve de dividir (sem sobras) uma placa retangular de dimensões 7 dm por 6 dm, em quadrados de lados expressos por um número inteiro de decímetros, de modo a obter o menor número de quadrados possível. De-pois de vários ensaios, ele conseguiu resolver o problema, obtendo apenas 5 quadrados, cuja solução está indicada na Figura abaixo, com as medidas em decímetros.

Agora José tem de resolver o mesmo problema, porém no caso do retângulo de dimensões 6 dm por 5 dm. Nesse caso, o menor número de quadrados obtidos será Comentário: Questão de percepção mesmo. Raciocínio lógico puro. Segue desenho

(A) 12 (B) 9 (C) 6 (D) 5 (E) 4 Resposta correta: D 59. O agente secreto 0,7 resolve criar um sistema de códigos secretos que consiste em fazer cada letra do alfabeto corres-ponder a um número e, em seguida, tomar uma palavra, ou uma disposição qualquer de letras (tendo ou não significado), e multiplicar os valores de suas letras, obtendo, dessa forma, o código. O valor atribuído a uma letra será sempre o mes-mo, onde quer que ela apareça.

Assim, ele encontrou os códigos para as seguintes palavras: GEOGRAFIA = 56 e AGORA = 24. Sabendo-se que o número que corresponde à letra F é o dobro do número atribuído à letra B, o código de IBGE é Comentário: O código está em MULTIPLICAÇÃO. GEOGRAFIA é AGORA x IFGE 24 x IFGE = 56 IFGE = 56/24, dividindo por 8 ambos os termos… IFGE = 7/3 Mas F é o dobro de B, então teremos que Ix 2B xGE = 7/3 Então IBGE = 7/6 (A) 7/6 (B) 7/4 (C) 7/2 (D) 8/3 (E) 8/5 Resposta correta: A 60. Três homens, Ari, Beto e Ciro, e três mulheres, Laura, Marília e Patrícia, formam três casais (marido e mulher). Dentre as mulheres, há uma médica, uma professora e uma advogada. A mulher de Ari não se chama Patrícia e não é professora. Beto é casado com a advogada, e Ciro é casado com Laura. Comentário: A mulher de Ari não se chama Patrícia e não é professora A mulher de Ari será ou Laura ou Marília/ ou médica ou ad-vogada Beto é casado com a Advogada, logo Ari é casado com a médica. Ciro é casado com Laura, logo Ari é casado com Marília. Então a esposa de Ari é Marília e ela é médica. Ciro é casado com Laura, então Beto é casado com Patrícia. Logo Patrícia é Advogada Assim resta a Laura ser professora. As profissões de Laura, Marília e Patrícia são, respectiva-mente (A) advogada, médica e professora (B) advogada, professora e médica (C) professora, médica e advogada (D) professora, advogada e médica (E) médica, professora e advogada Resposta correta: C

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61. Com o objetivo de preservar a espécie durante o perío-do reprodutivo, determinado município estabeleceu um limi-te de pesca de camarão que dizia o seguinte: É permitida a pesca de 3 kg de camarão e mais um camarão, não podendo haver mais do que 12 camarões com medida superior a 15 cm. Considere que uma pessoa pesque oito camarões, to-dos com medida superior a 15 cm. Analise os procedimentos a seguir para decidir se essa pescaria está dentro do limi-te permitido. I - Verificar se a soma dos pesos de todos menos o peso do mais pesado não ultrapassa 3 kg. II - Verificar se a soma dos pesos de metade deles não ultrapassa 1,5 kg. III - Verificar se a soma dos pesos de metade deles mais o peso do mais pesado ultrapassa 1,5 kg. É (São) eficaz(es) APENAS o(s) procedimento(s) (A) I. (B) II. (C) III. (D) I e II. (E) I e III.



Resolução: Mais um tipo de questão onde o melhor é analisar as afirma-ções item por item: I - Verificar se a soma dos pesos de todos menos o peso do mais pesado não ultrapassa 3 kg. Essa alternativa com certeza satisfaz a condição estabeleci-da pelo município. É basicamente a regra literal. Resta agora saber se as opções II ou III podem ser viáveis também. II - Verificar se a soma dos pesos de metade deles não ultrapassa 1,5 kg. Essa alternativa não é eficaz. Basta pensarmos em um caso onde ela não funcionaria. Imagine que a metade escolhida para realizar o peso seja dos camarões mais leves, nesse caso o peso total poderia ser de mais de 3 kg, mesmo consi-derando que você não inclua o mais pesado na pesagem. III - Verificar se a soma dos pesos de metade deles mais o peso do mais pesado ultrapassa 1,5 kg. Essa alternativa também tem o mesmo problema da alterna-tiva anterior. Caso se escolha os camarões mais leves um conjunto que deveria ser rejeitado pode vir a ser aceito. E por outro lado, caso se escolha a metade dos camarões mais pesados um conjunto que deveria ser aceito seria rejeitado. Assim concluímos que a única opção válida é a I, logo Alter-nativa A 62. Uma loja vende, por semana, 250 unidades de determi-nado modelo de televisor a R$ 1500,00 cada um. Segundo uma pesquisa de mercado, para cada abatimento de R$ 100,00 oferecido ao comprador, o número de aparelhos ven-didos aumenta em 50 unidades semanais. Desse modo, o faturamento máximo com a venda semanal desses aparelhos é um valor entre: a) R$ 375 000,00 e R$ 420 000,00. b) R$ 421 000,00 e R$ 455 000,00. c) R$ 460 000,00 e R$ 480 000,00. d) R$ 485 000,00 e R$ 495 000,00. e) R$ 496 000,00 e R$ 510 000,00. Em questões desse tipo, uma estratégia simples para se chegar a conclusão do valor do faturamento máximo é sepa-ramos os valores por meio de uma simples tabela, veja:

Unidades Valor(R$)/Un. Faturamento(R$)

250 1500 375000

300 1400 420000

350 1300 455000

400 1200 480000

450 1100 495000

500 1000 500000

550 900 495000

Veja (em azul) que para o preço de R$ 1000,00, temos 500 unidades vendidas e um faturamento de R$ 500.000,00. Faturamento = 500.1000 = 500000. Para um preço de R$ 900,00, teremos 550 unidades vendi-das, mas o faturamento é menor. Portanto o faturamento máximo obtido é de R$ 500.000,00.

63. Em uma empresa, os empregados têm direito a descanso remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em de-terminado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias. Com base nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses empregados foi: a) superior a 16 e inferior a 20. b) superior a 20 e inferior a 24. c) superior a 24. d) inferior a 12. e) superior a 12 e inferior a 16. De acordo com o enunciado do problema, a cada 15 dias trabalhados o empregado tem direito a um dia de folga. Trabalha-se 15 dias e folga-se um. Podemos verificar que as folgas são sempre no 16º dia corrido, após a última folga. Isto é, de 16 em 16 dias o empregado tem uma folga. Exemplo: Em 32 dias de trabalho, o empregado terá duas folgas (32 : 16 = 2). Veja neste exemplo que 32 dias é a soma dos dias trabalha-dos (30) com os dias de folga (2). Considerado 224 dias (trabalho + folga), a quantidade de dias de descanso (folga) será de 224 : 16 = 14 dias. 64. Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Car-los. Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. Ora, Leila não é tia de Maria. Logo a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana. b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Ro-drigo. RESOLUÇÃO: Temos, no argumento lógico do enunciado da questão, 4 premissas, sendo pedida uma conclusão. Para que esse argumento lógico seja válido, com todas as premissas verdadeiras a conclusão também terá que ser verdadeira. As 4 premissas: 1) Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos; 2) Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo; 3) Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Ma-ria; 4) Ora, Leila não é tia de Maria. Destas, a única premissa que não é uma proposição condici-onal (que admite 3 possibilidades verdadeiras – ver “p → q” na tabela da questão anterior) é a 4ª premissa, que é incondicional. Assim começamos a resolução da questão atribuindo valor verdade V para a proposição “Leila não é tia de Maria” e, consequentemente, a proposição “Leila é tia de Maria” será F (falsa). Para que a 3ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente “Marta não é mãe de Rodrigo” terá que ser F, pois o consequente “Leila é tia de Maria” é F. Para que a 2ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente “Natália é prima de Carlos” terá que ser F, pois o consequente “Marta não é mãe de Rodrigo” é F. Para que a 1ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente “Paulo é irmão de Ana” terá que ser F, pois o consequente “Natália é prima de Carlos” é F. Temos então os seguintes valores verdade para as proposi-ções simples: Paulo é irmão de Ana = F; Natália é prima de Carlos = F;



Marta é mãe de Rodrigo = V; Leila é tia de Maria = F. Analisando as opções de resposta, verificaremos qual propo-sição composta tem V como valor verdade, ou seja, a única que poderá ser a conclusão da argumentação: a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana. F ∧ F = F (não pode ser conclusão); b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. V ∧ F = F (não pode ser conclusão); c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. F ∧ F = F (não pode ser conclusão); d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. V ∧ V = V (é a única que pode ser conclusão); e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Ro-drigo. V ∧ F = F (não pode ser conclusão); Gabarito: Letra D. 65) O professor Epaminondas, no primeiro dia de aula, apostou que, entre os alunos daquela classe, pe-lo menos dois fariam aniversário no mesmo dia do mês. O professor tinha certeza de que ganharia a apos-ta, pois naquela classe o número de alunos era maior ou igual a: a) 15 b) 32 c) 28 d) 31 e) 30 Resolução: Nessa questão, para você ter certeza de que o professor ia ganhar a aposta, precisamos ter 32 alunos na classe. Pois se tivermos apenas 31 alunos, cada um pode fazer aniversá-rio num dia do mês e não repetir ninguém. Se tivermos mais um aluno, ou seja 32, esse último terá que fazer aniversário no mesmo dia que um dos outros 31. 66) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatros sus-peitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados, eles fazem a seguinte declaração: - André: Eduardo é o culpado - Eduardo: João é o culpado - Rafael: eu não sou culpado - João: Eduardo mente quando diz que eu sou o culpado Sabendo que só um dos quatros disse a verdade, quem é o culpado? a) André b) Eduardo c) Rafael d) João e) não se pode saber. Resolução: Nesse caso você precisa testar cada caso. A única opção que você tem, é se a última afirmação for verdadeira, ou seja, João não é culpado. Isso quer dizer que as outras afir-mações são falsas. Então, de Rafael, concluímos que ele é culpado, pois está mentindo. Eduardo também mente, por-que João não é culpado e André também mente porque Eduardo não é culpado. Conclusão: Rafael é o culpado. Experimente as outras possibilidades. Por exemplo, se André estivesse falando a verdade, Eduardo era culpado. Mas nes-se caso, João estaria mentindo, já que só um diz a verdade. Se João mente, ele disse que Eduardo mente, então Eduar-do não mente e João seria culpado. Mas acabamos de con-cluir que Eduardo era culpado! Isso não pode. Com os outros casos você também sempre chega a alguma contradição. 67) Em uma urna há 28 bolas azuis, 20 bolas verdes, 12 bolas amarelas, 10 bolas pretas e 8 bolas brancas. Qual é o número mínimo de bolas que devemos sacar dessa urna para termos certeza de que sacaremos pelo menos 15 bolas da mesma cor? Resolução: Para termos certeza de que vamos tirar 15 bolas da mesma cor, temos que pensar na pior das hipótesis, que é tirarmos no máximo 14 bolas de cada cor até que chegará uma hora que a próxima bola será a 15ª bola de alguma das cores.

Então, pode ser que aconteça de a gente tirar todas as bolas amarelas, pretas e brancas primeiro e já que nenhuma des-sas cores possui 15 bolas teremos que continuar tirando mais. Então se tirarmos todas essas bolas, teremos tirado: = 12 + 10 + 8 = 30 bolas E ainda não tiramos 15 de uma cor só. Como há 28 bolas azuis e 20 bolas verdes, pode ser que agente tire 14 de cada uma e ainda não teremos tirado 15 de uma cor sequer. Então são mais: = 14 + 14 = 28 bolas Isso quer dizer que já tiramos 30 + 28 = 58 bolas e ainda não temos 15 bolas de uma mesma cor. Mas agora só sobraram bolas azuis e verdes e qualquer uma que tirarmos teremos 15 de uma cor. Ou seja, na 59ª bola teremos com certeza tirado 15 bolas de uma cor só. Resposta: O mínimo de bolas para termos certeza é de 59. 68) Você vai para a cama às 8h da noite e coloca seu relógio de ponteiros para despertar às 9h do outro dia. Quantas horas você dormiria, se dormisse direto? Resolução: Essa pergunta é realmente para pegar agente. Você logo quer responder que dormiria 13 horas, o problema está no fato do seu relógio ser de ponteiro. A não ser que seu relógio de ponteiro seja uma daquelas maluquices que tem os núme-ros de 1 a 24, normalmente ele terá os números de 1 a 12. Se você colocar o relógio para despertar às 9 horas, o relógio não distinguirá entre 9 da manhã ou 9 da noite. Ele só sabe que será 9 horas. Como pelo problema são 8 da noite quando você coloca o relógio pra despertar para as 9, quando chegar as 9 da noite ele despertará porque no relógio de ponteiros não tem opção de AM ou PM geralmente. Ou seja, uma hora depois. Mas mesmo assim esse problema não foi muito feliz. Primei-ro porque ele diz claramente: "coloca seu relógio de ponteiro para despertar às 9h do outro dia" Ao falar do outro dia você deveria considerar exatamente as 9 da manhã do outro dia, seja lá como for seu relógio. Su-põe-se que esse relógio você pode programar pra despertar às 9 do outro dia, mesmo que ainda vá passar pelas 9 da noite. Outro problema é que hoje em dia existem novos tipos de relógios de ponteiro. Existem até uns com ponteiros digitais que diferenciam entre 9 da manhã e 9 da noite. Assim como os relógios de ponteiro que possuem o dia do mês num qua-dradinho no visor. Esse relógio também distingue entre 9 da manhã e 9 da noite, pois ele só muda de dia depois de pas-sar pelo 9 duas vezes. Apesar que nesse caso, geralmente, se colocar pra despertar às 9h, ele não tem a opção AM ou PM! Aqueles despertadores mais comuns hoje em dia, aque-les vendidos por vendedores ambulantes. Esses também não fazem distinção entre 9 da manhã ou da noite, a primeira vez que os ponteiros indicarem 9 horas ele tocará! Problemas à parte, costuma-se considerar que o relógio de ponteiro não diferencia AM e PM, mas se fosse eu, não colo-caria uma pergunta dessas em um vestibular por exemplo, ia causar a maior confusão! http://www.cinoto.com.br/website/index.php/raciocinio-1668?id=3271 69) Uma caixa contém 900 cartões, numerados de 100 a 999. Retiramos ao acaso (sem reposição) cartões da caixa e anotamos a soma dos seus algarismos. Qual a menor quan-tidade de cartões que devem ser retirados da caixa para garantirmos que pelo menos 3 destas somas sejam iguais? a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55 Resolução:



Nessa pergunta, vamos usar mais a lógica do que cálculos. Pensei o seguinte, qual a maior soma que podemos encon-trar com três números? Será quando os três forem iguais a 9 e teremos 9 + 9 + 9 = 27. E qual a soma mínima, será no número 100, cuja soma dos algarismos é 1 + 0 + 0 = 1. Não tem soma menor que 1 e nem maior que 27. Mas só tem um número que dá soma igual a 1 e só um nú-mero que dá soma igual a 27, que são 100 e 999. Qualquer outro número entre 100 e 999, terá a soma dos algarismos entre 2 e 26, inclusive. Como temos que encontrar 3 destas somas iguais, temos que ver se há pelo menos 3 de cada total. Já vimos que 1 e 27 só aparecem uma vez. Agora será que temos 3 vezes pelo menos o total 2? 101, 110, 200 Todos têm a soma dos algarismos igual a 2. Já 26, temos: 989, 998, 899. Também tem 3! E qualquer outro total que quiser terá pelo menos 3. Então na pior das hipóteses, podemos pegar 27 cartões da caixa e nenhum terá a mesma soma. Depois começará a repetir, mas não haverá mais a soma 1 e nem a soma 27, então só pegaremos mais 25 cartões diferentes. Então tere-mos um cartão com soma 1, um cartão com soma 27 e dois cartões com cada um dos outros totais entre 2 e 26. Agora o próximo cartão terá como total algum número que já saiu duas vezes! Então podemos pegar 27 cartões, mais 25 cartões e mais um cartão que com certeza teremos 3 cartões com a mesma soma: 27 + 25 + 1 = 53 Pode ser que isso aconteça antes, é até muito provável, mas para ter certeza mesmo, com 53 cartões não tem erro. Resposta: c) 53. 70) Uma floresta tem 1.000.000 de árvores. Nenhuma tem mais de 300.000 folhas. Então: a) duas árvores quaisquer nunca terão o mesmo número de folhas b) há pelo menos uma árvore com uma só folha c) existem pelo menos duas árvores com o mesmo número de folhas d) o número médio de folhas por árvore é 150.000 e) o número total de folhas na floresta pode ser maior que 1012 Resolução: Para achar a alternativa correta temos que analisar todas as alternativas. Repare que as únicas condições dadas pelo problema foram: há 1.000.000 de árvores e nenhuma tem mais de 300.000 folhas. a) Por que não? Nada impede que todas as árvores tenham, por exemplo, duas folhas. Nenhuma delas teria mais de 300.000 folhas e poderíamos ter 1.000.000 de árvores assim. b) Digamos que tivéssemos 1.000.000 de árvores com ape-nas duas folhas como antes, satisfaria as condições e ne-nhuma teria uma folha só. c) Vamos tentar colocar um número de folhas diferente para cada árvore. A 1ª não terá nenhuma folha, a 2ª terá uma folha, a 3ª terá duas folhas, a 4ª terá três folhas...e assim sucessivamente. Quando chegarmos na árvore de número 300.000, ela terá 299.999 folhas. A árvore de número 300.001 terá 300.000 folhas e a árvore de número 300.002 não poderá ter mais do que 300.000 folhas pelas condições do problema, então terá que ter o mesmo número de folhas de alguma das outras árvores. Até chegarmos na árvore de nº 1.000.000, com certeza teremos repetido um mesmo nú-mero de folhas para duas árvores, pelo menos.

A resposta correta é essa, mas vamos analisar as outras também para não restar dúvida. d) Voltando ao item b), onde todas as árvores tinham duas folhas e satisfaziam as condições do problema. O número médio de folhas para árvore seria de 2 folhas e não 150.000. e) Digamos que toda árvore tenha o número máximo de folhas, que é 300.000. Como temos 1.000.000 de árvores, o total de folhas na floresta seria: 1.000.000 x 300.000 = = 300.000.000.000 = 3.1011 E mesmo assim teríamos um número menor do que 1012.

Ainda precisaríamos de mais 7.1011 folhas para podermos ter

1012 folhas no total.

1012 = 10.1011 > 3.1011

Resposta: Alternativa c). 71) Uma revista é composta por folhas duplas, impressas na frente e no verso, resultando cada folha em 4 páginas que são grampeadas umas sobre as outras. As páginas impres-sas em cada folha dupla não podem ser consecutivas, exceto as que ficam na folha central. Num certo exemplar uma das folhas duplas corresponde às páginas 31, 32, 85 e 86. Quan-tas páginas ao todo tem este exemplar? Resolução: Se essa folha tem 31 como primeiro número, isso quer dizer que ainda há 30 páginas antes dessa 31ª página. E como as páginas numeradas de 1 a 30, anteriores a essa folha, tam-bém têm outros dois números, que são maiores que 85 e 86, isso quer dizer que depois de 86, ainda há 30 páginas. E se somarmos 30 páginas a 86, teremos: 30 + 86 = 116 páginas. Veja que as páginas 1 e 2, estão na mesma folha das pági-nas 115 e 116! 2 e 3 junto com 113 e 114, e assim vai. Por isso, se na folha que tem as páginas 31 e 32, tivermos as páginas 85 e 86, isso quer dizer que quantas pági-nas tivermos antes da 31, é a mesma quantidade que tere-mos depois da 86. E a numeração da folha central será 57, 58, 59, 60, dividindo o exemplar bem no meio, 58 páginas pra cada lado. 72) Três pessoas estavam num restaurante, ao pagarem suas despesas o garçom disse que era 10 reais para cada um. O gerente resolve dar um desconto de 5 reais, o garçom não sabendo como dar o troco resolve embolsar 2 reais, dando 1 real para cada cliente. Dilema: 3 vezes 9 dá 27 mais os 2 do garçom 29, mas antes era 30! Cadê o real restan-te??? Resolução: O problema desse enunciado é que ele quer enganar a gen-te. Primeiro, repare o seguinte: A conta ERA $30, mas como teve um desconto de $5, pas-sou a ser $25. Então se quisermos saber onde estão os $30, temos que fazer: Conta + Garçon + Troco = $30 $25 + $2 + $3 = $30 Está certo, não está faltando $1. Quando o problema fala: Dilema...3 vezes 9 dá 27 mais os 2 do garçom 29, o problema é que na verdade os $2 do gar-çom já estão nestes $27, não tem porque somar $2 aos $27. Os $27 vieram da conta ($25) mais o dinheiro que o garçom embolsou ($2). Não tem porque o problema somar mais $2 aos $27, é só pra confundir. Ele tinha que somar $3, que foi o troco que o garçom deu às 3 pessoas, e aí teríamos os $30. http://www.cinoto.com.br/website/index.php/raciocinio-1668?id=3275



73. Um quadrado é cortado em 17 quadrados menores. Todos esses quadrados têm as medidas de seus lados, em centímetros, expressas por números inteiros positivos. Há exatamente 16 quadrados com área igual a 1 cm2. A área do quadrado original, em cm2, vale (A) 81 (B) 64 (C) 49 (D) 36 (E) 25 RESOLUÇÃO: Ora! Se o tal quadradão original foi cortado em 17 menores, 16 dos quais com 1 cm2 de área, a única forma de o todo resultar em um quadrado é que o tal quadra-do original tenha 25 cm2. Pois, se subtrairmos 16 cm2 de 25 cm2, nos sobrará 9 cm2, que será a área do último quadra-do, o 17° quadradinho. Assim, se somarmos 9 cm2 com os 16 cm2 (dos 16 quadradinhos iguais), totalizará 25 cm2. Nenhuma outra alternativa, produzirá o 17° com área tal que o número seja um quadrado perfeito, assim como foi o 9 cm2. Portanto, alternativa E. Professor ERICK Y. MIZUNO 74. Jonas possui 15 bolas visualmente idênticas. Entretanto, uma delas é um pouco mais pesada do que as outras 14, que têm todas o mesmo peso. Utilizando uma balança de dois pratos, semelhante à da figura abaixo, o número mínimo de pesagens, com que é possível identificar a bola que des-toa quanto ao peso é (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1 RESOLUÇÃO: Corresponde ao caso em que „calhar‟ de a primeira bola escolhida ser a mais pesada! Ao se colocar qualquer outra bola, desequilibrará a balança; significando, portanto, se tratarem de bolas de mas-sas diferentes. Logo, a menor quantidade de pesagens, será 1. Alternativa E. 75. Um homem entra numa livraria, compra um livro que custa 20 reais e paga com uma nota de 100 reais. Sem troco, o livreiro vai até a banca de jornais e troca a nota de 100 por 10 notas de 10 reais. O comprador leva o livro e 8 notas de 10 reais. Em seguida, entra o jornaleiro dizendo que a nota de 100 reais é falsa. O livreiro troca a nota falsa por outra de 100, verdadeira. O prejuízo do livreiro, em reais, sem contar o valor do livro, foi (A) 200 (B) 180 (C) 100 (D) 80 (E) 20 RESOLUÇÃO: Preço R$: 20,00 Paga R$: 100,00 Troco R$: 80,00 (8 notas de R$: 10,00) Livreiro: 10 notas de R$: 10,00 Dá: 8 notas de R$: 10,00 de troco Fica: 2 notas de R$: 10,00 . Logo, o Livreiro teve um Prejuízo de R$: 80,00. Fora o livro. Portanto, alternativa D. 76. Escreva o úmero seguinte nessa seqüência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, a. ( ) 9 b. ( ) 10 c. ( ) 11 d. ( ) 12 e. ( ) 13 E - Solução: Cada termo é igual a soma dos dois anteriores. Logo: 5 + 8 = 13 77. Escreva o número seguinte nessa seqüência 0, 1 , 1 , 2, 4, 7, 13, 24, a. ( ) 44 b. ( ) 45 c. ( ) 46 d. ( ) 47 e. ( ) 48 A - Solução: Cada termo é a soma dos três termos anteriores. Logo: 7 + 13 + 24 = 44 78. Um missionário foi capturado por canibais em uma flores-ta. Os canibais então fizeram-lhe a seguinte proposta: - Se fizer uma declaração verdadeira, será cozido com bata-tas.

- Se fizer uma declaração falsa, será assado na churrasquei-ra. Como o missionário usará a lógica, podemos concluir que: a. ( ) será cozido b. ( ) será assado c. ( ) não poderá ser cozido nem assado d. ( ) será cozido e assado ao mesmo tempo e. ( ) Dirá: "É ruim, heim!!!" C - Solução: Basta dizer: - Serei assado na churrasqueira

79. O algarismo das unidades do número N =1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ...... x 999

a. ( ) 1 b. ( ) 3 c. ( ) 5 d. ( ) 7 e. ( ) 9

4: C -Solução: Observe que todos os números do produto, são ímpares, e além disso o produto de qualquer número ímpar por 5 termi-na com o algarismo 5. Logo a opção correta é: o algarismo das unidades é 5.

80. Numa certa cidade, dez por cento das mulheres pensam que são homens e dez por cento dos homens pensam que são mulheres. Todas as outras pessoas são perfeitamente normais. Certo dia todas as pessoas dessa cidade foram testadas por um psicólogo, verificando que 20% das pessoas pensavam que eram homens. Qual a porcentagem real de mulheres?

a. ( ) 75,5% b. ( ) 80,0% c. ( ) 85,5% d. ( ) 87,5% e. ( ) 95,5%

D -solução: Sejam H e M o número de homens e mulheres. Então: O número de mulheres que pensam que são homens é M/10 O número de homens que pensam que são homens é 9H/10 Logo o total de pessoas que pensam que são homens é M/10+9H/10=2(M+H)/10 Daí M + 9H = 2(M + H), logo 7H = M O problema quer a porcentagem de mulheres M/(H+M)=7H/(H+7H)=7/8=0,875 http://www.vestibular1.com.br/raciocinio/tr1.htm 81. Escreva o próximo termo da sequência: 1 2 4 8 16 32 ? A resposta é 64. A lei de formação da sequência é dada pelo dobro do número anterior. Perceba que o segundo número é o dobro do primeiro, o terceiro é o dobro do segundo e assim por diante. Então o número seguinte é o dobro de 32, ou seja, 64. 82. Escreva o próximo termo da sequência: 0 1 4 9 25 36 ? A resposta é 49. A lei de formação dessa sequência é a multiplicação do número por ele mesmo. Perceba: 0 x 0 = 0 1 x 1 = 1 2 x 2 = 4 3 x 3 = 9 4 x 4 = 16



5 x 5 = 25 6 x 6 = 36 7 x 7 = 49 Pode-se dizer também que a lei de formação é elevar o nú-mero ao quadrado. Aliás, elevar o número ao quadrado é o mesmo que multiplicá-lo por ele mesmo. http://marcelmesmo.blogspot.com.br/

83. Que numero corresponde a seqüência a seguir:

1000, 990, 970, 940, 900, 850...

Resposta correta: 790 1000-10 = 990-20 = 970-30 = 940-40 = 900-50 = 850-60 = 790

84) (TRT) Observe que em cada um dos dois primeiros pares de palavras abaixo, a palavra da direita foi formada a partir da palavra da esquerda, utilizando-se um determinado crité-rio. ASSOLAR − SALA REMAVAM − ERVA LAMENTAM − ? Com base nesse critério, a palavra que substitui corretamen-te o ponto de interrogação é: (A) ALMA (B) LATA (C) ALTA (D) MALA (E) TALA. Letra C 85) (TRT) Os dois primeiros pares de palavras abaixo foram escritos segundo determinado critério. Esse mesmo critério deve ser usado para descobrir qual a palavra que comporia corretamente o terceiro par. ESTAGNAR – ANTA PARAPEITO – TIRA RENOVADO – ? Assim sendo, a palavra que deverá substituir o ponto de interrogação é (A) AVON (B) DONO (C) NOVA (D) DANO (E) ONDA Letra D 86) (TCE–GO) Abaixo tem-se uma sucessão de grupos de três letras, cada qual seguido de um número que o represen-ta, entre parênteses. ABH (11) − DBX (30) − MAR (32) − KIT (40) − CYN (42) Considerando que o número representante de cada grupo de letras foi escolhido segundo determinado critério e o alfabeto usado é o oficial, ou seja, tem 26 letras, então, segundo o mesmo critério, o grupo PAZ deve ser representado pelo número (A) 31 (B) 36 (C) 40 (D) 43 (E) 46. Detra D 87) (TRT) Considere os seguintes grupos de letras: A B C A − J K L J − D E F D − N O Q N − T U V T Desses grupos, o único que NÃO tem a mesma característi-ca dos demais é: (A) A B C A (B) J K L J (C) D E F D (D) N O Q N (E) T U V T. Letra D 88) (TRT) Considere que todos os termos da seguinte se-quência numérica podem ser obtidos segundo determinado padrão: 87,4 – 85,6 – 83,8 – 82,0 – 80,2 – 78,4 • • • Assim sendo, o nono e o décimo primeiro termos dessa se-quência deverão ter por soma um número compreendido entre (A) 150 e 175 (B) 125 e 150 (C) 100 e 125 (D) 75 e 100 (E) 50 e 75 Letra B

89) (TCE–GO) Considere que os números que compõem a sequência seguinte obedecem a uma lei de formação. (120; 120; 113; 113; 105; 105; 96; 96; 86; 86; . . .) A soma do décimo quarto e décimo quinto termos dessa sequência é um número (A) ímpar. (B) menor do que 100. (C) divisível por 3. (D) maior do que 130. (E) múltiplo de 5. Letra A 90) (TCE–SP) A sequência D é obtida com a seguinte regra: exceto o primeiro termo, que é escolhido aleatoriamente, todos os outros são obtidos com este cálculo: o dobro do termo anterior menos dois. A sequência T é obtida com a seguinte regra: exceto o primeiro termo, que é escolhido aleatoriamente, todos os outros são obtidos com este cálcu-lo: o triplo do termo anterior menos três. Suponha que a sequência T e a sequência D ambas com primeiro termo igual a 3. A diferença entre o 5º termo de T e o 5º termo de D é (A) 90 (B) 94 (C) 97 (D) 105 (E) 112. Letra D

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91) (ICMS–SP) Considere a sequência: (P, 3, S, 4, W, 5, B, 4, F, 3, ...) De acordo com a lógica observada nos primeiros elementos da sequência, o elemento, dentre os apresentados, que a completa corretamente é (A) 2 (B) 4 (C) C (D) G (E) I. Letra E 92) (TRT–6R) Qual o melhor complemento para a sentença “O mel está para a abelha assim como a pérola está para ...”? (A) o colar. (B) a ostra. (C) o mar. (D) a vaidade. (E) o peixe. Letra B 93) (TRF) Certo dia, três técnicos distraídos, André, Bruno e Carlos, saíram do trabalho e cada um foi a um local antes de voltar para casa. Mais tarde, ao regressarem para casa, cada um percebeu que havia esquecido um objeto no local em que havia estado. Sabe-se que: − um deles esqueceu o guarda-chuva no bar e outro, a agenda na pizzaria; − André esqueceu um objeto na casa da namorada; − Bruno não esqueceu a agenda e nem a chave de casa. É verdade que (A) Carlos foi a um bar. (B) Bruno foi a uma pizzaria. (C) Carlos esqueceu a chave de casa. (D) Bruno esqueceu o guarda-chuva. (E) André esqueceu a agenda. Letra D 94) (TC–PB) Em uma escola de 200 alunos, tem-se que 120 jogam futebol, 100 jogam basquete e 60 jogam futebol e basquete. Sabendo-se que não existe outra modalidade de esporte nesta escola, é correto afirmar que o número de alunos que não praticam futebol ou basquete é: (A) 100 (B) 80 (C) 60 (D) 40 (E) 20. Letra D 95) (Bahiagás) Em um grupo de 100 pessoas, sabe-se que:



− 15 nunca foram vacinadas; − 32 só foram vacinadas contra a doença A; − 44 já foram vacinadas contra a doença A; − 20 só foram vacinadas contra a doença C; − 2 foram vacinadas contra as doenças A, B e C; − 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças. De acordo com as informações, o número de pessoas do grupo que só foi vacinado contra ambas as doenças B e C é (A) 10. (B) 11. (C) 12. (D) 13. (E) 14. Letra C

Prof. Benjamin Cesar

96) (TRF) Considere que os termos da sucessão seguinte

forma obtidos segundo determinado padrão. (20, 21, 19, 22, 18, 23, 17, ...) Se, de acordo com o padrão estabelecido, X e Y são o déci-mo e o décimo terceiro termo dessa sucessão, então a razão Y/X é igual a XY (A) 44% (B) 48% (C) 56% (D) 58% (E) 64%. Letra C 97) (TRT) Considere que são verdadeiras as seguintes pre-missas: “Se o professor adiar a prova, Lulu irá ao cinema.” “Se o professor não adiar a prova, Lenine irá à Biblioteca.” Considerando que, com certeza, o professor adiará prova, é correto afirmar que (A) Lulu e Lenine não irão à Biblioteca. (B) Lulu e Lenine não irão ao cinema. (C) Lulu irá ao cinema. (D) Lenine irá à Biblioteca. (E) Lulu irá ao cinema e Lenine não irá à Biblioteca. Letra C 98) (TRT) De acordo com a legislação, se houver contrata-ção de um funcionário para o cargo de técnico judiciário, então ela terá que ser feita através concurso. Do ponto de vista lógico, essa afirmação é equivalente a dizer que: (A) se não houver concurso então não haverá contratação de um funcionário para o cargo de técnico judiciário. (B) se não houver concurso então haverá contratação de um funcionário para o cargo de técnico judiciário. (C) se não houver contratação de um funcionário para o cargo de técnico judiciário, então haverá concurso. (D) se não houver contratação de um funcionário para o cargo de técnico judiciário, então não houve concurso. (E) se houver contratação de um funcionário para o cargo de técnico judiciário, então não haverá concurso. Letra A 99) (TRT) As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre funcionários de certa empresa. – Todo indivíduo que fuma tem bronquite. – Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao traba-lho. Relativamente a esses resultados, é correto concluir que (A) existem funcionários fumantes que não faltam ao traba-lho. (B) todo funcionário que tem bronquite é fumante. (C) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho. (D) é possível que exista algum funcionário que tenha bron-quite e não falte habitualmente ao trabalho. (E) é possível que exista algum funcionário que seja fumante e não tenha bronquite. Letra C

100) (TRT) A correta negação da proposição “todos os car-gos deste concurso são de analista judiciário” é (A) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. (B) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. (C) existem cargos deste concurso que são de analista judi-ciário. (D) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. (E) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judi-ciário. Letra B

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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EXERCÍCIOS DE DIAGRAMAS LÓGICOS

Questão 1: VUNESP/2011 – Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário) Pergunta: Neste grupo de pessoas, usar só chapéu ou só relógio, nem pensar. Tampouco usar óculos, chapéu e reló-gio ao mesmo tempo. Quinze pessoas usam óculos e chapéu ao mesmo tempo. Usam chapéu e relógio, simultaneamente, o mesmo número de pessoas que usam apenas os óculos. Uma pessoa usa óculos e relógio ao mesmo tempo. Esse grupo é formado por 40 pessoas e essas informações são suficientes para afirmar que nesse grupo o número de pes-soas que usam óculos é a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 Questão 2: VUNESP/2011 – Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário)

Pergunta: Observe o seguinte diagrama. De acordo com o diagrama,pode-se afirmar que

a) todos os músicos são felizes. b) não há cantores que são músicos e felizes. c) os cantores que não são músicos são felizes. d) os felizes que não são músicos não são cantores. e) qualquer músico feliz é cantor. Questão 3: VUNESP/2011- Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário) Pergunta: Todo PLATZ que não é PLUTZ é também PLETZ. Alguns PLATZ que são PLETZ também são PLITZ. A partir dessas afirmações, pode-se concluir que a) alguns PLITZ são PLETZ e PLATZ. b) existe PLATZ que não é PLUTZ nem é PLETZ c) não existe PLUTZ que é apenas PLUTZ. d) todo PLITZ é PLETZ. e) existe PLITZ que é apenas PLITZ. Questão 4: ESAF/2012 – Concurso CGU - Analista de Finanças e Controle (Prova 1) Pergunta: Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 44 são



empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhu-ma das classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das empresas familia-res, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordes-te que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras é a) 21 b) 14 c) 16 d) 19 e) 12 Questão 5: FCC/2012 – Concurso TCE-SP – Analista de Fiscalização Financeira (Administração) Pergunta: Todos os jogadores são rápidos. Jorge é rápido. Jorge é estudante. Nenhum jogador é estudante. Supondo as frases verdadeiras pode-se afirmar que a) a intersecção entre o conjunto dos jogadores e o conjunto dos rápidos é vazia. b) a intersecção entre o conjunto dos estudantes e o conjunto dos jogadores não é vazia. c) Jorge pertence ao conjunto dos jogadores e dos rápidos. d) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos estudantes e o conjunto dos rápidos. e) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos jogadores e o conjunto dos rápidos. Questão 6: CESPE/2011 – Concurso PC-ES – Cargos de Nível Superior

Pergunta: Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 não sabiam que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia com sistema online para registro ou denúncia de certos tipos de ocorrência e 85 não sabiam que uma denúncia caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 8 anos, além do pagamento de multa. A partir dessas informações, julgue o item seguinte. Considerando-se que também foi constatado que 10 dos entrevistados não sabiam do canal de comunica-ção online nem das penalidades cabíveis a denúncias calu-niosas, é correto concluir que 135 pessoas não tinham co-nhecimento de pelo menos uma dessas questões.

Certo

Errado

Resposta dos Exercícios

Questão 1

São 40 acessórios, mas há apenas informações de 16 deles. Sobram 24. Como o número de pessoas que usa apenas óculos é o mesmo que usa chapéu e relógio, 12 pessoas utilizam chapéu e óculos e a outra metade apenas óculos.

Resumindo:

• Óculos e Chapéu= 15

• Chapéu e Relógio=12

• Só óculos=12

• Óculos e Relógio=1 Total= 40 -Quantos usam óculos: 15+12+1=28 Questão 2

-Como pode ser visto no diagrama, parte dos felizes não são músicos nem cantores.

Questão 3

Proposições:

• Todo Platz que não é Plutz é também Pletz. Ou seja, Platz e Pletz são duas coisas ao mesmo tempo.

• Alguns Platz também são Plitz. Ou seja, o Plitz pode ser Platz, mas isso não é uma regra geral.

• A letra E é falsa porque não existe delimitação para o conjunto Plitz e ele não fica sozinho;

• A letra B também está errada porque afima que existe Platz que não é Plutz nem é Pletz. Mas a afirmação do enun-ciado garante que "Todo Platz que não é Plutz é também Pletz."

• A letra C está incorreta porque essa afirmação não é dita em nenhum momento do enunciado.

• A letra D está incorreta porque não há uma regra em relação a isso também.

Questão 4

Dados do enunciado:

o O grupo tem 120 empresas;

o Como ele disse que 19 empresas não se encaixam nes-ses grupos, pode-se concluir que pelo menos 101 empresas se encaixam em algum desses itens;

• São 20 exportadoras dentre as empresas do nordeste: 20-x;

• 19 empresas são familiares: 19-x;

• Das empresas familiares 21 são exportadoras: 21-x;

Sabendo-se que o Norrdeste tem 57 elementos, o azul 48 e o verde 44 pode-se criar um diagrama como no exemplo abai-xo:



(18+x+19-x+x+20-x) +8+x+21-x+3+x=101

57+8+x+21-x+3+x=101

x+89=101 x=12

Questão 5

Ao analisar as informações dadas pode-se concluir que Jor-ge não pertence ao grupo de jogadores e sim ao conjunto compreendido entre os rápidos e estudantes.

Questão 6

• Pessoas que não sabiam do sistema e nem das penali-dades=10

• Retire essas 10 pessoas do número fornecido pelo enun-ciado para aquelas que não sabiam do sistema=60

• O resultado é 135, pois ao somarmos 60+85-10=135.

Gabarito das Questões Resposta Certa

Questão 1 Letra E

Questão 2 Letra D

Questão 3 Letra A

Questão 4 Letra E

Questão 5 Letra E

Questão 6 Certa

QUESTÕES SOBRE CONECTIVOS LÓGICOS

Questão 1: Esaf/2012 - Concurso Auditor Fiscal da Recei-ta Federal Pergunta: A afirmação " A menina tem olhos azuis ou o me-nino é loiro" tem como sentença logicamente equivalente: a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. e) Não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.

Questão 2: CESPE/2011 - Concurso Polícia Civil do Espí-rito Santo (ES) Pergunta: A negação da proposição F4 é logicamente equi-valente à proposição "Não havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro não foi entregue a mulher de Gavião". a) Certo b) Errado

Questão 3: CESPE/2012 - Concurso TRE do Rio de Janei-ro Pergunta: Se as proposições "Eu não registrei minha candi-datura dentro do prazo" e Não poderei concorrer a nenhum cargo nessas eleições" forem falsas, também será falsa a proposição P, independentemente do valor lógico da propo-sição "Eu serei barrado pela lei da ficha limpa". a) Certo b) Errado

Questão 4: CESGRANRIO/2012 - Concurso Chesf Pergunta: Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira, Pedro rerá aula de futebol ou natação. Quando Pedro tem aula de futebol ou natação, Jane o leva até a escolinha es-portiva. Ao levar pedro até a escolhinha, Jane deixa de fazer o almoço e, se Jane não faz o almoço, Carlos não almoça em casa. Considerando-se a sequência de implicações lógi-cas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoçou em casa hoje, então hoje: a) É terça, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane não fez o almo-ço. b) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira. c) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o al-moço. d) Não é segunda, nem quartas, mas Pedro teve aula de apenas uma das modalidades esportivas. e) Não é segunda, Pedro não teve aulas, e Jane não fez o almoço.

Questão 5: IADES/2010 - Concurso Conselho Federal de Administração Pergunta: É necessário que Beatriz durma para que Sérgio fique feliz. Quando Beatriz dorme, então Romério faz uma visita. É necessário e suficiente que Romério faça uma visita para que Amélia descanse. Logo, quando Sérgio fica feliz, então: a) Amélia descansa e Beatriz dorme. b) Amélia não descansa ou Beatriz não dorme c) Beatriz não dorme e Romério faz uma visita. d) Beatriz não dorme e Romério não faz uma visita.

Questão 6: FCC/2011 - Concurso TRT 1º Região Pergunta: Há dois casais (marido e mulher) dentre Carolina, ébora, Gabriel e Marcos. A respeito do estado brasileiro (E) e da região do Brasil (R) que cada uma dessas quatro pessoas nasceu, sabe-se que: - Carolina nasceu na mesma R que seu marido, mas E dife-rente; - Gabriel nasceu no Rio de Janeiro, esua esposa na região Nordeste do Brasil; - Os pais de Marcos nasceram no Rio Grande do Sul, mas ele nasceu em outra R; - Débora nasceu no mesmo E que Marcos. É correto afirmar que: a) Marcos nasceu na mesma R que Gabriel. b) Carolina e Débora nasceram na mesma R. c) Gabriel é marido de Carolina. d) Marcos não é baiano.

Questão 7: FCC/2010 - Concurso TRT 8º região Pergunta: Se Alceu tira férias, então Brenda fica trabalhando. Se Brenda fica trabalhando, então CLóvis chega mais tarde



do trabalho. Se Clóvis chega mais tarde ao trabalho, então Dalva falta ao trabalho. Sabendo-se que Dalva não faltou ao trabalho, é correto concluir que: a) Alceu não tira férias e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. b) Brenda não fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. c) Clóvis não chega mais tarde ao trabalho e ALceu não tira férias. d) Brenda fica trabalhando e Clóvis chega mais tarde ao trabalho. e) Alceu tira férias e Brenda fica trabalhando.

Questão 8: CESGRANRIO/2010 - Concurso Banco do Brasil Pergunta: Qual a negação da proposição "Algum funcionário da agência P do banco do Brasil tem menos de 20 anos"? a) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. b) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos. c) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. d) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. e) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos.

Questão 9: CEPERJ/2012 - Concurso Procon do Rio de Janeiro Pergunta: Considere a afirmação: "Isabel não almoçou e foi ao dentista." A negação dessa afirmação é: a) Isabel almoçou e não foi ao dentista. b) Isabel almoçou ou não foi ao dentista. c) Isabel não almoçou e não foi ao dentista. d) Isabel não almoçou e não foi ao dentista. e) Isabel foi ao dentista e não almoçou.

Respostas dos Exercícios

Questão 1 o P é suficiente para Q; o Q é necessário para P; - A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro: ~P V Q - Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro: P --> Q

Questão 2 Para negativar um conectivo lógico representado pelo "ou" é necessário negar as duas proposições separadamente e troca-se o conectivo "ou" pelo "e". F4: havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o di-nheiro foi entregue a mulher de Gavião. A negação correta é: "Não havia um caixa eletrônico em frente ao banco e o dinheiro não foi entregue à mulher de Gavião."

Questão 3

• Barrado (falsa) -->> Não se candidata (falsa) ^ Não regis-tra (falsa) -->> Não concorre (falsa) (F --> F) ^ (F-->F); ou seja, V^V - Sendo falsas as duas proposições a última será verdadeira porque "Se, então" quando fica F-F tem valor verdadeiro.

Questão 4

• Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira, Pedro terá aula de natação ou futebol;

• Quando ele tem aula de futebo ou natação Jane o leva a escolinha esportiva;

• Ao levá-lo na escolinha ela deixa de fazer o almoço;

• Se Jane deixa de fazer o almoço, Carlos não almoça em casa. Nesse exemplo Carlos almoçou em casa e no conectivo "ou" a afirmativa é totalmente falsa quando os dois forem falsos. Se um dos termos for verdadeiro e o outro falso só é possível se os dois forem falsos. Ou seja, para a afirmativa "Carlos almoçou em casa" é necessário que tudo seja falso.

• S=Segunda e Q=Quarta

• Pedro aula de natação= PN

• Pedro aula de futebol=PF

• SVQ -->> PFVPN

• Carlos almoçou em casa, ou seja, Jane fez o almoço e consequentemente não levou Pedro a escolinha e o menino não teve aula de futebol nem de natação. E não é nem se-gunda e nem quarta-feira.

Questão 5

• "Se P, então Q" = "Se Sérgio é feliz, então Beatriz dorme." (Verdadeiro)

• "Se Q, então R" = "Se Beatriz dorme, então Romério faz uma visita." (Verdadeiro)

• "S se, e somente se R" = Amélia descansa se, e somente se, Romério faz uma visita." (Verdadeiro)

Questão 6

• As afirmações I e IV falam que Carolina nasceu no estado diferente de seu marido e Débora nasceu no mesmo estado que Marcos, ou seja: - Débora é mulher de Gabriel - Carolina é mulher de Marcos

• Como Gabriel nasceu no Rio de Janeiro e sua esposa é da região Nordeste, consequentemente Débora é nordestina.

• Débora nasceu no mesmo estado que Marcos, ou seja, ele também é nordestino.

• Como há uma proposição afirmando que Carolina nsceu na mesma região que o marido, podemos concluir que ela também é nordestina

Questão 7 Considerando as proposições A --> B: A --> B = ~B --> ~A Se a Dalva não falta ao trabalho, então Clóvis chega mais cedo ao dele. Se isso acontece, Brenda não fica trabalhan-do. Se ela não trabalha, então Alceu não tira férias.

8. Trata-se de um exercício de negação. A frase negativa pode ser reescrita de outra maneira usando a palavra "ne-nhuma" sem utilizar a palavra "não" ficando da seguinte for-ma: "Nenhum funcionário da agência P do banco tem menos de 20 anos."

Questão 9 Negação da disjunção inclusiva - "p ou q" Para que uma proposição com o conectivo " ou" seja consi-derada negativa é necessário negar as proposições simples e trocar o conectivo pelo "e". I: Isabel não almoçou -->> Negação: Isabel almoçou II: Foi ao dentista -->> Negação: Não foi ao dentista Resposta: "Isabel almoçou ou não foi ao dentista.


Questão 1 Letra C

Questão 2 Errada

Questão 3 Errada

Questão 4 Letra B

Questão 5 Letra A

Questão 6 Letra B



Questão 7 Letra C

Questão 8 Letra E

Questão 9 Letra B

QUESTÕES SOBRE LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

1: FUNIVERSA/2012 - Concurso PC-DF Perito Criminal – Odontologia Pergunta: Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de, exatos, R$ 200,00, já com a gorjeta incluída. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido, ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa, o total colocado sobre a mesa era de R$ 160,00, apenas, formados por uma nota de R$ 100,00, uma de R$ 20,00 e quatro de R$ 10,00. Seguiram-se, então, as seguintes declarações, todas verdadeiras: Antônio: — Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou. Danton: — Carlos também pagou, mas do Basílio não sei dizer. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Basílio: — Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio quem colocou, eu vi quando ele pegou seus R$ 60,00 de troco. Carlos: — Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na mesa. Imediatamente após essas falas, o garçom, que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos do grupo, dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: O se-nhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espé-cie? Com base nas informações do texto, o garçom fez a pergunta a: a) Antônio b) Basílio c) Carlos d) Danton e) Eduardo

Questão 2: ESAF/2012 - Concurso Auditor Fiscal da Re-ceita Federal Pergunta: Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim, a) não viajo e caso. b) viajo e caso. c) não vou morar em Pasárgada e não viajo. d) compro uma bicicleta e não viajo. e) compro uma bicicleta e viajo.

Questão 3: Vunesp 2012 - Concurso TJM-SP Analista de Sistemas Pergunta: Se afino as cordas, então o instrumento soa bem. Se o instrumento soa bem, então toco muito bem. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que a) sonho dormindo. b) o instrumento afinado não soa bem. c) as cordas não foram afinadas. d) mesmo afinado o instrumento não soa bem. e) toco bem acordado e dormindo.

Questão 4: Cesgranrio/2012 - Concurso Petrobrás – Téc-nico de Exploração de Petróleo Júnior – Informática Pergunta: O turista perdeu o voo ou a agência de viagens se enganou. Se o turista perdeu o voo, então a agência de via-gens não se enganou. Se a agência de viagens não se en-ganou, então o turista não foi para o hotel. Se o turista não foi para o hotel, então o avião atrasou. Se o turista não per-deu o voo, então foi para o hotel. O avião não atrasou. Logo, a) o turista foi para o hotel e a agência de viagens se enga-nou. b) o turista perdeu o voo e a agência de viagens se enganou.

c) o turista perdeu o voo e a agência de viagens não se en-ganou. d) o turista não foi para o hotel e não perdeu o voo. e) o turista não foi para o hotel e perdeu o voo.

Questão 5: FCC/2012 - Concurso TJ/RJ para Analista Judiciário/Análise de Sistemas Pergunta: Considere a seguinte análise, feita por um comen-tarista esportivo durante um torneio de futebol. Se o Brasil vencer ou empatar o jogo contra o Equador, então estará classificado para a semifinal, independentemente de outros resultados. Classificando-se para a semifinal, a equipe brasi-leira vai enfrentar o Uruguai. De acordo com essa análise, conclui-se que se o Brasil a) não enfrentar o Uruguai, necessariamente terá perdido o jogo para o Equador. b) não se classificar para a semifinal, terá necessariamente empatado o jogo com o Equador. c) enfrentar o Uruguai, necessariamente terá vencido ou empatado seu jogo contra o Equador. d) perder seu jogo contra o Equador, necessariamente não se classificará para a semifinal. e) se classificar para a semifinal, então necessariamente não terá sido derrotado pelo Equador.

Questão 6: FCC/2012 - TCE – SP Agente de Fiscalização Financeira – Administração Pergunta: Se a tinta é de boa qualidade então a pintura me-lhora a aparência do ambiente. Se o pintor é um bom pintor até usando tinta ruim a aparência do ambiente melhora. O ambiente foi pintado. A aparência do ambiente melhorou. Então, a partir dessas afirmações, é verdade que: a) O pintor era um bom pintor ou a tinta era de boa qualida-de. b) O pintor era um bom pintor e a tinta era ruim. c) A tinta não era de boa qualidade. d) A tinta era de boa qualidade e o pintor não era bom pintor. e) Bons pintores não usam tinta ruim.

Questão 7: FCC/2012 - Concurso TCE- AP Técnico de Controle Externo Pergunta: O responsável por um ambulatório médico afirmou: “Todo paciente é atendido com certeza, a menos que tenha chegado atrasado.” De acordo com essa afirmação, conclui-se que, necessariamente, a) nenhum paciente terá chegado atrasado se todos tiverem sido atendidos. b) nenhum paciente será atendido se todos tiverem chegado atrasados. c) se um paciente não for atendido, então ele terá chegado atrasado. d) se um paciente chegar atrasado, então ele não será aten-dido. e) se um paciente for atendido, então ele não terá chegado atrasado.

Respostas dos Exercícios

Questão 1 O enunciado informa que todas as informações dadas são verdadeiras, portanto:

• Basílio pagou;

• Carlos pagou;

• Antônio pagou com R$ 100,00 reais e retirou da mesa o troco de R$ 60,00 reais. Incluíndo a nota de R$ 50,00 que havia sido dada por Eduardo.

• Eduardo pagou, portanto sobra danton. Questão 2 Afirmação: Não vou morar em Parságada. Para ser verda-deiro deve ter pelo menos uma proposição verdadeira.

• Caso (V) v Compro a Bicicleta (F)



• Viajo (V) v Não caso (F)

• Morar em Parságada (F) v Não compro bicicleta (V) Conclusão: -Viajo, Caso e Não compro a bicicleta. Questão 3 Afirmação: Não sonho acordado. Isso nos leva a pensar na frase: "Ou não toco muito bem ou sonho acordado". Porque se ele não sonha acordado também não toca muito bem.

• Se o instrumento soa bem, então toco muito bem.

• Se afino as cordas, então o instrumento soa bem.

• Ou seja, como já se sabe que ele não toca bem, conse-quentemente o instrumento não soa bem e as cordas não estão afinadas. Questão 4 A: o turista perdeu o voo B: a agência de viagens se enganou C: o turista foi para o hotel D: o avião atrasou Afirmação: O avião não atrasou. Proposições: A (Falsa) v B (Verdadeira) A (Falsa) -->> ~B (Falsa) ~B (Falsa) -->> ~C (Falsa) ~C (Falsa) -->> D (Falsa) ~A (Verdadeira) -->> C (Verdadeira) ~D (Verdadeira)

• O avião não se atrasou, portanto o turista foi para o hotel.

• A agência de viagens se enganou, ou seja o turista foi para o hotel. Resposta certa: O turista foi para o hotel e a agência de viagens se enganou. Questão 5 A: Vencer o jogo contra o Equador B: Empatar o jogo C: Ir para a semifinal D: Enfrentar o Uruguai

• Não se fala na questão que se o Brasil perder ele não vai para a semifinal;

• A letra B está incorreta porque o fato de empatar o Equa-dor classifica o Brasil.

• A letra C está errada porque o termo necessariamente generaliza a informação;

• A questão D também está incorreta porque o Brasil pode perder o jogo e mesmo assim se classificar;

• A classificação pode acontecer de 3 formas: ganhando, perdendo ou empatando fazendo com a questão e fique incorreta. Questão 6 Premissas:

• Tinta boa: pintura melhora a aparência;

• Pintor bom: pintura melhora a aparência;

• Sabendo que o ambiente foi pintado e aparência melho-rou. Mas, o ambiente pode ter sido melhorado por outros motivos;

• A pintura só pode melhorar a aprência se usar tinta boa ou se for um pintor bom. Questão 7 Com a afirmação dada no exercício pode-se concluir que: -Se você chegar na hora será sempre atendido; -Se chegar atrasado talvez possa ser atendido, ou seja, che-gar atrasado não é sinônimo de chegar atrasado.


Questão 1 Letra D

Questão 2 Letra B

Questão 3 Letra C

Questão 4 Letra A

Questão 5 Letra A

Questão 6 Letra A

Questão 7 Letra C

PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO

1. Assinale a opção que completa a seqüência: 2 – 3 – 4 – 11 – 12 – 13 – 17 – 18 – ( ) a) 24

b) 20

c) 23

d) 19

e) 25 Resposta: D

Comentário: a seqüência é formada pela série de três nú-meros consecutivos, portanto o próximo é o 19.

2. Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo, a) O conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos repu-blicanos;

b) O conjunto dos republicanos contém o conjunto dos mari-nheiros;

c) Todos os republicanos são marinheiros;

d) Algum marinheiro não é republicano

Resposta: B

3. Três homens, Luís, Carlos e Paulo, são casados com Lúcia, Patrícia e Maria, mas não sabemos quem é casado com quem. Eles trabalham com engenharia, Advocacia e Medicina, mas também não sabemos quem faz o quê. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir o nome de cada es-posa e a profissão de cada um.

a) O médico é casado com Maria. b) Paulo é advogado. c) Patrícia não é casada com Paulo d) Carlos não é médico.

RESOLUÇÃO:

Os dados procurados são: nomes das esposas e profissões.

Assim, elabore duas tabelas: uma principal com todos os dados e a outra com o resumo. Escolha um dos grupos de informações e coloque cada um dos seus elementos em uma linha.

Em seguida crie uma coluna para cada elemento dos outros grupos. Finalmente, tome o último grupo das colunas e crie uma linha para cada um dos seus elementos, colocando-os abaixo da última linha.



Portanto, Luís é médico e casado com Maria; Paulo é advo-gado e casado com Lúcia; Carlos é engenheiro e casado com Patrícia.

QUESTÃO 4

RESOLUÇÃO:

o exercício consiste em descobrir quais os pontos que devem ser desenhados no dominó em branco.

As peças obedecem uma seqüência lógica; observe que os números da parte superior são menores (em uma unidade) que os números da parte inferior, portanto a parte inferior da última peça do dominó deve ser preenchida com o número 4. Portanto, E.

QUESTÃO 5

Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo, a) O conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos repu-blicanos; b) O conjunto dos republicanos contém o conjunto dos mari-nheiros; c) Todos os republicanos são marinheiros; d) Algum marinheiro não é republicano

RESOLUÇÃO:

Portanto, B.

QUESTÃO 6

A negação de “hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é a) hoje não é segunda-feira e amanhã não choverá b) hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá c) hoje não é segunda-feira então amanhã choverá d) hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá e) hoje é segunda-feira ou amanhã choverá

RESOLUÇÃO:

Pelas regras da afirmação e negação, temos: -A negação de “hoje é segunda-feira” é “hoje não é segunda-feira”. - A negação de “amanhã não choverá” é “amanhã choverá”. - Na negação de (p ^ q), o conectivo “e” deve ser alterado para o conectivo “ou” (~p v ~q). - Assim, a negação da frase completa será: “hoje não é se-gunda-feira ou amanhã choverá” o que nos remete à alterna-tiva B.

TESTE DE HABILIDADE NUMÉRICA

1. Escreva o número que falta.

18 20 24 32 ? 2. Escreva o número que falta.




6 8 10 11 14 14 ? 6. Escreva, dentro do parêntese, o número que falta.

17 (112) 39 28 ( . . . ) 49

7 Escreva o número que falta.


3 9 3 5 7 1 7 1 ?



9. Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 234 (333) 567 345 (. . .) 678


11- Escreva o número que falta.

4 5 7 11 19 ? 12. Escreva o número que falta.

6 7 9 13 21 ? 13. Escreva o número que falta.

4 8 6 6 2 4 8 6 ?


64 48 40 36 34 ? 15 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta.

718 (26) 582 474 (. . .) 226



15 13 12 11 9 9 ? 18. Escreva o número que falta.

9 4 1 6 6 2 1 9 ?


11 12 14 ? 26 42 20. Escreva o número que falta.

8 5 2 4 2 0 9 6 ?


22 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta.

341 (250) 466 282 (. . .) 398


24 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta.

12 (336) 14 15 (. . .) 16


4 7 6 8 4 8 6 5 ?

RESPOSTAS - TESTE DE HABILIDADE NUMËRICA

1 48. (Some 2, 4, 8 e, finalmente 16). 2 24. (No sentido contrário aos ponteiros do relógio, os

números aumentam em 2, 3, 4, 5 e 6). 3 80. (Subtraia 33 de cada número). 4 5. (Os braços para cima se somam e os para baixo se

subtraem, para obter o número da cabeça). 5 18. (Existem duas séries alternadas, uma que aumen-

ta de 4 em 4 e a outra de 3 em 3). 6 154. (Some os números de fora do parêntese e multi-

plique por 2). 7 86. (Multiplique o número por dois e subtraia 1, 2, 3 e

4). 8 3. (Subtraia os números das duas primeiras colunas e

divida por 2). 9 333. (Subtraia o número da esquerda do número da

direita para obter o número inserto no parêntese). 10 5. (O número da cabeça é igual a semi--soma dos

números dos pés).



11 35. (A série aumenta em 1, 2, 4, 8 e 16 unidades su-

cessivamente). 12 37. (Multiplique cada termo por 2 e subtraia 5 para

obter o seguinte). 13 7. (Os números da terceira coluna são a semi-soma

dos números das outras duas colunas). 14 33. (A série diminui em 16, 8, 4, 2 e 1 sucessivamen-

te). 15 14. (Some os números de fora do parêntese e divida

por 50 para obter o número inserto no mesmo). 16 3. (No sentido dos ponteiros do relógio, multiplique por

3). 17 6. (Existem duas séries alternadas: uma diminui de 3

em 3; a outra de 2 em 2). 18 4. (Cada fileira soma 14). 19 18. (Dobre cada termo e subtraia 10 para obter o se-

guinte). 20 3. (Os números diminuem em saltos iguais, 3 na pri-

meira fileira, 2 na segunda e 3 na terceira). 21 18. (Os números são o dobro de seus opostos diame-

tralmente). 22 232. (Subtraia a parte esquerda da parte direita e

multiplique o resultado por dois). 23 21. (Os números aumentam em intervalos de 2, 4, 6 e

8). 24 480. (O número inserto no parêntese é o dobro do

produto dos números de fora do mesmo). 25. 2. (A terceira coluna é o dobro da diferença entre a pri-

meira e a segunda).

TESTE DE HABILIDADE VÍSUO-ESPACIAL 1 Assinale a figura que não tem relação com as de-mais.

2 Assinale a figura que não tem relação com as de-mais.


4 Escolha, dentre as numeradas, a figura que corres-

ponde à incógnita.








* Não ter relação no sentido de não conservar as mesmas relações com as demais, por questão de detalhe, posição etc. 10 Assinale a figura que não tem relação com as de-mais.









19. Assinale a figura que não tem relação com as demais.








25 Assinale afigura que não tem relação com es de-mais.





30 Escolha, dentre as figuras numeradas, a que cor-

responde à incógnita.



RESPOSTAS TESTE DE HABILIDADE VÍSUO - ESPACIAL

1 4. (Todas as outras figuras podem inverterem-se sem

qualquer diferença). 2 3. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-

rem). 3 4 . (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-

rem). 4 1. (A figura principal gira 180° e o círculo pequeno passa

para o outro lado). 5 1. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-

rem). 6. 4. (A figura gira 90° cada vez, em sentido contrario aos

ponteiros do relógio, exceto a 4 que gira no sentido dos mencionados ponteiros).

7 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-

rem). 8 4. (A figura gira 90° cada vez em sentido contrario aos

ponteiros do relógio, exceto o 4 que gira no mesmo senti-do dos mencionados ponteiros).


rem no plano do papel). 10 2. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-

rem). 11 3. (As outras três figuras são esquemas de urna mão

esquerda; a de n.° 3 é o esquema de urna mão direita). 12 3. (A figura gira 45° cada vez em sentido contrario aos

ponteiros do relógio, porém o sombreado preto avança urna posição a mais, exceto em 3, que é, portanto, a figu-ra que não corresponde as demais).


rem). 14 1. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-


rem). 16 5. (O conjunto completo de 4 círculos gira num ângulo de

90° cada vez. Em 5 os círculos com + e o com x trocaram suas posições. Em todas as demais figuras o + está na mesma fileira que o círculo preto).





rem). 21 5. (1 e 3, e 2 e 4 são duplas que podem se sobreporem

girando 45°. A figura 5 não pode sobrepor-se porque a cruz e o circulo interiores ficariam em posição diferente).

22 4. (Os setores preto, branco ou hachur giram em sentido

contrario aos ponteiros do relógio; na figura 4 os setores branco e hachur estão em posição diferente).




rem). 26 3. (1 e 4 formam urna dupla e o mesmo ocorre com 2 e 5.

Em cada dupla os retângulos preto e hachur alternam sua posição; a figura 3 tem o sombreado em posição dife-rente).


rem). 28 6. (As outras figuras podem girar até se sobreporem). 29 3. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo-

rem). 30. (A figura principal gira no sentido dos ponteiros do reló-

gio; a seta, no sentido contrario).

LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES.

1. Introdução

Desde suas origens na Grécia Antiga, especialmente de Aristóteles (384-322 a.C.) em diante, a lógica tornou-se um dos campos mais férteis do pensamento humano, particular-mente da filosofia. Em sua longa história e nas múltiplas modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro seu objetivo: fornecer subsídios para a produção de um bom raciocínio.

Por raciocínio, entende-se tanto uma atividade mental quanto o produto dessa atividade. Esse, por sua vez, pode ser analisado sob muitos ângulos: o psicólogo poderá estu-dar o papel das emoções sobre um determinado raciocínio; o sociólogo considerará as influências do meio; o criminólogo levará em conta as circunstâncias que o favoreceram na prática de um ato criminoso etc. Apesar de todas estas pos-sibilidades, o raciocínio é estudado de modo muito especial no âmbito da lógica. Para ela, pouco importam os contextos psicológico, econômico, político, religioso, ideológico, jurídico ou de qualquer outra esfera que constituam o “ambiente do raciocínio”.

Ao lógico, não interessa se o raciocínio teve esta ou aquela motivação, se respeita ou não a moral social, se teve influências das emoções ou não, se está de acordo com uma doutrina religiosa ou não, se foi produzido por uma pessoa embriagada ou sóbria. Ele considera a sua forma. Ao consi-derar a forma, ele investiga a coerência do raciocínio, as relações entre as premissas e a conclusão, em suma, sua obediência a algumas regras apropriadas ao modo como foi formulado etc.

Apenas a título de ilustração, seguem-se algumas defini-ções e outras referências à lógica:



“A arte que dirige o próprio ato da razão, ou seja, nos permite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio ato da razão – o raciocínio” (Jacques Maritain).

“A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados pa-ra distinguir o raciocínio correto do incorreto” (Irving Copi).

“A lógica investiga o pensamento não como ele é, mas como deve ser” (Edmundo D. Nascimento).

“A princípio, a lógica não tem compromissos. No entanto, sua história demonstra o poder que a mesma possui quando bem dominada e dirigida a um propósito determinado, como o fizeram os sofistas, a escolástica, o pensamento científico ocidental e, mais recentemente, a informática” (Bastos; Kel-ler).

1.1. Lógica formal e Lógica material

Desde Aristóteles, seu primeiro grande organizador, os estudos da lógica orientaram-se em duas direções principais: a da lógica formal, também chamada de “lógica menor” e a da lógica material, também conhecida como “lógica maior”.

A lógica formal preocupa-se com a correção formal do pensamento. Para esse campo de estudos da lógica, o con-teúdo ou a matéria do raciocínio tem uma importância relati-va. A preocupação sempre será com a sua forma. A forma é respeitada quando se preenchem as exigências de coerência interna, mesmo que as conclusões possam ser absurdas do ponto de vista material (conteúdo). Nem sempre um raciocí-nio formalmente correto corresponde àquilo que chamamos de realidade dos fatos. No entanto, o erro não está no seu aspecto formal e, sim, na sua matéria. Por exemplo, partindo das premissas que

(1) todos os brasileiros são europeus e que (2) Pedro é brasileiro, formalmente, chegar-se-á à conclusão lógica que (3) Pedro é europeu.

Materialmente, este é um raciocínio falso porque a expe-riência nos diz que a premissa é falsa.

No entanto, formalmente, é um raciocínio válido, porque a conclusão é adequada às premissas. É nesse sentido que se costuma dizer que o computador é falho, já que, na maioria dos casos, processa formalmente informações nele previa-mente inseridas, mas não tem a capacidade de verificar o valor empírico de tais informações.

Já, a lógica material preocupa-se com a aplicação das operações do pensamento à realidade, de acordo com a natureza ou matéria do objeto em questão. Nesse caso, interessa que o raciocínio não só seja formalmente correto, mas que também respeite a matéria, ou seja, que o seu con-teúdo corresponda à natureza do objeto a que se refere. Neste caso, trata-se da correspondência entre pensamento e realidade.

Assim sendo, do ponto de vista lógico, costuma-se falar de dois tipos de verdade: a verdade formal e a verdade mate-rial. A verdade formal diz respeito, somente e tão-somente, à forma do discurso; já a verdade material tem a ver com a forma do discurso e as suas relações com a matéria ou o conteúdo do próprio discurso. Se houver coerência, no pri-meiro caso, e coerência e correspondência, no segundo, tem-se a verdade.

Em seu conjunto, a lógica investiga as regras adequadas à produção de um raciocínio válido, por meio do qual visa-se à consecução da verdade, seja ela formal ou material. Rela-cionando a lógica com a prática, pode-se dizer que é impor-tante que se obtenha não somente uma verdade formal, mas, também, uma verdade que corresponda à experiência. Que seja, portanto, materialmente válida. A conexão entre os princípios formais da lógica e o conteúdo de seus raciocínios pode ser denominada de “lógica informal”. Trata-se de uma lógica aplicada ao plano existencial, à vida quotidiana.

1.2. Raciocínio e Argumentação

Três são as principais operações do intelecto humano: a simples apreensão, os juízos e o raciocínio.

A simples apreensão consiste na captação direta (atra-vés dos sentidos, da intuição racional, da imaginação etc) de uma realidade sobre a qual forma-se uma idéia ou conceito (p. ex., de um objeto material, ideal, sobrenatural etc) que, por sua vez, recebe uma denominação (as palavras ou ter-mos, p. ex.: “mesa”, “três” e “arcanjo”).

O juízo é ato pelo qual os conceitos ou idéias são ligadas ou separadas dando origem à emissão de um “julgamento” (falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposi-ções orais ou escritas. Por exemplo: “Há três arcanjos sobre a mesa da sala”

O raciocínio, por fim, consiste no “arranjo” intelectual dos juízos ou proposições, ordenando adequadamente os conte-údos da consciência. No raciocínio, parte-se de premissas para se chegar a conclusões que devem ser adequadas. Procedendo dessa forma, adquirem-se conhecimentos novos e defende-se ou aprofunda-se o que já se conhece. Para tanto, a cada passo, é preciso preencher os requisitos da coerência e do rigor. Por exemplo: “Se os três arcanjos estão sobre a mesa da sala, não estão sobre a mesa da varanda”

Quando os raciocínios são organizados com técnica e ar-te e expostos de forma tal a convencer a platéia, o leitor ou qualquer interlocutor tem-se a argumentação. Assim, a ativi-dade argumentativa envolve o interesse da persuasão. Ar-gumentar é o núcleo principal da retórica, considerada a arte de convencer mediante o discurso.

Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aquilo que querem, de acordo com as circunstâncias da vida e as decisões pessoais (subjetividade), um argumento con-seguirá atingir mais facilmente a meta da persuasão caso as idéias propostas se assentem em boas razões, capazes de mexer com as convicções daquele a quem se tenta conven-cer. Muitas vezes, julga-se que estão sendo usadas como bom argumento opiniões que, na verdade, não passam de preconceitos pessoais, de modismos, de egoísmo ou de outras formas de desconhecimento. Mesmo assim, a habili-dade no argumentar, associada à desatenção ou à ignorân-cia de quem ouve, acaba, muitas vezes, por lograr a persua-são.

Pode-se, então, falar de dois tipos de argumentação: boa ou má, consistente/sólida ou inconsistente/frágil, lógica ou ilógica, coerente ou incoerente, válida ou não-válida, fraca ou forte etc.

De qualquer modo, argumentar não implica, necessaria-mente, manter-se num plano distante da existência humana, desprezando sentimentos e motivações pessoais. Pode-se argumentar bem sem, necessariamente, descartar as emo-ções, como no caso de convencer o aluno a se esforçar nos estudos diante da perspectiva de férias mais tranqüilas. En-



fim, argumentar corretamente (sem armar ciladas para o interlocutor) é apresentar boas razões para o debate, susten-tar adequadamente um diálogo, promovendo a dinamização do pensamento. Tudo isso pressupõe um clima democrático.

1.3. Inferência Lógica

Cabe à lógica a tarefa de indicar os caminhos para um raciocínio válido, visando à verdade.

Contudo, só faz sentido falar de verdade ou falsidade quando entram em jogo asserções nas quais se declara algo, emitindo-se um juízo de realidade. Existem, então, dois tipos de frases: as assertivas e as não assertivas, que também podem ser chamadas de proposições ou juízos.

Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exem-plos: “a raiz quadrada de 9 é 3” ou “o sol brilha à noite”. Já, nas frases não assertivas, não entram em jogo o falso e o verdadeiro, e, por isso, elas não têm “valor de verdade”. É o caso das interrogações ou das frases que expressam esta-dos emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou ordens. A frase “toque a bola”, por exemplo, não é falsa nem verdadeira, por não se tratar de uma asserção (juízo).

As frases declaratórias ou assertivas podem ser combi-nadas de modo a levarem a conclusões conseqüentes, cons-tituindo raciocínios válidos. Veja-se o exemplo:

(1) Não há crime sem uma lei que o defina;

(2) não há uma lei que defina matar ET’s como crime;

(3) logo, não é crime matar ET’s.

Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocu-tor, vão sendo criadas as condições lógicas adequadas à conclusão do raciocínio. Esse processo, que muitas vezes permite que a conclusão seja antecipada sem que ainda sejam emitidas todas as proposições do raciocínio, chamase inferência. O ponto de partida de um raciocínio (as premis-sas) deve levar a conclusões óbvias.

1.4. Termo e Conceito

Para que a validade de um raciocínio seja preservada, é fundamental que se respeite uma exigência básica: as pala-vras empregadas na sua construção não podem sofrer modi-ficações de significado. Observe-se o exemplo:

Os jaguares são quadrúpedes; Meu carro é um Jaguar logo, meu carro é um quadrúpede.

O termo “jaguar” sofreu uma alteração de significado ao longo do raciocínio, por isso, não tem validade.

Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamen-tos aos outros, empregamos palavras tais como “animal”, “lei”, “mulher rica”, “crime”, “cadeira”, “furto” etc. Do ponto de vista da lógica, tais palavras são classificadas como termos, que são palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo, o termo é o signo lingüístico, falado ou escrito, referido a um conceito, que é o ato mental correspondente ao signo.

Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo “mulher rica”, tende-se a pensar no conjunto das mulheres às quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma nota característica comum a todos os elementos do conjunto, de acordo com a ‘intencionalidade’ presente no ato mental. Como resultado, a expressão “mulher rica” pode ser tratada

como dois termos: pode ser uma pessoa do sexo feminino cujos bens materiais ou financeiros estão acima da média ou aquela cuja trajetóriaexistencial destaca-se pela bondade, virtude, afetividade e equilíbrio.

Para que não se obstrua a coerência do raciocínio, é pre-ciso que fique bem claro, em função do contexto ou de uma manifestação de quem emite o juízo, o significado dos ter-mos empregados no discurso.

1.5. Princípios lógicos

Existem alguns princípios tidos como conditio sine qua non para que a coerência do raciocínio, em absoluto, possa ocorrer. Podem ser entendidos como princípios que se refe-rem tanto à realidade das coisas (plano ontológico), quanto ao pensamento (plano lógico), ou seja, se as coisas em geral devem respeitar tais princípios, assim também o pensamento deve respeitá-los. São eles:

a) Princípio da identidade, pelo qual se delimita a reali-dade de um ser. Trata-se de conceituar logicamente qual é a identidade de algo a que se está fazendo referência. Uma vez conceituada uma certa coisa, seu conceito deve manter-se ao longo do raciocínio. Por exemplo, se estou falando de um homem chamado Pedro, não posso estar me referindo a Antônio.

b) Princípio da não-contradição. Se algo é aquilo que é, não pode ser outra coisa, sob o mesmo aspecto e ao mesmo tempo. Por exemplo, se o brasileiro João está doente agora, não está são, ainda que, daqui a pouco possa vir a curar-se, embora, enquanto João, ele seja brasileiro, doente ou são;

c) Princípio da exclusão do terceiro termo. Entre o fal-so e o verdadeiro não há meio termo, ou é falso ou é verda-deiro. Ou está chovendo ou não está, não é possível um terceiro termo: está meio chovendo ou coisa parecida.

A lógica clássica e a lógica matemática aceitam os três princípios como suas pedras angulares, no entanto, mais recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolve-ram sistemas lógicos sem o princípio do terceiro excluído, admitindo valor lógico não somente ao falso e ao verdadeiro, como também ao indeterminado.

2. Argumentação e Tipos de Raciocínio

Conforme vimos, a argumentação é o modo como é ex-posto um raciocínio, na tentativa de convencer alguém de alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso de diversos tipos de raciocínio. Às vezes, são empregados raciocínios aceitáveis do ponto de vista lógico, já, em outras ocasiões, pode-se apelar para raciocínios fracos ou inválidos sob o mesmo ponto de vista. É bastante comum que raciocí-nios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o efeito desejado, explorando a incapacidade momentânea ou persistente de quem está sendo persuadido de avaliar o valor lógico do raciocínio empregado na argumentação.

Um bom raciocínio, capaz de resistir a críticas, precisa ser dotado de duas características fundamentais: ter premis-sas aceitáveis e ser desenvolvido conforme as normas apro-priadas.

Dos raciocínios mais empregados na argumentação, me-recem ser citados a analogia, a indução e a dedução. Dos três, o primeiro é o menos preciso, ainda que um meio bas-tante poderoso de convencimento, sendo bastante usado pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nos



discursos jurídico e religioso; o segundo é amplamente em-pregado pela ciência e, também, pelo senso comum e, por fim, a dedução é tida por alguns como o único raciocínio autenticamente lógico, por isso, o verdadeiro objeto da lógica formal.

A maior ou menor valorização de um ou de outro tipo de raciocínio dependerá do objeto a que se aplica, do modo como é desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na abordagem da natureza e do alcance do conhecimento.

Às vezes, um determinado tipo de raciocínio não é ade-quadamente empregado. Vejam-se os seguintes exemplos: o médico alemão Ludwig Büchner (1824-1899) apresentou como argumento contra a existência da alma o fato de esta nunca ter sido encontrada nas diversas dissecações do cor-po humano; o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou que Deus não existe pois “esteve lá em cima” e não o encon-trou. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocínio induti-vo, baseado na observação empírica, não é o mais adequa-do para os objetos em questão, já que a alma e Deus são de ordem metafísica, não física.

2.1. Raciocínio analógico

Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido, é partir do que se sabe em direção àquilo que não se sabe, a analogia (aná = segundo, de acordo + lógon = razão) é um dos caminhos mais comuns para que isso aconteça. No raciocínio analógico, compara-se uma situação já conhecida com uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida, aplicando a elas as informações previamente obtidas quando da vivência direta ou indireta da situação-referência.

Normalmente, aquilo que é familiar é usado como ponto de apoio na formação do conhecimento, por isso, a analogia é um dos meios mais comuns de inferência. Se, por um lado, é fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, também tem servido de inspiração para muitos gênios das ciências e das artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do empuxo), de Galileu na catedral de Pisa (lei do pêndulo) ou de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). No entanto, também é uma forma de raciocínio em que se come-tem muitos erros. Tal acontece porque é difícil estabelecer-lhe regras rígidas. A distância entre a genialidade e a falha grosseira é muito pequena. No caso dos raciocínios analógi-cos, não se trata propriamente de considerá-los válidos ou não-válidos, mas de verificar se são fracos ou fortes. Segun-do Copi, deles somente se exige “que tenham alguma proba-bilidade” (Introdução à lógica, p. 314).

A força de uma analogia depende, basicamente, de três aspectos:

a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e importantes;

b) o número de elementos semelhantes entre uma situa-ção e outra deve ser significativo;

c) não devem existir divergências marcantes na compa-ração.

No raciocínio analógico, comparam-se duas situações, casos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as conclusões adequadas. Na ilustração, tal como a carroça, o carro a mo-tor é um meio de transporte que necessita de um condutor. Este, tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado de bom senso e de boa técnica para desempenhar adequada-mente seu papel.

Aplicação das regras acima a exemplos:

a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, não imaginários ou insignificantes.tc

"a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, não imaginários ou insignificantes."

Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao comprar suas roupas, logo, terá bom gosto ao comprar as roupas de sua filha.

Analogia fraca - João usa terno, sapato de cromo e per-fume francês e é um bom advogado;

Antônio usa terno, sapato de cromo e perfume francês; logo, deve ser um bom advogado.

b) O número de aspectos semelhantes entre uma situa-ção e outra deve ser significativo.tc "b) O número de aspec-tos semelhantes entre uma situação e outra deve ser signifi-cativo."

Analogia forte - A Terra é um planeta com atmosfera, com clima ameno e tem água; em Marte, tal como na Terra, houve atmosfera, clima ameno e água; na Terra existe vida, logo, tal como na Terra, em Marte deve ter havido algum tipo de vida.

Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por noite e foi um gênio inventor; eu dormirei durante 3 1/2 horas por noite e, por isso, também serei um gênio inventor.

c) Não devem existir divergências marcantes na compa-ração.tc "c) Não devem existir divergências marcantes na comparação.."

Analogia forte - A pescaria em rios não é proveitosa por ocasião de tormentas e tempestades; a pescaria marinha não está tendo sucesso porque troveja muito.

Analogia fraca - Os operários suíços que recebem o sa-lário mínimo vivem bem; a maioria dos operários brasileiros, tal como os operários suíços, também recebe um salário mínimo; logo, a maioria dos operários brasileiros também vive bem, como os suíços.

Pode-se notar que, no caso da analogia, não basta con-siderar a forma de raciocínio, é muito importante que se avalie o seu conteúdo. Por isso, esse tipo de raciocínio não é admitido pela lógica formal. Se as premissas forem verdadei-ras, a conclusão não o será necessariamente, mas possivel-mente, isto caso cumpram-se as exigências acima.

Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral do raciocínio analógico, não existem regras claras e precisas que, uma vez observadas, levariam a uma conclusão neces-sariamente válida.

O esquema básico do raciocínio analógico é:

A é N, L, Y, X; B, tal como A, é N, L, Y, X; A é, também, Z logo, B, tal como A, é também Z.

Se, do ponto de vista da lógica formal, o raciocínio analó-gico é precário, ele é muito importante na formulação de hipóteses científicas e de teses jurídicas ou filosóficas. Con-tudo, as hipóteses científicas oriundas de um raciocínio ana-lógico necessitam de uma avaliação posterior, mediante procedimentos indutivos ou dedutivos.



Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, físico e professor de ciência da computação da Universidade de Michigan, lançou a hipótese (1995) de se verificar, no campo da computação, uma situação semelhante à que ocorre no da genética. Assim como na natureza espécies diferentes podem ser cruzadas para obter o chamado melhoramento genético - um indivíduo mais adaptado ao ambiente -, na informática, também o cruzamento de programas pode con-tribuir para montar um programa mais adequado para resol-ver um determinado problema. “Se quisermos obter uma rosa mais bonita e perfumada, teremos que cruzar duas espécies: uma com forte perfume e outra que seja bela” diz Holland. “Para resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um programa que dê conta de uma parte do problema e cruzamos com outro programa que solucione outra parte. Entre as várias soluções possíveis, selecionam-se aquelas que parecem mais adequadas. Esse processo se repete por várias gerações - sempre selecionando o melhor programa - até obter o descendente que mais se adapta à questão. É, portanto, semelhante ao processo de seleção natural, em que só sobrevivem os mais aptos”. (Entrevista ao JB, 19/10/95, 1º cad., p. 12).

Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averi-guação indutiva das conclusões extraídas desse tipo de raciocínio para, só depois, serem confirmadas ou não.

2.2. Raciocínio Indutivo - do particular ao geral

Ainda que alguns autores considerem a analogia como uma variação do raciocínio indutivo, esse último tem uma base mais ampla de sustentação. A indução consiste em partir de uma série de casos particulares e chegar a uma conclusão de cunho geral. Nele, está pressuposta a possibi-lidade da coleta de dados ou da observação de muitos fatos e, na maioria dos casos, também da verificação experimen-tal. Como dificilmente são investigados todos os casos pos-síveis, acaba-se aplicando o princípio das probabilidades.

Assim sendo, as verdades do raciocínio indutivo depen-dem das probabilidades sugeridas pelo número de casos observados e pelas evidências fornecidas por estes. A enu-meração de casos deve ser realizada com rigor e a conexão entre estes deve ser feita com critérios rigorosos para que sejam indicadores da validade das generalizações contidas nas conclusões.

O esquema principal do raciocínio indutivo é o seguinte: B é A e é X; C é A e também é X; D é A e também é X; E é A e também é X; logo, todos os A são X No raciocínio indutivo, da observação de muitos casos

particulares, chega-se a uma conclusão de cunho geral. Aplicando o modelo: A jararaca é uma cobra e não voa; A caninana é uma cobra e também não voa; A urutu é uma cobra e também não voa; A cascavel é uma cobra e também não voa; logo, as cobras não voam.

Contudo,

Ao sair de casa, João viu um gato preto e, logo a seguir, caiu e quebrou o braço. Maria viu o mesmo gato e, alguns minutos depois, foi assaltada. Antonio também viu o mesmo gato e, ao sair do estacionamento, bateu com o carro. Logo, ver um gato preto traz azar.

Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vista do va-lor lógico, dois tipos de indução: a indução fraca e a indução

forte. É forte quando não há boas probabilidades de que um caso particular discorde da generalização obtida das premis-sas: a conclusão “nenhuma cobra voa” tem grande probali-dade de ser válida. Já, no caso do “gato preto”, não parece haver sustentabilidade da conclusão, por se tratar de mera coincidência, tratando-se de uma indução fraca. Além disso, há casos em que uma simples análise das premissas é sufi-ciente para detectar a sua fraqueza.

Vejam-se os exemplos das conclusões que pretendem ser aplicadas ao comportamento da totalidade dos membros de um grupo ou de uma classe tendo como modelo o com-portamento de alguns de seus componentes:

1. Adriana é mulher e dirige mal; Ana Maria é mulher e dirige mal; Mônica é mulher e dirige mal; Carla é mulher e dirige mal; logo, todas as mulheres dirigem mal. 2. Antônio Carlos é político e é corrupto; Fernando é político e é corrupto; Paulo é político e é corrupto; Estevão é político e é corrupto; logo, todos os políticos são corruptos.

A avaliação da suficiência ou não dos elementos não é tarefa simples, havendo muitos exemplos na história do co-nhecimento indicadores dos riscos das conclusões por indu-ção. Basta que um caso contrarie os exemplos até então colhidos para que caia por terra uma “verdade” por ela sus-tentada. Um exemplo famoso é o da cor dos cisnes. Antes da descoberta da Austrália, onde foram encontrados cisnes pretos, acreditava-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os até então observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro cisne preto, uma certeza de séculos caiu por terra.

2.2.1. Procedimentos indutivos

Apesar das muitas críticas de que é passível o raciocínio indutivo, este é um dos recursos mais empregados pelas ciências para tirar as suas conclusões. Há dois procedimen-tos principais de desenvolvimento e aplicação desse tipo de raciocínio: o da indução por enumeração incompleta suficien-te e o da indução por enumeração completa.

a. Indução por enumeração incompleta suficiente

Nesse procedimento, os elementos enumerados são tidos como suficientes para serem tiradas determinadas conclu-sões. É o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de não poderem ser conferidos todos os elementos (cobras) em particular, os que foram enumerados são representativos do todo e suficientes para a generalização (“todas as cobras...”)

b. Indução por enumeração completa

Costuma-se também classificar como indutivo o raciocínio baseado na enumeração completa.

Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela ocorre quando:

b.a. todos os casos são verificados e contabilizados;

b.b. todas as partes de um conjunto são enumeradas.

Exemplos correspondentes às duas formas de indução por enumeração completa:



b.a. todas as ocorrências de dengue foram investigadas e em cada uma delas foi constatada uma característica própria desse estado de morbidez: fortes dores de cabeça; obteve-se, por conseguinte, a conclusão segura de que a dor de cabeça é um dos sintomas da dengue.

b.b. contam-se ou conferem-se todos as peças do jogo de xadrez: ao final da contagem, constata-se que são 32 peças.

Nesses raciocínios, tem-se uma conclusão segura, po-dendo-se classificá-los como formas de indução forte, mes-mo que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa científica.

O raciocínio indutivo nem sempre aparece estruturado nos moldes acima citados. Às vezes, percebe-se o seu uso pela maneira como o conteúdo (a matéria) fica exposta ou ordenada. Observem-se os exemplos:

- Não parece haver grandes esperanças em se erradicar a corrupção do cenário político brasileiro.

Depois da série de protestos realizados pela população, depois das provas apresentadas nas CPI’s, depois do vexa-me sofrido por alguns políticos denunciados pela imprensa, depois do escárnio popular em festividades como o carnaval e depois de tanta insistência de muitos sobre necessidade de moralizar o nosso país, a corrupção parece recrudescer, apresenta novos tentáculos, se disfarça de modos sempre novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a nação.

- Sentia-me totalmente tranqüilo quanto ao meu amigo, pois, até então, os seus atos sempre foram pautados pelo respeito às leis e à dignidade de seus pares. Assim, enquan-to alguns insinuavam a sua culpa, eu continuava seguro de sua inocência.

Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos está sendo empregando o método indutivo porque o argumento principal está sustentado pela observação de muitos casos ou fatos particulares que, por sua vez, fundamentam a con-clusão. No primeiro caso, a constatação de que diversas tentativas de erradicar a corrupção mostraram-se infrutíferas conduzem à conclusão da impossibilidade de sua superação, enquanto que, no segundo exemplo, da observação do com-portamento do amigo infere-se sua inocência.

Analogia, indução e probabilidade

Nos raciocínios analógico e indutivo, apesar de boas chances do contrário, há sempre a possibilidade do erro. Isso ocorre porque se está lidando com probabilidades e estas não são sinônimas de certezas.

Há três tipos principais de probabilidades: a matemática, a moral e a natural.

a) A probabilidade matemática é aquela na qual, partin-do-se dos casos numerados, é possível calcular, sob forma de fração, a possibilidade de algo ocorrer – na fração, o de-nominador representa os casos possíveis e o numerador o número de casos favoráveis. Por exemplo, no caso de um sorteio usando uma moeda, a probabilidade de dar cara é de 50% e a de dar coroa também é de 50%.

b) A probabilidade moral é a relativa a fatos humanos destituídos de caráter matemático. É o caso da possibilidade de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reação alegre ou triste etc.

Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, é provável que Pedro não tenha cometido o crime, contudo... Conhecendo-se a meiguice de Maria, é provável que ela o receba bem, mas...

c) A probabilidade natural é a relativa a fenômenos na-turais dos quais nem todas as possibilidades são conhecidas. A previsão meteorológica é um exemplo particular de proba-lidade natural. A teoria do caos assenta-se na tese da impre-visibilidade relativa e da descrição apenas parcial de alguns eventos naturais.

Por lidarem com probabilidades, a indução e a analogia são passíveis de conclusões inexatas.

Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as su-as conclusões. Elas expressam muito bem a necessidade humana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas, contudo, também revelam as limitações humanas no que diz respeito à construção do conhecimento.

2.3. Raciocínio dedutivo - do geral ao particular

O raciocínio dedutivo, conforme a convicção de muitos estudiosos da lógica, é aquele no qual são superadas as deficiências da analogia e da indução.

No raciocínio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se do geral e vai-se ao particular. As inferências ocorrem a partir do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral, para se chegar a uma conclusão tão ou menos ampla que a premissa. O silogismo é o melhor exemplo desse tipo de raciocínio:

Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. uni-versal

Premissa menor: Pedro é homem. Conclusão: Logo, Pedro é mamífero. Particular No raciocínio dedutivo, de uma premissa de cunho geral

podem-se tirar conclusões de cunho particular.

Aristóteles refere-se à dedução como “a inferência na qual, colocadas certas coisas, outra diferente se lhe segue necessariamente, somente pelo fato de terem sido postas”. Uma vez posto que todos os homens são mamíferos e que Pedro é homem, há de se inferir, necessariamente, que Pe-dro é um mamífero. De certo modo, a conclusão já está pre-sente nas premissas, basta observar algumas regras e inferir a conclusão.

2.3.1. Construção do Silogismo

A estrutura básica do silogismo (sýn/com + lógos/razão) consiste na determinação de uma premissa maior (ponto de partida), de uma premissa menor (termo médio) e de uma conclusão, inferida a partir da premissa menor. Em outras palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progride através da premissa menor e infere, necessariamente, uma conclusão adequada.

Eis um exemplo de silogismo:

Todos os atos que ferem a lei são puníveis Premissa Maior A concussão é um ato que fere a lei Premissa Menor

Logo, a concussão é punível Conclusão

O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da ló-gica, as premissas são chamadas de proposições que, por sua vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas ou juízos. O termo é uma palavra ou um conjunto de palavras



que exprime um conceito. Os termos de um silogismo são necessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior é aquele cuja extensão é maior (normalmente, é o predicado da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário ou de conexão entre os outros dois termos (não figura na conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (nor-malmente, é o sujeito da conclusão). No exemplo acima, punível é o termo maior, ato que fere a lei é o termo médio e concussão é o menor.

2.3.1.1. As Regras do Silogismo

Oito são as regras que fazem do silogismo um raciocínio perfeitamente lógico. As quatro primeiras dizem respeito às relações entre os termos e as demais dizem respeito às relações entre as premissas. São elas:

2.3.1.1.1. Regras dos Termos

1) Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, médio e menor.

Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos. Termo Médio: Mimi é um gato. Termo Menor: Mimi é um mamífero. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede. Termo Médio: Maria é uma gata(2). Termo Menor: Maria é quadrúpede. O termo “gata” tem dois significados, portanto, há quatro

termos ao invés de três. 2) Os termos da conclusão nunca podem ser mais exten-

sos que os termos das premissas. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todas as onças são ferozes. Termo Médio: Nikita é uma onça. Termo Menor: Nikita é feroz. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Antônio e José são poetas. Termo Médio: Antônio e José são surfistas. Termo Menor: Todos os surfistas são poetas. “Antonio e José” é um termo menos extenso que “todos

os surfistas”. 3) O predicado do termo médio não pode entrar na con-

clusão. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro pode infringir a lei. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a

lei. A ocorrência do termo médio “homem” na conclusão é

inoportuna. 4) O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez

em sua extensão universal. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilida-

des. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Alguns homens são sábios. Termo Médio: Ora os ignorantes são homens Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios O predicado “homens” do termo médio não é universal,

mas particular.

2.3.1.1.2. Regras das Premissas 5) De duas premissas negativas, nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero Premissa Menor: Lulu não é um gato. Conclusão: (?). 6) De duas premissas afirmativas, não se tira uma con-

clusão negativa. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser dese-

jados. Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral. Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado. 7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A

premissa mais fraca é sempre a de caráter negativo. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. Conclusão: Alguns animais não voam. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. Conclusão: Alguns animais voam. 8) De duas premissas particulares nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Mimi é um gato. Premissa Menor: Um gato foi covarde. Conclusão: (?)

Fonte: estudaki.files.wordpress.com/2009/03/logica-argumentacao.pdf

A FUNDAÇÃO DA LÓGICA

Anthony Kenny

Universidade de Oxford

Muitas das ciências para as quais Aristóteles contribuiu foram disciplinas que ele próprio fundou. Afirma-o explicita-mente em apenas um caso: o da lógica. No fim de uma das suas obras de lógica, escreveu:

No caso da retórica existiam muito es-critos antigos para nos apoiarmos, mas no caso da lógica nada tínhamos absoluta-mente a referir até termos passado muito tempo em laboriosa investigação.

As principais investigações lógicas de Aristóteles incidiam sobre as relações entre as frases que fazem afirmações. Quais delas são consistentes ou inconsistentes com as ou-tras? Quando temos uma ou mais afirmações verdadeiras, que outras verdades podemos inferir delas unicamente por meio do raciocínio? Estas questões são respondidas na sua obra Analíticos Posteriores.

Ao contrário de Platão, Aristóteles não toma como ele-mentos básicos da estrutura lógica as frases simples com-postas por substantivo e verbo, como "Teeteto está sentado". Está muito mais interessado em classificar frases que come-çam por "todos", "nenhum" e "alguns", e em avaliar as infe-rências entre elas. Consideremos as duas inferências seguin-tes:

1) Todos os gregos são europeus. Alguns gregos são do sexo masculino. Logo, alguns europeus são do sexo masculino.

2) Todas as vacas são mamíferos. Alguns mamíferos são quadrúpedes. Logo, todas as vacas são quadrúpedes.



As duas inferências têm muitas coisas em comum. São ambas inferências que retiram uma conclusão a partir de duas premissas. Em cada inferência há uma palavra-chave que surge no sujeito gramatical da conclusão e numa das premissas, e uma outra palavra-chave que surge no predica-do gramatical da conclusão e na outra premissa. Aristóteles dedicou muita atenção às inferências que apresentam esta característica, hoje chamadas "silogismos", a partir da pala-vra grega que ele usou para as designar. Ao ramo da lógica que estuda a validade de inferências deste tipo, iniciado por Aristóteles, chamamos "silogística".

Uma inferência válida é uma inferência que nunca conduz de premissas verdadeiras a uma conclusão falsa. Das duas inferências apresentadas acima, a primeira é válida, e a segunda inválida. É verdade que, em ambos os casos, tanto as premissas como a conclusão são verdadeiras. Não pode-mos rejeitar a segunda inferência com base na falsidade das frases que a constituem. Mas podemos rejeitá-la com base no "portanto": a conclusão pode ser verdadeira, mas não se segue das premissas.

Podemos esclarecer melhor este assunto se conceber-mos uma inferência paralela que, partindo de premissas verdadeiras, conduza a uma conclusão falsa. Por exemplo:

3)Todas as baleias são mamíferos. Alguns mamíferos são animais terrestres. Logo, todas as baleias são animais terrestres.

Esta inferência tem a mesma forma que a inferência 2), como poderemos verificar se mostrarmos a sua estrutura por meio de letras esquemáticas:

4) Todo o A é B. Algum B é C. Logo, todo o A é C.

Uma vez que a inferência 3) conduz a uma falsa conclu-são a partir de premissas verdadeiras, podemos ver que a forma do argumento 4) não é de confiança. Daí a não valida-de da inferência 2), não obstante a sua conclusão ser de facto verdadeira.

A lógica não teria conseguido avançar além dos seus primeiros passos sem as letras esquemáticas, e a sua utili-zação é hoje entendida como um dado adquirido; mas foi Aristóteles quem primeiro começou a utilizá-las, e a sua invenção foi tão importante para a lógica quanto a invenção da álgebra para a matemática.

Uma forma de definir a lógica é dizer que é uma disciplina que distingue entre as boas e as más inferências. Aristóteles estuda todas as formas possíveis de inferência silogística e estabelece um conjunto de princípios que permitem distinguir os bons silogismos dos maus. Começa por classificar indivi-dualmente as frases ou proposições das premissas. Aquelas que começam pela palavra "todos" são proposições univer-sais; aquelas que começam com "alguns" são proposições particulares. Aquelas que contêm a palavra "não" são propo-sições negativas; as outras são afirmativas. Aristóteles ser-viu-se então destas classificações para estabelecer regras para avaliar as inferências. Por exemplo, para que um silo-gismo seja válido é necessário que pelo menos uma premis-sa seja afirmativa e que pelo menos uma seja universal; se ambas as premissas forem negativas, a conclusão tem de ser negativa. Na sua totalidade, as regras de Aristóteles bastam para validar os silogismos válidos e para eliminar os inválidos. São suficientes, por exemplo, para que aceitemos a inferência 1) e rejeitemos a inferência 2).

Aristóteles pensava que a sua silogística era suficiente para lidar com todas as inferências válidas possíveis. Estava enganado. De facto, o sistema, ainda que completo em si mesmo, corresponde apenas a uma fracção da lógica. E apresenta dois pontos fracos. Em primeiro lugar, só lida com as inferências que dependem de palavras como "todos" e "alguns", que se ligam a substantivos, mas não com as infe-rências que dependem de palavras como "se…, então ", que interligam as frases. Só alguns séculos mais tarde se pôde formalizar padrões de inferência como este: "Se não é de dia, é de noite; mas não é de dia; portanto é de noite". Em se-gundo lugar, mesmo no seu próprio campo de acção, a lógi-ca de Aristóteles não é capaz de lidar com inferências nas quais palavras como "todos" e "alguns" (ou "cada um" e "ne-nhum") surjam não na posição do sujeito, mas algures no predicado gramatical. As regras de Aristóteles não nos per-mitem determinar, por exemplo, a validade de inferências que contenham premissas como "Todos os estudantes co-nhecem algumas datas" ou "Algumas pessoas detestam os polícias todos". Só 22 séculos após a morte de Aristóteles esta lacuna seria colmatada.

A lógica é utilizada em todas as diversas ciências que Aristóteles estudou; talvez não seja tanto uma ciência em si mesma, mas mais um instrumento ou ferramenta das ciên-cias. Foi essa a ideia que os sucessores de Aristóteles retira-ram das suas obras de lógica, denominadas "Organon" a partir da palavra grega para instrumento.

A obra Analíticos Anteriores mostra-nos de que modo a lógica funciona nas ciências. Quem estudou geometria eucli-diana na escola recorda-se certamente das muitas verdades geométricas, ou teoremas, alcançadas por raciocínio deduti-vo a partir de um pequeno conjunto de outras verdades cha-madas "axiomas". Embora o próprio Euclides tivesse nascido numa altura tardia da vida de Aristóteles, este método axio-mático era já familiar aos geómetras, e Aristóteles pensava que podia ser amplamente aplicado. A lógica forneceria as regras para a derivação de teoremas a partir de axiomas, e cada ciência teria o seu próprio conjunto especial de axio-mas. As ciências poderiam ser ordenadas hierarquicamente, com as ciências inferiores tratando como axiomas proposi-ções que poderiam ser teoremas de uma ciência superior.

Se tomarmos o termo "ciência" numa acepção ampla, afirma Aristóteles, é possível distinguir três tipos de ciências: as produtivas, as práticas e as teóricas. As ciências produti-vas incluem a engenharia e a arquitectura, e disciplinas como a retórica e a dramaturgia, cujos produtos são menos concre-tos. As ciências práticas são aquelas que guiam os compor-tamentos, destacando-se entre elas a política e a ética. As ciências teóricas são aquelas que não possuem um objectivo produtivo nem prático, mas que procuram a verdade pela verdade.

Por sua vez, a ciência teórica é tripartida. Aristóteles no-meia as suas três divisões: "física, matemática, teologia"; mas nesta classificação só a matemática é aquilo que parece ser. O termo "física" designa a filosofia natural ou o estudo da natureza (physis); inclui, além das disciplinas que hoje inte-graríamos no campo da física, a química, a biologia e a psi-cologia humana e animal. A "teologia" é, para Aristóteles, o estudo de entidades superiores e acima do ser humano, ou seja, os céus estrelados, bem como todas as divindades que poderão habitá-los. Aristóteles não se refere à "metafísica"; de facto, a palavra significa apenas "depois da física" e foi utilizada para referenciar as obras de Aristóteles catalogadas a seguir à sua Física. Mas muito daquilo que Aristóteles escreveu seria hoje naturalmente descrito como "metafísica"; e ele tinha de facto a sua própria designação para essa dis-ciplina, como veremos mais à frente. Anthony Kenny



ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS

Desidério Murcho

É comum falar em argumentos dedutivos, opondo-os aos indutivos. Este artigo procura mostrar que há um conjunto de aspectos subtis que devem ser tidos em linha de conta, caso contrário será tudo muito confuso.

Antes de mais: a expressão "argumento indutivo" ou "in-dução" dá origem a confusões porque se pode ter dois tipos muito diferentes de argumentos: as generalizações e as previsões. Uma generalização é um argumento como

Todos os corvos observados até hoje são pretos. Logo, todos os corvos são pretos.

Numa generalização parte-se de algumas verdades acerca de alguns membros de um dado domínio e gene-raliza-se essas verdades para todos os membros desse domínio, ou pelo menos para mais.

Uma previsão é um argumento como

Todos os corvos observados até hoje são pretos. Logo, o próximo corvo que observarmos será preto.

Uma pessoa imaginativa e com vontade de reduzir coisas — uma síndrome comum em filosofia — pode que-rer afirmar que podemos reduzir as previsões às generali-zações via dedução: a conclusão da previsão acima se-gue-se dedutivamente da conclusão da generalização an-terior. Não acho que isto capta de modo algum a natureza lógica ou conceptual da previsão, mas isso não é relevan-te neste artigo. O que conta é que, mesmo que a previsão seja redutível à generalização mais dedução, continua a ser um modo comum de falar e uma parte importante do nosso pensamento.

Numa veia ainda reducionista, algumas pessoas po-derão querer dizer que todos os outros tipos de argumen-tos não dedutivos se reduzem à generalização e à previ-são. Assim, não valeria a pena falar de argumentos de autoridade, por exemplo, que são argumentos como o se-guinte:

Einstein afirmou que não se pode viajar mais depressa do que a luz. Logo, não se pode viajar mais depressa do que a luz.

Uma vez mais: pode ser que este tipo de argumentos se-ja redutível à generalização e à previsão. Mas é útil compre-ender que este tipo de argumentos tem exigências próprias e portanto é útil falar deles explicitamente, ainda que se trate de um tipo de inferência redutível a qualquer outro tipo ou tipos.

Dados estes esclarecimentos, importa agora esclarecer o seguinte: O que é um argumento dedutivo? E como se dis-tingue tal coisa de um argumento indutivo?

Vou começar por dizer o modo como não se deve enten-der estas noções. A primeira coisa a não fazer é pensar que um argumento dedutivo se caracteriza por ser impossível a sua conclusão ser falsa se as suas premissas forem verda-deiras. Pensar isto provoca confusão porque significaria que não há argumentos dedutivos inválidos. Porquê? Porque só nos argumentos dedutivos válidos é impossível a conclusão ser falsa se as suas premissas forem verdadeiras; nos argu-

mentos dedutivos inválidos, nas falácias (como a afirmação da antecedente, por exemplo) é perfeitamente possível as premissas serem verdadeiras e a conclusão falsa.

Em termos rigorosos, não há problem algum com esta opção; significa apenas que estamos a dar ao termo "dedu-ção" força factiva, como damos ao termo "demonstração". Do mesmo modo que não há demonstrações inválidas, também não há, de acordo com esta opção, deduções inválidas. Se é uma dedução, é válida; se é uma demostração, é válida. Uma "demonstração" inválida nada demonstra; uma "dedu-ção" inválida nada deduz.

O primeiro problema desta opção é exigir a reforma do modo como geralmente se fala e escreve sobre argumentos dedutivos — pois é comum falar de argumentos dedutivos inválidos, como as falácias formais (por oposição às infor-mais). Este problema não é decisivo, caso não se levantasse outro problema: o segundo.

O segundo problema é o seguinte: Dado que todos os ar-gumentos são dedutivos ou não dedutivos (ou indutivos, se quisermos reduzir todo o campo da não dedução à indução), e dado que não faz muito sentido usar o termo "dedução" factivamente e o termo "indução" não factivamente, o resul-tado bizarro é que deixa de haver argumentos inválidos. O termo "argumento" torna-se factivo tal como os termos "de-dução" e "indução". E isto já é demasiado rebuscado; as pessoas não usam mesmo o termo deste modo, nunca; pas-samos a vida a falar de argumentos inválidos. E faz todo o sentido que o façamos, pois se adoptarmos o entendimento factivo do termo um "argumento" inválido não é de todo em todo um argumento: é apenas um conjunto de proposições.

É sem dúvida possível aceitar o resultado bizarro, e pas-sar a usar o termo "argumento" factivamente. Mas se tiver-mos a possibilidade de o evitar, de forma fundamentada e reflectida, estaremos a facilitar as coisas — sobretudo ao nível do ensino.

E temos possibilidade de evitar este resultado bizarro, e manter o uso de "argumento" de tal modo que faça sentido falar de argumentos inválidos, de deduções inválidas e de induções inválidas. Para o fazer temos de distinguir cuidado-samente a noção de argumento (dedutivo ou não) da noção de validade (dedutiva ou não). Podemos, claro, usar um termo diferente para a validade não dedutiva, e reservar o termo "validade" para a validade dedutiva, mas esta é uma mera opção terminológica: tanto faz. O que é crucial é poder dizer que um argumento é dedutivo, apesar de inválido, ou indutivo, apesar de inválido. E como se faz isso?

Apresentando os argumentos dedutivos como argumen-tos cuja validade ou invalidade depende exclusivamente da sua forma lógica; e os argumentos não dedutivos como ar-gumentos cuja validade ou invalidade não depende exclusi-vamente da sua forma lógica. Evidentemente, isto não se aplica a todos os argumentos dedutivos, mas esta é uma complicação que esclareceremos dentro de momentos. Para já, vejamos alguns exemplos:

Se Sócrates era ateniense, era grego. Sócrates era grego. Logo, era ateniense.

Se Sócrates era ateniense, era grego. Sócrates era ateniense. Logo, era grego.

O primeiro argumento é inválido. Mas qualquer argumen-to indutivo, ainda que válido, sofre deste tipo de invalidade



dedutiva. Devemos então dizer que os argumentos deduti-vamente inválidos não se distinguem dos argumentos induti-vos válidos? Claro que não, dado que eles se distinguem muito claramente uns dos outros.

O primeiro argumento é dedutivamente inválido porque a sua invalidade pode ser explicada recorrendo unicamente à sua forma lógica. Mas seria uma enorme falta de sensibilida-de lógica abandonar uma indução boa com base no facto de a sua forma lógica e a verdade das suas premissas não garantir a verdade da sua conclusão.

Assim, um argumento é dedutivo ou indutivo em função da explicação mais adequada que tivermos para a sua vali-dade ou invalidade. Um argumento dedutivo inválido explica-se adequadamente recorrendo unicamente à sua forma lógi-ca, no sentido em que a sua forma lógica é suficiente para distinguir os argumentos dedutivos inválidos dos válidos; o mesmo não acontece com os argumentos indutivos, pois a sua validade ou invalidade não depende exclusivamente da sua forma lógica.

Deste modo, podemos manter a tradição de falar de ar-gumentos dedutivos e indutivos; e podemos dizer que há argumentos dedutivos inválidos; e não somos forçados a aceitar que todo o argumento indutivo, por melhor que seja, é sempre um argumento dedutivo inválido. Isto não acontece porque os argumentos dedutivos nunca são indutivos, ainda que sejam inválidos. Porque o que conta é o tipo de explica-ção adequada para a sua validade ou invalidade.

Em termos primitivos, pois, o que conta é a validade e in-validade; há diferentes tipos de validade e invalidade: a de-dutiva e a indutiva. E os argumentos são dedutivos ou induti-vos consoante a sua validade ou invalidade for dedutiva ou indutiva.

É agora tempo de esclarecer que nem todos os argumen-tos dedutivos dependem exclusivamente da sua forma lógica; há argumentos dedutivos de carácter conceptual, como "O João é casado; logo, não é solteiro". Não é difícil acomodar estas variedades de dedução não formal no esquema aqui proposto: tudo depende da melhor explicação disponível para a validade ou invalidade em causa.

Podemos assim continuar a falar de argumentos deduti-vos e indutivos, validos ou inválidos. E os argumentos dedu-tivos inválidos nunca são uma subclasse dos argumentos indutivos.

DIAGRAMAS LÓGICOS

Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES

Introdução Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresen-tam uma determinada característica.

Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos marcando quantos elementos tem a intersec-ção e depois completaremos os outros espaços.

Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas.

a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas. b) Dirigem somente carros 33 motoristas. c) Dirigem somente motos 8 motoristas. No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a seguinte tabela:



Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmen-te montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individual-mente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa.

Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais. Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos. Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos. Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos. Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos. Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos. Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos. Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos:

Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas lêem apenas o jornal A. Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES Verificamos que 500 pessoas não lêem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150. EXERCÍCIOS DE CONCURSOS Diagramas Lógicos 1. De um total de 30 agentes administrativos sabe-se que: I. 18 gostam de cinema II. 14 gostam de teatro III. 2 não gostam de cinema, nem de teatro O número de agentes que gostam de cinema e de teatro corresponde a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 2. De um grupo de N auxiliares técnicos de produção, 44 lêem jornal A, 42 o jornal B e 18 lêem ambos os jornais. sabendo que todo auxiliar deste grupo é leitor de pelo menos um dos jornais, o número N de auxiliares é: R: c) 68 3. Em uma turma, 45% dos alunos falam inglês e 33% falam francês. Se 25% dos alunos não falam nenhuma duas lín-guas, a porcentagem de alunos que falam francês, mas não falam inglês é de: a) 3% b) 15% c) 27% d) 30% e) 33% 4. Realizou-se uma pesquisa e verificou-se que, das pessoas consultadas, 200 ouviam a rádio A, 300 ouviam a rádio B, 20 ouviam as duas rádios (A e B) e 220 não ouviam nenhuma das duas rádios. Quantas pessoas foram consultadas? a) 520 b) 560 c) 640 d) 680 e) 700 5. Em uma pesquisa, foram entrevistados 100 telespectado-res. 60 assistiam à televisão à noite e 50 assistiam à televi-são de dia. Quantos assistiam à televisão de dia e de noite? a) 5



b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 6. Em uma pesquisa, foram entrevistadas 200 pessoas. 100 delas iam regularmente ao cinema, 60 iam regularmente ao teatro e 50 não iam regularmente nem ao cinema nem ao teatro. Quantas dessas pessoas iam regularmente a ambos? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 7. (NCNB_02) Uma professora levou alguns alunos ao par-que de diversões chamado Sonho. Desses alunos: � 16 já haviam ido ao parque Sonho, mas nunca andaram de montanha russa. � 6 já andaram de montanha russa, mas nunca haviam ido ao parque Sonho. � Ao todo, 20 já andaram de montanha russa. � Ao todo, 18 nunca haviam ido ao parque Sonho. Pode-se afirmar que a professora levou ao parque Sonho: a) 60 alunos b) 48 alunos c) 42 alunos d) 366alunos e) 32 alunos 8. (ICMS_97_VUNESP) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O nú-mero de alunos da classe é: a) 30 b) 35 c) 37 d) 42 e) 44 9. Suponhamos que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O numero de estudantes que usa ao mesmo tempo, óculos e relógio é: a) exatamente 6 b) exatamente 2 c) no mínimo 6 d) no máximo 5 e) no mínimo 4 10. Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produ-tos: A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: � 210 pessoas compram o produto A. � 210 pessoas compram o produto N. � 250 pessoas compram o produto C. � 20 pessoas compram os três produtos. � 100 pessoas não compram nenhum dos 3 produtos. � 60 pessoas compram o produto A e B. � 70 pessoas compram os produtos A eC. � 50 pessoas compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas: a) 670 b) 970 c) 870 d) 610 e) 510

11. No problema anterior, calcular quantas pessoas compram apenas o produto A; apenas o produto B; apenas o produto C. a) 210;210;250 b) 150;150;180 c) 100;120;150 d) 120;140;170 e) n.d.a. 12. (A_MPU_ESAF_04) Um colégio oferece a seus alunos à prática de um ou mais de um dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, � 20 alu-nos praticam vôlei e basquete; � 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; � 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; � o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; � 17 alunos praticam futebol e vôlei; � 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei; O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a: a) 93 b) 114 c) 103 d) 110 e) 99 13. (ESAF_97) Uma pesquisa entre 800 consumidores - sendo 400 homens e 400 mulheres- mostrou os seguintes resultados: Do total de pessoas entrevistadas: � 500 assinam o jornal X � 350 têm curso superior � 250 assinam o jornal X e têm nível superior Do total de mulheres entrevistadas: � 200 assinam o jornal X � 150 têm curso superior � 50 assinam o jornal X e têm nível superior O número de homens entrevistados que não assinam o jornal X e não têm curso superior é, portanto, igual a: a) 100 b) 200 c) 0 d) 50 e) 25 14. No diagrama abaixo, considere os conjuntos A, B, C e U ( universo ).

A região sombreada corresponde à seguinte operação: � �

a) A ∪ B ∪ C

b) (A ∪ B) ∩ C

c) A ∩ B∩ C

d) (A ∩ B) ∪ C



QUESTÕES CERTO / ERRADO (CESPE / UNB) 15. (UNB) Numa entrevista realizada pelo Departamento de Ciências Econômicas da UCG com 50 pessoas, da classe média de Goiânia, acerca de suas preferências por aplica-ções de seus excedentes financeiros, obteve-se o seguinte resultado: 21 pessoas disseram que aplicam em fundos de renda fixa; 34 em cadernetas de poupança e 50 não aplicam em nenhuma dasmodalidades. Deste modo, 10 pessoas aplicam nas duas modalidades (obs.: uma mesma pessoa pode aplicar em mais de uma modalidade). 16. (MPU_99UNB) Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitá-rias foi constatada a presença de três tipos de vírus: A, B, C . O resultado dos exames revelou que o vírus A estava pre-sente em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e B, em 80; os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o numero de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B. Com base nessa situação, julgues os itens abaixo: I. O número de pessoas contaminadas pelo três vírus simul-taneamente representa 9% do total de pessoas examinadas. II. O número de moradores que apresentam o vírus C é igual a 230. III. 345 moradores apresentam somente um dos vírus. IV. Mais de 140 moradores apresentaram pelo menos, dois vírus. V. O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa menos de 16% do total de pes-soas examinadas. 17. Pedro, candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Fede-ral, necessitando adquirir livros para se preparar para o con-curso, utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada nas áreas de direito, admi-nistração e economia, que vende livros nacionais e importa-dos. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte dos produtos nacionais. Alem disso, não há livro nacional disponível de capa dura. Com base nas informações acima é possível que Pedro, em sua pesquisa, tenha: I. Encontrado um livro de administração de capa dura. II. Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível. III. Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura. IV. Comprado um livro importado de direito de capa flexível. Respostas exercícios: 1-C 2-A 3-A 4-B 5-B RESPOSTAS

1.B 2.C 3.D 4.E 5.B 6.A 7.B 8.E 9.E 10.D

11.C 12.E 13.A 14.C 15.C (certo) 16.C,E,C,C,E 17.E,C,E,C

EQUIVALÊNCIA LÓGICA Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente

equivalentes ou simplesmente equivalentes, se p = q e q = p .

Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o mesmo "conteúdo lógico".

Do ponto de vista da teoria da demonstração, p e q são

equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação.

EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS NOTÁVEIS

Negação da Negação (Dupla Negação)

~(~p) ⇔⇔⇔⇔ p

p ~q ~(p)

F V F

V F V

Como as tabelas-verdade são idênticas podemos dizer

que ~(~p)�⇔⇔⇔⇔ p. Exemplo: "Não é verdade que Mario não é estudioso" é

logicamente equivalente a "Mario é estudioso". Exemplos: a) p: Não tem ninguém aqui. ~p: Tem ninguém aqui. ~(~p): Tem alguém aqui. Logicamente falando, "Não tem ninguém aqui" é equiva-

lente à "Tem alguém aqui". b) p: Não dá para não ler. ~p: Dá para não ler. ~(~p): Dá para ler. Logicamente falando, "Não dá para não ler" é equivalente

à "Dá para ler".

ARGUMENTOS VÁLIDOS E INVÁLIDOS Eduardo O C Chaves

Conceituação de Argumento Um argumento é um conjunto de enunciados -- mas não

um conjunto qualquer de enunciados. Num argumento os enunciados têm que ter uma certa relação entre si e é ne-cessário que um deles seja apresentado como uma tese, ou uma conclusão, e os demais como justificativa da tese, ou premissas para a conclusão. Normalmente argumentos são utilizados para provar ou disprovar algum enunciado ou para convencer alguém da verdade ou da falsidade de um enunci-ado.

Assim sendo, o seguinte conjunto de enunciados não é,

na realidade, um argumento: 1. Todos os metais se dilatam com o calor 2. Todas os meses há pelo menos quatro domingos 3. Logo, a UNICAMP é uma boa universidade. Neste caso, embora todos os enunciados sejam (pelo

menos à primeira vista) verdadeiros, e embora eles se dispo-nham numa forma geralmente associada com a de um argu-mento (premissa 1, premissa 2, e conclusão, precedida por "logo"), não temos um argumento porque os enunciados não têm a menor relação entre si. Não devemos sequer afirmar que temos um argumento inválido aqui, porque mesmo num argumento inválido as premissas e a conclusão precisam ter uma certa relação entre si.



Por outro lado, o seguinte é um argumento: 4. Todos os homens são mortais 5. Sócrates é homem 6. Logo, Sócrates é mortal. Neste caso, temos um argumento válido, em que todas

as premissas são verdadeiras e a conclusão também -- ou pelo menos assim parecem à primeira vista.

A Forma de um Argumento Argumentos têm uma certa forma ou estrutura. O argu-

mento constituído pelo conjunto de enunciados (2) tem a seguinte forma:

7. Todos os x são y 8. z é x 9. Logo, z é y. Imaginemos o seguinte argumento, que tem a mesma

forma do argumento constituído pelo conjunto de enunciados 4-6:

10. Todos os homens são analfabetos 11. Raquel de Queiroz é homem 12. Logo, Raquel de Queiroz é analfabeta. Este argumento, diferentemente do argumento constituí-

do pelos enunciados 4-6, tem premissas e conclusão todas falsas. No entanto, tem exatamente a mesma forma ou estru-tura do argumento anterior (forma explicitada nos enunciados 7-9). Se o argumento anterior (4-6) é válido (e é), este (10-12) também é.

Quando dois ou mais argumentos têm a mesma forma, se

um deles é válido, todos os outros também são, e se um deles é inválido, todos os outros também são. Como o argu-mento constituído pelos enunciados 4-6 é válido, e o argu-mento constituído pelos enunciados 10-12 tem a mesma forma (7-9), este (1012) também é válido.

A Forma de um Argumento e a Verdade das Premissas O último exemplo mostra que um argumento pode ser vá-

lido apesar de todas as suas premissas e a sua conclusão serem falsas. Isso é indicativo do fato de que a validade de um argumento não depende de serem suas premissas e sua conclusão efetivamente verdadeiras.

Mas se esse é o caso, quando é um argumento válido? Argumentos Válidos e Inválidos Um argumento é válido quando, se todas as suas premis-

sas forem verdadeiras, a sua conclusão tiver que, necessari-amente, ser verdadeira (sob pena de auto-contradição).

Considere os dois argumentos seguintes, constituídos,

respectivamente, pelos enunciados 13-15 e 16-18 Primeiro: 13. Se eu ganhar sozinho na Sena, fico milionário 14. Ganhei sozinho na Sena 15. Logo, fiquei milionário Segundo: 16. Se eu ganhar sozinho na Sena, fico milionário 17. Não ganhei sozinho na Sena 18. Logo, não fiquei milionário Esses dois argumentos são muito parecidos. A forma do

primeiro é: 19. Se p, q 20. p 21. Logo, q A forma do segundo é: 22. Se p, q 23. não-p

24. Logo, não-q O primeiro argumento é válido porque se as duas premis-

sas forem verdadeiras a conclusão tem que, necessariamen-te, ser verdadeira. Se eu argumentar com 13 e 14, e concluir que não fiquei milionário, estou me contradizendo.

O segundo argumento é inválido porque mesmo que as

duas premissas sejam verdadeiras a conclusão pode ser falsa (na hipótese, por exemplo, de eu herdar uma fortuna enorme de uma tia rica).

Falácias e Argumentos Sólidos ou Cogentes Argumentos da forma representada pelos enunciados 22-

24 são todos inválidos. Dá-se o nome de falácia a um argu-mento inválido, mas não, geralmente, a um argumento válido que possua premissas falsas.

A um argumento válido cujas premissas são todas verda-

deiras (e, portanto, cuja conclusão também é verdadeira) dá-se o nome de um argumento cogente ou sólido.

Argumentos, Convicção e Persuasão Um argumento cogente ou sólido deveria convencer a to-

dos, pois é válido e suas premissas são verdadeiras. Sua conclusão, portanto, segue das premissas. Contudo, nem sempre isso acontece.

Em primeiro lugar, muitas pessoas podem não admitir

que o argumento é cogente ou sólido. Podem admitir a ver-dade de suas premissas e negar sua validade. Ou podem admitir sua validade e negar a verdade de uma ou mais de suas premissas.

Em segundo lugar, algumas pessoas podem estar certas

da validade de um argumento e estar absolutamente convic-tas de que a conclusão é inaceitável, ou falsa. Neste caso, podem usar o mesmo argumento para mostrar que pelo menos uma de suas premissas tem que ser falsa.

Um argumento inválido (falácia), ou um argumento válido

com premissas falsas, não deveria convencer ninguém. No entanto, muitas pessoas são persuadidas por argumentos desse tipo.

A questão da validade ou não de um argumento é intei-

ramente lógica. A questão da cogência ou solidez de um argumento é ao

mesmo tempo lógica (porque depende da sua validade) e epistemológica (porque depende de suas premissas serem verdadeiras).

A questão da força persuasiva de um argumento é uma

questão psicológica, ou psicossocial. Contradição Diz-se que há contradição quando se afirma e se nega

simultaneamente algo sobre a mesma coisa. O princípio da contradição informa que duas proposições contraditórias não podem ser ambas falsas ou ambas verdadeiras ao mesmo tempo.Existe relação de simetria, não podem ter o mesmo valor de verdade.

Por exemplo, imaginando-se que se tem um conjunto de

bolas, a afirmação "Toda Bola é Vermelha" e a afirmação "Alguma Bola não é Vermelha" formam uma contradição, visto que:

se "Toda Bola é Vermelha" for verdadeira, "Alguma Bola não é Vermelha" tem que ser falsa

se "Toda Bola é Vermelha" for falsa, "Alguma Bola não é Vermelha" tem que ser verdadeira



se "Alguma Bola não é Vermelha" for verdadeira, "Toda Bola é Vermelha" tem que ser falsa

e se "Alguma Bola não é Vermelha" for falsa, "Toda Bola é

Vermelha" tem que ser verdadeira Por outro lado, a afirmação "Toda Bola é Vermelha" e a

afirmação "Nenhuma Bola é Vermelha", não formam uma contradição, visto que

se "Toda Bola é Vermelha" for verdadeira, "Nenhuma Bola é Vermelha" tem que ser falsa

mas se "Toda Bola é Vermelha" for falsa, "Nenhuma Bola é

Vermelha" pode tanto ser verdadeira quanto falsa e se "Nenhuma Bola é Vermelha" for verdadeira, "Toda

Bola é Vermelha" tem que ser falsa mas se "Nenhuma Bola é Vermelha" for falsa, "Toda Bola é

Vermelha" pode tanto ser verdadeira quanto falsa E sendo uma negação total (ao nível da quantidade e da

qualidade) a contraditória da afirmação "As contraditórias das grandes verdades são grandes verdades" seria: Algumas contraditórias das grandes verdades não são grandes verdades.

A noção de contradição é, geralmente estudada sob a

forma de um princípio: o «princípio de contradição» ou «prin-cípio de não contradição». Com frequência, tal princípio é considerado um princípio ontológico e, neste sentido, enun-cia-se do seguinte modo:

«É impossível que uma coisa seja e não seja ao mesmo tempo, a mesma coisa». Outras vezes, é considerado como um princípio lógico, e então enunciado do modo seguinte: «não se pode ter p e não p», onde p é símbolo de um enun-ciado declarativo.

O primeiro pensador que apresentou este princípio de

forma suficientemente ampla foi Aristóteles. Várias partes da sua obra estão consagradas a este tema, mas nem sempre o princípio é formulado do mesmo modo. Às vezes apresenta-o como uma das «noções comuns» ou «axiomas» que servem de premissa para a demonstração, sem poderem ser de-monstradas. Noutras ocasiões, apresenta-o como uma «no-ção comum», usada para a prova de algumas conclusões. Apresenta ainda este princípio como uma tese segundo a qual se uma proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e se uma proposição é falsa, a sua negação é verdadeira, quer dizer, como a tese segundo a qual, duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Estas formulações podem reduzir-se a três interpretações

do mesmo princípio: ontológica, lógica e metalógica. No primeiro caso o princípio refere-se à realidade; no segundo, converte-se numa formula lógica ou numa tautologia de lógi-ca sequencial, que se enuncia do seguinte modo:

¬(p Ù ¬p) e que se chama geralmente de lei de contradição. No ter-

ceiro caso, o princípio é uma regra que permite realizar infe-rências lógicas.

As discussões em torno do princípio de contradição têm

diferido consoante se acentua o lado ontológico ou o lado lógico e metalógico. Quando se dá mais relevância ao lado ontológico, trata-se sobretudo de afirmar o princípio como expressão da estrutura constitutiva do real, ou de o negar supondo que a própria realidade é contraditória (Hereclito) ou que, no processo dialético da sua evolução, a realidade supera, transcende ou vai mais além do princípio de contradição (Hegel). Quando predomina o lado lógico e

metalógico, trata-se então de saber se o princípio deve ser considerado como um axioma evidente por si mesmo ou como uma convenção da nossa linguagem que nos permite falar acerca da realidade.

LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN 1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é

a interseção dos complementares desses conjuntos. (A B)c = Ac Bc 2. O complementar da reunião de uma coleção finita de

conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc 3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e

B é a reunião dos complementares desses conjuntos. (A B)c = Ac Bc 4. O complementar da interseção de uma coleção finita

de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc

Tautologia

Na lógica proposicional, uma tautologia (do grego ταυτολογία) é uma fórmula proposicional que é verdadeira para todas as possíveis valorações de suas variáveis proposicionais. A negação de uma tautologia é uma contradição ou antilogia, uma fórmula proposicional que é falsa independentemente dos valores de verdade de suas variáveis. Tais proposições são ditas insatísfatíveis. Reciprocamente, a negação de uma contradição é uma tautologia. Uma fórmula que não é nem uma tautologia nem uma contradição é dita logicamente contingente. Tal fórmula pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores atribuídos para suas variáveis proposicionais.

Uma propriedade fundamental das tautologias é que existe um procedimento efetivo para testar se uma dada fórmula é sempre satisfeita (ou, equivalentemente, se seu complemento é insatisfatível). Um método deste tipo usa as tabelas-verdade. O problema de decisão de determinar se uma fórmula é satisfatível é o problema de satisfabilidade booleano, um exemplo importante de um problema NP-completo na teoria da complexidade computacional.

Tautologias e Contradições Considere a proposição composta s: (p∧q) → (p∧q)

onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer. Va-

mos construir a tabela verdade da proposição s :

Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos:

Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das

proposições simples p e q, a proposição composta s é sem-

pre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma

TAUTOLOGIA.

Trazendo isto para a linguagem comum, considere as

proposições: p: O Sol é um planeta

(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano

(valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposição



composta “Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta

plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta

plano” é uma proposição logicamente verdadeira.

Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade

para uma proposição composta, verificarmos que ela é sem-

pre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.

Ex.: A proposição composta t: p∧~p é uma contradição,

senão vejamos:

NOTA: Se uma proposição composta é formada por n

proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2n li-

nhas.

Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta

t: (p∧q) ∧r

Teremos:

Observe que a proposição acima não é Tautologia nem

Contradição.

Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS,

as quais você poderá verificá-las, simplesmente construindo

as respectivas tabelas verdades:

Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, pode-

mos dizer que as seguintes proposições compostas, são

TAUTOLOGIAS:

1) (p∧q) → p

2) p → (p∧q)

3) [p∧ (p→ q)] → q (esta tautologia recebe o nome parti-

cular de “modus ponens”)

4) [(p→ q) ∧ ~q] → ~p (esta tautologia recebe o nome

particular de “modus tollens”)

Você deverá construir as tabelas verdades para as pro-

posições compostas acima e comprovar que elas realmente

são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade

teremos V V V V.

NOTAS:

a) as tautologias acima são também conhecidas como

regras de inferência.

b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos

concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou

seja, uma contradição.

Álgebra das proposições

Sejam p , q e r três proposições simples quaisquer, v

uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. São

válidas as seguintes propriedades:

Todas as propriedades acima podem ser verificadas com

a construção das tabelas verdades.

http://www.g5ofertas.com.br/

O SILOGISMO O silogismo é uma forma de inferência mediata, ou racio-



cínio dedutivo. São duas as espécies de silogismos que estudaremos aqui, que recebem a sua designação do tipo de juízo ou proposição que forma a primeira premissa:

O silogismo categórico A natureza do silogismo, o elo de necessidade lógica que

liga as premissas à conclusão, está bem patente no exemplo que daremos a seguir, e que servirá de ponto de partida para o nosso estudo desta forma de dedução:

Se todos os homens são mortais e todos os franceses

são homens, então todos os franceses são mortais. Em primeiro lugar, notemos que o silogismo categórico é

composto de três proposições ou juízos: duas premissas – "Todos os homens são mortais" e "Todos os franceses são homens" – e uma conclusão – "Todos os franceses são mor-tais". Neste caso as premissas e a conclusão são todas pro-posições universais afirmativas (A), mas cada uma poderia em princípio ser de qualquer outro tipo: universal negativa (E), particular afirmativa (I) ou particular negativa (O).

Em segundo lugar, nas três proposições entram unica-

mente três termos: "mortais", "homens" e "franceses". Um destes termos entra nas premissas mas não na conclusão: é o chamado termo médio, que simbolizaremos pela letra M. Os outros dois termos são o termo maior, que figura na primeira premissa, que por isso é também designada de premissa maior; e o termo menor, que figura na segunda premissa ou premissa menor. Estes dois termos são simbo-lizados respectivamente pelas letras P e S. Assimilaremos melhor este simbolismo se tivermos em conta que, na con-clusão, o termo maior, P, é predicado e o termo menor, S, é sujeito.

Finalmente, embora a forma que utilizamos para apresen-

tar o silogismo seja a melhor para dar conta da ligação lógica entre as premissas e a conclusão e esteja mais de acordo com a formulação original de Aristóteles, existem outras duas formas mais vulgarizadas, uma das quais será aquela que utilizaremos com mais frequência.

Todo o M é P. Todo o S é M. Logo todo o S é P.

Todo o M é P. Todo o S é M. Todo o S é P.

Regras do silogismo

São em número de oito. Quatro referem-se aos termos e as outras quatro às premissas.

Regras dos termos 1. Apenas existem três termos num silogismo: maior,

médio e menor. Esta regra pode ser violada facilmente quando se usa um termo com mais de um significado: "Se o cão é pai e o cão é teu, então é teu pai." Aqui o termo "teu" tem dois significados, posse na segunda premissa e paren-tesco na conclusão, o que faz com que este silogismo apre-sente na realidade quatro termos.

2. Nenhum termo deve ter maior extensão na conclu-

são do que nas premissas: "Se as orcas são ferozes e algumas baleias são orcas, então as baleias são ferozes." O termo "baleias" é particular na premissa e universal na con-clusão, o que invalida o raciocínio, pois nada é dito nas pre-missas acerca das baleias que não são orcas, e que podem muito bem não ser ferozes.

3. O termo médio não pode entrar na conclusão. 4. Pelo menos uma vez o termo médio deve possuir

uma extensão universal: "Se os britânicos são homens e alguns homens são sábios, então os britânicos são sábios."

Como é que podemos saber se todos os britânicos perten-cem à mesma sub-classe que os homens sábios? É preciso notar que na primeira premissa "homens" é predicado e tem uma extensão particular.

Regras das premissas 5. De duas premissas negativas, nada se pode con-

cluir: "Se o homem não é réptil e o réptil não é peixe, en-tão..." Que conclusão se pode tirar daqui acerca do "homem" e do "peixe"?

6. De duas premissas afirmativas não se pode tirar

conclusão negativa. 7. A conclusão segue sempre a premissa mais fraca.

A particular é mais fraca do que a universal e a negativa mais fraca do que a afirmativa. Isto significa que se uma das pre-missas for particular, a conclusão sê-lo-á igualmente; o mesmo acontecendo se uma das premissas for negativa: "Se os europeus não são brasileiros e os franceses são euro-peus, então os franceses não são brasileiros." Que outra conclusão se poderia tirar?

8. Nada se pode concluir de duas premissas particu-

lares. De "Alguns homens são ricos" e "Alguns homens são sábios" nada se pode concluir, pois não se sabe que relação existe entre os dois grupos de homens considerados. Aliás, um silogismo com estas premissas violaria também a regra 4.

Modo e figura do silogismo

Consideremos os três silogismos seguintes, com os res-pectivos esquemas:

Nenhum asiático é europeu. (Nenhum M é P.) Todos os coreanos são asiáti-cos.

(Todo o S é M.)

Portanto nenhum coreano é europeu.

(Portanto nenhum S é P.)

Ý Nenhum ladrão é sábio. (Nenhum P é M.) Alguns políticos são sábios. (Algum S é M.) Portanto alguns políticos não são ladrões.

(Portanto algum S não é P.)

Todos os jovens são alegres. (Todo o M é P.) Todos os jovens são travessos. (Todo o M é S.) Portanto alguns travessos são alegres.

(Portanto algum S é P.)

Estes silogismos são, evidentemente, diferentes,

não apenas em relação às proposições concretas que os formam, mas igualmente em relação à quantidade e qualida-de dessas proposições e à maneira como o termo médio nelas se apresenta, como no-lo indicam os esquemas que os acompanham. Assim, no primeiro silogismo temos uma pro-posição universal negativa (E), uma universal afirmativa (A) e mais uma universal negativa (E); no segundo, temos a se-quência E, I, O; no terceiro, A, A, I. Quanto à posição do termo médio, verificamos que no primeiro silogismo ele é sujeito na premissa maior e predicado na premissa menor; no segundo, é predicado em ambas as premissas; e no ter-ceiro silogismo é sujeito também tanto na maior como na menor. Fazendo variar todos estes factores de todas as ma-neiras possíveis obteremos provavelmente uma soma assus-tadora de silogismos diferentes.

Modo do silogismo

Assim, se considerarmos o modo do silogismo, que é a forma como os diferentes tipos de proposição – A, E, I, O – nele se dispõem, teremos 64 (sessenta e quatro) silogismos possíveis, número que é obtido quando fazemos todas as combinações possíveis das quatro letras em grupos de três, que é o número de proposições num silogismo categórico.



Figura do silogismo

Todavia, para além do modo, temos de ter em considera-ção a figura, que é definida pelo papel, sujeito ou predicado, que o termo médio desempenha nas duas premissas. Exis-tem quatro figuras possíveis: 1) sujeito-predicado, 2) predi-cado-predicado, 3) sujeito-sujeito e 4) predicado-sujeito, correspondendo as três primeiras aos exemplos dados. Se combinarmos estas quatro figuras com os sessenta e quatro modos encontrados acima, obtemos o bonito produto de 256 silogismos. Felizmente para nós muitos desses silogismos são repetições – por exemplo, o modo AEE equivale a EAE –, ou infringem diversas das regras do silogismo – por exem-plo, o modo IIO compõe-se de duas premissas particulares, pelo que, pela regra 8, não é válido –, de maneira que não se conseguem mais do que dezanove silogismos concludentes.

Modos válidos

Assim, na primeira figura, em que o termo médio é sujeito na premissa maior e predicado na menor, apenas são válidos os modos seguintes: AAA, EAE, AII, EIO. Para memorizar melhor estes modos, os lógicos medievais associaram-nos a determinadas palavras, que se tornaram uma espécie de designação para os mesmos: são elas, respectivamente, Barbara, Celarent, Darii, Ferio. O primeiro exemplo que demos neste ponto, sobre os asiáticos e os coreanos, é um exemplo de silogismo na primeira figura, modo Celarent. Os modos válidos das outras figuras teriam também as suas designações mnemónicas próprias:

2.ª figura: Cesare, Camestres, Festino, Baroco. 3.ª figura: Darapti, Felapton, Disamis, Bocardo, Ferison. 4.ª figura: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison.

Existe uma particularidade importante em relação às di-

versas figuras. Através de diversos procedimentos, dos quais o mais importante é a conversão, é possível reduzir silogis-mos de uma figura a outra figura, ou seja, pegar, por exem-plo, num silogismo na segunda figura e transformá-lo num silogismo na primeira figura.

Nenhum ladrão é sábio. Alguns políticos são sábios. Portanto alguns políticos não são ladrões. Nenhum sábio é ladrão. Alguns políticos são sábios. Portanto alguns políticos não são ladrões. Aqui o primeiro silogismo tem o termo médio na posição

de predicado das duas premissas. Trata-se portanto de um silogismo da segunda figura, modo Festino. Através da con-versão da premissa maior – um processo simples neste ca-so, mas convém rever o que dissemos anteriormente sobre o assunto (cf. Inferência imediata ) –, transformámo-lo num silogismo categórico da primeira figura, em que o termo mé-dio desempenha o papel de sujeito na premissa maior e predicado na menor. O modo do novo silogismo é Ferio.

Tradicionalmente, a primeira figura tem sido considerada

como a mais importante, aquela em que a evidência da de-dução é mais forte. Reduzir os silogismos nas outras figuras a silogismos equivalentes na primeira figura seria uma ma-neira de demonstrar a validade dos mesmos. A utilidade de decorar os diversos modos válidos é relativa, uma vez que a aplicação das regras do silogismo permitem perfeitamente definir se um qualquer silogismo é ou não válido.

O silogismo hipotético

No silogismo categórico, estão em causa dois termos, o maior e o menor, que são comparados com um terceiro ter-mo, o médio, daí se chegando a uma conclusão acerca da relação existente entre os dois primeiros: "Se todos os lagar-

tos são répteis e alguns animais não são lagartos, então alguns animais não são répteis." No silogismo hipotético lidaremos, não com os termos, mas com as proposições em si. Vejamos um exemplo:

Se João estuda então passa no exame; João estuda, Portanto passa no exame. Neste caso, a primeira premissa, ou premissa maior, é

constituída por uma proposição composta por duas outras proposições: "João estuda" e "João passa no exame", liga-das entre si pelas partículas "se... então...", ou outras equiva-lentes; poder-se-ia dizer também, com o mesmo sentido: "Estudar implica, para João, passar no exame", ou "João passa no exame desde que estude". O importante é notar-mos que uma das proposições surge como consequência da outra, constituindo aquilo que designamos por juízo hipotéti-co ou condicional: daí designarmos uma delas como antece-dente – neste caso, "João estuda" – e a outra como conse-quente – "João passa no exame." A premissa menor limita-se a repetir, a afirmar, uma das proposições que compõem a primeira premissa – neste caso, o antecedente –, mas é precisamente dessa afirmação que decorre logicamente a conclusão – que não é outra coisa senão o consequente.

Se simbolizássemos a primeira proposição por "p" e a

segunda por "q", poderíamos reduzir o silogismo anterior a este esquema:

Se p, então q; ora p; logo q.

Numa formulação mais intuitiva, o que isto quer dizer é

que, face a uma condição como a que é estabelecida na premissa maior, afirmar a verdade do antecedente é afirmar simultaneamente a verdade do consequente. Poderíamos substituir as letras "p" e "q" por outras proposições verdadei-ras que o raciocínio continuaria válido.

O silogismo hipotético possui duas figuras válidas ou mo-

dos: Modus ponens Modus ponens, que corresponde ao exemplo dado, e que

poderíamos sintetizar nas seguintes regras: 1. Num juízo hipotético, a afirmação do antecedente

obriga à afirmação do consequente. 2. Da afirmação do consequente nada se pode concluir. Modus tollens Modus tollens, que corresponde ao seguinte esquema:

"se p, então q; ora não q; logo não p", e cuja mecânica pode-ríamos sintetizar nas seguintes regras:

1. Num juízo hipotético, a negação do consequente torna necessária a negação do antecedente.

2. Da negação do antecedente nada se pode concluir.

Formas muito vulgarizadas, mas não válidas, de si-logismo hipotético, são aquelas que quebram as regras atrás expostas. Por exemplo, afirmar o consequente para afirmar o antecedente, como em: "Se chovesse, o chão estaria molha-do; ora o chão está molhado, logo choveu." Evidentemente, é provável que o chão esteja molhado por causa da chuva, mas também o pode estar outros motivos, como o facto de alguém o ter regado, etc. Outro exemplo: "Se Roberto to-masse veneno ficaria doente; ora Roberto não tomou vene-no, portanto não ficou doente". Quem nos garante isso? Podia ter apanhado uma gripe.



PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Por meio do princípio fundamental da contagem,

podemos determinar quantas vezes, de modo diferente, um acontecimento pode ocorrer.

Se um evento (ou fato) ocorre em n etapas consecutivas

e independentes, de maneira que o número de possibilidades:

Na 1a etapa é k1, Na 2a etapa é k2, Na 33 etapa é k3, .......................... Na enésima etapa é kn, então o número total de

possibilidades de ocorrer o referido evento é o produto k1, k2, k3 ... kn.

O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre

devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computa-dor, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de tecla-dos, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplica-mos as opções:

3 x 4 x 2 x 3 = 72 Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferen-

tes. Um problema que ocorre é quando aparece a palavra

"ou", como na questão: Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um

cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrige-rante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrige-rante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?

A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela co-

mida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é ape-nas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de

pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis.

Outro exemplo: No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é

formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas?

Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo,

para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar.

26 x 26 x 26 = 17.567 -> parte das letras 10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note

que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois que-remos um número par (0, 2 , 4 , 6 , 8).

Agora é só multiplicar as partes: 17.567 x 5.000 =

87.835.000 Resposta para a questão: existem 87.835.000 placas on-

de a parte dos algarismos formem um número par.

PRINCÍPIO DA ADIÇÃO Suponhamos um procedimento executado em k fases. A

fase 1 tem n1 maneiras de ser executada, a fase 2 possui n2 maneiras de ser executada e a fase k tem nk modos de ser executada. As fases são excludentes entre si, ou seja, não é possível que duas ou mais das fases sejam realizadas em conjunto. Logo, todo o procedimento tem n1 + n2 + ... + nk maneiras de ser realizado.

Exemplo Deseja-se fazer uma viagem para a cidade A ou para a

cidade B. Existem 5 caminhos possíveis para a cidade A e 3 possíveis caminhos para a cidade B. Logo, para esta viagem, existem no total 5 + 3 = 8 caminhos possíveis.

PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO

Suponhamos um procedimento executado em k fases, concomitantes entre si. A fase 1 tem n1 maneiras de ser executada, a fase 2 possui n2 maneiras de ser executada e a fase k tem nk modos de ser executada. A fase 1 poderá ser seguida da fase 2 até a fase k, uma vez que são concomitantes. Logo, há n1 . n2 . ... . nk maneiras de executar o procedimento.

Exemplo Supondo uma viagem para a cidade C, mas para chegar

até lá você deve passar pelas cidades A e B. Da sua cidade até a cidade A existem 2 caminhos possíveis; da cidade A até a B existem 4 caminhos disponíveis e da cidade B até a C há 3 rotas possíveis. Portanto, há 2 x 4 x 3 = 24 diferentes caminhos possíveis de ida da sua cidade até a cidade C.

Os princípios enunciados acima são bastante intuitivos.

Contudo, apresentaremos ainda alguns exemplos um pouco mais complexos de aplicação.

Quantos números naturais pares de três algarismos

distintos podemos formar? Inicialmente, devemos observar que não podemos

colocar o zero como primeiro algarismo do número. Como os números devem ser pares, existem apenas 5 formas de escrever o último algarismo (0, 2, 4, 6, 8). Contudo, se colocamos o zero como último algarismo do número, nossas escolhas para distribuição dos algarismos mudam. Portanto, podemos pensar na construção desse número como um processo composto de 2 fases excludentes entre si.

Fixando o zero como último algarismo do número, temos

as seguintes possibilidades de escrever os demais algarismos:

1º algarismo: 9 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9) 2º algarismo: 8 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9), porém

excluímos a escolha feita para o 1º algarismo; 3º algarismo: 1 possibilidade (fixamos o zero). Logo, há 9 x 8 x 1 = 72 formas de escrever um número de

três algarismos distintos tendo o zero como último algarismo. Sem fixar o zero, temos: 3º algarismo: 4 possibilidades (2,4,6,8) 1º algarismo: 8 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9),

excluindo a escolha feita para o último algarismo; 2º algarismo: 8 possibilidades (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) ,

porém excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último algarismos.

Portanto, temos 8 x 8 x 4 = 256 maneiras de escrever um

número de três algarismos distintos sem zero no último algarismo.

Ao todo, temos 72 + 256 = 328 formas de escrever o

número.



Exercícios Princípio Fundamental da Contagem Professores: Jorge e Lauro

1) (FGV/2005) Em uma gaveta de armário de um quarto escuro há 6 camisetas vermelhas, 10 camisetas brancas e 7 camisetas pretas. Qual é o número mínimo de camisetas que se deve retirar da gaveta, sem que se vejam suas cores, para que:

a) Se tenha certeza de ter retirado duas camise-tas de cores diferentes. b) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de mes-ma cor. c) Se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma camiseta de cada cor.

2) (Enem/2004)No Nordeste brasileiro, é comum encontrar-mos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchi-das com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contras-te, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é

a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.

3) (UFES/2002) Num aparelho telefônico, as dez teclas nu-meradas estão dispostas em fileiras horizontais, conforme indica a figura a seguir. Seja N a quantidade de números de telefone com 8 dígitos, que começam pelo dígito 3 e termi-nam pelo dígito zero, e, além disso, o 2o e o 3o dígitos são da primeira fileira do teclado, o 4o e o 5o dígitos são da se-gunda fileira, e o 6o e o 7o são da terceira fileira.

O valor de N é

a) 27 b) 216 c) 512 d) 729 e) 1.331

4) (UFC/2002) A quantidade de números inteiros, positivos e ímpares, formados por três algarismos distintos, escolhidos dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a:

a) 320 b) 332 c) 348 d) 360 e) 384

5)(UFAL/200) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os elementos do conjunto A={0,1,2,3,4}?

a) 60 b) 48 c) 36 d) 24 e) 18

6)(UFPI/2000) Escrevendo-se em ordem decrescente todos os números de cinco algarismos distintos formados pelos algarismos 3, 5, 7, 8 e 9, a ordem do número 75389 é:

a) 54 b) 67 c) 66 d) 55 e) 56

7)(UFAL/99) Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} formam-se números de 4 algarismos distintos. Quantos dos números formados NÃO são divisíveis por 5?

a) 15 b) 120 c) 343 d) 720 e) 840

8)(ITA/2001) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par?

a) 375 b) 465 c) 545 d) 585 e) 625

9)(UNESP/2000) Um turista, em viagem de férias pela Euro-pa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade, C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é:

a) 9. b) 10. c) 12. d) 15. e) 20.

10)(UECE/99) Quantos números ímpares, cada um com três algarismos, podem ser formados com os algarismos 2,3,4,6 e 7, se a repetição de algarismos é permitida?

a) 60 b) 50 c) 40 d) 30

GABARITO:

1) a)11 b)4 c)18 2)B 3)D 4)A 5)A 6)C 7)D 8)D 9)B 10)B



TEORIA DOS CONJUNTOS

CONJUNTO

Em matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. Não interessa a ordem e quantas vezes os elementos estão listados na coleção. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto.

Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos:

{1, 2, 3}

{1, 2, 2, 1, 3, 2}

{x : x é um número inteiro tal que 0<x<4}

Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto.

É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro, não importando a quantidade e nem a ordem das ocorrências dos elementos.

Conceitos essenciais

� Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;

� Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;

� Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto;

Pertence ou não pertence

Se é um elemento de , nós podemos dizer que o

elemento pertence ao conjunto e podemos escrever

. Se não é um elemento de , nós podemos

dizer que o elemento não pertence ao conjunto e

podemos escrever .

1. Conceitos primitivos Antes de mais nada devemos saber que conceitos

primitivos são noções que adotamos sem definição. Adotaremos aqui três conceitos primitivos: o de conjunto,

o de elemento e o de pertinência de um elemento a um con-junto. Assim, devemos entender perfeitamente a frase: de-terminado elemento pertence a um conjunto, sem que te-nhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que significa dizer que um elemento pertence ou não a um con-junto.

2 Notação Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a

seguinte notação:

• os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C, ... ;

• os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, x, y, ... ;

• o fato de um elemento x pertencer a um conjunto C é

indicado com x ∈ C;

• o fato de um elemento y não pertencer a um conjunto

C é indicado y ∉ C.

3. Representação dos conjuntos Um conjunto pode ser representado de três maneiras:

• por enumeração de seus elementos;

• por descrição de uma propriedade característica do conjunto;

• através de uma representação gráfica. Um conjunto é representado por enumeração quando

todos os seus elementos são indicados e colocados dentro de um par de chaves.

Exemplo: a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } indica o conjunto

formado pelos algarismos do nosso sistema de numeração. b) B = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v,

x, z } indica o conjunto formado pelas letras do nosso alfabeto.

c) Quando um conjunto possui número elevado de elementos, porém apresenta lei de formação bem clara, podemos representa-lo, por enumeração, indicando os primeiros e os últimos elementos, intercalados por reticências. Assim: C = { 2, 4, 6,... , 98 } indica o conjunto dos números pares positivos, menores do que100.

d) Ainda usando reticências, podemos representar, por enumeração, conjuntos com infinitas elementos que tenham uma lei de formação bem clara, como os seguintes:

D = { 0, 1, 2, 3, .. . } indica o conjunto dos números

inteiros não negativos; E = { ... , -2, -1, 0, 1, 2, . .. } indica o conjunto dos

números inteiros; F = { 1, 3, 5, 7, . . . } indica o conjunto dos números

ímpares positivos. A representação de um conjunto por meio da descrição

de uma propriedade característica é mais sintética que sua representação por enumeração. Neste caso, um conjunto C, de elementos x, será representado da seguinte maneira:

C = { x | x possui uma determinada propriedade } que se lê: C é o conjunto dos elementos x tal que possui

uma determinada propriedade: Exemplos O conjunto A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } pode ser

representado por descrição da seguinte maneira: A = { x | x é algarismo do nosso sistema de numeração }

O conjunto G = { a, e, i, o, u } pode ser representado por

descrição da seguinte maneira G = { x | x é vogal do nosso alfabeto }



O conjunto H = { 2, 4, 6, 8, . . . } pode ser representado por descrição da seguinte maneira:

H = { x | x é par positivo }

A representação gráfica de um conjunto é bastante cô-

moda. Através dela, os elementos de um conjunto são repre-sentados por pontos interiores a uma linha fechada que não se entrelaça. Os pontos exteriores a esta linha representam os elementos que não pertencem ao conjunto.

Exemplo

Por esse tipo de representação gráfica, chamada

diagrama de Euler-Venn, percebemos que x ∈ C, y ∈ C, z

∈ C; e que a ∉ C, b ∉ C, c ∉ C, d ∉ C.

4 Número de elementos de um conjunto Consideremos um conjunto C. Chamamos de número de

elementos deste conjunto, e indicamos com n{C}, ao número de elementos diferentes entre si, que pertencem ao conjunto.

Exemplos a) O conjunto A = { a, e, i, o, u } é tal que n{A} = 5. b) O conjunto B = { 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } é tal que

n{B} = 10. c) O conjunto C = { 1, 2, 3, 4,... , 99 } é tal que n {C} =

99. 5 Conjunto unitário e conjunto vazio Chamamos de conjunto unitário a todo conjunto C, tal que

n {C} = 1. Exemplo: C = { 3 } E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que

n{C} = 0. Exemplo: M = { x | x2 = -25}

O conjunto vazio é representado por { } ou por ∅ .

Exercício resolvido

Determine o número de elementos dos seguintes com

juntos :

a) A = { x | x é letra da palavra amor } b) B = { x | x é letra da palavra alegria } c) c é o conjunto esquematizado a seguir d) D = { 2, 4, 6, . . . , 98 } e) E é o conjunto dos pontos comuns às relas

r e s, esquematizadas a seguir :

Resolução a) n{A} = 4 b) n{B} = 6,'pois a palavra alegria, apesar de possuir

dote letras, possui apenas seis letras distintas entre si. c) n{C} = 2, pois há dois elementos que pertencem a

C: c e C e d e C d) observe que: 2 = 2 . 1 é o 1º par positivo 4 = 2 . 2 é o 2° par positivo 6 = 2 . 3 é o 3º par positivo 8 = 2 . 4 é o 4º par positivo . . . . . . 98 = 2 . 49 é o 49º par positivo logo: n{D} = 49

e) As duas retas, esquematizadas na figura, possuem apenas um ponto comum.

Logo, n{ E } = 1, e o conjunto E é, portanto, unitário.

6 igualdade de conjuntos Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 são iguais, e indi-

caremos com A = 8, se ambos possuírem os mesmos ele-mentos. Quando isto não ocorrer, diremos que os conjuntos

são diferentes e indicaremos com A ≠ B. Exemplos .

a) {a,e,i,o,u} = {a,e,i,o,u} b) {a,e,i,o,u} = {i,u,o,e,a} c) {a,e,i,o,u} = {a,a,e,i,i,i,o,u,u}

d) {a,e,i,o,u} ≠ {a,e,i,o}

e) { x | x2 = 100} = {10, -10}

f) { x | x2 = 400} ≠ {20}

7 Subconjuntos de um conjunto Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um

conjunto B se todo elemento, que pertencer a A, também pertencer a B.

Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, o

conjunto A estará "totalmente dentro" do conjunto B :

Indicamos que A é um subconjunto de B de duas

maneiras: a) A ⊂ B; que deve ser lido : A é subconjunto de B ou

A está contido em B ou A é parte de B; b) B ⊃ A; que deve ser lido: B contém A ou B inclui A.

Exemplo Sejam os conjuntos A = {x | x é mineiro} e B = { x | x é

brasileiro} ; temos então que A ⊂ B e que B ⊃ A.



Observações:

• Quando A não é subconjunto de B, indicamos com A

⊄ B ou B A.

• Admitiremos que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.

8 Número de subconjuntos de um conjunto dado Pode-se mostrar que, se um conjunto possui n

elementos, então este conjunto terá 2n subconjuntos.

Exemplo O conjunto C = {1, 2 } possui dois elementos; logo, ele

terá 22 = 4 subconjuntos. Exercício resolvido:

1. Determine o número de subconjuntos do conjunto C =

{a, e, i, o, u } .

Resolução: Como o conjunto C possui cinco elementos, o número dos seus subconjuntos será 25 = 32.

Exercícios propostas:

2. Determine o número de subconjuntos do conjunto C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Resposta: 1024 3. Determine o número de subconjuntos do conjunto

C = 1

2

1

3

1

4

2

4

3

4

3

5; ; ; ; ;

Resposta: 32

B) OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

1 União de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos união ou reunião

de A com B, e indicamos com A ∩ B, ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A ou a B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando

com hachuras a interseção dos conjuntos, temos:

Exemplos

a) {a,b,c} U {d,e}= {a,b,c,d,e} b) {a,b,c} U {b,c,d}={a,b,c,d} c) {a,b,c} U {a,c}={a,b,c} 2 Intersecção de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interseção de

A com B, e indicamos com A ∩ B, ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A e a B.


com hachuras a intersecção dos conjuntos, temos:

Exemplos

a) {a,b,c} ∩ {d,e} = ∅

b) {a,b,c} ∩ {b,c,d} = {b,c} c) {a,b,c} ∩ {a,c} = {a,c}

Quando a intersecção de dois conjuntos é vazia, como no

exemplo a, dizemos que os conjuntos são disjuntos. Exercícios resolvidos 1. Sendo A = { x, y, z }; B = { x, w, v } e C = { y, u, t },

determinar os seguintes conjuntos: a) A ∪ B f) B ∩ C

b) A ∩ B g) A ∪ B ∪ C

c) A ∪ C h) A ∩ B ∩ C

d) A ∩ C i) (A ∩ B) U (A ∩ C) e) B ∪ C

Resolução

a) A ∪ B = {x, y, z, w, v }

b) A ∩ B = {x } c) A ∪ C = {x, y,z, u, t }

d) A ∩ C = {y } e) B ∪ C={x,w,v,y,u,t}

f) B ∩ C= ∅

g) A ∪ B ∪ C= {x,y,z,w,v,u,t}

h) A ∩ B ∩ C= ∅

i) (A ∩ B) ∪ u (A ∩ C)={x} ∪ {y}={x,y}

2. Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras os conjuntos: :

a) A ∩ B ∩ C

b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

.Resolução



3. No diagrama seguinte temos:

n(A) = 20 n(B) = 30 n(A ∩ B) = 5

Determine n(A ∪ B). Resolução

Se juntarmos, aos 20 elementos de A, os 30 elementos

de B, estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas vezes; o que, evidentemente, é incorreto; e, para corrigir este erro, devemos subtrair uma vez os 5 elementos de A n B; teremos então:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ou seja:

n(A ∪ B) = 20 + 30 – 5 e então:

n(A ∪ B) = 45.

4 Conjunto complementar Dados dois conjuntos A e B, com B ⊂ A, chamamos de

conjunto complementar de B em relação a A, e indicamos com CA B, ao conjunto A - B.

Observação: O complementar é um caso particular de diferença em que o segundo conjunto é subconjunto do primeiro.


com hachuras o complementar de B em relação a A, temos:

Exemplo: {a,b,c,d,e,f} - {b,d,e}= {a,c,f} Observação: O conjunto complementar de B em

relação a A é formado pelos elementos que faltam para "B chegar a A"; isto é, para B se igualar a A.

Exercícios resolvidos:

4. Sendo A = { x, y, z } , B = { x, w, v } e C = { y, u, t }, determinar os seguintes conjuntos:

A – B B – A

C - A B – C

A – C

C – B

Resolução a) A - B = { y, z } b) B - A= {w, v} c) A - C= {x, z} d) C – A = {u, t} e) B – C = {x, w, v}

f) C – B = {y, u, t}

PROBABILIDADES

Introdução

Quando usamos probabilidades?

Ouvimos falar desse assunto em situações como: a pro-babilidade de ser sorteado, de acertar numa aposta, de um candidato vencer uma eleição, de acertar o resultado de um jogo etc. Portanto, usamos probabilidades em situações em que dois ou mais resultados diferentes podem ocorrer e não é possível saber, prever, qual deles realmente vai ocorrer em cada situação.

Ao lançarmos para o alto uma moeda e quisermos saber se o resultado é cara ou coroa, não podemos prever o resul-tado mas podemos calcular as chances de ocorrência de cada um. Este cálculo é a probabilidade de ocorrência de um resultado.

Por meio dos exemplos desta aula, você aprenderá o cál-culo de probabilidades.

EXEMPLO 1

Qual a chance de dar cara no lançamento de uma moe-da?

coroa cara

Solução:

Raciocinando matematicamente, os resultados cara e co-roa têm as mesmas chances de ocorrer. Como são duas possibilidades (cara ou coroa) podemos dizer que as chan-ces de dar cara é de 1 para 2. Isto é o mesmo que dizer que a probabilidade de o resultado ser cara é ou 0,5 ou 50%.

Neste exemplo calculamos intuitivamente a probabilidade de o resultado ser cara e você deve ter percebido que a probabilidade de dar coroa é a mesma, 50%.

No entanto, quando dizemos que a probabilidade é ½ ou 50% isso não significa que a cada 2 lançamentos um vai ser cara e o outro vai ser coroa. O fato de a probabilidade ser ½ ou 50% quer dizer apenas que as chances são iguais e que, se fizermos muitos lançamentos, é provável que aproxima-damente metade deles dê cara como resultado.



O conceito de probabilidade

EXEMPLO 2

O chefe de uma seção com 5 funcionários deu a eles 1 ingresso da final de um campeonato para que fosse sortea-do. Após escreverem seus nomes em papéis idênticos, colo-caram tudo num saco para fazer o sorteio. Qual a chance que cada um tem de ser sorteado?

Solução:

Os 5 funcionários têm todos a mesma chance de serem sorteados. No caso de Paulo, por exemplo, as chances de ser sorteado são de 1 para 5, ou 1/5. Então, podemos dizer que a chance, ou a probabilidade, de cada um deles ser sorteado é de 1/5 , ou 0,2, ou ainda 20%.

EXEMPLO 3

No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o re-sultado ser um número par?

Solução:

Para que o resultado seja par devemos conseguir:

Assim, temos 3 resultados favoráveis (2, 4 ou 6) em um total de 6 resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6).

As chances de dar um resultado par são 3 num total de 6. Então, podemos dizer que a probabilidade de isso acontecer é 3/6 ou 1/2 .

Generalizando essa solução:

P (par) =

nº de resultados favoráveis a E =

6

3=

2

1=

50% nº total de resultados possí-veis

Onde P (par) significa probabilidade de o resultado ser par.

Nos três exemplos que acabamos de ver há dois ou mais resultados possíveis, todos com a mesma chance de ocorrer. A probabilidade de ocorrer um desses resultados ou um conjunto de resultados que satisfaçam uma condição ou exigência E, é representado por p (E) e calculado por:

p (E) =

nº de resultados favoráveis a E

nº total de resultados possí-veis

EXEMPLO 4

No Exemplo 2 da Aula 48 vimos que, num restaurante que prepara 4 pratos quentes, 2 saladas e 3 sobremesas diferentes, existem 24 maneiras diferentes de um freguês se servir de um prato quente, uma salada e uma sobremesa.

No Exemplo 3 daquela aula descobrimos que havia, den-tre os 24 cardápios possíveis, 6 cardápios econômicos. Qual

a probabilidade de um freguês desavisado escolher uma das opções mais caras?

Solução:

Já sabemos que a probabilidade de escolher os mais ca-ros será:

p(mais caro) =

nº de cardápios mais caros

nº de cardápios possí-veis

Se temos 6 opções econômicas num total de 24, temos 24 - 6 = 18 opções mais caras. Como o número de cardápios possíveis é 24, então:

p(mais caro) =54

18=

4

3= 0,75 = 75%

As chances de esse freguês escolher um dos cardápios mais caros é de 75%.

EXEMPLO 5

Numa urna estão 10 bolas de mesmo tamanho e de mesmo material, sendo 8 pretas e 2 brancas. Pegando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade de ela ser branca?

Solução:

p(branca) = nº de bolas bran-cas

=10

2=

5

1= 20%

nº total de bolas

EXEMPLO 6

De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas reti-ramos uma das cartas ao acaso. Qual a probabilidade de:

a) ser um ás?

b) ser um coringa, em jogos que também consideram o 2 como coringa?

Solução:

O número total de cartas é 54 sendo que há 13 cartas (ás, 2 a 10, valete, dama, rei) de cada um dos 4 naipes (co-pas, ouro, paus e espadas) e 2 coringas.

a) p (ás) =

nº de ases existen-tes =

54

4= 0,07 =

7% nº total de cartas

b) Como as 4 cartas com nº 2 também são consideradas coringas, a probabilidade de tirar um coringa será:

p(coringa) =

nº de coringas =

54

6= 0,11 =

11% nº total de cartas

EXEMPLO 7

Em análise combinatoria, vimos que, com 6 homens e 3

mulheres, podemos formar 59C = 126 grupos de 5 pessoas e



56C = 6 grupos de 5 pessoas nos quais só escolhemos ho-

mens. Supondo que as chances de cada um dos grupos é a mesma, qual a probabilidade de escolher:

a) um grupo onde não há mulheres;

b) um grupo onde haja pelo menos uma mulher.

Solução:

a) p (não mulher) =126

6= 0,05 = 5%

b) p (pelo menos 1 mulher) =126

120= 0,95 = 95%

Os valores possíveis para as probabilidades

No Exemplo 7 os grupos contados em a) e em b) comple-tam todos os grupos possíveis (6 + 120 = 126). Portanto as

possibilidades somadas darão 126

6+

126

120=

126

126ou 100%

(5% + 95%).

Já sabemos que:

p (E) = nº de resultados favoráveis a E

nº total de resultados possíveis

A quantidade m será escolhida dentre as n existentes,

por isso m deverá ser menor ou igual a n (m ≤ n) e a fração

n

mserá menor ou igual a 1: p (E) ≤1.

Caso a condição E exigida não possa ser cumprida, ou seja, se não houver nenhum resultado favorável a E, o núme-

ro m será zero e p (E) = n

m= 0

Percebemos ainda que a fração n

mserá sempre positiva

pois m e n são números naturais.

Assim, podemos concluir que:

0 ≤n

m≤ 1 ou 0 ≤ p (E) ≤ 1

EXEMPLO 8

Com os algarismos 1, 3 e 5 formamos todos os números de 3 algarismos possíveis. Dentre eles escolhemos um nú-mero, ao acaso.

a) Qual a probabilidade de escolher um número que seja múltiplo de 3?

b) Qual a probabilidade de o número escolhido ser par?

Solução:

O total de números formados por 3 algarismos é igual ao número de permutações possíveis com os algarismos 1, 3 e 5 em três posições, ou seja, 3! = 6.

a) Como a soma dos algarismos 1 + 3 + 5 é igual a 9, que é um múltiplo de 3, qualquer um dos números formados será múltiplo de 3. Assim, a probabilidade de isso ocorrer será:

P (múltiplo de 3) =6

6= 1

b) Como qualquer dos algarismos 1, 3 e 5 colocados no final do número formado gera um número ímpar, não forma-remos nenhum número par.

Assim, como a quantidade de casos favoráveis é zero, temos:

p (par) =6

0= 0

Um pouco de história

Os primeiros estudos envolvendo probabilidades foram motivados pela análise de jogos de azar. Sabe-se que um dos primeiros matemáticos que se ocupou com o cálculo das probabilidades foi Cardano (1501-1576). Data dessa época a expressão que utilizamos até hoje para o cálculo da probabi-lidade de um evento (número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis).

Com Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662), a teoria das probabilidades começou a evoluir e ganhar mais consis-tência, passando a ser utilizada em outros aspectos da vida social, como, por exemplo, auxiliando na descoberta da vaci-na contra a varíola no século XVIII.

Atualmente, a teoria das probabilidades é muito utilizada em outros ramos da Matemática (como o Cálculo e a Estatís-tica), da Biologia (especialmente nos estudos da Genética), da Física (como na Física Nuclear), da Economia, da Socio-logia etc.

Exercícios

Exercício 1

De um baralho de 52 cartas é retirada uma carta ao aca-so.

a) Qual a probabilidade de a carta retirada ser um rei?

b) Qual a probabilidade de a carta retirada ser uma figura (valete, dama ou rei)?

Exercício 2

No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o número obtido ser menor ou igual a 4?

Exercício 3

No lançamento de dois dados, um verde e outro verme-lho, qual é a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja:

a) 7

b) 1

c) maior que 12



d) um número par

Exercício 4

Na Aula 48 vimos que na SENA existem 11.441.304.000 maneiras de escolher 6 números de 01 a 50. Se você apostar em 6 números, qual a probabilidade de sua aposta ser a sorteada?

Exercício 5

O que acontece se você apostar em 5 números de 01 a 100? Qual a probabilidade de você acertar a quina de núme-ros sorteada?

Exercício 6

Suponha que sejam iguais as chances de qualquer uma das placas novas para automóveis (3 letras e 4 números) ser escolhida para o seu automóvel.

Qual a probabilidade de você receber uma placa com as iniciais de seu nome em qualquer ordem?

Respostas:

1. a) 52

4=

13

1= 7,69%

b) 52

12=

3

2= 23%

2. 6

4=

13

1= 67%

3. a) 36

6=

6

1= 17%

b) 0

c) 0

d) 36

24= 67%

4. 01144130400

1= 0,000 000 000 087 =

0,000 000 0087%

5. 9034502400

1= 0,000 000 000 11 =

0,000 000 011%

6. 431026

3!=

175760000

6= 0,000 000 034 =

0,000 003 4%

Calculando probabilidades

Você já aprendeu que a probabilidade de um evento E é:

p (E) =

nº de resultados favoráveis a E

nº total de resultados possí-veis

Iremos calcular a probabilidade de ocorrência de um evento e outro, bem como a ocorrência de um ou outro even-to. Em muitas situações a ocorrência de um fato qualquer depende da ocorrência de um outro fato; nesse caso dize-mos que são ocorrências dependentes. Em situações onde não há essa dependência, precisamos calcular probabilida-des de duas situações ocorrerem ao mesmo tempo.

Para abordarmos situações como as que acabamos de descrever, utilizaremos vários exemplos durante esta aula. Leia-os com bastante atenção e procure refazer as soluções apresentadas.

Cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento e de outro

EXEMPLO 1

Num grupo de jovens estudantes a probabilidade de que um jovem, escolhido ao acaso, tenha média acima de 7,0 é

5

1. Nesse mesmo grupo, a probabilidade de que um jovem

saiba jogar futebol é 6

5. Qual a probabilidade de escolher-

mos um jovem (ao acaso) que tenha média maior que 7,0 e saiba jogar futebol?

Solução:

O fato de ter média maior que 7,0 não depende do fato de saber jogar futebol, e vice-versa. Quando isso ocorre, dizemos que os eventos são inde-pendentes.

Considere então os eventos:

A: ter média acima de 7,0.

B: saber jogar futebol.

A e B: ter média acima de 7,0 e saber jogar futebol.

Como queremos calcular P (A e B), pense o seguinte: de

todos os jovens, 5

1têm média acima de 7,0 e

6

5 sabem

jogar futebol. Ora, 6

5 de

5

1, ou seja,

6

5 x

5

1=

6

1, sabem

jogar futebol e têm média acima de 7,0. Portanto, P (A e B) =

6

1 .

Repare que para encontrarmos P (A e B) efetuamos P (A) · P (B). Então, concluímos que, quando A e B são eventos independentes (não têm “nada a ver” um com o outro):

P (A e B) = P (A) · P (B)

EXEMPLO 2



Dos 30 funcionários de uma empresa, 10 são canhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho. Escolhendo ao acaso um desses empregados, qual a probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho?

Solução:

Considere os eventos:

A : ser canhoto

B : ir de ônibus para o trabalho

É claro que A e B são eventos independentes, portanto um não depende em nada do outro. A probabilidade de os dois eventos (A e B) ocorrerem simultaneamente é calculada por P (A e B) = P (A) · P (B).

Calculando:

P (A) =30

10=

3

1

P (B) =30

25=

6

5

P (A e B) = P (A) · P (B) =3

1x

6

5=

18

5

A probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus

para o trabalho é de18

5.

EXEMPLO 3

Alguns atletas participam de um triathlon (prova formada por 3 etapas consecutivas: natação, corrida e ciclismo). A probabilidade de que um atleta escolhido ao acaso termine a

primeira etapa (natação) é 7

4 . Para continuar na competição

com a segunda etapa (corrida) o atleta precisa ter terminado a natação. Dos atletas que terminam a primeira etapa, a probabilidade de que um deles, escolhido ao acaso, termine

a segunda é 4

3. Qual a probabilidade de que um atleta que

iniciou a prova, e seja escolhido ao acaso, termine a primeira e a segunda etapas?

Solução:

A : terminar a 1ª etapa da prova (natação).

B : terminar a 2ª etapa da prova (corrida), tendo termina-do a 1ª.

Note que A e B não são eventos independentes pois, pa-ra começar a 2ª etapa é necessário, antes, terminar a 1ª.

Nesse caso dizemos que a ocorrência do evento B de-pende (está condicionada) à ocorrência do evento A.

Utilizamos então a notação B/A, que significa a depen-dência dos eventos, ou melhor, que o evento B/A denota a ocorrência do evento B, sabendo que A já ocorreu. No caso

deste exemplo, temos: B/A terminar a 2ª etapa (corrida), sabendo que o atleta terminou a 1ª etapa (natação).

E agora? Como calcular P (A e B)?

É simples: no lugar de usarmos P(B) na fórmula P(A e B) = P(A) · P(B), usaremos P(B/A) já que a ocorrência de B depende da ocorrência de A.

O enunciado deste problema nos diz que P(A)

=7

4P(B/A)=

4

3; assim,

P(A e B) = P(A) · P(B/A)= 7

4x

4

3=

7

3

A probabilidade de que um atleta, escolhido ao acaso,

termine a 1ª e a 2ª etapas é 7

3.

Quando A e B não são eventos independentes a probabi-lidade de ocorrência de A e B é calculada por:

P (A e B) = P (A) · P (B/A)

onde P (B/A) é a probabilidade de B, dado que A já ocor-reu.

EXEMPLO 4

No exame para tirar a carteira de motorista, a probabili-

dade de aprovação na prova escrita é 10

9 . Depois de ser

aprovado na parte teórica, há uma prova prática de direção. Para os que já passaram no exame escrito, a probabilidade

de passar nessa prova prática é 3

2.

Qual a probabilidade de que, escolhido um candidato ao acaso, ele seja aprovado em ambas as provas escrita e prá-tica e tire a carteira de motorista?

Solução:

Considere os eventos:

A: aprovação na prova escrita.

B: aprovação na prova prática de direção.

Os eventos A e B não são independentes, pois é preciso ter aprovação na prova escrita e para fazer a prova prática de direção. Como a ocorrência de B está condicionada à ocorrência de A, criamos o evento:

B/A: ter aprovação na prova prática de direção, sabendo que o candidato foi aprovado na prova escrita.

Para calcular P(A e B), usamos: P(A e B) = P(A) · P(B/A)

Calculando:

P(A) =10

9



P(B/A) =3

2

P(A e B) =10

9x

3

2=

5

3

A probabilidade de passar na prova escrita e na prova de

direção é 5

3.

Cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento ou outro

EXEMPLO 5

Na Copa América de 1995, o Brasil jogou com a Colôm-bia. No primeiro tempo, a seleção brasileira cometeu 10 faltas, sendo que 3 foram cometidas por Leonardo e outras 3 por André Cruz. No intervalo, os melhores lances foram re-prisados, dentre os quais uma falta cometida pelo Brasil, escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de que a falta es-colhida seja de Leonardo ou de André Cruz?

Solução:

Das 10 faltas, 3 foram de Leonardo e 3 de André Cruz. Portanto, os dois juntos cometeram 6 das 10 faltas do Brasil. Assim, a probabilidade de que uma das faltas seja a escolhi-

da dentre as 10 é 10

6 =

5

3.

Também podemos resolver este problema da se-guinte maneira:

• probabilidade de ser escolhida uma falta do Leonardo =

10

3 .

• probabilidade de ser escolhida uma falta do André Cruz

= 10

3 .

• probabilidade de ser escolhida uma falta de um destes

dois jogadores= 10

3 +

10

3 =

10

6 =

5

3

.

Lembre-se de que qualquer uma das duas escolhas terá um resultado favorável.

Se A e B são os eventos (escolher uma falta de Leonardo ou escolher uma falta de André Cruz), estamos interessados na probabilidade do evento A ou B.

Temos então:

P(A ou B) = P(A) + P(B)

Note que isso vale porque uma falta não pode ser come-tida pelos dois jogadores ao mesmo tempo, ou seja, o evento A e B é impossível.

EXEMPLO 6

Uma empresa que fabrica suco de laranja fez uma pes-quisa para saber como está a preferência do consumidor em relação ao seu suco e ao fabricado por seu principal concor-rente. Essa empresa é chamada SOSUMO, e seu concorren-te SUMOBOM. A pesquisa concluiu que dos 500 entrevista-dos, 300 preferiam o SUMOBOM, 100 consumiam os dois, 250 preferiam SOSUMO e 50

nenhum dos dois. Um dos entrevistados foi escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que ele seja:

a) consumidor de SOSUMO e SUMOBOM;

b) consumidor de SOSUMO ou SUMOBOM.

Solução:

a) De acordo com a pesquisa dos 500 entrevistados, 100 consomem os dois sucos. Logo, a probabilidade de que um entrevistado, escolhido ao acaso, consuma os dois sucos é:

500

100 =

5

1.

b) Usando o raciocínio do Exemplo 5, para saber a pro-babilidade da ocorrência de um evento ou outro, somamos as probabilidades de os dois eventos ocorrerem separada-mente. Mas, neste exemplo, devemos tomar cuidado com o seguinte: existem pessoas que consomem os dois sucos indiferentemente, compram o que estiver mais barato, por exemplo. Assim, não podemos contar essas pessoas (que consomem um e outro) duas vezes.

Observe que a soma dos resultados é maior que o número de entrevistados (300 + 100 + 200 + 50 = 650), ou seja, há pessoas que, apesar de pre-ferirem um dos sucos, consomem os dois. Para facilitar daremos nomes aos eventos:

A : preferir o SOSUMO

B: preferir o SUMOBOM

A e B: consumir SOSUMO e SUMOBOM

A ou B: consumir SOSUMO ou SUMOBOM

Repare que este ou quer dizer: apenas o SOSUMO ou apenas o SUMOBOM.

Fazendo P(A ou B) = P(A) + P(B) estamos contando duas vezes as pessoas que apesar de preferirem um dos sucos, consomem os dois. Logo, devemos

subtrair de P(A) + P(B) o resultado de P(A e B) para reti-rar a “contagem dobrada”.

Temos então:

P (A ou B) = P (A) + P (B) P (A e B)

Calculando:

P(A) =500

250=

2

1

P(B) =500

300=

5

3



P(A e B) =500

100 =

5

1

P(A ou B) =2

1+

5

3-5

1=

2

1+

5

2=

10

45 +=

10

9

A probabilidade de que o escolhido consuma um suco ou

outro é 10

9.

Observação

Em exemplos como o que acabamos de ver há outras so-luções possíveis.

Observe que o evento A ou B (consumir um suco ou ou-tro) deve incluir como casos favoráveis todas as pessoas que não fazem parte do grupo dos que não consomem esses dois sucos.

Sabíamos que dos 500 entrevistados, 50 pessoas con-sumiam nenhum dos dois e a probabilidade de escolhermos

uma dessas pessoas ao acaso era 500

50, ou seja,

10

1 .

Assim, podíamos concluir que a probabilidade de não fazer

parte desse grupo era 1 - 10

1 =

10

9, raciocinando por exclu-

são.

Exercícios propostos.

Exercício 1

Em uma cidade do interior do Brasil, a probabilidade de que um habitante escolhido ao acaso tenha televisão em

casa é 12

11. Já a probabilidade de esse habitante ser um

comerciante é 11

1. Escolhendo um habitante dessa cidade

ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha televisão em casa e seja comerciante?

Exercício 2

Alguns professores estão prestando concurso para dar aulas em uma escola.

Inicialmente, eles farão uma prova escrita e, depois de serem aprovados nessa prova, farão uma prova prática. Aquele que for aprovado na prova prática será contratado. Sabendo que a probabilidade de aprovação na prova escrita

é 4

1e de aprovação na prova prática (depois de ser aprova-

do na escrita) é 3

2, calcule a probabilidade de que um pro-

fessor, escolhido ao acaso, seja contratado.

Exercício 3

Em uma noite de sexta-feira, pesquisadores percorreram 500 casas perguntando em que canal estava ligada a televi-são. Desse modo, descobriram que em 300 casas assistiam ao canal VER-DE-PERTO, 100 viam o canal VERMELHOR e

outras 100 casas não estavam com a TV ligada. Escolhida uma

das 500 casas, ao acaso, qual a probabilidade de que a TV esteja sintonizada no canal VER-DE-PERTO ou no canal VER-MELHOR?

Exercício 4

Dos 140 funcionários de uma fábrica, 70 preferem a mar-ca de cigarros FUMAÇA, 80 preferem TOBACO e 30 fumam ambas sem preferência.

Sabendo que 20 funcionários não fumam, calcule a pro-babilidade de que um funcionário, escolhido ao acaso:

a) fume FUMAÇA e TOBACO

b) fume FUMAÇA ou TOBACO

Exercício 5

Com as mesmas informações do exercício anterior, calcu-le a probabilidade de que um funcionário, escolhido ao aca-so:

a) fume só FUMAÇA

b) fume só TOBACO

c) fume só FUMAÇA ou só TOBACO

d) não fume nenhuma das duas marcas de cigarro

e) não fume FUMAÇA

f) não fume TOBACO

Respostas

1. Eventos independentes: 12

1

2. Eventos dependentes: 6

1

3. 500

300+

500

100=

500

400=

5

4

4. a) P (A e B) = 140

30=

14

3

b) P (A ou B) = 140

503040 ++=

140

120=

7

6



5. a) 140

40=

7

2

b) 140

50=

14

5

c) 140

5040 +=

14

9

d) 140

20=

7

1

e) 140

2050 +=

140

70=

2

1

f) 140

2040 +=

140

60=

7

3

Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br

PROVA SIMULADA I EXERCÍCIOS PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS

Prof. Weber Campos 01. (TCE/PB 2006 FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1. Três mais nove é igual a doze. 2. Pelé é brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria. 5. A metade de um número. 6. O triplo de 15 é maior do que 10. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças ape-nas os itens de números (A) 1, 2 e 6. (D) 1, 2, 5 e 6. (B) 2, 3 e 4. (E) 2, 3, 4 e 5. (C) 3, 4 e 5. 02. (TRF 2ª Região 2007 FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na rela-ção seguinte há expressões e sentenças: 1. A terça parte de um número. 2. Jasão é elegante. 3. Mente sã em corpo são. 4. Dois mais dois são 5. 5. Evite o fumo. 6. Trinta e dois centésimos. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças APE-NAS os itens de números (A) 1, 4 e 6. (D) 3 e 5. (B) 2, 4 e 5. (E) 2 e 4. (C) 2, 3 e 5. 03. (PM-Bahia 2009 FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças : 1. Tomara que chova. 2. Que horas são? 3. Três vezes dois são cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais são confiáveis.

6. Exercícios físicos são saudáveis. De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de núme-ros A) 1, 3 e 5. D) 4 e 6. B) 2, 3 e 5. E) 5 e 6. C) 3, 5 e 6. 04. (ICMS/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, en-quanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a (A) I. (C) III. (E) V. (B) II. (D) IV. 05. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. II. (x + y)/5 é um número inteiro. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. É verdade que APENAS (A) I e II são sentenças abertas. (B) I e III são sentenças abertas. (C) II e III são sentenças abertas. (D) I é uma sentença aberta. (E) II é uma sentença aberta. 06. (MRE 2008 CESPE) Julgue os itens a seguir. 1. Considere a seguinte lista de sentenças: I. Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Re-lações Exteriores? II. O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. III. As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. IV. O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. V. Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição. 07. (SEBRAE-2008/CESPE) Uma proposição é uma senten-ça afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verda-deira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo: (1) Você sabe dividir? — perguntou Ana. (2) Claro que sei! — respondeu Mauro. (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? — perguntou Ana. (4) O resto é dois. — respondeu Mauro, após fazer a conta. A partir das informações e do diálogo acima, julgue os itens que se seguem. 1. A frase indicada por (3) não é uma proposição. 2. A frase (2) é uma proposição. 08. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é (A) disjunção inclusiva. (B) conjunção. (C) disjunção exclusiva. (D) condicional. (E) bicondicional. 09. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Leia atentamente as proposi-ções simples P e Q: P: João foi aprovado no concurso do Tribunal.



Q: João foi aprovado em um concurso. Do ponto de vista lógico, uma proposição condicional correta em relação a P e Q é: (A) Se não Q, então P. (B) Se não P, então não Q. (C) Se P, então Q. (D) Se Q, então P. (E) Se P, então não Q. 10. (BACEN 2006 FCC) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Cen-tral; q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica em q, então (A) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. (B) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. (C) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positi-vo. (D) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. (E) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. 11. (TRT-SP Anal Jud 2008 FCC) São dadas as seguintes proposições: - p: Computadores são capazes de processar quaisquer tipos de dados.

- q: É possível provar que ∞ + 1 = ∞. Se p implica em q, então o fato de

(A) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é uma condição neces-sária e suficiente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. (B) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados não é condição necessária e nem suficiente

para que seja possível provar que ∞ + 1 = ∞.

(C) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é uma condição sufici-ente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. (D) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados é condição necessária para que seja possível

provar que ∞ + 1 = ∞.

(E) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é condição necessária para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. 12. (MRE 2008 CESPE) Julgue o seguinte item: Item 1. Considerando que A e B simbolizem, respectivamen-te, as proposições “A publicação usa e cita documentos do Itamaraty” e “O autor envia duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty”, então a proposição B�A é uma simbolização correta para a proposição “Uma condição necessária para que o autor envie duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty é que a publicação use e cite documentos do Itamaraty”. 13. (PETROBRAS 2007 CESPE) Julgue o seguinte item: Item 1. A proposição “O piloto vencerá a corrida somente se o carro estiver bem preparado” pode ser corretamente lida como “O carro estar bem preparado é condição necessária para que o piloto vença a corrida”.

14. (TRF 1ª Região Técnico Jud 2006 FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo: a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. b) Todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. c) Todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. d) Todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. e) Alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa 15. (TRT-SP Anal Jud 2008 FCC) Considere as seguintes premissas: "Se todos os homens são sábios, então não há justiça para todos." "Se não há justiça para todos, então todos os homens são sábios." Para que se tenha um argumento válido, é correto concluir que: (A) Todos os homens são sábios se, e somente se, há justiça para todos. (B) Todos os homens são sábios se, e somente se, não há justiça para todos. (C) Todos os homens são sábios e há justiça para todos. (D) Todos os homens são sábios e não há justiça para todos. (E) Todos os homens são sábios se há justiça para todos. 16. (TRT-SP Téc. Jud. Área Administrativa 2008 FCC) Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições compostas:

Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras? (A) Nenhuma. (D) Apenas três. (B) Apenas uma. (E) Quatro. (C) Apenas duas. 17. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Leia atentamente as proposi-ções P e Q: P: o computador é uma máquina. Q: compete ao cargo de técnico judiciário a construção de computadores. Em relação às duas proposições, é correto afirmar que (A) a proposição composta “P ou Q" é verdadeira. (B) a proposição composta “P e Q” é verdadeira. (C) a negação de P é equivalente à negação de Q. (D) P é equivalente a Q. (E) P implica Q 18. (Petrobrás 2006 Cesgranrio) Sabendo que as proposi-ções p e q são verdadeiras e que as proposições r e s são falsas, assinale a opção que apresenta valor lógico falso nas proposições abaixo.



19. (Téc Controle Interno RJ 99 ESAF) Dadas as proposi-ções

A que tem valor lógico FALSO é a (A) IV (B) V (C) III (D) II (E) I 20. (ICMS/SP 2006 FCC) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é

21. (Tec da Fazenda Estadual de SP 2010 FCC) Considere as seguintes premissas: p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente. q: O trabalho enobrece. A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente” é, com certe-za, FALSA quando: (A) p é falsa e q é verdadeira. (D) p é falsa e q é falsa. (B) p é verdadeira e q é falsa. (E) p é verdadeira e q é verda-deira. (C) p é falsa ou q é falsa. 22. (TRT-SP Tec Jud 2008 FCC) Considere que são verda-deiras as seguintes premissas: “Se o professor adiar a prova, Lulu irá ao cinema.” “Se o professor não adiar a prova, Lenine irá à Biblioteca.” Considerando que, com certeza, o professor adiará a prova, é correto afirmar que

a) Lulu e Lenine não irão à Biblioteca b) Lulu e Lenine não irão ao cinema. c) Lulu irá ao cinema. d) Lenine irá à Biblioteca. e) Lulu irá ao cinema e Lenine não irá à Biblioteca.

23. (TCE-SP 2010 FCC) Certo dia, cinco Agentes de um mesmo setor do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo − Amarilis, Benivaldo, Corifeu, Divino e Esmeralda − foram convocados para uma reunião em que se discutiria a implan-tação de um novo serviço de telefonia. Após a reunião, al-guns funcionários fizeram os seguintes comentários: – “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”;

– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu partici-pou”; – “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarilis não participou”; – “Esmeralda não participou da reunião”. Considerando que as afirmações contidas nos quatro comen-tários eram verdadeiras, pode-se concluir com certeza que, além de Esmeralda, não participaram de tal reunião (A) Amarilis e Benivaldo. (B) Amarilis e Divino. (C) Benivaldo e Corifeu. (D) Benivaldo e Divino. (E) Corifeu e Divino. 24. (Metrô-SP 2009 FCC) Entre outros, três enfermeiros − Abigail, Benício e Clóvis − foram incumbidos de acompanhar um Programa de Vacinação contra o vírus da dengue, a ser executado em uma mesma estação de trens metropolitanos da cidade de São Paulo. Sabedor de que, no dia estipulado para a execução do programa, pelo menos um desses três enfermeiros não havia comparecido ao local designado, o Coordenador do Programa convocou-os a prestar esclareci-mentos, ouvindo deles as seguintes declarações: Abigail: Benício faltou e Clóvis faltou. Benício: Clóvis compareceu ou Abigail faltou. Clóvis: Se Benício compareceu, então Abigail faltou. Considerando que as três declarações são falsas, é correto afirmar que, apenas, (A) Abigail faltou. (B) Benício faltou. (C) Clóvis faltou. (D) Abigail e Benício faltaram. (E) Benício e Clóvis faltaram. 25. (Analista BACEN 2005 FCC) Aldo, Benê e Caio recebe-ram uma proposta para executar um projeto. A seguir são registradas as declarações dadas pelos três, após a conclu-são do projeto: - Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o proje-to. - Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o execu-tou. - Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o exe-cutaram. Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por (A) Aldo. (C) Caio. (E) Aldo e Caio. (B) Benê. (D) Aldo e Benê. 26. (Câmara dos deputados 2007 FCC) Relativamente a uma mesma prova de um concurso a que se submeteram, três amigos fizeram as seguintes declarações: Ariovaldo: Benício foi reprovado no concurso e Corifeu foi aprovado. Benício: Se Ariovaldo foi reprovado no concurso, então Cori-feu também o foi. Corifeu: Eu fui aprovado no concurso, mas pelo menos um dos outros dois não o foi. Admitindo-se que as três declarações são verdadeiras, então (A) Ariovaldo foi o único dos três que foi aprovado no concur-so. (B) Benício foi o único dos três que foi aprovado no concurso. (C) Corifeu foi o único dos três que foi aprovado no concurso. (D) Benício foi o único dos três que foi reprovado no concur-so. (E) Ariovaldo foi o único dos três que foi reprovado no con-curso. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES 27. Dê a negação de cada uma das proposições abaixo. a) Todos os corvos não são negros. Algum corvo é negro. b) Nenhum gato não sabe pular. Algum gato não sabe pular.



c) Algum sapo é príncipe. Nenhum sapo é príncipe. d) Alguma planta não é venenosa. Toda planta é venenosa. 28. (TRT 9ª Região 2004 FCC) A correta negação da propo-sição "todos os cargos deste concurso são de analista judici-ário” é: (A) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. (B) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. (C) existem cargos deste concurso que são de analista judi-ciário. (D) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. (E) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judi-ciário. 29. (Escriturário Banco do Brasil 2011 FCC) Um jornal publi-cou a seguinte manchete: “Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcioná-rios.” Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a ne-gação da manchete publicada é: (A) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários. (B) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de fun-cionários. (C) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários. (D) Existem Agências com deficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil. (E) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está com-pleto. 30. (Prominp 2009 Cesgranrio) A negação de “Todos os filhos de Maria gostam de quiabo” é (A) nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo. (B) nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (C) pelo menos um dos filhos de Maria gosta de quiabo. (D) pelo menos um dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (E) alguns filhos de Maria não gostam de quiabo. 31. (Metrô-SP 2010 FCC) A negação da proposição “Existem Linhas do Metrô de São Paulo que são ociosas.” é: (A) Nenhuma Linha do Metrô de São Paulo é ociosa. (B) Nenhuma Linha ociosa é do Metrô de São Paulo. (C) Nem toda Linha do Metrô de São Paulo é ociosa. (D) Algumas Linhas do Metrô de São Paulo não são ociosas. (E) Toda Linha do Metrô de São Paulo é não ociosa. 32. (Oficial de Justiça TJ-PE 2006 FCC) Considere a afirma-ção abaixo. Existem funcionários públicos que não são eficientes. Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que: (A) nenhum funcionário público é eficiente. (B) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público. (C) todo funcionário público é eficiente. (D) nem todos os funcionários públicos são eficientes. (E) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos. 33. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Em uma declaração ao tribu-nal, o acusado de um crime diz: "No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: - hoje não compro nada. Isso posto, não tenho nada a decla-rar sobre o crime.” Embora a dupla negação seja utilizada com certa freqüência na língua portuguesa como um reforço da negação, do ponto de vista puramente lógico, ela equivale a uma afirmação. Então, do ponto de vista lógico, o acusado afirmou, em rela-ção ao dia do crime, que

(A) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (B) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vende-dor e tem coisas a declarar sobre o crime. (C) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (D) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vende-dor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (E) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. 34. (Fiscal Recife 2003 ESAF) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões da-quela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 35. (Especialista em Políticas Públicas SP 2009 FCC) A sentença a seguir foi dita pelo chefe da manutenção de de-terminada indústria durante uma reunião: “Não é verdade que todos os funcionários do meu setor deixaram de cumprir a meta de atender a 100% das chamadas dentro do prazo recomendado.” Mais tarde, na mesma reunião, os dados apresentados pelos outros setores da indústria mostraram que o chefe da manu-tenção se equivocara, sendo falsa sua sentença. Nessas condições, é necessário concluir que (A) nenhum funcionário da manutenção conseguiu atende a qualquer chamada dentro do prazo recomendado. (B) pelo menos um funcionário da manutenção não conse-guiu atender nenhuma chamada dentro do prazo recomen-dado. (C) todos os funcionários da manutenção tiveram pelo menos uma chamada que não foi atendida dentro do prazo reco-mendado. (D) apenas um funcionário da manutenção teve pelo menos uma chamada que não foi atendida dentro do prazo reco-mendado. (E) 100% das chamadas feitas a funcionários da manutenção deixaram de ser atendidas dentro do prazo recomendado. 36. Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo. a) X > Y e Z = W. b) X ≤ Y ou Z < W. c) Se o tempo está chuvoso, então não faz calor. d) João é bom médico se e só se estudou muito. 37. (Metrô-SP 2010 FCC) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automó-vel

A negação da proposição composta p ∧ ~q é: (A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automó-vel. (B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir auto-móvel. (C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (D) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel. (E) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel. 38. (ANEEL Analista 2006 ESAF) A negação da afirmação condicional “se Ana viajar, Paulo vai viajar” é: a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar. b) se Ana não viajar, Paulo vai viajar. c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar.



d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar. e) se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar. 39. (Prominp 2008 Cesgranrio) Sejam p, q e r proposições simples e ~p, ~q e ~r as suas respectivas negações. A nega-ção de

é

EQUIVALÊNCIA ENTRE PROPOSIÇÕES 40. (ICMS/SP 2006 FCC) Das proposições abaixo, a única

que é logicamente equivalente a p → q é

41. (TRF 3ª Região 2007 FCC) Se Lucia é pintora, então ela é feliz. Portanto: (A) Se Lucia não é feliz, então ela não é pintora. (B) Se Lucia é feliz, então ela é pintora. (C) Se Lucia é feliz, então ela não é pintora. (D) Se Lucia não é pintora, então ela é feliz. (E) Se Lucia é pintora, então ela não é feliz. 42. (Assembléia Legislativa/SP 2010 FCC) Durante uma sessão no plenário da Assembléia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo- se às galerias da casa: “Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompi-das, então eu não darei início à votação”. Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação (A) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação. (B) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação. (C) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas. (D) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas. (E) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação. 43. (TCE MG 2007 FCC) São dadas as seguintes proposi-ções: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números (A) 2 e 4 (B) 2 e 3 (C) 2, 3 e 4 (D) 1, 2 e 3 (E) 1, 3 e 4 44. (ISS São Paulo 2007 FCC) Considere a seguinte propo-sição: “Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele não progride na carreira.”

Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposi-ção: (A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiço-amento. (B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele progride na carreira. (C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira. (D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento. (E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aper-feiçoamento e progride na carreira. 45. (TRE-PI – Téc Jud 2009 FCC) Um dos novos funcioná-rios de um cartório, responsável por orientar o público, rece-beu a seguinte instrução: “Se uma pessoa precisar autenticar documentos, encaminhe-a ao setor verde.” Considerando que essa instrução é sempre cumprida corre-tamente, pode-se concluir que, necessariamente, (A) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é encaminhada ao setor verde. (B) toda pessoa encaminhada ao setor verde precisa autenti-car documentos. (C) somente as pessoas que precisam autenticar documen-tos são encaminhadas ao setor verde. (D) a única função das pessoas que trabalham no setor ver-de é autenticar documentos. (E) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa autenticar documentos. 46. (TRF 3ª Região Analista Judiciário 2007 FCC) Considere que as sentenças abaixo são verdadeiras. Se a temperatura está abaixo de 5°C, há nevoeiro. Se há nevoeiro, os aviões não decolam. Assim sendo, também é verdadeira a sentença: (A) Se não há nevoeiro, os aviões decolam. (B) Se não há nevoeiro, a temperatura está igual a ou acima de 5°C. (C) Se os aviões não decolam, então há nevoeiro. (D) Se há nevoeiro, então a temperatura está abaixo de 5°C. (E) Se a temperatura está igual a ou acima de 5°C os aviões decolam. 47. (ICMS/SP 2006 FCC) Se p e q são proposições, então a

proposição p ∧ (~q) é equivalente a

48. (ICMS/SP 2006 FCC) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta.

(A) As proposições ~(p ∧ q) e (~p ∨ ~q) não são logicamente equivalentes. (B) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e so-mente se, o tempo está bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom”.

(C) A proposição ~[ p ∨ ~(p ∧ q)] é logicamente falsa. (D) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta”, é logi-camente equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”. (E) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.



49. (Especialista em Políticas Públicas SP 2009 FCC) Um fornecedor do governo apresentou, no mês de abril, um con-trato para realização de um serviço que seria pago somente em maio. O contrato trazia a seguinte cláusula: “Se o IPCA de abril for menor do que 2%, então os valores constantes no contrato não sofrerão qualquer correção.” De acordo com essa cláusula, é correto concluir que, neces-sariamente, se (A) os valores constantes no contrato sofreram uma correção de 2%, então o IPCA de abril foi, no mínimo, 2%. (B) os valores constantes no contrato sofreram uma correção de 1%, então o IPCA de abril ficou entre 1% e 2%. (C) o IPCA de abril foi 3%, então os valores do contrato so-freram algum tipo de correção. (D) o IPCA de abril foi 1%, então os valores do contrato so-freram correção de, no mínimo, 1%. (E) os valores constantes no contrato não sofreram qualquer correção, então o IPCA de abril foi, no máximo, 1% TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 50. (TRT9 2004 FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da propo-sição caracteriza: (A) um silogismo. (D) uma contingência. (B) uma tautologia. (E) uma contradição. (C) uma equivalência. RESPOSTAS

01. A 11. E 21. B 31. - 41. A 02. E 12. C 22. C 32. C 42. C 03. C 13. C 23. B 33. C 43. E 04. D 14. C 24. C 34. C 44. D 05. A 15. B 25. B 35. C 45. E 06. E 16. C 26. D 36. - 46. B 07. CC 17. A 27. - 37. A 47. B 08. B 18. D 28. B 38. C 48. C 09. C 19. B 29. C 39. A 49. A 10. C 20. C 30. D 40. A 50. B 27. a) Algum corvo é negro. b) Algum gato não sabe pular. c) Nenhum sapo é príncipe. (Todo sapo não é príncipe.) d) Toda planta é venenosa. (Nenhuma planta não é veneno-sa.) 36.

a) X ≤ Y ou Z ≠ W. b) X > Y e Z ≥ W. c) O tempo está chuvoso e não faz calor. d) Ou João é bom médico ou estudou muito, mas não am-bos.

QUESTÕES RESOLVIDAS

Questão 1: FUNIVERSA/2012 - Concurso PC-DF Perito Criminal – Odontologia Pergunta: Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de, exatos, R$ 200,00, já com a gorjeta incluída. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido, ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa, o total colocado sobre a mesa era de R$ 160,00, apenas, formados por uma nota de R$ 100,00, uma de R$ 20,00 e quatro de R$ 10,00. Seguiram-se, então, as seguintes declarações, todas verdadeiras: Antônio: — Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou. Danton: — Carlos também pagou, mas do Basílio não sei dizer. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Basílio: — Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio quem colocou, eu

vi quando ele pegou seus R$ 60,00 de troco. Carlos: — Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na mesa. Imediatamente após essas falas, o garçom, que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos do grupo, dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: O se-nhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espé-cie? Com base nas informações do texto, o garçom fez a pergunta a: a) Antônio b) Basílio c) Carlos d) Danton e) Eduardo

Questão 2: ESAF/2012 - Concurso Auditor Fiscal da Receita Federal Pergunta: Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim, a) não viajo e caso. b) viajo e caso. c) não vou morar em Pasárgada e não viajo. d) compro uma bicicleta e não viajo. e) compro uma bicicleta e viajo.

Questão 3: Vunesp 2012 - Concurso TJM-SP Analista de Sistemas Pergunta: Se afino as cordas, então o instrumento soa bem. Se o instrumento soa bem, então toco muito bem. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que a) sonho dormindo. b) o instrumento afinado não soa bem. c) as cordas não foram afinadas. d) mesmo afinado o instrumento não soa bem. e) toco bem acordado e dormindo.

Questão 4: Cesgranrio/2012 - Concurso Petrobrás – Técnico de Exploração de Petróleo Júnior – Informática Pergunta: O turista perdeu o voo ou a agência de viagens se enganou. Se o turista perdeu o voo, então a agência de via-gens não se enganou. Se a agência de viagens não se en-ganou, então o turista não foi para o hotel. Se o turista não foi para o hotel, então o avião atrasou. Se o turista não per-deu o voo, então foi para o hotel. O avião não atrasou. Logo, a) o turista foi para o hotel e a agência de viagens se enga-nou. b) o turista perdeu o voo e a agência de viagens se enganou. c) o turista perdeu o voo e a agência de viagens não se en-ganou. d) o turista não foi para o hotel e não perdeu o voo. e) o turista não foi para o hotel e perdeu o voo.

Questão 5: FCC/2012 - Concurso TJ/RJ para Analista Judici-ário/Análise de Sistemas Pergunta: Considere a seguinte análise, feita por um comen-tarista esportivo durante um torneio de futebol. Se o Brasil vencer ou empatar o jogo contra o Equador, então estará classificado para a semifinal, independentemente de outros resultados. Classificando-se para a semifinal, a equipe brasi-leira vai enfrentar o Uruguai. De acordo com essa análise, conclui-se que se o Brasil a) não enfrentar o Uruguai, necessariamente terá perdido o jogo para o Equador. b) não se classificar para a semifinal, terá necessariamente empatado o jogo com o Equador. c) enfrentar o Uruguai, necessariamente terá vencido ou empatado seu jogo contra o Equador. d) perder seu jogo contra o Equador, necessariamente não se classificará para a semifinal.



e) se classificar para a semifinal, então necessariamente não terá sido derrotado pelo Equador.

Questão 6: FCC/2012 - TCE – SP Agente de Fiscalização Financeira – Administração Pergunta: Se a tinta é de boa qualidade então a pintura me-lhora a aparência do ambiente. Se o pintor é um bom pintor até usando tinta ruim a aparência do ambiente melhora. O ambiente foi pintado. A aparência do ambiente melhorou. Então, a partir dessas afirmações, é verdade que: a) O pintor era um bom pintor ou a tinta era de boa qualida-de. b) O pintor era um bom pintor e a tinta era ruim. c) A tinta não era de boa qualidade. d) A tinta era de boa qualidade e o pintor não era bom pintor. e) Bons pintores não usam tinta ruim.

Questão 7: FCC/2012 - Concurso TCE- AP Técnico de Con-trole Externo Pergunta: O responsável por um ambulatório médico afirmou: “Todo paciente é atendido com certeza, a menos que tenha chegado atrasado.” De acordo com essa afirmação, conclui-se que, necessariamente, a) nenhum paciente terá chegado atrasado se todos tiverem sido atendidos. b) nenhum paciente será atendido se todos tiverem chegado atrasados. c) se um paciente não for atendido, então ele terá chegado atrasado. d) se um paciente chegar atrasado, então ele não será aten-dido. e) se um paciente for atendido, então ele não terá chegado atrasado.

Respostas Questão 1

O enunciado informa que todas as informações dadas são verdadeiras, portanto: Basílio pagou; Carlos pagou; Antônio pagou com R$ 100,00 reais e retirou da mesa o troco de R$ 60,00 reais. Incluíndo a nota de R$ 50,00 que havia sido dada por Eduardo. Eduardo pagou, portanto sobra danton.

Questão 2

Afirmação: Não vou morar em Parságada. Para ser verdadei-ro deve ter pelo menos uma proposição verdadeira. Caso (V) v Compro a Bicicleta (F) Viajo (V) v Não caso (F) Morar em Parságada (F) v Não compro bicicleta (V) Conclusão: -Viajo, Caso e Não compro a bicicleta.

Questão 3

Afirmação: Não sonho acordado. Isso nos leva a pensar na frase: "Ou não toco muito bem ou sonho acordado". Porque se ele não sonha acordado também não toca muito bem. Se o instrumento soa bem, então toco muito bem. Se afino as cordas, então o instrumento soa bem. Ou seja, como já se sabe que ele não toca bem, consequen-temente o instrumento não soa bem e as cordas não estão afinadas.

Questão 4

A: o turista perdeu o voo B: a agência de viagens se enganou C: o turista foi para o hotel D: o avião atrasou Afirmação: O avião não atrasou. Proposições: A (Falsa) v B (Verdadeira)

A (Falsa) -->> ~B (Falsa) ~B (Falsa) -->> ~C (Falsa) ~C (Falsa) -->> D (Falsa) ~A (Verdadeira) -->> C (Verdadeira) ~D (Verdadeira) O avião não se atrasou, portanto o turista foi para o hotel. A agência de viagens se enganou, ou seja o turista foi para o hotel. Resposta certa: O turista foi para o hotel e a agência de viagens se enganou.

Questão 5

A: Vencer o jogo contra o Equador B: Empatar o jogo C: Ir para a semifinal D: Enfrentar o Uruguai Não se fala na questão que se o Brasil perder ele não vai para a semifinal; A letra B está incorreta porque o fato de empatar o Equador classifica o Brasil. A letra C está errada porque o termo necessariamente gene-raliza a informação; A questão D também está incorreta porque o Brasil pode perder o jogo e mesmo assim se classificar; A classificação pode acontecer de 3 formas: ganhando, per-dendo ou empatando fazendo com a questão e fique incorre-ta.

Questão 6

Premissas: Tinta boa: pintura melhora a aparência; Pintor bom: pintura melhora a aparência; Sabendo que o ambiente foi pintado e aparência melhorou. Mas, o ambiente pode ter sido melhorado por outros motivos; A pintura só pode melhorar a aparência se usar tinta boa ou se for um pintor bom.

Questão 7

Com a afirmação dada no exercício pode-se concluir que: -Se você chegar na hora será sempre atendido; -Se chegar atrasado talvez possa ser atendido, ou seja, che-gar atrasado não é sinônimo de chegar atrasado.


Questão 1 Letra D

Questão 2 Letra B

Questão 3 Letra C

Questão 4 Letra A

Questão 5 Letra A

Questão 6 Letra A

Questão 7 Letra C

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PROVA SIMULADA II

1. Todos os marinheiros são republicanos. Assim sen-do, (A) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos

republicanos. (B) o conjunto dos republicanos contém o conjunto

dos marinheiros. (C) todos os republicanos são marinheiros. (D) algum marinheiro não é republicano. (E) nenhum marinheiro é republicano.

2. Assinale a alternativa que apresenta uma contra-dição. (A) Todo espião não é vegetariano e algum vegetari-

ano é espião.



(B) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião.

(C) Nenhum espião é vegetariano e algum es pião não é vegetariano.

(D) Algum espião é vegetariano e algum es pião não é vegetariano.

(E) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano.

3. Todos os que conhecem João e Maria admiram

Maria. Alguns que conhecem Maria não a admi-ram. Logo, (A) todos os que conhecem Maria a admiram. (B) ninguém admira Maria. (C) alguns que conhecem Maria não conhecem João. (D) quem conhece João admira Maria. (E) só quem conhece João e Maria conhece Maria.

4. Válter tem inveja de quem é mais rico do que ele. Ge-raldo não é mais rico do que quem o inveja. Logo, (A) quem não é mais rico do que Válter é mais pobre

do que Válter. (B) Geraldo é mais rico do que Válter. (C) Válter não tem inveja de quem não é mais rico do

que ele. (D) Válter inveja só quem é mais rico do que ele. (E) Geraldo não é mais rico do que Válter.

5. Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de gasolina e a banca de jornal, e o posto de gasoli-na fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo, (A) a sapataria fica entre a banca de jornal e a pada-

ria. (B) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e

a padaria. (C) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca

de jornal. (D) a padaria fica entre a sapataria e o posto de ga-

solina. (E) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a pa-

daria.

6. Um técnica de futebol, animado com as vitórias obti-das pela sua equipe nos últimos quatro jogos, decide apostar que essa equipe também vencerá o próximo jogo. Indique a Informação adicional que tornaria menos provável a vitória esperada. (A) Sua equipe venceu os últimos seis jogos, em vez

de apenas quatro. (B) Choveu nos últimos quatro jogos e há previsão de

que não choverá no próximo jogo. (C) Cada um dos últimos quatro jogos foi ganho por

uma diferença de mais de um gol. (D) O artilheiro de sua equipe recuperou-se do esti-

ramento muscular. (E) Dois dos últimos quatro jogos foram realizados

em seu campo e os outros dois, em campo ad-versário.

7. Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana.

Fátima corre tanto quanto Juliana. Logo, (A) Fátima corre menos do que Rita. (B) Fátima corre mais do que Marta. (C) Juliana corre menos do que Rita. (D) Marta corre mais do que Juliana. (E) Juliana corre menos do que Marta.

8. Há 4 caminhos para se ir de X a Y e 6 caminhos para se ir de Y a Z. O número de caminhos de X a Z que passam por Y é (A) 10. (B) 12.

(C) 18. (D) 24. (E) 32.

9. Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plan-tas que tem clorofila são comestíveis. Logo, (A) algumas plantas verdes são comestíveis. (B) algumas plantas verdes não são comestíveis. (C) algumas plantas comestíveis têm clorofila. (D) todas as plantas que têm clorofila são comestí-

veis. (E) todas as plantas vendes são comestíveis.

10. A proposição 'É necessário que todo aconteci-

mento tenha causa' é equivalente a (A) É possível que algum acontecimento não tenha

causa. (B) Não é possível que algum acontecimento não te-

nha causa. (C) É necessário que algum acontecimento não tenha

causa. (D) Não é necessário que todo acontecimento tenha

causa. (E) É impossível que algum acontecimento tenha

causa.

11. Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temos (A) 21. (B) 22. (C) 23. (D) 24. (E) 25.

12. ... ó pensador crítico precisa ter uma tolerância e até predileção por estados cognitivos de conflito, em que o problema ainda não é totalmente com-preendido. Se ele ficar aflito quando não sabe 'a resposta correta', essa ansiedade pode impedir a exploração mais completa do problema.' (David Canaher, Senso Crítico).

O AUTOR QUER DIZER QUE O PENSADOR CRÍ-TICO

(A) precisa tolerar respostas corretas. (B) nunca sabe a resposta correta. (C) precisa gostar dos estados em que não sabe a

resposta correta. (D) que não fica aflito explora com mais dificuldades

os problemas. (E) não deve tolerar estados cognitivos de conflito.

13. As rosas são mais baratas do que os lírios. Não te-nho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias de rosas. Logo, (A) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia

de rosas. (B) não tenho dinheiro suficiente para comprar uma

dúzia de rosas. (C) não tenho dinheiro. suficiente para comprar meia

dúzia de lírios. (D) não tenho dinheiro suficiente para comprar duas

dúzias de lírios. (E) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia

de lírios.

14. Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sen-do, (A) seu esforço é condição suficiente para vencer. (B) seu esforço é condição necessária para vencer. (C) se você não se esforçar, então não irá vencer. (D) você vencerá só se se esforçar. (E) mesmo que se esforce, você não vencerá.



15. Se os tios de músicos sempre são músicos, então (A) os sobrinhos de não músicos nunca são músicos. (B) os sobrinhos de não músicos sempre são músi-

cos. (C) os sobrinhos de músicos sempre são músicos. (D) os sobrinhos de músicos nunca são músicos. (E) os sobrinhos de músicos quase sempre são mú-

sicos.

16. O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. O paciente está bem. Logo, o paciente (A) TEM FEBRE E NÃO ESTÁ BEM. (B) TEM FEBRE OU NÃO ESTÁ BEM. (C) TEM FEBRE. (D) NÃO TEM FEBRE. (E) NÃO ESTÁ BEM. INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder

às questões de nº 17 e 18.

"O primeiro impacto da nova tecnologia de aprendi-zado será sobre a educação universal. Através dos tempos, as escolas, em sua maioria, gastaram horas intermináveis tentando ensinar coisas que eram melhor aprendidas do que ensinadas, isto é, coisas que são aprendidas de forma com-portamental e através de exercícios, repetição e feedback. Pertencem a esta categoria todas as matérias ensinadas no primeiro grau, mas também muitas daquelas ensinadas em estágios posteriores do processo educacional. Essas maté-rias - seja ler e escrever, aritmética, ortografia, história, bio-logia, ou mesmo matérias avançadas como neurocirurgia, diagnóstico médico e a maior parte da engenharia - são melhor aprendidas através de programas de computador. O professor motiva, dirige, incentiva. Na verdade, ele passa a ser um líder e um recurso.

Na escola de amanhã os estudantes serão seus pró-prios instrutores, com programas de computador como fer-ramentas. Na verdade, quanto mais jovens forem os estu-dantes, maior o apelo do computador para eles e maior o seu sucesso na sua orientação e instrução. Historicamente, a escola de primeiro grau tem sido totalmente intensiva de mão-de-obra. A escola de primeiro grau de amanhã será fortemente intensiva de capital.

Contudo, apesar da tecnologia disponível, a educa-ção universal apresenta tremendos desafios. Os conceitos tradicionais de educação não são mais suficientes. Ler, escrever e aritmética continuarão a ser necessários como hoje, mas a educação precisará ir muito além desses itens básicos. Ela irá exigir familiaridade com números e cálculos; uma compreensão básica de ciência e da dinâmica da tec-nologia; conhecimento de línguas estrangeiras. Também será necessário aprender a ser eficaz como membro de uma organização, como empregado." (Peter Drucker, A socieda-de pós-capitalista).

17. Para Peter Drucker, o ensino de matérias como aritmética, ortografia, história e biologia (A) Deve Ocorrer Apenas No Primeiro Grau. (B) deve ser diferente do ensino de matérias como

neurocirurgia e diagnóstico médico. (C) será afetado pelo desenvolvimento da informáti-

ca. (D) não deverá se modificar, nas próximas décadas. (E) deve se dar através de meras repetições e exer-

cícios.

18. Para o autor, neste novo cenário, o computador (A) terá maior eficácia educacional quanto mais jo-

vem for o estudante.

(B) tende a substituir totalmente o professor em sala de aula.

(C) será a ferramenta de aprendizado para os profes-sores.

(D) tende a ser mais utilizado por médicos. (E) será uma ferramenta acessória na educação.

19. Assinale a alternativa em que se chega a uma conclusão por um processo de dedução. (A) Vejo um cisne branco, outro cisne branco, outro

cisne branco ... então todos os cisnes são bran-cos.

(B) Vi um cisne, então ele é branco. (C) Vi dois cisnes brancos, então outros cisnes de-

vem ser brancos. (D) Todos os cisnes são brancos, então este cisne é

branco. (E) Todos os cisnes são brancos, então este cisne

pode ser branco.

20. Cátia é mais gorda do que Bruna. Vera é menos gorda do que Bruna. Logo, (A) Vera é mais gorda do que Bruna. (B) Cátia é menos gorda do que Bruna. (C) Bruna é mais gorda do que Cátia. (D) Vera é menos gorda do que Cátia. (E) Bruna é menos gorda do que Vera.

21. Todo cavalo é um animal. Logo, (A) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo. (B) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal. (C) todo animal é cavalo. (D) nem todo cavalo é animal. (E) nenhum animal é cavalo.

22. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que prati-cam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alu-nos que não praticam futebol. O número de alu-nos da classe é (A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44. INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder

às questões de nº 23 e 24. “Os homens atribuem autoridade a comunicações de

posições superiores, com a condição de que estas comuni-cações sejam razoavelmente consistentes com as vanta-gens de escopo e perspectiva que são creditadas a estas posições. Esta autoridade é, até um grau considerável, in-dependente da habilidade pessoal do sujeito que ocupa a posição. E muitas vezes reconhecido que, embora este sujeito possa ter habilidade pessoal limitada, sua recomen-dação deve ser superior pela simples razão da vantagem de posição. Esta é a autoridade de posição”.

Mas é óbvio que alguns homens têm habilidade supe-rior. O seu conhecimento e a sua compreensão, indepen-dentemente da posição, geram respeito. Os homens atribu-em autoridade ao que eles dizem, em uma organização, apenas por esta razão. Esta é a autoridade de liderança.' (Chester Barnard, The Functions of the Executive).

23. Para o autor,

(A) autoridade de posição e autoridade de liderança são sinônimos.

(B) autoridade de posição é uma autoridade superior à autoridade de liderança.



(C) a autoridade de liderança se estabelece por ca-racterísticas individuais de alguns homens.

(D) a autoridade de posição se estabelece por habili-dades pessoais superiores de alguns líderes.

(E) tanto a autoridade de posição quanto a autoridade de liderança são ineficazes.

24. Durante o texto, o autor procura mostrar que as

pessoas (A) não costumam respeitar a autoridade de posição. (B) também respeitam autoridade que não esteja li-

gada a posições hierárquicas superiores. (C) respeitam mais a autoridade de liderança do que

de posição. (D) acham incompatíveis os dois tipos de autoridade. (E) confundem autoridade de posição e liderança.

25. Utilizando-se de um conjunto de hipóteses, um cientista deduz uma predição sobre a ocorrência de um certo eclipse solar. Todavia, sua predição mostra-se falsa. O cientista deve logicamente concluir que (A) todas as hipóteses desse conjunto são falsas. (B) a maioria das hipóteses desse conjunto é falsa. (C) pelo menos uma hipótese desse conjunto é falsa. (D) pelo menos uma hipótese desse conjunto é ver-

dadeira. (E) a maioria das hipóteses desse conjunto é verda-

deira.

26. Se Francisco desviou dinheiro da campanha as-sistencial, então ele cometeu um grave delito. Mas Francisco não desviou dinheiro da campanha assistencial. Logo, (A) Francisco desviou dinheiro da campanha assis-

tencial. (B) Francisco não cometeu um grave delito. (C) Francisco cometeu um grave delito. (D) alguém desviou dinheiro da campanha assisten-

cial. (E) alguém não desviou dinheiro da campanha assis-

tencial.

27. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo, (A) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. (B) Rodrigo é culpado. (C) se Rodrigo não mentiu. então ele não é culpado. (D) Rodrigo mentiu. (E) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.

28. Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H . . ..., ..., temos, respectivamente, (A) O, P. (B) I, O. (C) E, P. (D) L, I. (E) D, L.

29. Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, ..., temos (A) 236. (B) 244. (C) 246. (D) 254. (E) 256.

30. Assinale a alternativa em que ocorre uma conclu-são verdadeira (que corresponde à realidade) e o argumento inválido (do ponto de vista lógico). (A) Sócrates é homem, e todo homem é mortal, por-

tanto Sócrates é mortal. (B) Toda pedra é um homem, pois alguma pedra é

um ser, e todo ser é homem.

(C) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto cachorros não são gatos.

(D) Todo pensamento é um raciocínio, portanto, todo pensamento é um movimento, visto que todos os raciocínios são movimentos.

(E) Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem cinco pés, portanto algumas cadeiras tem quatro pés.

31 - Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessaria-mente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C 32- Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios): Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P" Premissa 2: "X não está contido em P" Pode-se, então, concluir que, necessariamente a) Y está contido em Z b) X está contido em Z c) Y está contido em Z ou em P d) X não está contido nem em P nem em Y e) X não está contido nem em Y e nem em Z 33- A operação Å x é definida como o dobro do quadrado de x. Assim, o valor da expressão Å 21/2 - Å [ 1Å 2 ] é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 34- Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso 35- Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120 36- De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecio-nado esteja matriculado em pelo menos uma dessas discipli-nas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a



a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200 37- Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 38- Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 39- Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrên-cia de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condi-ção necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre, a) D ocorre e B não ocorre b) D não ocorre ou A não ocorre c) B e A ocorrem d) nem B nem D ocorrem e) B não ocorre ou A não ocorre 40- Ou A=B, ou B=C, mas não ambos. Se B=D, então A=D. Ora, B=D. Logo: a) B ¹ C b) B ¹ A c) C = A d) C = D e) D ¹ A 41- De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano 42- Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia e) se o passarinho canta, então o gato não mia 43- Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta or-

dem). Perguntados sobre os nomes das respectivas espo-sas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a) Sandra, Teresa, Regina b) Sandra, Regina, Teresa c) Regina, Sandra, Teresa d) Teresa, Regina, Sandra e) Teresa, Sandra, Regina 44- A negação da afirmação condicional "se estiver choven-do, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 45- Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 46- Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês 47- Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que: a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Me-dicina d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia 48- Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que: a) Lauro é culpado e Sônia é culpada b) Sônia é culpada e Roberto é inocente c) Pedro é culpado ou Roberto é culpado d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente 49- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respec-tivamente, a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto



d) preto, branco, azul e) branco, azul, preto 50- Um rei diz a um jovem sábio: "dizei-me uma frase e se ela for verdadeira prometo que vos darei ou um cavalo veloz, ou uma linda espada, ou a mão da princesa; se ela for falsa, não vos darei nada". O jovem sábio disse, então: "Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda espada". Para manter a promessa feita, o rei: a) deve dar o cavalo veloz e a linda espada b) deve dar a mão da princesa, mas não o cavalo veloz nem a linda espada c) deve dar a mão da princesa e o cavalo veloz ou a linda espada d) deve dar o cavalo veloz ou a linda espada, mas não a mão da princesa e) não deve dar nem o cavalo veloz, nem a linda espada, nem a mão da princesa

RESPOSTAS

01. B 11. C 21. B 31. C 41. B 02. A 12. C 22. E 32. B 42. C 03. C 13. D 23. C 33. C 43. D 04. E 14. A 24. B 34. E 44. E 05. E 15. A 25. C 35. D 45. A 06. B 16. D 26. E 36. D 46. B 07. B 17. C 27. A 37. E 47. A 08. D 18. A 28. D 38. A 48. C 09. C 19. D 29. B 39. C 49. E 10. B 20. D 30. E 40. A 50. B

BIBLIOGRAFIA Os testes acima foram extraídos da coleção “FAÇA SEU TESTE”, da EDITORA MESTRE JOU – SÃO PAULO – SP.

GEOMETRIA

1. POSTULADOS

a) A reta é ilimitada; não tem origem nem extremidades. b) Na reta existem infinitos pontos. c) Dois pontos distintos determinam uma única reta

(AB).

2. SEMI-RETA Um ponto O sobre uma reta divide-a em dois

subconjuntos, denominando-se cada um deles semi-reta.

3. SEGMENTO

Sejam A e B dois pontos distintos sobre a reta AB . Ficam

determinadas as semi-retas: AB e BA .

ABBAAB =∩

A intersecção das duas semi-retas define o segmento

AB .

4. ÂNGULO

A união de duas semi-retas de mesma origem é um

ângulo.

5. ANGULO RASO É formado por semi-retas opostas.

6. ANGULOS SUPLEMENTARES São ângulos que determinam por soma um

ângulo raso.

7. CONGRUÊNCIA DE ÂNGULOS O conceito de congruência é primitivo. Não há definição.

lntuitivamente, quando imaginamos dois ângulos coincidindo ponto a ponto, dizemos que possuem a mesma medida ou são congruentes (sinal de congruência: ≅ ).

8. ÂNGULO RETO Considerando ângulos suplementares e congruentes

entre si, diremos que se trata de ângulos retos.



9. MEDIDAS 1 reto ↔ 90° (noventa graus)

1 raso ↔ 2 retos ↔ 180°

1° ↔ 60' (um grau - sessenta minutos)

1' ↔ 60" (um minuto - sessenta segundos)

As subdivisões do segundo são: décimos, centésimos

etc.

90o = 89o 59’ 60”

10. ÂNGULOS COMPLEMENTARES São ângulos cuja soma é igual a um reto.

11. REPRESENTAÇÃO x é o ângulo; (90° - x) seu complemento e (180° - x) seu

suplemento.

12. BISSETRIZ É a semi-reta que tem origem no vértice do ângulo e o

divide em dois ângulos congruentes.

13. ANGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE São ângulos formados com as semi-retas apostas duas a

duas.

Ângulos apostos pelo vértice são congruentes (Teorema).

14. TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE RETAS

PARALELAS Se uma reta transversal forma com duas retas de um

plano ângulos correspondentes congruentes, então as retas são paralelas.

≅

≅

≅

≅

qd

pc

nb

ma

))

))

))

))

ângulos correspondentes congruentes

Consequências:

a) ângulos alternos congruentes:

externos) qb internos) 180mc

(alternos pa (alternos 180

0

0

))))

))))

≅=≅

≅=≅ nd

b) ângulos colaterais suplementares:

internos) s(colaterai180

180 m d

) (180

180 q a

o

o

=+

=+

=+

=+

o

o

nc

externoscolateraispb

))

))

))

))

15. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Determine o complemento de 34°15'34".

Resolução: 89° 59' 60"

- 34° 15' 34" 55° 44' 26"

Resp.: 55° 44' 26" 2) As medidas 2x + 20° e 5x - 70° são de ângulos

opostos pelo vértice. Determine-as.



2x + 20° = 5x - 70° ⇔

⇔ - 70° + 20° = 5x - 2x ⇔

⇔ 90° = 3x ⇔

x = 30°

Resp. : 30°

3) As medidas de dois ângulos complementares estão

entre si como 2 está para 7. Calcule-as.

Resolução: Sejam x e y as medidas de 2 ângulos complementares. Então:

⇔

+=+

=+

⇔

=

=+

17

2 1

y

x

90 y x

7

2

y

x

90 y x o o

=

=+

⇔

=+

=+

7

990

y

90 y x

7

9

y

yx

90 y x o

oo

⇒ x = 20° e y = 70°

Resp.: As medidas são 20° e 70°.

4) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal

formam 8 ângulos. Sendo 320° a soma dos ângulos obtusos internos, calcule os demais ângulos.

Resolução: De acordo com a figura seguinte, teremos pelo

enunciado:

â + â = 320° ⇔ 2â = 320° ⇔

â = 160°

Sendo b a medida dos ângulos agudos, vem:

a)

+ b)

= 180° ou 160° + b)

= 180° ⇒ b)

= 20°

Resp.: Os ângulos obtusos medem 160° e os agudos 20°.

5) Na figura, determine x.

Resolução: Pelos ângulos alternos internos:

x + 30° = 50° ⇒

x = 20°

16. TRIÂNGULOS 16.1 – Ângulos

externos angulos são C ;B ;A

internos ângulos são C ;B ;A

lados os são ;BC ;

BC AB ABC

exexex

)))

)))CAAB

CA∪∪=∆

Lei angular de Thales:

°=++ 180 C B )))

A

Conseqüências:

C B 180 C B A

180 A ex)))

)))

))

+=⇒

°=++

°=+exA

A

Analogamente:

A B C

C A

ex

)))

)))

+=

+=exB

Soma dos ângulos externos:

°=++ 360 C B A exexex

)))

16.2 – Classificação



Obs. : Se o triângulo possui os 3 ângulos menores que

90°, é acutângulo; e se possui um dos seus ângulos maior do que 90°, é obtusângulo.

16.3 - Congruência de triângulos Dizemos que dois triângulos são congruentes quando os

seis elementos de um forem congruentes com os seis elementos correspondentes do outro.

≅

≅

≅

≅

≅

≅

C'A' AC

'C'B BC

B'A' AB

e

'C C

'B B

'A A

))

))

))

C'B'A' ∆≅∆⇔ ABC

16.4 - Critérios de congruência LAL: Dois triângulos serão congruentes se possuírem

dois lados e o ângulo entre eles congruentes.

LLL: Dois triângulos serão congruentes se possuírem os três lados respectivamente congruentes.

ALA : Dois triângulos serão congruentes se possuírem

dois ângulos e o lado entre eles congruentes. LAAO : Dois triângulos serão congruentes se possuírem

dois ângulos e o lado oposto a um deles congruentes.

16.5 - Pontos notáveis do triângulo

a) O segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto é denominado MEDIANA. O encontro das medianas é denominado BARICENTRO.

G é o baricentro Propriedade: AG = 2GM

BG = 2GN CG = 2GP

b) A perpendicular baixada do vértice ao lado oposto é

denominada ALTURA.

O encontro das alturas é denominado ORTOCENTRO.

c) INCENTRO é o encontro das bissetrizes internas do triângulo. (É centro da circunferência inscrita.)

d) CIRCUNCENTRO é o encontro das mediatrizes dos lados do triângulo, lÉ centro da circunferência circunscrita.)

16.6 – Desigualdades Teorema: Em todo triângulo ao maior lado se opõe o

maior ângulo e vice-Versa. Em qualquer triângulo cada lado é menor do que a soma

dos outros dois.

16.7 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Sendo 8cm e 6cm as medidas de dois lados de um

triângulo, determine o maior número inteiro possível para ser medida do terceiro lado em cm.

Resolução:

x < 6 + 8 ⇒ x < 14

6 < x + 8 ⇒ x > - 2 ⇒ 2 < x < 14



8 < x + 6 ⇒ x > 2

Assim, o maior numero inteiro possível para medir o

terceiro lado é 13.

2) O perímetro de um triângulo é 13 cm. Um dos lados é o dobro do outro e a soma destes dois lados é 9 cm. Calcule as medidas dos lados.

Resolução:

a + b + c = 13 a = 2b 3b = 9 a + b = 9

b = 3 a = 6

e Portanto:

c = 4

As medidas são : 3 cm; 4 cm; 6 cm

3) Num triângulo isósceles um dos ângulos da base

mede 47°32'. Calcule o ângulo do vértice. Resolução:

x + 47° 32' + 47° 32' = 180° ⇔

x + 94° 64' = 180° ⇔

x + 95° 04' = 180° ⇔ x = 180° - 95° 04' ⇔

x = 84° 56' rascunho: 179° 60' - 95° 04' 84° 56' Resp. : O ângulo do vértice é 84° 56'. 4) Determine x nas figuras: a)

b)

Resolução:

a) 80° + x = 120° ⇒ x = 40°

b) x + 150° + 130° = 360° ⇒ x = 80°

5) Determine x no triângulo: Resolução:

Sendo ABC∆ isósceles, vem: C ))

≅B e portanto:

°=≅ 50 C ))

B , pois °=++ 180 C B )))

A .

Assim, x = 80° + 50° ⇒ x = 130°

17. POLIGONOS O triângulo é um polígono com o menor número de lados

possível (n = 3), De um modo geral dizemos; polígono de n lados.

17.1 - Número de diagonais

2

)3 -n (n =d ( n = número de lados )

De 1 vértice saem (n - 3) diagonais. De n vértices saem n . (n - 3) diagonais; mas, cada uma é

considerada duas vezes.

Logo ; 2

)3 -n (n =d

17.2 - Soma dos ângulos internos

Si = 180° ( n - 2 )

17.3 - Soma dos ângulos externos

Se = 360°



17.4 – Quadriláteros

a) Trapézio: "Dois lados paralelos".

DC // AB

b) Paralelogramo: “Lados opostos paralelos dois a dois”.

BC // AD e DC // AB

Propriedades: 1) Lados opostos congruentes. 2) Ângulos apostos congruentes. 3) Diagonais se encontram no ponto médio

c) Retângulo:

"Paralelogramo com um ângulo reto".

Propriedades: 1) Todas as do paralelogramo. 2) Diagonais congruentes.

d) Losango:

"Paralelogramo com os quatro lados congruentes".

Propriedades:

1) Todas as do paralelogramo.

2) Diagonais são perpendiculares. 3) Diagonais são bissetrizes internas.

e) Quadrado:

"Retângulo e losango ao mesmo tempo".

Obs: um polígono é regular quando é equiângulo e

equilátero.

SEMELHANÇAS

1. TEOREMA DE THALES Um feixe de retas paralelas determina sobre um feixe de

retas concorrentes segmentos correspondentes proporcionais.

etc...

... NP

MP

FG

EG

BC

AC

... PQ

MN

GH

EF

===

===CD

AB

2. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dada a correspondência entre dois triângulos, dizemos

que são semelhantes quando os ângulos correspondentes forem congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

3. CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA a) (AA~ ) Dois triângulos possuindo dois ângulos

correspondentes congruentes são semelhantes.

b) (LAL~) Dois triângulos, possuindo dois lados

proporcionais e os ângulos entre eles formados congruentes, são semelhantes.

c) (LLL) Dois triângulos, possuindo os três lados

proporcionais, são semelhantes. Representação:



k C'A'

AC

C'B'

BC

B'A'

AB

e

'C C

'B B

'A

C'B'A' ~

===

≅

≅

≅

⇔∆∆))

))

))A

ABC

razão de semelhança Exemplo: calcule x

Resolução :

6 x

6

9

4

x

MC

AC

MN

AB

MNC ~

=∴=⇒=

⇔∆∆ABC

4. RELAÇÕES MÊTRICAS NO TRIÂNGULO

RETÃNGULO Na figura:

A é vértice do ângulo reto (Â = 90° )

°=+ 90 C ))

B

m = projeção do cateto c sobre a hipotenusa a n = projeção do cateto b sobre a hipotenusa a H é o pé da altura AH = h.

4.1 – Relações

a)

HB

CB

AB CAB ~ AHB

2 ⋅=⇔

⇔⇔⇔∆∆

CBAB

AB

HB

ou c2 = a . m (I)

b)

HCBCAC

AC

HC

⋅=⇔

⇔=⇔∆∆

2

BC

AC BAC~ AHC

ou b2 = a . n (II)

c)

HBCHAH

HA

HBAHB

⋅=⇔

⇔=⇔∆∆

2

CH

AH CHA ~

ou h2 = m . n (III)

A altura é média proporcional entre os segmentos que determina sobre a hipotenusa

Conseqüências: (I) + (II) vem:

( )

222

22

22 b

abc

nmabc

anamc

a

=+⇔

⇔+=+⇔

⇔+=+

321

4.2 - Teorema de Pitágoras

a2 + b2 = c2

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Exemplo:

Na figura, M é ponto médio de BC , Â = 90°

e M̂ = 90°. Sendo AB = 5 e AC = 2, calcule Al.

Resolução: a) Teorema de Pitágoras:

⇒+=⇒+= 2 22222 2 5 BC AC AB BC

e 38,529 ≅=⇒ BC 2

29=MB

b) ou ~BI

BC

MB

ABMBIABC =⇔∆∆

9,210

2929

2

29

5==⇔= BI

BI

Logo, sendo AI = AB - BI, teremos:

AI = 5 - 2,9 ⇒ AI = 2,1



5. RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO

Nas figuras valem as seguintes relações:

2δ =PA . PB=PM . PN

o número 2δ é denominado Potência do ponto

P em relação à circunferência.

2δ =

22 Rd −

6. POLÍGONOS REGULARES

a) Quadrado:

AB = lado do quadrado ( l 4)

OM = apótema do quadrado (a4)

OA = OB = R = raio do círculo Relações:

• ⇒+= 222RRAB 24 R=l

• ⇒= 2

ABOM

2

44

l=a

• Área do quadrado: 2

44 l=S

b) Triângulo equilátero:

AC = 3l (lado do triângulo)

OA = R (raio do círculo) OH = a (apótema do triângulo)

Relações:

• AC2 = AH2 + HC2 ⇒

2

33l=h

(altura em função do lado)

• AO = 2 OH ⇒ R = 2a

(o raio é o dobro do apótema)

• (lado em função do raio) 33 R=l

•

Área:

4

32

3l=S

(área do triângulo equilátero em função do lado)

c) Hexágono regular:

AB = 6l (lado do hexágono)

OA = OB = R (raio do círculo) OM = a (apótema)

Relações:

• ∆ OAB é equilátero ⇒ R=6l

• OM é altura ∆ OAB ⇒ 2

3Ra =

• Área: ABCSS ∆⋅= 6 ⇒

2

33 2R

S =

7. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

a) Retângulo: S = b . h



b) Paralelogramo: S = b . h

c) triângulo: 2

hbS

⋅=

d) losango: 2

dDS

⋅=

e) trapézio: ( )

2

hbBS

+=

8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Num triângulo retângulo os catetos medem 9 cm e 12

cm. Calcule as suas projeções sobre a hipotenusa.

Resolução:

a) Pitágoras: a2 = b2 + c2⇒ a = 15 cm

⇒ a2 =122 + 92⇒

b) C2 = a . m ⇒ 92 = 15 . m ⇒ m = 5,4 cm

c) b2 = a . n ⇒ 122 = 15 . n ⇒ n = 9,6 cm

2) As diagonais de um losango medem 6m e 8m.

Calcule o seu perímetro:

Resolução:

⇒== 222 34l m 5=l

O perímetro é: P = 4 X 5 m = 20 m

3) Calcule x na figura:

Resolução:

PA . PB = PM . PN ⇒ 2. ( 2 + x ) = 4 X 10

⇔

4 + 2 x = 40 ⇔ 2 x = 36 ⇔

⇔ x=18

4) Calcule a altura de um triângulo equilátero cuja área

é 39 m2:

Resolução:

∴=⇒=4

339

4

3 22ll

S m 6=l

∴=⇒=2

36

2

3hh

l m h 33=

GEOMETRIA NO ESPAÇO

1. PRISMAS

São sólidos que possuem duas faces apostas paralelas e congruentes denominadas bases.

la = arestas laterais



h = altura (distância entre as bases)

Cálculos:

bA = área do polígono da base.

lA = soma das áreas laterais.

bT AAA 2+= l (área total).

V = A b . h (volume)

1.1 – Cubo O cubo é um prisma onde todas as faces são quadradas.

AT = 6 . a2 (área total)

V = a3 (volume)

a = aresta

Para o cálculo das diagonais teremos:

2ad = (diagonal de uma face)

3aD = (diagonal do cubo)

1.2 - Paralelepípedo reto retângulo

dimensões a, b, c

AT = 2 ( ab + ac + bc ) (área total)

V = abc (volume)

222 cbaD ++= (diagonal)

2. PIRÂMIDES São sólidos com uma base plana e um vértice fora do

plano dessa base.

Para a pirâmide temos:

bA = área da base

lA = álea dos triângulos faces laterais

bT AAA += l (área total)

hAV b ⋅=3

1

(volume)

2.1 - Tetraedro regular É a pirâmide onde todas as faces são triângulos

equiláteros.

Tetraedro de aresta a :

3

6ah = ( altura )

32aA T = (área total)

12

23aV = ( volume )

3. CILINDRO CIRCULAR RETO

As bases são paralelas e circulares; possui uma superfície lateral.



2

RAb π= ( área da base)

hRA ⋅= π2l ( área lateral )

lAAA bT += 2 ( área total )

hAV b ⋅= ( volume )

3.1 - Cilindro equilátero Quando a secção meridiana do cilindro for quadrada, este

será equilátero.

Logo:

32

222

2

22

642

422

RRRV

RRRA

RRRA

T

ππ

πππ

ππ

=⋅=

=+⋅=

=⋅=l

4. CONE CIRCULAR RETO

g é geratriz.

∆ ABC é secção meridiana.

g2 = h2 + R2

RgA π=l (área lateral)

2RA b π= (área da base)

bT AAA += l (área total)

hAv b ⋅⋅=3

1 ( volume )

4.1 - Cone equilátero

Se o ∆ ABC for equilátero, o cone será denominado equilátero.

3Rh = (altura)

2RA b π= (base)

222 RRRA ππ =⋅=l (área lateral)

23 RA T π= (área total)

33

1 3RV π= (volume)

5. ESFERA

Perímetro do círculo maior: 2π R

Área da superfície: 4π R2

Volume: 3

3

4Rπ

Área da secção meridiana: π R2.

EXERCICIOS PROPOSTOS 1

1) Os 3/4 do valor do suplemento de um angulo de 60°

são: a) 30° b) 70º c) 60º d) 90º e) 100º

2) A medida de um ângulo igual ao dobro do seu

complemento é: a) 60° b) 20º c) 35º d) 40º e) 50°



3) O suplemento de 36°12'28" é:

a) 140º 27’12” b) 143°47'32" c) 143°57'42" d) 134°03'03" e) n.d.a.

4) número de diagonais de um polígono convexo de 7

lados é: a) 6 b) 8 c) 14 d) 11 e) 7

5) O polígono que tem o número de lados igual ao

número de diagonais é o: a) quadrado b) pentágono c) hexágono d) de15 lados e) não existe

6) O número de diagonais de um polígono convexo é o

dobro do número de vértices do mesmo. Então o número de lados desse polígono é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

7) A soma dos ângulos internos de um pentágono é

igual a: a) 180° b) 90° c) 360° d) 540° e) 720°

8) Um polígono regular tem 8 lados; a medida de um

dos seus ângulos internos é: a) 135° b) 45° c) 20° d) 90° e) 120°

9) O encontro das bissetrizes internas de um triângulo

é o: a) bicentro b) baricentro c) incentro d) metacentro e) n.d.a.

10) As medianas de um triângulo se cruzam num ponto,

dividindo-se em dois segmentos tais que um deles é: a) o triplo do outro b) a metade do outro c) um quinto do outro

d) os 3

2do outro

e) n.d.a.

11) Entre os.critérios abaixo, aquele que não garante a congruência de triângulos é: a) LLL b) ALA c) LAAO d) AAA e) LAL

12) O menor valor inteiro para o terceiro lado de um

triângulo, cujos outros dois medem 6 e 9, será: a) 4 b) 10 c) 6 d) 7 e) 1

13) Num paralelogramo de perímetro 32cm e um dos

lados10cm, a medida para um dos outros lados é: a) 6 cm b) 12 cm c) 20 cm d) 22 cm e) 5 cm

RESPOSTAS AOS EXERCICIOS PROPOSTOS

1) d 2) a 3) b 4) c 5) b

6) e 7) d 8) a 9) c

10) b

11) d 12) a 13) a

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2

1) Na figura AB = 4 cm BC = 6 cm MN = 8 cm Então, NP vale: a) 10 cm b) 8 cm c) 1 2 cm d) 6 cm e) 9 cm

2) Com as retas suportes dos lados (AD e BC) não

paralelos do trapézio ABCD, construímos o ∆ ABE. Sendo AE = 12 cm; AD = 5 cm; BC = 3 cm. O valor de BE é: a) 6,4cm b) 7,2 cm c) 3,8 cm d) 5,2 cm e) 8,2cm

3) O lado AB de um ∆ ABC mede 16 cm. Pelo ponto D pertencente ao lado AB, distante 5 cm de A, constrói-se paralela ao lado BC que encontra o lado AC em E a 8 cm de A. A medida de AC é: a) 15,8 cm b) 13,9 cm c) 22,6 cm d) 25,6 cm e) 14 cm

4) A paralela a um dos lados de um triângulo divide os

outros dois na razão 3/4. Sendo 21cm e 42 cm as medidas desses dois lados. O maior dos segmentos determinado pela paralela mede: a) 9cm b) 12cm c) 18 cm d) 25 cm e) 24 cm

5) Num trapézio os lados não paralelos prolongados

determinam um triângulo de lados 24 dm e 36 dm. O menor dos lados não paralelos do trapézio mede 10 dm. O outro lado do trapézio mede: a) 6 dm b) 9 dm c) 10 dm d) 13 dm e) 15 dm

6) Num triângulo os lados medem 8 cm; 10 cm e 15 cm.

O lado correspondente ao menor deles, num segundo triângulo semelhante ao primeiro, mede 16cm. O perímetro deste último triângulo é: a) 60 cm b) 62 cm c) 66 cm d) 70 cm e) 80 cm

7) Dois triângulos semelhantes possuem os seguintes perímetros: 36 cm e 108 cm. Sendo 12 cm a medida de um dos lados do primeiro, a medida do lado correspondente do segundo será: a) 36 cm b) 48 cm c) 27 cm d) 11 cm e) 25 cm

8) A base e a altura de um retângulo estão na razão

5

12 . Se a diagonal mede 26cm, a base medida será:

a) 12 cm b) 24 cm c) 16 cm d) 8 cm e) 5 cm

9) A altura relativa à hipotenusa de um triângulo mede 14,4 dm e a projeção de um dos catetos sobre a mesma 10,8 dm. O perímetro do triângulo é: a) 15 dm b) 32 dm c) 60 dm d) 72 dm e) 81 dm



10) A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 5 cm e 12 cm, mede: a) 4,61cm b) 3,12 cm c) 8,1 cm d) 13,2 cm e) 4 cm

11) Duas cordas se cruzam num círculo. Os segmentos

de uma delas medem 3 cm e 6 cm; um dos segmentos da outra mede 2 cm. Então o outro segmento medirá: a) 7 cm b) 9 cm c) 10 cm d) 11 cm e) 5 cm

RESPOSTAS AOS EXERCICIOS PROPOSTOS

1) c 2) b 3) d 4) e

5) e 6) c 7) a 8) b

9) d 10) a 11) b

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3

1) Um prisma pentagonal regular tem 1,8 m de altura e

aresta da base 0,6 m. Calcule a área lateral do prisma. 2) Calcule a área total de um prisma hexagonal regular de

2m de altura e 1,5m de aresta na base. 3) A altura de um prisma reto tem 9,6 cm e as bases são

quadrados cuja diagonal mede 2,25 cm. Calcule a área lateral.

4) Calcule a diagonal de um cubo cujo volume é 47013,360

cm3. 5) Em um prisma reto, a altura tem 7 m, a base é um

triângulo isósceles cujo perímetro é 5 m e um dos lados tem 3 cm. Calcule o volume.

6) Dão-se um prisma quadrangular e outro triangular,

ambos regulares, de mesma altura, 3 m e mesma aresta da base. De quanto se deve aumentar a altura do se-gundo para se ter o mesmo volume do primeiro?

7) Numa pirâmide quadrangular regular a aresta lateral é

igual à diagonal da base, que tem 1 m. Calcule o volume.

8) Calcule a superfície total de uma pirâmide triangular

regular que tem 25cm de aresta lateral e 8cm de aresta da base.

9) calcule a área lateral de um cilindro reto de 12,5 cm de

altura e cuja base está inscrita num losango de dia-gonais 8 cm e 6 cm.

10) Um retângulo de 4 cm de lado e 5 cm de base gira em

torno do lado maior determinando um sólido no espaço. calcule a área lateral do sólido assim gerado.

11) calcule a área de uma superficie gerada pela rotação de

um triângulo equilátero de lado 6 cm, em torno de seu lado.

12) Um cone circular reto de altura h é seccionado por um

plano à distância h/4 do vértice; sendo 256 cm2 a área lateral do cone, calcule a área lateral do cone parcial assim formado.

13) Com um setor circular de 15 cm de raio e 216° de ângulo

central, constrói-se um cone circular reto. calcule a área lateral do cone.

14) Calcule o volume de uma esfera inscrita num cone reto de 4m de altura e 3m de raio da base.

15) Calcule o volume de um cilindro equilátero circunscrito a

uma esfera de raio m. 16) Determine o raio da esfera inscrita num cubo de aresta

8m. 17) Determine o raio da esfera inscrita num tetraedro de

altura h. 18) Determine o raio da esfera circunscrita ao cubo de

diagonal D. RESPOSTAS AOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) 5,4 m2 2) 29,68 m2 3) 61,084 cm2 4) 6,6 cm2 5) 21cm3 6) 3,93 cm 7) 144,333 dm3 8) 323,832 9) 60 π cm2

10) 40 π cm2

11) π336 cm2

12) 16 cm2 13) 135π cm2

14) 415 π cm3

15) 2 π cm3

16) 4 m 17) h/4 18) D/2

MATRIZES

Conceito

Matrizes formam um importante conceito matemáti-co, de especial uso n transformações lineares. Não é o propósito de o estudo de sta página a teoria dessas transformações, mas apenas al-guns fundamentos e operações básicas com ma-trizes que as representam.

Uma matriz Am×n pode ser entendida como um conjunto de m×n (m multiplicado por n) números ou variáveis dispos-tos em m linhas e n colunas e destacados por colchetes conforme abaixo:

=

mnm2m1

2n2221

1n1211

mxn

...aa .a

.

a ... a a

a ... a a

A

Portanto, para a matriz da Figura 02, de 2 linhas e 3 colunas,

a11 = 4 a12 = 0 a13 = 9

a21 = 1 a22 = 7 a23 = 3

3 7 1=

9 0 4A 2x3



Rigorosamente, uma matriz Am×n é definida como uma função cujo domínio é o conjunto de todos os pares de números inteiros (i, j) tais que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. E os valores que a função pode assumir são dados pelos elementos aij.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Essa operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas.

Sejam duas matrizes Am×n e Bm×n. Então a matriz R = A ± B é uma matriz m×n tal que cada elemento de R é dado por:

rij = aij ± bij .

Exemplo:

=

+

7 8 3

9 4 6

4 5 2

1 4 2

3 3 1

8 0 4

MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR

NESSA OPERAÇÃO, TODOS OS ELEMENTOS DA MATRIZ SÃO MULTIPLICADOS PELO ESCALAR. SE AM×N É UMA

MATRIZ QUALQUER E C É UM ESCALAR QUALQUER,

P = c A é uma matriz m×n tal que

pij = c aij

Exemplo:

=

6 6 2

4 0 8

3 3 1

2 0 42x

ALGUMAS PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E DE MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR

Sejam as matrizes A e B, ambas m×n, e os escalares a e b.

• a (bA) = ab (A)

• a (A + B) = aA + aB

• se aA = aB, então A = B

Matrizes nulas, quadradas, unitárias, diagonais e simétricas

Uma matriz m×n é dita matriz nula se todos os elemen-tos são iguais a zero. Geralmente simbolizada por Om×n.

Assim, Oij = 0

Exemplo:

=

000

0 0 0O3x2

Matriz quadrada é a matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas. Portanto, se Am×n é quadrada, m = n. Pode-se então dizer que A é uma matriz m×m ou n×n.

Matriz unitária In (ou matriz identidade) é uma matriz quadrada n×n tal que

Iij = 1 se i = j e Iij = 0 se i ≠ j.

Exemplo:

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I3

Uma matriz quadrada An×n é dita matriz diagonal se

aij = 0 para i ≠ j

Exemplo:

=

8 0 0

0 5 0

0 0 3-

A3x3

A matriz unitária é, portanto, uma matriz diagonal com os elementos não nulos iguais a 1.

Uma matriz quadrada An×n é dita matriz simétrica se

a i j = a j i Exemplo:

=

2 6 9

6 4 7

9 7 3

A3x3

Multiplicação de matrizes

Sejam Am×p e Bp×n, isto é, duas matrizes tais que o nú-

mero de colunas da primeira (p) é igual ao número de linhas da segunda (p).

O produto C = AB é uma matriz m×n (Cm×n) tal que cij = ∑k=1,p aik bkj

=

3 1 1

5 0 4A

=

0 1

5 2

2 1

B

==

7 6

8 9 AB C

No exemplo acima,os cálculos são:

c11 = 4.1 + 0.2 + 5.1 = 9



c12 = 4.2 + 0.5 + 5.0 = 8

c21 = 1.1 + 1.2 + 3.1 = 6

c22 = 1.2 + 1.5 + 3.0 = 7 Na linguagem prática, pode-se dizer que se toma a pri-

meira linha de A e se multiplica pela primeira coluna de B (a soma é a primeira linha e primeira coluna da matriz do produ-to). Depois, a primeira linha de A pela segunda coluna de B. Depois, a segunda linha de A pela primeira coluna de B e assim sucessivamente.

Ordem dos fatores

Notar que, segundo a definição anterior de produto, só é possível calcular AB e BA se A e B são matrizes quadradas.

=

2 1

1 1A

=

1 1

2 2B

=

4 4

3 3 AB

Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fa-

tores não é indiferente. Em geral, AB ≠ BA. Veja exemplo:

=

1 1

2 2B

=

2 1

1 1A

=

3 2

8 4BA

Isso significa que nem sempre ocorre a propriedade co-

mutativa. Se AB = BA, as matrizes A e B são denominadas

comutativas.

Algumas propriedades do produto de matrizes

Sejam as matrizes A, B e C.

1) Se os produtos A (BC) e (AB) C são possíveis de cálculo, então A (BC) = (AB) C

2) Se os produtos AC e BC são possíveis, então

(A + B) C = AC + BC 3) Se os produtos CA e CB são possíveis, então C (A + B) = CA + CB

4) Se Ip é a matriz unitária p×p conforme visto em página anterior, então valem as relações:

Ip Ap×n = Ap×n Bm×p Ip = Bm×p

Potências de matrizes

Seja A uma matriz quadrada e n um inteiro n≥1. As rela-ções básicas de potências são:

A0 = I

An = A An−1

Transposição de matrizes

Seja uma matriz Am×n. A matriz transposta de A, usu-

almente simbolizada por AT, é uma matriz n×m tal que aTij = aji para 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m

Na prática, as linhas de uma são as colunas da outra. Exemplo:

=6 5 4

3 2 1

T

6 3

5 2

4 1

Algumas propriedades da transposição de matri-zes (AT)T = A (A + B)T = AT + BT (kA)T = k AT (AB)T = BT AT Se A = AT, então A é simétrica det(AT) = det(A)

Matriz inversa

Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A, usualmente simbolizada por A−1, é uma matriz também qua-drada tal que A A− 1 = A− 1 A = I

Ou seja, o produto de ambas é a matriz unitária (ou ma-triz identidade).

Nem toda matriz quadrada admite uma matriz inversa. Se a matriz não possui inversa, ela é dita matriz singular. Se a inversa é possível, ela é uma matriz não singular.

Algumas propriedades das matrizes inversas (A− 1)− 1 = A (AB)− 1 = B− 1 A− 1 (AT)− 1 = (A− 1)T



Matriz ortogonal é uma matriz quadrada cuja transpos-ta é igual á sua inversa. Portanto, A AA AA AA ATTTT = A= A= A= ATTTT A = IA = IA = IA = I

Determinando a matriz inversa

Neste tópico são dados os passos para a determinação da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan.

Seja a matriz da abaixo, cuja inversa se deseja saber.

2 3 2

1 1 1

1 1 2

O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no la-do direito conforme abaixo:

1 0 0 2 3 2

0 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 2

O objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquer-do. Notar que esses escalares não são elementos da matriz. Devem ser escolhidos de acordo com o resultado desejado.

1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1.

Com essa operação, consegue-se 1 no elemento 11 (pri-meira linha, primeira columa) da matriz esquerda.

1 0 0 2 3 2

0 1 0 1 1 1

0 1- 1 0 0 1

Os elementos 12 e 13 tornaram-se nulos, mas é apenas uma coincidência. Em geral isso não ocorre logo na primeira operação.



1 2 2- 2 3 0

0 2 1- 1 1 0

0 1- 1 0 0 1

Com as operações acima, os elementos 21 e 22 torna-ram-se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária.


1 4- 1 1- 0 0

0 2 1- 1 1 0

0 1- 1 0 0 1

Essa operação formou a segunda coluna da matriz iden-tidade.

3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1.

Multiplicação executada para fazer 1 no elemento 33 da matriz esquerda.

1- 4 1- 1 0 0

0 2 1- 1 1 0

0 1- 1 0 0 1


Essa operação forma a terceira e última coluna da dese-jada matriz identidade no lado esquerdo.

1- 4 1- 1 0 0

1 2- 0 0 1 0

0 1- 1 0 0 1

E a matriz inversa é a parte da direita.

1- 4 1-

1 2- 0

0 1- 1

É claro que há outros métodos para a finalidade. Para matrizes 2x2, uma fórmula rápida é dada na Figura 08A (det = determinante.

Se

=

d c

b aA ,

então A−1 = ( 1 / det(A) ) =

a c-

b- d

Obs: o método de Gauss-Jordan pode ser usado também para resolver um sistema de equações lineares. Nesse caso, a matriz inicial (Figura 01) é a matriz dos coeficientes e a matriz a acrescentar é a matriz dos termos independentes.

Seja o sistema de equações:

2x − 5y + 4z = −3

x − 2y + z = 5

x − 4y + 6z = 10 Monta-se a matriz conforme abaixo:



10 6 4- 1

5 1 2- 1

3- 4 5- 2

Usando procedimento similar ao anterior, obtém-se a ma-triz unitária:

31 1 0 0

75 0 1 0

124 0 0 1

E a solução do sistema é: x = 124 y = 75 z = 31.

Fonte: http://www.mspc.eng.br

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