raciocÍnio lÓgico

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Raciocínio Lógico Sua Melhor Escolha em Concursos Públicos 1 Raciocínio Lógico LÓGICA PROPOSICIONAL: PROPOSIÇÃO São os significados expressos pelas sentenças declarativas (aquel as que podem ser avaliadas como verdadeiras ou falsas). Ex.: 1- A terra é redonda. 2- Luís não é dentista. Estas são as únicas que interessam à lógica, pois as demais não interessam, como por exemplo: 1- As sentenças imperativas “ faça silêncio”. 2- As sentenças interrogativa “ o que deseja”. 3- As sentenças exclamativas “ como o dia está lindo”. Pois estas não se prestam à elaboração de argumentos, que é o objetivo principal da lógica clássica. PROPOSIÇÃO SIMPLES OU ATÔMICA: É a que não contém nenhuma outra: “ o elefante é um mamífero”. PROPOSIÃO COMPOSTA OU MOLECULAR: É a que contém uma ou mais proposições como parte de si mesma: “Marcelo é médico e professor” é formada por duas proposições simples: “Marcelo é médico” e “Marcelo é professor”. Curiosidade: “Hoje não é feriado”, também é composta, pois contém em si uma outra proposição: “Hoje é feriado”. As proposições compostas apresentam determinadas expressões, às quais denominamos de operadores lógicos ou conectivos. Exemplos de operadores lógicos ou conectivos: “não (~)”, “e ( ^ )”, “ou (v)”, “ se ...então ( ) e “ se e somente se ( )”. ARGUMENTO: É uma seqüência de proposições, na qual uma das proposições, denominada conclusão, é afirmada como conseqüência das demais proposições, denominadas de premissas. Desta forma, todo argumento é composto de ao menos uma premissa e uma conclusão. Ao processo pelo qual de determinadas premissas chega-se a uma conclusão dá-se o nome de inferência lógica. Exemplo de argumento: “Meu avô é calvo. Meu pai é calvo. Eu sou calvo. A calvície é genética. Portanto, meu filho também será calvo”. Obs.: Este argumento é composto de cinco proposições, onde as quatro primeiras são as premissas e a quinta é a conclusão. ARGUMENTOS DEDUTIVOS: É quando a conclusão é uma conseqüência lógica das premissas. Ex.: Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. Logo, Sócrates é mortal. Ou seja, se em um argumento dedutivo é impossível que a conclusão seja falsa se as premissas sejam verdadeiras, então se trata de um argumento válido. Do contrário, sendo possível ter premissas verdadei ras e conclusão falsa, diz- se que o argumento é inválido. Outro exemplo de argumento válido: Todo ex-jogador de futebol é japonês. Pelé é ex-jogador de futebol. Logo, Pelé é japonês. Obs.: não nos importam as veracidades das premissas no mundo real, mas sim a coerência da conclusão. A conclusão é falsa no mundo real, porém o argumento é válido. Exemplo de argumento inválido: Se os gatos são pássaros, então são capazes de voar. Os gatos não são pássaros. Logo, os gatos não são capazes de voar. Obs.: A conclusão é verdadeira, porém o argumento é inválido. Iremos em um outro momento estudar dois processos para provar a validade de um argumento: Um, mediante o uso da tabela-verdade, e outro pelo método de dedução natural. ARGUMENTOS INDUTIVOS: O argumento indutivo parte do específico para o geral. Ex.: Cada um dos chipanzés que observei, adora bananas. Logo, todos os chipanzés que existem adoram bananas. Obs.: As premissa não nos dão com precisão uma determinada conclusão, pois não sabemos se existem ou não chipanzés que não gostem de banana. OPERADORES LÓGICOS VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO: Se uma proposição é verdadeira, dizemos que seu valor lógico é a verdade, e se a proposição é falsa, seu valo lógico será a falsidade. OPERADOR “não” ( ~): É utilizado para formar a negação de uma proposição. Ex.: p: Isabel tem olhos azuis. ~p: Izabel não tem olhos azuis. Logo, se uma proposição é verdadeira, sua negação será falsa, e vice-versa.[

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Page 1: RACIOCÍNIO LÓGICO

Raciocínio Lógico

Sua Melhor Escolha em Concursos Públicos 1

Raciocínio Lógico

LÓGICA PROPOSICIONAL:

PROPOSIÇÃO São os significados expressos pelas sentenças

declarativas (aquel as que podem ser avaliadas como verdadeiras ou falsas). Ex.: 1- A terra é redonda. 2- Luís não é dentista.

Estas são as únicas que interessam à lógica, pois as demais não interessam, como por exemplo:

1- As sentenças imperativas “ faça silêncio”. 2- As sentenças interrogativa “ o que deseja”. 3- As sentenças exclamativas “ como o dia está

lindo”. Pois estas não se prestam à elaboração de argumentos,

que é o objetivo principal da lógica clássica. PROPOSIÇÃO SIMPLES OU ATÔMICA:

É a que não contém nenhuma outra: “ o elefante é um mamífero”. PROPOSIÃO COMPOSTA OU MOLECULAR: É a que contém uma ou mais proposições como parte de si mesma: “Marcelo é médico e professor” é formada por duas proposições simples: “Marcelo é médico” e “Marcelo é professor”. Curiosidade: “Hoje não é feriado”, também é composta, pois contém em si uma outra proposição: “Hoje é feriado”.

As proposições compostas apresentam determinadas expressões, às quais denominamos de operadores lógicos ou conectivos. Exemplos de operadores lógicos ou conectivos: “não (~)”, “e ( ^ )”, “ou (v)”, “ se ...então ( →) e “ se e somente se ( ↔ )”. ARGUMENTO: É uma seqüência de proposições, na qual uma das proposições, denominada conclusão, é afirmada como conseqüência das demais proposições, denominadas de premissas. Desta forma, todo argumento é composto de ao menos uma premissa e uma conclusão. Ao processo pelo qual de determinadas premissas chega-se a uma conclusão dá-se o nome de inferência lógica. Exemplo de argumento:

“Meu avô é calvo. Meu pai é calvo. Eu sou calvo. A calvície é genética. Portanto, meu filho também será calvo”. Obs.: Este argumento é composto de cinco proposições, onde as quatro primeiras são as premissas e a quinta é a conclusão. ARGUMENTOS DEDUTIVOS: É quando a conclusão é uma conseqüência lógica das premissas. Ex.: Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. Logo, Sócrates é mortal. Ou seja, se em um argumento dedutivo é impossível que a conclusão seja falsa se as premissas sejam verdadeiras, então se trata de um argumento válido. Do contrário, sendo possível ter premissas verdadei ras e conclusão falsa, diz-se que o argumento é inválido. Outro exemplo de argumento válido: Todo ex-jogador de futebol é japonês. Pelé é ex-jogador de futebol. Logo, Pelé é japonês. Obs.: não nos importam as veracidades das premissas no mundo real, mas sim a coerência da conclusão. A conclusão é falsa no mundo real, porém o argumento é válido.

Exemplo de argumento inválido: Se os gatos são pássaros, então são capazes de voar. Os gatos não são pássaros. Logo, os gatos não são capazes de voar. Obs.: A conclusão é verdadeira, porém o argumento é inválido. Iremos em um outro momento estudar dois processos para provar a validade de um argumento: Um, mediante o uso da tabela-verdade, e outro pelo método de dedução natural. ARGUMENTOS INDUTIVOS: O argumento indutivo parte do específico para o geral. Ex.: Cada um dos chipanzés que observei, adora bananas. Logo, todos os chipanzés que existem adoram bananas. Obs.: As premissa não nos dão com precisão uma determinada conclusão, pois não sabemos se existem ou não chipanzés que não gostem de banana. OPERADORES LÓGICOS VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO: Se uma proposição é verdadeira, dizemos que seu valor lógico é a verdade, e se a proposição é falsa, seu valo lógico será a falsidade.

OPERADOR “não” ( ~): É utilizado para formar a negação de uma proposição. Ex.: p: Isabel tem olhos azuis. ~p: Izabel não tem olhos azuis. Logo, se uma proposição é verdadeira, sua negação será falsa, e vice-versa.[

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TABELA-VERDADE P ~p V F F V

Obs.: ~( ~p ) e p possuem o mesmo valor lógico. Ex.: “Não é verdade que hoje não é feriado”, é equivalente à frase “hoje é feriado”. OPERADOR “e” ( ^ ): A proposição “sou alta e magra” é representada por p ^ q, a qual se denomina conjunção. A conjunção p ^ q somente será verdadeira quando tanto p quanto q forem verdadeiras. O valor lógico da conjunção de 2 proposições p e q é definida pela seguinte tabela verdade:

p Q p ^ q V V V V F F F V F F F F

OPERADOR “ou” inclusivo (v): Observe a frase: “ o seguro do meu carro cobre roubo ou avaria”, fica evidenciado que o seguro cobre tanto roubo como avaria, ou seja, o ou tem sentido inclusivo, equivalendo a e/ou. À proposição p v q dá-se o nome de disjunção inclusiva, ou simplesmente, disjunção. Obs.: a disjunção p v q somente será falsa quando ambas as proposições p e q forem falsas. O valor lógico da disjunção é definido pela seguinte tabela-verdade:

p Q p v q V V V V F V F V V F F F

OPERADOR “ou” EXCLUSIVO (v): Observe as proposições simples: p: Ênio é pianista. q: Ênio é flautista. A proposição p v q será: “ou Ênio é pianista ou flautista, mas não ambos”. À proposição p v q dá-se o nome de disjunção exclusiva. O valor lógico da disjunção exclusiva é definido pela seguinte tabela-verdade:

p Q p v q V V F V F V F V V F F F

OPERADOR “se... então” ( →). Observe as proposições: p: hoje é feriado. q: amanha irei à praia. A proposição p → q será: “ se hoje é feriado então amanhã irei à praia”. A proposição p → q é denominada condicional ou implicação.

A proposição que se encontra entre as palavras “se” e “então” é o antecedente, e a proposição colocada após o “então” é denominada conseqüente. Analisemos a seguinte situação verificando se José cumpriu ou não com sua palavra: José diz:”se sábado chover então ficarei estudando”.

a) Sábado choveu e José ficou estudando. b) Sábado choveu e José não ficou estudando. c) Sábado não choveu e José ficou estudando. d) Sábado não choveu e José não ficou estudando.

Observações: No condicional p→q, se p ocorre então q também ocorre, mas se p não ocorre, não temos certeza se q ocorre ou não. Por outro lado, se q não ocorre, podemos concluir que p necessariamente também não ocorre ( pois a ocorrência de p implica a ocorrência de q). Logo, p é condição suficiente para q, e q é condição necessária para p . O valor lógico do condicional p→q é definido pela seguinte tabela-verdade:

p Q p→ q V V V V F F F V V F F V

.OPERADOR “operador se e somente se” ( ↔): Sejam as proposições simples: p: “ a lua é um satélite”. q: “ a terra é um planeta”. A proposição p ↔ q será: “a lua é um satélite se e somente se a terra for um planeta”. A proposição p ↔ q, recebe o nome de bicondicional ou bi-implicação.

p Q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

Assim o bicondicional p ↔ q também pode ser lido como: p é condição necessária e suficiente para q. E q é condição necessária e suficiente para p. Analisemos um outro bicondicional: “três é um número par se e somente se o homem é imortal”. Como o antecedente como o conseqüente são falsos, o bicondicional é verdadeiro, pois F ↔ F = V. CAPÍTULO 2 ORDEM DE RESOLUÇÃO DOS CONECTIVOS: 1º) ~; 2º) ^; 3º) v; 4º) →→→→; 5º) ↔↔↔↔ VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA: É obtido a partir dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. Ex.: Determinar o valor lógico da proposição (p^q) →→→→ (~ p v q), sabendo-se que a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa. Resolução: (V ^ F) →→→→ (~V v F) = (V ^ F) →→→→ (F v F) = F →→→→ F = V

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CAPÍTULO 3 CONSTRUÇÃO DE TABELA-VERDADE A quantidade de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta irá depender do número de proposições simples que a compõem. Havendo “n” proposições simples, a tabela-verdade conterá “2n” linhas preenchidas com os valores lógicos V ou F. EXEMPLO: Construir a tabela-verdade da proposição (p ↔ ~ q) v p

P q ~q p ↔ ~ q

( p ↔ ~ q) v p

V V F F V V F V V V F V F V V F F V F F

TAUTOLOGIA: É a proposição composta cujo valo lógico é sempre a verdade, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a integram. Exemplo: José diz:”hoje é domingo ou hoje não é domingo”, ou seja, p v~ p, cuja tabela-verdade é:

p ~ p P v ~ p

V F V F V V

CONTRADIÇÃO: É a proposição composta cujo valor lógico é sempre a falsidade, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a integram. Ex.: “Hoje é domingo e hoje não é domingo”. Temos aqui, a seguinte contradição: p ^ ~ p, e sua tabela verdade é:

p ~p P^~ p V F F F V F

CONTINGÊNCIA: É a proposição composta que não é tautologia nem contradição. Ex.: ~ p v q Tabela –verdade

p q ~ p ~p v q V V F V V F F F F V V V F F V V

CAPÍTULO 4 EQUIVALÊNCIA LÓGICA (<=>)

Definição: Duas proposições são logicamente equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. Ex.:

Demonstrar que as proposições ~ (p → q) e p ^ ~q são equivalentes.

P q p → q ~(p →q) ~q p ^ ~q V V V F F F V F F V V V F V V F F F F F V F V F

Obs.: construímos a tabela-verdade de ambas as proposições em um único quadro.

EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS NOTÁVEIS

1 – Dupla negação: p <=> ~ ~p Ex.: “Hoje é domingo” é logicamente equivalente a “não é verdade que hoje não é domingo” 2 – Idempotência: a) p <=> p ^ P Ex.: Sílvio é professor e Sílvio é professor” Tabela-verdade

p p ^ p V V F F

b) p <=> p v p Ex.: Sílvio é professor ou Sílvio é professor” TABELA - VERDADE p p v p V V F F

3 – Comutação: p ^ q <=> q ^ p

“Pedro é médico e Marcela é dentista” é equivalente à proposição “Marcela é dentista e Pedro é médico”

Demonstração:

p q p ^ q q ^ p V V V V V F F F F V F F F F F F

a) p v q <=> q v p Ex.: “Ricardo é carioca ou Tiago é

paulista” é equivalente à proposição “Tiago é paulista ou Ricardo é carioca”

Demonstração:

p q p v q q v p V V V V V F V V F V V V F F F F

c) p ↔ q <=> q ↔ p

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Ex.: “José vai ao cinema se e somente se Helena vai ao teatro” equivalente a dizer: “Helena vai ao teatro se e somente se José vai ao cinema”.

Demonstração:

p q p ↔ q q ↔ p V V V V V F F F F V F F F F V V

4 – Associação:

a) p ^ (q ^ r) <=> (p ^q) ^ r b) p v (q v r)<=> (p v q) v r

5 – Distribuição:

a) p^ (q v r) <=> (p ^ q) v ( p ^ r) b) p v (q ^r) (p v q) ^(p v r)

Ex.: “Roberto é escritor, e Artur é médico ou dentista” é equivalente à proposição “Roberto é escritor e Artur é médico, ou Roberto é escritor e Artur é dentista”.

6 – Regras de De Morgan

a) ~ (p ^ q ) <=> ~ p v ~q Ex.: “Não é verdade que Paulo é dentista

e Maria é médica” é equivalente à proposição “Paulo não é dentista ou Maria não é médica”. Demonstração: p Q ~p ~q p ^q ~(p ^ q ) ~ p v ~q V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V F F V V F V V

b) ~(p v q) <=> ~ p ^ ~ q Ex.: “Não é verdade que Paulo é dentista ou Maria é médica” é equivalente a “Paulo não é dentista e Maria não é médica”.

Demonstração:

p Q ~p ~q p v q ~p ^ ~ q ~( p v q) V V F F V F F )V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V

7 – Implicação material: p → q <=> ~p v q “Se hoje é segunda-feira, então o clube está fechado” é logicamente equivalente à proposição: “Hoje não é segunda-feira ou o clube está fechado”. TABELA- VERDADE

p q p → q ~ p ~p v q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V

8 – Transposição: p → q <=> ~ q → ~ p

Ex.:“ Se hoje é segunda-feira, então o clube está fechado” equivale à “Se o clube não está fechado, então hoje não é segunda- feira. Demonstração:

p q p → q ~p ~q ~q → ~p V V V F F V V F F F V F F V V V F V F F V V V V

9 – Equivalência material:

a) p↔ q <=> (p → q) ^(q → p) b) p↔ q <=> (p ^q) v ( ~p^ ~q) Ex.: “Maurício está cuidando do bebê, se e

somente se Camila está viajando”, é equivalente às seguintes proposições: a) “Se Maurício está cuidando do bebê então

Camila está viajando, e se Camila está viajando então Maurício está cuidando do bebê”.

b) “Maurício está cuidando do bebê e Camila está viajando, ou Maurício não está cuidando do bebê e Camila não está viajando”.

CAPÍTULO 5 Validade de argumentos pelo método da

tabela-verdade. A partir de agora, ao escrever um argumento,

iremos separar as premissas da conclusão por um traço horizontal. As premissas ficam acima do traço, e a conclusão

logo abaixo, como no exemplo a seguir:

Se eu estudar bastante, então serei aprovado no exame. Estudei bastante. Logo, serei aprovado no exame. p → q p forma do argumento q ou forma de raciocínio obs.: Se a proposição p → q e a proposição p são

verdadeiras, conclui-se que a proposição q também é verdadeira. Este argumento válido de forma elementar é conhecido como Modus Ponens

Outro exemplo de argumento válido, mesmo

percebendo que as premissas e mesmo a conclusão sejam proposições falsas no mundo real:

Se os gatos são pássaros, então são capazes de voar. Os gatos são pássaros. Logo, os gatos são capazes de voar.

Abaixo segue um argumento inválido ainda que

haja premissa verdadeira e conclusão verdadeira: Se os gatos são pássaros, então são capazes de

voar. Os gatos não são pássaros.

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Raciocínio Lógico

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Logo, os gatos não são capazes de voar. O argumento acima tem a seguinte forma de

raciocínio: p → q ~p ~q Podemos então dizer que um argumento será

válido se e somente se sua forma de raciocínio for válida. Obs.: A um argumento inválido, dá-se o nome de

falácia ou sofismo.

Validade pelo método da tabela-verdade. Se pudermos provar que, a partir de um conjunto

de premissas verdadeiras, chegamos a uma conclusão falsa, então a forma de raciocínio será inválida. Por outro lado se ocorrer a situação em que, sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão também o for, então a forma de raciocínio será válida.

Exemplos: 1 – Analisemos a validade do primeiro argumento: Se eu estudar bastante, então serei aprovado

no exame. Ora, estudarei bastante. Logo, serei aprovado no exame Modus Ponens: Sendo:

p → q p : eu estudo bastante p q:sou aprovado no exame

q TABELA- VERDADE

2ª premissa Conclusão 1º premissa p q p → q V V V V F F F V V F F V

Argumento válido, pois na linha onde todas as premissas são verdadeiras o argumento também é verdadeiro.

2 – Testar a validade do seguinte argumento: Se as taxas de juros caem, então a economia do

País cresce. A economia do País cresceu. Logo, as taxas de juros caíram. Esse argumento tem a seguinte forma: p→q Sendo: q p: as taxas de

juros caem p q: a economia

do país cresce

TABELA – VERDADE Conclusão 2ª premissa 1ª premissa p q p → q V V V V F F F V V F F V

Na 1ª e 3ª Linhas, as premissas são verdadeiras,

mas a conclusão da 3ª linha é falsa. Logo estamos diante de um argumento inválido.

Este é um caso clássico de argumento inválido, denominado de falácia de afirmar o conseqüente.

3 – Verificar a validade do seguinte argumento: Se Alberto é alto, então Bernardo é gordo. Bernardo não é gordo. Logo, Alberto não é alto. Esse argumento tem a seguinte forma, conhecida

como Modus Tollens: p →q onde: ~q p = Alberto é alto ~ p q = Bernardo é gordo

TABELA – VERDADE Conclusã

o 2ª Premissa

1ª Premissa

p q ~p ~q p → q V V F F V V F F V F F V V F V F F V V V

Argumento válido, pois quando as premissas são

verdadeiras, a conclusão também o é.

4 – Analisemos a validade do argumento: Se Alberto é alto, então Bernardo é gordo. Alberto não é alto. Logo, Bernardo não é gordo. Esse argumento apresenta a seguinte forma: p → q onde: ~p p= Alberto é alto ~q q = Bernardo é gordo TABELA- VERDADE 1ª

Premissa

2ª Premissa

Conclusão

p q p → q ~p ~q V V V F F V F F F V F V V V F F F V V V

Argumento inválido, conhecido como falácia de negar o antecedente.

5 – Demonstre a validade do seguinte argumento,

conhecido como Silogismo Disjuntivo: p v q ~p q TABELA-VERDADE

Conclusão 1ª 2ª

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Premissa Premissa p q p v q ~p V V V F V F V F F V V V F F F V

Argumento válido, pois premissas verdadeiras, conclusão verdadeira, não há linhas onde as premissas são verdadeiras e conclusão falsa.

RESUMO SIGNIFICADO DE PALAVRAS E/OU EXPRESSÕES Proposição: É o significado expresso pelas sentenças

declarativas Argumento: É uma seqüência de proposições, na qual uma das proposições, denominada conclusão, é afirmada como conseqüência das demais proposições, denominadas de premissas. Interferência lógica: Processo pelo qual de determinadas premissas

chega-se a uma conclusão. Argumento dedutivo: É quando a conclusão é uma conseqüência

lógica das premissas. Argumento indutivo: É quando a conclusão parte do específico para

o geral. Implicação lógica: É quando na tabela-verdade, ocorrer “v” na proposição P, também ocorrer “v” na proposição q. Implicação material: É um enunciado falso, por ter antecedente verdadeiro e conseqüente falso. Tautologia: É a proposição composta cujo valor lógico é

sempre a verdade. Contradição: É a proposição composta cujo valor lógico é

sempre a falsidade. Contingências: É a proposição composta que não é tautologia

nem contradição. Equivalência lógica Duas proposições são logicamente equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. Ex.: ~ (p → q) <=> p ^ ~q

Falácia ou Sofismo: É o nome que se dá a um argumento inválido. Silogismo categórico:

É todo argumento constituído de três proposições (duas premissas e uma conclusão). Proposições categóricas: São as proposições que apresentam a seguinte

estrutura: Quantificador + termo sujeito + verbo ser + termo

predicado. Equivalências Lógicas Notáveis 1. Dupla negação: p <=> ~ ~ p 2. Idempotência: a) p <=> p ^ p b) p <=> p v p 3. Comutação: a) p ^ q <=> q ^ p b) p v q <=> q v p

c) p ↔ q <=> q ↔ p 4. Associação: a) p ^ (q ^ r) <=> ( p ^ q) ^ r b) p v (q v r) <=> ( p v q) v r 5. Distribuição: a) p ^ (q v r) <=> ( p ^ q ) v ( p ^ r) b) p v (q ^ r) <=> ( p v q) ^ (p v r) 6. Regras de De Morgan: a) ~ (p ^ q) <=> ~p v ~ q

b) ~ (p v q) <=> ~p ^ ~ q

7. Implicação Material: p → q <=> ~ p v q 8. Transposição: p → q <=> ~ q → ~ p 9. Equivalência Material: a) p ↔ q <=> ( p → q) ^ ( q → p) b) p ↔ q <=> (p ^ q ) v ( ~ p ^ ~ q)

LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

01 – INTRODUÇÃO A Lógica é uma ciência com características matemáticas, mas está fortemente ligada à Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar humano. Aristóteles, filósofo grego (384?-322a.C) em sua obra "Órganon", distribuída em oito volumes, foi o seu principal organizador. Através da Lógica pode-se avaliar a validade ou não de raciocínios que têm por base premissas (afirmações supostamente verdadeiras) iniciais.

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Raciocínio Lógico

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Os exemplos abaixo mostram desenvolvimento de raciocínios lógicos: Raciocínio I - (1ª premissa) Todo homem é mortal. (2ª premissa) Sócrates é mortal. Conclusão: Sócrates é homem. Raciocínio II- (1ª premissa) Todo homem é mortal. (2ª premissa) Sócrates é homem. Conclusão: Sócrates é mortal. À primeira vista, todos os dois raciocínios parecem verdadeiros. Entretanto, o primeiro é falso, pois: Sócrates pode perfeitamente ser o gatinho da minha vizinha. Já, o segundo raciocínio é universalmente verdadeiro. Quais são as regras para a validação de uma conclusão a partir de afirmações anteriores? Este é um dos principais objetivos deste curso. George Boole (1815-1864), em seu livro "A Análise Matemática da Lógica", estruturou os princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra Booleana. No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores, dando origem aos atuais computadores. Desde 1996, nos editais de concursos já inseriam o "Raciocínio Lógico" em suas provas. Hoje, a maioria dos concursos apresenta questões de Raciocínio Lógico, entre eles os concursos para Auditor-Fiscal e Técnico da Receita Federal, Fiscal do Trabalho, Analista e Técnico de Finanças e Controle, Tribunal de Contas da União (TCU) e Tribunais de Contas Estaduais, Especialista de Políticas Públicas e Gestão Governamental (MPOG), Analista de Planejamento e Orçamento (MPOG), Assistente de Chancelaria (MRE), Auditor de Tributos Estaduais e Municipais, Analista do Serpro, Analista e Técnico do MPU, Banco do Brasil, IBGE, Caixa Econômica Federal, Polícia Federal (Delegado, Perito, Escrivão, Agente e Papiloscopista). Pode, à primeira vista, parecer complexa a disciplina "Raciocínio Lógico". Entretanto, ela está ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mãos à obra. 02 - PROPOSIÇÕES São variadas as formas de se expressar. Vejamos algumas delas: (01) Feliz ano novo! (02) Chove. (03) Quando começam as férias? (04) x é maior que 27. (05) Três mais dois. (06) Paris é a capital da França. Todos os exemplos acima têm um significado, entretanto, apenas o exemplo cinco não apresenta sentido completo. O exemplo (5), por não ter um sentido completo é denominado EXPRESSÃO. Aos demais exemplos chamamos de SENTENÇAS. Define-se então:

sentença é uma forma de se expressar que apresenta um sentido completo. As sentenças que apresentam uma variável, como a de número 04 é denominada SENTENÇA ABERTA. Quando não existe a variável, a sentença é dita SENTENÇA FECHADA, como as apresentadas nos itens 01, 02, 03 e 06. Uma sentença fechada que permite um dos julgamentos falso ou verdadeiro é denominada PROPOSIÇÃO. Isto é: proposições são sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. 03 – OS PRINCÍPIOS OU AXIOMAS DA LÓGICA MATEMÁTICA OU FORMAL A Lógica Formal tem como base dois princípios ou axiomas: (1) Princípio da não contradição e (2) Princípio do terceiro excluído, que assim são enunciados: AXIOMA Nº 1 – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO “Uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, falsa e verdadeira.” AXIOMA Nº 2 – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa. Não acontecendo nunca uma terceira opção.” A seguir estão apresentados alguns exemplos: As proposições: (1) o número 21 é ímpar; (2) o inteiro 3 é menor que o inteiro 5, são verdadeiras. As proposições: (3) 5 está compreendido entre 9 e 15; (4) A Terra ilumina o Sol, são falsas. De acordo com os princípios acima, uma proposição, admite um e apenas um dos valores VERDADEIRO (V) ou FALSO (F). O julgamento F ou V atribuído à proposição é denominado valor lógico da proposição. Se “p” é uma proposição indicaremos V(p) o valor lógico da proposição “p”. Assim, V(p) = V se p for verdadeira ou V(p) = F se p for falsa. Considerando as proposições dos exemplos anteriores tem-se: V(p) = V(q) = V e V(r) = V(s) = F. 4 – PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas. Exemplos: (1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria é bonita: (3) r: 3 + 4 > 12.

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Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P. Exemplos: (4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita. (5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa. (6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5. (7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a.

5 – OS CONECTIVOS

Para se formar proposições compostas a partir de proposições simples são usadas palavras ou termos denominados conectivos.

Na Lógica Matemática, os conectivos usados são: - NEGAÇÃO: indicado por um dos símbolos ~ (til) ou c (cantoneira). Se p : A Lua é um satélite da Terra, a negação de p é:

~p ou cp que se lê “A Lua não é um satélite da Terra” ou “Não é verdade que a Lua é um satélite da Terra”. Encontra-se também a notação p' para representar a negação da proposição p.

A negação é também classificada, por convenção, como proposição composta. - CONJUNÇÃO: “e” - simbolizado por c. Sejam as proposições simples p: Chove e q: faz frio. A proposição composta P(p,q) formada a partir do conectivo c é

P: p c q que significa “chove e faz frio”. - DISJUNÇÃO: “ou” - simbolizado por c. Se p: 3 + 4 > 5 e q: 3 – 1 = 2, a composta P(p, q) formada ao usar o conectivo c é P: p c q, que se lê P: 3 + 4 > 5 ou 3 – 1 = 2. Na disjunção as duas proposições não são contraditórias. - DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: “ou” simbolizado por c . Na disjunção exclusiva, as duas proposições não podem

ocorrer ao mesmo tempo. Tomando por exemplo, as proposições p: Mário é mineiro e q: Mário é baiano, obtém-se a composta: P(p, q) = p c q que se traduz por Mário é mineiro ou Mário é baiano. Deve-se observar que Mário não pode ser mineiro e baiano ao mesmo tempo, por este motivo usa-se a disjunção exclusiva c e não a disjunção c. É costume na linguagem usual escrever: "Ou Mário é mineiro ou Mário é baiano". - CONDICIONAL: se...então... simbolizado por c. A partir das proposições simples p: A e B são dois ângulos opostos pelo vértice e q: A e B são iguais, obtém-se a composta: P(p, q) = p c q, que significa “se A e B são dois ângulos opostos pelo vértice então A e B são iguais” ao usar a condicional. - BICONDICIONAL ...se e somente se... simbolizado por c. Sejam p: chove e q: faz frio. A composta usando a bicondicional é P(P, q) = p c q, onde se lê: chove se e somente se faz frio.

PRINCÍPIOS DA LÓGICA

Foi Aristóteles que forneceu os princípios básicos da lógica, que são percebidos intuitivamente. Esses princípios são formais, pois não se referem aos objetos e nem aos conteúdos pensados, mas apenas dizem como devemos pensar. São as formas necessárias e universais do pensamento. Todos o seres humanos quando pensam seguem esses princípios. Eles são anteriores a qualquer raciocínio.

Princípio da identidade: Afirma A=A e não pode ser B, o que é, é. Parece estranho, mas não podemos pensar nada sem sua identidade. Uma árvore é uma árvore e não pode ser um cachorro. O pensamento só pode admitir a representação de coisas que possuem sua identidade. O triângulo tem três partes, nunca poderá ter quatro. Todo ser da natureza seja uma árvore, um animal, um objeto, um ser humano só pode ser representado e percebido pelo pensamento com sua identidade.

Princípio da não-contradição: A=A e nunca pode ser não-A, o que é, é e não pode ser sua negação, ou seja, o ser é, o não ser não é. Uma árvore é uma árvore e não pode ser não-árvore. Ou é uma árvore ou não é. É impossível que o quadrado tenha quatro partes e não tenha ao mesmo tempo. Que o triângulo tenha três partes e não tenha ao mesmo tempo. Sem o princípio de não-contradição não há o princípio de identidade.

Princípio do terceiro excluído: Afirma que Ou A é x ou A é y, não existe uma terceira possibilidade. “Ou este remédio cura a doença ou não cura a doença”; “Ou ele é

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bom, ou ele é mal”; “Ou este relógio funciona ou não funciona”; “Ou esta panela está quente ou está fria”. Uma idéia, um objeto, um sentimento pode ser isto ou aquilo, não a uma terceira possibilidade, somente há duas escolhas.

CONECTIVOS LÓGICOS

Conectivos lógicos são palavras usadas para conectar as proposições formando novas sentenças.

Os principais conectivos lógicos são:

CONJUNÇÃO

Conjunção é uma das dez classes de palavras definidas pela gramática. As conjunções são palavras invariáveis que servem para conectar orações ou dois termos de mesma função sintática, estabelecendo entre eles uma relação de dependência ou de simples coordenação.

São exemplos de conjunções: portanto, logo, pois, como, mas, e, embora, porque, entretanto, nem, quando, ora, que, porém, todavia, quer, contudo, seja, conforme.

Quando duas ou mais palavras exercem função de conjunção dá-se-lhes o nome de locução conjuntiva. São exemplos de locuções conjuntivas: à medida que, apesar de, a fim de que.

As conjunções são classificadas de acordo a relação de dependência sintática dos termos que ligam. Se conectarem orações ou termos pertencentes a um mesmo nível sintático, são ditas conjunções coordenativas.

Quando conectam duas orações que apresentem diferentes níveis sintáticos, ou seja, uma oração é um

membro sintático da outra, são chamadas de conjunções subordinativas.

Apesar de ser uma classe de palavras com muitas classificações, são poucas as conjunções propriamente ditas existentes. A maioria delas são na verdade locuções conjuntivas (mais de uma palavra com a função de conjunção) ou palavras de outras classes gramaticais que às vezes exercem a função de conjunção em um período.

As conjunções ditas "essenciais" (isto é, palavras que funcionam somente como conjunção) são as seguintes: e, nem, mas, porém, todavia, contudo, entretanto, ou, porque,pois, portanto, se, ora, apesar e como.

condicional

Significado de Condicional

adj. Que depende de certas condições: promessa condicional. Psicologia Estímulo condicional, qualquer sinal, como um repique, um toque de sino ou corneta, uma luz, que, depois de ter sido associado à apresentação de um estímulo incondicional, provoca por si mesmo uma reação (reflexo condicionado) no sujeito.

OPERADORES LÓGICOS

Através dos operadores lógicos Ù(conjunção) , Ú(disjunção) , ®(condicional) e «(bi-condicional), podemos combinar as proposições lógicas, formando as proposições compostas pÙq, pÚq, p®q, p«q. Observe que nos exemplos acima houve várias proposições compostas. Se eu souber o valor lógico de cada uma das proposições p e q, tenho como saber todas as proposições compostas a respeito de p e q. Estas relações estão expressas na tabela abaixo. Chama-se Tabela Verdade. Aí vai a tabela:

Note que podem surgir algumas proposições estranhas a partir da tabela verdade, usando-se os operadores ® e «. Ex.: "2 é menor que 3 se e somente se x < x+1." (V) "Se 2=3 então a Terra é um planeta." (V)

O que acontece é que esses operadores foram pensados de forma que a primeira proposição fornecesse base para o raciocínio da segunda. Porém, podemos estabelecer p e q como duas proposições sem nenhuma relação. Tautologia

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É uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro. Contradição É uma proposição cujo valor lógico é sempre falso. Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados antes. Exemplo: a) a lua é um satélite da Terra; b) P = PRT; c) Brasília é a capital do Brasil. Princípios Adotados como Regras Fundamentais do Pensamento, na Lógica Matemática Princípio da não contradição - uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído - toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, esto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Valores Lógicos das Proposições - chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa.

Valor Lógico Símbolo de Designação

Verdade V

Falsidade F

Toda proposição tem um e um só dos valores V , F (

de acordo os dois princípios supracitados). Exemplo:

a) o mercúrio é mais pesado que a água; valor lógico da proposição : verdade (V) b) o sol gira em torno da Terra; valor lógico da proposição : falsidade (F)

Tipos de Proposição Simples ou Atômicos - é a proposição que não

contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As proposições simples são geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r, s ..., chamadas letras proposicionais. Exemplo: p : Oscar é prudente; q : Mário é engenheiro; r : Maria é morena.

Composta ou Molecular - é a proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições. São habitualmente designadas por letras maiúsculas P, Q, R, S ..., também denominadas letras proposicionais. Exemplo: p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante; q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador; r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado.

Observação: As proposições compostas são também denominadas fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Quando interessa destacar que uma proposição composta P

é formada pela combinação de proposições simples, escreve-se: P ( p, q, r ...);

Conectivos - são palavras (ou símbolos) que se

usam para formar novas proposições a partir de outras. Exemplo: P : 6 é par E 8 é cubo perfeito; Q : NÃO vai chover; R : SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia; S : o triângulo ABC é isósceles OU equilátero; T : o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é equilátero.

Tabela Verdade Proposição simples - pelo princípio do terceiro

excluído é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

Proposição composta - é a determinação do valor

lógico. Proposições simples componentes, se faz com base

no seguinte princípio:

p

V

F

O valor lógico de qualquer proposição composta

depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles unicamente determinados.

Dispositivo Prático para determinação do valor lógico de uma

proposição composta - TABELA VERDADE Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores

lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes. Exemplos:

Proposição Composta - 02 proposições simples

p q

1 V V

2 V F

3 F V

4 F F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dos para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F. Proposição Composta - 03 proposições simples

p q r

1 V V V

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2 V V F

3 V F V

4 V F F

5 F V V

6 F V F

7 F F V

8 F F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F. Notação - o valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F. Exemplos: p : o sol é verde; q : um hexágono tem nove diagonais; r : 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0 V(p) = F V(q) = V V(r) = F Operações Lógicas Fundamentais Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições, chamadas operações lógicas. As operações lógicas obedecem regras de um cálculo, denominado cálculo proposicional. Negação - chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por "não p", cujo valor lógico é verdade (V) quando p é falso e a falsidade quando p é verdadeiro. Assim, "não p" tem valor lógico oposto daquele de p. Simbologia - simbolicamente, a negação de p é indicada com notação "~ p", que se lê "não p". Tabela Verdade da Negação

p ~ p

V F

F V

~ V = F ~ F = V V (~ p) = ~ V(p) - O valor lógico da negação de p é igual à negação do valo lógico de p.

Em linguagem comum a negação efetua-se nos casos mais simples, antepondo o advérbio "não" ao verbo da proposição dada. Exemplo: p : o sol é uma estrela ~p : o sol não é uma estrela

Outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor à proposição dada.

Exemplo: q : Carlos é engenheiro ~q : é falso que Carlos é engenheiro; ~q : não é verdade que Carlos é engenheiro. Conjunção Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p e q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos.

p q p ^q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disjunção Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q, cujo o valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas.

p q p V q

V V V

V F V

F V V

F F F

Disjunção Exclusiva Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente por p V q, que se lê: "ou p ou q" ou "p ou q, mas não ambos", cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou que é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas.

p q p V q

V V F

V F V

F V V

F F F

Condicional Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por "se p então q", cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos.

p q p -> q

V V V

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V F F

F V V

F F V

Bicondicional Chama-se proposição Bicondicional ou apenas Bicondicional uma proposição representada por "p se e somente q", cujo valor lógico é a verdade(V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos.

p q p <-> q

V V V

V F F

F V F

F F V

Construção de Tabelas – Verdade Tabela Verdade de uma Proposição Composta Dada várias proposições simples p, q, r , ..., podemos combiná-las pelos conectivos lógicos:

Negação ~

Conjunção ^

Disjunção V

Condicional -- >

Bicondicional <-- >

e construir proposições compostas, tais como: P(p,q) = ~p V (p->q) Q(p,q) = (p<-> ~ q) ^q R(p,q,r) = (p-> ~ q V r ) ^ ~(q V (p <-> ~ r))

Então, com o emprego das tabelas verdade das operações lógicas fundamentais é possível construir a tabela verdade esta que mostrará exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira (V) ou falsa (F), admitindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes. Números de Linhas de uma Tabela Verdade O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: A tabela-verdade de uma proposição composta com proposições simples componentes contém 2 elevado a n linhas.

Exemplo Construir a tabela-verdade da proposição: P(p,q) = ~ (p ^ ~ q)

p q ~ q p ^ ~ q ~ (p ^ ~ q)

V V F F V

V F V V F

F V F F V

F F V F V

Tautologias, Contradições e Contigências

1 - Tautologia - Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja última coluna de sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdadeira).

Exemplos: a - A proposição "~ (p ^ ~ p)" (Princípio da não contradição) é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:

p ~ p p ^ ~ p ~ (p ^ ~ q)

V F F V

F V F V

b - A proposição "p V ~ p" (Princípio do terceiro excluído) é uma tautologia.

p ~ p p V ~ p

V F V

F V V

2 - Contradição - Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade). Em outros termos, contradição é toda proposição composta P(p,q,r,...) cujo valor lógico é sempre F (falsidade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, ... Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa.

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p ~ p p ^ ~ p

V F F

F V F

p ~ p p <-> ~ p

V F F

F V F

3 - Contingência - Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja última coluna de sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez. Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é tautologia nem contradição. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas.

p ~ p p -> ~ p

V F F

F V V

Implicação Lógica 1 - Definição de Implicação Lógica Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...), se Q(p,q,r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira (V). P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...) Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição.

2 - Propriedades da Implicação Lógica É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva (R) e transitiva (T), esto é, simbolicamente.

(R) P(p,q,r,...) => P(p,q,r,...) (T) Se P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...) e

Q(p,q,r,...) => R(p,q,r,...), então P(p,q,r,...) => R(p,q,r,...)

Exemplo

p q p <-> q (p <-> q) ^ p (p <-> q) ^ p -> q

V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F V F V

Portanto, simbolicamente: (p <-> q) ^ p => q

Álgebra das Proposições 1 - Propriedade da Conjunção

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujo valores lógicos respectivos são V (Verdade) e F (Falsidade).

a - Idempotente : p ^ p <=> p b - Comutativa: p ^ q <=> q ^ p c - Associativa: (p ^ q) ^ r <=> p ^ (q ^ r) d - Identidade: p ^ t <=> p e p ^ c <=> c

2 - Propriedade da Disjunção Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples valores lógicos respectivos são V (Verdade) e F (Falsidade).

a - Idempotente : p V p <=> p b - Comutativa: p V q <=> q V p c - Associativa: (p V q) V r <=> p V (q V r) d - Identidade: p V t <=> p e p V c <=> c

3 - Propriedade da Conjunção e da Disjunção

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer.

a - Distributivas: (i) p ^ (q V r) <=> (p ^ q) V (p ^ r) (ii) p V (q ^ r) <=> (p V q) ^ (p V r)

b - Absorção: (i) p ^ (q V q) <=> p (ii) p V (q ^ q) <=> p

c - Regras de DE MORGAN: (i) ~ (p ^ q) <=> ~ p V ~ q (ii) ~ (p V q) <=> ~ p ^ ~ q

4 - Negação da Bicondicional

Como p <-> q <=> (p -> q) ^ (q -> p), temos: p <-> q <=> (~ p V q) ^ (~ q V p) e portanto: ~ (p <-> q) <=> ~ (p V q) V ~ (~ q V p) ~ (p <-> q) <=> (~ ~ p ^ ~ q) V (~ ~ q ^ ~ p)

Postulados Como toda teoria matemática, um conjunto de

afirmações (postulados) é aceito sem a necessidade de demonstração. Tais postulados estabelecem os fundamentos da Álgebra de Boole, determinam os seus limites, definem as operações e fornecem a sustentação para a demonstração de teoremas.

Quaisquer que sejam X, Y ou Z pertencentes ao conjunto S, considere os seguintes postulados:

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P1. Associatividade das operações E e OU. a) ( X+Y ) + Z = X + ( Y + Z ) b) ( X .Y ) . Z = X . ( Y . Z )

P2. Comutatividade das operações E e OU. a) X + Y = Y + X b) X . Y = Y . X

. Elemento unitário para a operação OU - Dizemos

que um elemento pertencente a S é unitário numa dada operação quando o seu relacionamento, através dessa operação, com um elemento X qualquer pertencente a S, resulta no próprio elemento X.

P4. Elemento unitário para a operação E. O unitário da operação E é o dígito 1, ou seja: 1 . X = X

P5. Distribuitividade de E sobre a operação OU. X + ( Y + Z ) = ( X . Y ) + ( X . Z )

P6. Distribuitividade de OU sobre a operação E. X + ( Y . Z ) = ( X + Y ) . ( X + Z )

P7. Existência de um elemento completo. Qualquer que seja X, existe X barrado. também pertencente a S, denominado complemento de X, tal que: X . X barrado = 0 e X + X barrado = 1

Os cinco primeiros postulados possuem equivalentes na álgebra tradicional. Os postulados P6 e P7 são exclusivos da Álgebra de Boole e, por isso, responsáveis pelo estabelecimento das diferenças entre as duas álgebras. As regras de prioridade usadas na álgebra tradicional para parênteses, colchetes e chaves são válidas na Álgebra de Boole. E mais, a operação E tem prioridade sobre a operação OU.

Lei da Dualidade Se substituirmos numa expressão lógica o símbolo

da operação OU pelo da operação E (e vice-versa), substituirmos o dígito 0 por 1 (e vice-versa), então obteremos uma nova expressão, também verdadeira, denominada DUAL da expressão original. 0 + X = X DUAL: 1 . X = X ( X + Y ) + Z = X + ( Y + Z ) DUAL: ( X . Y ) . Z = X . ( Y . Z )

Teoremas Fundamentais A lei da dualidade pode ser aplicada nos teoremas

demonstrados para a obtenção de novos teoremas. Quaisquer que sejam X e Y pertencentes a S, podemos afirmar:

T1. Teorema dos elementos nulos. A soma de um elemento X qualquer com 1 é igual a 1. Ou seja, X + 1 = 1

T2. Dual do teorema dos elementos nulos. O produto de X por 0 é igual a 0. Ou seja, X . 0 = 0

T3. Teorema da Idempotência (parte a). A soma de um elemento X qualquer com ele mesmo é igual a X. Ou seja, X + X = X

T4. Teorema da Idempotência (parte b). O produto de um elemento X qualquer, pertencente a S, por ele mesmo é igual a X. Ou seja, X . X = X

T5. Teorema da Convolução. O complemento do complemento de um elemento X é

igual ao próprio elemento X. Ou seja,

T6. Teorema de De Morgan. Este teorema possui dual partes: 1 - O complemento de uma soma de elementos é igual ao produto dos seus complementos, ou seja:

2 - O complemento de um produto de elementos é

igual à soma dos seus complementos, ou seja:

Aplicação do teorema de De Morgan na

expressão algébrica: Inicialmente podemos aplicar o teorema duas vezes:

uma devido à barra superior e outra devido à barra inferior. A ordem de aplicação não afeta o resultado final, apenas pode determinar um caminho mais rápido até o final. Aplicando De Morgan em função do complemento superior temos:

Aplicando mais uma vez o teorema de De Morgan,

temos:

Se usarmos o teorema 5 e eliminarmos os parênteses

desnecessários na expressão anterior, obteremos:

Quando dois elementos quaisquer de S ( A e B ) se

relacionam através da operação E, é tolerável a omissão do símbolo de operação, ou seja, AB no lugar de A . B. Em nenhuma situação é permitida a omissão do símbolo +.

Funções Booleanas O conceito de função booleana é o mesmo da

álgebra tradicional, onde uma expressão algébrica assume um valor para cada combinação de valores assumidos pelas suas variáveis. Desta forma, qualquer expressão algébrica pode ser considerada como uma função booleana.

Tabelas de Combinações

Para a obtenção de sua tabela de combinação devemos executar os seguintes passos:

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1 - Criação de colunas das variáveis - Nestas colunas - uma para cada variável da função - são listadas todas as combinações possíveis de zeros e uns das variáveis. A variável considerada como a mais significativa deve ser colocada na coluna à esquerda.

2 - Criação de colunas intermediárias - Tais colunas se referem a produtos, somas e complementos contidos na expressão booleana. O número de tais colunas depende da complexidade da expressão e da experiência do estudante.

3 - Preenchimento das colunas intermediárias - Isso é feito pela aplicação dos teoremas e postulados na expressão algébrica de cada coluna.

4 - Obtenção da função - Isto é feito pelo preenchimento da coluna, referente à função, através da aplicação dos teoremas e postulados aos valores nas colunas criadas visando a expressão final da função.

Portas Lógicas É um circuito implementado com componentes

semicondutores, com um ou mais terminais para entrada de dados ( onde são colocadas as variáveis booleanas) e uma saída que executa uma específica operação booleana entre as variáveis presentes nas suas entradas. Tais dispositivos obedecem às leis da Álgebra de Boole e, por esta razão, são conhecidos como portas lógicas.

IMPLICAÇÃO LÓGICA

Definição

A proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia.

O símbolo P c Q (P implica Q) representa a implicação lógica. Diferenciação dos símbolos → e [

O símbolo → representa uma operação matemática entre as proposições P e Q que tem como

resultado a proposição P → Q, com valor lógico V ou F. O símbolo c representa a não ocorrência de VF na tabela-verdade de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P → Q será sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia. Exemplo A tabela-verdade da condicional (p Λ q) → (p ↔ q) será:

Portanto, (p Λ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p Λ q) [ (p ↔q)

Equivalência lógica Definição Há equivalência entre as proposições P e Q somente quando a bicondicional P ↔ Q for uma tautologia ou quando P e Q tiverem a mesma tabela-verdade. P [ Q (P é equivalente a Q) é o símbolo que representa a equivalência lógica. Diferenciação dos símbolos ↔ e [ O símbolo ↔ representa uma operação entre as proposições P e Q, que tem como resultado uma nova proposição P ↔ Q com valor lógico V ou F. O símbolo c representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade P ↔ Q, ou ainda que o valor lógico de P ↔ Q é sempre V, ou então P ↔ Q é uma tautologia. Exemplo A tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será:

Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia.

SENTENÇAS ABERTAS Definições Supondo que U seja um conjunto e x um elemento desse

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Raciocínio Lógico

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conjunto, podemos considerar que: - U é um conjunto-universo e x a variável. - a proposição p(x) será uma sentença aberta em U quando p(a) for verdadeira ou p(a) for falsa, ca c U. - se a c U e p(a) for verdadeira, nesse caso a confirma p(x) ou a é a solução de p(x). - O conjunto-verdade de p(x), em U, é formado por todos e somente os elementos de a c U, onde p(a) é uma sentença verdadeira. Veja a representação deste conjunto: a [ U| p(a) é V. Exemplos:

LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

O que a lógica não é

Vale fazer alguns comentários sobre o que a lógica não é.

Primeiro: a lógica não é uma lei absoluta que governa o universo. Muitas pessoas, no passado, concluíram que se algo era logicamente impossível (dada a ciência da época), então seria literalmente impossível. Acreditava-se também que a geometria euclidiana era uma lei universal; afinal, era logicamente consistente. Mas sabemos que tais regras geométricas não são universais.

Segundo: a lógica não é um conjunto de regras que governa o comportamento humano. Pessoas podem possuir objetivos logicamente conflitantes. Por exemplo:

– John quer falar com quem está no encargo.

– A pessoa no encargo é Steve.

– Logo, John quer falar com Steve.

Infelizmente, pode ser que John também deseje, por outros motivos, evitar contato com Steve, tornando seu objetivo conflitante. Isso significa que a resposta lógica nem sempre é viável.

Este documento apenas explica como utilizar a lógica; decidir se ela é a ferramenta correta para a situação fica por conta de cada um. Há outros métodos para comunicação, discussão e debate.

Argumentos

Um argumento é, segundo Monthy Phyton Sketch, “uma série concatenada de afirmações com o fim de estabelecer uma proposição definida”.

Existem vários tipos de argumento; iremos discutir os chamados dedutivos. Esses são geralmente vistos como os mais precisos e persuasivos, provando categoricamente suas conclusões; podem ser válidos ou inválidos.

Argumentos dedutivos possuem três estágios: premissas, inferência e conclusão. Entretanto, antes de discutir tais estágios detalhadamente, precisamos examinar os alicerces de um argumento dedutivo: proposições.

Proposições

Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado.

Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, uma falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição expressa de modo diferente.

Infelizmente, é muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada como algo significante.

É possível utilizar a lingüística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado; entretanto, este documento não pretende tratar de tal assunto.

Premissas

Argumentos dedutivos sempre requerem um certo número de “assunções-base”. São as chamadas premissas; é a partir delas que os argumentos são construídos; ou, dizendo de outro modo, são as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular, pode ser a conclusão de outro, por exemplo.

As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas, esse é o princípio do audiatur et altera pars*. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento.

A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras “Admitindo que...”, “Já que...”, “Obviamente se...” e “Porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder com a argumentação.

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Raciocínio Lógico

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Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entendem por que algo é “óbvio”. Não hesite em questionar afirmações supostamente “óbvias”.

* Expressão latina que significa “a parte contrária deve ser ouvida”.

Inferência

Umas vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo através do processo chamado inferência.

Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deve ser aceita. Posteriormente essa proposição poderá ser empregada em novas inferências.

Assim, inicialmente, apenas podemos inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta.

Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos, os quais serão analisados neste documento. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “conseqüentemente...” ou “isso implica que...”.

Conclusão

Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência, e só pode ser classificada como conclusão no contexto de um argumento em particular.

A conclusão se respalda nas premissas e é inferida a partir delas. Esse é um processo sutil que merece explicação mais aprofundada.

A implicação em detalhes

Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de premissas falsas, chegando a conclusões falsas.

O “pega” é que podemos partir de premissas falsas, proceder através de uma inferência válida, e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo:

– Premissa: Todos peixes vivem no oceano.

– Premissa: Lontras são peixes.

– Conclusão: Logo, lontras vivem no oceano.

Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: partir de premissas verdadeiras, inferir de modo correto, e chegar a uma conclusão falsa.

Podemos resumir esses resultados numa tabela de “regras de implicação”. O símbolo “ ” denota implicação; “A” é a premissa, “B” é a conclusão.

Regras de implicação

Premissa Conclusão Inferência

A B A B

Falsa Falsa Verdadeira

Falsa Verdadeira Verdadeira

Verdadeira Falsa Falsa

Verdadeira Verdadeira Verdadeira

– Se as premissas são falsas e a inferência válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2).

– Se a premissa é verdadeira e a conclusão falsa, a inferência é inválida (linha 3).

– Se as premissas e inferência são válidas, a conclusão é verdadeira (linha 4).

Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua conclusão é verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas.

Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado “argumento consistente”. Esses obrigatoriamente chegam a conclusões verdadeiras.

Exemplo de argumento

A seguir está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”.

1 – Premissa: Todo evento tem uma causa.

2 – Premissa: O Universo teve um começo.

3 – Premissa: Começar envolve um evento.

4 – Inferência: Isso implica que o começo do Universo envolveu um evento.

5 – Inferência: Logo, o começo do Universo teve uma causa.

6 – Conclusão: O Universo teve uma causa.

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A proposição da linha 4 foi inferida das linhas 2 e 3. A linha 1, então, é usada em conjunto com proposição 4, para inferir uma nova proposição (linha 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão.

SILOGISMO

Um silogismo (do grego antigo συλλογισµός, "conexão de idéias", "raciocínio"; composto pelos termos σύν "com" e λογισµός "cálculo") é um termo filosófico com o qual Aristóteles designou a argumentação lógica perfeita, constituída de três proposições declarativas que se conectam de tal modo que a partir das duas primeiras, chamadas premissas, é possível deduzir uma conclusão. A teoria do silogismo foi exposta por Aristóteles em Analíticos anteriores.

Num silogismo, as premissas são um ou dois juízos que precedem a conclusão e dos quais ela decorre como consequente necessário dos antecedentes, dos quais se infere a consequência. Nas premissas, o termo maior (predicado da conclusão) e o termo menor (sujeito da conclusão) são comparados com o termo médio, e assim temos a premissa maior e a premissa menor segundo a extensão dos seus termos.

Um exemplo clássico de silogismo é o seguinte:

Todo homem é mortal. Sócrates é homem. Logo, Sócrates é mortal.

RACIOCÍNIO SEQÜENCIAL.

Conceito de Raciocínio

O termo raciocínio designa um acto mental ou processo de pensamento necessário a um tipo de conhecimento mais mediato e que permite passar de conhecimentos já adquiridos para conhecimentos que se pretendem alcançar. Para isso, o raciocínio utiliza métodos de cálculo exacto, como a matemática, (sendo neste caso considerado como rigoroso), ou então métodos não exactos em situações da vida prática, em que não dispomos de premissas exactas, para levar à execução de uma acção (neste caso situa-se quase sempre no âmbito do provável).

O raciocínio é, portanto, um processo de pensamento através do qual se pode justificar algo: se determinado facto causa admiração, procuramos explicá-lo; se receamos um acontecimento, procuramos inferir as suas consequências; se existem dúvidas quanto a determinada observação, procuramos verificar; se existem dúvidas quanto a uma equivalência, procuramos demonstrar a validade dessa observação. Todas estas formas de raciocínio (explicação, inferência, verificação e demonstração) são formas de estabelecer relações de consequência entre juízos.

Tipos de Raciocínio

De acordo com M. Gex, o raciocínio pode ser classificado em três tipos diferentes:

. Raciocínio Dedutivo: o raciocínio dedutivo, ou dedução, é uma síntese de juízos que permite estabelecer uma relação de necessidade lógica entre esses juízos. O(s) juízo(s) que servem de ponto de partida são designados por premissas e aqueles a que se chega são designados por conclusão. O raciocínio dedutivo é absolutamente rigoroso.

. Raciocínio Indutivo: o raciocínio indutivo, ou indução, consiste em generalizar uma propriedade ou uma relação verificadas num certo número de casos particulares para todos os casos semelhantes.

. Raciocínio por analogia: sendo conhecidas certas semelhanças entre objectos ou relações, supõem-se que existam outras características semelhantes entre esses objectos ou relações.

SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS

O que são sequências de números?

Sequências de números são listas ordenadas de números que verificam uma dada propriedade ou regra.

Exemplos:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... Sequência de números impares

3, 6, 9, 12, 15, 18,... Sequência de múltiplos de 3

Sequência de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ...

Notemos que:

• Os dois primeiros termos são 1; • Cada um dos termos seguintes é a soma dos dois

anteriores.

Então, para descobrir o próximo termo da sequência, basta somar os dois últimos termos. Neste caso o próximo termo seria 34+55=89.

Ao dividirmos, sucessivamente, um termo pelo seu anterior, aproximamo-nos de um número já conhecido:

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Os quocientes vão-se aproximando do número 1.6180339887.... que é designado por número de ouro.

Já vimos qual é a regra para descobrir o termo seguinte da sequência de Fibonacci mas, em muitas sequências não é assim tão fácil descobri-lo. Por exemplo:

111, 128, 146, 165, 185, …

Qual é o termo seguinte desta sequência?

Se não conseguir descobrir, então observe o que se segue:

Calculando sucessivamente a diferença entre dois termos consecutivos obtemos,

Na última linha obtivemos sempre o mesmo valor, o que nos permite agora aplicar o método no sentido inverso:

Logo, o termo seguinte da sequência é 206.

Consegue agora descobrir o termo que se segue?

Este método chama-se método das diferenças e, aplica-se para determinar os termos seguintes de uma dada sequência.

Suponhamos agora que era dada a expressão geral de uma sequência. Como é que determinavamos o oitavo ou o vigésimo termo dessa sequência?

Por exemplo:

A expressão geradora dos termos de uma certa sequência é n2+5n. Qual é o primeiro termo desta sequência? E o nono?

De facto, para encontrármos estes termos basta substituir n pelo número natural correspondente, ou seja, neste caso com n=1 descobrimos o primeiro termo que é 1+5=6. O nono termo seria 92+5x9=81+45=126.

PROBLEMAS LÓGICOS

Problemas lógicos são os problemas matemáticos resolvidos através do uso de raciocínio lógico. Existem várias competições de lógica para pessoas de todas as idades, além de treinamentos na internet.

Problemas

TRÊS MÚSICOS

Três músicos, João, António e Francisco, tocam harpa, violino e piano. Contudo, não se sabe quem toca o quê. Sabe-se que o António não é o pianista. Mas o pianista ensaia sozinho à Terça . O João ensaia com o Violoncelista às Quintas . Quem toca o quê ?

O PRISIONEIRO

No antigo Egipto, havia um prisioneiro numa cela com duas saídas, cada uma delas com um guarda. Cada saída dava para um corredor diferente em que um dava para o campo e, portanto, para a liberdade e o outro para um fosso de crocodilos. Só os guardas sabiam qual a saída certa, mas um deles dizia sempre a verdade e outro mentia sempre. O prisioneiro não sabia nem qual a saída certa nem qual o guarda verdadeiro. Qual a pergunta (e uma só pergunta) que o prisioneiro deveria fazer a um dos guardas ao acaso, para saber qual a porta certa?

Urso

Uma pessoa montou uma tenda para dormir. Subitamente, aparedeu um Urso que lhe desfez a dita tenda. A pessoa, pacientemente, reparou a tenda e montou-a novamente.

Entretanto, o urso andou um quilómetro para sul, dois quilometros para Oeste e outro para Norte, voltando a passar pelo acampamento desfazendo novamente a tenda.

Pergunta: de que cor era o urso?

DOIS COMBOIOS

Um comboio parte de Lisboa a uma velocidade de 120 Km/h em direcção ao Porto, ao mesmo tempo que outro parte do Porto a uma velocidade de 80km/h em relação a Lisboa.

Pergunta: Quando se encontram, qual o mais próximo de Lisboa: O que parte do Porto ou o que parte de Lisboa?

4 pontos e tres rectas

Una estes quatro pontos apenas com três rectas, sem levantar o bico da lápis ou da caneta e acabando no ponto onde começou.

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Soluções às questões de lógica TRÊS MÚSICOS Falta acrescentar que os músicos apenas ensaiam uma vez por semana. Assim, uma das hipóteses possíveis (só sei esta) é a seguinte: Pianista: João; Harpista: António; Violoncelista: Francisco. O PRISIONEIRO: Pergunta: se eu perguntar ao seu colega, qual a porta certa, qual é que ele me indica? Seja qual for o guarda inquirido, ser-me-á respondido “ a porta errada”. Suponhamos a que a porta certa é a “A”.

• Se eu perguntasse ao guarda verdadeiro, ele indicar-me-á a porta correcta: “porta A”. Mas o mentiroso dir-me-á que o colega me indicaria: “porta B”.

• Se eu perguntasse ao guarda mentiroso, ele indicar-me-á a porta errada: “porta B” e o guarda verdadeiro dir-me-á que o colega me indicaria: “porta B”.

URSO: O urso é branco por ser um urso polar. O acampamento tinha de estar no polo norte. Só assim, que um urso, andando de lá, 1 km para Sul, 1 km para Este e 1 km para Norte, é que voltaria a passar pelo mesmo ponto. Caso contrário, passaria ao lado. QUATRO PONTOS E TRÊS RECTAS: Este exercício, mostra que,por vezes, a solução na vida real de um problema reside fora do contexto dese mesmo problema.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Introdução

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

2 - Fatorial

Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo: n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2.

Para n = 0 , teremos : 0! = 1

Para n = 1 , teremos : 1! = 1

Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) 4! = 4.3.2.1 = 24

c) observe que 6! = 6.5.4!

d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

e) 10! = 10.9.8.7.6.5!

f ) 10! = 10.9.8!

3 - Princípio fundamental da contagem - PFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k1. k2 . k3 . ... . kn

Exemplo: O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

Solução:

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Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções: 3 x 4 x 2 x 3 = 72 Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes. Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou", como na questão: Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatóriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades: (3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis. Outro exemplo: No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas?

Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar. 26 x 26 x 26 = 17.567 -> parte das letras 10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0 , 2 , 4 , 6 , 8). Agora é só multiplicar as partes: 17.567 x 5.000 = 87.835.000 Resposta para a questão: existem 87.835.000 placas onde a parte dos algarismos formem um número par.

PRINCÍPIO ADITIVO DA CONTAGEM

Existem situações de contagem, em que

adicionamos as possibilidades, e existem outras, nas quais multiplicamos as possibilidades. Já estudamos aquelas situações em que tivemos que efetuar uma multiplicação. Em tais situações utilizamos o princípio multiplicativo para justificar. Mas como sabemos, diante de um experimento, se multiplicamos ou adicionamos as possibilidades?

Antes de procurarmos dar uma resposta a essa questão, o que é fundamental para os problemas de contagem, é importante entender a utilização de 2 conectivos em nossa língua portuguesa: E ou OU.

• O conectivo “E” é utilizado, em princípio, na Língua Portuguesa no sentido aditivo. Porém, em Matemática, o mesmo conectivo “E” indica simultaneamente, dependência.

Exemplo da Língua Portuguesa:

(I) Tenho aulas as quartas e às quintas-feiras.

Exemplo da Matemática:

(II) Uma solução da equação x + y = 10 é x = 2 e y = 8.

• O conectivo “OU” é utilizado, em princípio, na

Língua Portuguesa, no sentido excludente. Em Matemática, o mesmo conectivo “OU” indica adição e inclusão, como também pode acontecer na Língua Portuguesa.

Exemplo da Língua Portuguesa:

(III) Telefonarei pra você hoje ou amanhã.

Exemplo da Matemática:

(IV) A igualdade x.y = 0 é verdadeira para x = 0 ou y = o..

Conclusão:

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· Quando, num problema de contagem, aparecer o conectivo “E”, devemos pensar em simultaneidade, em dependência.

· Quando aparecer o conectivo “OU” num problema de contagem, deveremos interpretá-lo no sentido aditivo.

Exemplo:

Para ir de uma cidade A até uma cidade B, existem dois percursos, passando pela cidade C ou pela cidade D. Os caminhos possíveis estão indicados no esquema abaixo. Quantas são as possibilidades de sair da cidade A e chegar à cidade B?

Atenção:

Para obtermos o número de elementos de A U B, n(A U B), adicionamos o número de elementos de A, com o número de elementos de B e diminuímos o número de elementos pertencentes a A e a B, simultaneamente.

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Subtraímos n(A ∩ B) porque esses foram contados duas vezes; em n(A) e em n(B).

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

UMA ADIÇÃO COM PARCELAS IDÊNTICAS

Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

A multiplicação é regida por um princípio que pode ser resumido assim: multiplicar é realizar uma adição com parcelas idênticas.

Quando fazemos a contagem de alguma quantidade - as ovelhas de um rebanho, os cachorros de um canil, as pessoas de uma sala - não estamos interessados nem nas ovelhas, nem nos cachorros e muito menos nas pessoas. Queremos apenas saber quanto é. Nessa ocasião, as coisas reduzem-se a números. O interesse é pela quantidade, e não pela qualidade.

Interessa também saber se as coisas estão

ordenados segundo algum padrão. Os objetos estão ordenados em alguma ordem, é necessário saber: as colunas são iguais? Se em cada coluna há três soldados, teremos três colunas de três, ou três por três. Se forem quatro colunas teremos quatro por três. E assim por diante.

A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações. Sendo que diferem em arranjos simples, combinações simples.

Arranjos são agrupamentos que a ordem dos seus elementos faz a diferença, por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos 1,2 e 3 são:

312, 321, 132, 123, 213, 231

Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem.

Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto

de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.

Veja o exemplo abaixo:

Dado o conjunto B = 5,6,7, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.

A

C

D

B

A ∩ B

A

B

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Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b são: 56,57,65,67,75,76. Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.

Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos, essa quantidade pode ser representada da seguinte forma: A3,2 (três elementos distintos formados de dois a dois). Utilizando o processo do princípio fundamental da contagem, calculamos a quantidade de elementos:

A3,2 = 3 . 2 . 1 = 6

Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos. Por exemplo:

Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela ordem dos seus elementos.

Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes.

Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um número natural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinte forma: A n , p

A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:

Exemplo 2:

Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?

Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a fórmula

A n , p = n!

(n – p)!

Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p = 5). Substitua a fórmula.

Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto unidas de 5 em 5 é 1860480.

PERMUTAÇÕES SIMPLES

Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

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4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos: a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. Exemplo: Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

5 - Permutações com elementos repetidos

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:

Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)

Solução: Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200

Resposta: 151200 anagramas.

ARRANJOS SIMPLES

6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = a,b,c, teremos: a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

6.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:

Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)

Exemplo: Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?

Solução: As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720.

Observe que 720 = A10,3

COMBINAÇÕES SIMPLES

7.1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. Exemplo:

No conjunto E= a,b.c,d podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combinações de taxa 4: abcd.

Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:

Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:

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Exemplo: Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003

Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:

01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?

Resp: 120

02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados?

Resp: 84

03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? Resp: 48

Exercício resolvido:

Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

Solução: Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC: N = 2.2.2.2.2.2 = 6

Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Um conjunto é uma coleção ou um grupo de objetos, Cada objeto que pertence a um conjunto é chamado elemento do conjunto. Suponha um conjunto formado por caderno, livro, lápis e borracha. Usamos uma letra maiúscula, por exemplo p, para denotar o conjunto. Especificamos o conjunto nomeando entre chaves os elementos que o formam:

P = caderno, livro, lápis, borracha Quando nomeamos os elementos de um

conjunto entre chaves, por exemplo V = 2,3,6, podemos ver facilmente que 2 é um elemento deste conjunto e que 4 não é.

Vamos utilizar um símbolo especial: ∈ para expressar “é um elemento de”, ou então “pertence a”, e ∉ para expressar “não é um elemento de” ou “não pertence a”. Portanto: 2 ∈ V e 4 ∉ V.

SUBCONJUNTOS

Considere o conjunto U = 2, 3, 5, 6, 7, 9. Vamos nomear os elementos do conjunto B = elementos de U que são números pares.

Então: B = 2 e 6. Observe que todos elementos de B pertence A

U. Expressamos esse fato usando o símbolo ⊂ , que significa “está contido em” ou “é um subconjunto de”.

Então: B ⊂ U. O conjunto R = 1, 3, 5, 7, 9 não é um

subconjunto de U, pois 1 ∈ R, mas 1 ∉ U. Usamos o símbolo ⊄ que significa “não está contido em” ou “não é um subconjunto de”, para expressar a relação entre esses dois conjuntos:

R ∉ U Se considerarmos os conjuntos: D = 0, 1, 2, 3 E = números naturais menores que 4. Notamos que D = 0, 1, 2, 3 está contido em

E = 3, 2, 1, 0, pois 0 ∈ D e 0 ∈ E 1 ∈ D e 1 ∈ E 2 ∈ D e 2 ∈ E 3 ∈ D e 3 ∈ E Pela mesma razão, podemos escrever que E

⊂ D. Quando acontece de dois conjuntos terem exatamente os mesmos elementos, dizemos que são conjuntos iguais: D = E.

O símbolo ≠ , que você vai ler “é diferente de”, vai ser útil, para expressar a relação entre dois conjuntos que não têm os mesmos elementos.

G = números naturais pares menores que 4 H = números naturais menores que 4 Logo: G = 0, 2 ∉ H = 0,1, 2, 3. Embora G ⊂ H, os dois conjuntos são

diferentes porque, por exemplo, 1 ∈ H. mas 1 ∉ G. Observe que todos estes conjuntos são iguais:

6, 9, 10 = 9, 6, 10 = 10, 9,6 + 6, 6, 6, 9, 10 = 6, 9, 9, 10,10 porque; eles têm os mesmos elementos: os números naturais 6, 9 e 10. CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO

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Um conjunto finito que tem somente um elemento chama-se “conjunto unitário”. Eis alguns exemplos: 1. 3. números naturais ímpares menores que 2.

Existe um conjunto sem elementos? Muitas vezes procuramos e não encontramos nenhuma moeda em nossa carteira. Nesse caso, dizemos que o conjunto das moedas em nossa carteira é um “conjunto vazio”.

Podemos representar o conjunto vazio usando chaves, sem nenhum elemento entre elas ou mediante um símbolo especial, sem chaves: ∅. Note que há somente um conjunto vazio. Assim, o conjunto em moedas em nossa carteira e o conjunto dos números naturais menores que 0 (zero) forma o mesmo conjunto ∅.

UNIÃO E INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS

A oração “Pedro foi ao cinema ou ao teatro” é interpretada no sentido comum. Se “Pedro foi ao cinema, então não foi ao teatro; e se foi ao teatro, então foi ao cinema”.

Na matemática o conectivo ou tem um significado bem diferente. Se queremos encontrar o conjunto formado pelos números naturais menores ou iguais a 3, devemos escrever todos os números naturais menores que 3, junto com o próprio 3: A = 0, 1, 2, 3.

Quando combinamos os elementos de dois conjuntos para formar um novo conjunto, surge o conjunto “união”:

A = 1, 3, 5, 7,9 B = 2, 4, 6, 8 A ∪ B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Lemos: A união B é o conjunto dos números

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

PERTINÊNCIA

De elemento para conjunto: Pertence () Não pertence ()

• De conjunto para conjunto: Está contido (), Não está contido () Contém () Não contém () (um conjunto contido em outro é dito subconjunto daquele que o contém)

• Representação o Enumeração ou extensão:

A = 2,4,6,8,10 B = a, e ,i ,o, u

o Propriedade ou Lei da formação: A = x E n / 1< x < 11 e x é par (x pertence aos números naturais tal que 1 é menor que x que é menor que 11 e x é par; B = é toda letra vogal

o Diagrama ou figura: Coloca os elementos do conjunto dentro

de um diagrama que pode ter o formato de qualquer figura fechada.

o O conjunto vazio pode ser representado por A= ou por A=f (mas nunca por A=f).

• Operações o União () o Intersecção () o Subtração ( - ) o Complementar (CBA, complementar de A

em relação a B e A tem que estar contido em B)

• Exemplos:

A = 1,2 B = 1,2,3,4 A UNIÃO B = 1,2,3,4 A INTERSECÇÃO B = 1,2 B - A = 3,4 CBA = B-A = 3,4

Propriedades dos conjuntos

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo.

2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

A A = A e A A = A

3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A A B, B A B, A B A, A B B

4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B equivale a A B = B A B equivale a A B = A

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B = B A A B = B A

7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

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Raciocínio Lógico

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A Ø = A

8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

A Ø = Ø

9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A U = A

10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C ) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

UNIÃO, INTERSEÇÃO E DIFERENÇA

A união (ou reunião) de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem ao menos

a um dos conjuntos e .

A união de N conjuntos

é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao

menos a um dos conjuntos .

A interseção de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem

simultaneamente aos dois conjuntos e .

A diferença entre dois conjuntos e é o conjunto de todos os elementos de que não pertencem a .

EXERCÍCIOS

1) Nomeie os elementos de cada conjunto entre chaves. a) A = letras da palavra JANEIRO; b) S = vogais da palavra ROMA; c) T = algarismos do ano 1986; 2) Faça uma pesquisa e depois nomeie os elementos de cada conjunto entre chaves: a) A = regiões metropolitanas do Brasil com mais de 10 milhões de habitantes; b) B = capitais dos países Inglaterra, França, Espanha, Alemanha e Portugal.

3) Considere o conjunto Q = números naturais de dois algarismos cujo algarismo das unidades é 0. Diga se é verdadeira ou falsa cada afirmação. a) 10 ∈ Q; b) 90 ∈ Q. 4) Diga se cada uma das afirmações é verdadeira ou não a) 4 ∈ 0, 4, 6, 8; b) 1 ∉ 2, 3, 5, 7; c) 0 ∈ 2, 20, 200; d) 25 ∉ números naturais de dois algarismos cujo algarismo das dezenas é r. 5) Assinale quais das afirmações são verdadeiras e quais são falsas: a) baleias é um subconjunto de mamíferos; b) garças, tucanos é um subconjunto de pássaros; c) animais de quatro patas não é um subconjunto de cachorros; d) a, e, i, o, u não é um subconjunto de letras do nosso alfabeto; e) pessoas morenas não é um subconjunto de homens. 6) Observe os conjuntos 36, 32, 0, 2, 2, 0, 2, 45 e associe aos conjuntos iguais: a) números naturais menores que 3; b) números naturais pares menores que 3; c) soma de 18 e 14; d) diferença entre 54 e 18; e) produto de 9 por 5. 7) Nomeie os elementos de cada conjunto. Diga se cada conjunto é vazio ou unitário: a) números naturais ímpares menores que 1; b) números naturais pares menores que 2; c) vogais da palavra MAR; d) onça com 8 patas; e) pessoas vivas que têm mais que 500 anos; f) consoantes da palavra IOIÔ. 8) Dados os conjuntos G = 10,15,18 e H = 9,12,16 nomeie os elementos de G ∪ H.

GABARITO 1) a) A = j,a, n, e, i, r, o

b) S = O, A c) T = 1,9, 8,6

2) a) A = São Paulo, Rio de Janeiro b) B = (Londres, Paris,Madri, Berlim, Lisboa

3) a) V b) V

4) a) V b) V c) F d) V

5) a) V b) V c) V d) F e) V

6) a) = 0, 1, 2,

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b) = 0, 2 c) = 32 d) = 36 e) = 45

7) a) conjunto vazio b) conjunto unitário c) conjunto unitário d) conjunto vazio.

8) G ∪ H = 9, 10, 12, 15, 16, 18.

ANÁLISE, INTERPRETAÇÃO E UTILIZAÇÃO DE DADOS

APRESENTADOS EM GRÁFICOS E TABELAS.

A produção de tabelas deve seguir algumas regras sobre os elementos que compõem este tipo de texto.

Título - indica o assunto tratado ou pode ser apenas ter a função de chamar a atenção do leitor. Subtítulo ou texto explicativo - explicita o tema da tabela e contextualiza a situação. Cabeçalho e colunas indicadoras - correspondem aos títulos dos conteúdos das colunas e linhas, respectivamente.

Corpo - os dados da tabela.

Fonte - que possui a mesma função que nos gráficos e que usualmente aparece no rodapé da tabela.

Produção e Leitura de tabelas

São muitas as oportunidades para a produção de tabelas em sala de aula assim como é comum aparecerem tabelas nos textos didáticos de quase todas as disciplinas. No entanto é preciso avançar além das propostas dos textos

didáticos onde aparecem tabelas de dupla entrada com apenas duas variáveis.

Na mídia as tabelas assumem formas mais complexas e sua leitura muda em função da informação que buscamos. Vejamos no exemplo:

A inclusão digital no Brasil

Dependendo da informação procurada é preciso uma

leitura diferente da tabela: Em qual faixa etária as pessoas possuem mais computadores no Brasil? Esta informação deve ser procurada na segunda coluna, comparando-se os valores, a resposta é encontrada na primeira coluna: pessoas entre 45 e 50 anos.Se nos perguntarmos, jovens ou idosos têm maior acesso à internet? Como a pergunta é vaga precisamos tomar algumas decisões para tentar responde-la. Podemos considerar jovens as pessoas com menos de 20 anos e idosos aquelas acima de 60 anos. Neste caso, a leitura da tabela deve ser feita na primeira coluna selecionando-se as linhas que interessam, depois os dados são colhidos na terceira coluna, adicionados e comparados. Temos então que: 15,19% dos computadores com internet pertencem a jovens e 17,83% aos idosos, o que corresponde a uma pequena vantagem das pessoas acima de 60 anos em relação aos jovens.

Fonte: Censo 2000 e Pnad de 2001, cujos dados

foram agrupados pela F.G.V. Tabela retirada da Folha de São Paulo de 11/04/2003

Gráficos

São elementos de um gráfico:

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Título - em geral na forma de frase curta e chamativa, para despertar o interesse do leitor.

Subtítulo ou texto explicativo - essencial para a compreensão do gráfico. Nele encontramos o assunto de que trata o gráfico, aonde e quando foi feita a pesquisa e muitas vezes as unidades escolhidas para uma ou para as duas variáveis envolvidas.

Fonte - identificação do órgão ou instituição que fez a pesquisa de dados. A fonte valida a pesquisa e permite que o leitor possa confiar nas informações descritas pelo gráfico.

Eixo Horizontal Onde é representada a variável independente que pode ser do tipo qualitativa ou quantitativa. Este eixo pode ser visível ou não, no entanto quando tratamos com variável quantitativa ela deve ser organizada neste eixo em ordem crescente de valores, enquanto no caso de variáveis qualitativas elas podem ser dispostas no eixo em qualquer ordem.

Dados qualitativos: a ordem não importa

Gráfico retirado da revista Aprender de maio/junho de 2003

Dados quantitativos: ordem crescente dos dados com espaçamento proporcional entre eles

Gráfico retirado da revista Veja de 2/7/2003

Com dados numéricos, o espaçamento entre eles, ou

a escala de construcao do gráfico, deve ser constante de modo que o leitor tenha a exata dimensão da distância entre as tomadas de informações. Caso contrário podemos ter uma distorção da informação. Um exemplo disso pode ser visto nos seguintes gráficos que retratam o mesmo conjunto de dados, mas que podem ou não dar a impressão de maior ou menor crescimento do número total de linhas telefônicas no mesmo período de tempo.

Gráficos retirados de prova do ENEN

No caso de dados com muita dispersão de valores, como é o caso, por exemplo, de tendência das alturas ou pesos de alunos de uma sala de aula, quando encontramos muitos valores e poucos alunos para cada valor, os dados devem ser agrupados em intervalos de modo que o gráfico possa ser lido facilmente e comunique rapidamente o que se deseja. Por exemplo, se em uma classe encontramos os

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Raciocínio Lógico

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seguintes dados para as alturas de 26 alunos, descritos na tabela pelos seus números e com suas alturas em metros:

Gráfico com dados agrupados:

comunicação adequada

da informação Cujo gráfico de barras seria:

Eixo Vertical

Este eixo também pode estar ou não explicitamente desenhado, mas a unidade utilizada deve ser cuidada dependendo do intervalo de sua variação. Um exemplo disso está na seqüência de gráficos que seguem e que mostram a variação de diversos indicadores econômicos no mesmo período de cinco dias. Observamos que em cada um deles a unidade do eixo vertical é diferente em função do intervalo dos dados. Além disso, para facilitar a comunicação, a numeração não se inicia de zero, mas se restringe ao intervalo de números em que varia o indicador econômico.

Gráficos extraídos da Folha de São Paulo de 14/09/2003

Tipos de Gráficos Cada tipo de gráficos tem uma função diferente,

basicamente eles são de três tipos: em barras, em linha ou segmentos ou em setores.

Os gráficos em barras, em que os dados são representados por retângulos verticais (colunas) ou horizontais (barras), são utilizados sempre que temos variáveis qualitativas, ou ainda para representar dados numéricos colhidos de diversas populações.

Gráfico em barras horizontais:

Fonte: MEC Gráfico retirado do jornal Folha de São Paulo de 14/05/2003

Gráfico em barras verticais:

Gráfico retirado da revista Aprender março/abril de 2003

Uma variação do gráfico de barras é o gráfico em barras múltiplas que é empregado quando desejamos comparar dados em duas ou mais populações.

Gráfico retirado do jornal Folha de São Paulo de 14/9/2003

Muito usados nos meios de comunicação são os gráficos pictóricos, nos quais os retângulos das colunas ou barras soa substituídos por desenhos relacionados ao tema do gráfico, como pode ser vista a seguir:

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Raciocínio Lógico

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Gráfico retirado da revista Super Interessante de fevereiro/2003

Neste último exemplo, a ilustração impediu que o

gráfico respeitasse a proporcionalidade dos dados. Isso pode ser visto, por exemplo, nas colunas que correspondem a 20,1 e a 10,6 bilhões de dólares que no desenho são praticamente da mesma altura.

O gráfico em linha ou de segmentos possui uma função bem definida, ele é utilizado para representar a variação de uma única grandeza em relação ao tempo. Ou seja, a variável do eixo horizontal é sempre tempo. Podemos assim acompanhar o crescimento ou decrescimento da grandeza que estamos pesquisando ao longo do tempo seja ele medido em dias, anos, décadas, horas, ...

Exemplos típicos são as pesquisas eleitorais sobre a intenção de votos aos candidatos, que mostram claramente a evolução dessa tendência ao longo de um período de tempo. Outros exemplos são comuns no acompanhamento da inflação, valor das moedas estrangeiras, mortalidade infantil, taxa de desemprego, e muitas outras informações que são acompanhadas ao longo do tempo, para que se possa verificar tendência de aumento ou diminuição, pontos críticos de maior ou menor valor da grandeza em estudo.

Gráfico retirado do jornal Folha de São Paulo de 14/9/2003

O gráfico em setores é construído tendo como base um círculo e o ângulo central de cada setor corresponde ao valor da variável. Este tipo de gráfico tem como objetivo mostrar o todo da população investigada, na forma do

círculo, e muitas vezes esconde os dados brutos investigados fornecendo resultados em porcentagens.

Podemos observar que todo gráfico de barras simples pode ser representado também em setores. Já os gráficos em linha, apesar de poderem ser descritos em barras simples, com o cuidado de ordenar a variável tempo no eixo horizontal, nessa forma têm sua comunicação visual prejudicada.

Por outro lado, não faz sentido transcrever gráficos em linha para setores.

Concluindo a habilidade de ler e interpretar tabelas e gráficos, exige o conhecimento de regras que regem essas estruturas de textos, para que o aluno possa ultrapassar o senso comum e analisar criticamente as informações à sua volta.

Raciocínio Lógico Quantitativo

01 - Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C 02- Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios): Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P" Premissa 2: "X não está contido em P" Pode-se, então, concluir que, necessariamente a) Y está contido em Z b) X está contido em Z c) Y está contido em Z ou em P d) X não está contido nem em P nem em Y e) X não está contido nem em Y e nem em Z 03- A operação Å x é definida como o dobro do quadrado de x. Assim, o valor da expressão Å 21/2 - Å [ 1Å 2 ] é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 04- Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu"

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Raciocínio Lógico

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Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso 05- Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120 06- De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200 07- Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08- Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 09- Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre, a) D ocorre e B não ocorre

b) D não ocorre ou A não ocorre c) B e A ocorrem d) nem B nem D ocorrem e) B não ocorre ou A não ocorre 10- Ou A=B, ou B=C, mas não ambos. Se B=D, então A=D. Ora, B=D. Logo: a) B ¹ C b) B ¹ A c) C = A d) C = D e) D ¹ A 11- De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano 12- Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia e) se o passarinho canta, então o gato não mia 13- Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a) Sandra, Teresa, Regina b) Sandra, Regina, Teresa c) Regina, Sandra, Teresa d) Teresa, Regina, Sandra e) Teresa, Sandra, Regina 14- A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 15- Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro

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Raciocínio Lógico

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c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 16- Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês 17- Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que: a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia 18- Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que: a) Lauro é culpado e Sônia é culpada b) Sônia é culpada e Roberto é inocente c) Pedro é culpado ou Roberto é culpado d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente 19- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e) branco, azul, preto 20- Um rei diz a um jovem sábio: "dizei-me uma frase e se ela for verdadeira prometo que vos darei ou um cavalo veloz, ou uma linda espada, ou a mão da princesa; se ela for falsa, não vos darei nada". O jovem sábio disse, então: "Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda espada". Para manter a promessa feita, o rei: a) deve dar o cavalo veloz e a linda espada b) deve dar a mão da princesa, mas não o cavalo veloz nem a linda espada c) deve dar a mão da princesa e o cavalo veloz ou a linda espada d) deve dar o cavalo veloz ou a linda espada, mas não a mão da princesa

e) não deve dar nem o cavalo veloz, nem a linda espada, nem a mão da princesa

GABARITO 01 – C 02 – B 03 – C 04 – E 05 – D 06 – D 07 – E 08 – A 09 – C 10 – A 11 – B 12 – C 13 – D 14 – E 15 – A 16 – B 17 – A 18 – C 19 – E 20 – B

Testes 1) (ESAF) – Das premissas: A: “Nenhum herói é covarde”. B: “Alguns soldados são covardes”. Pode-se corretamente concluir que: a. Alguns heróis são soldados b. Alguns soldados não são heróis c. Nenhum herói é soldado d. Alguns soldados são heróis e. Nenhum soldado é herói 2) (FGV) – Considere os dois seguintes argumentos: ARGUMENTO 1. Alguns automóveis são verdes e algumas coisas verdes são comestíveis. Logo, alguns automóveis verdes são comestíveis. ARGUMENTO 2. Alguns brasileiros são ricos e alguns ricos são desonestos. Logo, alguns brasileiros são desonestos. Compare os 2 argumentos e assinale a alternativa correta. a. Apenas o argumento 2 é válido. b. Apenas o argumento 1 é válido. c. Os dois argumentos não são válidos. d. Os dois argumentos são válidos. 3) (FGV) – Considere as seguintes proposições: I. “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come”. II. “Ser ou não ser, eis a questão”. III. “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia”. É correto então afirmar-se que: a. Em I está presente uma tautologia. b. Em II está presente uma contradição. c. Em III está presente um dilema. d. NDA 4) (FGV) – Analise o seguinte argumento: Todas as proteínas são compostos orgânicos; em conseqüência, todas as enzimas são proteínas, uma vez que todas as enzimas são compostos orgânicos. a. O argumento é válido, uma vez que suas premissas são

verdadeiras, bem como sua conclusão. b. argumento é válido apesar de conter uma premissa

falsa. c. Mesmo sem saber se as premissas são verdadeiras ou

falsas, podemos garantir que o argumento não é válido. d. NDA.

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5) (FGV) – Os habitantes de certo país podem ser classificados em políticos e não-políticos. Todos os políticos sempre mentem e todos os não-políticos sempre falam a verdade. Um estrangeiro, em visita ao referido país, encontra-se com 3 nativos, I, II e III. Perguntando ao nativo I se ele é político, o estrangeiro recebe uma resposta que não consegue ouvir direito. O nativo II informa, então, que I negou ser um político. Mas o nativo III afirma que I é realmente um político. Quantos dos 3 nativos, são políticos? a. Zero b. Um c. Dois d. NDA 6) (FGV) – A proposição ~(pcq)c(~p ~q) representa um: ∨ a. Entimema b. Contingência b. Tautologia c. Dilema 7) (FGV) – Alguém afirmou certa feita que Toda pessoa que diz que não bebe não está sendo honesta. Pode-se concluir dessa premissa que: a. Uma pessoa que diz que bebe está sendo honesta. b. Uma pessoa está sendo honesta se diz que bebe. c. Não existem pessoas honestas que dizem que não

bebem. d. NDA 8) Q (P implica Q) então:⇒(FGV) – Quando se afirma que P a. Q é condição suficiente para P. b. P é condição necessária para Q. c. Q não é condição necessária para P d. P é condição suficiente para Q. e. P não é condição suficiente nem necessária para Q. 9) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo: a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto. b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia. c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro. d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto. e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro. 10) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações: O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.” O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.” O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.” Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro. b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.

d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. 11) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações: “X > Q e Z < Y”; “X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z”; “R ≠ Q, se e somente se Y = X”. Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que: a) X > Y > Q > Z b) X > R > Y > Z c) Z < Y < X < R d) X > Q > Z > R e) Q < X < Z < Y 12) Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente 20 minutos. Em um determinado dia, em que haveria uma reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso tempo para chegar ao trabalho 8 minutos antes do início da reunião. Ao passar em frente ao Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, chegaria atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de Lúcio a seu local de trabalho é igual a: a) 1.200m b) 1.500m c) 1.080m d) 760m e) 1.128m 13) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou: a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior 14) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo, a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

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d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 15) Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas no mesmo instante, cada um com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam pelo mesmo percurso, mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam quando se cruzaram. Dez minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa de Paulo. Já Paulo chegou à casa de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora após Pedro ter chegado à casa de Paulo). Sabendo que cada um deles caminhou a uma velocidade constante, o tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, foi de a) 60 minutos b) 50 minutos c) 80 minutos d) 90 minutos e) 120 minutos 16) Três pessoas, Ana, Bia e Carla, têm idades (em número de anos) tais que a soma de quaisquer duas delas é igual ao número obtido invertendo-se os algarismos que formam a terceira. Sabe-se, ainda, que a idade de cada uma delas é inferior a 100 anos (cada idade, portanto, sendo indicada por um algarismo da dezena e um da unidade). Indicando o algarismo da unidade das idades de Ana, Bia e Carla, respectivamente, por A1, B1 e C1; e indicando o algarismo da dezena das idades de Ana, Bia e Carla, respectivamente, por A2, B2 e C2, a soma das idades destas três pessoas é igual a: a) 3 (A2+B2+C2) b) 10 (A2+B2+C2) c) 99 – (A1+B1+C1) d) 11 (B2+B1) e) 3 (A1+B1+C1) 17) Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele avista dois sinais com as seguintes indicações: “Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”. Depois, já em Beta, encontra dois sinais com as indicações: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”. Ao chegar a Gama, encontra mais dois sinais: “Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”. Soube, então, que, em uma das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas; em outra, todos os sinais têm indicações corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem indicação errada (não necessariamente nesta ordem). O professor de Lógica pode concluir, portanto, que as verdadeiras distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são, respectivamente: a) 5 e 3 b) 5 e 6 c) 4 e 6 d) 4 e 3 e) 5 e 2 18) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem

como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 b) 10 c) 20 d) 40 e) 70 19) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que: a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas; b) marido e esposa não jogam entre si. Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são, respectivamente: a) Celina e Alberto b) Ana e Carlos c) Júlia e Gustavo d) Ana e Alberto e) Celina e Gustavo 20) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações: 1) Se Homero é culpado, então João é culpado. 2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. 3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente. 4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado. As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que: a) Homero, João e Adolfo são inocentes. b) Homero, João e Adolfo são culpados. c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes. d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado. e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente. 21) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo, a) não durmo, estou furioso e não bebo b) durmo, estou furioso e não bebo c) não durmo, estou furioso e bebo d) durmo, não estou furioso e não bebo e) não durmo, não estou furioso e bebo 22) M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então M = 2w – 3r. Por outro lado, M = 2x + 3y, ou M = 0. Se M = 0, então M+ H = 1. Ora, M+H ≠ . 1. Logo, a) 2w – 3r = 0 b) 4p + 3r . 2w – 3r c) M . 2x + 3y d) 2x + 3y . 2w – 3r e) M = 2w – 3r 23) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm

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também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então: a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis. b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis. c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras. d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres. e) nenhuma menina alegre é loira. 24) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio: a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio. b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio. c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio. d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio. e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio. 25) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a: a) 1/6 b) 1/3 c) 2/3 d) 4/5 e) 5/6 26) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 27) Para ter acesso a certo arquivo de um microcomputador, o usuário deve realizar duas operações: digitar uma senha composta por três algarismos distintos e, se a senha digitada for aceita, digitar uma segunda senha, composta por duas letras distintas, escolhidas num alfabeto de 26 letras. Quem não conhece as senhas pode fazer tentativas. O número máximo de tentativas necessárias para ter acesso ao arquivo é:

a. 4.120 b. 3.286 c.2.720 e. 1.900 e. 1.370 28) (ENEM-1999) Imagine uma eleição envolvendo 3 candidatos A, B, C e 33 eleitores (votantes). Cada eleitor vota fazendo uma ordenação dos três candidatos. Os resultados são os seguintes:

Ordenação Nº de votantes A B C 10 A C B 04 B A C 02 B C A 07 C A B 03 C B A 07

Total de Votantes 33 A primeira linha do quadro descreve que 10 eleitores escolheram A em 1º lugar, B em 2º lugar, C em 3º lugar e assim por diante. Considere o sistema de eleição no qual cada candidato ganha 3 pontos quando é escolhido em 1º lugar, 2 pontos quando é escolhido em 2º lugar e 1 ponto se é escolhido em 3º lugar. O candidato que acumular mais pontos é eleito. Nesse caso, a. A é eleito com 66 pontos. b. A é eleito com 68 pontos. c. B é eleito com 68 pontos. d. B é eleito com 70 pontos. e. C é eleito com 68 pontos. 29) (UFRJ) Num grupo de 100 pessoas, 99% dos presentes são homens. Quantos homens devem ser retirados para que o percentual de homens dentre os indivíduos restantes seja reduzido para 98%? 30) (PUC – RIO) Três caixas etiquetadas estão sobre uma mesa. Uma delas contém apenas canetas; outra, apenas lápis; e há uma que contém lápis e canetas. As etiquetas são: “canetas”, “lápis” e “lápis e canetas”, porém nenhuma caixa está com a etiqueta correta. É permitida a operação: escolher uma caixa e dela retirar um único objeto.O número mínimo de operações necessárias para colocar corretamente as etiquetas é: a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 31) (PUC-RIO) João chega todo dia a Petrópolis às 17h00 e sua mulher, que dirige com velocidade constante, chega todo dia às 17h00 para apanhá-lo e leva-lo para casa. Num determinado dia, João chega às 16h00 e resolve ir andando para casa; encontra sua mulher no caminho e volta de carro com ela, chegando em casa 10 minutos mais cedo. João andou a pé durante: a. 40 min b. 50 min c. 60 min e. 45 min e. 55 min 32) (ITA-66) Dois barcos partem num mesmo instante de lados opostos de um rio de margens paralelas. Ambos viajam perpendicularmente às margens, com velocidade constante. Supondo que um deles é mais rápido que o outro, eles se cruzam num ponto situado a 720m da margem mais próxima; completada a travessia, cada barco fica parado no respectivo cais por 10 minutos. Na volta eles

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se cruzam a 400m da outra margem. Qual é a largura do rio? 33) Às 6 horas o relógio da igreja levou 30 segundos para soar as 6 badaladas. Para soar as 12 badaladas ao meio-dia, levará: a. 54 segundos b. 55 segundos c. 60 segundos d. 65 segundos e. 66 segundos 34) Os Carros do Aparecido, Léo e Joselias são BMW, Mercedes e Fusca, porém não necessariamente nesta ordem. O dono do fusca que não é o Léo é mais novo que o Aparecido. O dono da Mercedes é o mais novo de todos. Logo, os carros do Aparecido, Léo e Joselias são respectivamente: a. BMW, Fusca, Mercedes b. BMW, Mercedes, Fusca c. Mercedes, Fusca, BMW d. Mercedes, BMW, Fusca e. Fusca, Fusca, Fusca 35) Sejam três bolas X, Y e Z. Sendo que possuem as seguintes cores: vermelho, azul e branca, não necessariamente nesta ordem. Se apenas uma das afirmações é verdadeira, as outras são falsas: X é vermelha, Y não é vermelha, Z não é azul. Qual é a cor de cada bola (X, Y e Z) ? a. vermelha, azul e branca b. vermelha, branca e azul c. azul, branca e vermelha d. azul, vermelha e branca e. branca, vermelha e azul 36) No sotão estão estendidos no varal: cem pares de meias azuis e cem pares pretas. A escuridão lá em cima é total. Quantas meias, no mínimo, devem ser apanhadas para se ter certeza de que um par seja de meias da mesma cor ? a. 2 b. 3 c. 50 d. 100 e. 200 37) Num saquinho de veludo estão 10 dados vermelhos, 10 brancos e 20 pretos. Sem olhar para dentro do saco, quantos dados se deve tirar, para haver certeza de se ter em mãos um par de dados da mesma cor ? a. 3 b.4 c. 5 d. 40 e.41 38) A rádio difusora Joselias inicia a sua programação todos os dias às 6h. Sua programação é formada por módulos musicais de 15 minutos, intercalados por mensagens comerciais de 2 minutos. Ligando a rádio difusora Joselias às 21h45, quantos minutos de música serão ouvidos antes da próxima mensagem ? a. 5 min b. 10 min c. 2 min d. 15 min. e. 17 min 39) Um conjunto de 30 pessoas, 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 são gordas. Quantas são altas e magras e quantas são baixas e magras? a. 14 e 5 b. 14 e 6 c. 14 e 3 d.3 e 14 e. 3 e 5 40) Em um certo ano, ao analisar os dados dos candidatos ao concurso do vestibular para o curso de graduação em

Administração, nas modalidades Administração de Empresas e Administração Pública, conclui-se que: 80% do número total de candidatos optaram pela modalidade Administração de Empresas. 70% do número total de candidatos eram do sexo masculino. 50% do número de candidatos da modalidade Administração Pública eram do sexo masculino. 500 mulheres optaram pela modalidade Administração pública. O número de candidatos do sexo masculino da modalidade Administração de Empresas foi: a. 4.000 b. 3.500 c. 3.000 d. 1.500 e. 1.000 41) Suponha que, em volta de uma mesa redonda, temos homens e mulheres, da seguinte maneira: * 7 mulheres têm uma mulher à sua direita; * 12 mulheres têm um homem à sua direita; * 3/4 dos homens têm uma mulher à sua direita. Quantos lugares tem a mesa ? a. 12 b. 16 c. 19 d. 35 e.36 42) Para efetuar um sorteio entre n alunos de uma escola (n > 1), adota-se o seguinte procedimento: Os alunos são colocados em roda e inicia-se uma contagem da forma “um, dois, um, dois, um, dois, . . . ”. Cada vez que se diz “dois”, o aluno correspondente é eliminado e sai da roda. A contagem prossegue até que sobre um único aluno, que é o escolhido. Para que valores de n o aluno escolhido é aquele por quem começou o sorteio ? a. n=3 b. n=5 c. n ímpar d. n par e. impossível 43) O Joselias faz todos os dias o mesmo percurso, do trabalho para casa, com a mesma velocidade constante. Um dia ele pára exatamente no meio do percurso e aí fica tomando um chope durante meia hora, em seguida completa o percurso com o dobro da velocidade habitual e chega a casa 10 minutos adiantado. Qual o tempo de percurso, para sua casa, em dias normais ?

a. 2h b. 2h20min c. 2h30min

d. 2h40min e.3h 44) Um elevador tem capacidade máxima de 500kg. Se existem 50 pessoas com 70kg cada uma, qual a quantidade mínima de viagens necessárias para transportá-las ? a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10 45) Das premissas: “Nenhum A é B” “Alguns C são B” Segue-se, necessariamente: a. Nenhum C é A b. Alguns C são A c. Alguns A são C d. Nenhum A é C e. Alguns C não são A 46) Uma melancia de 100 kg de peso, contém 99% de água. Após algum tempo no sol, verificamos que uma parte da água havia evaporado passando para 98% a porcentagem de água. Após a evaporação qual o novo peso da melancia?

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a.1 kg b.2 kg c.48 kg d.49 kg e.50 kg 47) Se José comprar canetas por R$ 4,00 cada, poderá comprar 5 a mais do que se comprasse as canetas de R$ 6,00 cada. Quantos reais o possui José para comprar essas canetas ? a. 20 b. 25 c. 30 d. 35 e.60 48) Na turma com 100 alunos, 99% são homens. Quantos homens devem sair da turma para que a percentagem de homens passe a ser 98% ? a. 1 b. 2 c. 20 d. 49 e.50 49) Qual o número mínimo de segundos que tem de decorrer até que se alterem todos os algarismos ? a . 1 b. 36 c. 58 d. 120 e.156 50) Um sargento tem 5 soldados. De quantos modos ele pode dispô-los numa fileira? a. 120 b. 60 c. 100 d. 180 e. 80 51) Se hoje é sábado, que dia da semana será daqui a 999 dias? a. Segunda- feira b. Sábado c. Domingo d. Sexta-feira e. Quinta-feira 52) (Escola Naval) Um número inteiro e positivo de três algarismos, ABC é tal que se dele subtrairmos o número CBA, obteremos para resto um número positivo terminado em 4. Assim, é possível afirmar que o resultado desta subtração é: a. 404 b. 464 c. 494 d.594 e. não é possível avaliar o resultado da subtração. 53) Em um dia 18 leões, 6 patos, 14 elefantes e 10 marrecos fugiram do zoológico. Em cada um dos dias seguintes foi capturada a metade dos animais que ainda estavam soltos. Quantos animais estavam em liberdade depois do fim do 2º dia seguinte ao dia da fuga? a. 6 b. 8 c. 12 d. 18 e. 22 54) 99% da massa de uma melancia de 10 kg é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação da água na massa da melancia se reduz a 98%. A massa total da melancia após esse processo de desidratação será igual a: a. 1 kg b. 1,5 kg c. 2,5 kg d. 5 kg e. 7 kg 55) Quatro carros, de cores amarelo, verde, azul e preto, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde é o menor de todos; que o carro verde está depois do carro azul e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro da fila é: a. amarelo b. azul c. preto d. verde e. não pode ser determinado apenas com esses dados. 56) 64 jogadores de habilidades diferentes disputam um torneio de tênis. Na primeira rodada são feitos 32 jogos (os

emparelhamentos são por sorteio) e os perdedores são eliminados. Na segunda rodada são feitos 16 jogos, os perdedores são eliminados e assim por diante. Se os emparelhamentos são feitos por sorteio e não há surpresas (se A é melhor que B, A vence B), qual o número máximo de jogos que o décimo melhor jogador consegue jogar? a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e.6

57) Dois amigos, A e B, conversam sobre seus filhos. A dizia a B que tinha 3 filhas, quando B perguntou a idade das mesmas. Sabendo A, que B gostava de problemas de aritmética, respondeu da seguinte forma: “O produto das idades das minhas filhas é 36. A soma de suas idades é o número daquela casa ali em frente”. Depois de algum tempo, B retrucou: “Mas isto não é suficiente para que eu possa resolver o problema”. A pensou um pouco e respondeu: “Tem razão. Esqueci de dizer que a mais velha toca piano”. Com base nesses dados, B resolveu o problema. Pergunta-se: qual a idade das filhas de A? 58) Um casal pretendia ter um casal de filhos e sabe-se que tiveram um filho homem. Supondo que as chances de nascer mulher e homem são as mesmas, qual é a chance de terem tido um casal de filhos, aproximadamente. a. 0 b. 25% c. 33% d. 50% e. 67% 59) Um dado é lançado 4 vezes. Sabendo-se que a soma das faces superiores é 16; qual a soma das faces inferiores? Obs.: Em todo dado a soma das faces opostas é 7. a. 12 b. 13 c. 15 d. 21 e. 28 60) Segundo Karl-Kraus: “O segredo do demagogo é se fazer passar por tão estúpido quanto sua platéia, para que esta imagine ser tão esperta quanto ele.” (fonte FGV-SP) De acordo com este raciocínio podemos concluir que: a. Todas as pessoas que vão a palestras são estúpidas b. Para ser um bom palestrante você precisa ser um

demagogo c. O demagogo induz a platéia d. O demagogo é tão esperto quanto sua platéia e. O demagogo é a pessoa que guarda segredos 61) Um imperador Romano nasceu no ano 30º a.c. e morreu no ano 25º d.c., no mesmo mês do nascimento. Qual a sua idade quando morreu? a. 25 anos b. 30 anos c. 50 anos d. 54 anos e. 55 anos 62) Em um campeonato A e B disputam 50 partidas. Cada vez que A ganha recebe R$20,00 de B; e cada vez que B ganha recebe R$30,00 de A. Sabendo que não há empate, quantas partidas no mínimo A deverá ganhar para ter lucro? a. 45 b. 39 c. 38 d. 31 e. 25 63) Suponha que junto com você existem 500 candidatos que estão fazendo a prova da Bolsa de Estudo neste momento. Então com certeza podemos afirmar que: a. pelo menos 2 pessoas fazem aniversário hoje; b. pelo menos 2 pessoas fazem aniversário no mesmo dia; c. pelo menos 300 pessoas tem a mesma idade; d. nenhuma pessoa faz aniversário hoje;

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e. nenhuma das pessoas fazem aniversário no mesmo dia. 64) Em um baile há 4 casais de namorados. Em determinado momento Ricardo reparou que: - Maria dançava com o namorado de Vera - Cláudia dançava com Beto - A namorada de Beto dançava com Jorge - A namorada de Jorge dançava com Mauro - Vera dançava com o namorado da Rose. Quem é o namorado de Cláudia? a. Mauro b. Jorge c. Beto d. Ricardo e. Rose 65) Dispõe-se de alguns livros de Física do autor A, outros do autor B e outros do autor C. Da mesma forma, temos alguns livros de química do mesmo autor A, outros de B e outros de C. Todos os livros devem ser colocados em duas caixas com o seguinte critério: na primeira caixa, deve-se colocar todos os livros que satisfaçam a condição “ se for do autor A, então não pode ser de Física”. Na segunda caixa, somente os livros que não satisfazem a essa proposição. A primeira caixa deve conter exatamente: a. todos os livros de Química do autor A mais todos os

livros de Física dos autores B e C. b. todos os livros de Física ou de Química dos autores B e

C mais todos os livros de química do autor A. c. todos os livros de Física dos autores B e C. d. todos os livros de Física dos autores A. e. todos os livros de Química dos autores A, B e C. 66) Uma pessoa ao multiplicar um número por 60 se esqueceu de colocar o zero à direita e obteve um resultado inferior em 291006 unidades ao que deveria ter encontrado. O número é: a. 32334 b. 2900 c. 58201 d. 5389 e. 2247 67) Um número de três algarismos a, b e c 68) (a > c) é tal que, quando invertemos a ordem de seus algarismos e subtraímos o novo número do original, encontramos, na diferença, um número terminado em 4. Qual é o valor desta diferença? a. 954 b. 594 c. 454 d. 544 e. 494 68) Num concurso, a prova de Matemática apresentava 20 questões. Para cada questão respondida corretamente, o candidato ganhava 3 pontos e para cada questão respondida erradamente ou não respondida, perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado deveria totalizar, nessa prova, um mínimo de 28 pontos, o menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato fosse aprovado era de: a. 12 b. 13 c. 14 d. 15 e. 16 69) Determinar o menor número que dividido por 10, 16,24 deixa, respectivamente, os restos 5, 11 e 19. a. 305 b. 215 c. 265 d. 285 e. 235 70) Num concurso para preencher uma vaga para o cargo de gerente administrativo da empresa M, exatamente quatro candidatos obtiveram a nota máxima.São ele: André, Bruno, Célio e Diogo. Para decidir qual deles ocuparia a vaga, os quatro foram submetidos a uma bateria de testes e

a algumas entrevistas. Ao término dessa etapa, cada candidato fez as seguintes declarações: André declarou: Se Diogo não foi selecionado, então Bruno foi selecionado. Bruno declarou: André foi selecionado ou eu não fui selecionado. Célio declarou: Se Bruno foi selecionado, então eu não fui selecionado. Diogo declarou: Se André não foi selecionado, então Célio foi. Admitindo-se que, das quatro afirmações acima, apenas a declaração de Diogo é falsa, é correto concluir que o candidato selecionado para preencher a vaga de gerente administrativo foi: a. Célio b. André c. Bruno d. Diogo 71) Antônio, Bento, Ciro e Dorival são profissionais liberais. Um deles é advogado, outro é paisagista, outro é veterinário e outro é professor.Sabe-se que: o veterinário não é Antônio e nem Ciro; Bento não é veterinário nem paisagista; Ciro não é advogado e nem paisagista. A conclusão correta quanto à correspondência entre carreira e profissional está indicada em: a. advogado – Dorival b. paisagista – Dorival c. paisagista – Antônio d. advogado – Antônio

72) Determine a área hachurada da figura abaixo (considere =3,14).

a. 5 cm²

b. 5,25 cm²

c. 5,75 cm²

d. 6,25 cm²

e. 7,74 cm²

73) Qual o termo da seqüência:

a. 5832

b. 13122

c. 14132

d. 14192

e. 15032

74) Lendo 4 páginas por dia de um livro, levo 4 dias a mais do que se eu lesse 5 páginas por dia, para ler o livro todo; quantas páginas tem o livro?

a.65 b.70 c.75 d.80 e.85

75) Em uma urna há 28 bolas azuis, 20 bolas verdes, 12 bolas amarelas, 10 bolas pretas e 8 bolas brancas. Qual é o número mínimo de bolas que devemos sacar dessa urna para termos certeza de que sacaremos pelo menos 15 bolas da mesma cor?

a. 58 b. 59 c. 60 d. 71 e. 72

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Raciocínio Lógico

Sua Melhor Escolha em Concursos Públicos 40

76) Quando foi divulgado o resultado de um Concurso, observou-se as seguintes características entre os 289 aprovados: I. Havia pelo menos um candidato que estudou no Curso Inimigo.

II. Se pegarmos dois candidatos aprovados no Concurso, pelo menos um estudou no Curso Pré-Fiscal.

Sendo assim, quantos aprovados neste Concurso estudaram no Curso Pré-Fiscal.

a.0 b.1 c.140 d.288 e.289

77) Em um campeonato A e B disputam 50 partidas. Cada vez que A ganha recebe R$20,00 de B; e cada vez que B ganha recebe R$30,00 de A. Sabendo que não há empate, quantas partidas no mínimo A deverá ganhar para ter lucro?

a. 45 b. 39 c. 38 d. 31 e. 25

78) Contando n bolas coloridas, algumas pretas e outras vermelhas, achou-se que 49 das 50 primeiras eram vermelhas. Depois, 7 de cada 8 contadas eram vermelhas. Se no total, 90% ou mais das bolas contadas eram vermelhas, o máximo valor de n é:

a.225 b.210 c.200 d.180 e.175

79) Numa prova de concurso, foram propostas 30 questões. A cada questão corretamente respondida, o candidato obtém 1,5 ponto e a cada questão incorretamente respondida o candidato perde 0,5 ponto. As questões não respondidas são consideradas incorretas. Sobre as regras de pontuação desse concurso, é correto afirmar que:

a. Um candidato que acertou exatamente a metade das questões obteve 50% da nota máxima.

b. A nota máxima da prova é 100 pontos.

c. Um candidato que obteve 25 pontos acertou 18 questões.

d. A menor nota positiva que um candidato pode obter corresponde a 8 questões corretamente respondida

e. todas opções são falsas

80) Uma pessoa nasceu no século XIX e morreu no século XX, vivendo um total de 64 anos. Se o número formado pelos dois últimos algarismos do ano de seu nascimento é igual ao dobro do número formado pelos dois últimos algarismos do ano de sua morte, então no ano de 1900 essa pessoa tinha?

a.24 anos b. 26 anos c. 28 anos

d.30 anos e. 32 anos

81) Complete os termos da seqüência:

2

5 8

9 13 17

14 .... 24 29

20 26 .... 38 ....

a. 18, 28 e 40 b. 19, 32 e 44

c. 22, 36 e 46 d. 23, 29 e 43

e. 23, 28 e 48

82) De um número N com dois algarismos, subtraímos o número com os algarismos invertidos e achamos para resultado um cubo perfeito, positivo. Então:

a. N não pode terminar em 5.

b. N pode terminar em qualquer algarismo, exceto 5.

c. N não existe.

d. Há exatamente sete valores para N.

e. Há exatamente dez valores para N.

83) Dispõe-se de alguns livros de Física do autor A, outros do autor B e outros do autor C. Da mesma forma, temos alguns livros de química do mesmo autor A, outros de B e outros de C. Todos os livros devem ser colocados em duas caixas com o seguinte critério: na primeira caixa, deve-se colocar todos os livros que satisfaçam a condição “ se for do autor A, então não pode ser de Física”. Na segunda caixa, somente os livros que não satisfazem a essa proposição. A primeira caixa deve conter exatamente:

a) todos os livros de Química do autor A mais todos os livros de Física dos autores B e C.

b) todos os livros de Física ou de Química dos autores B e C mais todos os livros de química do autor A.

c) todos os livros de Física dos autores B e C.

d) todos os livros de Física dos autores A.

e) todos os livros de Química dos autores A, B e C.

84) Num concurso, a prova de Matemática apresentava 20 questões. Para cada questão respondida corretamente, o candidato ganhava 3 pontos e para cada questão respondida erradamente ou não respondida, perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado deveria totalizar, nessa prova, um mínimo de 28 pontos, o menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato fosse aprovado era de:

a.12 b.13 c.14 d.15 e.16

85) Um tanque cheio de água pesa 140 kg, tirando-lhe ¾ de água, pesa 50 kg. Então o tanque pesa:

a.10 kg b.14 kg c.20 kg

d.90 kg e.120 kg 86) Somando-se e subtraindo-se, alternadamente, todos os números inteiros de 1.999 a 1 obtemos S, tal que: S = 1999 – 1998 + 1997 – 1996 + . . . + 3 – 2 + 1 Qual o valor de S ?

a)1 b)100 c)101 d)1.000 e)1001

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Raciocínio Lógico

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87) (TRE-ES) Um relógio adianta 4 minutos a cada 50 minutos. Quantos minutos adiantará em 5 horas?

a)24 minutos b)20 minutos c)36 minutos

d)28 minutos e)18 minutos 88) Joselias é um cara estranho, pois mente às quintas, sextas e sábados, mas fala a verdade nos outros dias da semana. Em qual dos dias da semana não é possível que o Joselias faça a seguinte afirmação: “Menti ontem se somente se mentirei amanhã.”

a)segunda b)terça c) quinta

d)sexta e) sábado 89) Sejam as declarações: Se ele me ama então ele casa comigo. Se ele casa comigo então não vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que:

a)Ele é pobre mas me ama.

b)Ele é rico mas é pão duro.

c)Ele não me ama e eu gosto de trabalhar.

d)Ele não casa comigo e não vou trabalhar.

e)Ele não me ama e não casa comigo. 90) Joselias é um cara estranho, pois mente às quintas, sextas e sábados, mas fala a verdade nos outros dias da semana. Em qual dos dias da semana não é possível que o Joselias faça a seguinte afirmação: “Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã.”

a)sábado b)domingo c)segunda

d) terça e)quarta

91) Sejam as declarações:

Se o governo é bom então não há desemprego.

Se não há desemprego então não há inflação.

Ora, se há inflação podemos concluir que:

a) A inflação não afeta o desemprego.

b) Pode haver inflação independente do governo.

c) O governo é bom e há desemprego.

d) O governo é bom e não há desemprego.

e) O governo não é bom e há desemprego.

92) Uma pessoa, começando com R$ 64,00, faz seis apostas consecutivas, em cada uma das quais arrisca perder ou ganhar a metade de que possui na ocasião. Se ela ganha três e perde três dessas apostas, pode-se

afirmar que ela:

a) ganha dinheiro

b) não ganha nem perde dinheiro

c) perde R$ 27,00

d) perde R$ 37,00

e) ganha ou perde dinheiro, dependendo da ordem em que ocorreram suas vitorias.

93) Num torneio de futebol, no qual todas as partidas são eliminatórias, estão inscritos 8 times. Para definir a primeira rodada do torneio realiza-se um sorteio casual que divide os 8 times em 4 grupos de 2 times cada um. De quantas maneiras diferentes pode ser constituída a tabela de jogos da primeira rodada?

a)32 b)48 c) 56 d)105 e)210 94) Quantos anagramas podemos fazer com as letras da palavra SUCESSO ?

a. 720 b. 840 c.1.024 d.5.040 e.10.080 95) Cada peça de dominó é marcada por dois números. As peças são simétricas de maneira que o par de números não é ordenado. Quantas peças diferentes podem ser feitas usando-se os números 1, 2, 3, ... , 8 ?

a)21 b)28 c)35 d)36 e)64 96) João passou no concurso do IBGE, para fazer o CENSO/2000. Foi fazer recenseamento em uma ilha onde havia duas tribos indigenas; a tribo dos brancos e a tribo dos azuis. Começou pelas casas onde viviam apenas casais sem filhos. Visitou o casal A, o casal B, o casal C e o casal D. Sempre fez a mesma pergunta: “quem nesta casa é da tribo dos brancos e quem nesta casa é da tribo dos azuis ? ”. Recebeu dos quatro maridos as seguintes respostas: – Marido do casal A: “Ambos somos azuis” – Marido do casal B; “Pelo menos um de nós é azul” – Marido do casal C: “Se eu sou branco, então minha

mulher também é branca” – Marido do casal D: “Eu e minha mulher somos da

mesma tribo”. Sabendo que os nativos da tribo dos brancos sempre falam a verdade e que os nativos da tribo dos azuis sempre mentem, como o João vai preencher o seu questionário.

a)

b)

c)

d)

CASAL A B C D

ESPOSA BRANCA AZUL BRANCA AZUL

MARIDO AZUL BRANCO AZUL BRANCO

CASAL A B C D

ESPOSA BRANCA AZUL BRANCA ?

MARIDO BRANCO AZUL BRANCO ?

CASAL A B C D

ESPOSA BRANCA AZUL BRANCA ?

MARIDO AZUL BRANCO BRANCO BRANCO

CASAL A B C D

ESPOSA BRANCA AZUL BRANCA BRANCA

MARIDO AZUL BRANCO ? BRANCO

Page 42: RACIOCÍNIO LÓGICO

Raciocínio Lógico

Sua Melhor Escolha em Concursos Públicos 42

e)

97) Sejam as premissas: • Alguns homens são bons • Alguns malvados são homens Então podemos concluir:

a) Alguns malvados são bons

b) Todos os malvados são homens

c) Alguns bons sãomalvados

d) Nenhum malvado é bom

e) Nada podemos concluir

. 98) Considere o conjunto A = 1, 2, 3, 4, 5. Quantos números de dois algarismos distintos é possível formar com os elementos do conjunto A, de modo que a soma dos algarismos seja ímpar ?

a) 2 b) 6 c) 8 d) 12 e) 20

99) Um elevador tem capacidade máxima de 450kg. Se existe 50 pessoas com 70kg cada uma, qual a quantidade mínima de viagens necessária para transportá-las ?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

100) Quantos anagramas formados com as letras da palavra “S O R T E” possuem as consoantes em ordem alfabética ? a) 120 b) 100 c) 60 d) 40 e) 20

101) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa comissão ?

a) 3

b) n

c) 3n

d)

e)

102) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa comissão, de modo que façam parte dela três alunos designados por números consecutivos ?

a) 3

b) 3n

c)

d) (n – 2)

e)

103) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se organizar uma comissão de três alunos. De

quantas maneiras pode ser formada essa comissão, de modo que façam parte da mesma exatamente 2 alunos designados por números consecutivos ?

a) 2 b) (n – 2) c)

d) (n– 2)n e) (n – 2) (n – 3)

104) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa comissão, de modo que não façam parte da mesma dois ou três alunos designados por números consecutivos ?

a) (n – 3)

b) (n – 1) (n – 2) (n – 3)

c)

d)

e)

105) Num relógio digital, que marca de 0:00 até 23:59, quantas vezes por dia o mostrador apresenta todos os algarismos iguais ?

a) 10 b) 8 c) 6 d) 7 e) 9 106) A prefeitura de uma cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias ?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 107) Numa caixa havia várias bolas, sendo 5 azuis, 4 amarelas, 3 vermelhas, 2 brancas e 1 preta. Renato retirou 3 bolas da caixa. Sabendo que nenhuma delas era azul, nem amarela, nem preta, podemos afirmar a respeito dessas 3 bolas que:

a) são da mesma cor

b) são vermelhas

c) uma é vermelha e duas são brancas

d) uma é branca e duas são vermelhas

e) pelo menos uma é vermelha

108) A calculadora de Juliana é bem diferente. Ela tem uma tecla D, que duplica o número no visor e a tecla T que apaga o algarismo das unidades do número escrito no visor. Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visor e apertarmos D, teremos 246; depois, apertarmos T, teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. Se apertamos D depois T, em seguida D, depois T, teremos o número:

a) 96 b) 98 c) 123 d) 79 e) 99

109) Balas são distribuídas entre 11 crianças. Podemos

afirmar que:

a) Pelo menos 1 criança ganhou 4 balas.

CASAL A B C D

ESPOSA BRANCA AZUL BRANCA BRANCA

MARIDO AZUL BRANCO BRANCO ?

C3

n

C2

n

C3

n

C2

n

6

4)(n 3)(n 2)(n −−−

6

3)(n 2)(n n −−

2

3)(n n −

C3

n

Page 43: RACIOCÍNIO LÓGICO

Raciocínio Lógico

Sua Melhor Escolha em Concursos Públicos 43

b) Pelo menos 2 crianças ganharam exatamente 5 balas.

c) 8 crianças ganharam 3 balas cada e as outras 3 ganharam 2 balas cada.

d) Pelo menos duas crianças ganharam o mesmo número de balas.

e) Nenhuma criança ficou sem balas. 110) Um agente secreto foi chamado para desativar uma bomba que possuía dois fios, um vermelho e um preto, marcados cada um com uma etiqueta. Sabendo-se que ambas as etiquetas dizem verdades ou mentiras e que na etiqueta do fio vermelho está escrito “pelo menos um fio ativa a bomba” e na etiqueta do fio preto está escrito “o fio vermelho detona a bomba”. Supondo que um dos fios ativa a bomba e outro desativa, podemos afirmar:

a) O fio vermelho detona a bomba.

b) O fio preto detona a bomba.

c) A etiqueta do fio vermelho é falsa.

d) A etiqueta do fio preto é falsa.

e) É impossível desativar a bomba.

111) Dois professores, Felipe e Adriano, estavam tomando um chope e comemorando a aprovação dos alunos na FUVEST. De repente, Joselias se aproxima do Felipe e diz um número ao seu ouvido. Depois dirige-se ao Adriano e diz também um número ao seu ouvido. Antes de se afastar, informa-os: o produto dos números que vos disse é 8 ou 16. O Felipe pensa um instante e diz para Adriano: _ Não sei qual é o teu número. _ Também não sei qual é o teu – responde Adriano, depois que pensou por alguns instantes. Alguns instantes depois, Felipe fala: _ Dá-me uma dica sobre o teu número. Adriano pensa um pouco e diz: _ Dá-me antes tu uma dica sobre o teu. O Felipe franze as sobrancelhas, toma um gole de chope, sorri e exclama: _ Já sei qual é o teu número! Qual é o número confidenciado ao Adriano?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 8

112) Márcio e o filho, mais Rubens e o filho foram pescar. Márcio pescou tantos peixes como o filho, enquanto Rubens pescou o triplo dos peixes do seu filho. No total

pescaram 35 peixes. O filho de Márcio chama-se Fábio. Como se chama o filho de Rubens?

a) Márcio

b) Rubens

c) Fábio

d) Joselias

e) Júnior

113) Dois irmãos brincavam em uma ponte de comprimento d, conforme a figura.

De repente, escutaram o apito do trem que se aproximava rapidamente, neste instante eles correm em sentidos contrários. Um dos meninos corre e atinge o ponto A conseguindo pular no mesmo instante em que o trem chega ao ponto A. Consegue se salvar, como um milagre! O outro irmão, que corre em direção ao ponto B, alcança o ponto B no mesmo instante que o trem.. Ele também se salva, como um milagre! Sendo assim, eles se encontram embaixo da ponte e declaram: “Que susto! Nós corremos a 5m/s”. Qual era a velocidade do trem? 114)

Três amigas foram para uma festa com vestidos azul, preto e branco, respectivamente. Seus pares de sapato apresentavam essas mesmas três cores, mas somente Ana usava vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia eram brancos. Marisa usava sapatos azuis. Descreva a cor do vestido de cada uma das moças.

115) Quantas vezes aparece o algarismo 9 no resultado da operação 10100 – 2003? 116) Quantos números inteiros maiores do que 20032 e menores do que 20042 são múltiplos de 100? 117) Um estudante, com muito tempo livre e muita curiosidade, resolveu fazer o seguinte: a cada minuto, ao mudar o horário em seu relógio digital, marcava em seu caderno um X para cada algarismo 7 que aparecia no visor. Assim, se seu relógio mostrava 02:07 ele marcava X e quando seu relógio mostrou 07:17 ele marcou XX. Começou a fazer isso quando seu relógio mostrava 01:00 e parou quase doze horas depois, quando o relógio mostrava 12:59.

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Raciocínio Lógico

Sua Melhor Escolha em Concursos Públicos 44

Calcule a metade da quantidade de X que ele marcou em seu caderno.

118) A grande atração do OBM Parque é uma roda gigante (a figura mostra uma roda gigante similar, porém com um número menor de cabines). As cabines são numeradas com 1, 2, 3,…, no sentido horário. Quando a cabine 25 está na posição mais baixa da roda-gigante, a de número 8 está na posição mais alta. Quantas cabines tem a roda-gigante?

119) Em um dado comum a soma dos pontos sobre faces opostas é sempre 7. Beatriz construiu uma torre com 4 dados comuns iguais, colando as faces como mostrado na figura. Qual é o menor número de pontos que Beatriz pode obter somando todos os pontos das dezoito faces da superfície da torre?

120) A média de cinco inteiros positivos diferentes é 11. Determine o maior valor possível para o maior dos cinco inteiros. 121) Nove peças diferentes de dominó estão sobre uma mesa, parcialmente cobertos por um pedaço de papel. Os dominós se tocam de modo que 1 ponto é vizinho a 1 ponto, 2 pontos são vizinhos a 2 pontos, etc. Qual o total de pontos escondidos pelo papel?

122)Se m e n são inteiros não negativos com m < n, definimos m c n como a soma dos inteiros entre m e n, incluindo m e n. Por exemplo, 5 c 8 = 5 + 6 + 7 + 8 = 26.

O valor numérico de 64

2622

é: A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

123) Há 1002 balas de banana e 1002 balas de maçã numa caixa. Lara tira, sem olhar o sabor, duas balas da caixa. Seja p a probabilidade de as duas balas serem do mesmo sabor e seja q a probabilidade de as duas balas serem de sabores diferentes. Quanto vale a diferença entre p e q?

A) 0 B) 2004

1

C) 2003

1

D) 2003

2

E) 1001

1

124)Qual é o maior valor da soma dos algarismos da soma dos algarismos de um número de três algarismos?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

125)Esmeralda, a digitadora, tentou digitar um número de seis algarismos, mas os dois algarismos 1 não apareceram (a tecla devia estar com defeito). O que apareceu foi 2004. Quantos são os números de seis algarismos que ela pode ter tentado digitar?

A) 4 B) 8 C) 10 D) 15 E) 20

126)Com três algarismos distintos a, b e c, é possível formar 6 números de dois algarismos distintos. Quantos conjuntos a, b, c são tais que a soma dos 6 números formados é 484?

A) Um B) Dois C) Três D) Quatro E) Mais que quatro

127)Dois cubos têm faces pintadas de ocre ou magenta. O primeiro cubo tem cinco faces ocres e uma face magenta. Quando os dois cubos são lançados, a probabilidade de as faces viradas para cima dos dois cubos serem da mesma cor

Page 45: RACIOCÍNIO LÓGICO

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Sua Melhor Escolha em Concursos Públicos 45

(sim, ocre e magenta são cores!) é 1/2. Quantas faces ocres tem o segundo cubo? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 128)Esmeralda, a digitadora, queria digitar um número N de dois algarismos que é quadrado perfeito, mas se enganou, trocando cada algarismo pelo seu sucessor (afinal, as teclas são vizinhas!). Por uma grande coincidência, o número digitado também é quadrado perfeito! Qual é a soma dos algarismos de N? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

129)Numa festa típica, cada prato de arroz foi servido para duas pessoas, cada prato de maionese para três pessoas, cada prato de carne servia quatro pessoas e cada prato de doces dava exatamente para cinco pessoas. Foram utilizados 77 pratos e todas as pessoas se serviram de todos os pratos oferecidos. Quantas pessoas havia na festa? A) 20 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

130)Num certo aeroporto, Nelly caminhava calmamente à razão de um metro por segundo; ao tomar uma esteira rolante de 210 metros, Nelly continuou andando no mesmo passo e notou ter levado um minuto para chegar ao fim da esteira. Se Gugu ficar parado nesta esteira, quanto tempo levará para ser transportado?

A) 1min20s B) 1min24s C) 1min30s D) 1min40s E) 2min

131)Uma certa máquina tem um visor, onde aparece um número inteiro x, e duas teclas A e B. Quando se aperta a tecla A o número do visor é substituído por 2x + 1. Quando se aperta a tecla B o número do visor é substituído por 3x – 1. Se no visor está o número 5, apertando alguma seqüência das teclas A e B, o maior número de dois algarismos que se pode obter é: A) 85 B) 87 C) 92 D) 95 E) 96

132)O dominó mais conhecido tem como maior peça o duplo 6. Neste dominó são empregadas 28 peças diferentes. Quantas peças tem o dominó cuja maior peça é o duplo 8?

133)Você está em um país estrangeiro, a LUCIÂNIA, e não conhece o idioma, o LUCIANÊS, mas sabe que as palavras “BAK” e “KAB” significam sim e não, porém não sabe qual é qual. Você encontra uma pessoa que entende português e pergunta: "KAB significa sim?" A pessoa responde “KAB”. Pode-se deduzir que:

A) KAB significa sim. B) KAB significa não. C) A pessoa que respondeu mentiu. D) A pessoa que respondeu disse a verdade. E) Não é possível determinar sem um dicionário

LUCIANÊS-PORTUGUÊS.

134)A média aritmética das idades de um grupo de médicos e advogados é 40 anos. A média aritmética das idades dos médicos é 35 anos e a dos advogados é 50 anos. Pode-se, então, afirmar que:

A) O número de advogados é o dobro do número de médicos no grupo.

B) O número de médicos é o dobro do número de advogados no grupo.

C) Há um médico a mais no grupo. D) Há um advogado a mais no grupo. E) Existem as mesmas quantidades de médicos e

advogados no grupo.

135) Beatriz, Isabele e Nicole estão disputando um jogo fazendo lançamentos sucessivos com uma moeda. Beatriz ganha se, em dois lançamentos consecutivos, o primeiro resultar cara e o segundo coroa. Isabele ganha se forem obtidas duas coroas em dois lançamentos consecutivos, e Nicole ganha se forem obtidas duas caras em dois lançamentos consecutivos. Elas fazem os lançamentos até que uma das jogadoras seja vencedora. Qual(is) jogadora(s) possui(em) menos chances de ganhar o jogo?

A) Beatriz B) Isabele C) Nicole D) Beatriz e Nicole

E) As três têm a mesma chance. 136)108 crianças da 5ª e 6ª séries vão fazer um passeio numa caverna. São formados grupos iguais com mais de 5 porém menos de 20 alunos. Com relação ao número de estudantes por grupo, de quantas formas diferentes eles podem ser feitos?

A) 2 B) 8 C) 5 D) 4 E) 3 137)O desenho ao lado mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por cinco estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado? A) 12 B) 6 C) 10 D) 24 E) 120

138)Um artesão começa a trabalhar às 8h e produz 6 braceletes a cada vinte minutos; seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão pára de trabalhar às 12h mas avisa ao seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo que ele. A que horas o auxiliar irá parar?

A) 12h B) 12h30min C) 13h D) 13h30min E) 14h30min

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Raciocínio Lógico

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139)O algarismo das unidades do número 1 c 3 c 5 c … c 97 c 99 é A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 140)Ao somar cinco números consecutivos em sua calculadora, Esmeralda encontrou um número de 4 algarismos: 2 0 0 *. O último algarismo não está nítido, pois o visor da calculadora está arranhado, mas ela sabe que ele não é zero. Este algarismo só pode ser: A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 9 141)Sobre uma mesa estão três caixas e três objetos, cada um em uma caixa diferente: uma moeda, um grampo e uma borracha. Sabe-se que

c A caixa verde está à esquerda da caixa azul; c A moeda está à esquerda da borracha; c A caixa vermelha está à direita do grampo; c A borracha está à direita da caixa vermelha.

Em que caixa está a moeda? A) Na caixa vermelha. B) Na caixa verde. C) Na caixa azul. D) As informações fornecidas são insuficientes para se dar

uma resposta. E) As informações fornecidas são contraditórias. 142)O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi montado com varetas, todas com comprimento igual ao lado do hexágono. Quantas varetas, no mínimo, são necessárias para montar o arranjo?

………

A) 113 B) 123 C) 122 D) 132 E) 152

143) Calcule os determinantes:

31

12)

31

02)

31

02)

2)

−−

d

c

b

a

144) Calcule os determinantes: 34

46

22

22

145) .Simplifique:

112

2 ba

bb

aa÷

146) (FUVEST) O determinante da matriz

ab

ba

,onde xx eea −+=2 e

xx eeb −−=2 , é igual a: a) 1 b) –1 c) ex d) e-

x e) zero 147) Uma moça possui 15 blusas, 10 saias e 5 sapatos de

quantos modos ela pode se vestir? 148) Quantos números de 4 algarismos podem ser

formados no sistema decimal?

149) Se um quarto possui 10 portas, qual o número de maneiras de se entrar nele e sair por uma porta diferente?

150) Quantos números de três algarismos podem ser formados no sistema decimal? Resp.: 900 números.

151) Quantos números pares de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1,3,5,6,8,9 ? Resp.: 72 números.

152) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1,3,5,6,8,9 ? Resp.: 120 números.

153) Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1,3,5,6,8,9 ? Resp.: 40 números.

154) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras linha ligando a cidade B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma linha?

Resp.: 72 linhas de ônibus. 155) Quantos anagramas podemos fazer com as letras da palavra AMOR?

156) Quantos anagramas podemos fazer com as letras da

palavra PORQUE ?

157) Quantos anagramas podemos fazer com as letras da palavra ACREDITO ?

158) Quantos anagramas possui a palavra UBATUBA ? 159) Quantos anagramas possui a palavra SUCESSO

? 160) Calcule:

a) C20 = b) C2

1 = c) C22 = d)

C30 =

e) C3

1 = f)

C32 =

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Raciocínio Lógico

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g) C3

3 = h)

C50 =

i) C5

1 = j)

C54 =

l) C5

2 = m)

C53 =

n) C5

5 =

161) Com sete alunos, quantas comissões de três alunos

podemos formar? 162) Com nove alunos, quantas comissões de 2 alunos

podemos formar? 163) De quantos modos podemos escolher dois objetos em

um grupo de 10 objetos distintos? 164) De quantos modos podemos escolher dois objetos em

um grupo de seis objetos distintos? 165) De quantos modos podemos escolher três objetos em

um grupo de doze objetos distintos? 166) Uma empresa possui quatro diretores e seis gerentes,

quantas comissões de cinco pessoas podem ser formadas contendo dois diretores e três gerentes?

167) Em uma classe há 20 alunos que praticam futebol mas

não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas

não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15.

Ao todo existem 17 alunos que não praticam futebol. O

número de alunos da classe é:

a. 30 b. 35 c. 37 d. 42 e. 44 168) Numa classe de 50 alunos 17 são os que jogam vôlei;

32 os que jogam tênis de mesa; 25 os que jogam tênis de mesa e não jogam vôlei. Daí, podemos concluir que:

a. 49 jogam vôlei ou tênis de mesa;

b. 8 não jogam vôlei nem tênis de mesa;

c. 15 jogam tênis de mesa, mas não jogam vôlei;

d. 23 não jogam vôlei;

e. NRA

169) De dois conjuntos A e B, sabe-se que:

I - O número de elementos que pertencem a .45BA =∪

II - 40% desses elementos pertencem a ambos os conjuntos.

III - O conjunto A possui 9 elementos a mais que o conjunto B.

Então, o número de elementos dos conjuntos A e B são, respectivamente:

a.35 e 26 b.36 e 27 c.30

e 21 d.27 e 18 e.28 e 21

170) Três dados idênticos, nos quais a soma das faces

opostas é 7, são colocados em uma mesa, conforme a

figura abaixo, de modo que cada par de faces coladas tenha o mesmo número. Sabendo-se que a soma das faces visíveis é 36, qual a soma das faces, não visíveis, que estão em contato com a mesa ?

a) 8 b) 11 c) 13 d) 15 e) 18

171) Em uma cidade, vinte por cento dos cães pensam que

são gatos e vinte por cento dos gatos pensam que são cães. Todos os outros animais são perfeitamente normais. Certo dia, todos os cães e gatos foram testados por um psicólogo, verificando-se então que 40% deles pensavam que eram gatos. Qual a porcentagem dos animais que realmente eram cães ?

a) 65% b) 66,7%

c) 72,6% d)82,6% e) 83,7%

172) Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a

um porão de onde partem três túneis. O primeiro túnel dá acesso à liberdade em 3 hora; o segundo, em 5 horas; o terceiro leva ao ponto de partida em 9 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar da prisão em:

a) 5h. b) 5h10min.

c) 5h20min. d) 6h e) 7h 173) Em uma sala, com vários ratos, há uma passagem que conduz a um porão de onde partem três túneis. O primeiro túnel dá acesso a um esgoto em 3 horas; o segundo em 5 horas; o terceiro leva ao ponto de partida em 8 horas. Em média, os ratos que descobrem os túneis conseguem chegar ao esgoto em:

a) 5h b)6h c) 7h

d) 8h e) 9h

174) (Concurso para professores – 94) O registro de

entrada de uma caixa d’água permite que ela fique cheia em 3 horas. O registro de saída permite que a mesma se esvazie em 4 horas. Estando a caixa d’água vazia, ambos os registros são simultaneamente abertos; após 4 horas, o registro de saída é fechado. A caixa estará completamente cheia no seguinte tempo:

a) 3 horas b) 2 horas c) 30 minutos d) 1 hora e) 20 minutos

175) Quantos anagramas formados com as letras da palavra “S O R T E”?

a) 120 b) 100 c) 60 d) 40 e) 20

176) Quantos anagramas formados com as letras da palavra “S O R T E” possuem as consoantes em ordem alfabética ? a) 120 b) 100 c) 60 d) 40 e) 20 177) Considere uma turma com 8 alunos numerados de 1 a 8. Deseja-se organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa comissão ?

a) 3

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Raciocínio Lógico

Sua Melhor Escolha em Concursos Públicos 48

b) 8

c) 24

d)

e)

178) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a) 1112 e 1152. b) 1152 e 1100. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e) 112 e 384. 179) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a: a) 0,15. b) 0,25. c) 0,30. d) 0,20. e) 0,40. 180) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe: Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12”. Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set”. Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra”. Denise: “O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante”. Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set”. Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que: a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set. e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set. 181) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, mas falam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que “Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local

que significam “sim” e “não”, mas não sabe qual delas significa “sim” e nem, conseqüentemente, qual significa “não”. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta: – Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher? – Milango –, responde o jovem. – E a tua aldeia é maior do que a desse homem? –, voltou Sócrates a perguntar. – Milango –, tornou o jovem a responder. – E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates. – Nabungo –, disse o jovem. Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena. c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena. d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena. e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. 182) Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, 20 alunos praticam vôlei e basquete; 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; 17 alunos praticam futebol e vôlei; 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a a) 93. b) 110. c) 103. d) 99. e) 114. 183) Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão diferente. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Logo: a) Mário é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e o economista é mais novo do que Luís. b) Oscar é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e Luís é mais velho do que o matemático. c) Pedro é matemático, e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro, e Oscar é mais velho do que o agrônomo. d) Luís é arquiteto, e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo, e Pedro é mais velho do que o matemático. e) Nédio é engenheiro, e o arquiteto é mais velho do que o matemático, e Mário é mais velho do que o economista. 184) Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um, um barco. Combinaram, então, dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um tem uma única filha, e todas têm nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum deles poderia

C3

8

C2

8

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Raciocínio Lógico

Sua Melhor Escolha em Concursos Públicos 49

dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia um e apenas um barco. Décio e Éder desejavam, ambos, dar a seus barcos o nome de Laís, mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto é, no barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio, coube o nome de Nair, e ao barco do pai de Nair, coube o nome de Olga. As filhas de Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil são, respectivamente, a) Mara, Nair, Paula, Olga, Laís. b) Laís, Mara, Olga, Nair, Paula. c) Nair, Laís, Mara, Paula, Olga. d) Paula, Olga, Laís, Nair, Mara. e) Laís, Mara, Paula, Olga, Nair. 185) Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em sentido horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger aquela que, entre elas, passará a ser a representante do grupo. Feita a votação, verificou-se que nenhuma fôra eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. Após conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada uma havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Bia, e assim por diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e Ema foram, respectivamente, para, a) Ema, Ana, Bia, Clô, Déa. b) Déa, Ema, Ana, Bia, Clô. c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa. d) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô. e) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia.

186) Com relação ao sistema

=+

=−

0a2x

0yax

de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema: a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a.

187) Sabendo-se que a matriz A =

0

1

1

1

e que Ν∈n e 1n ≥ então o determinante da matriz An – An-1 é igual a:

a) 1 b) –1 c) 0 d) n e) n-1 188) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim, a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

189) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor. b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor. c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor. d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor. e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor. 190) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo, a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente. c) Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. 191) Uma curiosa máquina tem duas teclas, A e B, e um visor no qual aparece um número inteiro x. Quando se aperta a tecla A, o número do visor é substituído por 2x + 1. Quando se aperta a tecla B, o número do visor é substituído por 3x – 1. Se no visor está o número 5, o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B, é a) 87. b) 95. c) 92. d) 85. e) 96. 192) Você está à frente de duas portas. Uma delas conduz a um tesouro; a outra, a uma sala vazia. Cosme guarda uma das portas, enquanto Damião guarda a outra. Cada um dos guardas sempre diz a verdade ou sempre mente, ou seja, ambos os guardas podem sempre mentir, ambos podem sempre dizer a verdade, ou um sempre dizer a verdade e o outro sempre mentir. Você não sabe se ambos são mentirosos, se ambos são verazes, ou se um é veraz e o outro é mentiroso. Mas, para descobrir qual das portas conduz ao tesouro, você pode fazer três (e apenas três) perguntas aos guardas, escolhendo-as da seguinte relação: P1: O outro guarda é da mesma natureza que você (isto é, se você é mentiroso ele também o é, e se você é veraz ele também o é)? P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro? P3: O outro guarda é mentiroso? P4: Você é veraz? Então, uma possível seqüência de três perguntas que é logicamente suficiente para assegurar, seja qual for a natureza dos guardas, que você identifique corretamente a porta que leva ao tesouro, é a) P2 a Cosme, P2 a Damião, P3 a Damião. b) P3 a Damião, P2 a Cosme, P3 a Cosme.

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c) P3 a Cosme, P2 a Damião, P4 a Cosme. d) P1 a Cosme, P1 a Damião, P2 a Cosme. e) P4 a Cosme, P1 a Cosme, P2 a Damião. 193) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a a) 1/7. b) 1/3. c) 2/3. d) 5/7. e) 4/7.

194) A operação ∇ x é definida como o triplo do cubo de

x, e a operação Ω x é definida como o inverso de x. Assim, o valor da expressão

é igual a:

a) 15. b) 20. c) 25. d) 45. e) 30. 195) Sejam as matrizes

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a: a) 2. b) 1/2. c) 3. d) 1/3. e) 1. 196) A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que ( aij ) = i2 +j2 e que bij = ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 determinante da matriz S é igual a: a) 1. b) 3. c) 4. d) 2. e) 6. 197) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. Assim, sobre o sistema formado

pelas equações:

=+

=+

4mba2

0mb3ma

em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que: a) se m ≠ 0 e a =2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. b) se m = 0, o sistema é impossível. c) se m = 6, o sistema é indeterminado. d) se m ≠ 0 e a ≠ 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m ≠ 0 e m ≠ 6, o sistema é possível e determinado. 198) Em um certo aeroporto, Ana caminhava à razão de um metro por segundo. Ao utilizar uma esteira rolante de 210 metros, que se movimenta no mesmo sentido em que ela caminhava, continuou andando no mesmo passo. Ao chegar ao final da esteira, Ana verificou ter levado exatamente 1 minuto para percorrer toda a extensão da esteira. Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a esteira, o tempo que levaria para ser transportada do início ao fim da esteira seria igual a: a) 1minuto e 20 segundos. b) 1minuto e 24 segundos. c) 1minuto e 30 segundos. d) 1 minuto e 40 segundos. e) 2 minutos. 199) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao enos duas blusas da mesma cor é a) 6. b) 4. c) 2. d) 8. e) 10. 200) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a: a) 0,624. b) 0,064. c) 0,216. d) 0,568. e) 0,784. 201) Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e B a uma velocidade média constante de 50 km por hora. O carro percorre, também a uma velocidade média constante, V, o restante do trajeto até B. Ora, a velocidade média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por hora. Logo, a velocidade V é igual a a) 20 km por hora. b) 10 km por hora. c) 25 km por hora. d) 30 km por hora. e) 37,5 km por hora.

202) Se Y é diferente de zero, e se 4

Y

X=

, então a razão de 2X–Y para X, em termos percentuais, é igual a: a) 75%. b) 25%. c) 57%. d) 175%. e) 200%. 203) Considere as matrizes onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a:

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a) 0. b) a. c) a+b+c. d) a+b. e) a+c. 204) André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André sabe resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste. Então, a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a: a) 0,62. b) 0,60. c) 0,68. d) 0,80. e) 0,56. 205) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a: a) 0,25. b) 0,35. c) 0,45. d) 0,15. e) 0,65. 206) Um clube está fazendo uma campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a pintura, a contribuição média por associados, entre os restantes associados ainda não contatados, deve ser igual a: a) R$ 25,00. b) R$ 30,00. c) R$ 40,00. d) R$ 50,00. e) R$ 60,00. 207) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio: a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo. e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

Gabarito

1- B 2- C 3- D 4- C 5- B 6- B 7- C 8- D 9- E 10- B 11- B 12- A 13- D 14- C 15- A 16- D 17- E 18- E 19- A 20- B 21- D 22- E 23- E 24- B 25- A 26- D 27- E 28- C 29- 50 30- B 31- E 32-

1760 m 33- E 34- B 35- D

36- B 37- B 38- A 39- C 40- C 41- D 42- D 43- D 44- C 45- E 46- E 47- E 48- E 49- E 50- A 51- E 52- D 53- C 54- D 55- C 56- E 57-

2,2,9 58- E 59- A 60- C

61- D 62- D 63- B 64- D 65- B 66- D 67- B 68- A 69- E 70- D 71- C 72- E 73- B 74- D 75- B 76- D 77- D 78- B 79- D 80- C 81- B 82- D 83- B 84- A 85- C 86- D 87- A 88- D 89- E 90- B 91- E 92- D 93-D 94-B 95-D 96-E 97-E 98-D 99-D 100-E 101-D 102-D 103-E 104-C 105-B 106-D 107-E 108-D 109-D 110-A 111-D 112-A 113-

5m/s 114-Ana-branco Júlia-azul Marisa-preto

115-98

116-40 117-66 118-34 119-58 120-45 121-22 122-C 123-C 124-D 125-D 126-B 127-C 128-D 129-D 130-B 131-D 132-45 133-D 134-B 135-B 136-D 137-B 138-D 139-C 140-A 141-A 142-B 143- a) –2 b) 6 c) –6 d) -5 144-256 145-ab 146-A 147-750 148-

9000 149-90 150-900 151-72

152-120 153-40 154-72 155-4! 156-6! 157-8! 158-630 159-840 160- A) 1 B) 2 C) 1 D) 1 E) 3 F) 3 G) 1 H) 1 I) 5 J) 5 L) 10 M) 10 N) 1 161-35 162-36 163-45 164-15 165-220 166-120 167-E 168-B 169-B 170-C 171-B 172-E 173-D 174-B 175-A 176-E 177-D 178-C 179-D 180-B 181-E 182-D 183-A 184-E 185-B 186-A 187-C 188-A 189-C 190-E 191-B 192-D 193-B 194-C 195-A 196-D 197-E 198-B 199-A 200-E 201-C 202-D 203-A 204-C 205-E 206-B 207-D

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