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RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos

IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) – LISTA 5 1

MATRIZES E DETERMINANTES – LISTA 5

RESUMO TEÓRICO

Matriz real

Sejam m 1 e n 1 dois números inteiros.

Uma matriz real de ordem m n é um conjunto de m n

números reais, distribuídos em m linhas e n colunas, formando

uma tabela que se indica em geral por

nmmnmj3m2m1m

inij3i2i1i

n2j2232221

n1j1131211

a...a...aaa

.....................

a...a...aaa

.....................

a...a...aaa

a...a...aaa

nmmnmj3m2m1m

inij3i2i1i

n2j2232221

n1j1131211

a...a...aaa

.....................

a...a...aaa

.....................

a...a...aaa

a...a...aaa

j-ésima coluna

i-ésima linha

ou ijm n

a

Observações:

1. Cada um dos números reais ija de uma matriz

ijm m

A a

é chamado elemento, entrada ou termo da matriz

A. O termo ija é o termo geral de A.

2. Se ijm m

A a

é uma matriz, então:

A é chamada matriz quadrada de ordem n se, e somente

se, m n .

A é chamada matriz retangular se, e somente se, m n .

A é chamada matriz linha se, e somente se, m 1 e

matriz coluna se, e somente se, n 1 .

3. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, então definimos:

diagonal principal de A: é a seqüência de termos da

matriz A que apresentam mesmos índices, ou seja,

ij 11 22 33 nna / i j a ,a ,a ,...,a ;

diagonal secundária de A: é a seqüência de termos da matriz

A tais que a soma de seus índices é igual a n 1 , ou seja,

ija / i j n 1

1,n 2,n 1 3,n 2 n,1a ,a ,a ,...,a .

nnnn2n1n

n22221

n11211

a...aa

............

a...aa

a...aa

nnnn2n1n

n22221

n11211

a...aa

............

a...aa

a...aa

diagonal secundária diagonal principal

Matriz transposta

Seja ij m nA a M R . A matriz transposta de A, indicada

por tA (ou A’), é a matriz tn m ijA (b ) , onde ij ijb a ,

i 1,2,3,...,n e j 1,2,3,...,m .

Em outras palavras, denominamos matriz transposta de A à

matriz n m cujas colunas coincidem ordenadamente com as

linhas de A.

Determinantes

Só se calcula determinante de uma matriz A se essa for

quadrada. Vamos às regras práticas:

Regras práticas para o cálculo dos determinantes

Como a definição de determinantes é de difícil compreensão

para o leitor, o uso de algumas regras práticas para o cálculo

dos determinantes de ordem n n e n 2N é feito.

Determinante de ordem 2

211222112221

1211a.aa.a

aa

aadet

Determinante de ordem 3 (Regra de Sarrus)

3231333231

2221232221

1211131211

333231

232221

131211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaa

aaa

aaa

det

3231333231

2221232221

1211131211

333231

232221

131211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaa

aaa

aaa

det

11 22 33 12 23 31 13 21 32a .a .a a .a .a a .a .a

13 22 31 11 23 32 12 21 33a .a .a a .a .a a .a .a .



Algumas propriedades dos determinantes

Seja ijnxn

M a uma matriz real quadrada de ordem n,

n *N . Assim, valem as propriedades a seguir.

Propriedades:

1) Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de M

forem nulos, então det M 0 .

2) Se a matriz M tiver duas linhas iguais (ou duas colunas

iguais), então det M 0 .

3) Se a matriz M tiver duas linhas proporcionais (ou duas

colunas proporcionais), então det M 0 .

4) Seja N uma matriz obtida a partir de uma matriz M apenas

trocando de posição, entre si, duas linhas (ou duas colunas)

de M. Então det N detM .

5) Seja N uma matriz obtida a partir de uma matriz M apenas

multiplicando-se uma das linhas (ou uma das colunas) de

M por R . Então det N .detM .

6) Seja N uma matriz e R tal que N M . Então

ndet M det M , onde n é a ordem da matriz M.

7) Seja Mt a matriz transposta de M. Então tdetM det M .

EXERCÍCIOS

1. Indicar explicitamente os elementos da matriz

ij 3x3A a tal que ija 2i j .

2. Dadas 1 4 7

A3 9 6

,

6 14 8B

18 10 16

, calcular:

a) A B

b) B

3A2

3. (ESAF/MPU) A matriz ijS s , de terceira ordem, é a

matriz resultante da soma das matrizes ijA (a ) e

ijB (b ) . Sabendo-se que 2 2

ija i j e que j

ijb i , então

a razão entre os elementos 22s e 12s da matriz S é igual a

a) 1

b) 3

c) 4

d) 2

e) 6

4. Calcular:

a)

1 11 5 2

2 31 4 7

3 0

b) Se 4 7

A2 3

, calcule 2A .

5. (ESAF/CGU) Sejam as matrizes

1 4

A 2 6

3 3

e

1 3 4 5B

1 2 3 4

e seja ijx o elemento genérico de uma

matriz X tal que tX (A.B) , isto é, a matriz X é a matriz

transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão

entre 31x e 12x é igual a

a) 2

b) 1/2

c) 3

d) 1/3

e) 1

6. Calcule os seguintes determinantes:

a) 13 7

11 5

b)

3 1 7

2 1 3

5 4 2



7. (CESPE) Com relação à álgebra linear, julgue o item

abaixo.

Se uma matriz quadrada A = ija tem dimensão 3 x 3 e é tal

que 1, ,ij ija sei j e a i j se i j , então o determinante

de A é um número estritamente positivo.

8. Determine a matriz inversa de 2 1

A5 4

9. (ESAF/AFC) Considerando-se as matrizes 2 4

A3 1

e

1 1B

1 2

, a soma dos elementos da diagonal principal da

matriz D, definida como o produto da matriz transposta de A

pela matriz inversa de B, é igual a:

a) 10

b) 2

c) 1

d) 2

e) 10

10. Calcule os seguintes determinantes

a)

1 1 2 5

2 7 3 4

0 1 0 0

2 7 3 4

b)

2 3 4 10

1 1 0 5

3 1 3 15

1 0 0 5

c)

2 3 0 1

1 1 0 2

0 3 0 1

1 0 4

11. (ESAF/SEFAZ-SP) O determinante de uma matriz 3x3 é

igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1a linha por

2 e os três elementos da 2a coluna por -1, o determinante será:

a) 2x

b) 22x

c) 2x

d) 2x

e) 24x

12. (ESAF/MPOG) Uma matriz X de quinta ordem possui

determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se

todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o

determinante da matriz B é igual a:

a) 610

b) 510

c) 1010

d) 610

e) 310

13. (ESAF/MPU) Considere as matrizes

1 2 3

X 2 4 6

5 3 7

e

a 2 3

Y 2 b 6

5 3 c

onde os elementos a, b e c são números

naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto

das matrizes X e Y é igual a:

a) 0

b) a

c) a b c

d) a b

e) a c

14. (ESAF/MPOG) A transposta de uma matriz qualquer é

aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se

que uma matriz quadrada de segunda ordem possui

determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua

matriz transposta é igual a:

a) -2

b) -1/2

c) 4

d) 8

e) 10

15. (ESAF/AFC-STN) Considere duas matrizes quadradas de

terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira

colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à

segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o

determinante de A é igual a 3x , então o produto entre os

determinantes das matrizes A e B é igual a:

a) 6x

b) 6x

c) 3x

d) 1

e) 1

16. (ESAF/MPOG) O menor complementar de um elemento

genérico ijx de uma matriz X é o determinante que se obtém

suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se

localiza. Uma matriz ijY y , de terceira ordem, é a matriz

resultante da soma das matrizes ijA a e ijB b . Sabendo-

se que 2

ija i j e que 2

ijb i , então o menor

complementar do elemento 23y é igual a:

a) 0

b) -8

c) -80

d) 8

e) 80



17. (ESAF/Receita Federal) Seja uma matriz quadrada 4 por

4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz

por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por

-3, o determinante da matriz fica:

a) Multiplicado por -1.

b) Multiplicado por 16

81

c) Multiplicado por 2

3

d) Multiplicado por 16

81

e) Multiplicado por 2

3

18. (ESAF/AFC) De forma generalizada, qualquer elemento

de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i

representa a linha e j a coluna em que esse elemento se

localiza. Uma matriz ijS s , de terceira ordem, é a matriz

resultante da soma entre as matrizes ijA a e ijB b , ou

seja, S A B . Sabendo-se que 2 2ija i j e que

2

ijb i j , então a soma dos elementos da primeira linha da

matriz S é igual a:

a) 17

b) 29

c) 34

d) 46

e) 58

19. (ESAF/ANA) O determinante da matriz

2 1 0

4 2

B a b c

a b c

é:

a) 0

b) 2b - c

c) a + b + c

d) 6 + a + b + c

e) 2bc + c - a

20. (ESAF/CGU) Genericamente, qualquer elemento de uma

matriz M pode ser representado por ijm , onde "i" representa a

linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma

matriz X = ijx , de terceira ordem, é a matriz resultante da

soma das matrizes A = ( ija ) e B=( ijb ). Sabendo-se que

2ija i e que

2

ijb i j , então o produto dos elementos

31x e 13x é igual a:

a) 16

b) 18

c) 26

d) 65

e) 169

21. (ESAF/MPU)

O determinante da matriz X =

2 2 0

0

0 0 5

0 0 0 6

b

a a a

b

onde a e b são inteiros positivos tais que a >1 e b >1, é igual a

a) - 60a.

b) 0.

c) 60a.

d) 20ba2

e) a(b-60).

22. (ESAF/MPU) Sabendo-se que a matriz 1 1

0 1

A e que

n e 1n então o determinante da matriz 1n nA A

é igual a:

a) 1

b) -1

c) 0

d) n

e) n - 1

23. (CESGRANRIO/Petrobrás) Considere as três matrizes

abaixo.

1 2 3 0 1; ;

2 2 3 0 1A B C

Pode-se afirmar que

a) não é possível somar as matrizes B e C.

b) a matriz B é simétrica.

c) a matriz C é uma matriz identidade.

d) a matriz C é a inversa de B.

e) o produto de matrizes BA é igual a 8

8

24. (ACEP/BNB) Simbolizemos por 1 2 3,P P e P insumos

produzidos em três fábricas 1 2 3,F F e F . Na matriz M abaixo,

a entrada na i-ésima linha e na j-ésima coluna indica o custo

unitário em reais do produto Pj na fábrica Fi, onde i e j variam

no conjunto {1, 2, 3}:

0, 60 , 075 1, 20

0, 40 0, 45 0, 60

0,80 0, 50 1, 00

M

A quantidade total de unidades dos insumos de modo que os

custos totais nas fábricas 1 2 3,F F e F sejam, respectivamente,

de R$ 360,00, R$ 200,00 e R$ 290,00 é de:

a) 150

b) 200

c) 400

d) 580

e) 850



25. ( ESAF/MTE) Seja y um ângulo medido em graus tal que

0º 180ºy com 90ºy . Ao multiplicarmos a matriz

abaixo por a, sendo a 0, qual o determinante da matriz

resultante?

1 1

1

cos cos

tgy

a tgy

y sen y y

a) cosa y

b) 2a tg y

c) a sen y

d) 0

e) a sen y

26. A soma de todos os elementos da matriz ijA a , 2 2 ,

definida por ija 3i 2j 1 , é igual a:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

27. (UFBA) Se 4 1

P2 3

e

3 2Q

5 4

, a matriz

transposta de P 2Q é:

a) 10 8

3 11

b) 2 12

5 5

c) 1 7

1 1

d) 2 8

5 5

e) 10 11

3 8

28. (FGV) Dadas as matrizesx y

Az w

, x 6

B1 2w

e

4 x yC

z w 3

e sendo 3A B C , então

a) x y z w 11

b) x y z w 10

c) x y z w 0

d) x y z w 1

e) x y z w 11

29. (FGV) Considere as matrizes 2 3 1

A1 1 7

e

1 3

B 0 4

2 2

. A soma dos elementos da primeira linha de A.B é:

a) 20

b) 21

c) 22

d) 23

e) 24

30. (MACK) Se A é matriz 3 4 e B uma matriz n m, então:

a) existe A B se, e somente se, n 4 e m 3 ;

b) existe AB se, e somente se, n 4 e m 3 ;

c) existe AB e BA se, e somente se, n 4 e m 3 ;

d) existem, iguais, A B e B A se, e somente se,

A B ;

e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A B .

31. (UF VIÇOSA) Considere as matrizes:

1) A (aij), 3 4, definida por ija i j ;

2) B (bij), 4 3, definida por i jijb 2 ;

3) C (cij), C A B .

O elemento c32 é:

a) 7

b) 4

c) 2

d) 0

e) 2

32. (FUVEST) Considere as matrizes:

1) A (aij), 4 7, definida por ija i j ;

2) B (bij), 7 9, definida por ijb i ;

3) C (cij), C AB .

O elemento c63

a) é 112;

b) é 18;

c) é 9;

d) é 112;

e) não existe.

33. (CESGRANRIO) Se1 2

M0 1

e2 0

N1 1

, então

MN NM é:

a) 2 2

0 2

b) 0 0

0 0



c) 1 0

0 1

d) 4 2

1 1

e) 1 2

1 0

34. (PUC) Se 1 2

A4 3

, então 2A 2A 11I , onde

1 0I

0 1

, é igual a:

a) 1 2

0 0

b) 1 0

0 0

c) 0 0

0 0

d) 0 1

0 0

e) 0 1

1 0

35. (UF UBERLÂNDIA) Se a matriz A é igual a 1 2

2 3

,

então a matriz t 2(A ) é igual a:

a) 3 4

4 5

b) 3 4

4 5

c) 1 4

4 9

d) 3 4

4 5

e) 1

1

36. (PUC) São dadas as matrizes ijA a e ijB b ,

quadradas de ordem 2 com ija 3i 4j e ijb 4i 3j . Se

C A B , então 2C é igual a:

a) 1 0

0 1

b) 1 0

0 1

c) 0 1

1 0

d) 0 1

1 0

e) 1 1

1 1

37. (CESGRANRIO) Multiplicando 1 a 2 3

b 2 1 0

obtemos 4 3

2 0

. O produto dos elementos a e b da primeira

matriz é:

a) 2

b) 1

c) 0

d) 1

e) 6

38. (MACK) Dadas as matrizes a b 1

A1 1 a

e

1 1 0B

0 1 0

tais que t 3 4A.B

2 1

, então a e b valem,

respectivamente:

a) 7 e 4;

b) 7 e 3;

c) 6 e 4;

d) 6 e 3;

e) 2 e 2.

39. Dadas as matrizes 1 x

A1 1

e 0 1

B1 x

, podemos

verificar que a igualdade AB BA :

a) é válida x;

b) é válida se x 0 ;

c) é válida se x 1 ;

d) é válida só para x 1 ;

e) não se verifica para nenhum valor de x.

40. (MACK) Se A e B são matrizes tais que

2

A 1

x

e

1

B 2

1

. Então a matriz tY A .B será nula para:

a) x 0

b) x 1

c) x 2

d) x 3

e) x 4



41. (UNESP) Seja x um número real. Se as matrizes A, B e C

são escolhidas entre as listadas abaixo

(x 1) ,

1

1

x

, 2

x

, 1 0 1

0 x 0

e se AB C é uma matriz nula, então x é igual a

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

42. (FGV) Dadas as matrizes:

1 1A

2 3

e 4

B4

. A

matriz X tal que X AX B tem como soma de seus

elementos o valor

a) 2

b) 2

c) 0

d) 4

e) 4

43. (PUC) Se 1 3

A4 3

, uma matriz coluna

xX

y

, tal

que AX 3X , é:

a) 3

1

b) 3

2

c) 0

1

d) 2

1

e) 1

3

44. (UC SALVADOR) Se 0 1

A1 0

, 3 1

B2 1

e

1 0C

1 2

, então a matriz 2A B C é igual a:

a) 2 2

2 3

b) 4 1

3 1

c) 1 1

1 4

d) 3 1

3 0

e) 3 1

3 0

45. (UE) Dada a matriz mn 2 2A a

, onde n m

mna 2 , a

soma de todos os elementos que compõe a matriz 2A é igual a:

a) 81

4

b) 10

c) 9

d) 25

4

e) 6

46. (UC SALVADOR) Se A e B são matrizes de tipo 2 3,

qual das seguintes operações não pode ser efetuada?

a) A B

b) t tA B

c) y 2x

d) tB .A

e) A.B

47. (UF VIÇOSA) A matriz X, tal que AX B , onde

1 1A

2 1

e

21

3B

12

3

, é:

a)

1 0

X 1 1

3 3

b)

10

3X

11

3

c)

11

3X

10

3

d)

1 0

X 1 1

3 3

e)

11

3X

10

3

48. (SANTA CASA) Sejam as matrizes 1 2

A3 1

,

xB

y

e 2

C1

. A igualdade A B C é verdadeira se:

a) x y 2

b) x 2y

c) xy 0

d) y 2x

e) y x 2



49. (PUC) Sabendo que x y 3 5 1 0

z w 1 2 0 1

, o valor de

yz é:

a) 6

b) 5

c) 1

d) 5

e) 6

50. Sejam as matrizes

p 1M

3 1

e

2T

q

. Se M T é a

matriz nula 2 1 , então p q é igual a:

a) 12

b) 15

c) 16

d) 18

e) n.r.a.

51. (UFPR) Dada a equação matricial

x 2 0 1 4 8

1 3 2 3 y z

, o valor do produto xyz é igual a:

a) 80

b) 150

c) 120

d) 60

e) 32

52. (UFBA) x 8

M10 y

, y 6

N12 x 4

e

7 16P

23 13

são matrizes que satisfazem a igualdade 3 2

M N P2 3

; logo,

y x é:

a) 6

b) 4

c) 2

d) 3

e) 7

10

53. (FATEC) Sabe-se que as ordens das matrizes A, B e C

são, respectivamente, 3 r , 3 s e 2 t . Se a matriz

(A B) C é de ordem 3 4 , então r s t é igual a:

a) 6

b) 8

c) 10

d) 12

e) 14

54. (ABC) Ache 1 3 x

D2 4 y

.

a) x 3y

2x 4y

b) x 3y

2x 4y

c) x 3y

2x 4y

d) x 4y

3y 2x

e) [ 2xy]

55. (UFPA) Seja1 1 2

A2 1 1

e

1

B 0

1

,calcular A.B.

a) 1

1

b) 1

1

c) 1

1

d) 0 1 2

2 1 1

e) 0 1 2

2 1 1

56. (FATEC) Dadas as matrizes 0 1

A0 0

e 0 0

B0 1

,

conclui-se que a matriz:

a) AB é nula;

b) 2A é nula;

c) A B é nula;

d) BA é não nula;

e) 2B é nula.

57. (PUC) Dadas as matrizes 3 0

A1 4

e

2 1B

1 0

,

então AB BA é igual a:

a) 0 0

0 0

b) 1 7

9 1

c) 3 1

2 7

d) 1 0

0 1

e) 2 3

5 0



58. (CESPE) São matrizes respectivamente oposta e

transposta de 1 6 7

4 0 2

:

a) 1 6 7

4 0 2

e 4 0 2

1 6 7

;

b)

1 4

6 0

7 2

e 1 6 7

4 0 2

;

c) 1 6 7

4 0 2

e

1 4

6 0

7 2

;

d) 2 0 4

7 6 1

e

1 7 6

4 2 0

;

e)

7 2

6 0

1 4

e

2 7

0 6

4 1

.

59. (CESPE) A matriz oposta da matriz 2 2 , definida por

ij

ij

a i 2j, i j

a i 2j, i j

é:

a) 1 5

4 2

b) 1 4

5 2

c) 2 4

5 1

d) 1 5

4 2

e) 5 1

4 2

60. (UFT) Sea b 1 1 0 0

2.c 1 2 d 0 0

, os valores de a,

b, c e d, nessa ordem, são:

a) 1 , 1, 2 e 1

2;

b) 2 , 2, 4 e 1

2 ;

c) 2 , 2, 4 e 2;

d) 2, 2 , 4 e 2 .

61. (UFT) Seja A uma matriz de ordem m n e B uma matriz

de ordem r s . Para que o produto A B exista é necessário

que:

a) m r

b) n r

c) m s

d) n s e m r

62. (UDF) Se A é uma matriz do tipo 2 3 e AB é do tipo

2 5 , então B é uma matriz do tipo:

a) 2 5

b) 3 3

c) 5 3

d) 3 5

63. (CESGRANRIO) O sistema 2x 3y 1

x y 2

tem

representação matricial:

a) 2 1 x 1

1 3 y 2

b) 2 1 x 2

3 1 y 1

c) 2 1 2 x

3 1 1 y

d) 2 3 2 x

1 1 1 y

e) 2 3 x 1

1 1 y 2

64. (FC CHAGAS) A matriz transposta da matriz quadrada

ijA a de ordem 2 com j

ija i 2 , 1 i 2 , 1 j 2 , é:

a) 2 4

4 6

b) 3 4

4 6

c) 3 4

3 6

d) 3 3

6 4

e) 2 3

4 6

65. (MACK) Sendo 1 2 1

A0 1 2

,

2 1B

1 0

e tA a

matriz transposta de A, então o valor de tA .B é:

a)

3 1

2 2

0 1

b)

2 1

3 2

0 1

c)

2 1

3 2

0 1



d)

0 2

2 1

3 1

e)

1 0

2 1

1 2

66. (PUC) Se 2 3 a 4

1 5 b 11

, então a matriz

a

b

é:

a) 1

2

b) 1

4

c) 1

2

d) 10

11

e) 4

11

67. (MACK) A é uma matriz m n e B é uma matriz m p . A

afirmação falsa é:

a) A B existe se, e somente se, n p .

b) tA A implica m n ( tA transposta de A).

c) A.B existe se, e somente se, n p .

d) tA B existe se, e somente se, n p .

e) tA B sempre existe.

68. (PUC) Dadas as matrizes X 2 2 2 e

2

Y 2

2

, o

determinante da matriz produto X Y vale:

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 12

69. (VUNESP) Se o determinante de uma matriz quadrada A,

de ordem 3, é 5, então o determinante da matriz 4A é igual a:

a) 320

b) 100

c) 60

d) 15

e) 5

70. (MACKENZIE) O valor de um determinante é 42. Se

dividirmos a primeira linha por 7 e multiplicarmos a primeira

coluna por 3, o valor do novo determinante será:

a) 2

b) 14

c) 18

d) 21

e) 42

71. (VIÇOSA) A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e

B c A , sendo c um número real não nulo. Se o

determinante de A é 3 e o determinante da transposta de B é

81, então o valor de c é:

a) 6

b) 2

c) 3

d) 5

e) 4

72. (UFGO) Qual o valor de um determinante de quarta

ordem, sabendo-se que multiplicando duas de suas linhas por 3

e dividindo suas colunas por 2 obtém-se o número 27?

a) 243/16

b) 18

c) 6

d) 48

e) 27

73. (CESPE/SEDU-ES) O Imposto sobre a Propriedade de

Veículos Automotores (IPVA), de competência dos estados

e do Distrito Federal, foi instituído em substituição à Taxa

Rodoviária Única (TRU), cobrada anualmente no

licenciamento dos veículos. A tabela abaixo mostra,

hipoteticamente, valores do IPVA, a serem pagos em 2008,

para alguns veículos de acordo com ano de fabricação e

marca.

Considere a matriz M, 4 × 4, em que o elemento da i-

ésima linha e j-ésima coluna é o valor do IPVA a ser

recolhido pelo proprietário do veículo de marca Ai

fabricado no ano 200j.

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

1 Considere que a despesa de uma empresa com o pagamento

de IPVA de seus veículos no ano de 2008 é igual a R$

1.270,36 e que ela possua 2 veículos da marca 2A , um

fabricado em 2002 e o outro, em 2003. Nessa situação, é

possível que essa empresa possua mais de um veículo de

marca 3A .



2 Considere que todos os veículos de uma empresa são da

marca 4A : 2 fabricados em 2002, 1 em 2003 e 3 em 2004.

Nessa situação, o valor da despesa dessa empresa com o IPVA

de seus veículos, no ano de 2008, corresponde ao elemento

4,1a obtido ao se multiplicar a matriz M pela transposta da

matriz [0 2 1 3].

GABARITO

1.

1 0 1

3 2 1

5 4 3

2. a) 5 18 15

15 19 22

e b) 6 5 17

18 22 10

3. D

4. a) 5 14

14 13

e b) 30 49

14 23

5. A

6.

1 3

5 9

7 11

7. E

8. 1 4 1A

5 2

9. B

10. a) 0 b) 0 c) 0

11. C

12. D

13. A

14. D

15. B

16. C

17. E

18. D

19. A

20. D

21. A

22. C

23. E

24. C

25. D

26. C

27. B

28. B

29. E

30. C

31. C

32. E

33. A

34. C

35. A

36. B

37. C

38. A

39. E

40. E

41. A

42. B

43. B

44. D

45. C

46. E

47. C

48. C

49. D

50. D

51. C

52. B

53. B

54. A

55. A

56. B

57. B

58. C

59. D

60. B

61. B

62. D

63. E

64. C

65. B

66. A

67. C

68. E

69. A

70. C

71. C

72. D

73. C C

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